Dogrusal Denklem
Sistemleri
Amaglar
Bu
iiniteyigahstiktansoiirci;<JJj>iki bill ilerinin grafik gozumlerini
yapabilecek,
<Jg>n-bilinmeyenli dogrusal denklem sislemlerinin cdzi'im yunlemlerini ogrenecek,
<3J>Ekonomide arzve taleparasmdci, :ikifadeedil- mesinebirornekolarak,dogrusalarz-talepfonksiyonlanniinceleyecek,
•eneceksiniz.
DogrusalDenklem Sistemleri
tgindekiler
•ikiBilinmeyenliDo
em
Sistemleri•
n>
3iginn-Bilim•BilinmeyenSayisi n,DenklemSayisnu
m
•Arz-TalepFonksiyonlanveDengeMiktarlan tginDogrusalBirModel
• Unite igindegegensizeyeni olan
kavramlar
uzerinde du§unmelisiniz, drnekleridikkatlice incelemelisiniz.• Verilenlerinvebulunmasiistenilenlerinneleroldugunuoncelikle belir- lemelisiniz.
• Sizebirakilanahstirmalan kagi vekalem kullanarakcozmelisiniz.
Giris
Birgiclapazan,fiyatlart1,5milyonTl/kg ve2milyon TL/kg olaniki ge§itgayika- nstirmaksuretiyle100kg
karma
gayb, tiyati1,8 mil- yonTL/kgolc misse,100kgkarma
gayigindekiucuzvepahah
gayan
neolur?ileringoziimleriyleugra§mi§
olmahsiniz.
Bu
tiirdei igozmekigin,adina ?nlidenklem- lerdedigimizdenklemlerden yararlandiniz:Qesitlihavuzproblemlerinin, faiz problemlerininuygun bigimdeolu§turulandenklemleryardimiyla kolaycagozii- lebildiginianimsiyorolmahsiniz.§imdiise,dahagok bilinmeyen vedaha gok denklemdenolusan sistemleringozumleriuzerinde duracagiz.Adinadogrusal denklemsistemi diyecegimizbnturdenklemsistemleriningozumlerinin varhgi ve tekligikonulanniarastiracagiz.Matematikti. tar istatistik, fizik, biyoloji,muhendislik,ekonomigibi alanlarigindebirgokproblembirdot denklemsis- temibigiminde ifadeedilirvegoziimuaranir.Bazen iklem sistemi olarak ifade edilemeyenprobh /minedonugtiiriilerek
yaklasikgozumlerbu
em
sistemleridogrusal cebirinonemlibirkonusunuolusturur.
Bu
ilnitede,geneld< 'em sistemlerinin ifadeedilisi,homojenveho- mojenolmayansistemleringozumlerinin varhgi vetekli; Imast,yoket-me
yontemiylegozumiinbulunmasikonulanuzerinde duracagiz.Daha
sonra, matrislerkonusununislendigiunite igindedematrisyoi egrusaldenk- lem sistemlerinin gozuilain i i\ < ,ielealacagiz.JKJ
BJLJNMEYENLi DOGRUSAL DENKLEM SJSTEMLERi
225B
tkibilinmeyenli birdogrusaldenklem
sisteminin grafik veanalitik|qoziimuniinbulunmasidir.
a,b gercelsayilar,a=£ vexbirbilinmeyenolmakiizereax+b = biciminde biresMigebirbilinmeyenlibirdogrusal Cineer)denklemdenildiginibiliyoruz.
Boylebirdenklemi saglayan tekbirsayi vardir;busayi
x=
-—
dir.Bu
sayiya ax+b = dogrusaldenkleminincozumu
denir.Ornegin,3x+2 = dogrusal denklemincozumu x=—
dur.a,b,cgercel sayilarvea* ,b* olmak iizere,x,
y
bilinmeyenleriicin ax+ by + c = bicimindekibir e§itlige ikibilinmeyenlibirdogrusaldenklemde-nir.Boylebirdenkleminkoordinatdiizlemdebirdogruyutemsilettiginibiliyoruz.
Dolayisiylabu dogruiizerindekiherhangibirnoktayi temsileden
O
,y)siraliiki- lisiax+by+ c = denkleminisaglar,yanidenkleminbircozumudiir.Bu
neden- leboylebirdenkleminsonsuz cokluktacozumuvardir.y
bilinmeyeninixebag- h olarak cozersek,y=
-—(ax+
c) bulunur.x
inalacagiherfarklidegerekar§i- liky
ninfarklibirdegeribulunur.O
halde (x,y) coziimlerinin herbirisidogru iizerindebirnoktayi gosterir(§ekil11.1).Sozgeligi,2x-3y+1= dogrusal denkleminin(0,1/3),(1,1),(2,5/3) cozumleri2x-3y+1= dogrusuiize- rinde birernoktanmkoordinatlan-clir.
§imdiikibilinmeyenliikidog- rusaldenkleminbirlikteverildikle-
ridurumuele alalim.
Bu
denklem-ler,genel halde
fljX+ bY
y
+q
=hb2
y
+ =b,Y)/
{"*)
/
'olsunlar.
