Temel Kavramlar. Alıştırma Şekil ile, ifade edilişini eşleştiriniz.

Giriş

Sıfırdan Matematik kitabımızda kazanımlar; gerçek- ten sıfırdan başlayarak ve o ana dek anlatılan bilgiler yeterli olacak şekilde, benzer bol örnek ve hiçbir kitapta olmadığı kadar alt başlıklarla verilmiş ve kitabı bitiren- lerin hem temel hem de orta-üst denilebilecek düzey- de matematik bilgi ve becerisine sahip hale gelmeleri hedeflenmişti. Başaran öğrencilerimizi de görmekten, haber almaktan gurur duyuyoruz.

Sıfırdan Geometri kitabında da geometriyi en baştan kurarak aynı metodla ilerliycez. Ancak geometri yaparken ön şartımız; temel ve orta düzey matematik bilgileri- nin bilinmesidir. Dolayısı ile özellikle temel matematik bilgilerinizde eksiklikler ver ise öncelikle Sıfırdan Matematik kitabımızı çalışmanızı, en azından gerektikçe ilgili konulara oradan bakmanızı tavsiye ediyoruz.

Geometri

Matematiğin daha çok çizim ve şekillerle ilgilenen alt bilim dalıdır. Yunanca “geo” (yer) ve “metro” (ölçüm) kelimelerinden türetilmiştir.

Nokta

En temel geometrik birimdir. Noktayı bilgisayar ekranındaki pikseller gibi düşünebiliriz.

Bu pikseller sayesinde ekranda şekiller, görüntüler oluşur. Geometrik şekillerin de yapıtaşı nokta gibi düşünülebilir. Büyük harflerle isimlendirilir ve boyutsuz kabul edilirler. Aşağıda A ve B noktalarının gösterimini görüyoruz.

A B

Doğru Parçası

İki farklı nokta arasındaki en kısa yolun şeklidir. En kısa yolun dümdüz olacağı açıktır. Uçlarındaki noktalarla ifade edilirler. Noktaların içi dolu ise doğru parçasına dahildir, boş ise dahil değildir.

Alıştırma

Şekil ile, ifade edilişini eşleştiriniz.

Doğru

Doğru parçasının, aynı doğrultu korunarak, yani dümdüz bir şekilde iki yönden de sonsuza uzan- dığı varsayılan halidir. Bu sonsuza uzanma, doğru parçasının uçlarına ok koymak sureti ile gösterilir.

İşaretleme için de üzerindeki herhangi iki farklı noktadan yararlanılır.

Yukardaki doğruyu d harfi ile ifade edebileceğimiz gibi XY ile de ifade edebiliriz. Parantez ile çevrelenmemiş olmaları iki yönden sonsuz uzandığını ifade eder.

Işın

Doğru parçasının sadece bir yönde sonsuza uzanmış hali gibi düşünülebilir. Sonsuza uzanan taraf ok ile sonlandırılır. Sonsuza uzanmayan tarafın ucu başlangıç noktası olarak isimlendirilir. Aşağıdaki ışının başlangıç noktaları üstteki için X alttaki için Y dir.

XY6 YX6

Temel Kavramlar

Doğru parçası İfade edilişi

XY^ @ veya XY@ @

XY^ h ^{veya XY}

@ 6

X Y

X Y

X Y

X Y

^XYh

^XY@ 6 @XY XYh 6

X Y

X Y

X Y

X Y

^ hXY

^XY@ 6 @XY XYh 6

X Y

X Y

X Y

X Y d

X Işın Y İfade edilişi

X Y

6 @XY

Düzlem

Kalınlığı yok farzedilen ancak, her yöne düz ve sınırsız uzadığı varsayılan geometrik cisimdir. Mesela bir masanın yüzeyini düşünelim, kalınlığı olmasın ve sınırsız uzasın. Elimizde sınırsız, düz bir alan olacaktır.

Aşağıda E düzlemi ve içindeki doğru parçası, ışın ve noktayı görmekteyiz. Ayrıca bundan sonra bu kitapta aynı düzlemde bulunan şekiller kullanılacaktır.

İki Doğrunun Kesişmesi

İki doğrunun kesişmesi, sadece bir noktalarının ortak olması demektir. Şekilde d ve k doğruları A noktasında kesişmektedirler. A iki doğruya da ait olan tek noktadır.

Benzer kesişmeler, doğru parçaları ve ışınlar için de söz konusudur.

Açı

Açıyı tam tarif için üç nokta yeterlidir. Bu noktalardan biri açının köşesi olur ve köşe noktası diğer iki nokta ile doğru parçaları oluşturacak şekilde birleştirilirse bir açı elde edilir. Keşisen doğru parçaları, ışınlar, doğrular açılar belirtirler.

