• Sonuç bulunamadı

Dogrusal Denklem Sistemleri

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Dogrusal Denklem Sistemleri"

Copied!
22
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Dogrusal Denklem

Sistemleri

Amaglar

Bu

iiniteyigahstiktansoiirci;

<JJj>iki bill ilerinin grafik gozumlerini

yapabilecek,

<Jg>n-bilinmeyenli dogrusal denklem sislemlerinin cdzi'im yunlemlerini ogrenecek,

<3J>Ekonomide arzve taleparasmdci, :ikifadeedil- mesinebirornekolarak,dogrusalarz-talepfonksiyonlanniinceleyecek,

•eneceksiniz.

(2)

DogrusalDenklem Sistemleri

tgindekiler

•ikiBilinmeyenliDo

em

Sistemleri

n>

3iginn-Bilim

•BilinmeyenSayisi n,DenklemSayisnu

m

•Arz-TalepFonksiyonlanveDengeMiktarlan tginDogrusalBirModel

Unite igindegegensizeyeni olan

kavramlar

uzerinde du§unmelisiniz, drnekleridikkatlice incelemelisiniz.

Verilenlerinvebulunmasiistenilenlerinneleroldugunuoncelikle belir- lemelisiniz.

Sizebirakilanahstirmalan kagi vekalem kullanarakcozmelisiniz.

Giris

Birgiclapazan,fiyatlart1,5milyonTl/kg ve2milyon TL/kg olaniki ge§itgayika- nstirmaksuretiyle100kg

karma

gayb, tiyati1,8 mil- yonTL/kgolc misse,100kg

karma

gayigindekiucuzve

pahah

gay

an

neolur?

ileringoziimleriyleugra§mi§

olmahsiniz.

Bu

tiirdei igozmekigin,adina ?nlidenklem- lerdedigimizdenklemlerden yararlandiniz:Qesitlihavuzproblemlerinin, faiz problemlerininuygun bigimdeolu§turulandenklemleryardimiyla kolaycagozii- lebildiginianimsiyorolmahsiniz.§imdiise,dahagok bilinmeyen vedaha gok denklemdenolusan sistemleringozumleriuzerinde duracagiz.Adinadogrusal denklemsistemi diyecegimizbnturdenklemsistemleriningozumlerinin varhgi ve tekligikonulanniarastiracagiz.

Matematikti. tar istatistik, fizik, biyoloji,muhendislik,ekonomigibi alanlarigindebirgokproblembirdot denklemsis- temibigiminde ifadeedilirvegoziimuaranir.Bazen iklem sistemi olarak ifade edilemeyenprobh /minedonugtiiriilerek

yaklasikgozumlerbu

em

sistemleri

dogrusal cebirinonemlibirkonusunuolusturur.

Bu

ilnitede,geneld< 'em sistemlerinin ifadeedilisi,homojenveho- mojenolmayansistemleringozumlerinin varhgi vetekli; Imast,yoket-

me

yontemiylegozumiinbulunmasikonulanuzerinde duracagiz.

Daha

sonra, matrislerkonusununislendigiunite igindedematrisyoi egrusaldenk- lem sistemlerinin gozuilain i i\ < ,ielealacagiz.

(3)

JKJ

BJLJNMEYENLi DOGRUSAL DENKLEM SJSTEMLERi

225B

tkibilinmeyenli birdogrusal

denklem

sisteminin grafik veanalitik

|qoziimuniinbulunmasidir.

a,b gercelsayilar,a vexbirbilinmeyenolmakiizereax+b = biciminde biresMigebirbilinmeyenlibirdogrusal Cineer)denklemdenildiginibiliyoruz.

Boylebirdenklemi saglayan tekbirsayi vardir;busayi

x=

-

dir.

Bu

sayiya ax+b = dogrusaldenkleminin

cozumu

denir.Ornegin,3x+2 = dogrusal denklemincozumu x=

dur.

a,b,cgercel sayilarvea* ,b* olmak iizere,x,

y

bilinmeyenleriicin ax+ by + c = bicimindekibir e§itlige ikibilinmeyenlibirdogrusaldenklemde-

nir.Boylebirdenkleminkoordinatdiizlemdebirdogruyutemsilettiginibiliyoruz.

Dolayisiylabu dogruiizerindekiherhangibirnoktayi temsileden

O

,y)siraliiki- lisiax+by+ c = denkleminisaglar,yanidenkleminbircozumudiir.

Bu

neden- leboylebirdenkleminsonsuz cokluktacozumuvardir.

y

bilinmeyeninixebag- h olarak cozersek,

y=

-

—(ax+

c) bulunur.

x

inalacagiherfarklidegerekar§i- lik

y

ninfarklibirdegeribulunur.

O

halde (x,y) coziimlerinin herbirisidogru iizerindebirnoktayi gosterir(§ekil11.1).Sozgeligi,2x-3y+1= dogrusal denkleminin(0,1/3),(1,1),(2,5/3) cozumleri2x-3y+1= dogrusuiize- rinde birernoktanmkoordinatlan-

clir.

§imdiikibilinmeyenliikidog- rusaldenkleminbirlikteverildikle-

ridurumuele alalim.

Bu

denklem-

ler,genel halde

fljX+ bY

y

+

q

=

hb2

y

+ =

b,Y)/

{"*)

/

'

olsunlar.

Bu

denklemlereikibilin- meyenliikidenklemdenolu§anbir dogrusaldenklemsistemidenir.

Denklemleribirliktesaglayanbir

O

,

y

~)ikilisisisteminbir coztimtidiir.Boylebir dogrusalden lincozumuniiaramak,geometrik olarak, diizlemdebu denklemlerin temsilettigidogrulannkesimnoktasmiaramakdemektir.Dogrula- nnparalelolmasidurumundahicbirortakcoziim olmayacaktir[§ekil11.2(a)];ca-

kigikolmalandurumundasonsuz coziim[§ekil11.2(b)],kesigiyorolmalanduru-

munda

isetekcoziim olacaktir[§ekil11.2(c)].

(4)

tlBilinmeyenliDogrusalDenklem Sisten

LiLMAJ

2x+3y= 10

-8x+

y

= 25

dogrusal

denklem

sistemini gdziiniiz.

