## integralini çözebilmek için integral sırasını değiştirmeliyiz. x = y "

(1)

Kara Kutu & Şaheser Çalışmasıdır

OABTIM

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ

İLK ÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

1-10 1-10

İNFORMAL YAYINLARI İNFORMAL YAYINLARI

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI DENEME 1

1

^x²-_x^x = -_{x x}^x >¹₃ i) x > 0 için

x 1 31 x 34

> & >

- ii) x < 0 için

x 1 31 x 32

> & >

+ -

Ç.K. = b-32 0,l,b34,3l

Cevap D

2

0 < x < 1 olmak üzere

arcsin x y x sin y

3 1- ²= , = 1- ²3

Buradan f^-¹] gx = 1-sin²3x

sin cos cos

f^-¹] g3x= 1- ²x= ²x= x f^–1(3x) = cosx bulunur.

Cevap B

3

f^ı(x) = ke^x – me^–x ve f^ıı(x) = ke^x + me^–x olur. Buradan

f^ı(0) = k – m = 3 f^ıı(0) = k + m = 1

ise k = 2 ve m = –1 olmak üzere f(x) = 2e^x – e^–x bulunur. Daha sonra, f(1) + f(–1) = 2e¹ –e^–1 + 2e^–1 – e¹

= e + e^–1 = e²e+1 elde edilir.

Cevap D

4

₂_{e dxdy}^x²

y 1 0

1

I=

# #

integralini çözebilmek için integral sırasını değiştirmeliyiz.

x = y " x = 1 y = 0 " y = 1

zaman

x = 1 y = 1 y = x

İntegral sırasını değiştirmek için y = 0 " y = x

x = 0 " x = 1 dönüşümü yapılırsa

2 2

e dydx e y dx

2 ^x 2

y y x x

x x

y y x

0 0

1

0 1

0

I= =

=

#

# #

2xe dx e^x² ^x² e 1olur.

0 1

=

#

= = -

Cevap A

5

1 – sinx = 1 + sinx 2sinx = 0

x r=

1 – sinx = 0 & x = 2r 1 + sinx = 0 & x = 23r

y = 1 – s�nx

y = 1 + s�nx r

2 r 3r

2

sin sin

Alan 1 x dx 1 x dx

32

2

= - + +

r r

] g

#

] g

#

cos cos

x x x x

2

32

= + + -

r r

] g ] g

.

cos cos

br bulunur

2 2

32 32

1 2 0 23 0 1

2 ²

r r r r

r

= + - - +

- - +

= - - - + - - -

= -

Cevap B

(2)

Deneme 1

Çözümleri İNFORMAL YAYINLARIİNFORMAL YAYINLARI

İNFORMAL YAYINLARIİNFORMAL YAYINLARI

13

f(x)'i tanımsız yapan noktalar, x ≥ 1 için x² – 4 = 0 denklemi ve x < 1 için x + 3 = 0 denkleminin çözüm kümeleri olmalı- dır. Yani x = 2 ve x = –3 olmalıdır.

Ayrıca f'in sürekliliği için x = 1 kritik noktasına bakılmalıdır.

lim f (x)

x 1" ⁺ = 3 2 - ^ve lim f (x)

x 1" ^- = 4

13 olduğundan f(x)

in x = 1'de limiti yoktur. Yani: f(x) x = 1'de süreksizdir. Öyleyse, f'in süreksizlik noktaları –3, 1, 2'dir.

Cevap D

14

f, g, h fonksiyonlarının yatay asimptotlarının olabilmesi için, x → ∞ veya x → –∞ iken yakın- sak olmaları gerekir.

I. lim f (x)

x""3

= log lim

x""3 5 x

x 1

x 52

- +

olduğundan lim f (x)

x +" 3

= log lim

x +" 3

x x 5 1

x 1

x 52

- +

$

b l

= log

5 1

1 5

2

- +

3 3

b l

^{= log(–1)}

= (tanımsız) lim f (x)

x" 3-

= log lim

x" 3-

x x5 1

x 1

x 52

- +

$ - $

b l

^{= 1}

olduğundan f'in yatay asimptotu vardır.

II. x → +∞ iken a^x > x^a, (a∈IN) olduğundan lim g (x)

x" 3+ = +∞ dir.

Ama x → –∞ iken

3^x → 0 ve –1 ≤ cosx ≤ 1 olduğun- dan ve x³ – 5 → –∞ olduğu için

x" 3lim- g(x) = 0'dır.

Yani x → –∞ iken g'nin bir yatay asimptotu vardır.

III. x → +∞ iken lnx > sin(ax), a∈IN olduğundan lim h (x)

x" 3+ = 0'dır.

Yani x → ±∞ iken h'nin yatay asimptotu vardır.

Cevap E

9

arctan

3

b l

4 ^{= α}

arctan 71

c m

- = β olsun. Öyleyse, tanα = 34 _{, tanβ =}

71 - olur.

tan(α + β) =

1 tan tan tan tan

- +

$

a b

ba ğıntısından yararlanarak

tan(α + β) = 13 214

4 7 1

+ -

= 1

elde edilir.

Buradan α + β = arctan1 = 4 r bulunur.

Cevap B

10

asinx + bcosx = c eşitliğinde a² b²

- + _{≤ c ≤} a²+b²_ol- duğundan max{f(x)} = 2²+3²

= 13 olur.

Cevap E

11

z = rcisθ nın orijin etrafında α ka- dar döndürülmesiyle oluşan sayı:

z'= r[cos(θ + α) + isin(θ + α)]

= z · cisα dır. Saatin ters yönü pozitif olduğundan α = 135° dir.

z'= z · cis135°

= (–1 + i) 2 - 2 +

c

_{i 2}²

m

= - 2 _{i bulunur.}

Cevap C

12

Sorudaki "L" limitini düzenleyelim.

L = lim

x 0" ⁺ tan 2x 2x · lim

x 0" ⁺ 2x sinx

x → 0⁺ iken t = 2x → 0⁺ oldu- ğundan

L = lim

t 0" ⁺ tantt

· lim 2xsinx

x 0" ⁺

= 1 · 2 1 = 2

2

Cevap A

6

Cauchy Kök testinden

lim x an a. lim

x aa

1n<1

n n

- = - $

"3 "3

] g

x aa- <1&0< <x 2a

x = 0 için

/

] g-n1ⁿ alterne serisi ya- kınsaktır.

x = 2a için

/

1n harmonik serisi ırak- saktır. Öyleyse, yakınsaklık aralığı [0, 2a) olur.

