VEKTÖRLER, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, VE ELEKTROSTATİK KUVVETLER

I. BÖLÜM

VEKTÖRLER, KOORDİNAT SİSTEMLERİ, VE ELEKTROSTATİK KUVVETLER

Yararlanılan Kaynaklar:

1. Prof. Dr. David K. Cheng, Çeviri Editörleri: Prof. Dr. Nizamettin ARMAĞAN, Doç. Dr. Nurdoğan CAN, “Dalga ve Alan Elektromanyetizması”.

2. Gürdal, Osman, “Elektromanyetik Alan Teorisi,” Nobel Yayın Dagıtım, Ankara, 2000 3) Elektrik Alanlarına Giriş I, Ahmet Akhunlar, İTÜ Yayınları, 1971.

4) Theory and Problems of Electromagnetics, J. A. Edminister, McGraw-Hill, 1993.

5) Elektromagnetik Alan Teorisi, H. Ergun Bayrakçı, Birsen Yayınevi, 2000.

5) Elektromanyetik Alan Teorisi ders Notları, Yılmaz Korkmaz

1. VEKTÖRLER

Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için genellikle vektörlerden faydalanılır.

• Kuvvet ve hız gibi hem büyüklük hem de yöne sahip olan değerler vektör (vector) ile gösterilir. Vektörler büyük ve kalın harfler ile gösterilir. Örnek: A

• Buna karşın skaler (scalar) tanımı yönü olmadan sadece büyüklüğe sahip değerler için kullanılır. Buna örnek olarak ağrılık ve enerji verilebilir.

• Örnek: hız (speed) ve sürat (velocity) kavramları vektörlerle ifade edilir.

1.1 Vektörel Cebir

Vektör: Bir başlangıç noktası, doğrultusu, yönü ve genliği olan büyüklüktür.

Gösterim:

A vektörü A vektörünün negatifi

Vektörlerin Toplanması:

Vektörlerin Çıkarılması:

Vektörel Cebirin bazı kuralları:

Birim Vektörü: Çünkü:

A vektörünün kartezyen bileşenleri:

A vektörünün genliği(büyüklüğü):

Konum(yer) vektörü ve büyüklüğü :

Vektörlerle Çarpma İşlemi:

Vektörlerin çarpılmasında iki farklı yöntem vardır.

a) Noktasal (Skaler) Çarpma İşlemi:

Noktasal (Skaler) Çarpmanın kuralları:

“Aynı isimli birim vektörlerinin kendi aralarında skaler(nokta) çarpımları bir, farklı isimlerdeki birim vektörlerinin skaler çarpımları sıfırdır.”

Kartezyen Koordinat Eksenleri ve birim Vektörleri

Kartezyen (dikdörtgen)Koordinat Sistemi:

Biz sağ dikdörtgensel koordinat sistemlerini kullanacağız. Yani, Ox den Oy ye 90 derece döndürülen bir sağ yivli vida pozitif (z) yönünde ilerleyecektir. (Kartezyen koordinat Sisteminde birim vektörleri; i, j, k harfleri ile gösterilir.)

Örnek : A=4i - 2j – k, B= i + 4j - 4k verildiğine göre iki vektörün dik olup olmadıklarını gösteriniz.

Skaler çarpımları sıfır ise iki vektör bir birine diktir.

Vektörel (Çapraz)Çarpma İşlemi:

Vektörel çarpmanın kuralları:

Vektörler arasındaki çapraz çarpma işleminde determinant yöntemi de kullanılabilir.

n

n

 ; A ve B vektörleri arasındaki açı,

n : A ‘yı B ye sağ vidanın ilerleme yönünde

vektörlerin oluşturduğu düzleme dik birim vektörü.

a ve b vektörünün çapraz çarpım

Örnek :

Örnek : ve Vektörel işlemlerini yapınız.

Çözüm:

Gradient(Gradyant), diverjans, rotasyonel:

(nabla) operatörü : Diferansiyel vektör işlemcisi. Açılımı:

Örnek 1: (u v) u v olduğunu Kartezyen Koordinatlarda gösterin.

2. KOORDİNAT SİSTEMLERİ

• Uzayda bir noktayı göstermek ve vektörleri görselleştirerek daha kolay anlaşılmasını sağlamak için koordinat sisteminden faydalanılır. Verilen bir vektör matematiksel olarak seçilen koordinat sistemi üzerinde bileşenlerine ayrılarak ifade edilir.

