MTS 225 ˙Integral Hesap Final Sınavı (2019) C¸ ¨oz¨umler
1.
x2+ y2= 2y
x2+ y2= 2
B
x y
B : −1 ≤ x ≤ 1, √
2 − x2 ≤ y ≤ 1 +√ 1 − x2
(I. Tip) B¨olgesi i¸cin, (soldaki ¸sekil) Fubini nin Teoreminden, Z 1
−1
Z 1+√ 1−x2
√2−x2
px2+ y2 dy
! dx=
Z
B
px2+ y2 dA olur.
Kutupsal Koordinatlarda:
B : π4 ≤ θ ≤ 34π, √
2 ≤ r ≤ 2 sin θ olarak yazılabilir.
2 Katlı ˙Integraller i¸cin De˘gi¸sken De˘gi¸stirme Teoreminden, Z
B
px2+ y2 dA = Z 3π4
π 4
Z 2 sinθ
√2
r r dr dθ= Z 3π4
π 4
Z 2 sinθ
√2
r2dr dθ
= 1 3
Z 3π4
π 4
8 sin3θ− 2√ 2
dθ = 40 − 6π 9√
2
2. x
y z
1 1
2 x 1+y
1+z
2= 1
B′
1 1
y = 1 − x x y
B
¯ y=
R
Byx dV R
Bx dV dir.
B¨olgeyi (B′ : xy-d¨uzlemine izd¨u¸s¨um¨u olmak ¨uzere) B = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B′, 0 ≤ z ≤ 2(1 − x − y)}
¸seklinde yazabiliriz. Fubini (tipi) Teoreminden, Z
B
x dV = Z
B′
Z 2−2x−2y
0
x dz
dA,
Z
B
yx dV = Z
B′
Z 2−2x−2y
0
xy dz
dA olur. B′ : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x olup:
Z
B
x dV = Z 1
0
Z 1−x
0
x(2 − 2x − 2y) dy dx = 1 12 Z
B
xy dV = Z 1
0
Z 1−x
0
xy(2 − 2x − 2y) dy dx = 1
60, ve ¯y= 1 5 olur.
3.
z
y
x
B
y
x
1 x2+ y2= 2x
B′
z = x2+ y2
K¨utle=R
Bpx2+ y2dV dir.
B = {(x, y, z) : (x, y) ∈ B′, 0 ≤ z ≤ x2+ y2} (B′, B nin xy-d¨uzlemine izd¨u¸s¨um¨u) olur.
Bu b¨olge ¨uzerinde integral hesaplamak i¸cin silindirik ko- ordinatlar (e¸sde˘ger olarak, B′ uzerinde integral i¸cin ku-¨ tupsal koordinatlar) kullanmak uygundur.
B′ : −π2 ≤ θ ≤ π2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ olup, (Silindirik Koordinatlarda) B : −π2 ≤ θ ≤ π2, 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, 0 ≤ z ≤ r2 olur.
K¨utle = Z
B
px2+ y2dV = Z π2
−π2
Z 2 cosθ 0
Z r2 0
r r dz dr dθ= Z π2
−π2
Z 2 cosθ 0
Z r2 0
r2dz dr dθ
= Z π2
−π2
Z 2 cosθ 0
r4dr dθ = 32 5
Z π2
−π2
cos5θ dθ= 64 5
Z π2
0
cos5θ dθ= 512 75 1
4.
B
1 π 4
ρ = 2 cos φ
ρ = 2 sec φ
y
x z
K¨utle=R
Bµ dV. B¨olgenin ve yo˘gunlu˘gun z eksenine g¨ore simetrik olması nedeniyle, k¨utle merkezi z-ekseni ¨uzerindedir. Bu da ¯x = ¯y = 0 olması demektir. ¯z =
R
Bzµ dV R
Bµ dV dır. K¨uresel Koordinatlarda:
B : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π4, sec φ ≤ ρ ≤ 2 cos φ, µ = ρ2 olur.
3-katlı integrallerde De˘gi¸sken De˘gi¸stirme Teoreminden, Z
B
µ dV = Z 2π
0
Z π4
0
Z 2 cosφ secφ
ρ2ρ2sin φ dρ dφ dθ = Z 2π
0
Z π4
0
Z 2 cosφ secφ
ρ4sin φ dρ dφ dθ
= Z 2π
0
Z π4
0
1
5(32 cos5φ− sec5φ) sin φ dφ dθ
= 2π 5
−32
6 cos6φ− 1 4sec4φ
π 4
0
= 47π 30 Z
B
zµ dV = Z 2π
0
Z π4
0
Z 2 cosφ secφ
ρcos φ ρ2ρ2sin φ dρ dφ dθ = Z 2π
0
Z π4
0
Z 2 cosφ secφ
ρ5cos φ sin φ dρ dφ dθ
= Z 2π
0
Z π4
0
1
6(64 cos6φ− sec6φ) sin φ dφ dθ
= π 3
−64
7 cos7φ−1 5sec5φ
π 4
0
= (109 − 16√ 2)π 35
Bunlardan ¯z = 654 − 96√ 2
329 elde edilir.
2