Cevap C

7

y

x z

z = x² + y²

B : x² + y² = 6 = r² integrasyon bölgesi olmak üzere

r = 0 " §6 i = 0 " 2r dxdy = rdrdi dönüşümü yapılırsa

. dzdydx x y dydx

r rdrd r d

d

4

9 9 18

z x y B B

r 0

2 2

2 0

6 0

2 4

0 2

0 6

0 2

2 2

i i

i i r

= =

+

= =

= = =

i

r r

= +

=

_ i

* ## #

##

#

# #

#

elde edilir.

Cevap C

8

f(x) fonksiyonunun payı tüm reel

sayılarda tanımlıdır. Paydası ise sıfırdan farklı olmalıdır. Dolayısıyla 1 + sgn(4 – x²) > 0 olmalıdır.

Burada sgn(4 – x²) > –1 eşitsizliği- nin çözüm kümesi sorunun cevabı olacaktır. İşaret fonksiyonu için işaret tablosu oluşturalım.

4 – x² = 0 ⇒ x = ±2 için

–2 2

–∞ ∞

+ –

–

sgn(4 – x²), (–2, 2) aralığında "1"

değerini, x = ±2 noktalarında "0"

değerini alacağından çözüm kü- mesi [–2, 2] aralığı olacaktır.

Cevap E

(3)

Deneme 1

Çözümleri

22

a ~ b + 3|(a + 2b), yani kdZ için a + 2b = 3k olur.

I. a ~ a + 3 | 3a olduğundan

~ bağıntısı yansıyandır.

II.

a ~ b + a + 2b = 3k₁ iken b ~ a + b + 2a = 3k2

olur mu?

a + 2b = 3k1 & a = 3k1 – 2b ve b + 2a = b + 2(3k₁ – 2b) = 3(2k₁ – 3b) olur. k2 = 2k1 – b seçilirse

b ~ a + 3 | b + 2a elde edilir.

Yani ~ bağıntısı simetriktir.

III.

a ~ b + a + 2b = 3k1 ---- (1) b ~ c + b + 2c = 3k₂ --- (2)

(1) ve (2) den a + 2c + 3b = 3(k₁ + k₂) a + 2c = 3(k1 + k2 – b) olur.

k₃ = k₁ + k₂ – bdZ seçilirse a ~ c + a + 2c = 3k3 olur. Yani

~ bağıntısı geçişkendir.

Cevap E

23

77 = 7 . 11 , 21 = 3 . 7 ve x = m . n olmak üzere (779x) – (x921) = 32

7m + 11n – (m . 3 + n . 7) = 32 7m + 11n – 3m – 7n = 32 4m + 4n = 32

m + n = 8

m ve n asal olduğu için x = m . n = 3 . 5 = 15 olur.

x'in rakamları toplamı ise 1 + 5 = 6 olur.

Cevap B

24

I. 6ndZ⁺ için n ile n + 1 aralarında

asal olduğundan EBOB(2n, 2(n + 1)) = 2 olur.

II. n = 3 için

EBOB(3n, 3n + 9) = 9 olur.

III. n = 7 için

EBOB(4n, 4n + 7) = 7 olur.

Dolayısıyla, Yalnız I doğrudur.

Cevap A

25

m, A nın özdeğeri ve x, A'nın m'ya bağlı bir özvektörü olmak üzere (A – mI)X = 0 eşitliği sağlanır.

Yani,

a a

5 4 52

00 m

m -

-

- =

; E: D : D olmak üze- re

2a – 2m – 5a = 0 --- (1) 10 + 20 – 5m = 0 --- (2)

(2) den m = 6 ve (1) den a = –4 bulu-

nur. Cevap D

19

^y

2 x –1

1

y = x² y = x + 2

I = xydydx

x x 2

1 2

2

+

-

# #

= 1

2 -

#

^xy₂²

x x 2

2

;

+

d n

^dx

= 2 1

1 2 -

#

^(–x⁵^{+ x}³^{+ 4x}²^{+ 4x)dx}

= 8

45

Cevap D

20

f(n)'in Maclaurin serisine açılımı

f (0) n!n xn n 0

( )

=

/

3

f'(x) = 2 x

1 - -

f''(x) = (2 x)

1 2

- f'''(x) =

(2 x) 2 3

-

f⁽⁴⁾(x) = (2 x)

3!

- 4

f⁽ⁿ⁾(x) =

(2 x) ( 1) (n 1) !

n n

-

- -

f(x) =

/

^{( 1)}^-_{n 2}_$ⁿ

^$

ⁿ^xⁿ

Cevap E

21

S =

k 3 1

k 4₌ -

3

c

/

^-_{k 2}¹_-

^m

1 1 – 2

1

2 1 – 3

1

n 3 1

- ^–n 2 1

-

S = lim 1 n 2

1

n -

" 3

c

-

m

^{= 1}

Cevap A

15

x + y = 5 ⇒ y = 5 – x

x · y = f(x) = x(5 – x) = 5x – x² f'(x) = 5 – 2x = 0 ⇒ x = 2

5

f''(x) = –2 ve f'' f 2

5p < 0 olduğun-

dan x = 25'de f maksimum değer alır. Yani max(x · y) = f_max

= 5 ·2 5 – f 2

5 p

2

= 4 25

Cevap B

16

x = 3 ve y = 2 için t = 2 olur.

dx dy =

dt dxdt dy

= 2 ln2

te - 2 t

$

-

⇒ dx dy

(x,y) (2,3)

;

= = dx

dy

t 2

;

=

= 2 ln2

2e - 2 2

$

-

= 4 ln2 - 1

$

= teğetin eğimi

Normalin eğimi ise 4ln2'dir.

Cevap C

17

sinx = t dönüşümü yapılırsa

x → 6

r iken t → 2 1

x → 2

r iken t → 1 olmak üzere

I = 2 te dt^t

12

#

1 ^{= 2e}^t^{(t – 1)} 21 1

;

= e

Cevap A

18

(0, 0) noktasında 0

0 belirsizliği olduğundan y = mx doğrusu boyunca limite bakalım.

x (mx) x (mx)

x 0 2 2

2

lim +

$

"

-

= x (1 mx) x m

x 0 2 2

3 2

lim_" + -

= x

1 m m

x 0 2

2

lim $ +

" - = 0 olduğunda limitin değeri sıfır (0)'dır.

Cevap C

(4)

Deneme 1

34

(0, 0, 0) aşikar çözümden başka çö- zümün olması demek sonsuz çözü- mün olması demektir. Öyleyse,

1 k 0

1 1 3

1 1 k -

= 0 olmalıdır.