• Uzayda çok sayıda dikdörtgen (orthogonal) koordinat sistemi mevcuttur. Burada dikdörtgen terimi koordinat sistemi içinde her bir noktanın birbirlerine dik üç yüzeyin kesişimi ile tanımlanabileceğini anlatmaktadır.

• Elektromanyetik teoride alanları ve dalgaları ifade etmek için Kartezyen(Cartesian), silindirik (cylindrical) ve küresel (spherical) koordinat sistemlerinden faydalanılır. Verilen bir vektör ifadesi için koordinat sistemleri arasında dönüşüm yapmak mümkündür.

2.1. Kartezyen (Dikdörtgen) koordinat sistemi:, Kartezyen sistemde ; birbirine dik üç adet koordinat ekseni ile koordinatlar tanımlanır. Bunlar x,y,z eksenleridir. Koordinat değerlerini, bir birlerine dik olan üç dikdörgen yüzeye olan uzaklıklar belirler. Ölçü birimi metrik birimlerdir.

Kartezyen koordinat sisteminin birim vektörleri Değişken aralıkları: -∞ < x < ∞, -∞ < y < ∞ , -∞ < z <∞

Kartezyen koordinat Sistemi Birim

vektörleri:

a

_x

= i

a

_y

= j

a

z

= k

Kartezyen sistemle ifade edilen bir A vektörünün x, y ve z eksenleri doğrultusundaki bileşenleri:

A= A

x

a

x

+A

y

a

y

+A

z

a

z formunda ifade edilir. Burada, ax , ay , az birim vektörleridir ve mutlak değerleri 1 dir. Önündeki ya da arkasındaki büyüklüğün vektör bileşeni olduğunu ifade ederler. |ax| = |ay| = |az|= 1 ve A bileşke vektörünün mutlak değeri(büyüklüğü);

|A|= (A

²x

+A

²y

+A

²z

)

^½ hesaplanır.

2.1.1. Kartezyen (Dikdörtgen) Koordinat Sisteminde; diferansiyel uzunluk, alan ve hacimler.

Diferansiyel uzunluk elemanı:

dl

 

axdx aydy azdz





 veya;

dir.

Diferansiyel yüzey elemanları:

X düzlemi: dSx =dy.dz Y düzlemi: dS_y =dx.dz

Z düzlemi: dSz =dx.dy

((x+dx), (y+dy), (z+dz)) dl

dy

dx dz

(x,y,z)

x

y z

0

Diferansiyel hacim elemanı:

dv = dx. dy. dz

dS_{x y}= ds _z= d_x.d_y.

dS_{x z =} ds_y =d_x. d_z

dS_{yz =} ds_x = d_y.d_z

x

y z

0

dx dz dy

ÖRNEKLER:

1) Kartezyen koordinatlarda ; P(2 , -4 , 1) ve Q( 0 ,- 2 , 0) noktasına yönelmiş A vektörünü ve bu doğrultudaki birim vektörü bulunuz.

2.2. Silindirik koordinat sistemi:

z= sabit düzlemleri, r= sabit silindirleri ve φ= sabit düzlemleri bu sistemin koordinat yüzeyleridir. Aşağıdaki şekilde, P1 noktasının koordinatları; P₁(r,φ,z) şeklinde ifade edilir. r ve z koordinatlarının birimleri metrik, φ açısal kooerdinatının birimi radyandır.

Eksenlerin sıfır (orjin) noktası ile P1 noktasının birleştirilmesi sonucu belirlenen bir

A

vektörü; şeklinde ifade edilir.

Burada; vektörleri bu sistemin birim vektörleridir ve birbirlerine diktir. Yine mutlak değerlei; ve

sembolleriyle de gösterilebilir.

Silindirik ve Kartezyen koordinat sistemleri değişkenlerinin birbirine dönüşümü:

Silindirik koordinat sisteminde x-y düzlemi kullanılarak herhangi bir P noktasına ait xp ve yp

Kartezyen koordinat değerleri bulunabilir. Şüphesiz ki z koordinatı her ikisinde de aynıdır.(..?)

