Nilgün SÖNMEZ Afyon Kocatepe Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, AFYON

FEN BİLİMLERİ DERGİSİ JOURNAL OF SCIENCE

POİNCARÉ KONİKLERİNİN DENKLEMLERİ VE SINIFLANDIRILMASI

Nilgün SÖNMEZ

Afyon Kocatepe Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, AFYON

ÖZET

Poincaré üst yarı düzlem geometrisi Henri Poincaré tarafından ortaya atılmıştır. Poincaré üst yarı düzlem geometrisi, Öklid düzlem geometrisinin on üç aksiyomu içinden paralellik postulatını sağlamadığından dolayı, Öklidyen olmayan bir geometridir [2,4,9]. Bu geometride, doğrular ve uzaklık fonksiyonu farklı olduğundan Öklid düzlemindeki uzaklık kavramıyla ilgili konuların Poincaré benzerlerini çalışmak oldukça ilginçtir.

Üstelik iki nokta arasındaki dH Poincaré uzaklığı, Öklidyen uzaklıktan daha kısa olan bir uzaklıktır. Bu konularla ilgili benzer çalışmaların, Taksi geometrisi için de yapıldığı [1,2,3,5,6,7] ve Poincaré üst yarı düzlemiyle ilgili bazı problemlerin de çalışıldığı bilinmektedir [8,10]. Bu çalışmada Poincaré yarı düzlem geometrisi üzerine yaptığım doktora tezinin [8] bir kısmı olan iki odaklı Poincaré konikleri ve odak doğrultman Poincaré konikleri konusu incelenmektedir.

Anahtar Kelime: Poincaré uzaklığı, Poincaré üst yarı düzlemi, Poincaré doğruları

GENERAL EQUATION FOR POINCARE CONICS AND THEIR CLASSIFICATION

ABSTRACT

The Poincaré upper half plane geometry has been introduced by Henri Poincaré. Poincaré upper half plane geometry is a non-Euclidean, since it fails to satisfy the parallel postulate within the thirteen axioms of the Euclidean plane geometry [2,4,9]. In Poincaré upper half plane geometry,

interesting to study the Poincaré analogues of the topics that include the concept of distance in the Euclidean geometry. Besides, the Poincaré distance dH between two points is the lenght of the shortest than Euclidean distance. As it is known there are alternative approachs to obtain conics in the Taxicab geometry [1,2,3,5,6,7] and a few problems related with the Poincaré upper half plane geometry have been studied and developed [8,10].

In this work, we examine Poincaré conics with two-foci and focus directed Poincaré conics , which are included in my Phd-thesis [8].

Key Words: Poincaré distance, Poincar'e upper half plane, Poincar'e lines.

1. GİRİŞ

Poincaré üst yarı düzlemindeki noktalar,



²Öklid analitik düzleminin üst yarısındaki noktalarla aynı olmasına karşın, doğrular ve iki nokta arasındaki uzaklık fonksiyonu farklıdır. Poincaré üst yarı düzlemindeki doğrular,

aL={

 x , y   

²

x  a

, y0, a



, a sabit } yarı-doğrular I. Tip Doğrular

ve

c L_r={

 ^{x , y}  ^{ }

²

 ^{x  c} 

²

^{ y}

²

^{ r}

², y0, c,r



, c,r

^sabit 

yarı-çemberler

II. Tip Doğrular

şeklinde tanımlanmaktadır. A=(x₁, y₁) ve B=(x₂, y₂ ) herhangi iki nokta ise, bu takdirde verilen noktalar arasındaki Poincaré uzaklığı,

d_H

 

 

 



































 







r c x y

r c x y

y y B

A

2 1

1 2

1 2

ln ln ,

2 1

2 1

x x

x x





ise

ise

 



2 1



2 1 2 2 2 1 2

2 2 x x

x x y c y







 

   

2²

2 2 2

1 2

1

c y x c y

x

r      

2. POİNCARÉ KONİKLERİNİN DENKLEMLERİ

Bu bölümde, iki-odaklı ve odak-doğrultman Poincaré koniklerinin denklemleri incelenmiştir.

