ÇALIŞMA SORULARI-4 İKİ ve ÜÇ BOYUTTA HAREKET (Verilen sorulardan 5 tanesi yapılacak) Sorular
1. Şekil 1'de bir parçacığın başlangıç ve bitiş konumları verilmiştir. Şekle göre
a) Başlangıç konumunu temsil eden 𝑟⃑𝑖
Parçacığın ilk konumunu bulurken x=4m den hareket edelim. Parçacık x eksenine pozitif 7m y eksenine göre pozitif 1m ve z eksenine göre ise - 2m de bulunmaktadır. O zaman
𝑟⃑𝑖 = 7𝑖̂ + 𝑗̂ − 2𝑘̂
b) Bitiş konumunu temsil eden 𝑟⃑𝑓
Parçacığın son konumunu bulurken z=4m den hareket edelim. Parçacık x
eksenine pozitif 5m y eksenine göre negatif 3m ve z eksenine göre ise negatif 1m de bulunmaktadır. O zaman
𝑟⃑𝑓 = 5𝑖̂ − 3𝑗̂ + 𝑘̂
c) Yer değiştirme vektörü ∆𝑟⃑
∆𝑟⃑ = 𝑟⃑𝑓− 𝑟⃑𝑖= (5𝑖̂ − 3𝑗̂ + 𝑘̂) − (7𝑖̂ + 𝑗̂ − 2𝑘̂) = −2𝑖̂ − 4𝑗̂ + 3𝑘̂
olarak elde edilir.
birim vektörler cinsinde yazınız? (S 82, 2. Soru) 2. Zeminin hem üstünden bir roketi
a) 𝑣⃑0= 20𝑖̂ + 70𝑗̂
b) 𝑣⃑0= −20𝑖̂ + 70𝑗̂
c) 𝑣⃑0= 20𝑖̂ − 70𝑗̂
d) 𝑣⃑0= −20𝑖̂ − 70𝑗̂
ilk hızlarla fırlatıyorsunuz. Seçmiş olduğunuz koordinat sisteminde x ekseni zemin boyunca y ekseni yukarı doğru doğru alınmıştır. Buna göre (S 82,soru 4)
(1) Vektörleri merminin süratine göre büyükten küçüğe doğru sıralayın
Hepsinin süratleri eşittir. Sürat anlık hızın büyüklüğüdür. Tüm vektörlerin x yönündeki hızlarının büyüklüğü 20 m/s ve y yönündeki hızlarının büyüklüğü 70 m/s dir. Burada sadece atılış yönleri farklıdır.
(2) Merminin uçuş zamanına göre vektörleri büyükten küçüğe doğru sıralayın
Burada a ve b’nin uçuş süreleri aynı c ve d’nin uçuş süreleri aynıdır. ama, a ve b şıkkında verilen uçuş süreleri c ve d şıkkında verilen uçuş sürelerinden büyüktür. Uçuş süreleri hızın dik bileşeni (y ekseni bileşeni) tarafından belirlenir. Buna göre a ve b şıkkında verilen hızların roketlerin hızları yukarı yönde ve eşit büyüklüktedir ve roketler aynı uçuş süresine aittir. Her ne kadar c ve d şıkkında verilen roketlerin dik
Şekil 1. Soru 1
hızlarının büyüklükleri a ve b şıkkında verilen roketlerin dik yöndeki hızlarının büyüklükleri ile aynı olsa da yönleri aşağı doğru olduğu için zemine daha erken çarpacaklardır.
3. Şekil 2'de zeminden vurulan bir topun yörüngesi görülmektedir. Hava direncini ihmal edersek, topun yörüngesini göre büyükten küçüğe sıralayın (S 83 soru 9)
a) Hızın düşey doğrultusundaki bileşenine Topların hepsi aynı yüksekliğe çıktığına göre, hızların düşey bileşenleri birbirine eşittir. Yani 𝑣1𝑦= 𝑣2𝑦 = 𝑣3𝑦
b) Uçuş zamanına
Topların uçuş zamanı yine y bileşenine bağlıdır. Bu bakımdan yukarıda
dediğimiz gibi hızın dik bileşenleri birbirine eşit olduğu için uçuş süreleri de aynıdır. Yani 𝑡𝑢ç𝑢ş,1= 𝑡𝑢ç𝑢ş,2= 𝑡𝑢ç𝑢ş,3
c) Hızın yatay bileşenine
Topun hızının dik bileşenleri aynı ve uçuş süreleri aynı idi. Yatayda aldıkları mesafeyi veren formül 𝑥𝑚𝑒𝑛𝑧𝑖𝑙 = 𝑣𝑥𝑡𝑢ç𝑢ş. O zaman 3 yörüngede yataydaki aldığı mesafe ikinci yörüngede yatayda almış olduğu mesafeden fazla ve ikinci yörüngedeki de birinci yörüngede yatayda almış oduğu mesafeden fazladır. Buda bize 𝑣1𝑥 < 𝑣2𝑥 < 𝑣3𝑥 olduğunu söyler.
d) Topun ilk hızına
Hızın dik bileşenlerin birbirine eşit olduğunu yatay bileşenlerin arasındaki sıralamayı yukarıda verdik.
Buradan hareketle |𝑣⃑| = √𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2 olduğu için hızın x bileşeni büyük olan yörüngenini ilk hızıda büyüktür.
Buna göre 𝑣1< 𝑣2 < 𝑣3
4. (a) Sabit hızla hareket ederken ivmelenmek mümkün müdür?
Evet, cisim sabit hızla hareket yaparken de ivmeli hareket yapar. Cisim düzgün dairesel hareket yaparken sabit hızla hareket yapar. Ama bu hareket sırasında hızın yönü değişecek ve bu yöndeki bileşenlerin büyüklükleri değişecektir. Buda eksenlerde ivmeli hareket olduğunu gösterir.
