Dogrusal Denklem Sistemleri

Dogrusal Denklem

Sistemleri

Amaglar

Bu

iiniteyigahstiktansoiirci;

<JJj>iki bill ilerinin grafik gozumlerini

yapabilecek,

<Jg>n-bilinmeyenli dogrusal denklem sislemlerinin cdzi'im yunlemlerini ogrenecek,

<3J>Ekonomide arzve taleparasmdci, :ikifadeedil- mesinebirornekolarak,dogrusalarz-talepfonksiyonlanniinceleyecek,

•eneceksiniz.

DogrusalDenklem Sistemleri

tgindekiler

•ikiBilinmeyenliDo

em

Sistemleri

•

n>

3iginn^-Bilim

•BilinmeyenSayisi n,DenklemSayisnu

m

•Arz-TalepFonksiyonlanveDengeMiktarlan tginDogrusalBirModel

• Unite igindegegensizeyeni olan

kavramlar

uzerinde du§unmelisiniz, drnekleridikkatlice incelemelisiniz.

• Verilenlerinvebulunmasiistenilenlerinneleroldugunuoncelikle belir- lemelisiniz.

• Sizebirakilanahstirmalan kagi vekalem kullanarakcozmelisiniz.

Giris

Birgiclapazan,fiyatlart1,5milyonTl/kg ve2milyon TL/kg olaniki ge§itgayika- nstirmaksuretiyle100kg

karma

gayb, tiyati1,8 mil- yonTL/kgolc misse,100kg

karma

gayigindekiucuzve

pahah

gay

an

neolur?

ileringoziimleriyleugra§mi§

olmahsiniz.

Bu

tiirdei igozmekigin,adina ?nlidenklem- lerdedigimizdenklemlerden yararlandiniz:Qesitlihavuzproblemlerinin, faiz problemlerininuygun bigimdeolu§turulandenklemleryardimiyla kolaycagozii- lebildiginianimsiyorolmahsiniz.§imdiise,dahagok bilinmeyen vedaha gok denklemdenolusan sistemleringozumleriuzerinde duracagiz.Adinadogrusal denklemsistemi diyecegimizbnturdenklemsistemleriningozumlerinin varhgi ve tekligikonulanniarastiracagiz.

Matematikti. tar istatistik, fizik, biyoloji,muhendislik,ekonomigibi alanlarigindebirgokproblembirdot denklemsis- temibigiminde ifadeedilirvegoziimuaranir.Bazen iklem sistemi olarak ifade edilemeyenprobh /minedonugtiiriilerek

yaklasikgozumlerbu

em

sistemleri

dogrusal cebirinonemlibirkonusunuolusturur.

Bu

ilnitede,geneld< 'em sistemlerinin ifadeedilisi,homojenveho- mojenolmayansistemleringozumlerinin varhgi vetekli; Imast,yoket-

me

yontemiylegozumiinbulunmasikonulanuzerinde duracagiz.

Daha

sonra, matrislerkonusununislendigiunite igindedematrisyoi egrusaldenk- lem sistemlerinin gozuilain i i\ < ,ielealacagiz.

JKJ

BJLJNMEYENLi DOGRUSAL DENKLEM SJSTEMLERi

225B

^tkibilinmeyenli birdogrusal

denklem

sisteminin grafik veanalitik

|qoziimuniinbulunmasidir.

a,b gercelsayilar,a=£ vexbirbilinmeyenolmakiizereax+b = biciminde biresMigebirbilinmeyenlibirdogrusal Cineer)denklemdenildiginibiliyoruz.

Boylebirdenklemi saglayan tekbirsayi vardir;busayi

x=

^-

—

dir.

Bu

sayiya ax+b = dogrusaldenkleminin

cozumu

denir.Ornegin,3x+2 = dogrusal denklemincozumu x=

—

dur.

a,b,cgercel sayilarvea* ,b* olmak iizere,x,

y

bilinmeyenleriicin ax+ by + c = bicimindekibir e§itlige ikibilinmeyenlibirdogrusaldenklemde-

nir.Boylebirdenkleminkoordinatdiizlemdebirdogruyutemsilettiginibiliyoruz.

Dolayisiylabu dogruiizerindekiherhangibirnoktayi temsileden

O

,y)siraliiki- lisiax+by+ c = denkleminisaglar,yanidenkleminbircozumudiir.

Bu

neden- leboylebirdenkleminsonsuz cokluktacozumuvardir.

y

bilinmeyeninixebag- h olarak cozersek,

y=

-

—(ax+

c) bulunur.

x

inalacagiherfarklidegerekar§i- lik

y

^ninfarklibirdegeribulunur.

O

halde (x,y) coziimlerinin herbirisidogru iizerindebirnoktayi gosterir(§ekil11.1).Sozgeligi,2x-3y+1= dogrusal denkleminin(0,1/3),(1,1),(2,5/3) cozumleri2x-3y+1= dogrusuiize- rinde birernoktanmkoordinatlan-

clir.

§imdiikibilinmeyenliikidog- rusaldenkleminbirlikteverildikle-

ridurumuele alalim.

Bu

denklem-

ler,genel halde

fljX+ bY

y

⁺

q

⁼

hb₂

y

^{+ =}

b,Y)/

{"*)

/

^'

olsunlar.

Bu

denklemlereikibilin- meyenliikidenklemdenolu§anbir dogrusaldenklemsistemidenir.

Denklemleribirliktesaglayanbir

O

,

y

^{~)ikilisisistemin}bir coztimtidiir.Boylebir dogrusalden lincozumuniiaramak,geometrik olarak, diizlemdebu denklemlerin temsilettigidogrulannkesimnoktasmiaramakdemektir.Dogrula- nnparalelolmasidurumundahicbirortakcoziim olmayacaktir[§ekil11.2(a)];ca-

kigikolmalandurumundasonsuz coziim[§ekil11.2(b)],kesigiyorolmalanduru-

munda

isetekcoziim olacaktir[§ekil11.2(c)].

tlBilinmeyenliDogrusalDenklem Sisten

LiLMAJ

2x+3y= 10

-8x+

y

^{= 25}

dogrusal

denklem

sistemini gdziiniiz.

