Dıophantıne dörtlüleri ve genelleştirilmiş iki değişkenli polinom dizileri

(1)

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DIOPHANTINE DÖRTLÜLERİ VE GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ

POLİNOM DİZİLERİ

YÜKSEK LİSANS TEZİ Danışman

Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI Hazırlayan

(2)

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

DIOPHANTINE DÖRTLÜLERİ VE

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ POLİNOM

DİZİLERİ

Danışman:

Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Hazırlayan:

Gül Nihal ÖZCAN

068214001004

MATEMATİK ANABİLİM DALI

Konya, 2009

(3)

(4)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

DIOPHANTINE DÖRTLÜLERİ VE GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ POLİNOM DİZİLERİ

Gül Nihal Özcan

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

2009, 74 sayfa

Jüri: Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Yrd. Doç. Dr. Ayşe Dilek GÜNGÖR Yrd. Doç. Dr. Aynur YALÇINER

Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; konuya ait literatür özeti verilmiştir. İkinci bölümde; literatür de yer almış bazı sayı ve polinom dizilerinin tanım ve temel özellikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde; Diophantine dörtlüleri ve literatür de yer alan çalışmalara yer verilmiştir. Dördüncü bölümde; elemanları Chebyshev polinomlar dizisinden oluşturulan dörtlüler tanımlanmış ve Fibonacci ve Lucas sayılarına uygulamaları verilmiştir. Beşinci bölümde; dördüncü bölümde tanımlanan dörtlülerin genelleştirilmesi yapılarak, elemanları Genelleştirilmiş iki değişkenli polinomlar dizisinden seçilen dörtlülerin uygulamaları verilmiştir. Altıncı bölümde; beşinci bölümde oluşturulan dörtlülerden faydalanarak

özelliğine sahip Diophantine dörtlüleri elde edilmiştir. )

(Z K2

D ⋅

ANAHTAR KELİMELER: Genelleştirilmiş Fibonacci sayı dizileri, Genelleştirilmiş sayı dizisi, Genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomları, Polinom dizisi, Diophantine dörtlüleri.

(5)

M. Sc. Thesis

DIOPHANTINE QUADRUPLES AND GENERALIZED BIVARIATE POLYNOMIAL SEQUENCES

Gül Nihal Özcan

Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Asist. Prof. Dr. Ayşe NALLI 2009, 74 pages

Jüri: Asist. Prof. Dr. Ayşe NALLI

Asist. Prof. Dr. Ayşe Dilek GÜNGÖR Asist. Prof. Dr. Aynur YALÇINER

This study consists of six sections. In the first section, there is a summary of literature related to this subject. In the second section, you can find the definition of some number sequences, polynomial sequences and their basic properties. In the third section, there are a definition of Diophantine Quadruples and its given to studies in literature. In the fourth section, it’s defined Diophantine Quadruples which are made of polynomial sequences and it is given the application of the Fibonacci and Lucas Numbers. In the fifth section, it is made a generalization, which is defined as quadruples in the fourth section and it is given the application of quadruples which their elemants are choosed from ‘Genaralized Bivariate Polynomial Sequences’. In the sixth section, it is obtained Diophantine Quadruples, which have the property

( )

_ZK2

D which is contained by taking into account generalization results.

KEY WORDS: Generalized Fibonacci number sequences, Generalized number sequence, Generalized bivariate Fibonacci polynomials, Polynomial sequence, Generalized bivariate polynomials, Diophantine Quadruples.

(6)

ÖN SÖZ

Hazırlamış olduğum tez çalışması, Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Anabilim Dalı Öğretim Üyelerinden Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI yönetiminde hazırlanarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Bu Yüksek Lisans Tezi içerik olarak altı bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde; konuya ait literatür özeti verilmiştir.

İkinci bölümde; literatür de yer almış bazı sayı ve polinom dizilerinin tanım ve temel özellikleri verilmiştir.

Üçüncü bölümde; Diophantine dörtlüleri ve uygulamaları verilmiştir.

Dördüncü bölümde; elemanları Chebyshev polinomlarından oluşturulan dörtlüler tanımlanmış ve Fibonacci ve Lucas sayılarına uygulamaları verilmiştir. Beşinci bölümde; dördüncü bölümde tanımlanan dörtlüler elemanları Genelleştirilmiş iki değişkenli polinomlar dizisinden seçilerek genelleştirilmiştir. Altıncı bölümde; beşinci bölümde oluşturulan dörtlülerden faydalanarak

özelliğine sahip Diophantine dörtlüleri elde edilmiştir. )

(Z K2

D ⋅

Yüksek Lisans tezimin hazırlanmasında bilgileri ışığında aydınlatan ve yol gösteren değerli danışmanım Sayın Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI’ ya ve bu tezin yazılması süresince gösterdikleri sabır ve anlayış ile şahsıma verdikleri maddi-manevi her türlü destek ve yardımlarından dolayı aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.

Gül Nihal Özcan Konya, 2009

(7)

İÇİNDEKİLER

ÖN SÖZ

1. BÖLÜM

LİTERATÜR ÖZETİ……….1

2. BÖLÜM

BAZI SAYI VE POLİNOM DİZİLERİ ………...5 2.1. Bazı Sayı Dizileri………..5 2.2. Bazı Polinom Dizileri ………..9

3. BÖLÜM

DIOPHANTINE DÖRTLÜLERİ VE UYGULAMALARI………..19

4. BÖLÜM

CHEBYSHEV POLİNOM DÖRTLÜLERİ………...31

5. BÖLÜM

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ POLİNOM DÖRTLÜLERİ…...43 5.1. Genelleştirilmiş İki Değişkenli Polinomlar Dizisi ………..43 5.2. Genelleştirilmiş İki Değişkenli Polinomların Üreten Fonksiyonu………….44

(8)

6. BÖLÜM ) (Z K2

D ⋅ ÖZELLİĞİNE SAHİP DIOPHANTINE DÖRTLÜLERİ……..…...56

6.1. _D(_Z_⋅_K2) Özelliğini Sağlayan Kümeler………..56

6.2. D(Z⋅K2) Özelliğine Sahip Kümeler İçin Teoremler………63

SONUÇ VE ÖNERİLER………..71

KAYNAKLAR………...72

(9)

SİMGELER n F , n. Fibonacci sayısı, n L , n. Lucas sayısı, n P , n. Pell sayısı, n Q , n. Pell-Lucas sayısı, n

R , n. Genelleştirilmiş Fibonacci sayısı dizisi,

n

W , n. Genelleştirilmiş sayı dizisi,

) (x

F_n , Fibonacci polinomlar dizisi,

) (x

L_n , Lucas polinomlar dizisi,

) (x

T_n , I. tip Chebyshev polinomları,

) (x

U_n , II. tip Chebyshev polinomları,

) , III. tip Chebyshev polinomları, (x

V_n

) , IV. tip Chebyshev polinomları, (x n Ψ ) (x A_n , Polinom dizisi, ) , ( yx

H_n , Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci Polinomları Dizisi (Mario

Catalani,2004) )

, ( yx

S_n , Genelleştirilmiş İki Değişkenli Polinomlar Dizisi

(10)

1. BÖLÜM

LİTERATÜR ÖZETİ

Bu bölümde literatürde yer almış çalışmalar verilmiştir.