P(x_p, y_p, z_p) noktası elde edilir. Silindirik koordinat sistemi

→

A= Ar.a

→r

+ Aφ.a

→_φ

+ Az.a

→z

a

r

, a

φ

, a

→z

→ →

|a

^→r

| = | a

^→φ

| = | a

^→z

| =1

^→

a

r

= i

^→r

, a

^→φ

= i

^→φ

, a

^→z

= k

^→

Silindirik koordinat sistemi

P1(r1 ,φ1 ,z1)

P^’

' ''

y z

x

φ

1

0

r

1

z

1

A

Değişken aralıkları: 0 < r < ∞, 0 < ϕ < 2π , -∞ < z < ∞,

P x

y

φ

p

0

x

y

r

r

= (r

p 2 +

y

p2

) φ = tan

^-1

y/x

x = r.cosφ

y = r.sinφ

Kartezyen ve silindirik koordinatlar arası dönüşüm.

2.2.1. Silindirik Koordinat Sisteminde; diferansiyel uzunluk, alan ve hacim:

Uzunluk elemanı:

Yüzey elemanlar : , , , Hacım elemanı:

Örnek 1: Silindirik koordinatlarda P(5, 3π /2, 0) ve Q(5, π /2, 10) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

P noktası:

Q noktası:

dr.ar

+ r. d

φ

. a

φ

+ dz. a

z

.az aφ ar

Örnek 2: z 5 düzlemi üzerindeki rastgele bir noktadan orijine yönelmiş birim vektörü yazın.

Örnek 3: Silindirik koordinatlarda z ekseni üzerindeki koordinatı, z h olan P noktasından Q(r, ϕ , 0) noktasına yönelmiş birim vektör nedir?

Q noktasının kordinatları:

. ve Q(r.cosr.sin

P noktasının kordinatları: P(x=0, y=0, z)





2.3. Küresel Koordinat Sistemi:

r

= sabit küreleri, θ= sabit konileri ve ϕ = sabit düzlemleri küresel koordinat sistemini oluşturur. (Burada, r yarıçapının birimi metre ve açıların birimi radyan cinsindendir.)

Küresel koordinatlarda tanımlanan bir vektörün birim vektörleri; ar , aθ, aφ Harfleri ile gösterilebilir.

|a

r

| =|a

θ

| = |a

φ

| =1 ve |a

r

| = | i

r

|, |a

θ

| =|i

θ

| , |a

φ

|=| i

φ

|

harfleri ile de gösterilebilir.

a

r

:

Kürenin merkezinden P noktasına doğru yönelen birim vektörüdür.

a

θ

:

Tam P noktasında küre yüzeyine teğet doğrultuda diğer iki birim vektörlerine dik birim vektörüdür.

a

φ

:

Küre ve koni yüzeylerine dik doğrultuda ve şekildeki yönde birim vektörüdür.

Küresel koordinatlarda;

P(r1 ,θ1 ,φ1) noktası ve bu noktanın belirlediği A yer vektörü: A=Ar.ar+Aθ.aθ+Aφ.aφ şeklinde ifade edilir.

Φ’nin pozitif yönü; z ekseni etrafında, x’ ten y’ye doğru saat ipresinin tersi yönündedir.

Bundan dolayı φ, (0-2π) arasında değişir.

θ’nın pozitif yönü, değerinin sıfır olduğu pozitif (z) ekseninden (π) radyan kadar negatif (z) eksenine doğrudur. Yani θ, (0- π) arasında değişir.

→ → → → → → → → →

→ → → →

→

→

→

Küresel Koordinat Sistemi

P(r, θ, ) z

x

y ar

aθ

a



θ r

0

P’

Değişken aralıkları: 0 < r < ∞, 0 <

θ <



, 0 < ϕ < 2



,

2.3.1 Küresel ve Kartezyen Koordinat Sistemlerin birbirine dönüşümü

Küresel koordinatların dikdörtgen(kartezyen) koordinata dönüştürülmesi:

x= r.sinθ. cos.φ , y= r.sinθ. sin.φ , z= r. cos.θ

r = (x² ₊ y²+z²) , φ= tan^-1 ] , θ=cos^-1

P noktasının koordinatları P(r, θ, φ ); küresel sistemden kartezyen sisteme, P(x, y, z )olan kartezyen koordinatlar küresel koordinatlara dönüştürüldü.

Dikdörtgen koordinatların küresel koordinata dönüştürülmesi:

) , r = (x² + y²+z²) θ= tan^-1( ) , φ= tan^-1.

