Eğrisel ve Yüzeysel İntegraller (3 hafta) Gerekli konular

Yüksek Matematik 2. Makina mühendisliği Bölümü. Prof. Dr. Ramazan Taşaltın

Eğrisel ve Yüzeysel İntegraller (3 hafta)

Gerekli konuların özeti, parametrik denklemler, vektor alanları, uzayda doğru denklemi, Cizgisel (eğrisel) integraller, Vektör alanının bir eğri üzerinde integrali

Green Teoremi,

Bir fonksiyonun bir yüzey uzerinde integrali Bir vektör alanının bir yüzey üzerinde integrali. Stokes Teoremi, Diverjans teoremi.

Diferansiyel Denklemler

(9 hafta) I)Diferansiyel denklemlerde genel tanımlar,

dif denklemein mertebesi, derecesi, lineer ve nonlineer denklemler II)Birinci Mertebeden ve birinci dereceden denklemler

Degiskenlerine ayrilabilen diff denklemlerin cozumu

Homojen Denklemler, homojen hale getirilebilen denklemler Tam diferansiyel denklemler

Integral Çarpanı ile tam diff haline getirilebilen denklemler

Lineer diferansiyel denklemler, Bernoelli denklemi, Riccati denklemi III)Yuksek mertebeden Sabit katsayılı Lineer diff denklemlerin Çözümü IV)Diff denklemlerin kuvvet serileri ile çözümü

V)Diff denklemlerin Laplas dönüşümü ile cozumu VI)Diff denklem sistemlerinin Çözümü

Vize Final Odevler ve quizler Toplam

30 60 25 115

Takip Edilecek Kaynaklar

Genel Matematik 2. Beşinci Baskı. Mustafa Balcı. 2010. www.balciyayinlari.com.tr Thonas Calculus 2. Onbirinci baskı. Cev. Recep Korkmaz. 2007 , www.betayayincilik.com

Diferansiyel Denklemler, Mustafa Bayram, BirsenYayinlari, 2009 Cozumlu Diferansiyel Denklem Problemleri, Cevdet Cerit. 2006 Dokuman sayfasi http://eng.harran.edu.tr/~rtasaltin

Elime değil içindekine bak (MEVLANA CELALEDDIN) (Kabukla degil öz ile meşgul ol)

(ayrıntılarla uğraşıp vakit kaybetme, dersten maximum istifadeye çalış ) Vaktinde teslim edilmeyen odevler gecersiz sayilir.

Uzayda Dogru denklemi

A(x

1

, y

1

, z

1

) ve B(x

2

, y

2

, z

2

) noktalarindan gecen

dogru denklemi

2 1 1 2 1 1 2 1 1

z

-z

z

-z

y

-y

y

-y

x

-x

x

-x

=

=

Dogru denklemi ha liyle

1 2 1 1 2 1 1 2 1

z

-z

z

-z

y

-y

y

-y

x

-x

x

-x

₌

₌

olarak da yazilabilir. Ornek 231

A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogru denklemini yazin.

7

-3

3

-z

3

-2

2

-y

5

-1

1

-x

=

=

4

-3

-z

1

-2

-y

4

-1

-x

₌

₌

4

3

-z

1

2

-y

4

1

-x

₌

₌

Ornek 232

A(0,0,0) ve B(1,1, 1) noktalarindan gecen dogru denklemini yazin.

1

-0

0

-z

1

-0

0

-y

1

-0

0

-x

₌

₌

1

-z

1

-y

1

-x

₌

₌

,

x=y=z

, Ornek 241

A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogrunun parametrik denklemini yazin. Ornek 231 den dogrunun kartezyen denklemi

4

3

-z

1

2

-y

4

1

-x

₌

₌

seklinde verilmisti. Burada x=t konulursa

1

2

-y

4

1

-t

₌

, => y=2+

4

1

-t

=0.25t+1.75

4

3

-z

4

1

-t

₌

, z-3=t-1 z= t+2 r(t)=t

i

+ (0.25t+1.75)

j

+ (t+2)

k

Not: Ayni denklemi degisik parametrik denklemlerle de ifade edebiliriz.