Bu

denklemsistemindekidenklemlerdenherbiribirdogrudenklemidir.

2x+3y= 10 dogrusununegimi

—

ve -8x+

y

= 25 dogrusununegimi 8 oldugundanbudogrularkesi§irier.Dolayisiyla verilendenklemsisteminin tekbir coziimuvardir.§imdibucoziimliyok etmeyontemiyle bulalim.Bu yontemego- re,onceherikidenklemdebilinmeyenlerdenbirininkatsayilannie§itleyerek, bi- linmeyenlerdenbiriniyokedipikincisinihesaplayahm.

Bunun

icinbirincidenk- lemi 4ilecarpipikincisitizerindetoplayalim;

4/2x+3y

=108

x+Yly = 40 -8x + y= 25 -8x + y= 25

bulunur.

y

⁼5deger

13.y= 65

-¥y-

ibirincidenklemdeyerine yazalim:

2x+3(5) = 10

2x=10-

2x=-5

olur.Boylecesistemin tek coziimii

x=

-

—

,y=5 olarak bulunmus

2 ^-y

olur. Dogrularin kesim noktasi

U,5)

^dir.

3x- ly= 7 -21x +14>= -49 denklemsistemini goziinuz.

Bu

denklemsisteminindenklemlerinin temsilettigidogrularmegimleriegittir;

m

= 3/2 dir.Dolayisiylebudogrularyacaki§iktirya dabirbirlerineparaleldir.

y-ekseninikesimnoktalandaayni, -

—

oldugundan budogrularcaki§iktir.

O

haldebu dogruiizerindekiherbirnokta sisteminbircozumudiir; yani verilensis-

teminsonsuz coklukta coziimiivardir.§imdi cebirsel olarakbu sonucudogrula-

x-

icin y⁼

icin y^-

icin y^-

7/

3x- 2y- 1 21x-

4v-

44

49

Bu

sonucsisteminikidenkleminine§degeroldugunugosierir.Bu nedenle bu denklemlerdenbirisi,diyelimki 3x-2y= 7 denklemi, almarakcoziim yapihr.

ix-2y= 7denkleminin

x

ebagimli cozumli,

y-\(5x-7)

olur.

x

degigkeninin alacagiherbir degerekargilik

y

^ninbirdegeribu- lunur.

Bu

nedenle verilen sistemin sonsuzcoklukta coziimiivardir.

Bazi ozel coziimleriyazabiliriz:

gfHT»i

-4x +3y= 9 12x-9y= 15

denklemsistemini goziinuz.

.Denklemlerin hei Oncegeometrik olarak goi

biriningosterdigidogrununegimi

y-eksenininkesimnoktasi3,ikim

dogrulardir.Bunedenledeortakbirnoktalan yoktur.

O

halde verilen sisteminbi coziimiiyoktur.§imdibu sonucucebirselolarak dogrulayalim.

olupolmadigim gon

Fakatbuc

oldugundanbunlarfarkliparalel

—

dir.Fakatbudogrulardanbirincisinin -5

r

/

/I2x-9y=15 -4x+3y=9 /

3/ -Ax Ylx

5y= 9 -12x +

9y= 15 -> I2x-

9j- 27 9[y- 15 i= 42

Boyle biregitlikolamayacagm verilendenklemsistemininbirt

gore,

^ _/

ozumu

^

BDT

^Birgida

^pazan,

^{fiyatlari1,5milyon}TL/kg ve 2 milyon TL/kg olanikitiir

gaydan

100 kg

karma

gayhazirlami§tir.

Karma

gaymfiyati1,8milyon TL/kgoldugunagore,herbir

gaydan

ne miktarkan§tirilmi§tir?

%

x

l=1( igkarmacai7icindeki 1,5milyonTL/kg ikcavmiktan

x

2-1( <gl

am

laca7icindeki 2

m

ilyonTL/kg11icay

m

iktari olsun.

O

Z un.

yaz^ill Di£er taaftankarmacayinfiyati 1,8 milyo TL/kgoldi urngo•e

5x_t4 2

=

olmaKlr. >ye (1) e(2)denkle

m

lerinden

2 1 5vi

"* A -180

dogr alceik le ni elleedilir.Sistemicozeln

1/

x

-<2= 10D -2x1-2x2= -200

],5.x 2.f2=183 -> 1,5*1+2x7=180 -0.5Xi= -20

eb»y le r

ce a r.

O

halde,100kgk irmacaViciide

4)V 2= 60 bulunL 40kg

ucuz?^iy,it1s ahahcayclmalidir.

11L1UJ

A§agida verilen dogrusaldenk rinincozumlerinioncegeomet olarak(grafikyoluyla),sonrada cebirsel olarak ara§tinmz.

a) 2x+

y

^=-1 b) 3x-

y

^{= 2 c)} 2x+

y

= 3

-2x +_y=1 -18x +6j^{= -12} 4x+2y⁼1

d) e)-2x +

i(n>3)

Asagida verilen dogrusaldenklemsistemlerininher birinincoztimtinun var olup olmadigini, varsacozumuntekmisonsuz cokluktamioldugunubelirle- yinizve coziimii bulunuz.

a) x-

y

⁼ b) -2x +Ay

=36

c)2x-

y

= 4

2x+2y⁼

x

-2y= 20 x+2y= 7

d) 2x =.y-

-6x +3y= 9

e) -x +5y⁼ 2x-6y= 8

3x

2y=5

3.y= 4

n-BJLJNMEYENLi DOGRUSAL DENKLEM SiSTEMLERJ (n>3)

JL^JJ fo&

bilinmeyenligok

denklemden

olusan dogrusal

denklem

siste-

T

tnininqoziimlerinin

Gauss yok

etme ydntemiyle bulunmasi.

Onceikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbirdogrusaldenklemsisteminin co-

zumunun

ara§tinlmasmda izlenenyok etmeyontemini, 3-bilinmeyenliticdenk- lemdenolusanbirdogrusaldenklemsisteminin

cozumunun

arastinlmasinayone- likolarakgenelle§tirelim.Sonrada w-bilinmeyenli

m

sayidadogrusaldenklem- denolusan sistemlerincozumlerininbulunmasikonusuiizerindeduralim.

