ÖRNEKLER-DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
1.
Aşağıdaki denklem sisteminin çözümünü araştırınız.0 x− y + z =
3x + y +2z = 2 2x+ y −z = −3
Çözüm: Gauss eliminasyon yöntemi kullanılabilir.
Artırılmış (genişletilmiş) matris,
[ ]
1 21 3
1 1 1 0
: 3 1 2 2 3
2 1 1 3 2
R R
R R
−
− +
= →− +
− −
A b
( )
31 1 1 0
0 4 1 2 1 3
0 3 3 3
R
−
− →
− −
( )
2 31 1 1 0
0 4 1 2 1 4
0 1 1 1
R R
−
− → − +
− −
1 1 1 0
0 4 1 2
0 0 3 4 3 2
−
−
− −
olup Echelon matrise karşılık gelen sistem,
0 x− y+ z =
4y − z = 2 3 3
4 z 2
− = −
Buradan yerine koyma yöntemi ile,
1 1 2 x
y z
−
=
2.
Bir doğrusal denklem sistemi üzerine uygulanan elemanter işlemlerden sonra aşağıdaki Echelon matris elde edilmiştir.Sistemin çözüm kümesini bulunuz.
1 4 2 2 3
0 2 1 1 4
0 0 0 1 1
−
−
Çözüm: Echelon matrise karşılık gelen sistem;
4 2 2 3
x+ y − z + w =
2y+ +z w =4 w = −1
Son denklem w değişkenini belirlemiştir. Yerine konarak,
4 2 2 3
x+ y − z − =
2y + − =z 1 4
Üç bilinmeyen, x, y, z için iki denklem vardır.
3-2=1 adet değişken serbest değişken olarak
belirlenmelidir. Örneğin y=t alınıp yapay değişken olarak belirlenirse, ikinci denklemden,
2t + − =z 1 4 ise z = −5 2t ve ilk denklemden,
( )
4 2 5 2 2 3
x+ t − − t − = ise x =15 8− t ve çözüm kümesi;
15 8
5 2 1
x t
y t
z t
w
−
=
−
−
3. x+2y+ 2z = 0 x−4y − z = 0 2x+ y − z =0 x+ z =0
Homojen denklem sistemini çözünüz.
Çözüm: m=4 ve n=3 olup katsayılar matrisi,
1 2
1 3
1 4
1 2 2
1 4 1
2 1 1 2
1 0 1
R R R R R R
− +
− −
→ − +
−
− +
( )
21 2 2
0 6 3
0 3 5 1 6
0 2 1
R
− −
→ −
− −
− −
2 3
2 4
1 2 2
3 0 1 1 2
2
0 3 5
0 2 1
R R R R
→ +
− − +
− −
2 3
2 4
1 2 2
3 0 1 1 2
2 0 0 7 2
0 0 0
R R R R
→ +
− +
r(A)=r=3=n olduğundan sıfır çözümden başka çözüm yoktur.
0 0 0 x
y z
=