Bu

denklemsistemindekidenklemlerdenherbiribirdogrudenklemidir.

2x+3y= 10 dogrusununegimi

ve -8x+

y

= 25 dogrusununegimi 8 oldugundanbudogrularkesi§irier.Dolayisiyla verilendenklemsisteminin tekbir coziimuvardir.§imdibucoziimliyok etmeyontemiyle bulalim.Bu yontemego- re,onceherikidenklemdebilinmeyenlerdenbirininkatsayilannie§itleyerek, bi- linmeyenlerdenbiriniyokedipikincisinihesaplayahm.

Bunun

icinbirincidenk- lemi 4ilecarpipikincisitizerindetoplayalim;

4/2x+3y

=108

x+Yly = 40 -8x + y= 25 -8x + y= 25

bulunur.

y

=5deger

13.y= 65

-¥y-

ibirincidenklemdeyerine yazalim:

2x+3(5) = 10

2x=10-

2x=-5

olur.Boylecesistemin tek coziimii

x=

-

,y=5 olarak bulunmus

2 -y

olur. Dogrularin kesim noktasi

U,5)

dir.

(5)

3x- ly= 7 -21x +14>= -49 denklemsistemini goziinuz.

Bu

denklemsisteminindenklemlerinin temsilettigidogrularmegimleriegittir;

m

= 3/2 dir.Dolayisiylebudogrularyacaki§iktirya dabirbirlerineparaleldir.

y-ekseninikesimnoktalandaayni, -

oldugundan budogrularcaki§iktir.

O

haldebu dogruiizerindekiherbirnokta sisteminbircozumudiir; yani verilensis-

teminsonsuz coklukta coziimiivardir.§imdi cebirsel olarakbu sonucudogrula-

x-

icin y=

icin y-

icin y-

7/

3x- 2y- 1 21x-

4v-

44

49

Bu

sonucsisteminikidenkleminine§degeroldugunugosierir.Bu nedenle bu denklemlerdenbirisi,diyelimki 3x-2y= 7 denklemi, almarakcoziim yapihr.

ix-2y= 7denkleminin

x

ebagimli cozumli,

y-\(5x-7)

olur.

x

degigkeninin alacagiherbir degerekargilik

y

ninbirdegeribu- lunur.

Bu

nedenle verilen sistemin sonsuzcoklukta coziimiivardir.

Bazi ozel coziimleriyazabiliriz:

gfHT»i

-4x +3y= 9 12x-9y= 15

denklemsistemini goziinuz.

.Denklemlerin hei Oncegeometrik olarak goi

biriningosterdigidogrununegimi

y-eksenininkesimnoktasi3,ikim

dogrulardir.Bunedenledeortakbirnoktalan yoktur.

O

halde verilen sisteminbi coziimiiyoktur.§imdibu sonucucebirselolarak dogrulayalim.

olupolmadigim gon

Fakatbuc

oldugundanbunlarfarkliparalel

dir.Fakatbudogrulardanbirincisinin -5

(6)

r

/

/I2x-9y=15 -4x+3y=9 /

3/ -Ax Ylx

5y= 9 -12x +

9y= 15 -> I2x-

9j- 27 9[y- 15 i= 42

Boyle biregitlikolamayacagm verilendenklemsistemininbirt

gore,

^ /

ozumu

^

BDT

Birgida

pazan,

fiyatlari1,5milyonTL/kg ve 2 milyon TL/kg olanikitiir

gaydan

100 kg

karma

gayhazirlami§tir.

Karma

gaymfiyati1,8milyon TL/kgoldugunagore,herbir

gaydan

ne miktarkan§tirilmi§tir?

%

x

l=1( igkarmacai7icindeki 1,5milyonTL/kg ikcavmiktan

x

2-1( <gl

am

laca7icindeki 2

m

ilyonTL/kg11icay

m

iktari olsun.

O

Z un.

yazill Di£er taaftankarmacayinfiyati 1,8 milyo TL/kgoldi urngo•e

5xt4 2

=

olmaKlr. >ye (1) e(2)denkle

m

lerinden

2 1 5vi

"* A -180

dogr alceik le ni elleedilir.Sistemicozeln

1/

x

-<2= 10D -2x1-2x2= -200

],5.x 2.f2=183 -> 1,5*1+2x7=180 -0.5Xi= -20

eb»y le r

ce a r.

O

halde,100kgk irmacaViciide

4)V 2= 60 bulunL 40kg

ucuz?iy,it1s ahahcayclmalidir.

11L1UJ

A§agida verilen dogrusaldenk rinincozumlerinioncegeomet olarak(grafikyoluyla),sonrada cebirsel olarak ara§tinmz.

a) 2x+

y

=-1 b) 3x-

y

= 2 c) 2x+

y

= 3

-2x +_y=1 -18x +6j= -12 4x+2y=1

d) e)-2x +

(7)

i(n>3)

Asagida verilen dogrusaldenklemsistemlerininher birinincoztimtinun var olup olmadigini, varsacozumuntekmisonsuz cokluktamioldugunubelirle- yinizve coziimii bulunuz.

a) x-

y

= b) -2x +Ay

=36

c)2x-

y

= 4

2x+2y=

x

-2y= 20 x+2y= 7

d) 2x =.y-

-6x +3y= 9

e) -x +5y= 2x-6y= 8

3x

2y=5

3.y= 4

n-BJLJNMEYENLi DOGRUSAL DENKLEM SiSTEMLERJ (n>3)

JL^JJ fo&

bilinmeyenligok

denklemden

olusan dogrusal

denklem

siste-

T

tnininqoziimlerinin

Gauss yok

etme ydntemiyle bulunmasi.

Onceikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbirdogrusaldenklemsisteminin co-

zumunun

ara§tinlmasmda izlenenyok etmeyontemini, 3-bilinmeyenliticdenk- lemdenolusanbirdogrusaldenklemsisteminin

cozumunun

arastinlmasinayone- likolarakgenelle§tirelim.Sonrada w-bilinmeyenli

m

sayidadogrusaldenklem- denolusan sistemlerincozumlerininbulunmasikonusuiizerindeduralim.