Bu
denklemlereikibilin- meyenliikidenklemdenolu§anbir dogrusaldenklemsistemidenir.Denklemleribirliktesaglayanbir
O
,y
~)ikilisisisteminbir coztimtidiir.Boylebir dogrusalden lincozumuniiaramak,geometrik olarak, diizlemdebu denklemlerin temsilettigidogrulannkesimnoktasmiaramakdemektir.Dogrula- nnparalelolmasidurumundahicbirortakcoziim olmayacaktir[§ekil11.2(a)];ca-kigikolmalandurumundasonsuz coziim[§ekil11.2(b)],kesigiyorolmalanduru-
munda
isetekcoziim olacaktir[§ekil11.2(c)].tlBilinmeyenliDogrusalDenklem Sisten
LiLMAJ
2x+3y= 10-8x+
y
= 25dogrusal
denklem
sistemini gdziiniiz.Bu
denklemsistemindekidenklemlerdenherbiribirdogrudenklemidir.2x+3y= 10 dogrusununegimi
—
ve -8x+y
= 25 dogrusununegimi 8 oldugundanbudogrularkesi§irier.Dolayisiyla verilendenklemsisteminin tekbir coziimuvardir.§imdibucoziimliyok etmeyontemiyle bulalim.Bu yontemego- re,onceherikidenklemdebilinmeyenlerdenbirininkatsayilannie§itleyerek, bi- linmeyenlerdenbiriniyokedipikincisinihesaplayahm.Bunun
icinbirincidenk- lemi 4ilecarpipikincisitizerindetoplayalim;4/2x+3y
=108
x+Yly = 40 -8x + y= 25 -8x + y= 25bulunur.
y
=5deger13.y= 65
-¥y-
ibirincidenklemdeyerine yazalim:
2x+3(5) = 10
2x=10-
2x=-5
olur.Boylecesistemin tek coziimii
x=
-—
,y=5 olarak bulunmus2 -y
olur. Dogrularin kesim noktasi
U,5)
dir.3x- ly= 7 -21x +14>= -49 denklemsistemini goziinuz.
Bu
denklemsisteminindenklemlerinin temsilettigidogrularmegimleriegittir;m
= 3/2 dir.Dolayisiylebudogrularyacaki§iktirya dabirbirlerineparaleldir.y-ekseninikesimnoktalandaayni, -
—
oldugundan budogrularcaki§iktir.O
haldebu dogruiizerindekiherbirnokta sisteminbircozumudiir; yani verilensis-
teminsonsuz coklukta coziimiivardir.§imdi cebirsel olarakbu sonucudogrula-
x-
icin y=icin y-
icin y-
7/
3x- 2y- 1 21x-4v-
4449
Bu
sonucsisteminikidenkleminine§degeroldugunugosierir.Bu nedenle bu denklemlerdenbirisi,diyelimki 3x-2y= 7 denklemi, almarakcoziim yapihr.ix-2y= 7denkleminin
x
ebagimli cozumli,y-\(5x-7)
olur.
x
degigkeninin alacagiherbir degerekargiliky
ninbirdegeribu- lunur.Bu
nedenle verilen sistemin sonsuzcoklukta coziimiivardir.Bazi ozel coziimleriyazabiliriz:
gfHT»i
-4x +3y= 9 12x-9y= 15
denklemsistemini goziinuz.
.Denklemlerin hei Oncegeometrik olarak goi
biriningosterdigidogrununegimi
y-eksenininkesimnoktasi3,ikim
dogrulardir.Bunedenledeortakbirnoktalan yoktur.
O
halde verilen sisteminbi coziimiiyoktur.§imdibu sonucucebirselolarak dogrulayalim.olupolmadigim gon
Fakatbuc
oldugundanbunlarfarkliparalel
—
dir.Fakatbudogrulardanbirincisinin -5r
/
/I2x-9y=15 -4x+3y=9 /
3/ -Ax Ylx
5y= 9 -12x +
9y= 15 -> I2x-
9j- 27 9[y- 15 i= 42
Boyle biregitlikolamayacagm verilendenklemsistemininbirt
gore,
^ /
ozumu
^
BDT
Birgidapazan,
fiyatlari1,5milyonTL/kg ve 2 milyon TL/kg olanikitiirgaydan
100 kgkarma
gayhazirlami§tir.Karma
gaymfiyati1,8milyon TL/kgoldugunagore,herbirgaydan
ne miktarkan§tirilmi§tir?%
x
l=1( igkarmacai7icindeki 1,5milyonTL/kg ikcavmiktanx
2-1( <glam
laca7icindeki 2m
ilyonTL/kg11icaym
iktari olsun.O
Z un.yazill Di£er taaftankarmacayinfiyati 1,8 milyo TL/kgoldi urngo•e
5xt4 2
=
olmaKlr. >ye (1) e(2)denkle
m
lerinden2 1 5vi
"* A -180
dogr alceik le ni elleedilir.Sistemicozeln
1/
x
-<2= 10D -2x1-2x2= -200],5.x 2.f2=183 -> 1,5*1+2x7=180 -0.5Xi= -20
eb»y le r
ce a r.
O
halde,100kgk irmacaViciide4)V 2= 60 bulunL 40kg
ucuz?iy,it1s ahahcayclmalidir.
11L1UJ
A§agida verilen dogrusaldenk rinincozumlerinioncegeomet olarak(grafikyoluyla),sonrada cebirsel olarak ara§tinmz.a) 2x+
y
=-1 b) 3x-y
= 2 c) 2x+y
= 3-2x +_y=1 -18x +6j= -12 4x+2y=1
d) e)-2x +
i(n>3)
Asagida verilen dogrusaldenklemsistemlerininher birinincoztimtinun var olup olmadigini, varsacozumuntekmisonsuz cokluktamioldugunubelirle- yinizve coziimii bulunuz.