Aşağıda üç noktadan açı şeklinin elde edilişini görelim, B köşe olsun;

Açı ifade edilirken köşe noktasını simgeleyen harf ortada olmalıdır; açımız ABC% veya +ABC şeklinde gösterilir.

A B

C D

E

A d

k

, A d A K

d k A

& +

! !

=

Aşağıdaki şekli ve şekille ilgili ifadeleri inceleyiniz.

I.AB II.6 @AB III.B IV. G, D, veya A V.I VI.G VII.A VIII.I veya F

A

B C

D E

,

AB CD B

EA CD D

AB EA A

D EA B CD

+ + +

! !

=

=

= 6

6 6

6

6 6

@

@

@

Alıştırma

Şekle göre boşlukları doldurunuz.

A

B C

D E

F

H G I

I. Şekilde bulunan doğru ... dur.

II. Şekildeki doğru parçalarından F ile başlayıp H ile biten ... dır.

III. AB CD+6 =...

IV. D!6E...

V. 6FH CD+6 =....

VI. 6GD FH+6 @=....

VII. 6GD AB+ =....

VIII. 6CD H+6 ...@ I=I

A B

C

A B

C

A B

C

Aşağıda kesişen iki doğruyu görüyoruz. Buradaki açıları uygun harflendirmelerle, diğer kısımları silerek ifade edebiliriz.

Önce harflendirmeleri yapalım;

şimdi ise diğer kısımları silerek açıları tek tek ifade edelim;

Açı Ölçümü

Açıyı üç noktaya bağlı tanımlamıştık, bu noktalardan biri köşe idi ve köşe ile diğer iki noktanın belirttiği, doğru parçası veya ışınlara açının kenarları denir.

Aşağıdaki iki açının arasındaki açıklık farkına dikkat ediniz. Burada açıların ölçümü devreye girecektir, doğal olarak açıklığı fazla olan açının ölçüsü de daha fazla olacaktır.

Açının ölçüsünden bahsederken m harfi kullanılır yani açı gösteriminin başında m harfi var ise açının ölçüsünden bahsediliyor demektir.

Yukarda soldaki açının ifadesi BAC%, ölçüsünün ifadesi ise m BAC^%h şeklinde olacaktır. Daha ölçüyü tanımla- masak bile sağdaki açının aralığının daha büyük olması ölçüsünün de daha büyük olduğunu bize anlatır, dolayısı ile; m BAC^%h<m FED^%h yazabiliriz.

Açı ölçümünde çemberden faydalanırız. Açının köşesi merkezli bir çember düşünürüz ve açı aralığına tekabül eden yay ile orantılı bir ölçüm kullanılır. Yukardaki şekillerin tekabül ettiği çember yaylarını gösterelim.

Burada ölçüme etki eden kısım kollar arasındaki mavi çember yayıdır. Ölçü ise oransal bir ölçüdür, yani; mavi yayın tüm çember yayına oranıdır. dolayısı ile çem- berin çapına bağlı değildir. Yukardaki açıları, çapı daha büyük veya daha küçük çemberlerle de ölçse idik oran korunacağı için ölçü değişmeyecekti.

Örnek

Şekildeki açıları ifade ediniz.

Çözüm

Şekildeki açılar;

, , , , , ,

BAC BAD DAC ABC ACB BDE CDE% % % % % % %

D B

E C

A

DAB%

EAC%

DAE%

BAC%

D B

A

E C

A

D

E A

B

C A

A

B C

D E

A B

D C E

, , , , ,

AEC EAB ABC BCE CDA ADE% % % % % % B

C

A E

D F

B

C

A E

D F

Alıştırma

Şekildeki açıları ifade ediniz.

Şimdi bu oransal ölçümden bahsedelim. Değerlerin kolay olması ve oranlarla uğraşmamak için değişik ölçü birimleri kullanılagelmiştir. Biz bu kitapta derece diye ad- landırılan birimi kullanıcaz. Herhangi bir çemberin 1/360 ının oransal ölçüsüne 1 derece denilir. Ölçü oransal olduğundan yani herhangi bir çemberin tamamına oranı olarak düşünüldüğünden, yarıçaptan bağımsız bir ölçüm- dür yani her çemberin 1/360 ı 1 derecedir.

Dolayısı ile çemberin tamamı 360 derece (tam açı), yarısı 180 derece (doğru açı), 1/4 ü 90 derece (dik açı) olur.