Bilinmeyensayisivedenklemsayisiiicolarakalinirsa,

axx+ bLy + c{z+cl Y

= a2x+b2

y

+ c2z+

d

2= a^x+ b^y + c^z +c/3=

bicimindeticbilinmeyenliticdenklemdenolus,an birdogrusaldenklemsistemi eldeedilir.Heriicdenklemibirliktesaglayanbir(x,

y

,z)siraliuclusiinesiste- minbir<:6zumudenir.Geometrikolarak,budenklemlerin herbirikoordinat uza- yiicindebirdtizlemi temsil eder. Dolayisiyla sisteminortak coziimiiolmayabilir (ticdiizlemdenenazikisininbirbirlerineparalelolmasiveyafarklidogrularbo- yuncakesismeleridurumu[§ekil11.6(a),(b)ve(c)]),sonsuz coklukta coztimola- bilir (ticdtizleminbirdogruboyuncakesismeleriveyacaki§ikolmalandurumu, [§ekil11.7(a)])yada tekbircoztimolabilir (ticdtizlemin tek ortaknoktalanolma- sidurumu,[§ekil11.7(b)]).

(8)

EEHB

§imdifarklidurumlaricinbirerornekverelim.

7x-3y+5z= 28 -x-3y+

z=

12

5x+ 3y+ z=0

dogrusal

denklem

sistemininqoziimuniibulunuz.

Uciincudenklemi-3ilecarpipbirincidenklemleve-1ilefarpipikincidenklem- letoplarsak,birinciveikincidenklemdenzbilinmeyeniyokolur.Boylece verilen sistem,

-8x-12y = 28 -6x- Gy = 12 5x+

3y+z=0

dogrusaldenklemsistemine donuslir.

Bu

birincidenklemiizerindetoplayalim;

ikincidenklemini-2ilecarpip

5x -by

^3y

+

sistemieldeedilir.Busisteminbirincidenkleminden

x

=1bulunur.ikincidenk- lemde

x

=1yazilinca

y

=-3olur.Uciinciidenklemdex=1,y=-3 yazilinca 5(1) + 3(-3)+z= veyaz= 4eldeedilir.Boylece sonsistemin tekcozumii

x=l,_v=-3,2r=4

olur.

Bu cozum

aynizamandaverilendenklemsistemininde tekcozumudur.Bunu dogrulamakicinbulunanbudegerleri verilensistemde ye- rineyazalim,

7(1)-3(-3)+ 3(4) = 28

-(1)-3(-3)+ 4

=12

veya 5(1) +3(-3)+4

=0

arakistenilendogrulanmis.olur.

28 = 28 12 = 12

(9)

Xj+2x2- x

3= 4 2xj +3x2-

x

3=1 3xj-

x

2+4x3= -37

dogrusal

denklem

sisteminingozumunii bulunuz.

ffTTTTWl

Kolayhkvekisalik icinverilensisteminbirincidenklemini

R

1;ikincidenklemini i?2,uguncii denkleminii?

3ilegosterelim.ksifirdan farkli birsayiolmakiizere, kR{

+Rj (i,j =1,2,3 ve z'^7) simgesiyle z'-yinci denkleminikitarafmm

&ilecarpilipjLyincidenklemiizerindetoplanmasim,kR

i

iledez'-yincidenklemin kilecarpilmasim gosterelim. §imdibugosterimlerikullanarak verilen sistemin co- zumiinuarastiralim.

-7x2+7x3= -49

Elde edilensondenklemsistemiiicbilinmeyenliikidenklemdenolu§anbir sis- temdir.

Bu

sistemdex3iibagimsizdegisken olarakdiisiiniip

x

1vex2bilinmeyen- lerini X3 e bagli olarakcozebiliriz.X3 =tdiyelim.R'

2den x2= x^ + 7 =

t+7

ve

R

1den x1= -2x2+x

3+ 4 =-2 (t+7)+t+4 =-t-10 olur.Boylecesiste- mincoziimu, ?parametresine bagli olarak

+3v2-.J A1, :3. rn+'

i?! :

"* y^2 :

?,f K-3:

3= -37 i?'.=-3.R,

,+2x -X

2+

X

3--7 -> fl'2

Xj

--*

X2=?+

x

5=t

10

Q

gR)

olur.Her ?gercelsayisiicin C-f-10,/"+7,

O

siraliucliisiiverilensisteminbirco- zumiiolur.

Bu

nedenle verilen sisteminsonsuzcoklukta coziimiivardir.

Bu

sonu- cugeometrik olarak §6yle yorumlayabiliriz: Verilendenklemsisteminindenklem- lerinintemsilettigidiizlemler,parametrikdenklemleriyukandaki§ekildeolan dogruboyuncakesi§irler.

x

\+3x2- 6x3 =-4 -2x1+

x

2+ 4x3= -2xj-6x2+ 12x3 =5

dogrusal

denklem

sistemini qoziiniiz.

R

1: X

R

2:-2x

3x2 + 6x3 -4

P

x2+ 4x3= -> 1 ?'n=?,/?,+

R

2 : 7 Hr. -8

7?3:-2x ).\, -3

Dontistili-ilent teminiiciiciidenklemi Z?',gecersizbir esili ilck a rilen sis teiinbir

(10)

Bilinmeyen

Sayisin,

Denklem

Sayisi

m Olan Sistemler

§imdi genelbirdogrusaldenklemsistemitammlayalimve2veya3bilinmeyenli sistemlerincoztimleriicinverilenyontemigenellestirelim.

Genelolarak, xx,

x

2,...,

x

n lerbilinmeyenlera^ve b

tlergercelsayilar olmakiizere,

a m\x\+ a mlx2+

+a mn xn~^m

biciminde olanbirdenklemsistemine,nbilinmeyenli

m denklemden

olusan birdogrusal

denklem

sistemidenir.Egerb

tlerinhepsisifirisesisteme

homo-

jen,enazbir b

i* isesisteme

homojen olmayan

dogrusal

denklem

sis-

temidenir. nbilinmeyenlibirdogru dnbircoziimiiherbir

denklemisaglayanbir(k

x,k2,...,k„)w-siralisidir.Be isaldenklem sisteminintekfdztimii olabilir, sonsuzfoklukta cozlimu olabilirya da hic- bircozumii olmayabilir.Eger sistem homojen, yani b-y= b2=...= bn= ise (0, ,...,0) w-siralisibircozumdiir.Butiircoziimehomojensisteminsifirco- zumii(asikarcozumii)denir.