Bilinmeyensayisivedenklemsayisiiicolarakalinirsa,

axx+ bLy + c{z+cl Y

= a₂x+b₂

y

+ c2z+

d

2= a^x+ b^y + c^z +c/3=

bicimindeticbilinmeyenliticdenklemdenolus,an birdogrusaldenklemsistemi eldeedilir.Heriicdenklemibirliktesaglayanbir(x,

y

^{,z)siraliuclusiinesiste-} minbir<:6zumudenir.Geometrikolarak,budenklemlerin herbirikoordinat uza- yiicindebirdtizlemi temsil eder. Dolayisiyla sisteminortak coziimiiolmayabilir (ticdiizlemdenenazikisininbirbirlerineparalelolmasiveyafarklidogrularbo- yuncakesismeleridurumu[§ekil11.6(a),(b)ve(c)]),sonsuz coklukta coztimola- bilir (ticdtizleminbirdogruboyuncakesismeleriveyacaki§ikolmalandurumu, [§ekil11.7(a)])yada tekbircoztimolabilir (ticdtizlemin tek ortaknoktalanolma- sidurumu,[§ekil11.7(b)]).

EEHB

§imdifarklidurumlaricinbirerornekverelim.

7x-3y⁺5z= 28 -x-3y⁺

z=

12

5x+ 3y+ z=0

dogrusal

denklem

sistemininqoziimuniibulunuz.

Uciincudenklemi-3ilecarpipbirincidenklemleve-1ilefarpipikincidenklem- letoplarsak,birinciveikincidenklemdenzbilinmeyeniyokolur.Boylece verilen sistem,

-8x-12y = 28 -6x^- Gy = 12 5x+

3y+z=0

dogrusaldenklemsistemine donuslir.

Bu

birincidenklemiizerindetoplayalim;

ikincidenklemini-2ilecarpip

5x -by

^3y

+ •

sistemieldeedilir.Busisteminbirincidenkleminden

x

⁼1bulunur.ikincidenk- lemde

x

=1yazilinca

y

^=-3olur.Uciinciidenklemdex=1,y⁼-3 yazilinca 5(1) + 3(-3)+z= veyaz= 4eldeedilir.Boylece sonsistemin tekcozumii

x=l,_v=-3,2r=4

olur.

Bu cozum

aynizamandaverilendenklemsistemininde tekcozumudur.Bunu dogrulamakicinbulunanbudegerleri verilensistemde ye- rineyazalim,

7(1)-3(-3)+ 3(4) = 28

-(1)-3(-3)+ 4

=12

veya 5(1) +3(-3)+4

=0

arakistenilendogrulanmis.olur.

28 = 28 12 = 12

Xj+2x2- x

3= 4 2xj +3x₂-

x

3=₁ 3xj-

x

2+4x₃= -37

dogrusal

denklem

sisteminingozumunii bulunuz.

ffTTTTWl

Kolayhkvekisalik icinverilensisteminbirincidenklemini

R

1;ikincidenklemini i?2,uguncii denkleminii?

3ilegosterelim.ksifirdan farkli birsayiolmakiizere, kR{

+Rj (i,j =1,2,3 ve z'^7) simgesiyle z'-yinci denkleminikitarafmm

&ilecarpilipj^Lyincidenklemiizerindetoplanmasim,kR

i

iledez'-yincidenklemin kilecarpilmasim gosterelim. §imdibugosterimlerikullanarak verilen sistemin co- zumiinuarastiralim.

-7x2+7x₃= -49

Elde edilensondenklemsistemiiicbilinmeyenliikidenklemdenolu§anbir sis- temdir.

Bu

sistemdex₃iibagimsizdegisken olarakdiisiiniip

x

1vex₂bilinmeyen- lerini X3 e bagli olarakcozebiliriz.X3 =tdiyelim.R'

2den x₂= x^ + 7 =

t+7

ve

R

₁den x1= -2x2+x

3+ 4 =-2 (t+7)+t+4 =-t^-10 olur.Boylecesiste- mincoziimu, ?parametresine bagli olarak

+₃v₂-.J A^1, :3. rn+'

i?! :

"* y^2 ^:

?,f K-3^:

3= -37 i?'.=-3.R,

,+2x -X

2+

X

₃--7 -> fl'2

Xj

--*

X₂=?+

x

₅=t

10

Q

^gR)

olur.Her ?gercelsayisiicin C-f-10,^/"+7,

O

^{siraliucliisiiverilensistemin}birco- zumiiolur.

Bu

nedenle verilen sisteminsonsuzcoklukta coziimiivardir.

Bu

sonu- cugeometrik olarak §6yle yorumlayabiliriz: Verilendenklemsisteminindenklem- lerinintemsilettigidiizlemler,parametrikdenklemleriyukandaki§ekildeolan dogruboyuncakesi§irler.

x

\+3x₂- 6x3 =-4 -2x1+

x

2+ 4x₃= -2xj-6x2+ 12x3 =₅

dogrusal

denklem

sistemini qoziiniiz.

R

₁: X

R

₂:-2x

3x2 + 6x3 -4

P

x₂+ 4x₃= -> 1 ?'n=?,/?,+

R

₂ : 7 Hr. -8

7?3:-2x ).\, -3

Dontistili-ilent teminiiciiciidenklemi Z?',gecersizbir esili ilck a rilen sis teiinbir

Bilinmeyen

Sayisin,

Denklem

Sayisi

m Olan Sistemler

§imdi genelbirdogrusaldenklemsistemitammlayalimve2veya3bilinmeyenli sistemlerincoztimleriicinverilenyontemigenellestirelim.

Genelolarak, x_x,

x

₂,...,

x

_n lerbilinmeyenlera^ve b

tlergercelsayilar olmakiizere,

a m\x\+ a mlx₂+

•

⁺a mn xn~^m

biciminde olanbirdenklemsistemine,nbilinmeyenli

m denklemden

olusan birdogrusal

denklem

sistemidenir.Egerb

tlerinhepsisifirisesisteme

homo-

jen,enazbir b

i* isesisteme

homojen olmayan

dogrusal

denklem

sis-

temidenir. nbilinmeyenlibirdogru dnbircoziimiiherbir

denklemisaglayanbir(k

x,k₂,...,k„)w-siralisidir.Be isaldenklem sisteminintekfdztimii olabilir, sonsuzfoklukta cozlimu olabilirya da hic- bircozumii olmayabilir.Eger sistem homojen, yani b-y= b₂=...= b_n= ise (0, ,...,0) w-siralisibircozumdiir.Butiircoziimehomojensisteminsifirco- zumii(asikarcozumii)denir.