Determinantı 1. sütuna göre açar- sak: –(k – 3) – k(k – 3) = 0 (k – 3)(k + 1) = 0 ⇒ k₁ = –1, k₂ = 3 k₁ + k₂ = 3 – 1 = 2

Cevap E

35

Bir F cismi bir tamlık bölgesidir.

ve p asal ise Z_p bir cisimdir. Yani I ve II doğrudur. Her sonlu tam- lık bölgesi bir cisim olduğundan III yanlıştır.

Değişmeli, birim elemanlı ve sıfır böleni olmayan halkaya Tamlık Bölgesi denir. Z₈ in, örneğin,

±2 . ±4 =± 0 veya ±4 . ±6 = ±0 gibi sı- fır bölenleri olduğundan Z₈ tamlık bölgesi değildir. Yani IV yanlıştır.

Cevap A

36

2ydy = (3t² + 2t + 1) dt y² = t³ + t² + t + c t = 0 için y = 4 ise c = 16 olur. Yani,

y² = t³ + t² + t + 16 elde edilir.

t = 4 için

y² = 4³ + 4² + 4 + 16 y = 10 bulunur.

Cevap D

37

I'in mertebesi 2, II'nin mertebesi 3,

III'ün mertebesi, y'y'' + yy''' – x⁵y = 0 olduğu için 3 tür.

IV'ün mertebesi 1'dir.

Cevap C

38

_dx^d ^{y (t) dt} 0

x

> # H

⁼ _dx^d ^[lny]

y(x) · 1 – y(0) · 0 = y y' = y

⇒ dx dy = y²

y dy

#

2 ⁼

#

^dx^⇒^-_y¹^{= x + c}

y = x c 1 + -

Cevap B

30

A₁ = { –28, –9, –2, –1, 0, 7}

A₂ = {0, –1, –3, –7} dir.

x∈∪A_i⇔[∃i(i∈I∧x∈A_i)] gerçeğin i∈I

den dolayı, I = {1,2} için

∪∈A_i = A₁∪A₂ = { –28, –9, –7, –3

i∈I

–2, –1, 0, 7} ve s(A₁∪A₂) = 8'dir.

Cevap B

31

I ve III gruptur.

II. 3^–1∉Z olduğundan grup değildir IV. 0^–1∉Q olduğundan grup değil- dir.

Cevap D

32

13 asal ve (6, 13) = 1 olduğundan Fermat Teoreminden

6¹² ≡ 1(Mod13) olur. Öyleyse, 6⁵⁰≡ (6¹²)⁴ · 6² ≡ 1⁴ · 6² ≡10(Mod13)

Cevap C

33

I. 1 1

2

< F

2 ¹ 1

0 1

=

-

G

⁼ ¹

1 2

< F

2 ^ve A · B = A B ≠ I olduğundan her zaman doğru

değildir.

II. 1 3

2

< F

5 ¹ 1

0 2

=

-

G

^≠ ¹

1 0 2

=

-

G

1 3

2

< F

5 olduğundan her zaman doğru değildir.

. III 1 1

2

< F

2 ¹ 1

0 1

=

-

G

⁼ ¹

1 2

< F

2 A · B = A 1

0 0

< F

1 · C

ve B ≠ C olduğundan her zaman doğru değildir.

IV. 1 2

0

< F

0 ⁰ 0

0

< F

3 ⁼ ⁰ 0

0

< F

0 A · B = 0 Ama A ≠ 0 ve B ≠ 0 olduğundan doğrudur.

Cevap D

26

L(U₁, U₂) = (U₁ – U₂, U₁ + U₂)

T(U₁, U₂) = (U₂, U₁) olmak üzere

(L + T) (a, 0) – (LoT) (0, b) = (2, 3) L(a, 0) + T(a, 0) – L(T(0,b)) = (2, 3) (a, 0) + (0, a) – L(b, 0) = (2, 3) (a, 2a) – (b, b) = (2, 3) (a – b, 2a – b) = (2, 3)

a ba b

ise ba

2 23

11 - =- =

= -= 0 ve a + b = 0 olur.

Cevap C

27

A_3x3 matrisinin karakteristik polino- mu x³ – 12x – 16 ise

A³ – 12A – 16I_3x3 = 0_3x3 eşitliği geçer- lidir. Öyleyse,

A³ = 12A + 16I A^–1 . A³ = A^–1(12A + 16I) A² = 12I + 16A^–1

.

A A

A

bulunur 161 12

161 44 8

48 4

84 4

00 12

1200 1200 14

111 11 1

11 1

1 2

1

= - I

= -

- -

-

^ f

h

p

>

> H >

H

Cevap D

28

I. u W W

u W W

11 10 00

10

1 1 2

2 1 2

, ,

!

=

= : :

D D olmak üzere

u u 11 W W

11

1+ 2=: Db 1, 2

olduğu için W₁jW₂, IR üzerinde bir vektör uzayı olmaz.

II. boyW1 = 3 ve boyW2 = 1 olduğu için

boyW₁ = boyW₂ + 2'dir.

III. zx

yt zx y

t 0 00 0

= +

; E ; E : D

eşitliğini sağlayacak tek bir şekilde (x, y, z, t) dörtlüsü bulunur.

Yani, II ve III doğrudur.

Cevap E

29

I. Her küme için doğrudur.

II. Yanlış. Çünkü ∅∉A ve {∅}∈A'dır.

III. Yanlış. Çünkü {1, 2}∈A'dır.

IV. Yanlış. Çünkü 1∉A ve 1∈ {1, 2}'dır.

V. Yanlış. Çünkü{0}⊂A'dır.

VI. Yanlış. Çünkü {∅, 2}⊄A, {∅}∈A ve {2}⊂A'dır.

VII. Yanlış. Çünkü 2⁴ = 16'dır.

Cevap A

(5)

Deneme 1

Çözümleri

48

_Küp _Su

1. Sıra 16 0

2. Sıra 9 7

3. Sıra 4 12

4. Sıra 1 0

Şekil 1

Şekil 1'e göre toplamda 19 br³ su vardır. Şekil 2'nin 1. sırasında 1 adet küp ve 15 br³ su vardır. 2. sırasında 4 adet küp ve 12 br³ lük yerde 4 br³ su vardır. Öyleyse, 2. sıradaki suyun yüksekliği h olmak üzere

12h = 4 & h = 31 br olur.

Şekil 2'e göre toplam yükseklik ise h

1 1 31

34 + = + = br olur.

Cevap B

49

A x

4

x B

E D 12

4x C

O S₁ S₃ S₂

|DC| . |EC| = |BC| . |AC|

12 . 16 = 4x . 6x x = 2§2

. .