Yardımcı Teorem 1: Poincar'e üst yarı düzleminde, herhangi bir P=(x₁,y₁) noktasından geçen ve L=_aL veya L=_cL_r ye dik olan bir doğru çizelim. P noktasının doğruları kestiği noktaya X=(x₀,y₀) diyelim. Bu takdirde P=(x₁,y₁) noktasının _aL veya _cL_r doğrularına olan d_H uzaklıkları,

   

 







 













 

 







, ln

, ln

,

0 1

1 0

0 1

t k x y

t k x y

y y L

P d

_H

r c

L L

diger ve x 

₁

c

hallerde ise

formülleri ile bellidir.



_{1 0}



2 0 2 1 2 0 2 1

2 x x x x y k y







  ,

   

0²

2 0 2

1 2

1

k y x k y

x

t      

İspat: i) L= _cL_r ve x₁=c ise;

P=(x₁,y₁) =(c, y₁) noktasından geçen ve _cL_r doğrusuna dik olan doğru I tipindeki _aL doğrusudur. _aL doğrusu ile _cL_r doğrusunun kesiştiği nokta X=(x₀,y₀) =(c,r) olur (Bkz.Şekil 1). O halde,

 

0

ln 1

, y

X y P

d_H  dir.

Şekil 1

ii) L= _cL_r ve x₁≠c veya L= _aL ise;

P=(x1,y1) noktasını ve _cL_r doğrusunu alalım. P=(x1,y1) noktasından geçen

ve _cL_r doğrusuna dik olan doğru II tipindeki _kL_t doğrusudur (Bkz. Şekil 2). _cL_r doğrusu ile _kL_t doğrusunun kesim noktası X=(x₀,y₀)

idi. O halde,

   



^{x k t}



y

t k x X y

P d_H







 

0 1

1

ln 0

, dir.

( ²



_{1 0}



^,

2 0 2 1 2 0 2 1

x x

x x y k y







 

 ^x

₁

^k 

²

^y

₁²

 ^x

₀

^k 

²

^y

₀²

t      

)

P = (x1,y1)=(c, y1)

C(c,0) x

y

X = (x0,y0)=(c, r)



 C L

r

CL r

Şekil 2

P=(x1,y1) noktası ve L=_aL doğrusunu alalım. P=(x1,y1) noktasından geçen ve _aL doğrusuna dik olan doğru II. tip bir doğru olacağından üstteki formülü kullanabiliriz.(Bkz. Şekil 3)

Şekil 3

Teorem 1: (x₁,y₁), (x₂,y₂) odaklı Poincaré koniklerinin denklemi, u∈{-1,1} ve v≥0 olmak üzere,

2

1

x

x 

iken

v

y u y y

y

¹

 ln

²

 ln

veya

2

1

x

x 

iken

 

 

 



^{x d s}



^v

y

s d x u y

r c x y

r c x

y 







 









2 2 1

1 ln

ln şeklindedir.

a L

K(k,0)=(a,0)^

kLt

X = (x0,y0)=(a, t)

t

x y

P = (x1,y1)



t



CL r

kLt X = (x0,y0)



C(c,0)^



K(k,0)

t r

y

x P = (x1,y1)



 

^,

2 ₁

2 2 1 2 2

1

x x

x x y c y







 

^{r }  ^x

₁

^{ c} 

²

^{ y}

₁²

 

^,

2 ₂

2 2 2 2 2

2

x x

x x y d y







 

^{s }  ^x

₂

^{ d} 

²

^{ y}

₂²

İspat: x₁=x₂ iken, (x₁,y₁) ve (x₂,y₂) noktaları yarı-doğrular üzerinde olduklarından, Poincaré koniğinin denklemi,

y v u y y

y

¹

 ln

²



ln

1

ve

x1≠x2 iken, (x₁,y₁) ve (x₂,y₂) noktaları yarı-çemberler üzerinde olduğundan, Poincaré koniğinin denklemi,

 

 

 



^{x d s}



^v

y

s d x u y

r c x y

r c x

y 







 









2 2 1

1 ln

ln 2

biçimindedir.