Diophantus of Alexandria (1974), Dört elemanlı bir kümenin herhangi iki elemanının çarpımına bir eklendiğinde mükemmel kare olan ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 16 105 , 16 68 , 16 33 , 16 1 (1.1) kümesini elde etmiştir.

Fermat (1967), Herhangi iki elemanının çarpımına bir eklendiğinde mükemmel kare olan dört elemanlı

{

1,3,8,n

}

(1.2)

kümesini tanımlamıştır. Tanımladığı (1.2) kümesinin dördüncü elemanının n=120 olduğunu bulmuştur.

J.H. van Lint (1968), kümesinin çözümü için oluşturulan pozitif tamsayısının tek olup olmadığını ileri sürmüştür.

{

1,3,8,n

}

n=120

Baker A. and Davenport (1969),

{

1,3,8,n

}

kümesinin herhangi iki elemanının çarpımının 2 2 2_, ₃ ₁ _, ₈ ₁ 1 1⋅n+ =x ⋅n+ = y ⋅n+ =z (1.3)

mükemmel kare olma koşulundan

2 2 ₂

3x − = y ve 8x2 −7=z2 (1.4)

Diophantine denklemlerini elde etmiştir. J.H. van Lint tarafından öne sürülen pozitif tamsayısının tek olduğu sonucuna varmıştır.

120 =

(11)

a v z a v x a v y a z x a z y a y x + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ , , , (1.5)

mükemmel kare olacak şekilde

{

x,y,z,v

}

kümesini bulma problemine genelleştirmiştir.

a=1 için

{

1,3,8,120

}

ve

{

3, 8, 21, 2080

}

(1.6) sonuçları elde edilmiştir.

Jones B. W. (1976), Her pozitif tamsayısı için n

{

1,3,8,n

}

kümesinin genelleştirmesi olarak

{

n, n+2, 4n+4, 4(n+1)(2n+1)(2n+3)

}

(1.7)

kümesini tanımlamıştır. (1.7) kümesi her pozitif tamsayısı için Diophantus’un tanımladığı özelliği sağlamaktadır.

n

Hoggatt V.E. ve Bergum G. E. (1977), 1,3, 8 sayılarının sırasıyla

( )

F_n _n_≥₀

Fibonacci dizisinin F₂, F₄ , F₆ terimleri olduğu ileri sürülmüş,

( )

F₂_t n+1 ,

(

F₂_t₊₂

)

n+1 ,

(

F₂_t₊₄

)

n+1

mükemmel kare olacak şekilde bir n pozitif tamsayısı bulma problemini formülleştirmiştir. Diophantus özelliğini sağlayan

{

F₂_t, F₂_t₊₂, F₂_t₊₄ ,n

}

(1.8)

dört pozitif tamsayıyı bulma problemi çözülebilecektir. Mükemmel kare olan (1.8) kümesindeki n pozitif tamsayısının değerini

3 2 2 2 1 2 4 ₊ ₊ ₊ = F _t F _t F _t n

şeklinde elde etmiştir. için özel olarak t=1 n=120 değerini verir.

Böylece

{

F₂_t, F₂_t₊₂, F₂_t₊₄,4F₂_t₊₁F₂_t₊₂F₂_t₊₃

}

(1.9)

(12)

Morgado J. (1984), F_a,F_b∈

( )

F_n _n_≥₀ Fibonacci dizisinin uygun elemanları olmak

üzere

{

Fn, Fn+2r, Fn+4r, 4Fn+r Fn+2r Fn+3r

}

(1.10 )

kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına

2 2

b a F

F veya −F_a2F_b2

eklendiğinde mükemmel kare olduğunu göstererek (1.9) un bir genelleştirmesini elde etmiştir.

Morgado J. (1983-1984),

( )

U_n _n_≥₀ II. tip Chebyshev polinomları olmak üzere

{

U_n, U_n₊₂_r, U_n₊₄_r, 4U_n₊_rU_n₊₂_rU_n₊₃_r

}

, n,r∈IN (1.11)

kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına a,b negatif olmayan uygun değerler olmak üzere 2 2 b aU U

eklendiğinde mükemmel kare olduğunu göstermiştir.

Horadam A. F. (1987), R_h,R_k∈

{ }

R_n ∞_n₌₀Genelleştirilmiş Fibonacci sayı dizisi olmak üzere

{

W_n,W_n₊₂_r,W_n₊₄_r,4W_n₊_rW_n₊₂_rW_n₊₃_r

}

, n,r≥0 (1.12) kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına

(

) (

₂ ₂

)

−1 − m t _h _k t

R R eq

eklendiğinde mükemmel kare olduğunu ispat etmiştir. Burada

genelleştirilmiş Fibonacci sayı dizisinin uygun elemanları ve , W nin en küçük alt

{ }

∞ = ∈ ₀ , _k _n _n h R R R m

indisi olmak üzere W nin çarpan sayısının 2 veya 4 olma durumuna bağlı olarak t , 1 veya 2 değerini alır.

Horadam A. F. (1965), a,b, p,q tamsayı ve W₀ =a, W₁ =b olmak üzere 2 , 2 1− ≥ = pW ₋ qW ₋ n W_n _n _n (1.13)

rekürans bağıntısı ile verilen,

{ }

W_n ∞_n₌₀ şeklindeki tamsayı dizisini tanımlamış ve bu dizinin temel özelliklerini vermiştir.

(13)

{ }

n _n₌₀ k

h

olmak üzere

{

T_n,T_n₊₂_r ,T_n₊₄_r,4T_n₊_rT_n₊₂_rT_n₊₃_r

}

, n,r≥0 (1.14) kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına

(

Th Tk

)

⎥⎦t ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ 2 1

eklendiğinde, çarpımda 2 veya 4 çarpan olma durumuna bağlı olarak t nin 1 veya değeri için mükemmel kare olduğunu ispat etmiştir. Ayrıca Jose Morgado, Fibonacci ve Lucas sayı dizileri için (1.14) kümesinin uygulamasını vermiştir.