O

halde,homojenbirsistemindaimabircozlimii (en azsifircozumii)vardir.

Homojen

olmayanbirsistemin coziimuniinvarligi, tekligikonususisteminbilinmeyensayisi,denklemsayisi,a

tjkatsayilanve b

tsa- bitleriileili§kilendirilerekkisaca irdelenecektir.

Bunun

icinoncebasamakbici- mindedogrusaldenklemsistemitamminacle

Birdogrusaldenklemsistemi,genelolarak,dikdortgen bicimindedir.Egerbi- linmeyensayisidenklemsayisinaesitisesistemekare sistemdenir.Denklemsis- temininilkdenklemindenveilkbilinmeyendenbaglayarak,asagiyadogrubilin-

meyen

sayisigiderekazahyorsabutiirbirsisteme

basamak

bicimindedirdenir.

Ornegin;

3xj-5x2-10x3+

x

4=-35 xx+5x2+x5- x4= x2+ 7x3

=5

-x2+

x

3+5x4=

x3+x4= 3x3- x4=

5x4= 3

denklemsistemlerindenilkibasamakbicimindehomojen olmayandogrusaldenk- lemsistemi, ikincisibasamakbicimindehomojenolanbirdogrusaldenklemsis- temidir.Basamakbicimindekibirsisteminavantaji,sistemincoziimuniin varolup olmadiginindahakolay belirlenmesi,coziim varsa coztimiin kolayca bulunabil- mesindengelmektedir.Ornegin,yukandaverilenhomojen olmayan basamakbici-

mindekisisteminsondenkleminden x4=

,iiciinciidenkleminden x3=-

,

46 _ 22 ^

ikincidenklemindenX2 =

- ,birincidenklemindenX\ -

olaraksistemin coziimiikolayca bulunabilir.Eger verilen dogrusaldenklemsistemibasamakbi- cimindedegilse,sistemasagidatammlananiic tiirtemelsatiriglemleriylecoziimii

nlmedenbasamakbicimine doniistiin

Temel

satirislemleri;

I. sisteminherhangiiki

denklemin sirasmm

degistirilmesi, II. sisteminbir

denklemin

herikiyanininsifir

olmayan

birsayiilecar-

pilmasi,

III.sisteminbirdenklemininsifir

olmayan

birkatininbirbaska denkle-

me

eklenmesi.

(11)

Birdogrusaldenklemsisteminesonlu sayidatemelsatiri§lemiuygulamrsa, so- nucta elde edilen yeni dogrusaldenklemsistemine basjangictakisistemeesdeger denklemsistemidenir.Esdegerdenklemsistemlerinincoziimlerivarsa,aymdir.

Bu

nedenle verilenbirdogrusaldenk lmakicin sis-

temtemelsatiri§lemleriyle h. lindee§degerbirsistemedonii§tiiriile- bilirve coziimaranir.Bu bicimde

cozum

aramayaGauss

yok etme yontemi

Homojen olmayanbirdogrusaldenklemsistemibasamakbiciminedoniistii- riildiigiinde,egerdenklemlerdenbirinin birinci tarafisifirikenikinci tarafsifirdan farklibirsayi ise,verilensistemin coziimii yoktur.

Bu

durumdasistem tutarsiz- dirdenir.Eger sistemtutarsizdegilve bilinmeyensayisidenklemsayismae§it ise, sistemin tekbircozumii vardir(Bucozum yukandakiornekteoldugugibikolay- ca bulunur).

Denklemsayisim, bilinmeyensayisin den dahaazoldugudurumda(n-ni) tanebilinmeyen bilinen kabuledilerek,sistemin coziimiiaranir.Bu durumdasis- temin sonsuz cokluktacozumiivardir.Eger dogrusaldenklemsistemihomojen ise,daimasifircozumiiolduguaciktir;yanihomojenbirsistemincoziimsuzlugii (tutarsizligi)sozkonusudegildir.Boylebirsisteminya tek yadasonsuz cokluk- tacoziimiivardir.Sistembasamakbicime doni dedenklemsayisi bi- linmeyensayisinaesitisetek

cozum

sifircoziimdiir;denklemsayisibilinmeyen sayisindan azisehomojensisteminsonsuz coklukta coziimiivardir,(n-ni) tane bilinmeyen bilinen kabul edilerek coziimyapilir

Ozetlersek;

m

tanedenklemdenve n tanebilinmeyendenolusanhomo- jenolmayanbirdogrusaldenklemsistemiicin

m

< n ise,sistemin hicbircozii- mii olmayabilirya da sonsuz coklukta coziimiiolabilir.Eger

m>

nise,hicbirco- ziim olmayabilir, tekcoziimolabilirya da sonsuz coklukta coziimolabilir.

Homo-

jensistemlerdeise,yasifircoziim yadasonsuz coklukta coziimvardir.

§imdibufarklidurumlaricinomeklerverelim:

dogrusal

denklem

sisteminingoziimunu bulunuz.

Dort bilinmeyenli dortdenklemdenolusanhomojen olmayanbirdogrusaldenk- lemsistemi.

Bu

sistemisatirisjemleriylebasamakbicime donu§tiirelim.