a) x-
y
= b) -2x +Ay=36
c)2x-y
= 42x+2y=
x
-2y= 20 x+2y= 7d) 2x =.y-
-6x +3y= 9
e) -x +5y= 2x-6y= 8
3x
2y=5
3.y= 4
n-BJLJNMEYENLi DOGRUSAL DENKLEM SiSTEMLERJ (n>3)
JL^JJ fo&
bilinmeyenligokdenklemden
olusan dogrusaldenklem
siste-T
tnininqoziimlerininGauss yok
etme ydntemiyle bulunmasi.Onceikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbirdogrusaldenklemsisteminin co-
zumunun
ara§tinlmasmda izlenenyok etmeyontemini, 3-bilinmeyenliticdenk- lemdenolusanbirdogrusaldenklemsisteminincozumunun
arastinlmasinayone- likolarakgenelle§tirelim.Sonrada w-bilinmeyenlim
sayidadogrusaldenklem- denolusan sistemlerincozumlerininbulunmasikonusuiizerindeduralim.Bilinmeyensayisivedenklemsayisiiicolarakalinirsa,
axx+ bLy + c{z+cl Y
= a2x+b2
y
+ c2z+d
2= a^x+ b^y + c^z +c/3=bicimindeticbilinmeyenliticdenklemdenolus,an birdogrusaldenklemsistemi eldeedilir.Heriicdenklemibirliktesaglayanbir(x,
y
,z)siraliuclusiinesiste- minbir<:6zumudenir.Geometrikolarak,budenklemlerin herbirikoordinat uza- yiicindebirdtizlemi temsil eder. Dolayisiyla sisteminortak coziimiiolmayabilir (ticdiizlemdenenazikisininbirbirlerineparalelolmasiveyafarklidogrularbo- yuncakesismeleridurumu[§ekil11.6(a),(b)ve(c)]),sonsuz coklukta coztimola- bilir (ticdtizleminbirdogruboyuncakesismeleriveyacaki§ikolmalandurumu, [§ekil11.7(a)])yada tekbircoztimolabilir (ticdtizlemin tek ortaknoktalanolma- sidurumu,[§ekil11.7(b)]).EEHB
§imdifarklidurumlaricinbirerornekverelim.
7x-3y+5z= 28 -x-3y+
z=
125x+ 3y+ z=0
dogrusal
denklem
sistemininqoziimuniibulunuz.Uciincudenklemi-3ilecarpipbirincidenklemleve-1ilefarpipikincidenklem- letoplarsak,birinciveikincidenklemdenzbilinmeyeniyokolur.Boylece verilen sistem,
-8x-12y = 28 -6x- Gy = 12 5x+
3y+z=0
dogrusaldenklemsistemine donuslir.
Bu
birincidenklemiizerindetoplayalim;
ikincidenklemini-2ilecarpip
5x -by
^3y
+ •sistemieldeedilir.Busisteminbirincidenkleminden
x
=1bulunur.ikincidenk- lemdex
=1yazilincay
=-3olur.Uciinciidenklemdex=1,y=-3 yazilinca 5(1) + 3(-3)+z= veyaz= 4eldeedilir.Boylece sonsistemin tekcozumiix=l,_v=-3,2r=4
olur.Bu cozum
aynizamandaverilendenklemsistemininde tekcozumudur.Bunu dogrulamakicinbulunanbudegerleri verilensistemde ye- rineyazalim,7(1)-3(-3)+ 3(4) = 28
-(1)-3(-3)+ 4
=12
veya 5(1) +3(-3)+4=0
arakistenilendogrulanmis.olur.
28 = 28 12 = 12
Xj+2x2- x
3= 4 2xj +3x2-
x
3=1 3xj-x
2+4x3= -37dogrusal
denklem
sisteminingozumunii bulunuz.ffTTTTWl
Kolayhkvekisalik icinverilensisteminbirincidenklemini
R
1;ikincidenklemini i?2,uguncii denkleminii?3ilegosterelim.ksifirdan farkli birsayiolmakiizere, kR{
+Rj (i,j =1,2,3 ve z'^7) simgesiyle z'-yinci denkleminikitarafmm
&ilecarpilipjLyincidenklemiizerindetoplanmasim,kR
i
iledez'-yincidenklemin kilecarpilmasim gosterelim. §imdibugosterimlerikullanarak verilen sistemin co- zumiinuarastiralim.
-7x2+7x3= -49
Elde edilensondenklemsistemiiicbilinmeyenliikidenklemdenolu§anbir sis- temdir.
Bu
sistemdex3iibagimsizdegisken olarakdiisiiniipx
1vex2bilinmeyen- lerini X3 e bagli olarakcozebiliriz.X3 =tdiyelim.R'2den x2= x^ + 7 =
t+7
ve
R
1den x1= -2x2+x3+ 4 =-2 (t+7)+t+4 =-t-10 olur.Boylecesiste- mincoziimu, ?parametresine bagli olarak
+3v2-.J A1, :3. rn+'
i?! :
"* y^2 :
?,f K-3:
3= -37 i?'.=-3.R,
,+2x -X
2+
X
3--7 -> fl'2Xj
--*
X2=?+
x
5=t10
Q
gR)olur.Her ?gercelsayisiicin C-f-10,/"+7,
O
siraliucliisiiverilensisteminbirco- zumiiolur.Bu
nedenle verilen sisteminsonsuzcoklukta coziimiivardir.Bu
sonu- cugeometrik olarak §6yle yorumlayabiliriz: Verilendenklemsisteminindenklem- lerinintemsilettigidiizlemler,parametrikdenklemleriyukandaki§ekildeolan dogruboyuncakesi§irler.x
\+3x2- 6x3 =-4 -2x1+x
2+ 4x3= -2xj-6x2+ 12x3 =5dogrusal
denklem
sistemini qoziiniiz.R
1: XR
2:-2x3x2 + 6x3 -4
P
x2+ 4x3= -> 1 ?'n=?,/?,+
R
2 : 7 Hr. -87?3:-2x ).\, -3
Dontistili-ilent teminiiciiciidenklemi Z?',gecersizbir esili ilck a rilen sis teiinbir
Bilinmeyen
Sayisin,Denklem
Sayisim Olan Sistemler
§imdi genelbirdogrusaldenklemsistemitammlayalimve2veya3bilinmeyenli sistemlerincoztimleriicinverilenyontemigenellestirelim.