4

3

-z

1

2

-y

4

1

-x

₌

₌

Burada x=4t+1 konulursa

1

2

-y

4

1

-1

4t

+

₌

, => y=2+

4

4t

= t+ 2

4

3

-z

4

1

-1

4t

+

₌

,

4

3

-z

4

4t =

_{, z-3=4t, z=4t+3} r(t)=(4t+1)

i

+ (t+2)

j

+ (4t+3)

k

--- ---

Ornek 321 r(t) = (at+b)

i

+ (ct+d)

j

+ (et+f)

k

denklemini kartezyen koordinatlarda ifade edin. Cozum: r(t) = x

i

+ y

j

+ z

k

x = at+b, y= ct+d, z=et+f

e

f

-z

t

,

c

d

-y

t

,

a

b

-x

t

=

=

=

e

f

-z

c

d

-y

a

b

-x

₌

₌

Egrisel integraller,

Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali.

Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0 seklinde de verilebilir.

Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0 uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayin. Parametrik denklemlerle.

f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

|

(t)

r'

|

z(t))

y(t),

(x(t),

f

∫

== b t a t F11 --- x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse

dx

dx

dy

1

g(x))

(x,

f

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

∫

== b x a x F12 --- y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse

dx

)

z'

(

)

y'

(

1

h(x))

g(x),

(x,

f

₊

2

₊

2

∫

== b x a x F13 --- r=g(θ) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse

θ

θ

θ

θ θ

f

(r

cos

,

r

sin

)

r

r

'

d

y)dl

(x,

f

₌

2

₊

2

∫

∫

== b a F14 B x y y=g(x)

f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar

hesaplayinhesaplayin. A

vektor alanlari

34)C=3i+4j, D=-3i+4j, x-y duzleminde birer vektoru

ifade ederler.

35)F=P(x,y)i+Q(x,y)j, x-y duzleminde her noktada degisen

vektor alanini ifade ederler.

41)Vektorun. baslangic noktasi, yonu, siddeti verildiginde o vektor cizilebilir.

Ornek: P(3,4) noktasindan yonu x ekseni ile 60 derecelik aci yapan 10 siddetindeki vektoru cizin

43) P(6,10) noktasindaki degeri F=3i-8j olan vektoru cizin.

44) P(6,10) noktasindaki degeri F=-3i-8j olan vektoru cizin.

Vektorun. baslangic noktasi, yonu, siddeti verildiginde o vektor cizilebilir.

45) P(6,10) noktasindaki degeri F=3i+8j olan vektoru cizin.

51) F=(y-x)i+(x-y)j vektor alaninin P(6,10) noktasindaki degerini x-y duzleminde gosterin

Cevap: F=(y-x)i+(x-y)j =(10-6)i+(6-10)j=4i-4j

52) F=(y-x)i+(y-x)j vektor alaninin P(6,10) noktasindaki degerini x-y duzleminde gosterin

Cevap: F=(y-x)i+(y-x)j =(10-6)i+(10-6)j=4i+4j

x y 6 10 4 4 x y 6 10 4 4 x y 6 10 8 3 x y 6 10 8 3 x y 6 10 8 3 600 x y 3 4 10 x y 3 4 C x y -3 4 D x y

53) Sekildeki vektorun x ekseni ile yaptigi aciyi ve vektorun siddetini(genligini)hesaplayin.

Vektorun genligi (siddeti)

3

2

+

4

2

=

5

aci θ=arg tan(4/3)=53.10

61)F=j, y yonunde sabit siddetde

62)F=xi, x yonunde, ve x arttikca siddetde artiyor

63) F=yj y yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor

64)F=yi, x yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor

71)F=yj, x,y,z duzleminde

oklarin siddetleri ayni oldugunu varsayin.