S OD OE br

S S br

S S S br

2 2 2 2 22 4

36090 2 2 2 4 2

°°

3 2

1 2

2 2

1 2 3 2

$ r r

r

= = =

+ = =

+ + = +

^ h

Cevap B

50

d x y: z,

1 12

= -- 1

= VR_d = (1, –1, 1) S: ax + by + z = 6 , NR = (a, b, 1)

zaman

d (3, –2, 1) S

NR VRd

* (3, –2, 1) noktası S düzlemi üzerin- deyse

3a – 2b + 1 = 6 & 3a – 2b = 5'tir.

* d // S + NR = VR_d + VR_d . NR = 0 + a – b + 1 = 0

* a b ,

a b a b

3 2 5

1 7 8

- =

- = - 3 = =

ve a + b = 15 bulunur.

Cevap C

44

1. adım için, 1 veya 6 gelmeme

olasılığı = 64 · 64

= 94 2. adım için, sadece bir kişinin 1 veya 6 getirme olasılığı = 62

64 64

62 94

$ + $ = Sonuç = 9

4 · 9 4 = 81

16

Cevap B

45

Taban yarıçapı r, yükseklik h ol-

mak üzere;

silindirin hacmi: V_s = πr²h ve koninin hacmi: V_k = 13_πr₂_h'dır.

Olasılık = V V V

s s- k

= 32 'dür.

Cevap E

46

zaman

L

N P

K

M 1

1 §6

§2

§6 120°

135°§245° §2 §2

Düzgün sekizgenin bir iç açısının öl- çüsü 135° dir.

Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçü- sü 120° dir.

M KLM PKNP

2 16 2 3 6

= =

+ = -

olur.

Cevap E

47

zaman

C 2S

P S D

B h 2h

A

A(PA&C) = S A(PB&C) = 2S A(PA&B) = 3S

PAC ve PBC üçgenlerinin ortak tabanı PC ise hbha

21

= dir. Dolayısıyla, ortak DP tabanından dolayı A(PDA) = S, A(BDP) = 2S ve DBAD

21

= olur.

Öyleyse, ABAD 13

= bulunur.

Cevap A

39

Karakteristik denklem:

r³ – 3r² + 4 = (r + 1)(r – 2)² = 0'dır.

Karakteristik kökler –1 ve 2 (çift kat) Öyleyse, genel çözüm:

y = c₁e^–x+ c₂e^2x+ c₃xe^2x

Cevap E

40

f(x) = x

k3dx

2 -

-

3

#

= 1 olmalıdır.

f(x) = x

k₃dx

2 3 -

#

⁼₂^k ^x^–2

2

;

3

= 8 k

- = 1 ⇒ k = –8

Cevap E

41

ϻ = E(x) =

/

^x· f(x) beklenen değer olmak üzere,

Var(x) = E[(x – ϻ)²]

=

/

^{(x – ϻ)}²^f(x)'dir.

x = 0, 1, 2: yazı gelme sayısı ϻ = 0 · f(0) + 1 · f(1) + 2 · f(2)

= 0·14

+ 1· 2 41

b

$

l

+ 2·14_{= 1} Var(x) =

/ ^ h

x 1- ² ^{f x =}

] g

= 0 1 4

1 - 2$

^ h

1 1 2

1 +

^ h

- 2$ 2 1 ² +

^ h

- ^$₄¹ ⁼ ₂¹

Cevap A

42

5 ayıcık biblo, bir grup ve kendi içinde 5! şeklinde dizilir.

Öyleyse, 3!2!3!4! 5!

=40

$

Cevap D

43

±x = 55 → sınavın aritmetik ortala- ması

σ_x =

6 1 xn x

2 n 1

6

=

-

^

-

h

/

σ_x = 15²+ 5²+ 0²+ 0²+ 5²+ 15² 5

= 10

Cevap C

(6)

Deneme 1

58

k + 2 = 0 olmalıdır. k = –2 x² + y² + 4x + 6y + 5 = 0

r = 2

1 4²+6²- $4 5

= 2 2 br'dir.

Cevap E

59

9y² – 4x² > 36 2

y

2 2

– 3 x2

2

> 1, y ekseni asal ek- sendir, a = 2, b = 3'tür.

Cevap B

60

^{x x}₆^$ ¹ + 3

y y$ ₁

= 1 ⇒ teğet denklemini verir: 6

2x + 3 -y

= 1

⇒ y = x–3 ⇒ M_T= 1 ⇒ M_N = –1 ise Normal denklemi: y + 1 = –1(x – 2) x + y – 1= 0

Cevap A

61

Geometri tahtası

Noktalı kağıt

İzometrik kağıt

Geometri tahtası ve noktalı kağıt, kenarları yatay ve dikey konum- lanmış birim kareleri oluşturan noktalar içerdiğinden bu materyal- lerle eş kenar üçgeni göstermek zordur. Ama izometrik kağıt çap- raz konumdaki eşit noktalardan oluştuğundan dolayı bu kağıtta eş kenar üçgen çizmek kolaydır.

Cevap B

54

m (DAE)c

= α olmak üzere

m (AEC)c

= 90 + α dır.

AE · EC = AE · EC · cos(90 + α)

= 10 · 2 · –sinα

= –20 · 5 3 = –12br

Cevap B

55

≥Ax≥B = –(≥Bx≥A) olduğundan ve diğer

şıklar da doğru olduğundan Cevap A

56

Doğru üzerinden P(1, –2, –1) nok- tasını alalım. Aynı zamanda doğ- runun doğrultman vektörü ise

≥d = (2, –2, 1)'dir.

α h

P(1 , –2, –1)

Q(3 , –1, 1)

≥d = (2 , –2, 1)

PQ = (3 – 1, –1 + 2, 1 + 1)

= (2, 1, 2)

PQ = 2²+1²+2²_{= 3} h = PQ sinα

h = 3sinα dır.

PQ · ≥d = PQ · |≥d|cosα (2 · 2 + 1 ( –2) + 2 · 1)

= 3 · 3 · cosα ⇒ cosα = 9 4 sin²α + cos²α = 1

⇒ sinα = 1 9 4 ² -

b l

⁼ ₉⁶⁵

h = 3 · 9 65 = 3

65

Cevap D

57

_AB = (–2 –1, –3 + 1, 1 – 1)

= (–3, –2, 0)

AC = (3 – 1, 0 + 1, 2 – 1)

= (2, 1, 1) Alan (ABC)

O = 2

1 AB AC

x

^dir.