Genelolarak, xx,
x
2,...,x
n lerbilinmeyenlera^ve btlergercelsayilar olmakiizere,
a m\x\+ a mlx2+
•
+a mn xn~^mbiciminde olanbirdenklemsistemine,nbilinmeyenli
m denklemden
olusan birdogrusaldenklem
sistemidenir.Egerbtlerinhepsisifirisesisteme
homo-
jen,enazbir bi* isesisteme
homojen olmayan
dogrusaldenklem
sis-temidenir. nbilinmeyenlibirdogru dnbircoziimiiherbir
denklemisaglayanbir(k
x,k2,...,k„)w-siralisidir.Be isaldenklem sisteminintekfdztimii olabilir, sonsuzfoklukta cozlimu olabilirya da hic- bircozumii olmayabilir.Eger sistem homojen, yani b-y= b2=...= bn= ise (0, ,...,0) w-siralisibircozumdiir.Butiircoziimehomojensisteminsifirco- zumii(asikarcozumii)denir.
O
halde,homojenbirsistemindaimabircozlimii (en azsifircozumii)vardir.Homojen
olmayanbirsistemin coziimuniinvarligi, tekligikonususisteminbilinmeyensayisi,denklemsayisi,atjkatsayilanve b
tsa- bitleriileili§kilendirilerekkisaca irdelenecektir.
Bunun
icinoncebasamakbici- mindedogrusaldenklemsistemitamminacleBirdogrusaldenklemsistemi,genelolarak,dikdortgen bicimindedir.Egerbi- linmeyensayisidenklemsayisinaesitisesistemekare sistemdenir.Denklemsis- temininilkdenklemindenveilkbilinmeyendenbaglayarak,asagiyadogrubilin-
meyen
sayisigiderekazahyorsabutiirbirsistemebasamak
bicimindedirdenir.Ornegin;
3xj-5x2-10x3+
x
4=-35 xx+5x2+x5- x4= x2+ 7x3=5
-x2+x
3+5x4=x3+x4= 3x3- x4=
5x4= 3
denklemsistemlerindenilkibasamakbicimindehomojen olmayandogrusaldenk- lemsistemi, ikincisibasamakbicimindehomojenolanbirdogrusaldenklemsis- temidir.Basamakbicimindekibirsisteminavantaji,sistemincoziimuniin varolup olmadiginindahakolay belirlenmesi,coziim varsa coztimiin kolayca bulunabil- mesindengelmektedir.Ornegin,yukandaverilenhomojen olmayan basamakbici-
mindekisisteminsondenkleminden x4=
—
,iiciinciidenkleminden x3=-—
,46 _ 22 ^
ikincidenklemindenX2 =
—
- ,birincidenklemindenX\ -—
olaraksistemin coziimiikolayca bulunabilir.Eger verilen dogrusaldenklemsistemibasamakbi- cimindedegilse,sistemasagidatammlananiic tiirtemelsatiriglemleriylecoziimiinlmedenbasamakbicimine doniistiin
Temel
satirislemleri;I. sisteminherhangiiki
denklemin sirasmm
degistirilmesi, II. sisteminbirdenklemin
herikiyanininsifirolmayan
birsayiilecar-pilmasi,
III.sisteminbirdenklemininsifir
olmayan
birkatininbirbaska denkle-me
eklenmesi.Birdogrusaldenklemsisteminesonlu sayidatemelsatiri§lemiuygulamrsa, so- nucta elde edilen yeni dogrusaldenklemsistemine basjangictakisistemeesdeger denklemsistemidenir.Esdegerdenklemsistemlerinincoziimlerivarsa,aymdir.
Bu
nedenle verilenbirdogrusaldenk lmakicin sis-temtemelsatiri§lemleriyle h. lindee§degerbirsistemedonii§tiiriile- bilirve coziimaranir.Bu bicimde
cozum
aramayaGaussyok etme yontemi
Homojen olmayanbirdogrusaldenklemsistemibasamakbiciminedoniistii- riildiigiinde,egerdenklemlerdenbirinin birinci tarafisifirikenikinci tarafsifirdan farklibirsayi ise,verilensistemin coziimii yoktur.
Bu
durumdasistem tutarsiz- dirdenir.Eger sistemtutarsizdegilve bilinmeyensayisidenklemsayismae§it ise, sistemin tekbircozumii vardir(Bucozum yukandakiornekteoldugugibikolay- ca bulunur).Denklemsayisim, bilinmeyensayisin den dahaazoldugudurumda(n-ni) tanebilinmeyen bilinen kabuledilerek,sistemin coziimiiaranir.Bu durumdasis- temin sonsuz cokluktacozumiivardir.Eger dogrusaldenklemsistemihomojen ise,daimasifircozumiiolduguaciktir;yanihomojenbirsistemincoziimsuzlugii (tutarsizligi)sozkonusudegildir.Boylebirsisteminya tek yadasonsuz cokluk- tacoziimiivardir.Sistembasamakbicime doni dedenklemsayisi bi- linmeyensayisinaesitisetek
cozum
sifircoziimdiir;denklemsayisibilinmeyen sayisindan azisehomojensisteminsonsuz coklukta coziimiivardir,(n-ni) tane bilinmeyen bilinen kabul edilerek coziimyapilirOzetlersek;
m
tanedenklemdenve n tanebilinmeyendenolusanhomo- jenolmayanbirdogrusaldenklemsistemiicinm
< n ise,sistemin hicbircozii- mii olmayabilirya da sonsuz coklukta coziimiiolabilir.Egerm>
nise,hicbirco- ziim olmayabilir, tekcoziimolabilirya da sonsuz coklukta coziimolabilir.Homo-
jensistemlerdeise,yasifircoziim yadasonsuz coklukta coziimvardir.§imdibufarklidurumlaricinomeklerverelim:
dogrusal
denklem
sisteminingoziimunu bulunuz.Dort bilinmeyenli dortdenklemdenolusanhomojen olmayanbirdogrusaldenk- lemsistemi.