2

Dujella A. (1996), n ,,a b tamsayı olmak üzere keyfi

{ }

a,b çiftinin 2 x n b a⋅ + = ) (n

D özelliğini sağladığı varsayımından yola çıkarak

{

a,b,a+b+2x,a+4b+4x

}

(1.15)

kümesinin özelliğini sağlayan bir Diophantine dörtlüsü olması için gerek ve yeter şartın 1. terim ile 4. terimin çarpımının eklenen değerlerine göre mükemmel kare olması gerektiği sonucuna varmıştır. Bu sonuçtan faydalanarak özelliğini sağlayan Diophantine dörtlüleri elde etmiştir.

) (n D n ) (n D

(14)

2. BÖLÜM

BAZI SAYI VE POLİNOM DİZİLERİ

Bu kısımda tez içinde kullanılacak olan literatürde yer almış bazı sayı ve polinom dizilerinin tanımı ve temel özellikleri verilmiştir.

2.1. Bazı Sayı Dizileri

Tanım 2.1.1. F₀ =0 , F₁ =1 olmak üzere

2 , 2 1+ ≥ =F ₋ F ₋ n F_n _n _n (2.1)

lineer rekürans bağıntısı ile verilen,

{ }

F_n ∞_n₌₀şeklindeki tam sayı dizisine Fibonacci Dizisi denir. Fibonacci dizisinde her n tamsayısına karşılık gelen değere n. Fibonacci sayısı denir.

Fibonacci sayılarının üreten fonksiyonu

2 1 ) ( t t t t g − − = (2.2) dir.

Tanım 2.1.2. L₀ =2 , L₁ =1 olmak üzere

2 , 2 1+ ≥ =L ₋ L ₋ n L_n _n _n (2.3)

{ }

L_n ∞_n₌₀ şeklindeki tam sayı dizisine Lucas Dizisi denir. Lucas dizisinde her n tamsayısına karşılık gelen değere n. Lucas sayısı denir.

Lucas sayılarının üreten fonksiyonu

2 1 2 ) ( t t t t g − − − = (2.4) dir.

(15)

0 1 2 ₋_λ₋ ₌ λ (2.5) denkleminden 2 5 1 , 2 5 1 − = + = β α (2.6) olmak üzere,

Fibonacci ve Lucas sayılarının Binet formülleri sırasıyla

5 n n n F =α −β (2.7) ve (2.8) n n n L =α +β dir.

Fibonacci ve Lucas Sayılarının Özellikleri 1. n≥1 için n n n F L F ₋₁+ ₊₁ = (2.9) 2. n≥0 için n n n F F L =2 ₊₁− (2.10) 3. n≥1için n n n F L F₂ = (2.11) 4. n≥1için (2.12) 1 2 2 1 2 + + = + _n _n n F F F 5. n≥1için 1 2 1 1 − 5( 1) − + n − n = − n n L L L (2.13) 6. n≥0 için (2.14) 2 2 2( 1) n n n L L + − = 7. n≥0 için 1 2 2 ₄₍ ₁₎ 5 − = − n+ n n L F (2.15) 8. n≥1 için n n n n F F F ₊₁⋅ ₋₁− 2 =(−1) (2.16)

(16)

Tanım 2.1.3. P₀ =0 , P₁ =1 olmak üzere 2 , 2 ₁+ ₂ ≥ = P ₋ P₋ n P_n _n _n (2.17)

{ }

P_n ∞_n₌₀ şeklindeki tamsayı dizisine Pell Dizisi denir. Pell dizisinde her tamsayısına karşılık gelen değere n. Pell sayısı denir. n

Pell sayılarının üreten fonksiyonu

2 2 1 ) ( t t t t g − − = (2.18) dir.

Tanım 2.1.4. Q₀ =2 , Q₁ =2 olmak üzere

2 ,

2 ₁+ ₂ ≥

= Q ₋ Q ₋ n

Q_n _n _n (2.19)

{ }

Q_n ∞_n₌₀ şeklindeki tamsayı dizisine Pell-Lucas Dizisi denir. Pell-Lucas dizisinde her tamsayısına karşılık gelen değere n. Pell- n

Lucas sayısı denir.

Pell-Lucas sayılarının üreten fonksiyonu

2 2 1 2 2 ) ( t t t t g − − − = (2.20) dir.

Pell ve Pell-Lucas sayılarının karakteristik polinomunun kökleri 0 1 2 2 ₋ _λ₋ ₌ λ (2.21) denkleminden 2 1 , 2 1+ = − = β α (2.22) olmak üzere

Pell ve Pell-Lucas sayılarının Binet formülleri sırasıyla

β α β α − − = n n n P (2.23) ve n n n Q =α +β (2.24) dir.

(17)

1 , 0 ₁ 0 = R = R olmak üzere 2 , 2 1 − ≥ = pR ₋ qR ₋ n R_n _n _n (2.25)

{ }

R_n ∞_n₌₀ şeklindeki tamsayı dizisine Genelleştirilmiş Fibonacci Sayı Dizisi denir.

Genelleştirilmiş Fibonacci sayı dizisinin üreten fonksiyonu

2 1 ) , , ( qt pt t t q p g + − = (2.26) dir. Tanım 2.1.6. a, b, p, q tamsayı, b W a W₀ = , ₁ = olmak üzere 2 , 2 1− ≥ = pW ₋ qW ₋ n W_n _n _n (2.27)

{ }

W_n ∞_n₌₀ şeklindeki tamsayı dizisine Genelleştirilmiş Sayı Dizisi denir. (A.F. Horadam, 1965)

Genelleştirilmiş sayı dizisinin üreten fonksiyonu

2 1 ) ( ) , , , , ( qt pt t pa b a t q p b a g + − − + = (2.28) dir.

{ }

R_n ∞_n₌₀ ve

{ }

W_n ∞_n₌₀ sayı dizilerinin karakteristik polinomunun kökleri 0 2₋ ₊ ₌ q pλ λ (2.29) denkleminden 2 4 , 2 4 2 2 q p p q p p − − = − + = β α (2.30) olmak üzere p q p q − = − + = = ⋅β α β α β α , 2 4 , (2.31) dir.

(18)

{ }

R_n ∞_n₌₀ ve

{ }

W_n ∞_n₌₀ dizilerinin Binet formülleri sırasıyla β α β α − − = n n n R (2.32) ve β α β α − + = n n n B A W (2.33) olmak üzere A=b−aβ ve B=aα−b (2.34) buradan 2 2 b qa pab e B A⋅ = = − − (2.35) elde edilir.