Dairesel olarak yol almak (b) sabit ivme
Cisim düzgün hareket yaparken sabit hız ile hareket yapar ve dönme hareketinden dolayı ivmeli harekettir.
Burada merkezi iivme hızın karesi ile orantılıdır. Dolayısıyla sabit hız ile düzgün dairesel harekette ivme sabittir.
(c) sıfır ivme ile mümkün müdür? (S 83 soru 13)
Düzgün dairesel harekette her zaman merkezi ivme söz konusudur(hız vektörünün yönü değiştiği için). Bu bakımdan cevap hayırdır.
Şekil 2. Soru 3
Konum ve Yer değiştirme
5. Bir pozitronun yer değiştirme vektörü ∆𝑟⃑ = −2𝑖̂ − 3𝑗̂ + 6𝑘̂ olarak verilmektedir. Eğer pozitronun son konumu 𝑟⃑𝑓 = 3𝑗̂ − 4𝑘̂ olarak metre cinsinden veriliyorsa, pozitronun ilk konumunu veren vektör nedir? (S 84 problem 3)
Yer değiştirme vektörü ∆𝑟⃑ = 𝑟⃑𝑓− 𝑟⃑𝑖 formülü ile verilir. Bu bakımdan
∆𝑟⃑ = 𝑟⃑𝑓− 𝑟⃑𝑖⇒ −2𝑖̂ − 3𝑗̂ + 6𝑘̂ = (3𝑗̂ − 4𝑘̂) − 𝑟⃑𝑖 ⇒𝑟⃑𝑖 = (3𝑗̂ − 4𝑘̂) − (−2𝑖̂ − 3𝑗̂ + 6𝑘̂) 𝑟⃑𝑖 = −2𝑖̂ + 6𝑗̂ − 10𝑘̂
Ortalama hız ve anlık hız
6. 60 km/h sabit hızla bir tren ilk önce 40 dakika doğu yönünde hareket ediyor. Daha sonra pozitif y ekseni ile 50 derce açı yapacak şekilde 20 dakika kuzey doğu yönünde ilerliyor. Son olarak 50 dakika batı yönünde hareketine devam edip duruyor. Buna göre ortalama hızının a) b) nedir? (S 84 p 5)
a) Büyüklüğü ve b)Yönü
Öncelikle verilenleri SI birim sistemine çevirelim
60 𝑘𝑚 1 ℎ
1000 𝑚 1 𝑘𝑚
1ℎ
3600 𝑠= 16.7𝑚
𝑠 ; 40 min1 𝑚𝑖𝑛60 𝑠 = 2400 𝑠 , 20 min1 𝑚𝑖𝑛60 𝑠 = 1200 𝑠 ve 50 min1 𝑚𝑖𝑛60 𝑠 = 3000 𝑠 Şimdi eksenlerde almış oldukları yollara bulalım.
Araba ilk önce 16.7 m/s hızla doğu yönünde hareket etmektedir. Yani x ekseninde hareket söz konusu fakat y ekseninde bir hareket söz konusu değildir. Yani 40 dakikalık zaman diliminde sadece x ekseninde yol almıştır. O zaman
𝑥 = 𝑣𝑥∗ 𝑡 = 16.7 ∗ 2400 = 40.080𝑚 (pozitif x ekseni yönünde)
Daha sonra 20 dakikalık zaman diliminde y ekseni ile 50 derecelik açı yaparak yol aldığına göre x ve y eksenlerinde hareket söz konusudur. O zaman hız bileşenlerini bulalım(açı pozitif y ekseni iledir).
𝑣𝑥 = 𝑣 ∗ sin 50 = 12.8𝑚𝑠 ; 𝑣𝑦 = 𝑣 ∗ cos 50 = 10.7𝑚𝑠 ve bu hızlarla almış oldukları yollar x ve y eksenlerinde
𝑥 = 𝑣𝑥∗ 𝑡 = 12.8 ∗ 1200 = 15.360𝑚 (pozitif x ekseninde yol almış) Ve
𝑦 = 𝑣𝑦∗ 𝑡 = 10.7 ∗ 1200 = 12.840𝑚 (pozitif y ekseninde)
Sol olarak batı yönünde yani negatif x ekseni yönünde 50 dakikada almış olduğu yol vardır. Bu zaman diliminde tekrar y ekseninde hareket söz konusu değildir. O zaman
𝑥 = 𝑣𝑥∗ 𝑡 = 16.7 ∗ 3000 = 51.000𝑚 (negatif taraf) O zaman x ekseninde almış olduğu toplam yol
∆𝑥 = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3= 40.080 + 15.360 − 51.000 = 5.160 𝑚
∆𝑦 = 𝑦1+ 𝑦2+ 𝑦3= 0 + 12.840 + 0 = 12.840 𝑚
Toplam tüm yolları geçmesi için süre ∆𝑡 = 𝑡1+ 𝑡2+ 𝑡3= 1200 + 2400 + 3000 = 6600 𝑠 Şimdi x ve y eksenlerindeki ortalama hızları bulalım
𝑣𝑜𝑟𝑡,𝑥=∆𝑥∆𝑡=5.1606.600= 0.78 𝑚/𝑠 ; 𝑣𝑜𝑟𝑡,𝑦 =∆𝑦∆𝑡=12.8406.600 = 1.94 𝑚/𝑠 ortalama hızın büyüklüğü
|𝑣⃑| = √(0.78)2+ (1.94)2= 2.09𝑚 𝑠 Şimdi yönü bulalım
tan 𝜃 =𝑣𝑦
𝑣𝑥⇒ 𝜃 = tan−1(𝑣𝑦
𝑣𝑥) ⇒ 𝜃 = tan−1(1.94
0.78) ⇒ 𝜃 = 68.10
Hızın x bileşeni pozitif olduğu için pozitif x ekseni ile saat yönünün tersi yönde 68.1 derece yapacak şekilde yönelmiştir.
