FİZ304 İSTATİSTİK FİZİK VE TERMODİNAMİK “Klasik Yaklaşımda Kanonik Dağılım II”

(1)

FİZ304 İSTATİSTİK FİZİK

VE TERMODİNAMİK

“Klasik Yaklaşımda Kanonik Dağılım II”

Prof.Dr. Orhan ÇAKIR

(2)

Isı Deposuna Değen Sistem

Küçük bir sistem A₁, büyük bir sistemle

A₂ ısısal etkileşmede olsun. Burada

karakteris;k özellikler:

• A₁ serbestlik derecesi A₂’ ninkinden

daha azdır. • E₂ >> E₁ • N₂ >> N₁ • N₁ = sabit • N₂ = sabit • E₁ + E₂ = E = sabit

Bu iki sistem birbiriyle T sıcaklığında

dengede olsun. A₁ sisteminin dağılım

fonksiyonu ρ₁(q,p) ne olur?

Orhan Cakir İsta;s;k Fizik ve Termodinamik 2

A₁ E₁, V₁, N₁ A₂

E₂, V₂, N₂

(3)

Eşbölüşüm Uygulamaları

İdeal bir gaz içindeki molekülün kine1k enerjisi ε = (p_x2 _{+ p}

y2+ pz2)/2m

ile verilir. Eş bölüşüm teoremine (klasik ista1s1k mekanikte tanımlanan bir sistem, T mutlak sıcaklığında dengede ise, her kuadra1k terimin ortalaması 1/2kT ye eşiLr) göre enerji ortalaması aşağıdaki gibi yazılabilir:

ε- _{= (3/2)kT}

Bir

• _{mol gaz Avagadro sayısı (N}_A_{) kadar molekülden} oluştuğundan gazın ortalama enerjisi

Ē = N_A(3/2)kT = (3/2)RT (burada R = N_ak olan gaz sabi1dir) Sabit

• _{hacimdeki öz ısı}

C_V= (dE/dT)_V = (3/2)R olur.

(4)

Akışkan İçindeki Küçük Parçacık

Küçük parçacığın Brown hareke6ne karşı gelen durumu anlatmak için, T sıcaklığındaki bir akışkanın içinde yüzen m kütleli makroskopik bir parçacık gözönüne alalım. Parçacığın enerjisi

ε = (1/2m)(p_x2 _{+ p}

y2 + pz2) + ε’

yazılabilir. Birinci terim parçacığın kineKk enerjisi, diğer terim ise kütle merkezine göre harekeKn enerjisidir. Eşbölüşüm teoreminin sonuçlarına göre, hız bileşeninin karesinin ortalaması <v_x2_{> =}

kT/m dir. İzotropiden (simetrik) dolayı hız bileşenin ortalaması <v_x> = 0 olur. Böylece (Δv_x)2 _{= <v}

x2> - <vx>2 hız dalgalanmasının

bir ölçüsünü verir. Parçacık durgun değildir ve dalgalanma gösteren bir hıza sahipKr. Ancak, burada m kütlesi yeteri kadar büyük olursa dalgalanmalar da önemsenmeyecek kadar küçük olacakVr.

(5)

Eşbölüşüm Uygulamaları

Tek

• boyu(a basit harmonik salınım yapan, m kütleli bir parçacığın enerjisi (kine;k + potansiyel)

ε = p_x2_{/2m + ax}2_/2

Salınıcının klasik ista;s;k mekanik ile tanımlanabilmesi için yeterince yüksek bir T sıcaklığında bir ısı deposu ile ısısal dengede olması gerekir.

Eşbölüşüm

• teoremi yukarıdaki terimlere uygulandığında, salınıcının ortalama enerjisi

ε- _{= (1/2)kT + (1/2)kT = kT}

bulunur.

Klasik

• _{yaklaşımın geçerliliği, bir atomun salınım hareke; ile} yorumlanabilir, momentum p₀ ≈ (mkT)1/2 _{ve konum s}

0 ≈

(kT/a)1/2 _{alınırsa s}

0.p0 = kT(m/a)1/2 >> ħ veya kT >> ħω

olmalıdır.