{ }

W_n ∞_n₌₀ dizisinin özel durumları;

1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 = = =− = =− =− = b p q A B e a için W_n(0,1;1,− )1 = F_n (2.36) 5 , 5 , 5 , 1 , 1 , 1 , 2 = = =− = =− = = b p q A B e a için W_n(2,1;1,− )1 =L_n (2.37) 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 0 = = =− = =− =− = b p q A B e a için W_n(0,1; 2,− )1 =P_n (2.38) 8 , 2 2 , 2 2 , 1 , 2 , 2 , 2 = = =− = = = = b p q A B e a için W_n(2,2; 2,− )1 =Q_n (2.39) 1 , 1 , 1 , 1 , 0 = = =− =− = b A B e a için W_n(0,1; p,q)=R_n (2.40) olmak üzere

{ }

dizileri sırasıyla Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas ve Genelleştirilmiş Fibonacci dizileridir.

{ } { } { } { }

n n n n

n L P Q R

F , , , ,

2.2. Bazı Polinom Dizileri

Tanım 2.2.1. F₀(x)=0, F₁(x)=1 olmak üzere

2 ), ( ) ( ) (x =xF ₋₁ x +F ₋₂ x n≥ F_n _n _n (2.41)

{

F_n(x)

}

∞_n₌₀ şeklindeki polinom dizisine

(19)

2 1 ) , ( t xt t t x g − − = (2.42) dir.

Tanım 2.2.2. L₀(x)=2, L₁(x)=x olmak üzere

2 ), ( ) ( ) (x =xL ₋₁ x +L ₋₂ x n≥ L_n _n _n (2.43)

{

L_n(x)

}

∞_n₌₀ şeklindeki polinom dizisine Lucas

Polinomları Dizisi denir.

Lucas polinomlarının üreten fonksiyonu

2 1 2 ) , ( t xt xt t x g − − − = (2.44) dir.

Fibonacci ve Lucas polinomlarının karakteristik polinomunun kökleri 0 1 2₋ _λ₋ ₌ λ x (2.45) denkleminden 2 4 ) ( , 2 4 ) (x = x+ x2+ β x = x− x2+ α (2.46) olmak üzere

Fibonacci ve Lucas polinomlarının Binet formülleri sırasıyla

4 ) ( ) ( ) ( 2₊ − = x x x x F n n n β α (2.47) ve ) ( ) ( ) (x x x L_n =αn +βn (2.48) dir.

(20)

Tanım 2.2.3. x=cosθ olmak üzere

θ

n x

T_n( )=cos (2.49)

bağıntısına n. dereceden I. Tip Chebyshev Polinomu denir. θ θ

θ

θ cos( 2) 2cos cos( 1)

cosn + n− = n− trigonometrik özdeşliğinden 1 ) ( 0 x = T , T₁(x)= x olmak üzere 2 ), ( ) ( 2 ) (x = xT ₋₁ x −T ₋₂ x n≥ T_n _n _n (2.50)

{

T_n(x)

}

∞_n₌₀ şeklindeki polinom dizisine I. Tip

Chebyshev Polinomları Dizisi denir.

I.Tip Chebyshev polinomlarının üreten fonksiyonu

2 2 1 1 ) , ( t xt xt t x g_n + − − = (2.51) dir.

θ θ sin ) 1 sin( ) (x = n+ U_n (2.52) bağıntısına n. dereceden II. Tip Chebyshev Polinomu denir.

θ θ θ

θ n n

n 1) sin( 1) 2cos sin

sin( + + − = trigonometrik özdeşliğinden 1 ) ( 0 x = U , U₁(x)=2x olmak üzere 2 ), ( ) ( 2 ) (x = xU ₋₁ x −U ₋₂ x n≥ U_n _n _n (2.53)

{

U_n(x)

}

∞_n₌₀ şeklindeki polinom dizisine II. Tip

II. Tip Chebyshev polinomlarının üreten fonksiyonu

2 2 1 1 ) , ( t xt t x g + − = (2.54)

(21)

Tanım 2.2.5. x=cosθ olmak üzere θ θ 2 1 cos 2 1 cos ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = n x V_n (2.55)

bağıntısına n. dereceden III. Tip Chebyshev Polinomu denir.

θ θ θ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₊ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₊ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 cos cos 2 2 1 2 cos 2 1 cos n n n trigonometrik özdeşliğinden 1 ) ( 0 x = V , V₁(x)= x2 −1 olmak üzere 2 ), ( ) ( 2 ) (x = xV ₋₁ x −V ₋₂ x n≥ V_n _n _n (2.56)

{

V_n(x)

}

∞_n₌₀ şeklindeki polinom dizisine III. Tip Chebyshev Polinomları Dizisi denir.

III. Tip Chebyshev polinomlarının üreten fonksiyonu

2 2 1 1 ) , ( t xt t t x g_n + − − = (2.57) dir.

θ θ 2 1 sin 2 1 sin ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = Ψ n x n (2.58)

bağıntısına n. dereceden IV. Tip Chebyshev Polinomu denir.

θ θ θ θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₊ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₊ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 sin cos 2 2 1 2 sin 2 1 sin n n n trigonometrik özdeşliğinden 1 ) ( 0 = Ψ x , Ψ₁(x)=2x+1

(22)

olmak üzere 2 ), ( ) ( 2 ) ( = Ψ ₁ −Ψ ₂ ≥ Ψ_n x x _n₋ x _n₋ x n (2.59)

lineer rekürans bağıntısı ile verilen

{

Ψ_n(x)

}

∞_n₌₀ şeklindeki polinom dizisine IV. Tip

IV. Tip Chebyshev polinomlarının üreten fonksiyonu

2 2 1 1 ) , ( t xt t t x g_n + − + = (2.60) dir.

I., II., III. ve IV. tip Chebyshev polinomlarının karakteristik polinomunun kökleri (2.61) 0 1 2 2 ₋ _λ₊ ₌ λ x denkleminden 1 ) (x = x+ x2 − α ve β(x)=x− x2 −1 (2.62) olmak üzere

I. ve II. tip Chebyshev polinomlarının Binet formülleri sırasıyla

2 ) ( ) ( ) (x x x T n n n β α + = (2.63) ve 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 1 − − = + + x x x x U n n n β α (2.64) dir.

III. ve IV. tip Chebyshev polinomlarının Binet formülleri sırasıyla

(

) (

)

1 2 1 1 1 1 ) ( 2 2 2 − − − − − − + − = x x x x x x V n n n β α (2.65) ve

(

) (

)

1 2 1 1 1 1 ) ( 2 2 2 − − − + − − + + = Ψ x x x x x x n n n β α (2.66) dir.