Tabi açıları yaylar ile gösterirken çemberin tamamını çizmeyiz sadece kollar arasındaki kısmını çizeriz. Aynı açıları tekrar gösterelim;

Açıların ölçüsünü yazarken her zaman uzun uzun

“derece” yazmayız, mesela 20 derece yerine 20⁰ yazarız.

90⁰ lik açı yayla değil şekildeki gibi göstermek adet olmuştur ve dik açı olarak isimlendirilir.

Ölçüsü 360 derece olan açıya tam açı denir.

Ölçüsü 180 derece olan açıya doğru açı denir.

Ölçüsü 90 derece olan açıya dik açı denir.

Doğru Parçasının Uzunluğu

Doğru parçasının uzunluğunu uçlarındaki noktaları arasındaki uzaklık gibi düşünebiliriz. Dolayısı ile uzak- lığa bağlı tanımlanan mutlak değer sembolü ile göster- mek son derece mantıklı olacaktır.

Doğrusal Noktalar

Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal noktalar denir. Şekilde A,B,E noktaları doğrusaldır.

Ayrıca C,D,A noktaları da doğrusaldır ama mesela A,E,D noktaları doğrusal değildir. İki nokta her zaman doğrusaldır.

Artık elimizdeki bilgiler dahilinde biraz soru çözelim ve konuya ısınalım.

B

C

A E

D F

A

B C

m ABC^%h=90⁰

A B yandaki doğru parçası [AB] olarak gösteriliyor idi, uzunluğu ise |AB|

olarak gösterilir.

D B

E C

A

360⁰

180⁰

A

B C

m ABC^%h=90⁰

4.

5.

6.

Örnekler: Doğruda açı

Verilen şekillerde x i bulunuz.

1.

2.

3.

Çözüm

x ile 140 derecenin toplamı doğru açı olduğundan 180

derecedir o halde; x+140=180 ise x=40⁰ bulunur.

Çözüm

a a x

60+ =90& =30& =60⁰

Çözüm

Çözüm

140 x

0

A

B C

60⁰ x

Çözüm

x ile 90 derecenin toplamı dik açı olduğundan 90 dere- cedir o halde; x+60=90 ise x=30⁰ bulunur.

Çözüm

x x x+ + =180 3& x=180&x=60⁰ A

B C

x xx

A

B C

x a 60⁰a

x y 160⁰

140⁰

x x

y 160 180 y 20 xy

140 180 40⁰ 2

0

&

& &

+ = =

+ = = 3 =

x ? y =

x y

?

y x x

2 =7 & =

,

y x x k y k

k k x

2 7 2 7

9 180 20⁰ 40⁰

& &

& &

= = =

= = =

Alıştırmalar: Doğruda açı

Verilen şekillerde x i bulunuz.

1.

2.

3.

4.

5.

x 130⁰

80⁰ x

90⁰ x

x x

x

x x

50⁰

6.

7.

8.

9.

x 120⁰ 130⁰

Çözüm

Tam açı 360 derece olduğundan şekildeki açıların toplamı 360 derece olmalıdır.

x+120 130 360+ = &x=110⁰

x 140⁰

150⁰

x

2x 120⁰

x 2x 2x

) ) ) ) )

1 50⁰ 2 100⁰ 3 90⁰ 4 60⁰ 5 65⁰ 6)110⁰ 7)70⁰ 8)80⁰ 9)72⁰

Alıştırmalar: Doğruda açı

Verilen şekillerde x i bulunuz. (ilk 5 soru)

1.

2.

3.

4.

5.

6. Tam açı doğru açının ... katıdır.

7. Açı ölçümünde ... şeklinden faydalanılır.

8. Dik açı ... derecedir.

9. Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara ...

... denir.

10.

11.

12.

) ) ) ) )

1 30⁰ 2 60⁰ 3 90⁰ 4 90⁰ 5 108⁰ 6)27)çember 8)90⁰ 9)dogrusal10)120⁰ 11)130⁰ 12)70⁰

y x 5 =x y

x y

x y 2 =

y x

x y

7 =2

x

y z x y z

6 =9 =9

x y

z

y x z

6 =10 =15

? y x- =20⁰&y= x

140⁰ y

y x

?

x y y x

5 +30= & - =

y x z

? x y= -10= -z 20 &z=

Eşit Açıların Gösterimi

Şekil üzerindeki ölçüleri eşit açılar aynı sembollerle gösterilirler.

Şekilde m ABD^%h=m EBC^%h ise bunu şekilde aşağıdaki gibi gösteririz;

Aşağıdaki şekilde m ABD^%h=m EBC^%h ve m DBF^%h=m FBE^%h olduğuna dikkat ediniz.