O

halde,homojenbirsistemindaimabircozlimii (en azsifircozumii)vardir.

Homojen

olmayanbirsistemin coziimuniinvarligi, tekligikonususisteminbilinmeyen^sayisi,denklemsayisi,a

tjkatsayilanve b

tsa- bitleriileili§kilendirilerekkisaca irdelenecektir.

Bunun

icinoncebasamakbici- mindedogrusaldenklemsistemitamminacle

Birdogrusaldenklemsistemi,genelolarak,dikdortgen bicimindedir.Egerbi- linmeyensayisidenklemsayisinaesitisesistemekare sistemdenir.Denklemsis- temininilkdenklemindenveilkbilinmeyendenbaglayarak,asagiyadogrubilin-

meyen

sayisigiderekazahyorsabutiirbirsisteme

basamak

bicimindedirdenir.

Ornegin;

3xj-5x₂-10x₃+

x

4=-35 x_x+5x₂+x₅- x4= x₂+ 7x₃

=5

-x₂+

x

₃+5x4=

x₃+x₄= 3x₃^- x4=

5x4= 3

denklemsistemlerindenilkibasamakbicimindehomojen olmayandogrusaldenk- lemsistemi, ikincisibasamakbicimindehomojenolanbirdogrusaldenklemsis- temidir.Basamakbicimindekibirsisteminavantaji,sistemincoziimuniin varolup olmadiginindahakolay belirlenmesi,coziim varsa coztimiin kolayca bulunabil- mesindengelmektedir.Ornegin,yukandaverilenhomojen olmayan basamakbici-

mindekisisteminsondenkleminden x4=

—

,iiciinciidenkleminden x3=-

—

,

46 _ 22 ^{^}

ikincidenklemindenX2 =

—

- ,birincidenklemindenX\ -

—

olaraksistemin coziimiikolayca bulunabilir.Eger verilen dogrusaldenklemsistemibasamakbi- cimindedegilse,sistemasagidatammlananiic tiirtemelsatiriglemleriylecoziimii

nlmedenbasamakbicimine doniistiin

Temel

satirislemleri;

I. sisteminherhangiiki

denklemin sirasmm

degistirilmesi, II. sisteminbir

denklemin

herikiyanininsifir

olmayan

birsayiilecar-

pilmasi,

III.sisteminbirdenklemininsifir

olmayan

birkatininbirbaska denkle-

me

eklenmesi.

Birdogrusaldenklemsisteminesonlu sayidatemelsatiri§lemiuygulamrsa, so- nucta elde edilen yeni dogrusaldenklemsistemine basjangictakisistemeesdeger denklemsistemidenir.Esdegerdenklemsistemlerinincoziimlerivarsa,aymdir.

Bu

nedenle verilenbirdogrusaldenk lmakicin sis-

temtemelsatiri§lemleriyle h. lindee§degerbirsistemedonii§tiiriile- bilirve coziimaranir.Bu bicimde

cozum

aramayaGauss

yok etme yontemi

Homojen olmayanbirdogrusaldenklemsistemibasamakbiciminedoniistii- riildiigiinde,egerdenklemlerdenbirinin birinci tarafisifirikenikinci tarafsifirdan farklibirsayi ise,verilensistemin coziimii yoktur.

Bu

durumdasistem tutarsiz- dirdenir.Eger sistemtutarsizdegilve bilinmeyensayisidenklemsayismae§it ise, sistemin tekbircozumii vardir(Bucozum yukandakiornekteoldugugibikolay- ca bulunur).

Denklemsayisim, bilinmeyensayisin den dahaazoldugudurumda(n-ni) tanebilinmeyen bilinen kabuledilerek,sistemin coziimiiaranir.Bu durumdasis- temin sonsuz cokluktacozumiivardir.Eger dogrusaldenklemsistemihomojen ise,daimasifircozumiiolduguaciktir;yanihomojenbirsistemincoziimsuzlugii (tutarsizligi)sozkonusudegildir.Boylebirsisteminya tek yadasonsuz cokluk- tacoziimiivardir.Sistembasamakbicime doni dedenklemsayisi bi- linmeyensayisinaesitisetek

cozum

sifircoziimdiir;denklemsayisibilinmeyen sayisindan azisehomojensisteminsonsuz coklukta coziimiivardir,(n-ni) tane bilinmeyen bilinen kabul edilerek coziimyapilir

Ozetlersek;

m

tanedenklemdenve n tanebilinmeyendenolusanhomo- jenolmayanbirdogrusaldenklemsistemiicin

m

< n ise,sistemin hicbircozii- mii olmayabilirya da sonsuz coklukta coziimiiolabilir.Eger

m>

nise,hicbirco- ziim olmayabilir, tekcoziimolabilirya da sonsuz coklukta coziimolabilir.

Homo-

jensistemlerdeise,yasifircoziim yadasonsuz coklukta coziimvardir.

§imdibufarklidurumlaricinomeklerverelim:

dogrusal

denklem

sisteminingoziimunu bulunuz.

Dort bilinmeyenli dortdenklemdenolusanhomojen olmayanbirdogrusaldenk- lemsistemi.

Bu

sistemisatirisjemleriylebasamakbicime donu§tiirelim.