72) F(x,y)= -y i + x j x y Pi Qj x y Pi Qj 1 0 0 1 -1 0 0 -1 2 2 -2 2 -2 -2 2 -2 3 0 0 3 -3 0 0 -3 0 1 -1 0 0 -1 1 0 -2 2 -2 -2 2 -2 2 2 0 3 -3 0 0 -3 3 0 x y 6 10 3 4 θ x y x y x y x y x y z

F= ‒ yi+xj

Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k

Curl F=(Ry ‒ Qz )i + (Pz ‒ Rx ) j + (Qx ‒ Py )k F21 div F =∇ •F = Px+ Qy+ Rz F22

--- ---

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

r'

F

∫

== b t a t F24

dt

)

dt

dc

R

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

== b t a t F25

r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde

dt

)

dz

R

dy

Q

dx

(P

+

+

∫

== b t a t

integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

)

dt

dc

R

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

== b t a t F26

Tutarli (korumali) Vektor alani.

f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti

grad f = ∇f = F = fx i + fy j + fz k F27.

f

(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir. F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz.

F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli (korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir.

F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir.

A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir.

F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. )

dt

r

F

dt

r

F

dt

r

F

' 3 ' 2 ' 1

∫

∫

∫

== = = = =

=

=

B t A t B t A t B t A t F28

F=Pi+Qj, (iki boyutlu)

P

y

=Q

x ise F tutarlidir. F31

F=Pi+Qj+Rk

R

y

=Q

z

, P

z

= R

x

, Q

x

= P

y

ise F tutarli

(uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir) F32

f(A)

-f(B)

dt

r

F

' X

=

∫

== B t A t F33

A dan B ye herhangibir yol boyunca integralin degeri f fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir. r2(t) x y r3(t) r1(t) A B

Green Teoremi

dy

dx

)

dy

dP

dx

dQ

(

dy)

Q

dx

(P

+

=

∫∫

−

∫

B C F41

C: Kapali bir egri.

B: bu kapali egrinin icindeki alan.

C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki iki katli integrale donusturulebilir.

F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali hesapla.

Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C uzerinde integre et.

Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali

yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise.

dy

dx

f

f

1

y))

f(x,

y,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_y2

∫∫

B S F51 --- --- yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dx

f

f

1

z)

z),

f(x,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_z2

∫∫

B S F52 --- --- yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dy

f

f

1

z)

y,

z),

g(f(y,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_y2

+

_z2

∫∫

B S F53 --- --- . Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir.

Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integra

li.

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integrali. Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi

2 y 2 x y x

f

f

1

k

j

f

i

f

n

+

+

+

−

−

=

,

pozitif y yonunde normal denklemi

2 y 2 x z x

f

f

1

k

f

j

i

f

n

+

+

−

+

−

=

,

F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir. (ai+bj).(ci+dj)=ac+bd (2i+3j).(4i+7j)=8+21=29.

F n=g(x,y,z)

( F vektor, n vektor, ikisinin carpimi g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil)

dy

dx

z)

y,

g(x,

ds

n

F

∫∫

∫∫

=

B S F61

dy

dx

R)

dy

df

Q

dx

df

P

(

ds

n

F

=

∫∫

−

−

+

∫∫

B S F62

B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir. --- --- grad f = ∇f = F = fx i + fy j + fz k F26. f(x,y,z)=xyz+ exy +z2 grad f=? fx =yz+y e xy fy =xz+x e xy fz =xy+ 2z

grad f = ∇f= (yz+y exy)i + (xz+x exy )j + (xy+ 2z)k

Stokes Teoremi

ds

n

F

Curl

dr

F

∫∫

∫∫

=

S C F71

(Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir. Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir.

