ĐST 456 ve END 415 Ödev 1
KEY
Aşağıdaki zaman serisi bir ürünün, aylar itibariyle, beş yıllık satışlarını göstermektedir.
Yıl Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Tem Ağu Eyl Ekim Kasım Ara 1 159 174 216 241 229 231 218 224 216 203 157 142 2 139 173 221 223 219 237 195 223 213 204 189 160 3 182 197 254 251 269 295 234 302 281 269 235 188 4 200 222 256 258 290 278 246 300 244 277 219 166 5 186 197 240 262 280 251 243 277 245 277 209 169
a) Bu zaman sersisinin grafiğini oluşturup gözle görülebilir bileşenlerinin neler olduğunu belirtiniz.
b) Üç dönemlik hareketli ortalamaları, MA(3), hesaplayıp bu ortalamaları öngörü değeri olarak aldığınızda oluşacak öngörü hatalarını kullanarak bu model için ( MA(3) modeli) MAD, MAPE ve RMSE değerlerini hesaplayınız.
c) Bir kez de Beş dönemlik hareketli ortalamaları MA(5), hesaplayıp bu ortalamaları öngörü değeri olarak aldığınızda oluşacak öngörü hatalarını kullanarak bu model için ( MA(5) modeli) MAD, MAPE ve RMSE değerlerini hesaplayınız.
d) Aynı seriye bir Basit Üstel düzleştirme modeli, (başlangıç öngörü değerini F1=159 ve düzleştirme katsayısını α=0.2 olarak alınız), uygulayarak geriye kalan 59 dönem için öngörü değerleri hesaplayınız. Bu modelin vereceği öngörü hatalarını kullanarak MAD, MAPE ve RMSE değerlerini hesaplayınız.
e) Bu üç modelden hangisini seçerdiniz? Neden?
f) En iyi olduğunu düşündüğünüz modeli kullanarak altıncı yılın Ocak ayı için öngörü değerini veriniz.
Y MA(3) FMA(3) e1t MA(5) FMA(5) e2t SES FSES e3t
159 * * * * * * 159 159 0
174 * * * * * * 162 159 15
216 183 * * * * * 172,8 162 54
241 210,333 183 58 * * * 186,44 172,8 68,2
229 228,667 210,333 18,6667 203,8 * * 194,952 186,44 42,56 231 233,667 228,667 2,3333 218,2 203,8 27,2 202,162 194,952 36,048 218 226 233,667 -15,6667 227 218,2 -0,2 205,329 202,162 15,8384 224 224,333 226 -2 228,6 227 -3 209,063 205,329 18,6707 216 219,333 224,333 -8,3333 223,6 228,6 -12,6 210,451 209,063 6,9366 203 214,333 219,333 -16,3333 218,4 223,6 -20,6 208,961 210,451 -7,4507 157 192 214,333 -57,3333 203,6 218,4 -61,4 198,568 208,961 -51,9606 142 167,333 192 -50 188,4 203,6 -61,6 187,255 198,568 -56,5685 139 146 167,333 -28,3333 171,4 188,4 -49,4 177,604 187,255 -48,2548 173 151,333 146 27 162,8 171,4 1,6 176,683 177,604 -4,6038 221 177,667 151,333 69,6667 166,4 162,8 58,2 185,546 176,683 44,3169 223 205,667 177,667 45,3333 179,6 166,4 56,6 193,037 185,546 37,4536 219 221 205,667 13,3333 195 179,6 39,4 198,23 193,037 25,9628 237 226,333 221 16 214,6 195 42 205,984 198,23 38,7703 195 217 226,333 -31,3333 219 214,6 -19,6 203,787 205,984 -10,9838 223 218,333 217 6 219,4 219 4 207,63 203,787 19,213 213 210,333 218,333 -5,3333 217,4 219,4 -6,4 208,704 207,63 5,3704 204 213,333 210,333 -6,3333 214,4 217,4 -13,4 207,763 208,704 -4,7037 189 202 213,333 -24,3333 204,8 214,4 -25,4 204,01 207,763 -18,763 160 184,333 202 -42 197,8 204,8 -44,8 195,208 204,01 -44,0104 182 177 184,333 -2,3333 189,6 197,8 -15,8 192,567 195,208 -13,2083 197 179,667 177 20 186,4 189,6 7,4 193,453 192,567 4,4334 254 211 179,667 74,3333 196,4 186,4 67,6 205,563 193,453 60,5467 251 234 211 40 208,8 196,4 54,6 214,65 205,563 45,4374 269 258 234 35 230,6 208,8 60,2 225,52 214,65 54,3499 295 271,667 258 37 253,2 230,6 64,4 239,416 225,52 69,4799 234 266 271,667 -37,6667 260,6 253,2 -19,2 238,333 239,416 -5,4161 302 277 266 36 270,2 260,6 41,4 251,066 238,333 63,6671 281 272,333 277 4 276,2 270,2 10,8 257,053 251,066 29,9337 269 284 272,333 -3,3333 276,2 276,2 -7,2 259,442 257,053 