(23)

Chebyshev polinomları ile ilgili özellikler: 1. n≥2 için ) ( ) ( ) ( 2T_n x =U_n x −U_n₋₂ x (2.67) dir. 2. n≥1 için ) ( ) ( ) (x U x xU ₁ x T_n = _n − _n₋ (2.68) dir. 3. n≥0 için, (2.64) özdeşliğinde 2 i x= yazılırsa; 1 1 1 5 2 + + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n n n n n n i i F i U α β (2.69) elde edilir. 4. n≥1 için, (2.68) özdeşliğinde 2 i x= yazılırsa; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ₂ 2 2 2 1 i U i i U i T_n _n _n (2.70) elde edilir. 5. (2.69) ve (2.70) özdeşliklerinden n≥0 için

(

n n n n n n n n F F i F i i F i i T ⎟= − = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − +1 ₂ 1 ₂ 2 1 2

)

(2.71) ede edilir. 6. (2.1) ve (2.71) özdeşliklerinden için n≥1

(

2 1 2 2⎟⎠= + − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n n n n F F i i T

)

(2.72) elde edilir.

(24)

7. (2.62) göz önünde bulundurularak (2.63) özdeşliğinde 2 i x= yazılırsa; ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n n n n n n n i i i T 2 5 1 2 5 1 / 2 5 1 2 5 1 2 2 5 1 2 5 1 2 2 böylece n n n n F F i i T 2 2 2⎟⎠= ⋅ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (2.11) den n n n L i i T 2 2⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _(2.73) elde edilir. 8. n,r,s≥0 için

[

( ) ( )

]

( ) ( ) 2 1 ) ( ) (x T x T x T x T x T x T_n _n₊_r₊_s + _r₋_s − _r₊_s = _n₊_r _n₊_s (2.74) dir. 9. n,r,s≥0 için

[

₍ ₎ ₍ ₎

] [

2 ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ 2 4 1 ) ( ) ( ) ( 4T_n xT_n₊_r x T_n₊_r₊_s x + T_r₋_s x −T_r₊_s x = T_n x T_n₊_r₊_s x +T_n₊_r x T_n₊_s x

]

(2.75) elde edilir. 10. n,r∈IN , n> için r ) ( ) ( ) ( ) ( ₁ 2₁ 2₁ 1 x U x U x U x U_n₋_r₋ ⋅ _n₊_r₋ + _r₋ = _n₋ (2.76) dir.

(25)

11. θ n θ sin

(

n 1

)

θ sinnθ 2 cos 2 sin 2 ⎟ = + − ⎠ ⎜ ⎝ ⎛ +

(

)

θ θ θ θ n sin n 1 sinn 2 1 sin 2 1 cos 2 ⎟ = + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

trigonometrik özdeşliklerinden sırasıyla n≥1 için ) ( ) ( ) (x U x U ₁ x V_n = _n − _n₋ (2.77) ve ) ( ) ( ) (x Un x Un 1 x n = + − Ψ (2.78) özdeşlikleri elde edilir.

12. (2.77) ve (2.78) özdeşliklerinde

2

i

x= için, (2.69) dan sırasıyla

(

n n n n i F iF i V ⎟= + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +1 2

)

(2.79) ve

(

n n n n i F iF i ₌ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ψ ₊₁ 2

)

(2.80) özdeşlikleri elde edilir.

Tanım 2.2.7. y≠0, x2 + y4 ≠0 ve 0 ) , ( 0 x y = F , F₁(x,y)=1 olmak üzere 2 , ) , ( ) , ( ) , (x y =xF ₋₁ x y + yF ₋₂ x y n≥ F_n _n _n (2.81)

{

şeklindeki polinom dizisine İki Değişkenli Fibonacci Polinomları Dizisi denir. (Mario Catalani, arXiv: math/0406323v1 [math. CO] 16 Jun 2004)

}

∞ =0 ) , ( _n n x y F

(26)

İki Değişkenli Fibonacci Polinomlarının üreten fonksiyonu 2 1 ) , ( yt xt t t x g_n − − = (2.82) dir. Tanım 2.2.8. y≠0, x2 + y4 ≠0 ve 0 0(x,y) a H = , H₁(x,y)=a₁ olmak üzere 2 , ) , ( ) , ( ) , (x y =xH ₋₁ x y + yH ₋₂ x y n≥ H_n _n _n (2.83)

{

H_n(x,y)

}

∞_n₌₀ şeklindeki polinom dizisine

Genelleştirilmiş İki Değişkenli Fibonacci Polinomları Dizisi denir. (Mario Catalani, 2004)

Genelleştirilmiş iki değişkenli Fibonacci polinomlarının üreten fonksiyonu

2 0 1 0 1 ) ( ) , , ( yt xt t x a a a t y x g − − − + = (2.84) dir.

{

F_n(x,y)

}

∞_n₌₀ ve

{

H_n(x,y)

}

∞_n₌₀ dizilerinin karakteristik polinomunun kökleri 0 2 ₋ ₋ ₌ y x λ λ (2.85) denkleminden 2 4 ) , ( 2 y x x y x = + + α , 2 4 ) , ( 2 y x x y x = − + β (2.86) olmak üzere,

{

F_n(x,y)

}

∞_n₌₀ ve

{

H_n(x,y)

}

∞_n₌₀ dizilerinin Binet formülleri sırasıyla

y x y x F n n n 4 ) , ( 2₊ + = α β (2.87) ve

(27)

(

)

(

α

)

_α _β β α β − − − − − = n x y a a a a H ( , ) ₁ ₀ ₁ ₀ (2.88) dir.

Tanım 2.2.9. a(x),b(x), p(x),q(x) reel katsayılı polinomlar, ) ( ) ( 0 x a x A = , A₁(x)=b(x) olmak üzere 2 ), ( ) ( ) ( ) ( ) (x = p x A ₋₁ x +q x A ₋₂ x n≥ A_n _n _n (2.89)

{

A_n(x)

}

∞_n₌₀ şeklindeki diziye Polinom Dizisi denir.

(Kılıç Emrah, accepted in RMJM )

{

A_n(x)

}

∞_n₌₀ dizisinin üreten fonksiyonu

(

)

2 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( t x q t x p t x a x p x b x a t x g − − − + = (2.90) dir.

{

A_n(x)

}

∞_n₌₀ dizisinin karakteristik polinomunun kökleri 0 ) ( ) ( 2₋ ₋ ₌ x q x p λ λ (2.91) denkleminden 2 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( 2 x q x p x p x = + + α , 2 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( 2 x q x p x p x = − + β (2.92) olmak üzere

{

A_n(x)

}

∞_n₌₀ dizisinin Binet formülü

β α β α − + = n n n B A x A ( ) (2.93) dir.

