Aşağıdaki MHS Zaman Sersisini Bileşenlerine Ayrıştırıp Öngörü değerleri hesaplamaya çalışalım.

(1)

Aşağıdaki MHS Zaman Sersisini Bileşenlerine Ayrıştırıp Öngörü değerleri hesaplamaya çalışalım.

t Quarter MHS CMA(4) CMAT SF SI CF Ft et

1 Q1 566 * * * 0,89441

2 Q2 491 * * * 1,107108

3 Q3 585 552,125 518,174 1,05954 1,072133 1,065520462 591,9514 -6,95143 4 Q4 575 576,25 547,183 0,99783 0,926349 1,053121168 533,8086 41,19139 5 Q1 549 611,625 573,393 0,89761 0,89441 1,066676782 547,0435 1,956484 6 Q2 701 611,625 596,903 1,14613 1,107108 1,024663974 677,1349 23,86507 7 Q3 658 600,5 617,809 1,09575 1,072133 0,97198325 643,8159 14,18413 8 Q4 502 595,75 636,208 0,84264 0,926349 0,93640759 551,8724 -49,8724 9 Q1 533 589,625 652,196 0,90396 0,89441 0,904061049 527,3665 5,633504 10 Q2 679 592,625 665,871 1,14575 1,107108 0,889999715 656,0999 22,90012 11 Q3 631 611,5 677,33 1,03189 1,072133 0,902809561 655,6093 -24,6093 12 Q4 553 641 686,669 0,86271 0,926349 0,933491974 593,7897 -40,7897 13 Q1 633 681,25 693,985 0,92917 0,89441 0,981649459 609,3168 23,68319 14 Q2 815 721,875 699,375 1,129 1,107108 1,032171582 799,1936 15,80641 15 Q3 817 744,875 702,935 1,09683 1,072133 1,059664123 798,6051 18,39493 16 Q4 692 752 704,764 0,92021 0,926349 1,067023855 696,6144 -4,61445 17 Q1 678 750,125 704,957 0,90385 0,89441 1,064071993 670,9193 7,080699 18 Q2 827 743 703,611 1,11306 1,107108 1,055981217 822,5812 4,418756 19 Q3 790 732,375 700,823 1,07868 1,072133 1,045021353 785,2034 4,796594 20 Q4 662 721,25 696,69 0,91785 0,926349 1,035252408 668,1292 -6,12922 21 Q1 623 714,125 691,31 0,8724 0,89441 1,03300256 638,7205 -15,7205 22 Q2 793 710,5 684,778 1,11612 1,107108 1,037562539 786,6002 6,399766 23 Q3 767 704,5 677,191 1,08872 1,072133 1,04032688 755,3177 11,6823 24 Q4 656 683,625 668,647 0,95959 0,926349 1,022400459 633,2753 22,72466 25 Q1 581 651,375 659,242 0,89196 0,89441 0,988066598 582,5963 -1,59631 26 Q2 668 622,875 649,073 1,07245 1,107108 0,959637822 689,5899 -21,5899 27 Q3 634 603,25 638,236 1,05097 1,072133 0,945183286 646,7642 -12,7642 28 Q4 561 590,5 626,83 0,95004 0,926349 0,942041702 547,0091 13,99092 29 Q1 519 587,125 614,95 0,88397 0,89441 0,954752419 525,1305 -6,13047 30 Q2 628 585,5 602,694 1,07259 1,107108 0,971471427 648,2117 -20,2117 31 Q3 647 576,125 590,157 1,12302 1,072133 0,976223276 617,6826 29,31738 32 Q4 535 567,125 577,438 0,94335 0,926349 0,982140074 525,3557 9,644323 33 Q1 470 557,375 564,633 0,84324 0,89441 0,987145633 498,5218 -28,5218 34 Q2 605 548,125 551,839 1,10376 1,107108 0,993269776 606,8336 -1,83357 35 Q3 592 547,125 539,152 1,08202 1,072133 1,014788038 586,5908 5,409232 36 Q4 516 541,75 526,669 0,95247 0,926349 1,028634683 501,8496 14,15043 37 Q1 481 523,875 514,488 0,91816 0,89441 1,018245324 468,559 12,44096 38 Q2 551 503,875 502,705 1,09353 1,107108 1,002327409 557,844 -6,84404 39 Q3 503 489 491,417 1,02863 1,072133 0,99508157 524,273 -21,273 40 Q4 445 478,75 480,721 0,9295 0,926349 0,995899909 443,4896 1,510416 41 Q1 433 474,75 470,713 0,91206 0,89441 1,008576351 424,6211 8,378852 42 Q2 517 472,625 461,491 1,09389 1,107108 1,024126148 523,2469 -6,24692

43 Q3 505 * * * 1,072133

44 Q4 426 * * * 0,926349

(2)

Zaman sersisinin grafiğinden Çok belirgin Mevsimlik etkiler ve doğrusal olmayan trend gözlemlenebilmektedir.