P(x, y, z ) = P(r, θ, φ ) dönüştürüldü.

Kartezyen ve küresel koordinatlar arası dönüşüm.

r.sinθ

r.cosθ

P(r, θ, φ ) z

y

x

φ

θ

r

P’

0

Küresel koordinat sistemi

Kartezyen koordinatlar Küresel koordinatlar

2.3.2. Küresel koordinat sisteminde; diferansiyel uzunluk, alan ve hacim

Kürenin yüzey Alanı: dsr = r. dθ .r.sinθ. dφ . a_r = r² . sinθ . dθ . dφ . a_r Koni yüzey alanı: dsθ = r.sinθ. dφ. d_r aθ

Dik dörtgen düzlem yüzeyin alanı: dsφ = r. dθ. d_r. aφ

Bu üç düzlemin oluşturduğu hacim:

dv= d

r

. r. d

θ

. r.sinθ. d

φ

= r

²

. sinθ. d

θ

. d

φ

. d

r

Diferansiyel uzunluk elemanı: dl= dr. ar+ r. dθ aθ+ r.sinθ. dφ aφ

Koordinatları; P (r, θ, φ ) olarak tanımlanan bir P noktasının yerinin gösterilmesi;

Kürenin yarı çapı olan r;

0 ≤ r ≤ ∞ aralığındadır.

P (r, θ, φ ) z

x

y φ

θ r

A

r’

0

p noktasının iz düşümü

P’

→

Örnek 1. r = a, α ≤ θ ≤ β ile tanımlı küresel bantın alanını hesaplayınız.

Aynı soru α =0, β = π için alanı hesaplayalım.

Bulunan sonuç kürenin alanıdır.

Örnek 2: Küresel koordinatlarda diferansiyel hacim ifadesini kullanarak yarı çapı a olan kürenin hacmini bulunuz.

Örnek 3:

Merkezi orijin olan küre üzerinde bir P noktası çapı, r =1 birim ve açısal pozisyonu θ=45, φ=45 olarak tanımlanıyor. Bu noktanın Kartezyen ve silindirik koordinatlarını bulunuz?

P( r=1, θ

^^

Çalışma Soruları:

Soru 1: verilerek, olduğu başka bir şekilde

ispatlanmıştır. Aynı sonucu küresel koordinatları kullanarak bulunuz.(Küresel koordinatlarda laplaysan)

Soru 2: verilerek, olduğu bilinmektedir. Aynı sonucu

silindirik koordinatları kullanarak bulunuz.(Silindirik koordinatlarda laplaysan) Soru 3: V= 2x² – y² + 3z² skaler nokta fonksiyonun laplasyanını bulunuz.

( )

y

Kartezyen koordinatlar;

P(0,5 ; 0,5; 0,707)

Silindirik koordinatlar;

P(0,707 ; ; 0,707) Silindirin yarı çapı R alındı.

3. ELEKTRİK YÜKLERİ VE ELEKTROSTATİK KUVVETLER ElektrikYükü:

Elektrik yükü olan parçacıkların çevrelerinde yarattıkları ve diğer yüklü parçacıklar üzerinde kuvvet uyguladıkları bilinmektedir. Elektrik yükleri (veya şarjları) iki şekilde bulunurlar.

Bunlar pozitif ve negatif yüklerdir. Elektrik yüklerinin varlığı, yüklü cisimlerin bir birlerini itmesi ve çekmesi şeklinde ortaya çıkan kuvvet etkisiyle anlaşılır.

Benjamin Franklin(1706-1790) elektrik yüklerini + ve – olarak iki çeşidi olduğunu ortaya koydu. 1909 Robert Millikan, elektronun değerini ilk defa ölçmüştür

Doğadaki en küçük elektrik yükü, bir elektronun yüküdür. Bu yükün işareti (-) kabul edilmiş olup (

-e

)ile gösterilir. Bir protonun yükü ise, (

+e

) kabul edilmiştir.

 Plastik çubuk kürk parçasına sürtündüğünde, çubuk “pozitif” yüklenir.

 Cam çubuk ipek parçaya sürtündüğünde, çubuk “negatif” yüklenir.

 İki aynı işaretli yük birbirini iter.

 İki zıt işaretli yük birbirini çeker.

 Elektrik yükü korunur.