Bunun

icin ilkdenklemdebirincibilinmeyenxlinkatsayisi1olacak sekildebiri§lem ya- pabiliriz.Fakatilkdenklemintiimterimlerini3 ebolmekuygunolmaz,ciinkiike-

sirlisayilarlai§lemyapmak durumundakalinz.Bunedenleilki§lem olarakbirin-

cisatirileikincisatinnyerlerini degi.stirelim:

x

x - x3+2x4--3 3xj +2x2+2x

3+ x4=-1

x

i+2x2+ *3 + *4 = 2 -xy-4x2-

x

4=5

Bu

sisteminbirinci satinni, sirasiyla -3ilecarpipikinci satir iizerinde,-iilecarpip iiciincii satiriizerinde,1ilecarpip dordiinciisatiriizerindetoplayalim:

(12)

2x2+5x3 ^x4= 8 2x2+2x3

x

4=5

x

4

Ax

2 x34

§imdideikinci satin, sirasiyla, -1ilecarpipiiciinciis satiriizerindetoplayahm:

rve2ilecarpip dordiincii

- x

3+2x4=-3 +5x3-5x4= 8 -3x3+4x4=-3

y^3

Uciinciisatinniic katinidordiin satirlizerindetoplayahm:

x

1 - x3+2x,j ST;= 8 -3X3H --3

Bu

sistembasamakbicimindebirdogrusaldenklemsistemidir.Dordiinciidenk- lemden x4= 3 bulunur.Budegeriiciinciidenklemdeyerine yazilinca

-3x3+4.3- -3x

3 -3-12, A

3

olur.x

3vex4iinbulunandegerleriikincidenklemdeyerlerine yazilincax2=-1 vebirincidenklemdeyazilinca

x

x=-4bulunur.

O

halde, verilendenklemsistemi- nin tek coziimii varve bucoziimxl=-A , x2=-1 , x3=5, x4=3

; yani

(-4,-1,5,3)siralidortliisudur.

mm x

+

y

- z=

-2x +

5y+7z=9

3x+ y + 2"=-8 x+ 2y-3z= 4

dogrusal

denklem

sisteminin

gozumun

Verilensistemdeiicbilinmeyen dort tanedenklemvar.Bu denklemlerdenher- hangiiiciiniialip,iicbilinmeyenliiicdenklemdenolu§an sistemin coziimiinii arastinnz.Eger coziim varsavebucoziimdi§anda kalandenklemi desagliyorsa, verilensistemin coziimiiolur;saglamiyorsa, sistemtutarsizdir. ilk iicdenklemden

olugansisl tiralim.

x

+

y

-

z

= -2x +5y+lz= 9

*1 -> *2= ^1

: W, =- JA*,

T 7-=

v y- 2- =

7y+52r = 9 -2)/+42T =-J

7y+5z= 9 -j +2z=-4

(13)

7i?"3+R'2

Uciincudenklemdenz=-1,ikincidenklemden

y

= bulunur.§imdibu coziimunverilensistemindordt lamadigmabakalim:

+

y

- z= ikincidenklemileiicun-

ciidenkleminyerlerini degistirdik.

-V + ly+5z=9

ikinci denklemi 7 ile carpipuciinciidenklem uzerinde topladik.

+ v- U

-

y

+2z=-4

19z=-10

2, birincidenklemden

x

=

nciidenklemini sag

X+ -3+

2y- 32 2.2-3C-D

=4

=4

=4

oldugunc anverile denkle tutarhd vesistemincozumii(-3,2,-1)si-

x

x+2x2+ x4=-3

*2+ 3^4 =4

denklem

sisteminingdztimu

Sistemibasamakbicimine

dom

denklemuzerinde toplayalrm.

:Birincidenklei

'»»'»«

ilecarpipikinci

Bu

sisteminucunciidenklemini -1 ilecarpip uciincudenklemuzerinde topla-

x

x+

x

2+ x

3

=-1

x

?- x,+ Xa =-2

Bi sistem rbilinrr

indenkleu e

ayisibilinmeyenslyisindanazoldugundanaradaki fark ka- da leyeni1 ikabulederek sistemincoziimunii arasurahm. Aradakifark

3 -1 iDilinmeyenlerden 4

X

1+a?.

'

= ->t

teminiside(d :esistemintye bagli olarak elde edilencozumu,(bu ziime para

c3=6-2t, x2=xi-2-t= 6-2t-2-t= A-3t

> «, =-11+5

X,-- + it- 6 +2

(14)

Bilinmeyen Say :nklemSayis nSistemle

mini

olur.tgercelsayisinm alacagi herdegericinsisteminbirozelcoziimu bulunur.

Bunedenle verilen sistemin sonsuz coklukta coziimiivardir.Sisteminparametrik coziimu (-11+5t,4-it, 6-2t, t)siralidortlusiidur. ikiozelcoziimu

t= if in

t-\

if in

olarakver

= 6 ,

Xj=-6 ,

x

2=1 ,

^ x

4=1

r

x+ y-z=-\

3x-

y

+ 2-=5 2x+2_y-22-

=3

denklemsistemini qoziinuz.

Sistemibasamakbicimine doniigtiirelim: Birincidenklemi-3i

denklem,-2ilecarpipiiciincijdenklemiizerindetoplayalim.

x+ y-

z =-1

=8

=5

basamak bicimine doniisur.

Bu

sisteminiiciinciidenklemindegoriilen =5 egitligiolamayacagina gore, verilen sistemin denklemleritutarsizdir;birbaska de- yigle,sistemin coziimii yoktur.

Uliti

R-y: x-y-2x2+3x3-2x4=

R

2:3Xy-1X2-

X

4=

R

3:4xy-lx2+9x5+2x4=

R

4: Xy+ 2x3-3X4 =

homojen

sistemincozumiinu bulunuz.

m

has

3A>,

R

'2- i?2 : -X,-9 X3+ 5x4=(1

'*-

-^#1 i?3 : J "2-3X,+ ()x4= -1?!+/4 :

i?u : Xy-2x X,- 2x4-

i?'2 2-9 x3+ 5x4=

#"

3=i'•>+i?'

3 : -12X,+l^Xy = u

-£"4=2*2+ #4 : -19 x3+

^1 : XX-2x2+ Ix3- 2x4= u /?'

2 a2"'x3+

^4

=

(15)

1 1 4

k -•^2-' 7.Y4

R 'A-4=

R4= 19?3+J

'"i j- X-i =

1bu basamakbicimi dortbilinmeyenve dortdenklemdenolusaigundan verilensistemin tekcoziimusifircozumdiir.

UHUI

+ly+82=

-3y-lz=

homojen

dogrusaldenklem sisteminin goziimiinu bulunuz.