7. Bir parçacığın zaman bağlı konum vektörü
𝑟⃑ = 5𝑡𝑖̂ + (𝑒𝑡 + 𝑓𝑡2)𝑗̂ olarak veriliyor. r’nin birimi metre ve t’nin birimi saniye olarak verilmektedir. Denklemdeki e ve f ise birer sabittir. Şekil 3'te parçacığın izlemiş olduğu yol 𝜃 𝑣𝑒 𝑡 bağlı olarak veriliyor. Buna göre sabitler e ve f ve birimleri nedir? (s 84 problem 10)
Grafikte parçacığın yolu ile parçacığın hız vektörününü yapmış olduğu açı görülmektedir. O zaman 𝑣⃑ =𝑑𝑟⃑𝑑𝑡 = 5𝑖̂ + (𝑒 + 2𝑓𝑡)𝑗̂
ifadesinin elde ederiz. Buradan hareketle şimdi işlemimizi yapalım.
t(s) 𝜃(𝑑𝑒𝑟) tan 𝜃 𝑣⃑(𝑚/𝑠) 𝑣𝑥(𝑚/𝑠) 𝑣𝑦(𝑚/𝑠)
0 35 0.7 5𝑖̂ 5𝑖̂ 𝑒
6 20 0.36 5𝑖̂ + (𝑒 + 12𝑓)𝑗̂ 5𝑖̂ 𝑒 + 12𝑓
10 10 0.14 5𝑖̂ + (𝑒 + 20𝑓)𝑗̂ 5𝑖̂ 𝑒 + 20𝑓
14 0 0 5𝑖̂ + (𝑒 + 28𝑓)𝑗̂ 5𝑖̂ 𝑒 + 28𝑓
20 -20 -0.36 5𝑖̂ + (𝑒 + 40𝑓)𝑗̂ 5𝑖̂ 𝑒 + 40𝑓
tan 𝜃 =𝑣𝑣𝑦
𝑥 olduğuna göre yukarıdakileri kullanarak e ve f sabitini bulalım. Acının 35 derece olduğu zamanda hız x bileşeni büyüklüğü 5 iken y bileşeninin büyüklüğü e dir. O zaman
tan 35 =𝑒
5⇒ 𝑒 = 5 tan 35 ⇒ 𝑒 = 3.5 𝑚/𝑠 Şimdi f sabitini bulalım. Bunu için açının sıfır olduğu anı alalım
tan 0 =𝑒 + 28𝑓
5 ⇒ 𝑒 + 28𝑓 = 5 tan 0 ⇒ 𝑓 = − 𝑒 28 𝑚/𝑠2 𝑓 = −3.5
28 𝑚
𝑠2 = −0.125𝑚 𝑠2
Ortalama ivme ve anlık ivme
8. Hareket eden bir parçacığa ait konum vektörü 𝑟⃑ = (2𝑡3− 5𝑡)𝑖̂ + (6𝑡 − 7𝑡4)𝑗̂ olarak veriliyor. Birim vektörler cinsinden t=2 s için
a) 𝑟⃑
t=2 s için
𝑟⃑ = (2 ∗ 23− 5 ∗ 2)𝑖̂ + (6 ∗ 2 − 7 ∗ 24)𝑗̂ = 6𝑖̂ − 100𝑗̂
b) 𝑣⃑
𝑣⃑ =𝑑𝑟⃑
𝑑𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡(2𝑡3− 5𝑡)𝑖̂ + (6𝑡 − 7𝑡4)𝑗̂ = (6𝑡2− 5)𝑖̂ + (6 − 28𝑡3)𝑗̂
t=2 s için
𝑣⃑ = (6 ∗ 22− 5)𝑖̂ + (6 − 28 ∗ 23)𝑗̂ = 19𝑖̂ − 218𝑗̂
c) 𝑎⃑
𝑎⃑ =𝑑𝑣⃑
𝑑𝑡 =𝑑2𝑟⃑
𝑑𝑡2 = (12𝑡)𝑖̂ + (−56𝑡2)𝑗̂
t=2 s için
𝑎⃑ = 24𝑖̂ − 224𝑗̂
d) t=2s yede parçacığın pozitif x ekseni ile yapmış olduğu açı nedir ve hız vektörünün yola olan açısı nedir?
t=2 de parçacığın x ekseni ile yapmış olduğu açı tan 𝜃 =𝑦
𝑥= −100
6 ⟹ 𝜃 = tan−1−100
6 ⟹ 𝜃 = −86.60 Hız vektörünün yapmış olduğu açı ise
tan 𝜃 =𝑣𝑦
𝑣𝑥 = −218
19 ⟹ 𝜃 = tan−1−218
19 ⟹ 𝜃 = −85.00
9. xy düzleminde hareket eden bir parçacığın hız vektörü 𝑣⃑ = (6𝑡 − 4𝑡2)𝑖̂ + 8𝑗̂ m/s olarak verilmiştir.
a) t=3s parçacığın sahip olmuş olduğu ivme 𝑎⃑ =𝑑𝑣⃑
𝑑𝑡 = (6 − 8𝑡)𝑖̂ 𝑚 𝑠2 t= 3 s için 𝑎⃑ = −18 𝑖̂ 𝑚𝑠2
Şekil 3. Soru 7
b) Parçacığın ivmesinin ( eğer olursa) sıfır olduğu bir zaman dilimi var mıdır?
Şimdi ivmenin sıfır olduğu zaman dilimini bulalım
𝑎⃑ = (6 − 8𝑡)𝑖̂ 𝑚 𝑠2 0 = (6 − 8𝑡) ⟹ 𝑡 = 0.75 𝑠 0.75 saniye sonra ivme sıfır olacaktır.
c) Parçacığın hızının ( eğer olursa) sıfır olduğu bir zaman dilimi var mıdır?
