ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z = X

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I

15 Kasım 2006

Adı Soyadı:KEY No:

1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz.

Maximize Z = X1 + 4 X2

subjectto: 2X1 + 3X2 ≤ 24 -X1 + 3X2 ≤ 15 5 X1 + 3 X2 ≤ 45

X1, X2 ≥0

Köşeler Z=X1 +4X2

A: (0,0) 0 B: (0, 5) 20

C: ( 3, 6) 27 ** --- Optimum çözüm D: (7, 10/3) 61/3

E: (9, 0) 9

S1=0 S2=0 S3=12

Đkinci kısıtın sağ taraf değeri 15 değil de 16 olsa idi C noktasının yeni koordinatları: ( 8/3, 56/9) olurdu. Bu noktada hesaplanacak Z değeri: Z new= 248/9 olurdu.

U2 = Znew- Zold= 248/9-27= (248-243)/9=5/9 olur.

2. a) Aşağıda verilen doğrusal programlama probleminin çözümünde aşağıda verilen simpleks tablosuna ulaşılmıştır. Bu tabloyu kullanarak verilen çözümün optimum olup olmadığını saptayınız. Çözüm optimum değilse optimum çözümü bulunuz. Gerekirse verilen boş tabloları kullanınız.

3 2

1

4 3

2

. Z X X X

Max = + +

s.t.

100 2

4

3 X

₁

+ X

₂

+ X

₃

≤ 40 2

2 X

₁

+ X

₂

+ X

₃

≤ 85 2

3

_{2 3}

1

+ X + X ≤

X

0 ,

,

_{2 3}

1

X X ≥

X

X1 X2 X3 S1 S2 S3

Basis Cj 2 4 3 0 0 0 RHS Ratio

X2 4 3/4 1 1/2 1/4 0 0 25 50

S2 0 5/4 0 3/2 -1/4 1 0 15 10

S3 0 -5/4 0 1/2 -3/4 0 1 10 20

Zj 3 4 2 1 0 0 100

Cj-Zj -1 0 1 -1 0 0

(2/3)R2---R2; (-1/2)R2 +R1---R1; (-1/2)R2 +R3---R3

X1 X2 X3 S1 S2 S3

Basis Cj 2 4 3 0 0 0 RHS Ratio

X2 4 1/3 1 0 1/3 -1/3 0 20

X3 3 5/6 0 1 -1/6 2/3 0 10

S3 0 -5/3 0 0 -2/3 -1/3 1 5

Zj 23/6 4 3 5/6 2/3 0 110

Cj-Zj -11/6 0 0 -5/6 -2/3 0 Optimum Çözüm:

X1=0 X2= 20 X3=10 S1=0 S2=0 S3=5 Z=110

b) Son simpleks tablosundaki bilgileri kullanarak, X2 nin objektif fonksiyondaki katsayısı C2 için mevcut çözümün optimum oluşunu bozmayacak değişim aralığını hesaplayınız. C2 =5 olsa çözüm nasıl değişirdi?

X1 X2 X3 S1 S2 S3

Basis Cj 2 4+d 3 0 0 0 RHS Ratio

X2 4+d

X3 3

S3 0

Zj 23/6+d/3 4+d 3 5/6+d/3 2/3-d/3 0 110+20d Cj-Zj -11/6-d/3 0 0 -5/6-d/3 -2/3+d/3 0

-11/6-d/3

≤ 0

_{, -5/6-d/3}

≤ 0

_{, -2/3+d/3}

≤ 0

eşitsizlikleri d için ortak çözülürse -5/2

≤ d ≤ 2

bulunur ve bunun sonucu olarak da 3/2

≤ c

₂

≤ 6

elde edilir.

C2= 5 olsa d=1 olurdu ve bu durumda ZNew= 110+20(d)=110+20(1)=130 olur.

c) Son simpleks tablosundaki bilgileri kullanarak, birinci kısıtın sağ taraf değeri olarak verilen 100 değerinin alt -üst limit değerlerini hesaplayıp bu limitlerin ne anlama geldiğini açıklayınız. Örneğin birinci kısıtın sağ taraf değeri 100 olmak yerine 105 olsa optimum çözüm değişir mi? Değişirse yeni çözümü veriniz.

 







 







−

=

−

= +

=

3 / 2 5

6 / 10

3 / 20

3 3 2

d S

d X

d X

new new new

 







 







≥ 0 0 0

eşitsizlikleri ortak çözülürse

− 60 ≤ d ≤ 7 . 5

bulunur ve bunun sonucu

olarak da

40

≤ b

₁

≤ 107 . 5

_olur.

b1=105 olsa d=5 olacağı için



 







 





=

=

=

=



 







 





−

=

−

= +

=

=



 







 





−

=

−

= +

=

3 / 5

6 / 55

3 / 65 3

/ ) 5 ( 2 5

6 / 5 10

3 / 5 20 3

/ 2 5

6 / 10

3 / 20

3 3 2

3 3 2

3 3 2

new new new

new new new

new new new

S X X S

X X d

S

d X

d X

ve

Z=4(65/3)+3(55/6)=260/3+165/6=685/6=114.6667 olur.

d) Eldeki kaynakların marjinal değerlerini (gölge fiyatlarını) belirtiniz. Birinci kaynaktan temin edilecek ilave her bir birimin fiyatı 0.55 olsa ve size bu fiyattan 7 birim daha satmayı teklif etseler alır mısınız?