Diverjans teoremi.

dz

dy

dx

f

ds

n

F

=

∫∫∫

∇

∫∫

D S F81

OZET NOT

Egrisel integraller,

Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali.

Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0 seklinde de verilebilir.

Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0 uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayin.

Parametrik denklemlerle.

f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

|

(t)

r'

|

z(t))

y(t),

(x(t),

f

∫

== b t a t F11 --- x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse

dx

dx

dy

1

g(x))

(x,

f

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

∫

== b x a x F12 --- y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse

dx

)

z'

(

)

y'

(

1

h(x))

g(x),

(x,

f

₊

2

₊

2

∫

== b x a x F13 --- r=g(θ) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse

θ

θ

θ

θ θ

f

(r

cos

,

r

sin

)

r

r

'

d

y)dl

(x,

f

₌

2

₊

2

∫

∫

== b a F14 --- - r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egri uzunlugu

dt

(t)

c'

(t)

b'

(t)

a'

dt

||

(t)

r'

||

2 2 2

∫

∫

=

+

+

=

b a b a

L

F15 --- --- ---

Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k

Curl F=(Ry ‒ Qz )i + (Pz ‒ Rx ) j + (Qx ‒ Py )k F21

div F =∇•F = Px+ Qy+ Rz F22

--- ---

F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin

r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

r'

F

∫

== b t a t F24

dt

)

dt

dc

R

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

== b t a t F25

r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde

dt

)

dz

R

dy

Q

dx

(P

+

+

∫

== b t a t

integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.

dt

)

dt

dc

R

dt

db

Q

dt

da

(P

+

+

∫

== b t a t F26

Yukaridaki Formullerin degisik yazim sekilleri

Tutarli (korumali) Vektor alani.

f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti

B x y

y=g(x)

f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar

hesaplayinhesaplayin. A

grad f = ∇f = F = fx i + fy j + fz k F27.

(F=Pi+Qj+Rk veya F =Mi+Nj+Pk seklinde de yazilir.) grad f= ∇f=F ifadesine f nin gradyani denir.

Bazi kitaplarda gradyan yerine gradient, gradyan alani ifadeleri de kullanilir.

f

(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir. F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz.

F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli

(korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir.

F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F

nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir.

A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir. F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. )

dt

r

F

dt

r

F

dt

r

F

' 3 ' 2 ' 1

∫

∫

∫

== = = = =

=

=

B t A t B t A t B t A t F28

F=Pi+Qj, (iki boyutlu)

P

y

=Q

x ise F tutarlidir. F31

F=Pi+Qj+Rk

R

y

=Q

z

, P

z

= R

x

, Q

x

= P

y

ise F tutarli

(uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir) F32

f(A)

-f(B)

dt

r

F

' X

=

∫

== B t A t F33

A dan B ye herhangibir yol boyunca integralin degeri f fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir.

Green Teoremi

dy

dx

)

dy

dP

dx

dQ

(

dy)

Q

dx

(P

+

=

∫∫

−

∫

B C F41

C: Kapali bir egri.

B: bu kapali egrinin icindeki alan.

C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki iki katli integrale donusturulebilir.

F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali hesapla.

Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C uzerinde integre et.

Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali

yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise.

dy

dx

f

f

1

y))

f(x,

y,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_y2

∫∫

B S F51 --- --- yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dx

f

f

1

z)

z),

f(x,

g(x,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_x2

+

_z2

∫∫

B S F52 --- --- yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise.

dz

dy

f

f

1

z)

y,

z),

g(f(y,

z)ds

y,

g(x,

=

∫∫

+

_y2

+

_z2

∫∫

B S F53 --- --- . Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir.

Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integra

li. F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integrali.

Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi

2 y 2 x y x

f

f

1

k

j

f

i

f

n

+

+

+

−

−

=

,

pozitif y yonunde normal denklemi

2 y 2 x z x

f

f

1

k

f

j

i

f

n

+

+

−

+

−

=

,

F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir. (ai+bj).(ci+dj)=ac+bd

(2i+3j).(4i+7j)=8+21=29.