Bunun

icin ilkdenklemdebirincibilinmeyenxlinkatsayisi1olacak sekildebiri§lem ya- pabiliriz.Fakatilkdenklemintiimterimlerini3 ebolmekuygunolmaz,ciinkiike-

sirlisayilarlai§lemyapmak durumundakalinz.Bunedenleilki§lem olarakbirin-

cisatirileikincisatinnyerlerini degi.stirelim:

x

x - x₃+2x₄--3 3xj +2x2+2x

3+ x4=-1

x

i+2x2+ *3 + *4 = 2 -xy-4x₂-

x

₄=5

Bu

sisteminbirinci satinni, sirasiyla -3ilecarpipikinci satir iizerinde,-iilecarpip iiciincii satiriizerinde,1ilecarpip dordiinciisatiriizerindetoplayalim:

2x₂+5x₃ ^x4= 8 2x₂+2x₃

x

4=₅

x

4

Ax

2 x₃4

§imdideikinci satin, sirasiyla, -1ilecarpipiiciinciis satiriizerindetoplayahm:

rve2ilecarpip dordiincii

- x

3+2x₄=-3 +5x₃-5x₄= 8 -3x₃+4x₄=-3

y^₃

Uciinciisatinniic katinidordiin satirlizerindetoplayahm:

x

1 - x₃+2x,j ST;= 8 -3X3H --3

Bu

sistembasamakbicimindebirdogrusaldenklemsistemidir.Dordiinciidenk- lemden x4= 3 bulunur.Budegeriiciinciidenklemdeyerine yazilinca

-3x₃+4.3^- -3x

3 -3-12, A

3

olur.x

3vex₄iinbulunandegerleriikincidenklemdeyerlerine yazilincax₂=-1 vebirincidenklemdeyazilinca

x

x=-4bulunur.

O

halde, verilendenklemsistemi- nin tek coziimii varve bucoziimxl=-A , x₂=-1 , x₃=₅, x₄=₃

; yani

(-4,-1,5,3)siralidortliisudur.

mm ^x

⁺

^y

^{- z=}

-2x +

5y+7z=9

3x+ y + 2"=-8 x+ 2y-3z= 4

dogrusal

denklem

sisteminin

gozumun

Verilensistemdeiicbilinmeyen dort tanedenklemvar.Bu denklemlerdenher- hangiiiciiniialip,iicbilinmeyenliiicdenklemdenolu§an sistemin coziimiinii arastinnz.Eger coziim varsavebucoziimdi§anda kalandenklemi desagliyorsa, verilensistemin coziimiiolur;saglamiyorsa, sistemtutarsizdir. ilk iicdenklemden

olugansisl tiralim.

x

⁺

y

^-

z

⁼ -2x +5y⁺lz= 9

*1 -> *2= ^1

: W, =^{- J}A*,

T 7-=

v y- 2- =

7y⁺52r = 9 -2)/+42T =-J

7y⁺5z= 9 -j +2z⁼-4

7i?"₃+R'2

Uciincudenklemdenz=-1,ikincidenklemden

y

⁼ bulunur.§imdibu coziimunverilensistemindordt lamadigmabakalim:

+

y

^- z⁼ ikincidenklemileiicun-

ciidenkleminyerlerini degistirdik.

-V + ly⁺5z⁼9

ikinci denklemi 7 ile carpipuciinciidenklem uzerinde topladik.

+ v^- U

-

y

^+2z=-4

19z⁼-10

2, birincidenklemden

x

⁼

nciidenklemini sag

X+ -3+

2y- 32 2.2-3C-D

=4

=4

=4

oldugunc anverile denkle tutarhd vesistemincozumii(-3,2,-1)si-

x

x+2x2+ x4=-3

*₂+ 3^4 =4

denklem

sisteminingdztimu

Sistemibasamakbicimine

dom

denklemuzerinde toplayalrm.

:Birincidenklei

'»»'»«

ilecarpipikinci

Bu

sisteminucunciidenklemini ^-1 ilecarpip uciincudenklemuzerinde topla-

x

x+

x

2+ x

3

=-1

x

?^- x,+ Xa =-2

Bi sistem rbilinrr

indenkleu e

ayisibilinmeyenslyisindanazoldugundanaradaki fark ka- da leyeni1 ikabulederek sistemincoziimunii arasurahm. Aradakifark

3 -1 iDilinmeyenlerden 4

X

1+a?.

'

= ->t

teminiside(d :esistemintye bagli olarak elde edilencozumu,(bu ziime para

c3=6-2t, x₂=x_i-2-t= 6-2t-2-t= A-3t

> «, =-11+5

X,-- + it- 6 +2

Bilinmeyen Say :nklemSayis nSistemle

mini

olur.tgercelsayisinm alacagi herdegericinsisteminbirozelcoziimu bulunur.

Bunedenle verilen sistemin sonsuz coklukta coziimiivardir.Sisteminparametrik coziimu (-11+5t,4-it, 6-2t, t)siralidortlusiidur. ikiozelcoziimu

t= _{if in}

t-\

if in

olarakver

= 6 ,

Xj=-6 ,

x

2=1 ,

^ ^x

4=1

r

x+ y-z=-\

3x-

y

^{+ 2-=}5 2x+2_y-22-

=3

denklemsistemini qoziinuz.

Sistemibasamakbicimine doniigtiirelim: Birincidenklemi-3i

denklem,-2ilecarpipiiciincijdenklemiizerindetoplayalim.

x+ y-

z =-1

=8

=5

basamak bicimine doniisur.

Bu

sisteminiiciinciidenklemindegoriilen =₅ egitligiolamayacagina gore, verilen sistemin denklemleritutarsizdir;birbaska de- yigle,sistemin coziimii yoktur.

Uliti

^R-y: x-y-2x2+3x₃^-2x₄=

R

₂:3Xy-1X2^-

X

4=

R

₃:4xy-lx₂+9x₅+2x4=

R

4^: Xy+ 2x₃-3X4 =

homojen

sistemincozumiinu bulunuz.

m

has

3A>,

R

^'2- i?2 : -X,-9 X₃+ 5x4=(1

'*-

-^#1 i?3 ^: J "2-3X,+ ()x4= -1?!+/4 ^:

i?u ^: Xy-2x X,- 2x4-

i?'2 2-9 x3+ 5x₄=

#"

3=i'•>+i?'

3 ^: -12_X,+l^Xy = u

-£"4=₂*2+ #4 : -19 x₃+

^1 : X_X-2x₂+ Ix₃- 2x4= u /?'