(28)

3. BÖLÜM

DIOPHANTINE DÖRTLÜLERİ VE UYGULAMALARI

Bu bölümde Diophantine dörtlüleri ve uygulamaları verilmiştir. Ayrıca mükemmel kare özelliğini sağlayan, elemanları genelleştirilmiş sayı dizileri, Chebyshev polinomları olan kümeler ve bu kümelerin özellikleri incelenmiştir.

Tanım 3.1.

{

a₁,a₂,a₃,a₄

}

(3.1)

dört pozitif tamsayıdan oluşan bir küme olsun. Bu kümenin herhangi iki elemanının çarpımına bir eklendiğinde 1≤ ji, ≤4 olmak üzere

1 + ⋅ _j

i a

a (3.2)

mükemmel kare oluyorsa bu kümeye Diophantine dörtlüsü denir.

Tanım 3.2. (3.1) kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına n eklendiğinde olmak üzere 4 , 1≤ ji ≤ n a a_i ⋅ _j + (3.3)

mükemmel kare oluyorsa bu kümeye özelliğine sahip ( n. dereceden Diophantus özelliğine sahip ) Diophantine dörtlüsü denir.

) (n D Teorem 3.1. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 16 105 , 16 68 , 16 33 , 16 1 (3.4)

kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına bir eklendiğinde Diophantine dörtlüsüdür. ( Diophantus of Alexandria, 1974)

(29)

2 2 2 2 2 2 16 86 1 16 105 16 68 , 16 19 1 16 105 16 1 , 16 61 1 16 105 16 33 , 16 18 1 16 68 16 1 , 16 50 1 16 68 16 33 , 16 17 1 16 33 16 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ (3.5) elde edilir.

Fermat 1967 yılında bu özelliği sağlayan dört pozitif tamsayıyı tahmin ederek bulmuştur. 1,3,8 tamsayıları ile başlamıştır ve herhangi iki elemanının çarpımına bir eklendiğinde mükemmel kare olan dört elemanlı

{

1,3,8,n

}

(3.6)

kümesini tanımlamıştır.

(3.6) kümesinin ilk üç terimin ikişerli çarpımlarına bir eklendiğinde

1⋅3+1=22, 1⋅8+1=32, 3⋅8+1=52 (3.7) mükemmel kare olur. Dolayısıyla dördüncü terimle diğer terimlerin ikişerli çarpımlarına bir eklendiğinde

1 8 , 1 3 , 1 ⋅ + ⋅ + + n n n (3.8) mükemmel kare olmalıdır. Buradan Fermat n=120olarak bulmuştur.

Teorem 3.2. (3.6) kümesini Diophantine dörtlüsü olacak şekilde herhangi iki elemanının çarpımına bir eklendiğinde mükemmel kare ve n saysı dir. (Fermat,1967)

120

İspat: İlk üç terimin çarpımına bir eklendiğinde mükemmel kare olduğu (3.7) de gösterildi. Dördüncü terim ile diğer terimlerin çarpımına bir eklendiğinde (3.8) mükemmel kare olacak şekilde n=x2 +2x alınırsa

, 1 2 2 _{+ x}₊ x 3x2+ x6 +1, 8x2 + x16 +1 (3.9) elde edilir.

(30)

u , v tamsayıları için 2 2 ₆ ₁ 3x + x+ =u ve 8x2 +16x+1=v2 (3.10) denklemlerinden 2 2 ) 2 ( 5x x+ =v −u (3.11) elde edilir. (3.11) çarpanlara ayrılırsa x u v− =5 , v+u=x+2 olmak üzere 1 3 + = x v (3.12) elde edilir. (3.10) ve (3.12) denklemlerinden

(

)

2 2 ₁₆ ₁ ₃ ₁ 8x + x+ = x+ (3.13) elde edilir.

(3.13) den x=0 veya x=10 olduğu açıktır. n pozitif tamsayısı için

olur. 10 = x 120 = n

Teorem 3.3. Herhangi k pozitif tamsayısı için

{

F2k , F2k+2, F2k+4, 4F2k+1F2k+2F2k+3

}

(3.14)

kümesi bir Diophantine dörtlüsüdür. (Hoggat-Bergum,1977) İspat:

(

)

(

)

(

2 1

)

. 1 4 , 1 2 1 4 , 1 , 1 2 1 4 , 1 , 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 + = + ⋅ + = + ⋅ = + ⋅ − = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F (3.15)

(31)

{ }

n _n₌₀ b

a

{

F_n, F_n₊₂_r, F_n₊₄_r, 4F_n₊_r F_n₊₂_r F_n₊₃_r

}

(3.16)

2 2

b a F

F veya −F_a2F_b2

eklendiğinde mükemmel karedir. ( Morgado Jose, 1983-1984 )

İspat: (F_n) Fibonacci dizisi olmak üzere

s n r n s r n s r n nF F F F F F ₊ ₊ +(−1) = ₊ ₊ (3.17)

özdeşliği elde edilir. (Dustan Everman, 1970) (3.17) özdeşliğinde s= için r 2 2 2 ( 1) r n r n r n n F F F F ₊ + − = ₊ (3.18) r

a= ve b=1 için teoremde birinci terim ile ikinci terimin çarpımına

2 ) 1 ( n _r F − eklendiğinde mükemmel karedir. (3.18) de n=n+2r için 2 3 2 2 4 2 ( 1) r n r r n r n r n F F F F ₊ ₊ + − + = ₊ (3.19) r

a= ve b=1 için teoremden ikinci terim ile üçüncü terimin çarpımına

2 2 ) 1 ( n r _r F + − eklendiğinde mükemmel karedir. (3.18) de r =2r için 2 2 2 2 4 ( 1) r n r n r n nF F F F ₊ + − = ₊ (3.20) r

a=2 ve b=1 için teoremden birinci terim ile üçüncü terimin çarpımına

2 2 ) 1 ( n _r F − eklendiğinde mükemmel karedir.