Bu
sistemisatirisjemleriylebasamakbicime donu§tiirelim.Bunun
icin ilkdenklemdebirincibilinmeyenxlinkatsayisi1olacak sekildebiri§lem ya- pabiliriz.Fakatilkdenklemintiimterimlerini3 ebolmekuygunolmaz,ciinkiike-
sirlisayilarlai§lemyapmak durumundakalinz.Bunedenleilki§lem olarakbirin-
cisatirileikincisatinnyerlerini degi.stirelim:
x
x - x3+2x4--3 3xj +2x2+2x3+ x4=-1
x
i+2x2+ *3 + *4 = 2 -xy-4x2-x
4=5Bu
sisteminbirinci satinni, sirasiyla -3ilecarpipikinci satir iizerinde,-iilecarpip iiciincii satiriizerinde,1ilecarpip dordiinciisatiriizerindetoplayalim:2x2+5x3 ^x4= 8 2x2+2x3
x
4=5x
4Ax
2 x34§imdideikinci satin, sirasiyla, -1ilecarpipiiciinciis satiriizerindetoplayahm:
rve2ilecarpip dordiincii
- x
3+2x4=-3 +5x3-5x4= 8 -3x3+4x4=-3
y^3
Uciinciisatinniic katinidordiin satirlizerindetoplayahm:
x
1 - x3+2x,j ST;= 8 -3X3H --3Bu
sistembasamakbicimindebirdogrusaldenklemsistemidir.Dordiinciidenk- lemden x4= 3 bulunur.Budegeriiciinciidenklemdeyerine yazilinca-3x3+4.3- -3x
3 -3-12, A
3
olur.x
3vex4iinbulunandegerleriikincidenklemdeyerlerine yazilincax2=-1 vebirincidenklemdeyazilinca
x
x=-4bulunur.O
halde, verilendenklemsistemi- nin tek coziimii varve bucoziimxl=-A , x2=-1 , x3=5, x4=3; yani
(-4,-1,5,3)siralidortliisudur.
mm x+ y
- z=
-2x +
5y+7z=9
3x+ y + 2"=-8 x+ 2y-3z= 4
dogrusal
denklem
sisteminingozumun
Verilensistemdeiicbilinmeyen dort tanedenklemvar.Bu denklemlerdenher- hangiiiciiniialip,iicbilinmeyenliiicdenklemdenolu§an sistemin coziimiinii arastinnz.Eger coziim varsavebucoziimdi§anda kalandenklemi desagliyorsa, verilensistemin coziimiiolur;saglamiyorsa, sistemtutarsizdir. ilk iicdenklemden
olugansisl tiralim.
x
+y
-z
= -2x +5y+lz= 9*1 -> *2= ^1
: W, =- JA*,
T 7-=
v y- 2- =
7y+52r = 9 -2)/+42T =-J
7y+5z= 9 -j +2z=-4
7i?"3+R'2
Uciincudenklemdenz=-1,ikincidenklemden
y
= bulunur.§imdibu coziimunverilensistemindordt lamadigmabakalim:+
y
- z= ikincidenklemileiicun-ciidenkleminyerlerini degistirdik.
-V + ly+5z=9
ikinci denklemi 7 ile carpipuciinciidenklem uzerinde topladik.
+ v- U
-
y
+2z=-419z=-10
2, birincidenklemden
x
=nciidenklemini sag
X+ -3+
2y- 32 2.2-3C-D
=4
=4
=4
oldugunc anverile denkle tutarhd vesistemincozumii(-3,2,-1)si-
x
x+2x2+ x4=-3*2+ 3^4 =4
denklem
sisteminingdztimuSistemibasamakbicimine
dom
denklemuzerinde toplayalrm.:Birincidenklei
'»»'»«
ilecarpipikinci
Bu
sisteminucunciidenklemini -1 ilecarpip uciincudenklemuzerinde topla-x
x+x
2+ x3
=-1
x
?- x,+ Xa =-2Bi sistem rbilinrr
indenkleu e
ayisibilinmeyenslyisindanazoldugundanaradaki fark ka- da leyeni1 ikabulederek sistemincoziimunii arasurahm. Aradakifark
3 -1 iDilinmeyenlerden 4
X
1+a?.'
= ->t
teminiside(d :esistemintye bagli olarak elde edilencozumu,(bu ziime para
c3=6-2t, x2=xi-2-t= 6-2t-2-t= A-3t
> «, =-11+5
X,-- + it- 6 +2
Bilinmeyen Say :nklemSayis nSistemle
mini
olur.tgercelsayisinm alacagi herdegericinsisteminbirozelcoziimu bulunur.
Bunedenle verilen sistemin sonsuz coklukta coziimiivardir.Sisteminparametrik coziimu (-11+5t,4-it, 6-2t, t)siralidortlusiidur. ikiozelcoziimu
t= if in
t-\
if inolarakver
= 6 ,
Xj=-6 ,
x
2=1 ,^ x
4=1r
x+ y-z=-\
3x-
y
+ 2-=5 2x+2_y-22-=3
denklemsistemini qoziinuz.Sistemibasamakbicimine doniigtiirelim: Birincidenklemi-3i
denklem,-2ilecarpipiiciincijdenklemiizerindetoplayalim.
x+ y-
z =-1=8
=5
basamak bicimine doniisur.
Bu
sisteminiiciinciidenklemindegoriilen =5 egitligiolamayacagina gore, verilen sistemin denklemleritutarsizdir;birbaska de- yigle,sistemin coziimii yoktur.Uliti
R-y: x-y-2x2+3x3-2x4=R
2:3Xy-1X2-X
4=R
3:4xy-lx2+9x5+2x4=R
4: Xy+ 2x3-3X4 =homojen
sistemincozumiinu bulunuz.m
has
3A>,
R
'2- i?2 : -X,-9 X3+ 5x4=(1'*-
-^#1 i?3 : J "2-3X,+ ()x4= -1?!+/4 :i?u : Xy-2x X,- 2x4-
i?'2 2-9 x3+ 5x4=
#"
3=i'•>+i?'
3 : -12X,+l^Xy = u
-£"4=2*2+ #4 : -19 x3+
^1 : XX-2x2+ Ix3- 2x4= u /?'