"

->s;n kh

me

doniistureira:

F Z-

R'2=

R

1 *7 3y +c2-= >

R"=-R'

:

y

+

3z

= ->

R

'i

=

R

i

S

2)'"<

2-0 R

a

-^R'

:

y

+32=

J

+

R\

v +;

2=0

olur.§imdibuhomojensisteminbilinmeyensayisi3denklemsayisi2oldugun- danbirbilinmeyeni,diyelimki 2yi,bilinenkabulederekcozumaranir. 2=t icinsisteminparametrikcozumu,

z=

t ,

y=-5z=

-3t

olur.Verilen sistemintye bagli icin ikiozelcozumuniiyazali

t=5 icin

olur.

y

+ -3/

zcokluktacozumuvardir.

=2

UHQEO

lakidogrusaldenklemsistemlerininvarsa,coziim kiimelerini bulunuz.

l.3x

i-5x2= -30 2.

^

+ x2+ x3=

Xj+ x2=-2 5x,-

x

2+4x3= 16

lOxj +3^2- J%=-1

5x+ 7y-IO2= 20 lOx+ 12y-212=-5 -15x-21y+322= -50

2x, x2- =12

5X[-4x2+ 6x3 = 24 3xt-3x2+ x

3= 54

-

x

3= 6

h5x, =-2

(16)

-iiginDogrusalBirMoc

x2+3x3-x4= x1+7x2+4x5-

Xj-x2+ x3

=0

Xj+3x2+3x3=

9- 100kigilil bayanlannsayisibaylannsayisininyansindan1

fazladir.

Bu

gruptakibayanvebaylannsayisinedir?

10.50 milyar parasi olanbiryatinmci parasinin tamanini yilhkgetirisi%25,

%30

ve%35olaniictiiryatinmaracinda degerlendiriyor.Yilsonunda%25ve

%30

ileyatanmiktarlarmtoplamgetirisi8,4milyar,

%35

ileyatanmiktarmana pa- railebirliktedoniisu27 milyarise,herbiryatinmaracinayatan miktar nedir?

ARZ

-

TALEP FONKSIYONLARI VE DENGE MiKTARLARI iCJN DOGRUSAL BJR MODEL

Bo5 Ekonomide

arzve taleparasindakiiliskininbirdogrusaldenklem

"^

sistemiyleifadeedebilecegini

gormek

vebuiliskiyimatematiksel

'olarakirdelemektir.

Bir ticari

malm

piyasasmda

malm

fiyati,

malm

piyasadakitalebive piyasayaarzi arasmdakarma§ikbiriliskivardir.

Bu

iliskiyicesklimatematiksel modellerle yak- lagikifadeetmek miimkundur.Malin fiyatimbagimsiz degis,ken olarak kabul edersek, arzve talepmiktarlanmfiyatinfonksiyonlan olarak ifadeedebiliriz.

Bu

fonksiyonlaraarz-talepfonksiyonlandenir.Arz-talepfonksiyonlan dogrusalolabi- lecegigibi,ikincidereceden veyadahayliksekderecedenpolinomtlirlindefonk- siyonlardaolabilir.Bizburadabirmalinpazanicinbasit birmatematikselmodel olusUirmakistiyoruz.

Bunun

icinde arz-talepfonksiyonlanmbagimsizdegisken fiyatindogrusalfonksiyonlan olarakkabul edecegiz.Modelimizdearzve talep miktarlannine§itolduguandakifiyatadengefiyati,dengefiyatina karsriikgelen arz-talepmiktannada

denge

miktarlaridiyecegiz;yadakisaca,dengefiyati- dengemiktar izindenge noktasi (denge durumu) admive- recegiz.Boylecearzfonksiyonu, talepfonksiyonuvedengedurumarasindakiili§- kiyibirdogrusaldenklemsistemiyle ifadeedebilecegiz.

§imdiboylebirmatematikselmodeliaynntilaragirerek olugturalim.

Bir ticarimalin(uriiniin)birzamanaraligiicindepazara

sunum

(arz)miktari- niqs,pazanntalepmiktanniqd ve fiyatim

p

ilegosterelim.§imdi arz-talepvefi- yatarasindabasitdengelibirmatematikselmodel olusmrmakistiyoruz.Modelimi- zinbasitligiicin

p

yibagimsiz degisken, qsve qdyide

p

nindogrusal fonksiyon- lanolarakdusunelim. Fiyatarttikca

sunum

artacagmdanve talepdeazalacagin- dan,qsyi

p

nin artanbirfonksiyonu, qdyide

p

ninazalanbirfonksiyonuola- rakdiisiinebiliriz.Boylecea1:a2,bx,b2pozitifkatsayilarolmakiizere,qsve qd fonksiyonlan

qs= -ax+

btp

1d=a2~

hP

bicimindeyazilabilir.Modelimizin dengeli olmasiicinbusistemebirdedengeko- sulu eklemeliyiz.

Bu

dengekosulupninbellibirdegeriicintalebin arzae§itol- masi,yani qd= qs durumundaortayacikar.Boylece modelimizinmal selifadesi, aY,bY,a2,b2> olmakiizere,

(17)

Is-"«1

Id =

&

&2P

bicimindeiicbilinmeyenliticdenklemdenolus.an birdogrusaldenklemsistemi olur.§imdibusisteminbircoziimunuanalitikolarakaramayagiri§meden once, geometrik olarakgormeyecaligalim.

Bu

nedenle, arz-talep analizindeoldugugi- bi;yatay eksenip,diisey ekseni qs,qd olanbirdikkoordinat sisteminde arz fonksiyonu qsninve talep fonksiyonu qd ningrafiklerinicizelim:

Arzfonksiyonu qs artanoldugundanegimipozitif bx sayisidirve diisey eksenikesimnoktasi-a^dir.Ancakfiyatin belirlibir

p

1(px=cty/by) degerin- densonra

sunum

sozkonusu olacagmdan, qsningrafi

olacaktir[§ekil 11.8(a)].Talep fonsiyonu qdazalanoldugundanegimi negatif -b2 sayisidirve diisey eksenikesimnoktasi a2 dir [(§ekil11.8(b)].Sistemindenge kosuluicin qs=qd=q yazip,arz-talepfonksiyonlarmmgrafiklerini,diisey ekseniq olan aynikoordinat sistemindecizersek, qsveqd ningrafiklerinin kesimnoktasidengefiyati

p

'akarsilikgelen q icin(pQ,q)dengenoktasi olur [§ekil11.9J.