Teorem 2: F= (x₁,y₁) odaklı ve _aL veya _cL_r doğrultmanlı Poincaré koniklerinin denklemleri aşağıdaki şekildedir:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

















 















 





 













 





 





 













0 ln

ln ,

0 ln

ln

0 ln

ln ,

0 ln

ln

0 0 1

1 1 1

0 0 1

1 1

0 1

1 1 1

0 1

t k x y

t k x e y

s d x y

s d x y

ise L L veya L

L ve odak y

x

t k x y

t k x e y

y y

ise L L ve odak y

x

y e y s d x y

s d x y

ise L L ve odak y

x

y e y y y

a r

c

r c

r c

 

 

 

 ⁰ 

0 0 0









e e e e

3

 ^x

₁

^{, y}

₁

 ^{odak ve L }

_c

^L

_r

^{veya L }

_a

^{L ise}

 

^,

2 ₁

2 2 1 2 2

1

x x

x x y d y







 

^{s }  ^x

₁

^{ d} 

²

^{ y}

₁²

 

^,

2 ₀

2 2 0 2 2

0

x x

x x y k y







 

^{r }  ^x

₀

^{ k} 

²

^{ y}

₀²

(Burada, e koniğin dış merkezliğini gösterir).

İspat: Yardımcı Teorem 1, Poincaré uzaklığı ve dış merkezliği kullanılarak ispatlanabilir.



x x c L L ise



y e y y y

r

c







 ln 0 ,

ln ₁

0 1

 

  _y  ^{x c x L L ise} 

e y s d x y

s d x y

r



c





 









, ln 0

ln

0 1 1

1

 

  



veya L

L se i L L x x

c x t x

k x y

t k x e y

y y

r c a











 





 

,

, 0

ln ln

1 1 0

0 1

 

 

 

  



r c a

L L se i L L x x veya

c x x c x t x

k x y

t k x e y s d x y

s d x

y 













 





 









, , 0

ln ln

1 1 1

0 0 1

1

I. Durum: P=(x,y) herhangi bir nokta, L= _cL_r olsun.

A) x₁=c i) x= x₁=c

0

1 ln

ln y

e y y y 

1 0 1



^e

y y

^e

y

Bu denklem, (c,y) noktasını gösterir.

ii) x≠ x₁=c

 

 

 

 

⁰

ln ln

0 0 1

1 







 









t k x y

t k x e y

s d x y

s d x y



²



₁



^,

2 2 1 2 2

1

x x

x x y d y







 

  



 



 x

₁

d

²

y

₁²

s

 

 

 

 

 



 



 

0 1 4

1 2

2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 1 2 2 1

2 1 0

0 1

1  



































 



















 

x x y y y x x y y x x

x x t

k x y

t k x y y

e

e e

B) x ≠c

 



^{x k t}



y

t k x e y

y y







 

0 0

1 ln

ln

 

 

 ₀  ^{1 0}

0 1

1  

















 

e e e

t k x y

t k x y y

Bu denklem (x1,y) noktasını gösterir.

ii x₁≠x=c

 



1



0

1 ln

ln y

e y s d x y

s d x

y 











2



₁



^,

2 2 1 2 2

1

x x

x x y d y







 

  



 



 x

₁

d

²

y

₁²

s

 

 



 



 

0 1 4

1 2

2 1 2 1 22 1 2 2

1 2 1 2 2 1

2 1 1

0

1  



































 



x x y y y x x y y x x

x x y

y y

e e

Bu denklem (c,y) noktasını gösterir.

iii x≠c≠ x₁

Bu durum A nın ii) durumuyla aynıdır.

II. Durum: P=(x,y) herhangi bir nokta, L=_aL olsun.

i) x= x₁

Bu durum B nın i) durumuyla aynıdır.

ii) x≠ x₁

Bu durum A nın ii) durumuyla aynıdır.

3. POİNCARÉ KONİKLERİNİN SINIFLANDIRILMASI

İki-odaklı Poincaré konikleri Teorem 1' de verilmiştir. Bu denklemlerde, u=1 ise bu koniklere iki-odaklı Poincaré elipsleri ve u=-1 ise iki-odaklı Poincaré hiperbolleri denir. Benzer olarak, odak-doğrultman Poincaré konikleri Teorem 2 de verilmiştir. Bu konikler, 0<e<1, e=1, e>1 ise sırasıyla odak-doğrultman Poincaré elipsleri, odak-doğrultman Poincaré parabolleri, odak-doğrultman Poincaré hiperbolleri olarak adlandırılırlar. Bu kısımda bütün Poincaré konikleri sınıflandırılmaktadır.