ABxAC = i 3 2

j 2 1

k 0 1 - -

= –2≥i + 3≥j + k = (–2, 3, 1) Alan = 2

1 ( 2)- ²+3²+1²

= 2 14 br²'dir.

Cevap C

51

4cm 4cm 4cm 4cm

2cm 2cm

x – 2 x 2

8

A B

D C

8² + (x – 2)² = (x + 2)² 64 + x² – 4x + 4 = x² + 4x + 4 x = 8

|AB| = 12cm

A(ABCD) = 2

(6 12) 8+ $

= 72cm²

Cevap C

52

A B

C

E F

H

D G

3m k m

3k 4S 4k

4S

S 4m

4k 4m

GHC O

AHB -

O

benzerliğinden,

|GH| = |AG| olur.

Böylece CGH O

üçgeni ve DGA O üçgeni eşittir. Dolayısıyla, |AD| = |HC| dir.

FGH O

üçgeninde olan benzerliğin- den,

4S S =

HC CF

4

= 1 ve açıortay teoreminden,

HCCF = GH FG

4

= 1 _olur.

GFC O

EFB -

O

benzerliğinden,

FBCF = FE FG

3

= 1 elde edilir.

Öyleyse, AG EF

4k

= 3k

= 43

bulunur.

Cevap A

53

P(–1, 3, –4) noktasının orijine göre simetriği Q(1,-3,4) noktası; xz düz- lemine göre simetriği R(1, 3, 4) noktasıdır. Koordinatları toplamı ise 1 + 3 + 4 = 8'dir.

Cevap D

(7)

Deneme 1

Çözümleri

68

. Öğrenci sorulan soruyu 2: (1/2) yerine 2:2 anlayarak yanlış aktar- ma kavram yanılgısına düşmüştür.

Cevap B

69

. A, B, C ve E şıkları öğrencilerin yaptığı hataları tarif etmemektedir.

Cevap D

70

Anlatılanlar iletişim becerisi ile ilgilidir.

Cevap C

71

Oran ilk kez 6. sınıfta, Yüzde ilk kez 5. sınıfta, Tam sayılar ilk kez 6. sınıfta verilmektedir.

Cevap E

72

Pisagor (MÖ 570 - MÖ 495), türev ve integral kavramlarının ortaya atıldığı 17. yüzyıldan çok öncedir.

MÖ 3. yüzyılda yaşamış olan Apol- lonius, Harezmi (780 - 850)'den çok önceki dönemdedir.

Euclid M.Ö. 300'lü yıllarda yaşamış- ken Euclid dışı geometri 20. yüzyılın başlarında ortaya atılmıştır.

Karmaşık sayılar, sıfırın keşfinden çok sonraları Gerolamo Cardano (16. yy) tarafından ortaya atılmıştır.

Dolayısıyla A, B, C ve E şıkları yan- lıştır.

Cevap D

73

Eşleştirmelerin hepsi doğrudur.

Cevap E

74

Altı aşamada anlatılanlara göre I ve III kesinlikle doğrudur.

Cevap B

75

A, B, C ve E şıkları Bilgi ve İletişim teknolojilerini etkili ve yerinde kul- lanabilme becerileri arasında yer alır.

Cevap D

62

Mehmet Öğretmen’in verdiği

adımlar sonucunda elde edilen parçalar birleştiğinde bir tam açı oluşacağından dolayı, Mehmet Öğretmenin öğrencilere bir dört- genin iç açıları toplamının 360°ol- duğunu göstermek istediği anlaşıl- maktadır.

Cevap B

63

A, B, C ve D şıkları, MEB tarafın- dan 2018 yılında yayınlanan İlköğ- retim Matematik Dersi (1-8. Sınıf- lar) Öğretim Programı kitapçığının 7. sayfasında yer alan Öğretim Programında benimsenen ölçme ve değerlendirme yaklaşımının özellikleri arasında yer almaz. E şıkkı ise "Eğitim sadece bilme (düşünce) için değil, hissetme (duygu) ve yapma (eylem) için de verilir; dolayısıyla sadece bilişsel ölçümler yeterli kabul edilemez."

maddesiyle ilgilidir.

Cevap E

64

Öğrenci toplamları 100'e yakın olan sayıları bir araya getirerek sonucu bulmaya çalışması prob- lem çözme stratejilerinden "Uyu- şan sayıları kullanma" stratejisini kullanmıştır.

Cevap C

65

Diğer üçgenlerden farklı olarak Defne isimli öğrencinin işaretlediği

“2,4,5” numaralı üçgenlerin ortak özelliği “geniş açılı üçgen” olma- larıdır. Bundan dolayı, soru kökü

“Geniş açılı üçgenler hangileridir?”

olmalıdır.

Cevap C

66

Öğretmen, π sayısını öğrencilerle beraber öğreniyormuş gibi yapa- rak, buluş yoluyla öğrenme yönte- mini kullanmıştır.

Cevap A

67

I. ,II. III. maddelerdeki bütün bilgi- ler bu şekilde bir yanılgıya neden olmuştur.

Cevap E

(8)

Deneme 2

1

_{f(x) = x}3 + 6, f(x + 4) = g(x – 2) olmak üzere

(fog) (–7) = f(g(–7)) = f(f(–1))

= f(5) = 131 bulunur.

Cevap D

2

(x, y) = (–1, 0) ve (1, 0) için a b c d

a b c d 0 0 - + - + =

+ + + = 3

b = –d olur.

(x, y) = (–2, 0) ve (2, 96) için

a b c d

8 4 2 0

8 4 2 96

- + - + =

+ + + = 3

4b + d = 48

3b = 48 & b = 16, d = –16 olur.

ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri: –2, –1 ve 1 dir.

Öyleyse,

x x x ab

16a 2

1+ 2+ 3= - = - = - a = 8 bulunur.

a + d = 8 – 16 = –8 olur.

Cevap B

3

_Z

1 = 3 + 6i = 3(1 + 2i)

Z Z30 . i i

3 1 230 1 210

2= 1= ] + g= +

Eşlenik alınırsa, Z2=10 1 212 22i 2 4i

+

- = -

] g olur.

Bu durumda,

Z₁ + Z₂ = 3 + 6i + 2 – 4i = 5 + 2i bulunur.

Cevap E

4

_fı(x) = ke^x – me^–x ve f^ıı(x) = ke^x + me^–x olur. Buradan

f^ı(0) = k – m = 3 f^ı(0) = k + m = 1

ise k = 2 ve m = –1 olmak üzere f(x) = 2e^x – e^–x bulunur. Daha sonra, f(1) + f(–1) = 2e¹ –e^–1 + 2e^–1 – e¹

= e + e^–1 = e²e+1 elde edilir.

