Cahit Arf Matematik Günleri VIII - 2009 Birinci Gün S›nav›n›n Yan›tlar› 21 Mart 2009

1

Matematik Dünyas›, 2005 K›fl

Cahit Arf Matematik Günleri VIII - 2009

Birinci Gün S›nav›n›n Yan›tlar›

21 Mart 2009

1. n tane zar at›yorsunuz. Toplam tek say›

olursa 1 lira kazan›yorsunuz, çift say› olursa 1 lira kaybediyorsunuz. Hangi n say›lar› için bu oyun le- hinizedir? Hangi n say›lar› için bu oyun aleyhinize- dir? Neden?

Yan›t: n ne olursa olsun, bu oyun ne lehimize- dir ne de aleyhimize, adil bir oyundur, yani beklen- tisi 0’d›r. Bir baflka deyiflle toplam %50 olas›l›kla tek say› olur, %50 olas›l›kla çift.

Zarlar›n üstündeki çift say›lar› 0, tek say›lar› 1 yaparsak (yani say›lar› modülo 2 al›rsak), topla- m›n tek ya da çift olma olas›l›¤› de¤iflmez. Böylece oyun n tane madeni parayla oynanan yaz›-tura oyununa dönüflür: Yaz› gelirse 0 puan, tura gelirse 1 puan alal›m.

E¤er n = 1 ise, oyunun adil oldu¤u belli.

n tane parayla oynanan oyunun adil oldu¤unu varsay›p n + 1 tane parayla oynanan oyunun adil oldu¤unu kan›tlayal›m. Paralardan birini (örne¤in k›rm›z›ya boyayarak) ayr›cal›kl› k›lal›m. Varsa- y›mdan dolay› geri kalan n paran›n toplam› %50 olas›l›kla çift, %50 olas›l›kla tek olacakt›r. Ayr›ca- l›kl› zar da %50 olas›l›kla 0, %50 olas›l›kla 1 ge- lecektir. Dolay›s›yla n + 1 parayla oynanan oyun- da da %50 olas›l›kla toplam çift olacakt›r.

2. |x − 4| + x²+ y²+ |x + 4| = 8 + 2xy denkle- minin tüm (x, y) gerçel çözümlerini bulun.

Yan›t: (0, 0), elbette bir çözümdür. E¤er (x, y) bir baflka çözümse, x²+ y²− 2xy = (x − y)²> 0 ol- du¤undan,

|x − 4| + |x + 4| = 8 − x²− y²+2xy

= 8 − (x − y)²≥ 8 olur. Öte yandan, üçgen eflitsizli¤inden,

|x − 4| + |x + 4| = |x − 4| + |−x − 4|

≤ |(x − 4) + (−x − 4)| = 8 elde ederiz. Demek ki,

8 − (x − y)²= 8 ve x = y. Bunu denkleme yerlefltirirsek,

|x − 4| + |x + 4| = 8 denklemini çözmemiz gerekti¤ini anlar›z.

E¤er x ≥ 4 ise,

8 = |x − 4| + |x + 4| = (x − 4) + (x + 4) = 2x ve x = 4 ç›kar.

E¤er −4 ≤ x ≤ 4 ise,

|x − 4| + |x + 4| = (−x + 4) + (x + 4) = 8 ve denklem her zaman sa¤lan›r.

E¤er x ≤ −4 ise,

8 = |x − 4| + |x + 4| = (−x + 4) + (−x − 4) = −2x ve x = −4 bulunur.

Demek ki çözüm kümesi {(x, x) : -4 ≤ x ≤ 4}

dir.

3. Bir üçgende köflelere olan uzakl›klar›n top- lam›n›n en büyük oldu¤u noktay› bulunuz, yani afla¤›daki flekilde d_A + d_B+ d_Csay›s›n› en büyük yapan P noktas›n› bulunuz.