İlk önce bu kısımda kullanılacak kavramlar ve kısaltmaları verelim.

Poincaré üst yarı düzleminde x₁≤ x₂ olacak şekilde F₁=(x₁,y₁) , F₂= (x₂,y₂) sabit iki nokta (iki-odak) ve m, F₁F₂ doğrusunun eğimini göstersin. F₁F₂ doğrusu y-eksenine paralel ise m=∞ dır. H-çemberi aynı zamanda Öklid çemberini [2], H-elipsi ve H-hiperbolü, iki-odaklı Poincaré elipsi ve iki-odaklı Poincaré hiperbolünü göstermektedir. Konkav ve konveks eğriler aşağıdaki şekildedir:

konveks eğri konkav eğri

Teorem 3: (1) ve (2) denklemleriyle verilen iki-odaklı Poincaré konikleri, u, v katsayıları, F₁=(x₁,y₁) ve F₂ = (x₂,y₂) noktalarıyla belli olup, Tablo 1a, Tablo 1b,Tablo 2 de verilmiştir.

Teorem 4: (3) denklemiyle verilen odak-doğrultman Poincaré konikleri, e dış merkezliği, L=_aL veya L=_cL_r doğrultmanı ve F= F₁=(x₁,y₁) odağı ile belli olup, Tablo 3a and Tablo 3b verilmiştir.

Bu kısımda, d_H(F₁,F₂)=δ ile gösterilmiştir.

Tablo 1a. İki-odaklı Poincaré elipsleri (u=1)

 

 

 



₂



^{1 2}

2 1

1 ln 0,

ln v v x x

s d x y

s d x y r

c x y

r c x

y   







 









durumu in

m F

F

₁

,

₂

, v Geometrik Yer

2

1

F

F 

v0

 ^x

₁

^{, y}

₁

 ^noktası

2

1

F

F 

v0

II. tip dogru

2

1

F

F  v  0 H  çemberi

0



m v

  F

₁

F

₂

 H  dogru parçası

1



m v

 Boş küme



 0  , 1 ,

m

v



Odaklararası uzaklık hariç

H-doğru parçası

1

, 0 



m

ve

m  0  , 1 ,    v

^H-elipsi

Tablo 1b. İki-odaklı Poincaré elipsleri (u=1)

2 1 2

1 ln 0,

ln v v x x

y y y

y    

durumu in

m F

F

₁

,

₂

, v Geometrik Yer

2

1

F

F 

v0

2 1y y y 

2

1

F

F  v  0

₂

1

e

v

y y 





m

v

  ^x

₁

^{, y}

₁

 ^veya  ^x

₂

^{, y}

₂

 ^noktası





m  

v

2 1

y y e y 

^v Diğer bütün durumlar için

v  

^{Boş küme}

Tablo 2. İki-odaklı Poincaré hiperbolleri (u=-1)

 

 

 



₂



^{1 2}

2 1

1 ln 0,

ln v v x x

s d x y

s d x y r

c x y

r c x

y   







 







 

durumu in

m F

F

₁

,

₂

, v Geometrik Yer

0

m v0 Boş küme



 0  , 1 ,

m

m1 v0

II. tip dogru

0



m v

  F

₁

F

₂

 H  dogru parçası

1



m v

 Boş küme



 0  , 1 ,

m

v



Odaklararası uzaklık hariç

H-doğru parçası 0



m ve

m  0  , 1 ,   v  

H-hiperbolü

1



m

 v  

^Eğri

Diğer bütün durumlar için

v  

^{Boş küme}

İki-odaklı Poincaré hiperbollerinin ikinci durumu Tablo 1b ile aynıdır.