Aynı şekilde hızı sifir alarak hızın sıfır olduğu zamanı bulalım 𝑣⃑ = (6𝑡 − 4𝑡2)𝑖̂ + 8𝑗̂
0 = (6𝑡 − 4𝑡2)𝑖̂ + 8𝑗̂
Burada hızın y bileşeni zamandan bağımsız olduğu için hızın sıfır olduğu bir zaman dilimi yoktur.
d) Ne zaman (eğer var ise) parçacığın sürati 10 m/s olur? (S 84 problem 16) Sürat parçacığın anlık hızının büyüklüğüdür. O zaman
|𝑣⃑| = √𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2
10 = √(6𝑡 − 4𝑡2)2+ 82 ⇒ 100 = (6𝑡 − 4𝑡2)2+ 64 ⇒ 36 = (6𝑡 − 4𝑡2)2 6 = √(6𝑡 − 4𝑡2)2⇒ (6𝑡 − 4𝑡2) = ±6
4𝑡2− 6𝑡 ∓ 6 = 0 ⇒ 2𝑡2− 3𝑡 ∓ 3 = 0 İkinci dereceden bir denklem ve bunun köklerini bulalım
𝑡1,2=−𝑏 ± √𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎 Formülünü kullanalım. Burada a= 2 b= -3 ve 𝑐 = ∓3. O zaman
𝑡1,2=3 ± √32− 4 ∗ (2) ∗ (∓3) 2 ∗ (2)
𝑐 = ∓3 ifaseinde +3 terimi kökü sanal yaptığı için hatalı cevap veriri. O yüzdeb c=-3 olarak alınız. O zaman
𝑡1,2=3 ± √32− 4 ∗ (2) ∗ (−3)
2 ∗ (2) =3 ∓ 5.75
4 𝑡1= 2.18 𝑠 ve 𝑡2 = −0.69 𝑠
Negatif sonuç geçmiş zamanı veriri. Burada pozitif kök bize hareket başladıktan 2.18 s sonra anlık hızın büyüklüğünün 10 m/s olduğunu söyler.
10. Şekil 4'te y=30 m deki çizgi boyunca bir parçacık 3m/s lik sabit hız ile x eksenine paralel olarak hareket etmektedir. A parçacığı y ekseninden (x eksenindeki konumu 0 m olduğu anda) B parçacığı başlangıç noktasından 0 m/s ilk hızı ve 𝑎⃑ = 0.4 𝑠𝑚2 lik ivme ile hareketine başlamaktadır. Pozitif y eksenine göre hangi açı ile B parçacığı yol alırsa a parçacığı ile çarpışır. (S 85 problem 20)
İki parçacıkta x ekseninde aynı mesafeyi kat etmek zorundadır. Harekete başlayıp çarpışma anına kadar geçen süre iki parçacık içinde aynıdır. B parçacığı y ekseninde bu süre zarfında 30 m almak zorundadır iki boyutta hareket ederken. Bu bilgiyi kullanarak geçen zamanı bulalım.
𝑦𝑠 = 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦𝑡 +1 2𝑎𝑡2
Burada başlangıçta b parçacığının hızı 0, 𝑎⃑ = 0.4 𝑠𝑚2 ve 𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = 30𝑚 olduğuna göre 30 =1
2∗ 0.4 ∗ 𝑡2⇒ 𝑡 = ±12.24 𝑠
Pozitif kök bizim aradığımız köktür. Şimdi B parçacığının x eksenindeki hızının bileşenini bulalım.
𝑣𝑦,𝑠 = 𝑣𝑦,𝑖+ 𝑎 ∗ 𝑡 ⇒ 𝑣𝑦,𝑠 = 0.4 ∗ 12.25 = 4.89 𝑚/𝑠 A parçacığı x ekseninde 12.25 s aldığı mesafe
𝑥𝐴= 𝑣𝐴∗ 𝑡 = 3 ∗ 12.25 = 36.75 𝑚
Bu mesafe x ekseninde b parçacığı tarafından da alınmak zorunda olduğu için, x eksenindeki hızı 𝑣𝑥,𝑠2 = 𝑣𝑥,𝑖2 + 2 ∗ 𝑎 ∗ ∆𝑥 ⇒ 𝑣𝑥,𝑠2 = 2 ∗ 0.4 ∗ 36.75 ⇒ 𝑣𝑥,𝑠2 = 29.4 𝑚/𝑠
𝑣𝑠,𝑦 = ±5.42 𝑚/𝑠
Pozitif yönde hareket olduğu için pozitif değeri kullanırız. Şimdi pozitif y ekseni ile yapmış olduğu açıyı bulalım
tan 𝜃 =𝑣𝑥
𝑣𝑦=4.89
5.42⟹ 𝜃 = tan−14.89
5.42⟹ 𝜃 = 42.050
Şekil 4. Soru 10
11. t=0 s zamanında xy düzleminde hareketine 8 𝑚𝑠 𝑗̂ hızı ile başlayan bir parçacığın sahip olduğu sabit ivme (4𝑖̂ + 2𝑗̂)𝑠𝑚2 dir. Parçacık x=29 konumunda olduğunda
a) y eksenindeki konumu
parçacığın ivmesi kontrol edlirse, 𝑎⃑ = (4𝑖̂ + 2𝑗̂)𝑠𝑚2, x ve y bileşenleri olduğu görülür. Bunun anlamı parçacık x ekseninde 4 𝑠𝑚2 ile ivmeli hareket yapıyorken y ekseninde 2 𝑠𝑚2 ivme ile hareket yapmaktadır.
Parçacık x ekseninde ilk hızsız olarak hareketine başlayıp 29 m yol almış. İvmesi belli ve aldığı yol belli olduğuna göre
𝑥 = 𝑥𝑖+ 𝑣𝑥 𝑡 +1 2𝑎𝑥𝑡2 29 =1
2∗ 4 ∗ 𝑡2 ⇒ 𝑡 = ±3.8𝑠 y ekseninde ilk hız verilmiş. Süre x eksenindeki süre ile aynı o zaman
𝑦𝑠= 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦𝑡 +1 2𝑎𝑦𝑡2 𝑦 = 𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = 8 ∗ 3.8 +1
2∗ 2 ∗ 3.82⇒ 𝑦 = 44.84 𝑚 b) süratı nedir? (S 88 ek problemler 89)
3.8 s sonraki x ve y eksenlerindeki hızlarını bulalım.