2 a₂"'x₃+

^4

=

1 1 4

k -•^2-' 7.Y₄

R 'A-4=

R4= 19?3+J

'"i j- X-i =

1bu basamakbicimi dortbilinmeyenve dortdenklemdenolusaigundan verilensistemin tekcoziimusifircozumdiir.

UHUI

+ly+82=

-3y-lz=

homojen

dogrusaldenklem sisteminin goziimiinu bulunuz.

"

->s;n kh

me

doniistureira:

F Z-

R'2=

R

1 *7 3y +^c2-= >

R"=-R'

:

y

+

3z

^{= ->}

R

'i

=

R

i

S

^2)'"<

2-0 R

^a

-^R'

:

y

+32⁼

J

⁺

R\

v +;

2=0

olur.§imdibuhomojensisteminbilinmeyensayisi3denklemsayisi2oldugun- danbirbilinmeyeni,diyelimki 2yi,bilinenkabulederekcozumaranir. 2⁼t icinsisteminparametrikcozumu,

z=

t ,

y=-5z=

-3t

olur.Verilen sistemintye bagli icin ikiozelcozumuniiyazali

t=5 icin

olur.

y

^{+ -3/}

zcokluktacozumuvardir.

=₂

UHQEO

lakidogrusaldenklemsistemlerininvarsa,coziim kiimelerini bulunuz.

l.3x

i-5x2= -30 2.

^

^{+ x}2+ x₃=

Xj+ x₂=-2 5x,-

x

2+4x₃= 16

lOxj +3^₂- J%=-1

5x+ 7y^-IO2= 20 lOx+ 12y-212=-5 -15x-21y+322= -50

2x, x₂^{- =}12

5X[-4x2+ 6x3 = 24 3xt-3x2+ x

3= 54

-

x

3= 6

h5x, =-2

-iiginDogrusalBirMoc

x₂+3x₃-x4= x1+7x₂+4x₅-

Xj-x₂+ x₃

=0

Xj+3x₂+3x₃=

9- 100kigilil bayanlannsayisibaylannsayisininyansindan1

fazladir.

Bu

gruptakibayanvebaylannsayisinedir?

10.50 milyar parasi olanbiryatinmci parasinin tamanini yilhkgetirisi%25,

%30

ve%35olaniictiiryatinmaracinda degerlendiriyor.Yilsonunda%25ve

%30

ileyatanmiktarlarmtoplamgetirisi8,4milyar,

%35

ileyatanmiktarmana pa- railebirliktedoniisu27 milyarise,herbiryatinmaracinayatan miktar nedir?

ARZ

^-

TALEP FONKSIYONLARI VE DENGE MiKTARLARI iCJN DOGRUSAL BJR MODEL

Bo5 ^Ekonomide

^{arzve taleparasindakiiliskininbirdogrusaldenklem}

"^

sistemiyleifadeedebilecegini

gormek

vebuiliskiyimatematiksel

'olarakirdelemektir.

Bir ticari

malm

piyasasmda

malm

fiyati,

malm

piyasadakitalebive piyasayaarzi arasmdakarma§ikbiriliskivardir.

Bu

iliskiyicesklimatematiksel modellerle yak- lagikifadeetmek miimkundur.Malin fiyatimbagimsiz degis,ken olarak kabul edersek, arzve talepmiktarlanmfiyatinfonksiyonlan olarak ifadeedebiliriz.

Bu

fonksiyonlaraarz-talepfonksiyonlandenir.Arz-talepfonksiyonlan dogrusalolabi- lecegigibi,ikincidereceden veyadahayliksekderecedenpolinomtlirlindefonk- siyonlardaolabilir.Bizburadabirmalinpazanicinbasit birmatematikselmodel olusUirmakistiyoruz.

Bunun

icinde arz-talepfonksiyonlanmbagimsizdegisken fiyatindogrusalfonksiyonlan olarakkabul edecegiz.Modelimizdearzve talep miktarlannine§itolduguandakifiyatadengefiyati,dengefiyatina karsriikgelen arz-talepmiktannada

denge

miktarlaridiyecegiz;yadakisaca,dengefiyati- dengemiktar izindenge noktasi (denge durumu) admive- recegiz.Boylecearzfonksiyonu, talepfonksiyonuvedengedurumarasindakiili§- kiyibirdogrusaldenklemsistemiyle ifadeedebilecegiz.

§imdiboylebirmatematikselmodeliaynntilaragirerek olugturalim.

Bir ticarimalin(uriiniin)birzamanaraligiicindepazara

sunum

(arz)miktari- niqs,pazanntalepmiktanniqd ve fiyatim

p

ilegosterelim.§imdi arz-talepvefi- yatarasindabasitdengelibirmatematikselmodel olusmrmakistiyoruz.Modelimi- zinbasitligiicin

p

yibagimsiz degisken, qsve qd^yide

p

ⁿⁱⁿdogrusal fonksiyon- lanolarakdusunelim. Fiyatarttikca

sunum

artacagmdanve talepdeazalacagin- dan,qsyi

p

nin artanbirfonksiyonu, qdyide

p

ninazalanbirfonksiyonuola- rakdiisiinebiliriz.Boylecea1:a2,b_x,b₂pozitifkatsayilarolmakiizere,qsve qd fonksiyonlan

qs= -a_x+

btp

1d=a2~

hP

bicimindeyazilabilir.Modelimizin dengeli olmasiicinbusistemebirdedengeko- sulu eklemeliyiz.

Bu

dengekosulupninbellibirdegeriicintalebin arzae§itol- masi,yani qd= qs durumundaortayacikar.Boylece modelimizinmal selifadesi, aY,bY,a₂,b₂> olmakiizere,

Is-"«1

Id =

&

&2P

bicimindeiicbilinmeyenliticdenklemdenolus.an birdogrusaldenklemsistemi olur.§imdibusisteminbircoziimunuanalitikolarakaramayagiri§meden once, geometrik olarakgormeyecaligalim.