F n=g(x,y,z)

( F vektor, n vektor, ikisinin carpimi

g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil) r2(t) x y r3(t) r1(t) A B

dy

dx

z)

y,

g(x,

ds

n

F

∫∫

∫∫

=

B S F61

dy

dx

R)

dy

df

Q

dx

df

P

(

ds

n

F

=

∫∫

−

−

+

∫∫

B S F62

B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline donusturulebilir.

--- --- grad f = ∇f = F = fx i + fy j + fz k F26.

f(x,y,z)=xyz+ exy +z2 grad f=?

fx =yz+y exy fy =xz+x exy fz =xy+ 2z

grad f = ∇f= (yz+y exy)i + (xz+x exy )j + (xy+ 2z)k

Stokes Teoremi

ds

n

F

Curl

dr

F

∫∫

∫∫

=

S C F71

(Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir. Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir.

Diverjans teoremi.

dz

dy

dx

f

ds

n

F

=

∫∫∫

∇

∫∫

D S F81

(F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali ∇F nin S nin kapladigi hacim uzerindeki integraline esittir.

(Harran Univ. Makina Muh) Yuksek Matematik II I vize Vize Sinavi

Sinavda dikkat edilecek Hususlar : A) “... integrali hesaplayin”,

“ .... diff denklemi Cozun”

seklindeki sorularda istenen sey integralin veya diff denklemin hesabidir. Bu tip sorularda sadece sonuc

yazmaniz yetmez. Adim adim yaptiginiz hesabi kagidinizda gostermeniz grekir.

B)“Gerekli integralleri yazin” “Diff denklemi elde edin”

seklindeki sorularda istenen sey, integralin veya diff denklemin elde edilmesidir. Cozumu degil.

Istenen integral, integral sinirlari ile beraber net olarak belirtilmelidir. Ornek olarak

∫

= = + + 3 t 2 t 6 2 dt 5 t 4t) (t

istenen integraldir. Tam not alir. Burada integral sinirlari ve integrali alinacak fonksiyon dogru olarak yazilmis.

Ancak

∫

+₊ t 6 2 dt 5 t 4t) (t ,

∫

= = 3 t 2 t dt (t) r' f(t) ,

∫

C dt (t) r' f(t) ,

∫

S dt (t) r' f(t)

seklindeki ifadeler sifir not alir. Cunku sinirlar veya integre edilecek fonksiyon eksik yazilmis veya yazilmamis.

Sorularla ilgili aciklama

(122-125): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi 122 ile 125 arasindan bir soru gelecek demektir.

(521, 534): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi 521 ile 534 arasindan bir soru gelecek demektir.

(521, 534): bir sonraki sayfadaki sorulardan soru numarasi 521 ve 534den bir soru demektir.

Ornek Sorular

1) Asagidaki islemleri yapin (122-125 arasindan ) 2) Asagida istenen grafikleri cizin (131-136 arasindan) 3)r(t)=... egrisi uzerinde t=.. dan t=.. re kadar f(x,y,z)=... integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. ( 141-161 arasindan)

4) denklemi ... olan eğri parçasının ..<x<.. icin uzunluğunu bulunuz. 181

5)F(x,y,z)=... vektor alaninin grafigini cizin. (211-224 arasindan)

6) C eğrisi ... seklinde verildigine gore F(x,y,z) vektorunun C egrisi uzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. (231-256 arasi)

7) F(x,y,z) vektorunun yaptigi is yoldan bagimsiz oldugunu gosterin. F vektorunun A(...) noktasindan B(....) noktasina kadar integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. (2 soru 261-298 arasi)

8) C eğrisi ... denklemli eğri olduğuna göre

... integralini hesaplamak icin gerekli integrali Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali cift katli integrale donusturun) ( 311-333)