𝑣𝑦,𝑠 = 𝑣𝑦,𝑖+ 𝑎𝑦∗ 𝑡 ⇒ 𝑣𝑦,𝑠= 8 + 2 ∗ 3.8 = 15.6 𝑚/𝑠 𝑣𝑥,𝑠= 𝑣𝑥,𝑖+ 𝑎𝑥∗ 𝑡 ⇒ 𝑣𝑥,𝑠= 0 + 4 ∗ 3.8 = 15.2 𝑚/𝑠 Böylece hız 𝑣⃑ = 15.2𝑖̂ + 15.6𝑗̂ ve süratı ise
|𝑣⃑| = √𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2= √15.22+ 15.62= 21.78 𝑚/𝑠
Eğik Atış Hareketi
12. Zeminle 60 derecelik açı yapacak şekilde, 42 m/s lik ilk hızla atılan bir taş atıldıktan 5.5 s sonra A noktasına çarpıyor.
Öncelikle hızın x ve y eksenlerindeki ilk hızlarını hesaplayalım.
𝑣𝑦,𝑖= 𝑣 ∗ sin 𝜃 = 42 ∗ sin 60
= 36 𝑚/𝑠
𝑣𝑥,𝑖= 𝑣 ∗ cos 𝜃 = 42 ∗ cos 60 = 21 𝑚/𝑠 a) A noktasının yüksekliği (h)
Cisim atıldıktan 5.5 saniye sonra A noktasına çarpıyor ise o zaman 𝑦𝑠= 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2 𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = ℎ𝐴 = 36 ∗ 5.5 −1
29.8 ∗ (5.5)2 ℎ𝐴≅ 50𝑚
b) A noktasına çarpmadan hemen önce taşın hızı
taş 5.5 s çarpmadan önce yol almış. Taşın y eksenindeki ilk hızını yukarıda bulmuştuk. O zaman 5.5 san,ye geçtikten sonraki hızını bulalım.
𝑣𝑠,𝑦 = 𝑣𝑖,𝑦− 𝑔 ∗ 𝑡 ⇒ 𝑣𝑠,𝑦= 36 − 9.8 ∗ 5.5 ⇒ 𝑣𝑠,𝑦= −17.9 𝑚/𝑠 (eksi işareti yönün aşağı olduğunu gösterir.)
x ekseninde ivmesiz hareketi ivmesiz hareket olduğu için 𝑣𝑥,𝑖21 𝑚/𝑠 O zaman hızın büyüklüğü
|𝑣⃑| = √𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2= √212+ (−17.9)2= 27.6 𝑚/𝑠
c) Zeminden atıldıktan sonra çıkabileceği maksimum yüksekliği (H) hesaplayınız (S 85 problem 28)
Cisim maksimum yüksekliğe çıktığında y eksenindeki hızı sıfır olacaktır. O zaman 𝑣𝑦,𝑠2 = 𝑣𝑦,𝑖2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ ∆𝑦 fomülünü kullanırız. Formülde cismin y eksenindeki ilk hızı bize lazım. O zaman
𝑣𝑦,𝑖= 𝑣 ∗ sin 𝜃 = 42 ∗ sin 60 = 36 𝑚/𝑠
O zaman 𝑣𝑦,𝑠2 = 𝑣𝑦,𝑖2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ ∆𝑦 ⇒ 0 = 362− 2 ∗ 9.81 ∗ ∆𝑦 ⇒ ∆𝑦 = 35.7 𝑚
Şekil 5. Soru 12
13. Yatayla 400 açı yapacak şekilde bir topu duvara doğru 25 m/s hıza atıyorsunuz (şekil 6). Duvarın topun atıldığı noktaya olan uzaklığı 22 m dir.
Öncelikle hızın x ve y eksenlerindeki ilk hızlarını hesaplayalım.
𝑣𝑦,𝑖= 𝑣 ∗ sin 𝜃 = 25 ∗ sin 40 = 16.06 𝑚/𝑠 𝑣𝑥,𝑖= 𝑣 ∗ cos 𝜃 = 25 ∗ cos 40 = 19.15 𝑚/𝑠 a) Top atıldığı noktaya göre duvarı ne kadar yukarıdan
çarpar?
x ekseninde top duvara çarpmadan önce 22 m yol almış O zaman 22 m alması için geçen zamanı bulalım. Cisim x ekseninde ivmesiz hareket yaptığı için
𝑥𝑠= 𝑥𝑖+ 𝑣𝑥𝑡 +1 2𝑎𝑥𝑡2 ve 𝑥𝑠− 𝑥𝑖 = 22𝑚 𝑎𝑥 = 0 𝑠𝑚2 ve 𝑣𝑥= 19.15𝑚𝑠yerlerine koyalım
22 = 19.15 ∗ 𝑡 ⇒ 𝑡 = 1.15𝑠 Cisim aynı zamanda 1.15 s y ekseninde hareket etmiştir. O zaman
𝑦𝑠= 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2⇒ 𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = ℎç𝑎𝑟𝑝= 𝑣𝑦𝑡 −1 2𝑔𝑡2 ℎç𝑎𝑟𝑝= 16.06 ∗ 1.15 −1
2∗ 9.8 ∗ (1.15)2⇒ ℎç𝑎𝑟𝑝= 11.98 𝑚 b) Duvara vurduğu anda, topun hızının düşey ve yatay bileşenleri nedir?