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8

4 800

700

600

500

400

Time Series Plot of MHS

Index

Data

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 800

700

600

500

400

Variable MHS CMA(4)

Time Series Plot of MHS; CMA(4)

Orijinal Zaman sersinin ve 4 mevsimlik (Dönemlik) Merkezileştirilmiş hareketli

ortalamalar serisinin grafiği

(3)

Index

Data

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 800

700

600

500

400

Variable

Ft MHS CMAT

Time Series Plot of MHS; CMAT; Ft

Şekil 1. Orijinal Zaman serisi(MHS), 4 Dönemlik merkezileştirilmiş hareketli ortalamalar serisine uygulanan üçüncü dereceden polinom trend (CMAT)değerleri sersisi ile Öngörü Değerleri (Ft) sersinin grafiği

Aşağıdaki tablo yukarıdaki büyük tablodaki SF serisinden oluşturulmuştur.Bu tabloyu oluşturmaktaki amacımız SI değerlerini hesaplamaktır.

SI1 satırında yer alan değerler SF değerlerinin ortalamalarını kullanarak, SI2

satırındakiler ise Ortancalar(medyan değerleri) kullanılarak hesaplanmış SI(Seasonal Index) değerleridir.

* * 1,05954 0,997831

0,897609 1,14613 1,09575 0,842635 0,903964 1,14575 1,03189 0,862715 0,929174 1,129 1,09683 0,920213 0,903849 1,11306 1,07868 0,917851

0,872396 1,11612 1,08872 0,95959 0,891959 1,07245 1,05097 0,950042 0,883968 1,07259 1,12302 0,943355 0,843238 1,10376 1,08202 0,952469 0,918158 1,09353 1,02863 0,929504 0,912059 1,09389 * *

Ortalama 0,895637 1,108628 1,073605 0,927621 4,0054909 Toplam SI1 0,89441 1,107108 1,072133 0,926349 0,998629132 NF 0,900729 1,10841 1,08035 0,93643 4,0259185 SI2 0,89493 1,101274 1,073395 0,930401 0,99356209 NF2

(4)

Orijinal Zaman serisinden oluşturulan 4 Dönemlik merkezileştirilmiş hareketli ortalamalar serisine uygulanan üçüncü dereceden polinom modelinin verdiği değerler sersisi aşağıdaki trend denkleminden elde edilmiştir.

The regression equation is

CMA(4) = 413,4 + 39,56 t - 1,592 t**2 + 0,01614 t**3 S = 32,7343 R-Sq = 85,8% R-Sq(adj) = 84,6%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 3 232477 77492,4 72,32 0,000 Error 36 38575 1071,5

Total 39 271052

Sequential Analysis of Variance Source DF SS F P Linear 1 73866 14,23 0,001 Quadratic 1 143501 98,90 0,000 Cubic 1 15110 14,10 0,001

Hata terimleri Analizi :

Descriptive Statistics: et

Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance Squares Minimum Q1 et 40 2 1,10 3,00 18,99 360,61 14112,04 -49,87 -6,92

Variable Median Q3 Maximum MSSD et 4,61 14,11 41,19 372,70

Autocorrelation Function: et

Lag ACF T LBQ 1 -0,037742 -0,24 0,06 2 -0,436291 -2,76 8,48 3 0,056508 0,30 8,62 4 0,069878 0,37 8,85 5 -0,081983 -0,44 9,17 6 -0,041185 -0,22 9,26 7 -0,123533 -0,66 10,03 8 -0,054007 -0,28 10,19

(5)

Lag

Autocorrelation

10 9

8 7

6 5

4 3

2 1

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

Autocorrelation Function for et (with 5% significance limits for the autocorrelations)

Hata terimlerinin otokorelasyon grafiği iki dönem gecikmeli seri ile önemli bir öz ilişki

(otokorelasyon) içeriyormuş görüntüsü vermektedir.

(6)

Eğer Trend doğrusal olarak seçilse idi ve öngörü değerleri sadece trend SI çarpımından hesaplansa görüntü Şekil 2 deki gibi olurdu.