Neden?

Marjinal değerler:

u

₁

= 5 / 6 ; u

₂

= 2 / 3 ; u

₃

= 0

Birinci kaynağın Marjinal değeri= 5/6=0.833 olduğu; maliyet 0.55 olduğu ve ayrıca birinci kaynağa ilave edilebilecek miktarın üst sınırı da 7.5 olduğu için birim maliyeti 0.55 olan bu kaynaktan 7 birim daha almak, her bir ilave birimlik artış toplam karı (5/6-0.55) birim artıracağı için, uygun bir karar olacaktır.

3. Đki farklı DP probleminin simpleks metodu ile çözümünde aşağıdaki tablolara ulaşılmıştır. Tablolardaki eksikleri tamamladıktan sonra

i) problemin çözümünün olup olmadığını, ii) çözümü varsa tablodan elde edilen çözümü,

iii) birden fazla optimum özümü varsa en az bir optimum çözüm daha veriniz.

a) Max Z= 4 X1 + 8 X 2

s.t. 2 X1 + 2 X 2 ≤ 10 - X1 + X2 ≥ 8 X1 , X2 ≥0

X1 X2 S1 S2 A2

Basis CJ 4 8 0 0 -M RHS

X2 8 1 1 1/2 0 0 5

A2 -M -2 0 -1/2 -1 1 3

Zj 8+2M 8 4+M/2 M -M 40-3M

Cj - Zj -4-2M 0 -4-M/2 -M 0

Cj - Zj değerlerinin hepsi

≤ 0

olduğu için bu tablo son simpleks tablosudur. Ancak Basis’te bir yapay(artificial) değişken yer aldığı için bu problemin çözümü yoktur. (Infeasible)

b) Max Z = 2X1 + X2 + X3

s.t. 4X1 + 2 X2 + 2X3 ≥ 4 2X1 + 4 X 2 + 0 X3 ≤ 20 4X1 + 8 X2 + 2 X3 ≤ 16

X1 X2 X3 S1 A1 S2 S3

Basis Cj 2 1 1 0 -M 0 0 RHS Ratio

X1 2 1 2 1/2 0 0 0 1/4 4 8

S2 0 0 0 -1 0 0 1 -1/2 12 -

S1 0 0 6 0 1 -1 0 1 12 -

Zj 2 4 1 0 0 0 1/2 8

Cj -Zj 0 -3 0 0 -M 0 -1/2

Cj - Zj değerlerinin hepsi

≤ 0

olduğu için bu tablo son simpleks tablosudur. Buradan optimum çözüm okunursa:

X1=4 X2=0 X3=0 S1=12 A1=0 S2=12 S3=0 Z=8

Olur. Yukarıdaki tabloda X3 temel değişkenlerden biri olmadığı halde Cj - Zj değeri sıfırdır. Bu da bu problemin alternatif optimum çözümü olduğunun işaretidir. Yani X3 Basis’e girer ve X1 de çıkar.

Alternatif optimum aşağıdaki tabloda verilmiştir.

2R1---R1; R1+R2---R2; R3---R3

X1 X2 X3 S1 A1 S2 S3

Basis Cj 2 1 1 0 -M 0 0 RHS Ratio

X3 1 2 4 1 0 0 0 1/2 8

S2 0 2 4 0 0 0 1 0 20

S1 0 0 6 0 1 -1 0 1 12

Zj 2 4 1 0 0 0 1/2 8

Cj -Zj 0 -3 0 0 -M 0 -1/2

Bu tablodan optimum çözüm okunursa:

X1=0 X2=0 X3=8 S1=12 A1=0 S2=20 S3=0 Z=8 Elde edilir.

4. Bir işletmenin cevher çıkarılan üç maden ocağı (M1, M2, M3) ve üç adet de Đşleme Merkezi (D1, D2, D3) bulunmaktadır.

Aşağıdaki tablonun en son sütununda Maden ocaklarının üretim kapasiteleri (bin ton olarak); en alt satırında Maden işleme merkezlerinin işleme kapasitelerinin alt sınır değerleri (bin ton olarak); tablonun (MĐ, DJ) gözelerinde de 1000 ton madenin MĐ den DJ ye ulaştırılma maliyetleri verilmiştir.