Açıortay

Bir açıyı iki eşit ölçülü komşu açıya bölen doğru, doğru parçası veya ışına açıortay denir. Açıortay olarak doğru alınmış ise açıortay doğrusu, ışın alınmış ise açıortay ışını terimleri de kullanılır.

Yukarıda ABC% açısı açıortay ile iki eşit ölçülü komşu açıya ayrılmıştır. Bu açılara da eş açılar denilir.

m ABD^%h=m DBC^%h

Ölçüsü eşit açılar aynı sembollerle gösterilirler.

Alıştırma

Şekildeki komşu açı çiftlerini yazınız.

A B C

D E

A B C

D E

A B C

F E D

Komşu Açılar

Bir kenarları ve köşeleri ortak olan, iç bölgeleri kesişmeyen açılardır.

Şekilde DBA% ile DBE%, DBE% ile EBC% komşu açılardır ama DBA% ile EBA%, DBA% ile EBC% komşu açılar değillerdir.

A B C

D E

A B

C E

F D

, , ,

ABD DBE DBE EBF EBF FBC FBC CBA%-% %-% %-% %-% A

B C

A

B C

D

A B C

F E D

Açı Çeşitleri

Açılar ölçülerine göre isimler alırlar.

Dar Açı: Ölçüsü 90 dereceden küçük olan açıdır.

Dik Açı: Ölçüsü 90 derece olan açıdır.

Geniş Açı: Ölçüsü 90 derece ile 180 derece arasında olan açıdır.

Doğru Açı: Ölçüsü 180 derece olan açıdır.

Tam Açı: Ölçüsü 360 derece olan açıdır.

Örnek

ABD% ve DBC% açılarının açıortayların arasındaki açının ölçüsünü bulunuz.

A B C

D

Çözüm

Şekli soruda verilenlerle beraber çizip eşit ölçülü açıları aynı harflerle ifade edelim;

istenen açının a+b olduğuna dikkat!

A

a a b b

B C

D

a b a b

2 +2 =180& + =90⁰

Alıştırma

DBE% ve EBC% açılarının açıortayların arasındaki açının ölçüsünü bulunuz.

A

30⁰ B

E

C D

75⁰

dar açı

x x 90< ⁰

dik açı

x 90= ⁰ x

doğru açı

x 180= ⁰

A B C

x

x

geniş açı

x 0⁰< <180⁰

Alıştırmalar: Doğruda açı

1.

2.

3.

4.

5.

6. Ölçüsü 90 dereceden küçük olan açıya ... açı denir.

7. Ölçüsü 360 derece olan açıya ... açı denir.

8. Öçüsü 180 derece olan açıya ... açı denir.

Hangisi yanlıştır?

A) m ABD^%h=m FBC^% B) m DBE m EBFh ^%h= ^% h C) m ABE^%h=m CBE^% D) m DBC m ABFh ^%h= ^% h E) m EBF^%h=m DBA^%h

A B C

F D E

Hangisi yanlıştır?

A) m ABD^%h=m EBF^% B) m DBE m EBFh ^%h= ^% h C) m ABE^%h=m DBF^% D) m EBC 90h ^%h< ⁰ E) m DBE^%h=m FBC^%h

A B C

F D E

A O C

F D E

Komşu açı ikililerinde noktalı yerleri doldurunuz.

1) E 2) D 3) I- D II- E III- E IV- AOD 4) 105⁰ 5) 120⁰ 6) dar 7) tam 8) doğru I) m AOD ile m OF^%h ^...% II) h m AOE ile m OF^%h ^...%h

III) m DOE ile m OC^%h ^...% IV) h m DOC ile m^%h ^...%h

AOB% ve BOC% açılarının açıortayları arasındaki açının ölçüsünü bulunuz.

A 150⁰

B

O C

A

120⁰ B

O

C

AOC% ve BOC% açılarının açıortayları arasındaki açının ölçüsünü bulunuz.

Alıştırmalar: Doğruda açı

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Eşleştiriniz.

1) 90⁰ 2) 90⁰ 3) 65⁰ 4) 60⁰

5) 75⁰ 6) 60⁰

7)

A B C

F D E

? m DBF =^%h

? m BGE =^%h

? m BGD =^%h

? m EBC =^%h

? m EBA =^%h

? m CBG =^%h

A B C

F D E

50⁰

A B C

F G

E D

60⁰

A B C

F G E

D

40⁰ A B

C

E F

G D

30⁰ A

B C

G D

doğru açı

geniş açı

tam açı

dar açı

dik açı 360⁰

90⁰ 40⁰ 100⁰ 180⁰

doğru açı geniş açı tam açı dar açı

dik açı 360⁰

90⁰ 40⁰ 100⁰ 180⁰

Tümler ve Bütünler Açılar

Ölçüleri toplamı 90 derece olan açılara tümler açılar, 180 derece olan açılara bütünler açılar denir.