9) S yuzeyi ... denklemli yuzey olduğuna göre ... integralini hesaplamak icin gerekl integrali Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali egrisel integrale donusturun ( 311-333)

10) S yüzeyi ... olduğuna göre

∫∫

g(x,

y,

z)ds

S

integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. ( 410-440)

11) F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri hesaplayin. ( 450-490)

12)F(x. y. z) = Pi + Qj+R k ve S de ... olsun. Bu yüzeyin normali yuzeyin dışına doğru yönlendirildiğine göre

ds n F Curl

∫

S

integralini hesaplamak icin gerekli integralleri Stokes teoremini kullanarak yazin. (521, 534) 13) S yüzeyi ... olduğuna göre

F{x, y, z) = Pi + Qj+R k, vektör alanının S nin sınır eğrisi üzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri Stokes teoremini kullanarak yazin. n normali yuzeyin dışına doğru yönlendirilmiştir. (521, 534)

SORU TIPLERI ile ilgili aciklama

F: Ozet not’daki formul numarasidir. Problemin

cozulmesi icin gereken formulu gosterir.

F11: formul 11, F12:formul 12.

b182: kaynak kitap (Mustafa Balci)182.inci sayfada

ornek var

b183: kaynak kitap 183.uncu sayfada ornek var

TH1148 soru 9: Thomas Calculus kitabinin 1148 inci sayfasindaki 9.uncu soru.

SORU TIPLERI

Vektorler

•: Scalar carpim. X:kartezyen (vektorel) carpim

122) (3i+4j ) • (5i+6j )=?

123) (3i+4j +5k) • (6i+7j+8k )=? 124) (3i+4j )

X

(5i+6j )=?

125) (3i+4j +5k)

X

(6i+7j+8k )=?

131) 3ti+4tj vektorunu x-y duzleminde cizin 132) ti+ t2j vektorunu x-y duzleminde cizin 133) ti+ t2j+k vektorunu uzayda cizin 134) ti+ t2j+10k vektorunu uzayda cizin 135) ti+ tj+tk vektorunu uzayda cizin 136) ti+ t2j+tk vektorunu uzayda cizin 137) F=z i + 2 2

y

x + j + xy k ise ∇f, Curl F i hesaplayin

Bir fonksiyonun bir egri boyunce integrali

141)r(t)=2ti+t2j + 3 t3k egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. .

F11-b182-184

142)r(t)=2ti+t2_{j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar} f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. .

F11-b182-184

143)r(t)=2ti+t2j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar f(x,y,z)=x2+y2 integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. .

F11-b182-184

144)A(1,2,3) den B(5,2,1) dogrusu uzerinde

f(x,y,z)=x2+y2+z2integralini hesaplamak icin gerekli integrali yazin.

F11-b182-184

145) z=0 (x-y) duzleminde x2+y2 =4 cemberi uzerinde ilk bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x2+y2 integralini hesaplamak icin gerekli integrali yazin.

F11, x= rcos(t), y=rsin(t),

146) z=1 duzleminde x2_+y2 _{=4 cemberi uzerinde ilk} bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli integrali yazin.

F11, , x= rcos(t), y=rsin(t), z=1,

147) f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=3 cos(t) i + 3 sin(t) j +tk egrisi uzerindeki integrali 0<t<2π araliginda hesaplayin. F11 148- TH1148 soru 9 149- TH1148 soru 10 150- TH1148 soru 11 ... ... soru 12,13,14,15,16,17,18,19 161- TH1148 soru 22 141-161 arasi icin F11 .

181) Parametrik denklemi r(t)=2ti+t j + 3t k olan eğri parçasının 0<t<3 icin uzunluğunu bulunuz.

F15,el5,

Vektor alanlari

211)Iki boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin grafigini cizin.

F=i F=10j F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj F=2i+yj F=xi+3j

212)Uc boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin grafigini cizin.