(6)

Katıların Özısısı

Yüksek

• _{sıcaklıkta ka+ların öz ısısını bulabilmek için, N atomdan} oluşan bir ka+da her atomun kendi denge konumu etra<nda küçük salınım yap+ğını düşünelim (ilk yaklaşımda geri çağırıcı kuvvet, yerdeğişBrme ile oran+lıdır). Bu yaklaşıma göre, atom denge konumu etra<nda üç boyuFa basit harmonik hareket yapar.

Enerji

• _{ε = ε}_x _{+ ε}_y _{+ ε}_z _{şeklinde yazılabilir.} Herbir

• doğrultudaki hareket için enerji • _ε_j _{= p}_j2_{/2m + ax}

j2/2

verilir. Ortalama enerji ε- _{= 3kT olarak bulunur. Avagadro sayısı}

kadar atom içeren ka+nın ortalama enerjisi Ē = 3N_AkT = 3RT olur. Bu ka+nın sabit hacimdeki öz ısısı C_V = (dE/dT)_V = 3R elde edilir. Sayısal değeri C_V = 25 joule/mol/derece bulunur.

(7)

Spektrum Çizgilerinin Genişlemesi

Kapalı bir kapta T sıcaklığında, m kütleli atomlardan oluşan bir gaz bulunmaktadır. Atomlar kabın bir penceresinden x doğrultusunda ışık yaymakta ve bu spektroskopta bir spektrum çizgisi olarak görülmektedir. Durgun bir atom ν₀ frekansında bir ışık yaymaktadır. Ancak, hareketli ve hızının v_x bileşeni olan atom Doppler etkisi ile ν frekanslı

ν = ν₀ (1 + v_x/c)

bir ışık yaymaktadır. Spektroskopa gelen ışığın frekansı ν ile ν+dν aralığındadır.

• ν - ν₀ = ν₀v_x/c olur ve bu ifadenin ortalamasını alınırsa <v> - v₀ = 0 bulunur è <v> = v₀. Ayrıca, (ν - ν₀)2 _{= ν}2 _{+ ν}

02 - 2ν0ν = ν02vx2/c2

olur. Işığın dağılması <(Δν)2_{>=<(ν – <v>)}2_{>=<(ν – v}

0)2>=ν02<vx2>/c2

= ν₀ 2_kT/mc2 _{elde edilir. Standart sapma Δν = ν}

0 /c (kT/m)1/2 ile

verilir. Burada Δν ölçülürse T sıcaklığı elde edilebilir ve ışığı yayınlayan atomun kütlesi bulunabilir.

(8)

Tanımların Öze+

Faz

• _{uzayı: eksenleri klasik mekaniksel bir sistemi anlatan tüm} koordinat ve momentumları tanımlayan bir uzaydır.

Maxwell

• _{hız dağılımı: T mutlak sıcaklığında bir gaz içinde}

hızları v ile v+dv arasında olan moleküllerin ortalama sayısını veren bağın<dır.

Eşbölüşüm

• : Klasik olarak tanımlanan bir sistem, T mutlak

sıcaklığında dengede ise, enerjisinin her kuadra@k teriminin ortalama değeri ε- _{= kT/2 olur.}

(9)

KAYNAKLAR

(0) İsta%s%k Fizik ve Termodinamik Ders Notları (FİZ304), Hazırlayan:

Orhan Çakır, Ankara Üniversitesi Kütüphanesi Açık Ders Malzemeleri, hJps://acikders.ankara.edu.tr/course/view.php?id=634 (son erişim tarihi: 11 Mart 2017). Bu ders notları aşağıda verilen kaynaklardan derlenmiş%r. AyrınYlı bilgi için bu kaynaklara başvurulabilir.

Orhan Cakir İsta%s%k Fizik ve Termodinamik 9

(1) İsta/s/k Fizik (F. Reif), Berkeley Fizik

Dersleri Serisi - Cilt 5, Tercüme: T. N. Durlu, Y. Elerman, Bilim Yayınevi, Bilim Yayınları-43, ISBN: 975-556-054-8.

(2) Fundamentals of Sta/s/cal and Thermal Physics, F. Reif, Waveland Press, Inc.,