Yatay bileşen değişmez. Yani
𝑣𝑥= 19.15 𝑚/𝑠 Hızın düşey bileşenini bulalım. Kolaylık olması açısından
𝑣𝑠,𝑦 = 𝑣𝑖,𝑦− 𝑔 ∗ 𝑡 ⇒ 𝑣𝑠,𝑦 = 16.06 − 9.8 ∗ 1.15 ⇒ 𝑣𝑠,𝑦 = 4.79𝑚/𝑠 c) Duvara çarptığında çıkabileceği en yüksek mesafeden geçmiş midir ?(S 85 soru 32) Maksimum yüksekliğe çıktığında y eksenindeki hızın bileşeni sıfır olacağı için
𝑣𝑦,𝑠2 = 𝑣𝑦,𝑖2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ ∆𝑦 ⇒ 0 = 16.062− 2 ∗ 9.81 ∗ ∆𝑦 ⇒ ∆𝑦 = 52.63 𝑚 Çarpmadan önce maksimum yükseklikten geçmemiştir.
Şekil 6. Soru 13
14. Bir uçak düşeyle 530 açı yapacak şekilde dalışa geçmiştir. Yerden 730 m yukarıda iken bombayı bırakıyor. Bomba bırakıldıktan 5 s sonra zemine çarpıyor.
a) Uçağın hızı nedir?
Uçak açıyı belli bir açı ile attığı için hem x ekseninde hem y ekseninde bir hızı vardır. O zaman 𝑦𝑠= 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦𝑡 −1
2𝑔𝑡2 formülünü kullanalım. Burada 𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = 730 𝑚 olarak verilmiş. Çarpma için geçen süre 5 s. O zaman
𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = 𝑣𝑦,𝑖𝑡 −1
2𝑔𝑡2 ⇒ −730 = 𝑣𝑦,𝑖∗ 5 − 0.5 ∗ 9.8 ∗ 52 𝑣𝑦,𝑖= −121.5 𝑚/𝑠
Uçak negatif y ekseni ile 53 derece açı yapmaktadır. Buda pozitif x ekseni ile yaptığı açının -37derece olduğunu gösterir. O zaman
𝑣𝑦,𝑖 = 𝑣 ∗ sin 𝜃 ⇒ 𝑣 = −121.5/ sin(−37) = 202 𝑚/𝑠 Uçağın hızı.
b) Bomba yere çarpmadan önce yatayda ne kadar yol almıştır.
Uçağın hızı bulunduktan sora x bileşeni hesaplanır.
𝑣𝑥,𝑖 = 𝑣 ∗ cos 𝜃 ⇒ 𝑣𝑥,𝑖= 202 cos(−37) = 161 𝑚 Uçuş süresi 5s olduğuna göre ve yatayda ivmesiz hareket ettiği için
𝑥𝑚𝑒𝑛𝑧𝑖𝑙 = 161 ∗ 5 = 806 𝑚
c) Zemine çarpmadan hemen önce bombanın yatay ve düşey hız bileşenleri nedir?(S 85 problem 33 )
Yatay bileşen değişmez. Düşey bileşeni bulalım. Bunu için
𝑣𝑦,𝑠2 = 𝑣𝑦,𝑖2 + 2 ∗ 𝑎 ∗ ∆𝑦 ⇒ 𝑣𝑦,𝑠2 = 121.52+ 2 ∗ 9.81 ∗ 730 ⇒ 𝑣𝑦,𝑠 = 170 𝑚/𝑠
15. Tenis maçında oyuncu, topu yerden 2.37m yüksekteyken 23.6 m/s hızla yatay da hareket yapacak şekilde servis kullanıyor. Ağ topun kullanıldığı yerden 12m uzakta ve tepe ağın tepe noktası yerden 0.9 m yukarıdadır. Top ağ noktasına geldiğinde
a) Ağdan geçebilir mi??
Top yatayda atıldığı için hızın sadece yatay bileşeni vardır. Düşey de hızı sıfırdır. Ağ oyuncuya yatayda 12 m mesafede olduğuna göre ilk önce topun atıldığı hızla bu 12 m mesafeyi ne kadar sürede aldığını bulalım.
𝑥12= 𝑣𝑥𝑡 ⇒ 𝑡 =𝑥12 𝑣𝑥 = 12
23.6≅ 0.5𝑠
Bu süre zarfında yere göre y eksenindeki konumunu bulalım. Atıldığı konumu başlangıç noktası olarak kabul edelim. O zaman 𝑦𝑖 = 0 𝑣𝑦,𝑖 = 0 𝑚/𝑠
𝑦𝑠 = 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦,𝑖𝑡 −1
2𝑔𝑡2⇒ 𝑦𝑠= 0 + 0 ∗ 0.5 + 0.5 ∗ 9.8 ∗ 0.52= 1.225 𝑚 Negatif yönde 1.225 m yol alacaktır. Yerden ne kadar yüksekte olduğuna bakalım. O zaman
∆𝑦 = 𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = −1.225 + 2.37 = 1.145 𝑚
Tam ağın üzerinden geçerken topun yerden yüksekliği 1.145 m olduğu ve ağın tepe noktası yeder 0.9 m yüksekte olduğuna göre top ağdan geçer.
b) Ağın en üst noktası ile top arasındaki mesafe nedir?
A şııkında top tam ağ üzerinden geçerken yerden 1.145 m olduunu bulmuştuk. Ağın tepe noktası yerden 0.9 m yüksekte idi. O zaman top ile ağ arasındaki mesafe
∆𝑦 = 𝑦𝑡− 𝑦𝑎 = 1.145 − 0.9 = 0.245 𝑚
Farz edelim ki, servis kullanılmış ama top yatayla −50 açı yapacak şekilde hareketine başlıyor. Top ağa ulaştığı zaman
c) Ağdan geçebilir mi?
Top yatayla belli bir açı ile atıldığı için şimdi hem x hem de y ekseninde bileşenleri vardır. O zaman hızın x ve y eksenlerindeki bileşenlerini hesaplayalım.