Cevap D

5

F(x, y) = x² + xy – y² – 1 = 0 ise

. . .

dxdy FyFx

xx yy

m dxdy olur

2 2 2 2 3 2 2 3

47

, 2 3

&

= - = - -+

= = - -+ =

^ h

Doğru denklemi:

y- =3 47]x-2g&7x-4y- =2 0 bulunur.

Cevap C

6

.(x, y) = e^{ax – 3y} olmak üzere ._x = a . e^{ax – 3y} , ._xx = a²e^{ax – 3y} ._y = –3e^{ax – 3y} , .yy = 9e^{ax – 3y} ._xx – ._yy = (a² – 9) . e^{ax – 3y} = 0 a² – 9 = 0 & a = "3

a'nın alabileceği değerlerin çarpımı:

–3 . 3 = –9 olur.

Cevap E

7

y = –x + e + 1 y=ex olmak üzere

x e 1 ex - + + = ise x² – (e + 1)x + e = 0 (x – 1) . (x – e) = 0

x = 1 ve x = e kesişim noktalarının apsisleri olmak üzere

1+e 1+e

e 1

ln

Alan x e xe dx

x e x e x

e e e e e

e e

1

2 1

2 12 1

22 1

e

e 1

2

1

2 2

2

= - + + -

= - + + - + - -

= - -

c b

] g m

#

l

Cevap E

8

Eşitsizliğin sol tarafındaki fonksi- yonun işaret tablosunu oluştura- lım.

x³ – 1 = 0 için x = 1, 25 – x² = 0 için x = ± 5 dir.

|x² – 3x| = 0 için x = 0 ve x = 3 olur.Ama mutlak değer her zaman pozitif olduğundan bu kökleri bu tabloya yerleştirmeden daha sonra dikkate alacağız. Burada fonk- siyonun işareti negatif(–)'tir.

f +

–5 1 5

–∞ ∞

+ –

–

x = 0 değeri eşitsizliğin sol tarafı- nı "0" yaptığından taralı bölgeye dahil etmiyoruz. Öyleyse çözüm kümesi: (–5, 1) ∪ (5, ∞)│{0} olur.

Cevap C

9

_{sec2x =} cos2x1

dir.

x t

1 1+t²

cos2x = 1 – 2sin²x = 1 – 1 t

2 2

+

= t 1

t 1

2 2

+

- olur. Buradan

sec2x = t 1 t 1

2 2

-

+ bulunur.

Cevap A

10

e^{3k i}²^r sayısı z = fcos32

isin 23

r + r

p^kkarma- şık sayısının Euler gösterimdir.

Öyleyse, cos 3r2

= 0 ve sin3r2

= –1 olduğundan z = e^{3k i}²^r = (–i)^k dır.

k = 0(Mod4) için (–i)^k = 1 k = 1(Mod4) için (–i)^k = –i k = 2(Mod4) için (–i)^k = –1 k = 3(Mod4) için (–i)^k = i

k = 60(Mod4) için (–i)⁰ = 1 k = 61(Mod4) için (–i)¹ = –i k = 62(Mod4) için (–i)² = –1 k = 63(Mod4) için (–i)³ = i ve 1 + (–i) + (–1) + i = 0 olduğundan

e^3k²

k 0

63 i

=

/

r = 0 + 0 + 0...+0 = 0 olur.

16 tane

Cevap B

11

–1 ≤ sinx ≤ 1 ve –1 ≤ siny ≤ 1 ger- çeğinden sinx = 1, siny = –1 alın- dığında max{f(x, y)} = 17 olur.

Cevap E

12

_L=

x 3 (3 x)

x 3

lim 2

" -

- =

x 3 3 x

x 3lim

" - -

x = 3 kritik noktasındaki limit için sağdan ve soldan limitlere bakılır.

x 3 3 x

x 3lim - -

" ⁺ =

x 3 x 3

x 3lim

" ⁺ - - = 1

x 3 3 x

x 3lim

" ^- - - =

x 3 3 x

x 3lim - -

" ^- = –1 Sağ ve sol limitler eşit olmadığın- dan x=3 noktasında limit yoktur.

Cevap D

(9)

Deneme 2

Çözümleri

18

Sorudaki integrasyon sırasına göre integrali bulmak zor olur. Öy- leyse integrasyon sırasını değişti- relim:

y

4 x

2 integrasyon bölgesi y = x

I = 1 y

dxdy

3 0

y

0

2 ²

#

+

#

= 1 y

x 3 0

2

c

+

m

#

x 0

x y²

;

=

= dy

= 1 y

y

3 2 0

2

#

+ ⁼₃¹ ^{ln(1 + y}³⁾

0 2

;

= 3

1 (ln(1 + 2³) – ln(1 + 0³))

= 13 ln9 = 32

ln3

Cevap B

19

Oran testinden, a

a 1

n n

lim n+

" 3

= n 2

(x 1)

n

n 1

lim +

+

" 3

-

(x 1) n 1

n

$

+ -

= |x – 1|

n 2 n 1

nlim +

+

" 3

< 1

= |x – 1| < 1 ⇔ 0 < x < 2

x = 0 için

n 1 ( 1) ( 1)ⁿ ⁿ

n 0= +

3 - -

/

= n 1

1

n 0₌ +

/

3 serisi ıraksaktır.

x = 2 için

n 1 ( 1)ⁿ

n 0= +

3 -

/

^serisi

Leibniz testinden yakınsaktır. Öy- leyese, en geniş yakınsak aralığı (0, 2]'dir.

Cevap A

20

I ve II teorem olduğu için her zaman doğrudur. III her zaman doğ- ru değildir. Çünkü monoton azalan (artan) ve alttan (üstten) sınırlı di- ziler yakınsaktır.

Cevap C

16

u = arcsinx dx = dv

du = 1 x

dx

- 2 x = v

olacak şekilde kısmi integrasyon uygulanırsa;

arcsinx

0

#

1 dx = xarcsinx 0 1

;

–

1 x x

2 0

1

#

- ^dx

= (xarcsinx + 1 x- ²

0 1

;

= (1 · arcsin1 + 1 1- ²_{– ( 0 ·} arcsin0 + 1 0- ²

= 2

r – 1 ≡ 2 -2 r

Cevap E

17

₀⁰ belirsizliği olduğundan x → 1 iken y → 3 olacak şekilde y = 3x doğrusu boyunca limite bakalım:

L = lim

x 1"

3x² + 2x · 3x – (3x)² 3x² – 4x · 3x + (3x)² =0

0 olduğundan sorudaki limite ait fonksiyonu sadeleştirmeye çalışa- lım.3x² + 2xy – y²

3x² – 4xy + y² = (3x – y)(x + y) (3x – y)(x – y)

= x y x y -

+ olduğundan, yine y = 3x

doğrusu boyunca L = lim

x 1" x 3x x 3x

-

+ = –2 bulunur.