Mesela 30 derecelik açının tümleri 60 derece, bütünleri ise 150 derece olur.

x in tümleri 90 -x, bütünleri ise 180 -x olur.

a ile b tümler ise a b 90+ = ⁰ a ile b bütünler ise a b 180+ = ⁰

tümler açılar

a b 90+ = ⁰

bütünler açılar

a b 180+ = ⁰

Alıştırma

Tabloyu doldurunuz.

açı tümleri bütünleri 30⁰

40⁰ 57⁰ a

a 2 -10

b 40 -

açı tümleri bütünleri

30⁰ 60⁰ 150⁰

40⁰ 50⁰ 140⁰

57⁰ 33⁰ 57⁰

a 90 -a 180 -a

a

2 -10 100 2- a 190 2- a b

40 - 50 +b 140 +b

Örnekler

1. İki tümler açıdan büyüğü küçüğünün 2 katı ise küçük açının ölçüsünü bulunuz.

2. Tümler iki açıdan birinin bütünleri 120 derece ise diğerinin ölçüsü kaçtır?

3. Bütünler iki açının oranı 5/13 ise küçük açını tümleri- nin ölçüsü kaçtır?

Çözüm

Aradığımız küçük açı a ise büyük olan 2a olur ve tümler olduklarından toplamları 90 derece olacaktır;

a+2a=90&a=30

Çözüm

Bütünleri 120 derece olan açı 60 derecedir dolayısı ile aranan açı 30 derece olacaktır.

Çözüm

Açıları 5k ve 13k alabiliriz ve toplamları 180 derece olduğundan;

ü

k k k k

k t mleri

5 13 18 180 10

5 50 130⁰

&

&

+ = = =

=

6. Ölçüleri toplamı 50 derece olan iki açının tümlerleri toplamı kaç derecedir?

7. Bütünleri kendisinin 8 katı olan açının tümleri kaç derecedir?

8. Bütünleri kendisinin 5 katı olan açının tümleri kaç derecedir?

9. Bütünleri tümlerinin 3 katının 20 fazlası olan açı kaç derecedir?

10. Bütünleri tümlerinin 2 katının 10 fazlası olan açı kaç derecedir?

Alıştırmalar: Tümler-

1. Ölçüleri farkı 10 derece olan iki tümler açının büyüğünün ölçüsü kaç derecedir?

2. Ölçüleri farkı 20 derece olan iki bütünler açının büyüğünün ölçüsü kaç derecedir?

3. Ölçüleri oranı 2/3 olan iki tümler açıdan küçük olanın bütünleri kaç derecedir?

4. Ölçüleri oranı 4/5 olan iki bütünler açıdan küçük olanın tümleri kaç derecedir?

5. Ölçüleri toplamı 60 derece olan iki açının tümlerleri toplamı kaç derecedir?

1) 50⁰ 2) 100⁰ 3) 144⁰ 4) 100⁰ 5) 120⁰ 6) 130⁰ 7) 70⁰ 8) 60⁰ 9) 55⁰ 10) 10⁰

Bütünler Açılar

Ters Açılar

Kesişen iki doğrudaki komşu olmayan açılar ters açılardır. Ters açıların ölçülerinin eşit olduğu apaçıktır.

Paralel Doğrular

Düzlemde çalıştığımız söylemiştik, buna dayanarak aşağıdaki tanımı yapabiliriz;

Birbirini kesmeyen iki farklı doğruya paralel doğrular denir. AB ve CD doğruları paralel ise AB//CD şekilinde gösterilir. Aşağıda paralel doğru çiftleri görüyoruz.

Sayılarla işaretlediğimiz açılardan 1 ile 3, 2 ile 4 numaralı açılar ters açılardır ve ölçüleri eşittir.

Ters açıların ölçüleri eşittir.

2 1

3 4

Örnek

x, y, z açılarının ölçülerini bulunuz.

Çözüm

y ile 60 derecelik açı ters açı olduğundan y 60= ⁰ dir.

x+60 180= ⁰&x=120⁰ , x ile z ters açı olduğundan z açısının ölçüsü de 120 derecedir.

60⁰ x

y z

Alıştırma

x, y, z açılarının ölçülerini bulunuz.