2 a2"'x3+
^4
=1 1 4
k -•^2-' 7.Y4
R 'A-4=
R4= 19?3+J
'"i j- X-i =
1bu basamakbicimi dortbilinmeyenve dortdenklemdenolusaigundan verilensistemin tekcoziimusifircozumdiir.
UHUI
+ly+82=
-3y-lz=
homojen
dogrusaldenklem sisteminin goziimiinu bulunuz."
->s;n kh
me
doniistureira:F Z-
R'2=
R
1 *7 3y +c2-= >R"=-R'
:y
+3z
= ->R
'i
=
R
iS
2)'"<2-0 R
a-^R'
:y
+32=J
+R\
v +;2=0
olur.§imdibuhomojensisteminbilinmeyensayisi3denklemsayisi2oldugun- danbirbilinmeyeni,diyelimki 2yi,bilinenkabulederekcozumaranir. 2=t icinsisteminparametrikcozumu,
z=
t ,y=-5z=
-3tolur.Verilen sistemintye bagli icin ikiozelcozumuniiyazali
t=5 icin
olur.
y
+ -3/zcokluktacozumuvardir.
=2
UHQEO
lakidogrusaldenklemsistemlerininvarsa,coziim kiimelerini bulunuz.
l.3x
i-5x2= -30 2.
^
+ x2+ x3=Xj+ x2=-2 5x,-
x
2+4x3= 16lOxj +3^2- J%=-1
5x+ 7y-IO2= 20 lOx+ 12y-212=-5 -15x-21y+322= -50
2x, x2- =12
5X[-4x2+ 6x3 = 24 3xt-3x2+ x
3= 54
-
x
3= 6h5x, =-2
-iiginDogrusalBirMoc
x2+3x3-x4= x1+7x2+4x5-
Xj-x2+ x3
=0
Xj+3x2+3x3=9- 100kigilil bayanlannsayisibaylannsayisininyansindan1
fazladir.
Bu
gruptakibayanvebaylannsayisinedir?10.50 milyar parasi olanbiryatinmci parasinin tamanini yilhkgetirisi%25,
%30
ve%35olaniictiiryatinmaracinda degerlendiriyor.Yilsonunda%25ve%30
ileyatanmiktarlarmtoplamgetirisi8,4milyar,
%35
ileyatanmiktarmana pa- railebirliktedoniisu27 milyarise,herbiryatinmaracinayatan miktar nedir?ARZ
-TALEP FONKSIYONLARI VE DENGE MiKTARLARI iCJN DOGRUSAL BJR MODEL
Bo5 Ekonomide
arzve taleparasindakiiliskininbirdogrusaldenklem"^
sistemiyleifadeedebileceginigormek
vebuiliskiyimatematiksel'olarakirdelemektir.
Bir ticari
malm
piyasasmdamalm
fiyati,malm
piyasadakitalebive piyasayaarzi arasmdakarma§ikbiriliskivardir.Bu
iliskiyicesklimatematiksel modellerle yak- lagikifadeetmek miimkundur.Malin fiyatimbagimsiz degis,ken olarak kabul edersek, arzve talepmiktarlanmfiyatinfonksiyonlan olarak ifadeedebiliriz.Bu
fonksiyonlaraarz-talepfonksiyonlandenir.Arz-talepfonksiyonlan dogrusalolabi- lecegigibi,ikincidereceden veyadahayliksekderecedenpolinomtlirlindefonk- siyonlardaolabilir.Bizburadabirmalinpazanicinbasit birmatematikselmodel olusUirmakistiyoruz.Bunun
icinde arz-talepfonksiyonlanmbagimsizdegisken fiyatindogrusalfonksiyonlan olarakkabul edecegiz.Modelimizdearzve talep miktarlannine§itolduguandakifiyatadengefiyati,dengefiyatina karsriikgelen arz-talepmiktannadadenge
miktarlaridiyecegiz;yadakisaca,dengefiyati- dengemiktar izindenge noktasi (denge durumu) admive- recegiz.Boylecearzfonksiyonu, talepfonksiyonuvedengedurumarasindakiili§- kiyibirdogrusaldenklemsistemiyle ifadeedebilecegiz.§imdiboylebirmatematikselmodeliaynntilaragirerek olugturalim.
Bir ticarimalin(uriiniin)birzamanaraligiicindepazara
sunum
(arz)miktari- niqs,pazanntalepmiktanniqd ve fiyatimp
ilegosterelim.§imdi arz-talepvefi- yatarasindabasitdengelibirmatematikselmodel olusmrmakistiyoruz.Modelimi- zinbasitligiicinp
yibagimsiz degisken, qsve qdyidep
nindogrusal fonksiyon- lanolarakdusunelim. Fiyatarttikcasunum
artacagmdanve talepdeazalacagin- dan,qsyip
nin artanbirfonksiyonu, qdyidep
ninazalanbirfonksiyonuola- rakdiisiinebiliriz.Boylecea1:a2,bx,b2pozitifkatsayilarolmakiizere,qsve qd fonksiyonlanqs= -ax+
btp
1d=a2~hP
bicimindeyazilabilir.Modelimizin dengeli olmasiicinbusistemebirdedengeko- sulu eklemeliyiz.
Bu
dengekosulupninbellibirdegeriicintalebin arzae§itol- masi,yani qd= qs durumundaortayacikar.Boylece modelimizinmal selifadesi, aY,bY,a2,b2> olmakiizere,Is-"«1
Id =
&
&2P
bicimindeiicbilinmeyenliticdenklemdenolus.an birdogrusaldenklemsistemi olur.§imdibusisteminbircoziimunuanalitikolarakaramayagiri§meden once, geometrik olarakgormeyecaligalim.