Cevap D

0 0

13

x clim

" f(x) = f(c) olmalıdır.

f(c) = x clim

" ^-f(x) = c² + c + 4 = x clim

" ⁺f(x) = 2c² – 5c eşitliğinden c² – 6c – 4 = 0 elde edilir. c nin alacağı değerlerler çarpımı ise

1 -4

= –4 bulunur.

Cevap B

14

[f^–1(x)]' = f' (x)1 ₌ 1 x

1 1 - 2

= 1 x- ²

arcsinx = 3 r için

x = 2

3 olduğundan

[f^–1(x)]' x 3

;

=r

= 1 x- ²

23

;

= 21 II. yol: f^–1(x) = sinx, [f^–1(x)]' = cosx

[f^–1(x)]' 3

;

r = cos3

r = 2 1

Cevap C

15

lnf(x) = lnx^sinx = sinxlnx

Her iki tarafın x'e göre türevi alınırsa, f'(x) = f(x)

[

cosx · lnx + x

sinx

]

f' 2

b l

r ⁼

b l

^r₂ ^{sin 2}^r

= cos 2 ln 2

0

$

r r

b l b l

> _{1 2 3} _{444 444}

⁺

2 sin 2

r

b l

r

V X WW WW WW WW

f' 2

b l

r ^{= 1 = M}T: Teğetin eğimi Normalin eğimi: M_N ise, M_T ⋅ M_N = –1 bağıntısından,

–1 olur.

f 2

b l

r ⁼

b

^r₂

l

^{sin 2}^b^r^l⁼ ₂^r^dir.

Normal denklemi ise, y – 2

r = –1

b

x 2- r

l

y + x – π = 0

Cevap A

(10)

Deneme 2

27

Çek(T) = {uRdIR⁴ : T(u) = 0}

olduğu biliniyor. Yani,

(x₁+x₂, x₂+x₃, x₃+x₄, x₁+x₄) = (0,0,0,0) A

10 01

00 11

10 10

11 00

00 10

00 11

10 10

01 00 +

= R

T SS SS

R

T SS SS V

X WW WW

V

X WW WW RankA = 3 olduğundan

boyÇek(T) = boyIR⁴ – RankA = 4 – 3 = 1

bulunur. Başka bir ifadeyle rank 3 ol- duğundan 4 – 3 = 1 tane keyfi sabit alınarak

x₄ = a₁ x₃ = –a₁ x₂ = a₁ x₁ = –a ; Çek(T) = {(–a, a, –a, a): tdR}

ve boyÇekT = 1 olur.

Cevap B

28

k ve t özdeğerlerine karşılık gelen

öz vektörler 01 ve 12 : D : D ise

(A k) ve

A t 01

00 12

00 I I

- =

] g:

: :

: D D

D D

olur. A ca db

=: D olmak üzere a kc

d kb a tc

d tb 10

00 1 12

00 2

$ $$$$$

$ $$$$$$$

- - =

- - = ]

] g : g

: :

: D

D D

D

(1)'den a = k, c = 0 (2)'den b = 2t – 2k, d = t ve a + b + c + d = 3t – k elde edilir.

Cevap E

29

f^–1(t) = 2

3 t- dir.

3 ∆ 2 = 3² + 2³ = 17 ve 2 ∆ 4 = 4

d n

2 ⁼_{(4 2) !2!}_-^4! ^{= 6} olur.

f^–1(3 ∆ 2) + f(2 ∆ 4)

= 2

3 17-

+ (3 – 2 · 6) = –16'dır.

Cevap A

30

x∉∪A'_i ⇔ (x∈∪A'_i)'

⇔ (x∈∩A_i)

Cevap C

31

f(1) = 6, f(6) = 3, f(3) = 2, f(2) = 1 olduğundan (1, 6, 3, 2) devri;

f(5) = 8, f(8) = 7, f(7) = 5 olduğun- dan (5, 8, 7) devri;

f(4) = 4 olduğundan (4) devri elde edilir.Öyleyse,

f = (1, 6, 3, 2) · (5, 8, 7) · (4)'dir.

f'in mertebesi:

o(f) = okek(4, 3) = 12 olur.

Cevap E

i∈I i∈I

i∈I

24

UfV (vektör uzayı)

olsun. U, V nin alt vektör uzayı olma- sı için

i) O_VdU

ii) U₁, U₂dU ve CdIR için U₁ + CU₂dU olmalıdır.

I. (0, 0) için 3 . 0 + 2 . 0 = 0 ! 1 oldu- ğundan (0, 0)zA dır. Yani A, R² nin alt uzayı değildir.

II. (0, 0)dB ama (x₁, y₁)dB, (x₂, y₂)dB ve CdIR için

(x₁, y₁) + C(x₂, y₂) = (x₁ + Cx₂, y₁ + Cy₂)dB

olduğundan B, IR² nin alt vektör uza- yıdır.

III. (0, 0)dC dir. Fakat x² = y eşitliğini sağlayacak şekilde

(1, 1)dC ve (2, 4)dC için (1, 1) + (2, 4) = (3, 5) ve 3² ! 5 olduğundan

(3, 5) z C olur. Yani C, IRⁿ'nin alt vektör uzayı değildir.

Cevap B

25

_{a9b = a}3b³ verilsin.

I. (a9b)9c = a⁹b⁹ . c³ ! a9(b9c) = a³b⁹c⁹ olduğu için

birleşme özelliği yoktur.

II. a9b = a³b³ = b³ . a³ = b9a ise değişme özelliği vardır.

III. a9e = a³ . e³ = a

e a e

a1

3 2

& 2 3

= ^- = değeri her

adZ sayısı için sabit bir tamsayıya eşit olamayacağı için birim eleman yoktur.

Yalnız II doğrudur.

Cevap B

26

X = {a, b, c, d, e} kümesinin P(x)

kuvvet kümesi, X'in alt kümelerinin kümesidir.

Öyleyse, AdP(x) için s(A) = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ve f(A) = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} olur.

Ak : k elemanlı alt küme olmak üzere A₀'lerin sayısı: 0b l5 =1

A₁'lerin sayısı: 1b l5 =5 A₂'lerin sayısı: 2b l5 =10 A₃'lerin sayısı: 3b l5 =10 A₄'lerin sayısı: 4b l5 =5

A₅'lerin sayısı: 5b l5 =1 ise

. . .

fA 1 2 5 1 10 0

10 1 5 2 1 3 16

A P x

= - + - +

+ + + =

!