Şekil 1ve Şekil 2 mukayese edildiğinde : Şekil 1 deki öngörü değerlerinin Gerçek değerlere çok daha yakın olduğunu görebiliriz. Ayrıca modelin iyiliği ile ilgili kullanılan ölçütler de aynı sonuca götürmektedir.

Şekil 1 deki modelin için MSD=(14112,04)/40=352,801 Şekil 2 deki modelin için MSD= 6910,02 dir.

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 800

700

600

500

400

Accuracy Measures MAPE 10,88

MAD 65,99

MSD 6910,02 Variable

Trend Actual Fits

Time Series Decomposition Plot for MHS Multiplicative Model

Şekil 2. Doğrusal Trend(Trend), Trend ve SI çarpımı ile elde edilen öngörü değerleri (Fits) ile Orijinal Serinin(Actual) grafiği

Hata terimlerinin bir trend taşıdığı söylenebilir. Yani doğrusal trend zorlaması halinde model

çok başarılı olamamıştır.

(7)

Aynı MHS sersinse şimdi de WINTERS Üsterl Düzleştirme Modeli Uygulayalım:

WINTERS Modelleri : Ft1 (α =0,2, β=0,2 ve γ=0,2); Ft2 (α =0,3, β=0,2 ve γ=0,4)

t Quarter MHS Lt1 Tt1 SI Ft et Lt2 Tt2 St2 Ft2 et2 1 Q1 566 553,191 15,5182 0,93313 488,184 77,816 561,736 17,2272 0,94941 488,184 77,816 2 Q2 491 544,741 10,7247 1,05535 622,085 -131,085 539,936 9,4217 1,02006 633,302 -142,302 3 Q3 585 553,421 10,3156 1,06975 595,972 -10,972 548,122 9,1747 1,07067 589,418 -4,418 4 Q4 575 575,637 12,6956 0,93786 520,105 54,895 577,079 13,1311 0,95212 514,164 60,836 5 Q1 549 588,335 12,6961 0,93313 548,989 0,011 586,623 12,4137 0,94399 560,35 -11,35 6 Q2 701 613,671 15,2242 1,07274 634,299 66,701 625,49 17,7044 1,06032 611,053 89,947 7 Q3 658 626,136 14,6723 1,06598 672,761 -14,761 634,608 15,987 1,05714 688,646 -30,646 8 Q4 502 619,698 10,4504 0,9123 600,989 -98,989 613,59 8,5859 0,89853 619,445 -117,445 9 Q1 533 618,358 8,0922 0,9189 588,011 -55,011 604,91 5,1329 0,91884 587,328 -54,328 10 Q2 679 627,752 8,3525 1,07452 672,02 6,98 619,141 6,9525 1,07487 646,843 32,157 11 Q3 631 627,272 6,5861 1,05397 678,073 -47,073 617,333 5,2004 1,04314 661,871 -30,871 12 Q4 553 628,318 5,4781 0,90587 578,271 -25,271 620,409 4,7755 0,89566 559,363 -6,363 13 Q1 633 644,811 7,681 0,93145 582,393 50,607 644,302 8,599 0,94429 574,447 58,553 14 Q2 815 673,689 11,9204 1,10157 701,117 113,883 684,501 14,9189 1,12118 701,781 113,219 15 Q3 817 703,52 15,5026 1,07544 722,613 94,387 724,557 19,9464 1,07692 729,594 87,406 16 Q4 692 728 17,298 0,9148 651,34 40,66 752,938 21,6333 0,90502 666,818 25,182 17 Q1 678 741,817 16,6019 0,92796 694,211 -16,211 757,6 18,2391 0,92455 731,42 -53,42 18 Q2 827 756,885 16,295 1,09978 835,451 -8,451 764,372 15,9457 1,10548 869,855 -42,855 19 Q3 790 765,461 14,7512 1,06676 831,506 -41,506 766,295 13,1411 1,05853 840,339 -50,339 20 Q4 662 768,9 12,4888 0,90404 713,741 -51,741 765,048 10,2635 0,88913 705,405 -43,405 21 Q1 623 759,384 8,0879 0,90645 725,096 -102,096 744,871 4,1754 0,88928 716,811 -93,811 22 Q2 793 758,188 6,2311 1,08901 844,053 -51,053 739,533 2,2727 1,09221 828,057 -35,057 23 Q3 767 755,335 4,4143 1,0565 815,453 -48,453 736,642 1,2399 1,0516 785,22 -18,22 24 Q4 656 752,926 3,0496 0,89748 686,842 -30,842 737,856 1,2348 0,88911 656,076 -0,076 25 Q1 581 732,974 -1,5508 0,88369 685,251 -104,251 713,364 -3,9105 0,85935 657,261 -76,261 26 Q2 668 707,819 -6,2717 1,05996 796,526 -128,526 680,099 -9,7814 1,04821 774,871 -106,871 27 Q3 634 681,257 -10,3297 1,03132 741,183 -107,183 650,09 -13,827 1,02106 704,906 -70,906 28 Q4 561 661,758 -12,1635 0,88754 602,146 -41,146 634,675 -14,1445 0,88703 565,705 -4,705 29 Q1 519 637,138 -14,6549 0,86987 574,04 -55,04 615,555 -15,1397 0,85287 533,253 -14,253 30 Q2 628 616,482 -15,8551 1,0517 659,804 -31,804 600,026 -15,2175 1,04757 629,361 -1,361 31 Q3 647 605,971 -14,7862 1,0386 619,441 27,559 599,463 -12,2867 1,04436 597,125 49,875 32 Q4 535 593,506 -14,3219 0,89031 524,697 10,303 591,964 -11,3291 0,89373 520,842 14,158 33 Q1 470 571,41 -15,8768 0,8604 503,814 -33,814 571,769 -13,1022 0,84052 495,204 -25,204 34 Q2 605 559,478 -15,0878 1,05763 584,255 20,745 564,324 -11,9707 1,05738 585,245 19,755 35 Q3 592 549,512 -14,0635 1,04635 565,405 26,595 556,705 -11,1006 1,05197 576,854 15,146 36 Q4 516 544,273 -12,2986 0,90186 476,716 39,284 555,13 -9,1953 0,90804 487,621 28,379 37 Q1 481 537,388 -11,2158 0,86733 457,71 23,29 553,833 -7,6157 0,85171 458,871 22,129 38 Q2 551 525,133 -11,4238 1,05596 556,498 -5,498 538,683 -9,1226 1,04357 577,557 -26,557 39 Q3 503 507,111 -12,7433 1,03545 537,517 -34,517 514,137 -12,2073 1,02252 557,083 -54,083 40 Q4 445 494,179 -12,781 0,90159 445,851 -0,851 498,37 -12,9191 0,90199 455,772 -10,772 41 Q1 433 484,965 -12,0677 0,87244 417,533 15,467 492,332 -11,5429 0,86282 413,464 19,536 42 Q2 517 476,238 -11,3995 1,06189 499,36 17,64 485,177 -10,6654 1,05238 501,738 15,262 43 Q3 505 469,413 -10,4847 1,04353 481,319 23,681 480,321 -9,5034 1,03406 485,197 19,803 44 Q4 426 461,642 -9,9418 0,90583 413,763 12,237 471,26 -9,4151 0,90278 424,672 1,328