'1

\p

\. qd=02-bip

/a

=-a

\

talepfonksiyonu

/^-y

\ipo<)dengenoktasi

.--'0|/bl alib2

fiyatiifinurunlin arzmiktantalepmiktannaesjttir.

(18)

§imdi(1)denklemsisteminincozumiinuanalitikolarakbulahm.Dengekosu- luqs=qdoldugundan, qs=qd=qdersek,(1)sistemi

q=-«! + bx

p

(2)

q=

a2-b2

p

dogrusaldenklemsis* giir.Ikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbu

icoziimiiicinqyu yokedersek,

-blP

= -b2

p

(6,+ b2)p=flj+a2

olur.b-y+ b2^ oldugundan

p

ye gore coziim,dengefiyati

p

yiv

olur.

p

ninbudegeri(2)

L1LMA1

birincidenklemindeyerine yazilmca,denge

a\b\-ci\b2+b\ci\+foi«2

b\+&2 fol+

&2

atb\-a\bz bi+ bz

bulunur. b

Y+ b2> oldugundan denge miktan <-/nun pozitif olmasi icin fl2^i-fli^ > olmalidir.Dolayisiyla,(1)sistemininekonomikolarakanlamliola- bilmesiicin,sistemina2b

x

-axb2> kosulunusaglamasigerekir.

Bu

ornekteki(1)denklemsistemiyleverilenpazarmodelinedogrusal

model

adiverilir.

§imdikonuyailiskinbaziornekler verelim:

Arz-talepfonksiyonlaria§agidaki

denklem

sistemleriyle verilen

pazar

modellerinindenge noktasi (p,q)

yu

bulunuz.

a) qs=-3+lp b)qs -15p+ 125 = qd= 15-2p qd+ 3p - 37=

Herbirpazarmodeliicin qs=qdoldugundadengesozkonusuolacaktir.Bune- denle verilen herbirsistemicin qs=qd=q yazip,dengefiyati

p

vedengemik- tanq yubulahm:

a) Is= la'=

# yazmca

-3+7p= 9 15-2p=q

denklemsistemieldeedilir.

Bu

sistemden qyokedilirse, -18 +9p=

ve boylece

p

= 2 bulunur.

p

ninbudegeri q =-3+lp denklemindeyerine yazilmcaq= 11 bulunur.Dengenoktasi(2,11)olur.

(19)

b)Benzerolarak,

q-15p+ 125 - q+ 3p- 37 =

sisteminden qyokedilince 18p-162 =

mi eldeedilir.

Bu

denklemden

y p=

-=5=-18= 9 bulunur.

Bu

deger q-15p+ 125 = denklemindeyerine yazihnca,^-15(9)-t veya q= 10bulunur.Dengenoktasi(9,10)olur.

Yukandakiorneklerde sadecebirtiirticarimalin pazariicindogrusalbirmodel verildi.Aslindabirbirleriyleiligkilibirdencokticarima'

debirdogrusalmodelyazilab in,diyelimki,birbirleriyleilis,kiliikiti- carimalicindogrusalbirmodelyazmakistiyoruz.Birincimalinfiyati

p

ltikincisi- nin

p

2olsun.

Bu

mallannarz-talepfonksiyonlarmidasirasiylaqSl,q.d\><lsz>tfdz ilegosterelim.Parametrik olarakbudogrusalmodelled,denge kosullanm daek- leyerek §6yleyazabiliriz:

=a +aipi

+a

2pz - bo+ b \p\ + b 2P2

qS2= c +cipi

+c

2p2 qd2

=d

a+d\p\+

d

2pi

§imdibu durumabirornekolarak,iligkiliikit dogrusalmodellerindengecozumlerini bulalim.

I

INMH

Birbirleriyleili§kiliikiticari

mal

icinarz vetalepfonksiyonlara§agidaki denklemlerleveriliyor.

Bu

mallaricindengefiyatlarinivedenge miktarla- rinibulunuz.

1) qdi= 12-2p1+

p

2 2) qdl= 18 +

p

1-

p

2

Isi =-8+ 3pj qS2=-6+ 2p2

Bi dengek

ve o,ulu

h= ft*d1

h

itlr.Bur

r

<ldX=qSl-

%

<&

'<zmca,-\e 11) ve It 11eri

/

m

siste 18 /i

<7i -2Pi-1Pi /'?

8 <l2 6H

istemle dMil ise <h ii :isiStemden'/^okeli

s"i P.=X -1 V), ?4

knkleiil

n

ellet dilir.Blidenk e neri ke i>e

5^

-Pi P 3

%

=

2t 24

(20)

-iiginDogrusalBirMoc

ikibilinmeyenliikidenklemdenolu§anbu 3ilecarpipikincidenklemiizerindetoplarsak

cozumuiginbirincidenklemi

14ft= 84 Pi-

bulunur.Boylece 3ft= 24 +ft= 24 + 6 = 30 , ft= 10 olur.§imdibuden- gefiyatlarmiherbirsisteminarzya da talep fonksiyonlarmda yerine yazinca, her bir

malm

arzmiktantalepmiktannae§itolacaktir.Yani,

qt=12-2/?j+

p

2= 12-2(6) + 10 = 10 q2= 18 +

p

1-ft= 18 + 6-10 = 14

olacaktir.Boylece dengefiyatlar

p

1=6,

p

2= 10 ve denge miktarlanq1

=

q2= 14 olarakbulunur.

10,

ULLUW

Bir

malm

talepfonksiyonu qd= 75-2pvearzfonksiyonu<£.= -15 +4pola- rakveriliyor.

Bu

malicin,

a) talebinsifiroldugu, b) arzinsifiroldugu, c) arzve talebine§itoldugu fiyatlan belirleyiniz.

Arz ve talep fonksi

<?,=-5+3p

olarak verilenbir

malm

hangifiyatiicinarzve talep miktarlane§itolur?Den- gemiktanmbelirleyiniz.

Arz-talepdogrulan,

qs=-13 +

Up

<& = 27-4p

olarak verilenbirmodelindengenoktasi nedir?