𝑣𝑥 = 𝑣 ∗ cos 𝜃 ⇒ 𝑣𝑥= 23.6 ∗ cos −5 = 23.51 𝑚/𝑠 𝑣𝑦= 𝑣 ∗ sin 𝜃 ⇒ 𝑣𝑥 = 23.6 ∗ sin −5 = −2.06 𝑚/𝑠 Şimdi 12 m almak için geçen süreyi bulalım
𝑥12= 𝑣𝑥𝑡 ⇒ 𝑡 =𝑥12 𝑣𝑥 = 12
23.51≅ 0.51𝑠 Bu süre geçtiğinde yerden yüksekliğini hesaplayalım.
𝑦𝑠= 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦,𝑖𝑡 −1
2𝑔𝑡2⇒ 𝑦𝑠 = 0 − (2.06) ∗ 0.51 − 0.51 ∗ 9.8 ∗ 0.512= −2.276 𝑚 Negatif yönde 2.276 m yol alacaktır. Yerden ne kadar yüksekte olduğuna bakalım
∆𝑦 = 𝑦𝑠− 𝑦𝑖 = −2.276 + 2.37 = 0.09 𝑚
Tam ağın üzerinden geçerken topun yerden yüksekliği 1.145 m olduğu ve ağın tepe noktası yeder 0.9 m yüksekte olduğuna göre top ağdam geçer.
d) Ağın en üst noktası ile top arasındaki mesafe nedir? (S 86 problem 36)
Ağın tepe noktası yerden 0.9 m yüksekte top yerden 0.09 m yüksekte ise, O zaman top ile ağ arasındaki mesafe
∆𝑦 = −𝑦𝑡+ 𝑦𝑎= −0.09 + 0.9 = 0.81 𝑚
16. Bir top yerden havaya doğru vuruluyor. Yerden 9.1 m yükseklikte iken topun hızı 𝑣⃑ = 7.6𝑖̂ + 6.1𝑗̂
olarak verilmektedir.
a) Top maksimum çıkabileceği yüksekliğe çıkmış mıdır?
Hız vektörüne baktığımız zaman hızın y bileşeninin pozitif değerde olduğunu görüyoruz. Buda cismin halen yükselme hareketi yaptığını gösterir. Yani daha en yüksek noktadan geçmemişiz.
b) Topun x ekseninde alacağı maksimum yer değiştirme nedir?
Topun bize 9.1 m iken y hızı ile x hızı verilmiş. Bu bilgileri kullanalım. Top y ekseninde belli bir ilk hızla atıldıktan belli bir zaman sonra 9.1 m ulaşmış ve bu noktadaki hızı verilmiş. O zaman zamansız hız formülü yardımı ile
𝑣𝑦,𝑠2 = 𝑣𝑦,𝑖2 + 2 ∗ 𝑎 ∗ ∆𝑦 ⇒ 𝑣𝑦,𝑖2 = 6.12+ 2 ∗ 9.81 ∗ 9.1 ⇒ 𝑣𝑖,𝑠 ≈ 14.7 𝑚/𝑠 Şimdi y eksenindeki ilk hız bilindiğine göre uçuş zamanını bulalım.
𝑦𝑠= 𝑦𝑖+ 𝑣𝑦,𝑖𝑡 −1 2𝑔𝑡2
Burada atıldığı nokta ve indiği noktanın y konumları aynı ve sıfırdır yani 𝑦𝑠 = 𝑦𝑖 . O zaman 𝑣𝑦,𝑖𝑡 =1
2𝑔𝑡2⇒ 𝑣𝑦,𝑖=1
2𝑔𝑡 ⇒ 𝑡 =2𝑣𝑦,𝑖
𝑔 = 2 ∗14.7 9.8 = 3𝑠
Cisim bu eğik atış hareketi boyunca x eksenindeki hızı değişmeyeceği için x eksenindeki hızın büyüklüğü 𝑣𝑥 = 7.6 𝑚/𝑠. O zaman x ekseninde alacağı yol bu 3 s lik uçuş zamanında
𝑥𝑚𝑒𝑛𝑧𝑖𝑙 = 𝑣𝑥∗ 𝑡 = 14.7 ∗ 3 = 44.1 𝑚
c) Top zemine çarpmadan hemen önce hızın x ve y eksenindeki bileşenleri hızın büyüklüğü ve yönü nedir? (S 86 problem 43)
Topun ilk atıldığı andaki hızı ile yere çarptığı andaki hızın büyüklüğü ve bileşenleri birbirine eşit olacaktır.
O zaman ilk atıldığı anda hızın y ve x bileşenleri 𝑣𝑥= 7.6 𝑚/𝑠 ve 𝑣𝑦= 14.7 𝑚/𝑠 olduğuna göre yere çartığı anda hız vektörü 𝑣⃑ = 7.6𝑖̂ − 14.7𝑗̂ olarak elde edilir. Hızın büyüklüğü
|𝑣⃑| = √𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2= √(7.6)2+ (−14.7)2= 16.55 𝑚/𝑠
Yönü ise
tan 𝜃 =𝑣𝑦
𝑣𝑥 =−14.7
7.6 ⟹ 𝜃 = tan−1−14.7
7.6 ⟹ 𝜃 = −62.660
17. Zeminden bir top belirli bir hızla yukarıya doğru vuruluyor.
Şekil 7'de topun alacağı mesafeyi vuruluş açısının bir fonksiyonu olarak gösteriyor. Vuruluş açısı 𝜃0 uçuş zamanını, 𝑡𝑚𝑎𝑘 belirlemektedir. Vuruluş açısı, 𝜃0, öyle seçilir ki uçuş zamanının 0.5𝑡𝑚𝑎𝑘 olduğunda topun hızı en az ne olur? (S 87 problem 54)
Top vurulup eğik atış hareketini tamamladığı zaman ilk hızın y bileşeni ile son hızının y bileşenleri birbirine büyüklük olarak eşit ama zıt yönlü olacaktır. O zaman
𝑣𝑠,𝑦 = 𝑣𝑖,𝑦− 𝑔 ∗ 𝑡 ⟹ −𝑣 sin 𝜃0= 𝑣 sin 𝜃0− 𝑔. 𝑡𝑢ç𝑢ş
𝑡𝑢ç𝑢ş= 2𝑣 sin 𝜃0 𝑔 olacaktır. O zaman hız
𝑣 =2∗𝑔∗𝑡𝑢ç𝑢ş
sin 𝜃0
olacaktır. Yukarıdaki formüle göre eğer uçuş zamanı yarıya incekse hız iki katına çıkmak zorundadır.