Bu

nedenle, arz-talep analizindeoldugugi- bi;yatay ekseni_p,diisey ekseni qs,qd olan^birdikkoordinat sisteminde arz fonksiyonu qsninve talep fonksiyonu qd ningrafiklerinicizelim:

Arzfonksiyonu _qs artanoldugundanegimipozitif bx sayisidirve diisey eksenikesimnoktasi-a^dir.Ancakfiyatin belirlibir

p

1(px=cty/by) degerin- densonra

sunum

sozkonusu olacagmdan, qsningrafi

olacaktir[§ekil 11.8(a)].Talep fonsiyonu qdazalanoldugundanegimi negatif -b2 sayisidirve diisey eksenikesimnoktasi a2 dir [(§ekil11.8(b)].Sistemindenge kosuluicin qs=qd=q ^{yazip,arz-talep}fonksiyonlarmmgrafiklerini,diisey ekseniq olan aynikoordinat sistemindecizersek, qsveqd ningrafiklerinin kesimnoktasidengefiyati

p

^'akarsilikgelen q icin(pQ,q⁾dengenoktasi olur [§ekil11.9J.

'1

\p

\. qd=02-bip

^/a

^=-a

\

^{talepfonksiyonu}

/^-y

\ipo<)dengenoktasi

.--'0|/bl alib2

fiyatiifinurunlin arzmiktantalepmiktannaesjttir.

§imdi(1)denklemsisteminincozumiinuanalitikolarakbulahm.Dengekosu- luqs=qdoldugundan, qs=qd=qdersek,(1)sistemi

q=-«! + bx

p

(2)

q=

a₂-b₂

p

dogrusaldenklemsis* giir.Ikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbu

icoziimiiicinqyu yokedersek,

-blP

^{= -b}2

p

(6,+ b2)p=flj+a2

olur.b-y+ b2^ oldugundan

p

ye gore coziim,dengefiyati

p

^yiv

olur.

p

ninbudegeri(2)

L1LMA1

birincidenklemindeyerine yazilmca,denge

a\b\-ci\b2+b\ci\+foi«2

b\+&2 fol+

&2

atb\-a\bz bi+ bz

bulunur. b

Y+ b2> oldugundan denge miktan <-/nun pozitif olmasi icin fl2^i-fli^ > olmalidir.Dolayisiyla,(1)sistemininekonomikolarakanlamliola- bilmesiicin,sistemina2b

x

-axb₂> kosulunusaglamasigerekir.

Bu

ornekteki(1)denklemsistemiyleverilenpazarmodelinedogrusal

model

adiverilir.

§imdikonuyailiskinbaziornekler verelim:

Arz-talepfonksiyonlaria§agidaki

denklem

sistemleriyle verilen

pazar

modellerinindenge noktasi (p,q)

yu

bulunuz.

a) qs=-3+lp b)qs -15p+ 125 = qd= 15-2p qd+ 3p ^- 37=

Herbirpazarmodeliicin qs=qdoldugundadengesozkonusuolacaktir.Bune- denle verilen herbirsistemicin qs=qd=q yazip,dengefiyati

p

vedengemik- tanq yubulahm:

a) Is= la^'=

# yazmca

-3+7p= 9 15-2p⁼q

denklemsistemieldeedilir.

Bu

sistemden qyokedilirse, -18 +9p⁼

ve boylece

p

= 2 bulunur.

p

ninbudegeri q =-3+lp denklemindeyerine yazilmcaq= 11 bulunur.Dengenoktasi(2,11)olur.

b)Benzerolarak,

q-15p+ 125 - q⁺ 3p^- 37 =

sisteminden qyokedilince 18p-162 =

mi eldeedilir.

Bu

denklemden

y p=

-=5=-₁₈= 9 bulunur.

Bu

deger q^-15p+ 125 = denklemindeyerine yazihnca,^^-15(9)^-t veya q= 10bulunur.Dengenoktasi(9,10)olur.

Yukandakiorneklerde sadecebirtiirticarimalin pazariicindogrusalbirmodel verildi.Aslindabirbirleriyleiligkilibirdencokticarima'

debirdogrusalmodelyazilab in,diyelimki,birbirleriyleilis,kiliikiti- carimalicindogrusalbirmodelyazmakistiyoruz.Birincimalinfiyati

p

ltikincisi- nin

p

2olsun.

Bu

mallannarz-talepfonksiyonlarmidasirasiylaqSl,q.d\><lsz>tfdz ilegosterelim.Parametrik olarakbudogrusalmodelled,denge kosullanm daek- leyerek §6yleyazabiliriz:

=a +aipi

+a

2pz - bo+ b \p\ + b 2P2

qS2= c +cipi

+c

2p2 qd2

=d

a+d\p\+

d

2pi

§imdibu durumabirornekolarak,iligkiliikit dogrusalmodellerindengecozumlerini bulalim.

I

INMH

Birbirleriyleili§kiliikiticari

mal

icinarz vetalepfonksiyonlara§agidaki denklemlerleveriliyor.

Bu

mallaricindengefiyatlarinivedenge miktarla- rinibulunuz.

1) qdi= 12-2p1+

p

2 2) qdl= 18 +

p

1-

p

2

Isi =-8+ 3pj qS2=-6+ 2p₂

Bi dengek

ve o,ulu

h⁼ ft*d1

h

itlr.Bur

r

<ldX=qSl-

%

^<&

'<zmca,^-\e 11) ve It 11eri

/

m

siste 18 /i

<7i -2Pi^-1Pi /'?

8 <l2 6H

istemle dMil ise _<h ii :isiStemden'/^okeli

s"i P.=X -1 V), ?4

knkleiil

n

ellet dilir.Blidenk e n^eri k_{e i>}e

5^

-Pi P 3

%

⁼

2t 24

-iiginDogrusalBirMoc

ikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbu 3ilecarpipikincidenklemiizerindetoplarsak

cozumuiginbirincidenklemi

14ft= 84 Pi^-

bulunur.Boylece 3ft= 24 +ft= 24 + 6 = 30 , ft= 10 olur.§imdibuden- gefiyatlarmiherbirsisteminarzya da talep fonksiyonlarmda yerine yazinca, her bir

malm

arzmiktantalepmiktannae§itolacaktir.Yani,

qt=12-2/?j+

p

2= 12^-2(6) + 10 = 10 q2= 18 +

p

1-ft= 18 + 6^-10 = 14

olacaktir.Boylece dengefiyatlar

p

1=6,

p

2= 10 ve denge miktarlanq1

=

q2= 14 olarakbulunur.

