ĐST 456 VE END 415 ÖNGÖRÜ YÖNTEMLERĐ Ara sınav (9 Nisan 2007)
Adı Soyadı: KEY No:
[15 PUAN]
1. Aşağıdaki tabloda 1 ABD dolarının (Japon-Yeni) karşılığı(Yt) ile ilgili bir zaman serisi verilmiştir. Bu seri ile ilgili zaman sersisi grafiği de aşağıda verildiği gibidir.
a) Gerekli incelemeleri yaparak bu zaman serisine önereceğiniz öngörü modelini belirtiniz.
b) Naive Model aracılığı ile bu zaman sersisinin 1989 m2 tarihinden itibaren 1991 m1 tarihine kadarki noktalar için öngörü değerlerinizi hesaplayıp bu model için MSE değerini hesaplayınız.
Yıl period Yt Ft et et-sq
1989 m1 127
m2 128 127 1 1
m3 131 128 3 9
m4 132 131 1 1
m5 138 132 6 36
m6 144 138 6 36
m7 140 144 -4 16
m8 141 140 1 1
m9 145 141 4 16
m10 142 145 -3 9
m11 144 142 2 4
m12 144 144 0 0
1990 m1 145 144 1 1
m2 146 145 1 1
m3 153 146 7 49
m4 158 153 5 25
m5 154 158 -4 16
m6 154 154 0 0
m7 149 154 -5 25
m8 147 149 -2 4
m9 138 147 -9 81
m10 130 138 -8 64
m11 129 130 -1 1
m12 134 129 5 25
1991 m1 134
Sum of et-
sq 421
MSE 18,30435
Yt
120 130 140 150 160
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
[10 PUAN]
2. a) Basit Üstel düzleştirme türü modellerde Öngörü formülünün : Ft+1= α Yt +(1- α) Ft
olduğunu biliyorsunuz. F1=Y1 olarak alındığını varsayalım. Aşağıdaki tablolardaki boş bırakılan sütunlara Yt , Yt-1,Yt-2, Yt-3 , . . . uygun ağırlıkları verilen α değerine bağlı olarak hesaplayıp yazınız. Bu ağırlıkları nasıl yorumlarsınız?
Zaman (t)
α=0,1 iken Y t nin ağırlığının hesabı
Ağırlık
t 0,1=α 0,1
t-1 0,1*0,9=α(1−α) 0,09 t-2 0,1*0,9*0,9=α(1−α)2 0,081 t-3 0,1*0,9*0,9*0,9=α(1−α)3 0,0729 .
. .
Toplam 1
Zaman (t)
α=0,8 iken Yj nin ağırlığının hesabı
Ağırlık
t 0,8=α 0,8
t-1 0,8*0,2=α(1-α) 0,16
t-2 0,8*0,2*0,2=α(1-α)2 0,032 t-3 0,8*0,2*0,2*0,2=α(1-α)3 0,0064 .
. .
. . .
. . .
Toplam . 1
b) Öngörü ile uğraşan bir kişi Basit Üstel Düzleşrime modelini kullanırken değişik α değerlerini denemiş ve aşağıdaki tabloda verilen MSE değerlerini hesaplamıştır.
α MSE
0,10 125
0,15 97
0,20 136 0,25 141
i) yukarıda denenen α lardan hangisini tercih ederdiniz? α=0,15 tercih edilir.
ii) Daha iyi bir MSE değeri verebilecek α değerini hangi aralıkta seçerdiniz? Neden?
0,10<α <0,20 arasındaki değerleri, daha küçük artışlarla dener bunlardan hangisi en küçük MSE değeri verirse o tercih edilir.