Bu
nedenle, arz-talep analizindeoldugugi- bi;yatay eksenip,diisey ekseni qs,qd olanbirdikkoordinat sisteminde arz fonksiyonu qsninve talep fonksiyonu qd ningrafiklerinicizelim:Arzfonksiyonu qs artanoldugundanegimipozitif bx sayisidirve diisey eksenikesimnoktasi-a^dir.Ancakfiyatin belirlibir
p
1(px=cty/by) degerin- densonrasunum
sozkonusu olacagmdan, qsningrafiolacaktir[§ekil 11.8(a)].Talep fonsiyonu qdazalanoldugundanegimi negatif -b2 sayisidirve diisey eksenikesimnoktasi a2 dir [(§ekil11.8(b)].Sistemindenge kosuluicin qs=qd=q yazip,arz-talepfonksiyonlarmmgrafiklerini,diisey ekseniq olan aynikoordinat sistemindecizersek, qsveqd ningrafiklerinin kesimnoktasidengefiyati
p
'akarsilikgelen q icin(pQ,q)dengenoktasi olur [§ekil11.9J.'1
\p
\. qd=02-bip/a
=-a\
talepfonksiyonu/^-y
\ipo<)dengenoktasi
.--'0|/bl alib2
fiyatiifinurunlin arzmiktantalepmiktannaesjttir.
§imdi(1)denklemsisteminincozumiinuanalitikolarakbulahm.Dengekosu- luqs=qdoldugundan, qs=qd=qdersek,(1)sistemi
q=-«! + bx
p
(2)q=
a2-b2p
dogrusaldenklemsis* giir.Ikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbu
icoziimiiicinqyu yokedersek,
-blP
= -b2p
(6,+ b2)p=flj+a2
olur.b-y+ b2^ oldugundan
p
ye gore coziim,dengefiyatip
yivolur.
p
ninbudegeri(2)L1LMA1
birincidenklemindeyerine yazilmca,denge
a\b\-ci\b2+b\ci\+foi«2
b\+&2 fol+
&2
atb\-a\bz bi+ bz
bulunur. b
Y+ b2> oldugundan denge miktan <-/nun pozitif olmasi icin fl2^i-fli^ > olmalidir.Dolayisiyla,(1)sistemininekonomikolarakanlamliola- bilmesiicin,sistemina2b
x
-axb2> kosulunusaglamasigerekir.
Bu
ornekteki(1)denklemsistemiyleverilenpazarmodelinedogrusalmodel
adiverilir.§imdikonuyailiskinbaziornekler verelim:
Arz-talepfonksiyonlaria§agidaki
denklem
sistemleriyle verilenpazar
modellerinindenge noktasi (p,q)yu
bulunuz.a) qs=-3+lp b)qs -15p+ 125 = qd= 15-2p qd+ 3p - 37=
Herbirpazarmodeliicin qs=qdoldugundadengesozkonusuolacaktir.Bune- denle verilen herbirsistemicin qs=qd=q yazip,dengefiyati
p
vedengemik- tanq yubulahm:a) Is= la'=
# yazmca
-3+7p= 9 15-2p=q
denklemsistemieldeedilir.
Bu
sistemden qyokedilirse, -18 +9p=ve boylece
p
= 2 bulunur.p
ninbudegeri q =-3+lp denklemindeyerine yazilmcaq= 11 bulunur.Dengenoktasi(2,11)olur.b)Benzerolarak,
q-15p+ 125 - q+ 3p- 37 =
sisteminden qyokedilince 18p-162 =
mi eldeedilir.
Bu
denklemdeny p=
-=5=-18= 9 bulunur.Bu
deger q-15p+ 125 = denklemindeyerine yazihnca,^-15(9)-t veya q= 10bulunur.Dengenoktasi(9,10)olur.Yukandakiorneklerde sadecebirtiirticarimalin pazariicindogrusalbirmodel verildi.Aslindabirbirleriyleiligkilibirdencokticarima'
debirdogrusalmodelyazilab in,diyelimki,birbirleriyleilis,kiliikiti- carimalicindogrusalbirmodelyazmakistiyoruz.Birincimalinfiyati
p
ltikincisi- ninp
2olsun.Bu
mallannarz-talepfonksiyonlarmidasirasiylaqSl,q.d\><lsz>tfdz ilegosterelim.Parametrik olarakbudogrusalmodelled,denge kosullanm daek- leyerek §6yleyazabiliriz:=a +aipi
+a
2pz - bo+ b \p\ + b 2P2qS2= c +cipi
+c
2p2 qd2=d
a+d\p\+d
2pi§imdibu durumabirornekolarak,iligkiliikit dogrusalmodellerindengecozumlerini bulalim.
I
INMH
Birbirleriyleili§kiliikiticari
mal
icinarz vetalepfonksiyonlara§agidaki denklemlerleveriliyor.Bu
mallaricindengefiyatlarinivedenge miktarla- rinibulunuz.1) qdi= 12-2p1+
p
2 2) qdl= 18 +p
1-p
2Isi =-8+ 3pj qS2=-6+ 2p2
Bi dengek
ve o,ulu
h= ft*d1
h
itlr.Bur
r
<ldX=qSl-
%
<&'<zmca,-\e 11) ve It 11eri
/
m
siste 18 /i<7i -2Pi-1Pi /'?
8 <l2 6H
istemle dMil ise <h ii :isiStemden'/^okeli
s"i P.=X -1 V), ?4
knkleiil
n
ellet dilir.Blidenk e neri ke i>e5^
-Pi P 3
%
=2t 24
-iiginDogrusalBirMoc
ikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbu 3ilecarpipikincidenklemiizerindetoplarsak
cozumuiginbirincidenklemi
14ft= 84 Pi-
bulunur.Boylece 3ft= 24 +ft= 24 + 6 = 30 , ft= 10 olur.§imdibuden- gefiyatlarmiherbirsisteminarzya da talep fonksiyonlarmda yerine yazinca, her bir
malm
arzmiktantalepmiktannae§itolacaktir.Yani,qt=12-2/?j+
p
2= 12-2(6) + 10 = 10 q2= 18 +p
1-ft= 18 + 6-10 = 14olacaktir.Boylece dengefiyatlar
p
1=6,p
2= 10 ve denge miktarlanq1=
q2= 14 olarakbulunur.