F=i F=k F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj+zk F=zk F=2j+zk

221 TH1158 soru 1 222 TH1158 soru 2 223 TH1158 soru 3 224 TH1158 soru 4

Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali

231)F(x,y,z)=(x2_-2xz)i+(y2_+xz)j+(z2_{-3xy)k vektör alanının} eğrisel İntegralini, (0,0,0) noktasını (1,1,1) noktasına birleştiren aşağıdaki egri parçalari üzerinde hesaplayınız.

C1... r(t)=ti+tj+tk 0 ≤ t ≤ 1 C2... r(t)=ti+t2_j+t3_{k 0 ≤ t ≤ 1} F25, b192,

232) C eğrisi, parametrik gösterimi r(t)=(1+t)i+2tj+3tk 0 ≤ t ≤ 1 olan doğru parçası olduğuna göre

dz xy dy xz dx yz I C

∫

+ + = integralini hesaplayınız. F26, b193 233)C eğrisi y = x2 parabolünün (0,0) noktasını (2,4)

noktasına birleştiren parçası olduğuna göre

∫

− + = C 3 2 _{2xy )dx x dy} (y I integralini hesaplayınız. F26, b193 241) TH1158 soru 7 242) TH1158 soru 8 243) TH1158 soru 9 ... .... ... ... soru 10,11,12,13,14,15,16 251) TH1158 soru 17 252) TH1159 soru 37 253) TH1159 soru 38 254) TH1159 soru 39 255) TH1159 soru 40 256) TH1159 soru 41 F26

Yoldan Bagimsizlik

261)C eğrisi, parametrik gösterimi

r(t)=cos t i+ sin t j+tk 0 ≤ t ≤ 2π, olan helis parçası olduğuna göre F(x,y,z)=y2z i+2xyzj+xy2k, üzerindeki integralini hesaplayınız.

Yol gosterme : f(x,y,z) = xy2z fonksiyonunun gradyenidir

F31, F33, b195 262) 2)dy (2xy 6x)dx -(y I 2 , 1 0 , 0 2

∫

+ + = integralini hesaplayınız.

Çözüm : P(x,y)=y2-6x, Q(x,y)=2xy+2, olduğundan Py(x,y)=2y, Qx (x,y)=2y, Py=Qx

Dolayısıyla integralin degeri yoldan bagimsiz F32,F33, b198 --- --- 271) TH1168 soru 1 272) TH1168 soru 2 ... ... .. soru 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,2 5,26,27 297) TH1168 soru 27 298) TH1168 soru 28 F31, F32,F33 --- ---

Green Teoremi

311)C eğrisi X6+ Y2 =1 denklemli eğri olduğuna göre dy e dx ) e x (cos C y x 3

∫

+ + İntegralini hesaplayınız.  F41,b201 312)C eğrisi,  _{1 x}2

y = − yan çemberi île (1.0) ve (-1,0)

noktalarını birleştiren doğru parçasının oluşturduğu kapah eğri olup bunun yönü saat yönünün tersidir.

integralini hesaplayınız. F41,b201

313) C eğrisi, birinci bölgede x2 _{+ y}2 _{- 2y = 0 , x}2 _{+ y}2 _{- 4y = 0}

çemberleri ile y = 3 x, y = x 3 1

doğrulan tarafmdan sınırlanan

B bölgesinin çevre eğrisi olduğuna göre

integralini Green formülünden yararlanarak hesaplayınız. F41,b20 314) TH1179 soru 1 315)TH1179 soru 2 ... soru 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19. 333)TH1179 soru 20 --- ---

Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali

411) S yüzeyi z = x2+2y2 paraboloidinin z=2 ve z= 6 düzlemleri arasında kalan parçası olduğuna göre

ds z y x I =

∫

+ + S integralini hesaplayınız. F51, b215

412) S yüzeyi y = x2+2z2 paraboloidinin y=2 ve y= 6 düzlemleri arasında kalan parçası olduğuna göre

ds z y x I =

∫

+ + S integralini hesaplayınız. F52, b215

413)S , x + 2y ‒ z = 2 düzleminin birinci bölgedeki parçası olsun. g(x, y, z) =2x + 3y + 4z fonksiyonunun S üzerindeki integralini hesaplayınız.