] ] ]

]

g g g

/

g

bulunur.

Cevap D

21

^y

1 x 1

3 3 y = x3

y = 4 – x 4 – x = x3

⇒ x = 1 ve 3'tür.

y = 4 – x ⇒ x = 4 – y y = x

3 ⇒ x = y 3

V = π (4 y)²

1 3

7

-

#

^-

b l

³_y ²

E

^dy

= π

1

#

3f16 – 8y + y² – y

92 pdy

= π>16y – 4y² + 3 y³

+ y 9

E

1 3

;

= 3 8r br³

Cevap E

22

b bağıntısının tanımından I. (A, A)db + 7YdP(x), A = AjY olduğu açıktır. Yani b yansıyandır.

II. (A, B)db iken A = BjY ise BfA dır.

(B, A)db iken B = AjY olabilmesi için AfB olmalıdır. Bu da BfA duru- muyla çelişir. Yeni b simetrik değildir.

III. (A, B)db iken A = BjY .... (1) (B, C)db iken B = CjY .... (2) (1) ve (2)'den

A = CjYjY = CjY

olduğundan (A, C)db elde edilir.

Yani (A, B)db ve (B, C)db iken (A, C)db olduğundan b geçişkendir.

I ve III doğrudur.

Cevap C

23

EKOK(a, b) = y

EBOB(a, b) = x

olmak üzere y = x² veriliyor.

Aynı zamanda, a . b = x . y olduğunu hatırlayalım.

k ve mdZ için a = kx , b = mx ve a – b = x(k – m) = 42 dir.

Diğer taraftan

a . b = kx . mx = kmx² ve a . b = x . y = x . x² = x³ olduğu için kmx² = x³ &

x = km &

a – b = km(k – m) = 42 olur.

Bu eşitlik k = 7 ve m = 6 için sağlanır.

Yani x = 7 . 6 = 42 elde edilir. Sonuç olarak, b = mx = 6 . 42 = 252 bulunur.

Cevap E

(11)

Deneme 2

Çözümleri

42

10 tane terim vardır.

2 10 1+

= 5,5 olduğundan med- yan 5. ve 6. terimlerin aritmetik ortalamasıdır: 2

11 13+ = 12 Mod ise en çok tekrar eden terimlerin değeridir: 13

Toplam: 12 + 13 = 25

Cevap C

43

F(x) = f (x) dx

23 25

#

= (x 1) dx

32 2

#

- ⁺ ^{(3 x) dx}

2 25

#

-

= x2

x

2 -

b l

23

2

;

+

b

3x- x2²

l

2 25

;

= 4 3

Cevap B

44

Cevap E şıkkıdır.

Cevap E

45

E(x) = f13

p

2

(75 + 75) + 13 · 32

(75 – 30) + 3 2 · 3

1 (–30 + 75) +

f32 p

2

(–30 – 30)

= 150 + 90 + 90 – 2409 = 10 Cevap C

46

D

C

B

L A

K F

a

a a

a a a

a E

A AKD AK ED. a

2 2² 18

= = =

] g

& a = 6 A(ABCDEF) altıgeninin alanı

. .

a br

3 32

3 3 62 54 3

2 2

= = = 2

Cevap C

38

^dL_L = –kdt

lnL = –kt+ c₀ ⇒ L = e^{–kt + c0}= ce^–kt t = 0 anında 12 kg gaz var ise 12 = ce^{–k · 0} ⇒ c = 12 ⇒ L = 12e^–ktolur.

t = 3 anında 8 kg gaz var ise 8 = 12e^–3k ⇒ e^–3k = 3

2 olur.

t = 12 anında ise

L = 12e^–12k = 12(e^–3k)⁴ = 12f3 2p⁴

= 2732

kg

Cevap A

39

y' = dx

dy = y²– 5y + 4

y 5y 4 dy

2- +

#

⁼

#

^dx

= 3 1

y 4 1

c

-

#

^-_{y 1}¹_-

^m

^dy

= 3 1 ln

y 1 y 4 -

- = x + c₀

y 1 y 4 -

- = e^{3x + 3c0} = ce^3x dir.

y(0) = 0 ise c = 4

y 1 y 4 - - = 4e^3x

Cevap E

40

(4xy + sinx)dx + (x² + 1)dy = 0

M N M_y = 4x N_x = 2x

dϻϻ = 1

N(M_y – N_x)dx

#

^dϻϻ =

#

_x²^2x₊₁^dx

lnϻ = ln(x² + 1) ⇒ ϻ = x² + 1 Cevap B

41

Rakamları farklı 4 basamaklı çift sayılar kümesi istenen durum- dur.

5 · 5 · 4 · 3 = 300 ⇒ Tüm durum 5 · 4 · 3 ·

0

! +

1 ^{= 60} 4 · 4 · 3 ·

2, 4

" , 2

= 96 156

⇒ istenen durum 300

156 = 25 13

Cevap D

32

Üreteçlerin sayısı:

∅(18) = ∅(3²) · ∅(2¹)

= 18 ·

b

1 3-1

l b

_{1 2}^-¹

l

^{= 6'dır.}

Cevap C

33

det(kA) = kⁿdet(A) olduğundan B

şıkkı yanlıştır. Diğerleri doğrudur.

Cevap B

34

^{x 4} x 1

x 3 x 2 - -

-

- = 0 olmalıdır.

Öyleyse,

(x – 4)(x – 2) – (x – 1) (x – 3) = –2x+5 = 0 x = 25

Cevap D

35

x'in katsayıları 1. sütuna, y nin kat- sayıları 2. sütuna yazılır.

3 1

2 1 - - -

= G

^olur.

Cevap A

36

_{x t} _.

dxdt 2 t

2&

= =

dydt dx dy dxdt

t dxdy dt

d y dxdy t dx d y dxdt t dx

d y dxdy 2

2 2

4 2

2 2

2

$ $

$ $ $

$

= =

= +

dt d yve dtdy

2

2 değerleri

dt

d y²₂-1t dt$dy-16t y² =0 denkleminde yerlerine yazılırsa,

dx

d y²₂-4y=0 denklemi elde edilir.

Cevap B

37

Küpün içindeki en büyük hacimli küre küpün iç teğet küresidir. Öy- leyse, kürenin yarıçapı r = 5cm olmak üzere

V_küre: 34_πr₃₌ 3 500r_br₃

V V

küp

küre = 10003 500r

= 6 r

Cevap C