10,
ULLUW
Birmalm
talepfonksiyonu qd= 75-2pvearzfonksiyonu<£.= -15 +4pola- rakveriliyor.Bu
malicin,a) talebinsifiroldugu, b) arzinsifiroldugu, c) arzve talebine§itoldugu fiyatlan belirleyiniz.
Arz ve talep fonksi
<?,=-5+3p
olarak verilenbir
malm
hangifiyatiicinarzve talep miktarlane§itolur?Den- gemiktanmbelirleyiniz.Arz-talepdogrulan,
qs=-13 +
Up
<& = 27-4p
olarak verilenbirmodelindengenoktasi nedir?
Birbirleriyleiligkiliiki
malm
arzve talep fonksiyonlan, qdi= 54-2p1+p
2 qch= 68 +3ft-2p2'<fa= lift-16 qsz= lift-18
olarakveriliyor.Herbir
malm
arzve talebinine§itmiktarlarda olacagidenge fiyatlarvar midir?Varsadengedegerlerinelerdir?Kendimizi Sinayahm
1.2x+3y=1 ve-3x +ly =-8dogru tasiasagidakilerden hangisidir?
a.(-1,2) b.(2,-1) c.(1,-1)
d. (-1,1) e. (2,1) 2. 2x-5y= 16
-x
+7y=
-17 dogrusaldenklen denhangisidir?a.(18,4) b.(23, 6) c. (-4,-3)
d. (3,2) e. (3,-2)
3.3x+6y=8 fa;+2>>=6 dogrusaldenklen
(x,y)cozumuasagidakik
6.x+y-2z =-2 2x-y-z=5
x-3y+2z
=10...::
a. x=t
b.x=-1+t
y=-3
+tz=
tQeW
c. x=-1+t
y=2t z=
t (?eR)d.
x=l
+ty=-1+t
z=
t {te1R)cozumsiiz olmasiicin&i
e. 3
4. -5.x+ ky =-2 15x +J
=6
dogrusal denkler gore,kkactir?a.-1
b.-1/3 c. 1/3 d. 1 e. 3
5. 2x+3y- z-1= , -x+5y+ z-14= ve 3x+y+2z-5=
eriverilsin.Buduzlemlerinkesimnoktasi a§agi- dakilerdenhangisidir?
a.(1,2,3) b. (-1,2,3) c.(-2,1,3)
d. (2,3,1) e. (2,3,-1)
X1-x,+ 3x4= 3x2- x4=
dogrusaldenklemsisteminincozumiiileilgiliagagidaki ifadelerden hangisidogrudur?
a. Sistemin tekcozumuxl=x2=x3=x4= dir.
b. Sistemin tekcozumux1= -8,x2=1, x3= -10, 4=
31
cokluktacozumuvardirvebuco-
xi
=-|f,
X2= ±t,Xi--
y-f,X4=fWs
R)d. Sisteminsonsuz cokluktacozumuvardirvebu96-
x,=-8t,x2=t,xi= -lOt,x4=t (te R) e. Sistemincozumuyoktur.
8. x1+7x2-3x3=-40 2xj- x2+ x3=9
x1-3x2+2x3= 20
dogrusaldenklemsisteminin(x1} x2,x3)cozumuasagi- dakilerdenhangisidir?
a.(3,-7,-2) b. (1,3,2) c. (1,-5,2) d. (-1,5,4) e.(-5,2,3)
252 BirazDahaDu§unelim
9.Arz-talepfonksiyonlan,
ft=-14+ 8p ft,= 105-9p
denklemleriyleverilen birmalindengefiyati' miktanasagidakilerden hangisidir?
a.p=3 , q = 10 b.
p
= 10 , q = 15 c.p=
11 , <?=74 d.p=1 1 , g =610. Arz-talepfonksiyonlan,
4rfi=3-ft +ft, 4si=-4+5ft '<&
2= 14+ ft-
3ft,
&
2=-9+2ft denklemleriyleverilenikiticarimalicindengefiyativ dengemiktarlai=2
isagidakilerden hangisidir?
ft=5 , q1= 6 , #2=1
p2= 6 ,
^
= 6 , ft= 3 p2= 5 , ft=11 , ft=1p2= 7 , ft=11 ,
ft=5
5 , ft= 21 , ft=1
Biraz Daha
Diisiinelim1.a)3.x -
4y=6
b)5.x+2j=11*+2j>= 2 4* +3j>=6
dogrusaldenklemsistemlerini grafikolarakcozunuz.
2. 3jc+y=2 -ix+2_y=j>
5x-y=4 , 8x
=6
dogrusaldenklemsis eger oldugunugoste-
3. x-ly- z= 2 x-
y+2z=9
2x+y+
z =3 sisteminincozumunubulunuz.4. ikikapda bulunan%4lukve o9 luk tuxcozeltilerin- den 50litre%6likbircozeltieldeelmekicinherbirkap- dan ne kadarcozeltialinarak karistinlmahdir?
5.Birnehirdeseyredenbir bot,oncenehirinakismaters yonde6 saatyukan dogruseyrettikdensonrageriyedo- nriyorve2saattehareketettiginoktayaula§iyor.Sonra ,)gn.i3saatscyrcdip, tekraryukan dogru8 saat
seyrettigihaldebasjangicnoktasma 4
km
yaklagiyor.Bu nehirin akig hizi nedir?Avukat vedevletadamiolanFermat'inbili- nen en Bnemligahgmasi Fermat'insonteore- miolarak bilinen"x"+y=z"(n>2) denkle- mininpozitiftarnsayilarig ingozumuyoktur"
bigimindeifade edilenteoremdir.Bu teorem iginFermat,okudugubirkitabmkenarma §u notuyazmishr: "Ben bu teoremin gergekten gokgiizelbirkanitimyaptim, fakat bu sayfa- nmdarkenarma sigmaz." Oysa bu teoremin kamti matematikcjleriyaklasik350yilugras- tirmishr.