[15 PUAN]
3. Aşağıda bir zaman serisinin ilk 12 dönemine ilişkin Yt değerleri verilmiştir. Holt Üstel düzleştirme yöntemi ile: L1= 2400, T1 =22 , α = 0,05 ve β=0,3 olarak alıp t=2 den başlayarak t=13 kadar öngörü değerlerini hesaplayınız. Bu model için MSE değerini de hesaplayınız.
t Yt Lt Tt Ft et-sq
1 2411 2400 22
2 2440 2422,9 22,27 2422 324
3 2445 2445,1615 22,26745 2445,17 0,0289 4 2459 2467,007503 22,14102 2467,429 71,0472 5 2512 2490,291092 22,48379 2489,149 522,1902 6 2524 2513,336136 22,65216 2512,775 126,0033 7 2550 2536,688886 22,86234 2535,988 196,3277 8 2560 2559,573665 22,86907 2559,551 0,201398 9 2610 2583,8206 23,28243 2582,443 759,4028 10 2629 2608,197879 23,61089 2607,103 479,4773 11 2642 2632,318326 23,76375 2631,809 103,8613 12 2666 2656,577976 23,91252 2656,082 98,36513
13 2680,49
SSE 2680,905
MSE 223,4088
[20 PUAN]
4. Aşağıdaki tabloda 4 mevsimli bir zaman sersisi ile t=4 için L değeri, ilk dört döneme ilişkin Mevsimlik değişim endeksleri için öngörü değerleri; ve 4. cü dönem için Trend öngörü değeri verilmiştir. Bu seriye Winters üstel düzleştirme modelini, [α= 0,13, β= 0,35 ve γ=0,2 alınız] uygulayarak t= 5’ den t=12 ye kadar ve m=1 alarak, (yani bir sonraki dönem için) Ft öngörü değerlerini ve bu model için MSE değerini hesaplayınız.
Yıl Mevsim t Yt Lt St Tt Ft et-sq
1 Q1 1 240 1,22
Q2 2 220 1,07
Q3 3 195 0,81
Q4 4 200 220 0,90 10
2 Q1 5 262 228,018 1,205806 9,306311 280,6 345,96 Q2 6 250 236,846 1,067108 9,138895 253,937 15,50035 Q3 7 210 247,7106 0,817553 9,742878 199,2478 115,6104 Q4 8 230 257,2067 0,898844 9,656524 231,7081 2,917623 3 Q1 9 285 262,8974 1,18146 8,26846 321,7854 1353,166 Q2 10 261 267,7105 1,048673 7,059096 289,3631 804,4658 Q3 11 222 274,35 0,815879 6,912247 224,6386 6,962306 Q4 12 260 282,302 0,903275 7,276157 252,811 51,68134 SSE 2696,264 MSE 337,033
[20 PUAN]
5. Bir regresyon analizinin bilgisayar çıktıları bazı eksikleri ile aşağıda verilmiştir.
Predictor Coef Stdev t-ratio
Constant 2.6 3.0 0,87
X1 2.1 3.1 0,677
X2 0.6 5.0 0,12
R2 = % 92 R2= SSR/Total SS=0,92 den Total SS=1500 bulunur.
Buradan da SSE=Total SS-SSR olduğu için SSE=120 olarak hesaplanır.
ANOVA Tablosu
Source df SS MS F
Regression 2 1380 690 69 Error 12 120 10
Toplam 14 1500
a) Đlk tablodaki eksikleri tamamlayıp regresyon denklemini yazınız.
2 1 0,6 1
, 2 6 ,
2 X X
Y = + +
∧
b) Regresyon modelinin katsayı parametrelerinin her birinin sıfır olup olmadığını test ediniz. α = 0.05 alınız. (Tablo t değeri : 2.179)
0 : 0
0: i = vs Ha i ≠
H β β i=0,1,2 hipotezlerini test ederken kullanılacak t-ratio değerleri Yukarıdaki ilk tabloda hesaplanmıştır. Bu değerlerin hepsi de tablo t- değerinden (mutlak değer olarak) küçük olduğu için H0 hipotezleri ret edilemez.
Yani X1 ve X2 bağımsız değişkenlerinin Y deki toplam değişkenliği açıklamaya katkıları ihmal edilecek kadar küçük olabilir. (NOT: Burada kullanılan t-değerleri ααα
α/2=0,025 kuyruk alanına ve df=12 serbestlik derecesine karşılık gelen tablo t değeri olan 2,179 ile mukayese edilmiştir.)
c) (i) ANOVA tablosundaki eksikleri tamamlayınız.(Tablo F değeri: 3.89)
ANOVA Tablosunda F değeri 69 olarak hesaplanmıştır. Bu oran tablo F değeri olan 3,89 dan büyük olduğu için
0
: 1 2
0 β =β =
H hipotezini ret etmemizi gerektirir. Bu da modelin tümü ile anlamsız olmadığını gösterir.