Birbirleriyleiligkiliiki

malm

arzve talep fonksiyonlan, qdi= 54-2p1+

p

2 qch= 68 +3ft-2p2

'<fa= lift-16 qsz= lift-18

olarakveriliyor.Herbir

malm

arzve talebinine§itmiktarlarda olacagidenge fiyatlarvar midir?Varsadengedegerlerinelerdir?

(21)

Kendimizi Sinayahm

1.2x+3y=1 ve-3x +ly =-8dogru tasiasagidakilerden hangisidir?

a.(-1,2) b.(2,-1) c.(1,-1)

d. (-1,1) e. (2,1) 2. 2x-5y= 16

-x

+7y=

-17 dogrusaldenklen denhangisidir?

a.(18,4) b.(23, 6) c. (-4,-3)

d. (3,2) e. (3,-2)

3.3x+6y=8 fa;+2>>=6 dogrusaldenklen

(x,y)cozumuasagidakik

6.x+y-2z =-2 2x-y-z=5

x-3y+2z

=10

...::

a. x=t

b.x=-1+t

y=-3

+t

z=

t

QeW

c. x=-1+t

y=2t z=

t (?eR)

d.

x=l

+t

y=-1+t

z=

t {te1R)

cozumsiiz olmasiicin&i

e. 3

4. -5.x+ ky =-2 15x +J

=6

dogrusal denkler gore,kkactir?

a.-1

b.-1/3 c. 1/3 d. 1 e. 3

5. 2x+3y- z-1= , -x+5y+ z-14= ve 3x+y+2z-5=

eriverilsin.Buduzlemlerinkesimnoktasi a§agi- dakilerdenhangisidir?

a.(1,2,3) b. (-1,2,3) c.(-2,1,3)

d. (2,3,1) e. (2,3,-1)

X1-x,+ 3x4= 3x2- x4=

dogrusaldenklemsisteminincozumiiileilgiliagagidaki ifadelerden hangisidogrudur?

a. Sistemin tekcozumuxl=x2=x3=x4= dir.

b. Sistemin tekcozumux1= -8,x2=1, x3= -10, 4=

31

cokluktacozumuvardirvebuco-

xi

=-|f,

X2= ±t,

Xi--

y-f,X4=f

Ws

R)

d. Sisteminsonsuz cokluktacozumuvardirvebu96-

x,=-8t,x2=t,xi= -lOt,x4=t (te R) e. Sistemincozumuyoktur.

8. x1+7x2-3x3=-40 2xj- x2+ x3=9

x1-3x2+2x3= 20

dogrusaldenklemsisteminin(x1} x2,x3)cozumuasagi- dakilerdenhangisidir?

a.(3,-7,-2) b. (1,3,2) c. (1,-5,2) d. (-1,5,4) e.(-5,2,3)

(22)

252 BirazDahaDu§unelim

9.Arz-talepfonksiyonlan,

ft=-14+ 8p ft,= 105-9p

denklemleriyleverilen birmalindengefiyati' miktanasagidakilerden hangisidir?

a.p=3 , q = 10 b.

p

= 10 , q = 15 c.

p=

11 , <?=74 d.p=1 1 , g =6

10. Arz-talepfonksiyonlan,

4rfi=3-ft +ft, 4si=-4+5ft '<&

2= 14+ ft-

3ft,

&

2=-9+2ft denklemleriyleverilenikiticarimalicindengefiyativ dengemiktarlai

=2

isagidakilerden hangisidir?

ft=5 , q1= 6 , #2=1

p2= 6 ,

^

= 6 , ft= 3 p2= 5 , ft=11 , ft=1

p2= 7 , ft=11 ,

ft=5

5 , ft= 21 , ft=1

Biraz Daha

Diisiinelim

1.a)3.x -

4y=6

b)5.x+2j=11

*+2j>= 2 4* +3j>=6

dogrusaldenklemsistemlerini grafikolarakcozunuz.

2. 3jc+y=2 -ix+2_y=j>

5x-y=4 , 8x

=6

dogrusaldenklemsis eger oldugunugoste-

3. x-ly- z= 2 x-

y+2z=9

2x+

y+

z =3 sisteminincozumunubulunuz.

4. ikikapda bulunan%4lukve o9 luk tuxcozeltilerin- den 50litre%6likbircozeltieldeelmekicinherbirkap- dan ne kadarcozeltialinarak karistinlmahdir?

5.Birnehirdeseyredenbir bot,oncenehirinakismaters yonde6 saatyukan dogruseyrettikdensonrageriyedo- nriyorve2saattehareketettiginoktayaula§iyor.Sonra ,)gn.i3saatscyrcdip, tekraryukan dogru8 saat

seyrettigihaldebasjangicnoktasma 4

km

yaklagiyor.Bu nehirin akig hizi nedir?

Avukat vedevletadamiolanFermat'inbili- nen en Bnemligahgmasi Fermat'insonteore- miolarak bilinen"x"+y=z"(n>2) denkle- mininpozitiftarnsayilarig ingozumuyoktur"

bigimindeifade edilenteoremdir.Bu teorem iginFermat,okudugubirkitabmkenarma §u notuyazmishr: "Ben bu teoremin gergekten gokgiizelbirkanitimyaptim, fakat bu sayfa- nmdarkenarma sigmaz." Oysa bu teoremin kamti matematikcjleriyaklasik350yilugras- tirmishr.

Referanslar

Benzer Belgeler

[r]

[r]

Lineer olmayan bir denklemin kökünü ya da köklerini bulmak için kullanılan yöntemlerde bazı değişikler yapılarak lineer olmayan denklem sistemleri için de kullanılabilir..

Birbirine 560 km mesafede bulunan araçlar aynı anda birbirlerine doğru harekete geçerse 8, aynı yöne hareket ederlerse 14 saat sonra karşılaşıyorlar.. Örnek...11

Bunu ikinci

Denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulmak için “yerine koyma metodu” veya “yok etme

Bir doğrusal denklem sistemi üzerine uygulanan elemanter işlemlerden sonra aşağıdaki Echelon matris elde edilmiştir.. Sistemin çözüm