11,947 235 261,667 284 -49 264,2 276,2 -41,2 254,554 259,442 -24,4424 188 230,667 261,667 -73,6667 255 264,2 -76,2 241,243 254,554 -66,5539 200 207,667 230,667 -30,6667 234,6 255 -55 232,995 241,243 -41,2432 222 203,333 207,667 14,3333 222,8 234,6 -12,6 230,796 232,995 -10,9945 256 226 203,333 52,6667 220,2 222,8 33,2 235,836 230,796 25,2044 258 245,333 226 32 224,8 220,2 37,8 240,269 235,836 22,1635 290 268 245,333 44,6667 245,2 224,8 65,2 250,215 240,269 49,7308 278 275,333 268 10 260,8 245,2 32,8 255,772 250,215 27,7846 246 271,333 275,333 -29,3333 265,6 260,8 -14,8 253,818 255,772 -9,7723 300 274,667 271,333 28,6667 274,4 265,6 34,4 263,054 253,818 46,1822 244 263,333 274,667 -30,6667 271,6 274,4 -30,4 259,243 263,054 -19,0543 277 273,667 263,333 13,6667 269 271,6 5,4 262,795 259,243 17,7566 219 246,667 273,667 -54,6667 257,2 269 -50 254,036 262,795 -43,7947 166 220,667 246,667 -80,6667 241,2 257,2 -91,2 236,429 254,036 -88,0358 186 190,333 220,667 -34,6667 218,4 241,2 -55,2 226,343 236,429 -50,4286
197 183 190,333 6,6667 209 218,4 -21,4 220,474 226,343 -29,3429 240 207,667 183 57 201,6 209 31 224,379 220,474 19,5257 262 233 207,667 54,3333 210,2 201,6 60,4 231,904 224,379 37,6205 280 260,667 233 47 233 210,2 69,8 241,523 231,904 48,0964 251 264,333 260,667 -9,6667 246 233 18 243,418 241,523 9,4771 243 258 264,333 -21,3333 255,2 246 -3 243,335 243,418 -0,4183 277 257 258 19 262,6 255,2 21,8 250,068 243,335 33,6654 245 255 257 -12 259,2 262,6 -17,6 249,054 250,068 -5,0677 277 266,333 255 22 258,6 259,2 17,8 254,643 249,054 27,9458 209 243,667 266,333 -57,3333 250,2 258,6 -49,6 245,515 254,643 -45,6433 169 218,333 243,667 -74,6667 235,4 250,2 -81,2 230,212 245,515 -76,5147
a)
Index
Y
60 54 48 42 36 30 24 18 12 6
1 300 275 250 225 200 175 150
Satýþlar Zaman Sersis
Bu zaman sersinsin artan trendi ve 12mevsimlik etkilerinin olduğu söylenebilir.
Hareketli Ortalamalar (Moving averages) ve Basit Üstel Düzleştirme (SES) ile modellendiğinde öngörü değerlerinin çok güvenilir sonuçlar vermeyeceği söylenebilir.
b) MA(3) öngörü değerleri ve bu öngörü değerlerinden hesaplanmış olan hatalar yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu modelin verdiği sonuçlara ilişkin grafikler de aşağıda verilmiştir.
MAPE ve MAD değerleri aşağıdaki grafiklerin birincisinde verilmiştir.
RMSE= 1447,40 = MSD =38,04471 olarak hesaplandı.
Inde x
Y
60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 1 300 275 250 225 200 175 150
M oving Avera ge Length 3 Accuracy M easure s
M A PE 14 ,66
M A D 31 ,47
M S D 1447 ,40 Variab le Actual Fi ts
M oving Average Plot for Y
Aşağıdaki grafik kullandığımız MA(3) modelinin verdiği hataların (e1t) dağılımını irdeleme olanağı vermektedir. Hataların dağılımının normal ve ortalamasının sıfır(0) olduğu söylenebilir. Ancak hataların rastsallık gösterdiğini söylemek mümkün değildir.
Residual
Percent
100 50
0 -50 -100
99 90
50
10 1
Fitted Value
Residual
300 250
200 150
50
0
-50
-100
Residual
Frequency
80 40 0 -40 -80 10,0
7,5 5,0
2,5 0,0
Observ ation Order
Residual
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 50
0
-50
-100
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Residual Plots for Y
c) MA(5) öngörü değerleri ve bu öngörü değerlerinden hesaplanmış olan hatalar yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu modelin verdiği sonuçlara ilişkin grafikler de aşağıdaki grafiklerde verilmiştir. MAPE ve MAD değerleri aşağıdaki grafiklerin birincisinde verilmiştir.
RMSE= 1774,38 = MSD =42,1234 olarak hesaplandı.