Elektroskopla elektrikle yüklenmenin görülmesi

Elektrik yükü bir fiziksel büyüklük olup ; Q, q ile gösterilir. SI birim sisteminde, yükün birimi “Coulomb” dur, Kulon olarak okunur. Kulon birimi (C) harfiyle gösterilir.

[ q ]SI = C, Elektronun yükü = -1,6.10^-19 C , Protonun yükü ˜ =+1,6.10^-19 C 1 COULOMB (C); 624 .10¹⁶ adet elektron yüküne eşittir.

Elektron: yaklaşık olarak 10^-18 metre yarıçaplı ve kütlesi me= 9.11 x 10 ^{- 31} kg dır.

Proton: +e yükü ile sınırlı büyüklüğe sahiptir, kütlesi mp= 1.67 x 10^-27 kg dır.

Nötron: Protonla aynı büyüklükte, fakat toplam yükü =0 ve kütlesi mn=1.674 x 10^-27 kg dır.

Herhangi bir sistemin n sayıdaki elektronların toplam yükü; Q=n.e, n=0, ±1, ±2 . . .

Elektrik Alan Çizgileri:

Elektrik alanları, sembolik olarak adına elektrik alan(veya kuvvet) çizgileri denilen sembollerle gösterilir. Bu çizgilerin yönleri;( + )yüklerde yükten dışa doğru, ( - )yüklerde ise dışarıdan yüke doğru elektik alanı oluşturduğu, nötr cisimlerin ise alan oluşturmadığı kabul edilmiştir.

Düzlem levhaların elektrik alanı, pozitif levhadan negatif levhaya doğrudur. Yüklerin çoğu birbirlerine bakan yüzeylerde toplanmıştır.

Pozitif(+)yük , Negatif(-)yük nötr (yüksüz)

Elektrik yüklerinin gösterilmesi

Kuvvet çizgilerinin yükün polaritesine göre gösterilmesi:

Pozitif yükün kuvvet çizgileri Negatif yükün kuvvet çizgileri

İki noktasal yük

İki Düzlem Levha

Birbirine yakın iki zıt yükün kuvvet çizgileri

Eşit büyüklükte iki noktasal yükün elektrik alan çizgileri Kuvvet çizgilerinin özellikleri:

 Alan çizgileri artı Yüklerden çıkıp sonsuza doğru, eksi yüklerde ise sonsuzdan yüke doğrudur.

 Artı yükten ayrılan veya eksi yüke gelen alan çizgilerinin sayısı yük miktarı ile orantılıdır.

 İki kuvvet çizgisi, asla birbirleri ile kesişmezler.

 Kuvvet çizgileri, girdikleri ve çıktıkları yüzeylere diktirler.

“Elektrik yüklerinin birbirleri üzerine etkileri Kulon Kanunu ile tanımlanmıştır.”

3.1. COULOMB KANUNU (Kulon Kanunu)

Bu kanun deneysel olarak ispatlanmıştır. Tüm bu bulgular ışığında ve boşluk ortamı için Coulomb(Kulon)Kanunu matematiksel olarak aşağıdaki formüllerle ifade edilmiştir.

Yüklerin bulunduğu ortamın boşluk olmaması halinde, formülde,

ε

0 yerine

ε

konularak;

Şeklinde genel olarak Kulon kanunu yazılır.

Yukarıdaki formülünde, ( ur ) birim vektörünün değeri yerine konulursa herhangi bir ortam için Kulon Kanunu;

Formülü ile ifade edilebilir .

F = →

→ →F = →

_

=

→ →

→

→ →

→ →

F= )=

→ur

q1 q2

r

Yukarıdaki ifadelerde;

k: yüklerin bulunduğu ortamı ve birim sistemini açıklayan ,Coulomb sabiti denilen bir sabittir

r ; iki yük arasındaki uzaklık vektörüdür. r uzaklık vektörü için; yazılabilir.

: ortamın elektriki geçirgenliği yani dielektrik katsayısıdır. = formülü ile hesaplanır. Birimi, Farat /metre (F/m) dir.

Boşluğun elektrik geçirgenliği, yani dielektrik katsayısı olarak kullanılır.

: Bağıl dielektrik katsayısı ( nin birimi yoktur.)

(u

r

)

birim vektörüdür ve │

u

r│

=1

^dir

, u

r

=

ye eşittir.