10,

ULLUW

^Bir

malm

talepfonksiyonu qd= 75-2pvearzfonksiyonu<£.= -15 +4pola- rakveriliyor.

Bu

malicin,

a) talebinsifiroldugu, b) arzinsifiroldugu, c) arzve talebine§itoldugu fiyatlan belirleyiniz.

Arz ve talep fonksi

<?,=-5+3p

olarak verilenbir

malm

hangifiyatiicinarzve talep miktarlane§itolur?Den- gemiktanmbelirleyiniz.

Arz-talepdogrulan,

qs=-13 +

Up

<& = 27^-4p

olarak verilenbirmodelindengenoktasi nedir?

Birbirleriyleiligkiliiki

malm

arzve talep fonksiyonlan, qdi= 54-2p1+

p

2 qch= 68 +3ft^-2p2

'<fa= lift^-16 qsz= lift^-18

olarakveriliyor.Herbir

malm

arzve talebinine§itmiktarlarda olacagidenge fiyatlarvar midir?Varsadengedegerlerinelerdir?

Kendimizi Sinayahm

1.2x+3y=1 ve-3x +ly =-8dogru tasiasagidakilerden hangisidir?

a.(-1,2) b.(2,-1) c.(1,-1)

d. (-1,1) e. (2,1) 2. 2x-5y= 16

-x

+7y=

-17 dogrusaldenklen denhangisidir?

a.(18,4) b.(23, 6) c. (-4,-3)

d. (3,2) e. (3,-2)

3.3x+6y=8 fa;+2>>=6 dogrusaldenklen

(x,y)cozumuasagidakik

6.x+y^-2z =^-2 2x-y-z=₅

x-3y+2z

=10

...::

a. x=t

b.x=-1+t

y=-3

+t

z=

t

QeW

c. x=-1+t

y=2t z=

t (?eR)

d.

x=l

+t

y=-1+t

z=

t {te1R)

cozumsiiz olmasiicin&i

e. 3

4. -5.x+ ky =-2 15x +J

=6

dogrusal denkler gore,kkactir?

a.-1

b.-1/3 c. 1/3 d. 1 e. 3

5. 2x+3y- z-1= , -x+5y+ z-14= ve 3x+y+2z-5=

eriverilsin.Buduzlemlerinkesimnoktasi a§agi- dakilerdenhangisidir?

a.(1,2,3) b. (-1,2,3) c.(-2,1,3)

d. (2,3,1) e. (2,3,^-1)

X1-x,+ 3x₄= 3x2^- x4=

dogrusaldenklemsisteminincozumiiileilgiliagagidaki ifadelerden hangisidogrudur?

a. Sistemin tekcozumuxl=x₂=x₃=x4= dir.

b. Sistemin tekcozumux1= -8,x2=1, x₃= -10, 4=

31

cokluktacozumuvardirvebuco-

xi

=-|f,

X2= ±t,

Xi--

y-f,X4=f

Ws

R)

d. Sisteminsonsuz cokluktacozumuvardirvebu96-

x,=-8t,x2=t,x_i= -lOt,x4=t (te R) e. Sistemincozumuyoktur.

8. x1+7x2^-3x3=-40 2xj- x₂+ x₃=9

x1-3x2+2x3= 20

dogrusaldenklemsisteminin(x1} x₂,x₃)cozumuasagi- dakilerdenhangisidir?

a.(3,-7,^-2) b. (1,3,2) c. (1,-5,2) d. (-1,5,4) e.(-5,2,3)

252 ^{BirazDahaDu§unelim}

9.Arz-talepfonksiyonlan,

ft=-14+ 8p ft,= 105^-9p

denklemleriyleverilen birmalindengefiyati^' miktanasagidakilerden hangisidir?

a.p=₃ , q = 10 b.

p

= 10 , q = 15 c.

p=

11 , <?=74 d.p=1 1 , g =6

10. Arz-talepfonksiyonlan,

4rfi=3-ft +ft, 4si=-4+_5ft '<&

2= 14_{+ ft}-

3ft,

&

2=-9+_2ft denklemleriyleverilenikiticarimalicindengefiyativ dengemiktarlai

=2

isagidakilerden hangisidir?

ft=5 , q1= 6 , #2=1

p2= 6 ,

^

^{= 6 ,} ft= 3 p2= 5 , ft=11 , ft=1

p2= 7 , ft=11 ,

ft=5

5 , ft= 21 , ft=1

Biraz Daha

Diisiinelim

1.a)3.x -

4y=6

b)5.x+2j=11

*+2j>= 2 4* +3j>=6

dogrusaldenklemsistemlerini grafikolarakcozunuz.

2. 3jc+y⁼2 -ix+2_y=j>

5x^-y⁼4 , 8x

=6

dogrusaldenklemsis eger oldugunugoste-

3. x-ly- z= 2 x-

y+2z=9

2x+

y+

z =3 sisteminincozumunubulunuz.

4. ikikapda bulunan%4lukve o9 luk tuxcozeltilerin- den 50litre%6likbircozeltieldeelmekicinherbirkap- dan ne kadarcozeltialinarak karistinlmahdir?

5.Birnehirdeseyredenbir bot,oncenehirinakismaters yonde6 saatyukan dogruseyrettikdensonrageriyedo- nriyorve2saattehareketettiginoktayaula§iyor.Sonra ,)gn.i3saatscyrcdip, tekraryukan dogru8 saat

seyrettigihaldebasjangicnoktasma 4

km

yaklagiyor.Bu nehirin akig hizi nedir?

Avukat vedevletadamiolanFermat'inbili- nen en Bnemligahgmasi Fermat'insonteore- miolarak bilinen^"x"+y=z"(n>2) denkle- mininpozitiftarnsayilarig ingozumuyoktur"

bigimindeifade edilenteoremdir.Bu teorem iginFermat,okudugubirkitabmkenarma §u notuyazmishr: "Ben bu teoremin gergekten gokgiizelbirkanitimyaptim, fakat bu sayfa- nmdarkenarma sigmaz." Oysa bu teoremin kamti matematikcjleriyaklasik350yilugras- tirmishr.