(ii) Regresyon analizine kaç nokta dahil edilmiştir. (n-1)=14 olduğuna göre n=15 nokta analize dahil edilmiştir.
(iii) R2 (adj) değerini hesaplayıp yorumlayınız.
R2 (adj)= ] 0,9067 %90,67 1500
) 10 ( 1 14
[ − = = olur ki bu da modele dahil edilen değişkenlerin Y deki toplam değişkenliğin %90,67 sini açıklayabildiği anlamına gelmektedir.
(iv) Model iyi bir model midir? Neden?
R2 (adj) kriteri kullanılırsa modelin kötü olmadığı söylenebilir. Ancak b) deki sonuçlar F testinin verdiği sonuçlar ile çelişmektedir. (Büyük bir olasılıkla ilk tabloda verilen Stdev değerlerinin verilişinde bir hata vardır. ) (v) X1 = 5, X2 = 8 için Y değerini öngörünüz. Y =2,6+2,1X1+0,6X2
∧
denkleminde X1= 5 ve X2= 8 konursa =2,6+2,1(5)+0,6(8)=17,9
∧
Y olarak
hesaplanır.
[20PUAN]
6. Aşağıda üç Yılın, mevsimler itibariyle, elektrik üretim rakamları verilmiştir.
a) CMAT Trend denkleminin verdiği değerlerlerden bazılar CMAT sütununda verilmiştir.
Bu denklemdeki eğimi (yani t nin katsayısını) hesaplayınız. Şimdi de trend denklemindeki sabit terimi (yani t=0 ikent CMAT nin alacağı değeri) hesaplayınız.
CMAT= b0 + b1t denklemini yazınız ve CMAT sütundaki boşlukları doldurunuz.
t=1 için b0 + b1t= b0 + b1
t=2 için b0 + b1t = b0 + 2b1 denklemleri ortak çözülürse
b0= 87,5 ve b1= 5 olarak bulunur ki Buradan CMAT denklemi:
CMAT= b0 + b1t = 87,5+ 5t olur. t için diğer değerler yerine konarak yukarıdaki CMAT sütunu doldurulur.
b) SFt derlerini ve SIQi endeks değerlerini hesaplayınız.
t Mevsim Yt CMAT SFt SI(Qi) Ft
1 Q1 99 92,5 1,07027 1,055085 97,59534
2 Q2 98 97,5 1,005128 1,005535 98,03967
3 Q3 93 102,5 0,907317 0,916331 93,92396
4 Q4 110 107,5 1,023256 1,023049 109,9777
5 Q1 119 112,5 1,057778 1,055085 118,697
6 Q2 118 117,5 1,004255 1,005535 118,1504
7 Q3 113 122,5 0,922449 0,916331 112,2506
8 Q4 130 127,5 1,019608 1,023049 130,4387
9 Q1 139 132,5 1,049057 1,055085 139,7987
10 Q2 138 137,5 1,003636 1,005535 138,2611
11 Q3 133 142,5 0,933333 0,916331 130,5772
12 Q4 150 147,5 1,016949 1,023049 150,8997
13 Q1 152,5 1,055085 160,9005
14 Q2 157,5 1,005535 158,3718
15 Q3 162,5 0,916331 148,9038
16 Q4 167,5 1,023049 171,3607
Q1 Q2 Q3 Q4
- - 0,907317073 1,023256
1,057778 1,004255319 0,92244898 1,019608
1,049057 1,003636364 - - NF
Ortalama 1,053417 1,003945841 0,914883026 1,021432 3,993678 1,001583 SI(Qi) 1,055085 1,005535118 0,916331314 1,023049 4 1
c) CMAT ve Endeks etkilerini, bir çarpım modeli, içinde kullanarak dördüncü yılın mevsimleri için elektrik üretim miktarlarını öngörünüz..
Yukarıdaki tabloda hesaplandığı gibidir.