(32)

(3.17) özdeşliğinden

(

)

2 2 2 s r s r n n s n r n F F F F F F ₊ ₊ − ₊ ₊ = (3.21) ve

(

)

2 2 2 4F_nF_n₊_r F_n₊_s F_n₊_r₊_s +F_r F_s = F_n₊_r F_n₊_s +F_n F_n₊_r₊_s (3.22) elde edilmiştir. (3.22) de s=2r için

(

)

2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 4F_nF_n₊_r F_n₊ _r F_n₊ _r +F_r F _r = F_n₊_r F_n₊ _r +F_nF_n₊ _r (3.23) r

a= ve b=2r için teoremden birinci terim ile dördüncü terimin çarpımına

2 2 2 r r F F

eklendiğinde mükemmel karedir. (3.23) de n=n+r için

(

)

2 4 2 3 2 2 2 2 2 4 3 2 4F_n₊_r F_n₊ _r F_n₊ _r F_n₊ _r +F_r F _r = F_n₊ _r F_n₊ _r +F_n₊_r F_n₊ _r (3.24) r

a= ve b=2r için teoremden üçüncü terim ile dördüncü terimin çarpımına

2 2 2 r r F F

eklendiğinde mükemmel karedir. Sonuç olarak (3.22) de s= için r

(

)

2 2 2 4 2 2 4F_nF_n₊_rF_n₊ _r +F_r = F_n₊_r +F_nF_n₊ _r (3.25)

(

a=b=r

)

.

Teorem 3.5. R_h, R_k ∈

( )

R_n _n_≥₀ dizisinin uygun elemanları, n≥1 olmak üzere

{

Wn,Wn+2r,Wn+4r,4Wn+rWn+2rWn+3r

}

(3.26)

( ) ( )

2 2 t−1 k h t m R R eq

eklendiğinde mükemmel karedir. Burada R_h, R_k ∈

{ }

R_n ∞_n₌₀ genelleştirilmiş Fibonacci sayı dizisinin uygun elemanları ve m , W nin en küçük alt indisi olmak üzere W nin çarpan sayısının 2 veya 4 olma durumuna bağlı olarak t , 1 veya değerini alır. 2 ( A.F. Horadam, 1987 )

(33)

kullanılırsa s r n s n r n s r n nW W W eq R R W ₊ ₊ − ₊ ₊ = (3.27)

özdeşliği elde edilir. (3.27) de s= için r 2 2 2r n r n r n nW eq R W W ₊ − = ₊ (3.28) dir. (3.28) de n=n+2riçin 2 3 2 2 4 2 r n r r n r n r n W eq R W W ₊ ₊ − + = ₊ (3.29) dir. (3.28) de r =2r için 2 2 2 2 4 r n r n r n nW eq R W W ₊ − = ₊ (3.30) dir.

(3.27) özdeşliğinin karesi alınırsa

( )

2 2 2

(

)

2 4 n _r _s _n _n _r _s _n _r _n _s s r n s n r n nW W W eq R R W W W W W ₊ ₊ ₊ ₊ + = ₊ ₊ + ₊ ₊ (3.31) elde edilir. (3.31) de s=2r için

( )

(

)

2 2 3 2 2 2 2 3 2 4 n _r _r _n _n _r _n _r _n _r r n r n r n nW W W eq R R W W W W W ₊ ₊ ₊ + = ₊ + ₊ ₊ (3.32) dir. (3.32) de n=n+r için

(

)

(

)

2 3 2 4 2 2 2 2 4 3 2 4 n r _r _r _n _r _n _r _n _r _n _r r n r n r n r n W W W eq R R W W W W W ₊ ₊ ₊ ₊ + + = ₊ ₊ + ₊ ₊ (3.33) dir. (3.31) de s= için r

( )

(

₂

)

2 2 4 2 2 2 4 n _r _n _n _r _n _r r n r n nW W eq R W W W W ₊ ₊ + = ₊ + ₊ (3.34) dir.

(34)

(3.34) de n=n+r için

(

)

(

₂

)

2 2 3 4 2 3 2 2 4 n r _r _n _r _n _r _n _r r n r n r n W W eq R W W W W ₊ ₊ ₊ + + = ₊ ₊ + ₊ (3.35)

elde edilir. (3.28), (3.29), (3.30) özdeşlikleri (3.32), (3.33), (3.35) özdeşlikleriyle birleştirilerek istenen sonuç elde edilmiştir.

Pell ve Lucas dizileri ile ilgili örnekler:

Örnek 3.1. (2.36) dan e=−1 ve q=−1 için W_n(0,1;2,− )1 =P_n

{

Pn,Pn+2r, Pn+4r,4Pn+r Pn+2r Pn+3r

}

(3.36) mükemmel karedir. 1 , 1 = = r n için

{

P₁,P₃, P₅,4P₂P₃P₄

} {

= 1, 5, 29, 480

}

kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına 1± veya 4± eklendiğinde

2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 4 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 118 480 29 , 22 480 1 , 49 480 5 , 5 29 1 , 12 29 5 , 2 5 1 = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ P P P P P P P P

mükemmel kare elde edilmiştir.

Örnek 3.2. (2.35) den e=5 ve q=−1 için W_n(2,1;1,− )1 =L_n

{

L_n, L_n₊₂_r ,L_n₊₄_r,4L_n₊_r L_n₊₂_r L_n₊₃_r

}

(3.37) mükemmel karedir. 1 , 1 = = r n için

{

L₁,L₃, L₅, 4L₂L₃L₄

} {

= 1,4, 11,336

}

kümesinin herhangi iki elemanının çarpımına 5 veya 52 =25 eklendiğinde

2 2 2 2 2 2 61 25 336 11 , 19 25 336 1 , 37 25 336 4 , 4 5 11 1 , 7 5 11 4 , 3 5 4 1 = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅

(35)

oluşan sonsuz birçok kümeye genelleştirilebileceği açıktır.

1995 yılında Jose Morgado; Gheorge Udrea nın (Srıvastava, H. M. And Manocha, H. L, 1984) ve Udrea G. den elde ettiği sonuçları genelleştirmiş ve I. Tip Chebyshev polinomları için benzer sonuçlar elde edilmiştir.

Lemma 3.1.

( )

T_n _n_≥₀ I. tip Chebyshev polinomları için

(

( ) ( )

)

( ) ( ) 2 1 ) ( ) (xT x T x T x T x T x T_n _n₊_r₊_s + _r₋_s − _r₊_s = _n₊_r _n₊_s (3.38) ve

(

−

)

= + ₋ ₊ + + + + ( ) ( ) ( ) ₄1 ( ) ( ) 2 ) ( 4T_n xT_n _r x T_n _s x T_n _r _s x T_r _s x T_r _s x

(

₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎

)

2 x T x T x T x T_n _n₊_r₊_s + _n₊_r _n₊_s = (3.39)

özdeşlikleri vardır. (Morgado Jose, 1995 )

İspat: Notasyon kolaylığı açısından T_n(x) polinomu T şeklinde ifade edilmiştir.