Yan›t: En küçük aç›l› köfle. Fikirleri sabitlemek için α ≤ β ≤ γ varsay›m›n› yapal›m. Bu durumda P

= A al›nmas› gerekir. Bu sav›m›z› kan›tlayal›m:

Birinci ‹ndirgeme: P noktas›n›n A, B ve C nok- talar›ndan biri olmas› gerekti¤ini kan›tlamak ye- terli, çünkü o zaman sinüs teoreminden dolay› c ≤ b ≤ a olur.

‹kinci ‹ndirgeme: P noktas›n›n kenarlardan bi- rinin üstünde oldu¤unu kan›tlamak yeterli. Nite-

A B

C

P d_A

d_B

d_C β

γ α

c a

b

A B

C

P a

b d_C

d_B

d_A

kim, örne¤in e¤er P, AB’nin üstündeyse, CPA ve CPB aç›lar›ndan biri 90 dereceden büyükeflit ola- cak. Diyelim CPA aç›s› 90 dereceden büyükeflit. O zaman b = |AC | ≥ |PC | = d_Colur. Dolay›s›yla,

d_A+ d_B+ d_C= |AB| + d_C≤ |AB| + |AC |

= |AA| + |AB| + |AC | olur ve A noktas› P noktas›na tercih edilmelidir.

fiimdi bir Önsav kan›tlayal›m:

Önsav. Afla¤›daki flekilde, e¤er QPR aç›s› 90 dereceden büyükse, o zaman

|PQ| + |PR| < |QR| + |PS | olur.

Kan›t: T noktas› QR üstünde, QPT aç›s› 90 derece olacak biçimde seçilsin.

|PQ|²+ |PT |²= |QT |² ve

|QT |·|PS | = |PQ|·|PT | eflitliklerinden,

(|PQ| + |PT |)²= |QT |²+ 2|PQ|·|PT |

= |QT |²+ |QT |·|PS |

= |QT |(|QT | + |PS |)

≤ (|QT | + |PS |)² elde edilir. Demek ki,

|PQ| + |PT | < |QT | + |PS |.

Buradan,

|PQ| + |PR| + |PT| < |QT | + |PS | + |PR|

≤ |QT | + |PS | + |TR| + |PT|

= |QR| + |PS | + |PT|

elde edilir ve sadelefltirerek sonuca ulafl›r›z. ■■ fiimdi art›k son darbeyi indirebilriz. P noktas›

üçgenin içinde olsun ama kenarlarda olmas›n.

APB, BPC, CPA aç›lar›ndan biri en az 120 derece, yani 90 dereceden büyük olmal›d›r. Diyelim APB

aç›s› 90 dereceden büyük. O zaman Önsav’› APB üçgenine uygulayarak,

|AP| + |BP| + |CP| < |AB| + |PS| + |CP|

= |AB| + |CS|

= |AS| + |BS| + |CS|

buluruz ve S noktas› P’den “daha iyi” bir noktad›r.

5a. Düzlemde, d›flbükey bir dörtgen oluflturan 4 nokta alal›m. Bu noktalar aras›ndaki en küçük mesafe d, en büyük mesafe D olsun. D /d ≥ √2 eflit- sizli¤ini kan›tlay›n ve eflitli¤i sa¤layan bir dörtgen bulun. 5b. Ayn› soruyu bu sefer d›flbükey bir alt›-

gen oluflturan 6 nokta için yan›tlay›n ama bu sefer D /d ≥ √3 eflitsizli¤ini kan›tlay›n.

Kan›t: Alt›genin aç›lar›n›n toplam› 4 × 180 oldu¤undan, en az bir köflenin aç›s› 120 dereceden büyükeflittir. Diyelim A köflesinin aç›s› en az 120 derece. A’ya komflu köfleler B ve C ve ABC üçgeninde bu köflelerin aç›lar› s›ras›yla β ve γ olsun. Diyelim β ≤ γ. O zaman

|AC| ≤ |AB|, cos γ ≤ cos β ve β ≤ 30°

olur. Dolay›s›yla,

D ≥ |BC| = |AB|cos β + |AC|cos γ

≥ 2|AB|cos 30° = |AB|√3 ≥ d√3 olur.