F51,b215,el15_521,

Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integra

li. 454) S yüzeyi x2 + y2+ z2 = 1 yüzeyi olsun. S yüzeyini, yönü dışari doğru olan normalle yönlendirelim.

F(x, y,z) = yi- xj + zk vektör alanı için I=

∫

Fn ds

S

integralıni hesaplayınız.

455) S yüzeyi y= x2 ₊z2 _{yüzeyi ile y=1 düzlemi}

tarafından sınırlanan bölgenin sınır yüzeyidir. F = z i + 2xzj + (x+y) k alaninin S üzerindeki integralini hesaplayınız.

F61,F62,b220,

456) F(.v. y. z) = 4xy i + xyzj + 2z2 k ve S de x2 + y2+ z2 =1 küresinin üst yarisı olsun. Bu yüzeyin normali kürenin dışına doğru yönlendirildiğine göre I =

∫

CurlFn ds

S

integralıni hesaplayınız.

F71, b222.

457) S yüzeyi z = 1 - x2 ₊y2 _{konisinin xOy düzleminin} üst tarafında kalan parçası olduğuna göre

F(x, y, z) = (e5x _{sin y) i + (e}3x _{cos y - z)j + y k vektör alanının} S nin sımr eğrisi üzerindeki integratini hesaplayınız, n

normali koninin dışına doğru yönlendirilmiştir. F71, b223

458) F =x2 i - y2j + z2 k vektör alanının, x2 + y2 = 4

silindirinin z = 0 ve z = 4 düzlemleri arasında kalan parçası üzerindeki yüzey integralini hesaplayın. Yüzeyin n normali silindirin dışına doğru yönlendirilmiştir.

F81, b225

--- --- --- ----

Stokes Teoremi

521) F(x. y. z) = 4yi + x j + 2z k ve S de x2 + y2 + z2 = 1 küresinin üst yarisi olsun. Bu yüzeyin normali kürenin dışına doğru yönlendirildiğine göre

ds n F Curl

∫

S

integral ini hesaplayınız. F71, b222

522) S yüzeyi z =1− x2 + y2 konisinin x O y düzleminin

üst tarafın¬da kalan parçası olduğuna göre F{x, y, z) = (ex sin y) i + (ex cos y - z)j + y k

vektör alanının S nin sınır eğrisi üzerindeki integralini hesaplayınız, n normali koninin dışına doğru yönlendirilmiş olup dS nin yönü S den indirgenen yöndür.

F71, b223 525) TH1209 soru 1 526) TH1209 soru 2 Soru 3,4,5,6, 9, 10,20 534) TH1209 soru 20

Diverjans teoremi.

541)ÖRNEK : F =xi + 2yj +3zk vektör alanının

1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 = +

+ elipsoidi üzerindeki integralini hesaplayınız.

F81, b225

542) F = x2_{i - y}2_j+z2_{k vektör alanının, x}2 _+y2 _{= 4 silindirinin} z = 0 ve z = 4 düzlemleri arasında kalan parçası üzerindeki yüzey integralini hesaplayınız. Yüzeyin n normali silindirin dışına doğru yönlendirilmiştir.

F81, b225

545) TH1220 soru 5 546) TH1220 soru 6

Soru 7,8,9,10, 11, 12,13,14,15 556) TH1220 soru 16

NOT: Cevaplarinizin sonuclarini sorularin hemen altindaki dikdortgene yazin. Yaptiginiz hesabi daha sonraki boslukta acikca yazin. okunakli olmayan yazilar

degerlendirilmeyecektir.