Tablo 3a. Odak-doğrultman Poincaré konikleri (w=e)

  ed PL

y ve y L P ed y

s d x

y s d x

H

H , ln ,

ln

1 1

1



 







e Doğrultman x₁ in durumu Geometrik Yer

1 0  e

L L

a r

c

x 

₁

c

ve

c x 

₁

Konveks eğri ve

 ^{c, y} 

veya

 ^{x ,}

₁

^y 

^noktası

e=1

L L

a r

c

x 

₁

c

ve

c x 

₁

H-parabolü ve

 ^{c, y} 

veya

 ^{x ,}

₁

^y 

^noktası

1



e

cL_r

x 

₁

c

ve

c x 

₁

Konkav eğri,

 ^{3 . 4} 

deki eğri ile y=0 doğrusunun sınırladığı

konveks bölge-

 ^{y  0} 

^{ve nokta}

1



e

aL

x 

₁

x

ve

x x 

₁

İki tane eğri ve

 ^{x ,}

₁

^y 

noktası

F odağı, L doğrultmanı üzerinde olmayan Poincaré konikleri Table 3a da verilmiştir. (3) denklemiyle verilen odak-doğrultman Poincar'e koniklerinde eğer F odağı, L doğrultmanı üzerinde ise bu tip koniklere dejenere odak- doğrultman Poincaré konikleri denir. Bu konikler Tablo 3b de gösterilmiştir.

Tablo 3b. Dejenere odak-doğrultman Poincaré konikleri (w=e)

  ^ed  ^{P L} 

y ve y L P ed y

s d x

y s d x

H

H

, ln ,

ln

1 1

1



 







e Doğrultman Geometrik Yer

1 0  e

L L

a r

c

 ^x

₁

^{, y}

₁



⁼

 ^{c , y}

₁



^noktası

1

0  e

_cL_r F noktasından geçen bir çift eğri ve

 ^x

₁

^{, y}

₁



^noktası

e=1 cL_r

 ^x

₁

^{, y}

₁



⁼

 ^{c , y}

₁



^noktası

e=1

L L

a r

c II. tip doğru ve

 ^x

₁

^{, y}

₁



^noktası

1



e

_cL_r

 ^{c , y}

₁



^ve

 ^x

₁

^{, y}

₁



^noktası

1



e

_aL F noktasından geçen eğri

İspat: Teorem 1, Teorem 2, Teorem 3 ve Teorem 4 ü kullanarak ispatlanabilir.

4. UYGULAMALAR: POİNCAR'E KONİKLERİNİN GRAFİKLERİ Poincaré konikleri, Teorem 1 ve Teorem 2 de verilen denklemlerle gösterilirse, kolayca çizilebilir. Poincaré koniklerinin grafikleri Şekil 4a ve Şekil 4b de verilmektedir.

Şekil 4a: İki-Odaklı Poincaré konikleri

m=0 ve v m≠0,±1, ve v m= ve v

m=0 ve -v m≠0,±1, ve -v

Şekil 4b: Odak-doğrultman Poincaré konikleri

KAYNAKÇA

1. Kaya, R., Akça, Z., Günaltılı, İ. ve Özcan M., General equation for Taxicab conics and their classification, Mitt. Math. Ges Hamburg 19, 135-148, (2000)

2. Krause, E.F., Taxicab geometry, Addison-Wesley, Menlo Park, California, 88 sf (1875)

3. Laatsch, R., Piramidal sections in Taxicab geometry, Math. Magazine Vol. 55, No 4, 205-212, (1982)

4. Millman R. S., Parker G. D., Geometry; A Metric Approach with Models, Springer-Verlag New York, Inc. (1991)

5. Moser, J.,M. and Kramer F., Lines and parabolas in Taxicab geometry, Pi-Mu Epsilon Journal, Vol 7, No 7, (1982)

6. Phoebe Ho, Y. and Liu, Y., Parabolas in Taxicab Geometry, Missouri Journal of Mathematical Sciences, Vol 8, No 2, 63-72, (1996)

7. Reynolds, B.E., Taxicab geometry, Pi Mu Epsilon Journal, 77-80, (1980)

e1, x1=c, L=cLr e=1, x1=c, L=cLr e=1, x1≠c, L=cLr

e=1, L=aL e1, x1=c, L=cLr

8. Sönmez, N., Poincare Yarı Düzlem Geometrisi Üzerine, Doktora Tezi, Matematik Bölümü, Osmangazi Üniversitesi, 96, (2006)

9. Stahl, S., The Poincaré half plane a gateway to modern geometry, Jones and Barlett Publishers, Boston, 298 sf (1993)

10. http://www1.kcn.ne.jp/iittoo/us41_anal.htm