70⁰ x

y z

Benzer şekilde doğru parçaları ve ışınlarda paralel olur- lar. Parelel olmaları için gerek yeter şart içinde bulunduk- ları, yani belirttikleri doğruların paralel olmasıdır.

iki paralel doğru parçası

paralel doğru parçası ve ışın

Paralel Doğruların Bunları Kesen Bir Doğru ile Yaptığı Açılar

Şekilde gördüğümüz ve sayılarla işaretlediğimiz sekiz adet açının isimlerini ve eşit olanlarını belirtelim;

Yukarıdaki şekilde 1 ile 3, 2 ile 4, 5 ile 7 ve 6 ile 8 ters açılardır ve eşit ölçüdedirler.

1 ile 5, 2 ile 6, 4 ile 8 ve 3 ile 7 ye yöndeş açılar denir ve eşit ölçüdedirler.

1 ile 7, 2 ile 8 e dış ters açılar denir ve eşit ölçüdedirler.

3 ile 5, 4 ile 6 ya iç ters açılar denir ve eşit ölçüdedirler.

Dolayısı ile aslında aslında aşağıdaki şekildeki gibi iki farklı ölçüde açı vardır.

O halde bu şekildeki açılarda sadece birinin ölçüsünü bilsek hepsini bulabiliriz. Sağ üstteki açı 50 derece olsun.

Şimdi diğer açıların ölçülerini de yazalım;

2 1

3 4

5 8 6 7

a a

a a

b b b

b

50⁰

50⁰ 130⁰

130⁰ 130⁰

130⁰ 50⁰

50⁰ 50⁰

a a

a a

b b b

b

paralel doğrular ve bir kesenin belirttiği açılar

80⁰

x 3.

4.

Örnekler: Paralel Doğrular

1.

2.

2x 3x x

Çözüm Çözüm

a+20 2= a-40 (yöndeş) a=60⁰&b=120

Çözüm

Çözüm

x x

6 =180& =30⁰

a+20

2a-40 b

? b =

? x =

? a =

a+25 3= a-35 2& a=60&a=30 d1

d¹

d1

// ?

d d^{1 2}&x=

d² d2

d²

2x 3x x x

80⁰

x xx

x x

2 =80⁰& =40⁰

Ters Açı

a+25

3a-35

a+25

a+25 3a-35

//

d d1 2

//

d d^{1 2}

Alıştırmalar: Paralel Doğru

1.

2.

3.

4.

5.

6. 120⁰

2x2xx

1) 40⁰ 2) 20⁰ 3) 145⁰ 4) 65⁰ 5) 80⁰ 6) 24⁰

lar Ters Açı

a+30

2a-10 b

? b =

? x =

? x = d¹

d² //

d d^{1 2}

4x

3x 2x

70⁰

x

130⁰ x x 2y

? x = d¹

d²

//

d d1 2

? a = d¹

d² //

d d^{1 2} a+30

2a-50

Hazine: İçters açılar

İspat

Şekilde uygun uzatmaları yaparsak, doğrularda tanım- ladığımız iç ters açılar olduklarını görürüz.

örnekleri inceleyiniz

Hazine Kavrama

Verilen şekillerde x i bulunuz.

1. 50⁰

x

2. 120⁰

x

3.

240⁰ x

4.

70⁰

x a

a

a

a

60⁰

60⁰

x

x

d¹

d2

//

d d^{1 2} d1

d²

//

d d^{1 2}

x x

x

1) 50⁰ 2) 60⁰ 3) 120⁰ 4) 110⁰

Hazine: Karşılıklı açılar

İspat

Şekilde uygun uzatmaları yaparsak, bütünler açıları görürüz.

örnekleri inceleyiniz

Hazine Kavrama

Verilen şekillerde x i bulunuz.

1.

2. x

40⁰

3.

x-30

x

4. 40⁰

50⁰ x b

a

d1

d²

//

d d^{1 2}

a b 180+ = ⁰

a b 180+ = ⁰

x y 180+ = ⁰ b

a a

y

x

70⁰ 110⁰

180-a a

x

50⁰

1) 130⁰ 2) 140⁰ 3) 70⁰ 4) 90⁰

Hazine: M kuralı

İspat

Uygun çizim ile ifadenin doğruluğu net bir şekilde görülüyor.

örnekleri inceleyiniz

Hazine Kavrama

Verilen şekillerde x i bulunuz.

1.

2.

3.

4.

a b c= +

a b c= +

x y a b+ = +

1) 100⁰ 2) 70⁰ 3) 75⁰ 4) 20⁰ a

b

c

b

b

c c

a b

x y

40⁰

50⁰ 90⁰

40⁰

60⁰ x

40⁰

110⁰

x

100⁰

40⁰ 65⁰

x

130⁰ 95⁰

65⁰ x

Hazine: Paralel üçlü

İspat

a b c 360+ + = ⁰

,

a b b c

a b b c a b c

180 180

360 360

1 0

2 0

1 2

&

&

+ = + =

+ + + =

+ + =

a b c d 3 180+ + + = $ =540 a

b

c

a b1

b2

c

Yukarıda uygun çizim ile iki tane 180 derece oluştuğunu görüyoruz ve dolayısı ile tek bir çizim 2 tane 180 derece oluşturdu, aynı tip dörtlü açıda da iki çizim ile 3 tane 180 derece oluşacaktır.