SI birim sisteminde boşluğun elektriki geçirgenliği (

ε

0):

veya;

ε

0 = 8,85 . 10^-12 (C²/Nm² = F/ m) dir . Boşluk için

ε

0 ‘ ın değeri yerine yazılırsa; kulon sabiti; olarak elde edilir.

Vakumlu (havasız) ortamın dieletrik katsayısı, ise herhangi bir maddenin bağıl dielektrik katsayısıdır. katsayısı birimsiz olup bir ortamın dielektrik katsayısının boşluğunkinden ne kadar büyük olduğunu gösterir. Ayrıca ‘a boşluğun geçirgenliği,

‘ye ise ortamın bağıl geçirgenliği denir.”

Kulon Kanunun Sonuçları:

1. Elektrik yükleri arasında bir kuvvet vardır.

2. Pozitif(+) ve negatif(-) olmak üzere iki cins elektrik yükü vardır. Aynı cinsten yükler arasındaki kuvvet itme, zıt cinsten yükler arasındaki kuvvet çekme şeklindedir.

3. Yükler arasındaki kuvvetin doğrultusu, yükleri birleştiren hat doğrultusundadır.

4. İki yük arsındaki kuvvet, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır.

5. İki yük arasındaki kuvvet, yüklerin büyüklüklerinin çarpımlarıyla doğru orantılıdır.

6. Yükler arasındaki kuvvet, yüklerin bulunduğu ortama da bağlıdır.

Bazı yalıtkanların bağıl dielektrik katsayıları (εr ):

Yalıtkan Bağıl geçirgenlik ( εr) Yalıtkan Bağıl geçirgenlik (εr) 1.Boşluk 1 (yaklaşık hava) 8. Cam 3,5-9

2. Hidrojen 1,000264 9. Bakalit 4-7,5 3. Oksijen 1,000523 10. Mika 5-7 4. Parafin 2-2,54 11. Mermer 7 5.Trafo yağı 2,5. 12. Su (0 C⁰) 88 6. Ebonit 2,5-3,5 13. Su(100 C⁰) 48 7. Kuartz 3,5-5,5 14. Baryum Titanat 1200

→ → → →→

→ → → →

r = x i+y j+z k

Elektrik alanı;

Bir kaynağın etrafında oluşan bir ortamdır. Örneğin; durgun bir elektrik yükünün etrafında statik manyetik alan meydana gelir. Herhangi bir q elektrik yükünün oluşturduğu elektrik alanına, başka bir Q yükü konulduğunda bu yüke alan tarafından bir kuvvet uygulanır(Kulon Kanunu).

Bir yükün etrafında ikiden fazla noktasal yük bulunması durumunda Kulon Kanunu:

Bir Q test yükünden r1, r2, r3 . . , rn uzaklığında bulunan q1, q2,q3 . . ., qn yüklerinin Q’ya uyguladıkları toplam bileşke kuvvet yazılırsa:

Yükler bir noktada toplanmayıp herhangi bir bölge üzerine eşit olarak dağılmış ise, bölgenin yakınında bulunan q1 noktasal yüküne etkiyen kuvvet;

ur3

u_r2

u_r1 r₃

r1

r₂

q₁

q q3 2

Q

→ →

→

dF

1

q₁ r

ur

+dq

→

→

Düzgün yük dağılımları:

Birim uzunluk başına yük (λ) ; birimi C/m, dq = λ dl (λ çizgisel yük dağılımı) Birim alan başına yük (σ) ; birimi C/m², dq = σ dA (σ yüzeysel yük dağılımı) Birim hacim başına yük (ρ) ; birimiC/m³, dq = ρdV (ρ hacimsel yük dağılımı)

Örnekler:

1. q1=+6 mikro kulon ve q2=20 mikro kulonluk noktasal yükleri boşluk ortamında sırasiyle (3;2;-6) metre ve (6;4;0)metre noktalarında bulunmaktadırlar.Yükler arasındaki kuvveti ve doğrultusunu bulunuz.(εr=1 dir.)

Çözüm:

r1=3i +2j - 6k, r2=6i + 4j + 0k olur. q1 ve q2 yükleri arasındaki uzaklık vektörü;

r = r₂ - r₁ =(6i +4j +0k)-(3i +2j -6k), r = 3i +2j +6k vektörünün büyüklüğü;

2. Aşağıda değerleri verilen zıt polariteli, boşluk ortamında bulunan iki yükün birbirlerine uygulayacakları kuvveti ve yönünü bulunuz.