Ayrıca, M2 den D2 ye gönderilecek maden miktarı D2 ye gönderileceklerin en az % 50 si kadar; M1 den D3 e gönderilecek maden miktarı da D3 e gönderileceklerin en az %30 u kadar olmalıdır.

Đşleme Merkezleri Maden

Ocakları

D1 D2 D3 Üretim

M1 80 60 135 20 M2 75 85 100 15 M3 130 95 110 10

Kapasite 15 15 15

Toplam ulaştırma maliyetini minimize eden çözümünü verecek DP modelini oluşurunuz.

Xij = Mi den Dj ye gönderilecek cevher miktarı olsun (1000 ton olarak) ; i, j =1,2,3

Min Z= 80 X11 + 60 X12 + 135 X13 +75 X21 + 85 X22 + 100 X33 + 130 X31 + 95 X32 + 110 X33

s.t. X11 + X12 + X13

≤ 20

M1 Kapasitesi

X21 + X22 + X23

≤ 15

M2 Kapasitesi X31 + X32 + X33

≤ 10

M3 Kapasitesi X11 + X21 + X31

≥ 15

D1 Talebi X12 + X22 + X32

≥ 15

D2 Talebi X13 + X23 + X33

≥ 15

D3 Talebi

X22

≥ 0 . 5 (

X12 + X22 + X32) M2 den D2 ye gönderilecek miktarın D2 ye gönderilecekler içindeki payı X13

≥

0.3(X13 + X23 + X33) M1 den D3 e gönderilecek miktarın D3 e gönderilecekler içindeki payı

5. Fın-Fıs(FF) 800 gramlık kutularda karışık kuru yemiş hazırlayıp pazarlamaktadır. FF nin değişik ad ve içeriklerde hazırladığı dört farklı karışımın 800 gramlık bir paketindeki kuru yemiş türleri ve miktarları(gr olarak) aşağıdaki tabloda verildiği gibidir.

FF Kral adı verilen karışımdan en az 20 kutu, Özel karışımdan da en çok 50 kutu satabileceğini öngörmektedir. FF her bir karışımdan kaçar kutu hazırlayıp satmalıdır ki toplam karı maksimum olsun. ( modelleyiniz, çözüm için uğüraşmaynız)

X1=Özel karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı X=Lüks karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı X3=Kral karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı X4=Parti karışımdan hazırlanacak 800 gramlık kutuların sayısı olsun.

Bu karışımların 800 gramlık bir kutusunun maliyetlerini hesaplayalım.

1 kutu Özelin maliyeti= 0.2(2.60)+ 0.2(1.25)+0.1(2)+0.1(3)+0.1(3.5)+0.1(2.75)= 1.895 YTL, 1 kutu Lüksün maliyeti= 0.3(2.60)+0.2(2)+0.2(3.5)+0.1(2.75)= 2.155 YTL

1 kutu Kralın maliyeti = 0.3(2.60)+ 0.2( 3)+ 0.3(3.5)= 2.43 YTL, 1 kutu Partinin maliyeti= 0.4( 1.25) + 0.4(3.5) =1.90 YTL .

Şimdi de 800 gramlık bu karışımların satışından elde edilecek net karları hesaplayalım.

1 kutu Özelden elde edilecek kar= 3-1.895= 1.105 YTL;

1 kutu Lüksden elde edilecek kar= 3.50-2.155= 1.345 YTL 1 kutu Kraldan dan elde edilecek kar= 4-2.43= 1.57 YTL 1 kutu Partiden den elde edilecek kar= 3.5 -1.90= 1.60 YTL olur.

DP modelimiz:

Max Z= 1.105 X1 + 1.345 X2 + 1.57 X3 + 1.60 X4

s.t. X3

≥ 20

Kral satışı

X1

≤

50 Özel satışı

0.2 X1+0.3X2 + 0.3 X3

≤ 300

MevcutFındık Miktarı 0.1 X1+0.2 X2

≤ 100

MevcutLeblebi Miktarı 0.1X1 + 0.2 X3

≤ 75

Mevcut Antep Fıstığı Miktarı 0.1 X1+0.2X2 + 0.3 X3 +0.4X4

≤ 200

MevcutYer Fıstığı Miktarı 0.1 X1+0.1X2

≤ 200

MevcutBadem Miktarı

≥ 0

X

i i=1,2,3,4

Karışım Fındık Ay

çekirdeği

Leblebi Antep Fıstığı

Yer Fıstığı Badem Fiyat/kutu

Özel 200 200 100 100 100 100 3 YTL

Lüks 300 0 200 0 200 100 3.50 YTL

Kral 300 0 0 200 300 0 4 YTL

Parti 0 400 0 0 400 0 3.50 YTL

Fiyat/kg 2.60 YTL 1.25 YTL 2 YTL 3 YTL 3.5 YTL 2.75 YTL

Stok (kg) 300 Sınırsız 100 75 200 200