Şekil 7. Soru 17
Düzgün Dairesel Hareket
18. Bir kadın yarıçapı 15m olan dönme dolaba binmiştir. Dönme dolap yatay eksene göre her 5 dönmeyi 1 dakikada tamamladığına göre
a) Hareketin periyodu nedir
Periyot tam bir dönme için geçen zamandı. Burada 5 dönme için 1 dakika=60 s olduğuna göre o zaman 1 dönme yapmak için geçen süre
5 60
1 𝑥 ⟹ 𝑥 =60
5 = 12 𝑠
b) En yüksek noktada merkezi ivmenin yönü ve büyüklüğü nedir
Merkezi ivme her zaman cismin merkezine doğru olduğu için aşağı yönlüdür. Büyüklüğü ise 𝑎𝑚𝑒𝑟=𝑣2
𝑅
Burada hız verilmemiş. Ama dairenin çevresi 2𝜋𝑅 ve bu yolu alması için geçen zaman T olduğuna gore 𝑣 =2𝜋𝑅
𝑇 Bu ifadeyi ivmede yerine koyalım. O zaman
𝑎𝑚𝑒𝑟=(2𝜋𝑅 𝑇 )2
𝑅 =4𝜋2𝑅
𝑇2 = 4.11 𝑚/𝑠2
c) En düşük noktada merkezi ivmenin büyüklüğü ve yönü nedir? (S 88 problem 59) İvmenin büyüklüğü sabittir. Yani 𝑎𝑚𝑒𝑟 = 4.11 𝑚/𝑠2. Ama bu sefer yönü yukarı doğrudur.
19. Bir motorcu yarıçapı 3m olacak şekilde düzgün dairesel hareket yapmaktadır. Belirli bir zamanda motorcunun ivmesi 𝑎⃑ = (6𝑠𝑚2) 𝑖̂ + (−4𝑚
𝑠2) 𝑗̂ olarak ölçülüyor. Bu zamanda, a) 𝑣⃑ ∙ 𝑎⃑
Düzgün dairesel harekette hız vektörü her zaman merkezi ivmeye diktir. Yani aralarındaki açı 90 dercedir.
O zaman 𝑣⃑ ∙ 𝑎⃑ = |𝑣⃑||𝑎⃑| cos 𝜃 olacaktır
𝑣⃑ ∙ 𝑎⃑ = |𝑣⃑||𝑎⃑| cos 𝜃 ⟹ 𝑣⃑ ∙ 𝑎⃑ = |𝑣⃑||𝑎⃑| cos 90 = 0 b) 𝑟⃑ × 𝑎⃑ (S 88 problem 60)
Merkezi ivme her zaman yarıçap doğrultusunda olacağı için yarıçap ile merkezi ivme arasındaki açı 0 derece o zaman
𝑟⃑ × 𝑎⃑ = |𝑟⃑⃑| |𝑎⃑| sin 𝜃 𝑛̂ ⟹ 𝑟⃑ × 𝑎⃑ = |𝑣⃑||𝑎⃑| sin 0 𝑛̂ = 0
20. Lunapark da düzgün dairesel hareket yapan çingene eteğine bir kedi binmiştir. 𝑡1= 2𝑠 de kedinin hızı 𝑣⃑1= (3𝑚𝑠) 𝑖̂ + (4𝑚𝑠) 𝑗̂ olarak xy düzleminde yatayda ölçülmüştür. 𝑡2= 5𝑠 kedi’nin hızı 𝑣⃑2= (−3𝑚𝑠) 𝑖̂ + (−4𝑚𝑠) 𝑗̂ dir. Verilenlere göre
a) Kedinin merkezci ivmesinin büyüklüğü
Hızlar kontrol edildiği zaman en tepe noktasında 2 s olarak alındığında en alt noktanın 5 s ulaşıldığı görülür.
Yarım dönme yapmak için geçen süre 5-2=3 s olduğuna göre tam bir dönme yapmak için geçen süre 6 s dir. Buna göre
𝑎𝑚𝑒𝑟=𝑣2 𝑅
Formülü ile verildiğine göre öncelikle çizgisel hızın büyüklüğünü bulalım.
|𝑣⃑| = √𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2 = √(3)2+ (4)2= 5 𝑚/𝑠
𝑣 =2𝜋𝑅
𝑇 ⟹ 𝑅 =𝑣𝑇
2𝜋⟹ 𝑅 = 4.77 𝑚 𝑎𝑚𝑒𝑟= 52
4.77= 5.24𝑚/𝑠2
b) Kedinin verilen zaman aralığında, 𝑡2− 𝑡1, ortalama ivmesi ne olur. (S 88 problem 68)
𝑎⃑𝑜𝑟𝑡=𝑣⃑𝑠− 𝑣⃑𝑖
𝑡𝑠− 𝑡𝑖 =((−3𝑚
𝑠 ) 𝑖̂ + (−4𝑚
𝑠 ) 𝑗̂) − ((3𝑚
𝑠 ) 𝑖̂ + (4𝑚 𝑠 ) 𝑗̂)
5 − 2 (= −2𝑖̂ − 2.67𝑗̂)𝑚
𝑠2
|𝑎⃑𝑜𝑟𝑡| = √𝑎𝑜𝑟𝑡,𝑥2 + 𝑎𝑜𝑡𝑟,𝑦2 = √(2)2+ (2.67)2= 3.33 𝑚 𝑠2