(2.49) I. tip Chebyshev polinomu tanımından

(

θ θ

)

θ θ cos(2 ) cos( ) 2 1 ) cos( cosn n r s n r s r s T T_n _n₊_r₊_s = + + = + + + + ve

(

θ θ

)

θ θ cos(2 ) cos( ) 2 1 ) cos( ) cos(n r n s n r s r s T T_n₊_r _n₊_s = + + = + + + − buradan

(

cos( )θ cos( )θ

)

2 1 s r s r T T T T_n _n₊_r₊_s − _n₊_r _n₊_s = + − − ve

(

r s r s s n r n s r n nT T T T T T ₊ ₊ − ₊ ₊ = ₊ − ₋ 2 1

₎

(3.40)

(36)

(3.40) özdeşliğinin karesi alınırsa

(

) (

)

s r n s n r n n s r n n s n r n s r n n s n r n s r s r T T T T T T T T T T T T T T + + + + + + + + + + + + + − − + = − = − 2 4 1 2 2 2 2 2 2 buradan

(

r s r s

)

n r n s n n r s n n r n s n r s s r n s n r n nT T T T T T T T T TT T T T ₊ ₊ ₊ ₊ + ₋ − ₊ = ₊ ₊ + ₊ ₊ +2 ₊ ₊ ₊ ₊ 4 1 4 2 2 2 2 2

dir. Böylece (3.39) özdeşliğinin ispatı elde edilmiştir.

Teorem 3.6. k > h≥0 T_h ,T_k ∈

( )

T_n _n_≥₀ I. tip Chebyshev polinomlar dizisinin

uygun elemanları olmak üzere

{

Tn,Tn+2r ,Tn+4r,4Tn+r Tn+2rTn+3r

}

(3.41)

(

Th Tk

)

⎥⎦t ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ 2 1

eklendiğinde mükemmel kare olur. Burada (3.41) deki terimlerin çarpımının ikili veya dörtlü çarpan olma durumuna göre t değeri 1 veya 2 dir. ( Morgado Jose, 1995 ) İspat: (3.38) de s= için r

(

)

2 2 0 2 2 1 r n r r n nT T T T T ₊ + − = ₊ (3.42) elde edilir. (3.42) de r=2r için

(

)

2 2 4 0 4r ₂1 r n r n nT T T T T ₊ + − = ₊ (3.43) elde edilir. (3.43) de n=n+2r için

(

)

2 3 2 0 4 2 2 1 r n r r n r n T T T T T ₊ ₊ + − = ₊ (3.44) elde edilir.

(37)

(

)

(

2 2 3 2 3 3 2 2 1 4T_nT_n₊_rT_n₊ _rT_n₊ _r T_r T _r ⎟ = T_nT_n₊ _r +T_n₊_rT_n₊ _r ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ +

)

(3.45) elde edilir. (3.45) de n=n+r için

(

)

(

2 3 2 4 2 3 4 3 2 2 1 4T_n₊_rT_n₊ _rT_n₊ _rT_n₊ _r T_r T _r ⎟ = T_n₊_rT_n₊ _r +T_n₊ _rT_n₊ _r ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ +

)

(3.46) elde edilir. (3.39) da n=n+r ve s= için r

(

)

(

₂ 2 2 3 2 2 0 3 2 2 2 1 4T_n₊_rT_n₊ _rT_n₊ _r T T _r ⎟ = T_n₊_rT_n₊ _r +T_n₊ _r ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ +

)

(3.47)

teoremin ispatı tamamlanmış olur.

Teorem 3.7. Fibonacci sayı dizisinin uygun elemanları olmak üzere

{ }

∞ = ∈ ₀ 2h, Fh Fn n F 0 , , 4 , , , 3 6 2 2 4 2 2 2 4 8 2 2 4 2 2 _≥ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + + + + r n F F F F F F F F F F F F r n r n r n r n r n r n r n r n r n r n n n _(3.48)

t h h F F ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ± ± ₂ 2

eklendiğinde mükemmel kare elde edilir. Burada (3.48) deki terimlerin çarpımının ikili veya dörtlü çarpan olma durumuna göre t değeri 1 veya 2 dir.

(Morgado Jose, 1995 ) İspat:

(2.73) özdeşliğinin uygun değerleri, (3.42) de yerine yazılırsa

2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 1 2 1 4 ⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − + ⋅ ⋅ + + + + + + r n r n r n r r r r n r n n n r n F F i F F i F F F F i buradan

(38)

2 2 2 2 4 2 4 2 2 ₍ ₁₎ ₂₍ ₁₎ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − + ⋅ + + + + r n r n r r r n r n r n n n F F F F F F F F (3.49) elde edilir. (3.49) da r =2r için 2 2 4 2 4 8 4 8 2 2 ₍ ₁₎ ₂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⋅ + + + + r n r n r r n r n r n n n F F F F F F F F (3.50) elde edilir. (3.50) de n=n+2r için 2 3 6 2 2 4 4 8 2 2 4 2 ₍ ₁₎ ₂₍ ₁₎ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − + ⋅ + + + + + + r n r n r r r n r n r n r n r n F F F F F F F F (3.51) elde edilir.

(2.73) özdeşliğinin uygun değerleri, (3.46) da yerine yazılırsa

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + 2 3 6 2 3 6 2 2 4 2 2 2 2 ₍ ₁₎ 4 r r r r r r n r n r n r n r n r n n n F F F F F F F F F F F F 2 2 4 2 2 2 3 6 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ = + + + + + + r n r n r n r n r n r n n n F F F F F F F F (3.52) böylece = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + + + + + + + + + 2 3 6 2 4 8 2 3 6 2 2 4 2 2 2 ₍ ₁₎ 4 r r r r r r n r n r n r n r n r n r n r n F F F F F F F F F F F F 2 3 6 2 2 4 2 4 8 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + + + + + + + + r n r n r n r n r n r n r n r n F F F F F F F F (3.53) elde edilir.

Sonuç olarak (2.73) özdeşliğinin uygun değerleri, (3.47) de yerine yazılırsa

2 2 2 4 2 3 6 2 2 2 2 2 6 3 6 2 2 2 4 2 2 2 ₂ ₍ ₁₎ 4 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + + + + + + + r n r n r n r n r n r n r r r r n r n r n r n r n r n F F F F F F F F F F F F F F (3.54) sonucu elde edilir.

(39)

0 ≥ n

{

Ln, Ln+2r, Ln+4r, 4⋅Ln+r ⋅Ln+2r ⋅Ln+3r

}

(3.55)

(

)

t h L − ± ± 2

eklendiğinde mükemmel kare elde edilir. Burada çarpımda çarpanların alt indisi ile üst indisi arasında, ikili veya dörtlü çarpan olma durumuna göre t değeri 1 veya 2 dir.

h

( Morgado Jose, 1995 )