BÖLÜM 5 LİNEER OLMAYAN DENKLEM SİSTEMLERİ

(1)

BÖLÜM 5

LİNEER OLMAYAN DENKLEM SİSTEMLERİ

Lineer olmayan bir denklemin kökünü ya da köklerini bulmak için kullanılan yöntemlerde bazı değişikler yapılarak lineer olmayan denklem sistemleri için de kullanılabilir.













1 1 2 1 1

,...,

0 ,...,

0

n n n n

f x

x

f

x

f

x



n bilinmeyenli n denklemle uğraşacağız.

Basit iterasyon

Lineer olmayan bir denklem sistemi













1 1 2 1 1

,...,

0 ,...,

0

n n n n

f x

x

f

x

f

x



şeklinde verilmiş olsun.





1 1 1

,

2

,...,

n

x



g x x

x





2 2 1

,

2

,...,

n

x



g

x x

x

. . .



1

,

2

,...,



n n n

x



g

x x

x

şeklinde gfonksiyonları oluşturulsun. Basit iterasyon yönteminde uygulanan yakınsama koşulları lineer olmayan denklem sistemleri için de uygulanır.

0

x başlangıç değeri alınıp xn1 g x( n) ardışık yineleme formülüyle



köküne yaklaşır.

Tanım:

n

BR kapalı bir bölge olsun. :

g B B

   



1 2





1 2



, , ,

(2)

Teorem:

g

,

n

BR kapalı bölgesinde bir büzülme fonksiyonu olmak üzere

x



g x

 

denklem sisteminin bir tek çözümü vardır.









g

 





dır. 0

x  vektörü için B xn1 g x

 

n ardışık yenileme formülü ile 0 1

, ,..., n

x x x 



şeklinde



köküne yakınsar.

: g RR olmak üzere 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n n n n g x x x g x x x g x x x g x x x              Fonksiyonları için 0

x  başlangıç değerine göre taylor seri açılımı B



0 0 0

 

0



1

 



0



1

 



0



1

 

1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , ,..., _n) , ,..., _n ... _n _n n g g g g x x x g x x x x x x x x x x x x                

Şeklindedir.

n

tane denklem için taylor seri açılımı uygulanırsa

 





 





 





 





 

1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 ... ' ... n n n n n n n n n g g x x x x x x g x g x g g x x x x x x                          

 

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ... ... n n n n n n g g x x x x g g x x x x        _ _ _{ } _ _  _{ } _    _ _  _{ } _       _{ }   _ _     G x2x1 i ij j g g x    olmak üzere 1 2 2 ij ij G   g _ 



 0

1

x

G



ise gbir büzülme fonksiyonudur.

(3)

2)

 

max

f x 



3)

n

adım sonrasında dur.

(4)

 

2 2 1

5

2

3

2 x

x

g x

x



_















_











0 1.5 0.5 x      

 

2 1 0 5 0.5 1.54 2 0.75 3 1.5 2 x g x  _   _{ } _     _{ } _  _ _{ } _    

 





2 2 1 5 0.75 1.49 2 0.73 3 1.54 2 x g x  _   _{ } _     _{ } _  _ _{ } _    

 

1 n n x g x 





2 1 max max 1.54 1.49 , 0.75 0.73 x x   



max 0.05, 0.02





2 0.05 6 10    oldu dur. 1.49 0.73



_{ } _  

NEWTON YÖNTEMİ

Bu yöntem lineer olmayan denklemlerin çözümünde kullanılan Newton Raphson yönteminin

genelleştirilmişidir. Taylor seri açılımından faydalanılır.

(5)

 













1 1 2 1 1 ,..., 0 ,..., 0 ,..., 0 n n n n f x x f x x f x f x x               _    n

x ’in



komşuluğunda taylor açılımı

 















 



1 0 0 0 0 0 1

,...,

1 ,...,

...

2!

n n i i i i j j i i j

f x

x

f

f x

x

x x























 





 

n f x fonksiyonun n

x de



köküne göre açalım ;

 

1 1 1 1 1 n n n n n n n n f f x x x f x f f f x x x



    _ _ _{ } _ _  _{ } _   _{ } _ _ _ _{ } _ _         

yazabiliriz. Eşitliğin sağ tarafında iki veya daha yüksek dereceden türevli terimler ihmal edilmiştir.



kök olduğundan f( )



0’dır.

(.)

i

(.)

,

1, 2,...,

j _{n n}

f

J

i j

n

x





_







_



_









 

n

 



n



f x J   x 





n 

1 

. Adımda kökü var olsun.

(6)

3)

n

adım sonrasında dur.

ÖRNEK:

1 2 2 1 2 2 3 0 2 5 0 x x x x      

doğrusal olmayan denklem sistemi için 0 1.5

1

x    

  başlangıç değerini alarak





0.1

için köklerini

bulunuz. Çözüm:

   

1 1 n n n n x  x J x f x , 0 1.5 1 x      

 

1 2

1

2

4

2 J x

x





 







 

0 1 1 0 1 2 1 2 2 1 2 1.5 4 2 1 1.5 2.1 3 0.5 1.5 1 2 1 6 2 2 1.5 1 5 0.5 1.5 1 2 2 0.5 1 10 6 1 0.5 2 2 1.5 ₁₀ ₁₀ 0.5 1 6 1 0.5 10 10 1.5 0.75 x x f x x x       _{ }_ _               _{  } _            _ _        _{ } _ _{ } _                 _{ } _ _                  





0 1 max 1.5 1.5 , 1 0.75 x x   



0.25 



olduğundan algoritmaya devam edilir.

   

2 1 1 1 1

(7)

0 1 2 1 2 1 1 2 1.5 0 4 2 0.75 0.0625 1.5 1 2 0 0.75 6 1.5 0.0625 1.5 1 1.5 2 0 0.75 10.5 6 1 0.0625 1.488 0.756 x x x x         _ __ _ _ _             _ _{ } _ _ _              _ _ _ _{ } _              





1 2 max 1.5 1.488 , 0.75 0.756 0.012 x x dur



      

Ödev:

1.

2 2

10

0

3

57

0 x

xy

y

xy













doğrusal olmayan denklem sistemi için 0 1.5

3.5

x    





0.01

için basit

iterasyon ve Newton yöntemi ile çözümünü yapınız.

2.

2 2 2

2

0.5

0

4

0 x

x

y

x

y



 





 

doğrusal olmayan denklem sistemi için 0 0

1

x    





0.01

için basit

iterasyon ve Newton yöntemi ile çözümünü yapınız.

Kaynaklar

1. Fikri Öztürk web sitesi

http://80.251.40.59/science.ankara.edu.tr/ozturk/index.html

2. Bilgisayar uygulamalı sayısal analiz yöntemleri (II. baskı) Doç. Dr.Eyüp Sabri TÜRKER

Araş. Gör. Engin CAN 3. Nümerik Analiz

Doç. Dr. Ömer AKIN

A.Ü.F.F. Ders Kitapları YAYINI (1998) 4. Sayısal Yöntemler ve Matlab Uygulamaları

Nurhan KARABOĞA(2012)