,θ=45⁰

3C’luk yüke etkiyen kuvvet; F1= F21+F31+F41, F21=1,8(i)N= F41 , F31= F31cos 45⁰ ( İ)+ F31sin 45⁰ (j) F1= 3.07i +0,53(-j) , F=3,115 N.

3. Şekil ’deki gibi dört noktadaki yük, kenar uzunluğu 0,3m olan karenin köşelerinde bulunmaktadır.

+3μC’luk yük üzerindeki bileşke elektriksel kuvveti bulunuz.

Çözüm:

L a

P 4. Şekli verilen L uzunluğundaki ince çubuk

üzerindeki düzgün yük dağılımından a kadar uzakta bulunan +q noktasal yüküne etki eden kuvveti bulunuz. Çubuk üzerindeki toplam yük +Q ve ortam boşluktur.

r = = 7m

F

=

=

9.10⁹

. .

(3i +2j +6k )

F = 3,14.10^-3(3i +2j +6k)= (9,42i + 6,28j + 18,84k) 10^-3 , F=22.10^-3 N.

y

F41

F₂₁ F₃₁

A B

D C

x

a/2 a/2

a/2 a/2

6μC -12μC

3μC -6μC

y

A B

D C

x

a/2 a/2

a/2 a/2

6μC -12μC

3μC -6μC

Q1=25nC Q2=- 75nC

r=30 cm

F2 F1

dq =  dr

(= çizgisel yük yoğunluğu)

df = k. = k. .q

F = k. .q. |- | =

.q .(

)

i (Nevton)

5. Aşağıdaki şekilde R yarıçapında ince dairesel bileziğin üzerin +Q yükü eşit olarak dağıtılmıştır. Bileziğin merkezinden x kadar uzaklığındaki P noktasında bulunan +q yüküne etki eden kuvveti ve yönünü bulunuz.(Çözümde çizgisel veya açısal yük yoğunluğu kullanılabilir.)







R,x,r kenarlarından oluşan dik üçgenden;

Bilezik üzerindeki; birim radyanlık açıya düşen yük: Q/2π C/radyan ve da ile çarpımı, dQ diferansiyel yükünü vereceğinden,

dQ = …..C olur

dQ’nun, +q yüne uygulayacağı itme kuvveti sadece x ekseni doğrultusunda olacaktır.

df =

dq a dr

L r

P

y

0 d

 x

z



df ' df dQ

R

x r

+ q

r²= x² + R²,

= =

değerleri kullanılarak df kuvveti için,

2

F=

.  . i,

0 F i Nevton olur.

Çözüm:

Çalışma soruları:

1. Şekildeki sistemde bir Q yükünü nereye koyarsak dengede kalır?

] [C:

6. Şekildeki, q1 ve q2 noktasal yüklerinin Q noktasal yüküne, uygulayacakları bileşke kuvveti hesaplayınız. Ortam boşluktur.

= =0,29

NN N.

2. Şekildeki q1 ve q2 noktasal yüklerinin q3 yükü üzerine olan toplam kuvvet etkisini ve bu kuvvetin x ekseni ile yaptığı açıyı bulunuz. q1=0,1C, q2=-0,05C, q3=0,02C ve εr=2 dir..

[ C: F= 15.10⁵ N,α=41,34⁰]

3. Şekli verilen ince çubuk üzerine +Q yükü düzgün olarak dağılmıştır. Çubuktan a kadar uzakta bulunan +q noktasal yüküne etki eden kuvveti bulunuz. [F= λ.q /2πεa (-j)]

L

a P + + + + + + + + + + + + + +

λ(C/m)

+q

+3q +q

d Q x

+

+ -

7μC

-4μC +2μC

60⁰

x y

ε

=

ε

0

ur31

u_r32 q3

q₂ q₁

3m

2m x

y

4. Kenarları 0,52er metre olan eşkenar bir üçgenin köşelerine noktasal yükler şekildeki gibi yerleştirilmiştir. 7μC luk yüke etki edecek kuvveti ve yönünü hesaplayınız.

( C: 0,872N, α=330⁰ )

q1= -2μC q2=-2μC

Q =-2μC 0,3m

0,3m

0,5m

0,5m

α

F1

F2

Fx