Dolayısı ile bu kalıptaki şekilde açı sayısının 1 azı ile 180 derecenin çarpımı bize açıların toplam ölçüsünü veriyor yani açı sayısı n ise istenen toplam;

_^n 1 180- _h$ olacaktır.

a

d b1

b2

c1

c2

a

d b

c

örnekleri inceleyiniz

a

e d b

c

a b c d e+ + + + =^5 1 180 720- h$ =

x x

110 120 360

130⁰

&

+ + =

=

x x

2 420 4 180 720 150⁰

&

+ = $ =

= 110⁰

120⁰ x

140⁰ 140⁰ 140⁰

x x

Hazine Kavrama

Verilen şekillerde x i bulunuz.

1.

2.

3.

4.

1) 100⁰ 2) 105⁰ 3) 120⁰ 4) 140⁰ 5) 105⁰ 6) 135⁰ 7) 107,5⁰ 8) 40⁰ 140⁰

120⁰ x

150⁰

x

x

150⁰

150⁰ x

x

120⁰ x x

x

5.

6.

7.

8.

45⁰

120⁰ x

160⁰ 140⁰

30⁰

x x

20⁰ 15⁰

x

x

100⁰ 140⁰

40⁰ x

Ölçüsü 360 derece olan açıya tam açı denir.

360⁰

Bir Daha Bakalım

doğru parçası açı ortay

dar açı

dik açı

doğru açı

geniş açı

tümler açılar

doğru

ışın

düzlem

tam açı

doğru açı

dik açı

X Y 6 @XY

uzunluğu; XY

X Y d

XY

X Y

6XY

E

Ölçüsü 180 derece olan açıya doğru açı denir.

180⁰

Ölçüsü 90 derece olan açıya dik açı denir.

A

B C

m ABC^%h=90⁰

A

B C

A

B C

D

x x 90< ⁰

x 90= ⁰ x

x 180= ⁰

A B C

x

x

x 0⁰< <180⁰

x y 90+ = ⁰

bütünler açılar

x y 180+ = ⁰

a a

a a

b b b

b

paralel doğrular ve bir kesenin belirttiği açılar

a

a d1

d²

//

d d^{1 2}

b

a

d¹

d²

//

d d1 2

a b 180+ = ⁰

a b c= + a

b

c

a b

c a b c 360+ + = ⁰

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

4.

5.

6.

A B

D C

30⁰ 70⁰

1) 90⁰ 2) 90⁰ 3) 150⁰ 4) 65⁰ 5) 80⁰ 6) 24⁰

?

m DBE =^%h m DBG =^%h ?

? m DBE =^%h

? m EBC =^%h

A B C

D E

A B C

D E

60⁰

A B C

F G

E D

20⁰

A B C

F G

E D

A B

C D

20⁰30⁰

ABD% ve DBC% açılarının açıortaylarının aralarındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

ABD% ve DBC% açılarının açıortaylarının aralarındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

Alıştırmalar: Karma

1. x

y z

2.

3.

A B

C

F D E

4.

x

5.

220⁰ x

6. 5x

2x 2x

1) 140⁰ 2) 80⁰ 3) 90⁰ 4) 90⁰ 5) 25⁰ 6) 20⁰

? x =

? x =

? x =

? x y z

220⁰ + =

=

? x z y

100⁰ + =

=

? m DFB =^%h x y

z

x+20

3x-30

Alıştırmalar: Karma

1.

2. x+20

2x-70

3.

45⁰

50⁰ x

4. 45⁰

85⁰

x

5. 100⁰

80⁰ 65⁰

x

6.

70⁰ 55⁰

0

x x+30

1) 25⁰ 2) 90⁰ 3) 95⁰ 4) 40⁰ 5) 45⁰ 6) 47,5⁰

? x =

? x =

? x =

? x =

? x =

Alıştırmalar: Tümler

1. 30⁰ lik açının tümleri kaç derecedir?

2. 40⁰ lik açının tümleri kaç derecedir?

3. Ölçüsü 2x derece olan açının tümlerinin ölçüsü nasıl ifade edilir?

4. Ölçüsü 40-x derece olan açının tümlerinin ölçüsü nasıl ifade edilir?