Dörtgen için bu oran √2 olur ve bu durumda kare bu en küçük oran› gerçeklefltirir. Genel olarak, n-gen için D/d ≥ 2cos(π/n) bulunur. Ancak 2cos(π/n) oran›n› sa¤layan bir n-gen’in varl›¤›n›

bilmiyoruz.

için do¤rudur?

Birinci Eflitsizli¤in ‹lk Kan›t›: Aritmetik-ge- ometrik ortalama eflitsizli¤inden,

ç›kar. Her iki taraf›n da n’inci gücünü alarak iste- di¤imizi kan›tlar›z.

2

Matematik Dünyas›, 2005 K›fl

6. n n

n n

n

n

!

!

≤ +

 



≤  +

 

 1 2 1

2 1 2

eflitsizli¤ini kan›tlay›n.

eflitsizli¤i hangi n do¤al say›lar›

n n

n

n n n

n n

!_1/ 1 2 ... ( 1 2) / 1

≤ + + + 2

= +

= +

A B

C

P d_A

d_B

d_C

S

A

C

B β γ

R P

Q S T

Birinci Eflitsizli¤in ‹kinci Kan›t›: Tümevar›mla.

n = 1 kolay. Eflitli¤in n için do¤ru oldu¤unu varsa- y›p, eflitsizli¤i n + 1 için kan›tlayal›m.

eflitsizli¤inden,

eflitsizli¤ini kan›tlamam›z›n yeterli olaca¤› anlafl›l›r.

Bu ifadeyi sadelefltirirsek, kan›tlamam›z gereken ifade

2(n + 1)ⁿ⁺¹≤ (n + 2)ⁿ⁺¹ fleklini al›r. Bunun kan›t› da afla¤›da:

Birinci Eflitsizli¤in Üçüncü Kan›t›: Önce her i

için

eflitsizli¤ini iddia ediyoruz. Nitekim

i²− ni + n²/4 = (i − n/2)²≥ 0 dir. fiimdi, bunu kulanarak,

yani

yani

elde ederiz. Son olarak n yerine n + 1 al›rsak iste- di¤imiz eflitsizli¤e kavufluruz.

Üçüncü Eflitsizlik: Eflitsizlik n ≥ 5 için geçerli- dir. n = 5 için hesap yapmak yeterli. Gerisi tüme- var›mla (birinci eflitsizli¤in ikinci kan›t›nda oldu¤u gibi) kolayl›kla ç›kar.

çük olmas›n› sa¤layan x’i bulun.

Yan›t: ‹fadeyi, afla¤›daki flekilde, O noktas›n- dan, P noktas›ndan geçerek A’ya giden en k›sa yo- lun, yani OP + PA yolunun uzunlu¤u olarak göre- biliriz.

Bu yolu en k›sa yapacak P’yi seçmeliyiz. Tabii ki P, OA üstünde olmal›:

OA do¤rusunun e¤imi

oldu¤undan, ifadeyi en küçük yapan x,

olur.

3

Matematik Dünyas›, 2005 K›fl

8. a²+x²+ b²+(x c− ) ifadesinin en kü-²

( )! !( ) ( ) ( )

n n n n

n n

n n

+ = + ≤  + n

 

 + = + ⁺

1 1 1

2 1 1

2

1

(n )ⁿ n

n

+ n

≤ +

 



+ +

1 2

2 2

1 1

i n i n n

( − ≤) =

 



2 2

4 2

(( )!) ( )

( )

n i n i n n

i n

i

n n

− = − ≤ 

 

 =

 



=

−

=

− −

∏ ∏

1 2 2

2

1

1 2

1

1 2 1

(( )!) ,

( )

n n ⁿ

− ≤

 



−

1 2

2 2 1

( )!

( )

n n ⁿ

− ≤

 



−

1 2

1

c a+b

ca a+b

n

n n

n n n

n

n n

+ +



 

 = + +



 

 = + +

 

 + +

≥ + +

 

 + =

+ +

2

1 1 1

1 1 1

1 1

1

1 1

1 1

1 2

1 1

...

.

c

x

O a a+b

P A

c x

O a a+b

P

A