Index
Y
60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 1 300 275 250 225 200 175 150
Moving Average Length 5 Accuracy Measures
MAPE 16,32
MAD 34,96
MSD 1774,38 Variable Actual Fits
Moving Average Plot for Y
Aşağıdaki grafik kullandığımız MA(5) modelinin verdiği hataların (e2t) dağılımını irdeleme olanağı vermektedir. Hataların dağılımının normal, ortalamasının sıfır(0) olduğu ve rastsallık gösterdiğini söylemek mümkün değildir.
Residual
Percent
100 50
0 -50 -100 99 90
50
10 1
Fitted Value
Residual
270 240
210 180 150 50
0
-50
-100
Residual
Frequency
40 0
-40 -80 10,0
7,5 5,0 2,5 0,0
Observ ation Order
Residual
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 50
0
-50
-100
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Residual Plots for Y
d) Basit Üstel Düzleştirme modelinin (alfa=0.2) uygulanması sonucunda elde edilen öngörü değerlerinin ve orijinal zaman sersinin grafiği ile bu modelin verdiği hataların dağılımına ilişkin grafikler aşağıda verilmiştir.
Bu modelin MA(3) modelinden daha iyi sonuçlar vermediği görülmektedir. Bu modelin performans ölçütleri: MAPE= 14,75; MAD=31,84 ve RMSE=38,37 .
Inde x
Y
60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 1 300
275
250
225
200
175
150
S m o o th i n g Co n sta n t A l p h a 0 ,2 A ccu ra cy M e a su re s
M A P E 1 4 ,7 5 M A D 3 1 ,8 4 M S D 1 4 7 2 ,2 3
V a ri a b l e A ctu a l Fi ts
Single Expone ntial Smoothing Plot for Y
Hataların normal dağıldığı, ortalamasının sıfır olduğu, ve rastsallık gösterdiği varsayımlarını yapmak mümkün görünmemektedir.
Residual
Percent
100 50 0 -50 -100 99,9
99
90
50
10
1 0,1
Fitted Va lue
Residual
250 225 200 175 150 50
0
-50
-100
Residual
Frequency
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 12
9 6 3 0
Observ ation Order
Residual
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 50
0
-50
-100
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Re sidual Plots for Y
e) RMSE kriterine göre bu üç modelden en iyisi MA(3) modelidir.
f) Altıncı yılın Ocak ayı için öngörü değeri:
33 , 3 218 655 3
277 209 169 3
58 59 60
61 + + = =
= + +
=
Y Y Y
F olur.
NOT: SES Modelinde α=0.2 almak yerine optimal α seçimi yapılsa idi aşağıdaki sonuç elde edilirdi. Bu SES Modelinin diğer üç modelden daha iyi sonuçlar verdiği izlenimini ediniyoruz. Ancak hataların ACF fonksiyonları incelendiğinde bu dört modelin dördünde de hataların rastsallık gösterdiğini söylemek mümkün değildir. ACF fonksiyonlarından orijinal serinin mevsimsellik taşıyan bir seri olduğu görülmektedir. .
Index
Y
60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 1 300 275 250 225 200 175 150
Smoothing Constant Alpha 0,897589 Accuracy Measures
MAPE 11,93
MAD 26,28
MSD 1007,73 Variable Actual Fits
Single Exponential Smoothing Plot for Y
Residual
Percent
100 50
0 -50
-100
99,9 99
90
50
10
1 0,1
Fitted Value
Residual
300 250
200 150
50 25 0 -25 -50
Residual
Frequency
60 30
0 -30 -60
12 9
6 3
0
Observ ation Order
Residual
60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 50 25 0 -25 -50
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Residual Plots for Y
MA(3) Modelinin hatalarının ACF grafiği
L a g
Autocorrelation
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0, 0 -0, 2 -0, 4 -0, 6 -0, 8 -1, 0
Au to co rre latio n F u n ctio n fo r R E S I1 (w it h 5% s ignific anc e lim it s for the aut oc orrelations )
MA(5) Modelinin hatalarının ACF grafiği
L a g
Autocorrelation
14 1 3 1 2 1 1 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0, 0 -0, 2 -0, 4 -0, 6 -0, 8 -1, 0
Au to c o r r e latio n F u n ctio n fo r R E S I2 (w it h 5 % s ig n ific a n c e lim it s fo r th e a u t oc o rre la tio n s )
SES (α =0.2) Modelinin hatalarının ACF grafiği
L a g
Autocorrelation
1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 , 0 0 , 8 0 , 6 0 , 4 0 , 2 0 , 0 -0 , 2 -0 , 4 -0 , 6 -0 , 8 -1 , 0
Au t o c o r r e la t io n F u n c t io n f o r R E S I3 (w it h 5 % s ig n ific a n c e lim it s fo r t h e a u t o c o rre la t io n s )
SES (α = 0.897589) Modelinin hatalarının ACF grafiği
L a g
Autocorrelation
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0, 0 -0, 2 -0, 4 -0, 6 -0, 8 -1, 0
Au to co rre latio n F u n ctio n fo r R E S I4 (w it h 5% s ignific anc e lim it s for the aut oc orrelations )