Yukarıdaki Tabloda seçilmiş α, β, γ kombinasyonlarına göre MHS ve Öngörü değerleri yer almaktadır.

Aşağıdaki grafiklerde de yine seçilmiş bazı (α, β, γ) kombinasyonlarına göre MHS ve Öngörü değerleri grafikleri çizilmiştir. Her grafikteki kutular içinde görülen

(8)

düzleştirme katsayıları ve Accuracy Measures değerleri bize modelin nasıl

oluşturulduğunu ve hangi modelin diğerinden daha başarılı olduğunu göstermektedir.

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 900

800

700

600

500

400

Smoothing Constants Alpha (level) 0,2 Gamma (trend) 0,2 Delta (seasonal) 0,2 Accuracy Measures

MAPE 7,50

MAD 45,43

MSD 3323,82 Variable Actual Fits

Winters' Method Plot for MHS Multiplicative Method

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 900

800

700

600

500

400

MAPE 7,02

MAD 42,64

(9)

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 900

800

700

600

500

400

MAPE 6,92

MAD 42,01

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 900

800

700

600

500

400

MAPE 6,56

MAD 39,42

(10)

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 900

800

700

600

500

400

MAPE 6,39

MAD 38,37

Index

MHS

44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 900

800

700

600

500

400

MAPE 6,32

MAD 37,95

Aşağıdaki MHS Zaman Sersisini Bileşenlerine Ayrıştırıp Öngörü değerleri hesaplamaya çalışalım.