5. Ölçüsü x derece olan açının bütünlerinin ölçüsü nasıl ifade edilir?

6. Ölçüsü x-100 derece olan açının bütünlerinin ölçüsü nasıl ifade edilir?

7. Ölçüsü 35⁰ olan açının bütünlerinin ölçüsü nedir?

8. 10⁰ lik açının bütünleri kaç derecedir?

9. 40⁰ lik açının bütünleri kaç derecedir?

10. Ölçüleri farkı 30 derece olan iki tümler açının küçüğü kaç derecedir?

11. Ölçüleri farkı 35 derece olan iki tümler açının büyüğü kaç derecedir?

12. Ölçüleri farkı 110 derece olan iki bütünler açının küçüğü kaç derecedir?

13. Ölçüleri farkı 90 derece olan iki bütünler açının büyüğü kaç derecedir?

14. Ölçüleri oranı 3/2 olan iki tümler açının küçüğünün bütünleri kaç derecedir?

1) 60⁰ 2) 50⁰ 3) 90-2x 4) 50+x 5) 180-x 6) 280+x 7) 145⁰ 8) 170⁰ 9) 140⁰ 10) 30⁰ 11) 27,5⁰ 12) 35⁰ 13) 45⁰ 14) 144⁰

-Bütünler Açılar

Alıştırmalar: Tümler

1. Ölçüleri oranı 5/13 olan iki tümler açının büyüğünün bütünleri kaç derecedir?

2. Ölçüleri oranı 7/11 olan iki bütünler açının küçüğünün tümleri kaç derecedir?

3. Ölçüleri toplamı 60⁰ olan iki açının tümlerleri toplamı kaç derecedir?

4. Ölçüleri toplamı 70⁰ olan iki açının tümlerleri toplamı kaç derecedir?

5. Ölçüleri toplamı 100⁰ olan iki açının bütünlerleri toplamı kaç derecedir?

6. Ölçüleri toplamı a dereceolan iki açının tümlerleri toplamı kaç derecedir?

7. Ölçüleri toplamı a dereceolan iki açının bütünlerleri toplamı kaç derecedir?

8. Ölçüleri oranı 2/7 olan tümler iki açının bütünlerlerinin ölçüleri oranı kaçtır?

9. Ölçüleri oranı 3/2 olan tümler iki açının bütünlerlerinin ölçüleri oranı kaçtır?

10. Bütünleyeninin ile tümlerinin ölçüleri toplamı 170 derece olan açının ölçüsünü bulunuz.

1) 115⁰ 2) 110⁰ 3) 120 4) 110 5) 260 6) 100⁰-a 7) 360⁰-a 8) 16/11 9) 7/810) 50⁰

-Bütünler Açılar

Çözüm

Açılarımızdan biri x ise diğeri a-x olacaktır tümlerlerini alır toplarsak; 90- +x 90-^a x- h=180-a

dolayısı ile örneğin toplamları 30 derece ise tümlerleri toplamı 150 derece olur.

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1) 85⁰ 2) 100⁰ 3) 50⁰ 4) 50⁰ 5) 50⁰ 6) 40⁰

? x =

? a =

? x =

? x =

? x = 135⁰

140⁰ x

50⁰

130⁰ x

50⁰ x

130⁰

x

2a-30 a+60

3a

a+20

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1) 100⁰ 2) 155⁰ 3) 7/8 4) 40⁰ 5) 100⁰ 6) 40⁰

? x =

y ? x =

? x =

? x =

? x =

? x = 140⁰

x

130⁰

x

120⁰

x y

110⁰

110⁰ x

50⁰ 130⁰

x

80⁰

140⁰ x

140⁰ x

60⁰

30⁰ 140⁰

x

50⁰ 150⁰

120⁰ x 80⁰

150⁰

x

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1) 100⁰ 2) 155⁰ 3) 7/8 4) 50⁰ 5) 50⁰ 6) 40⁰

?

? x = x =

? x =

? x =

? y xy x- =- =? 70⁰

140⁰ x

50⁰ 150⁰

120⁰ x

y

4.

5.

6.

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

1) 60⁰ 2) 45⁰ 3) x=2y 4) 32⁰ 5) 1 6) 90⁰

z ? 10x y$

=

? x =

?

x = y zx ?

+ =

30⁰ x

x

y x

x açısının ölçüsünü y cinsinden bulunuz.

y x 120⁰

x y z

x

60⁰

100⁰ 40⁰

? x =

4.

5.

6.

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

1) 40⁰ 2) 65⁰ 3) 60⁰ 4) 60⁰ 5) 130⁰ 6) 10⁰

? x y- =

? x =

? x =

? x =

? x =

? y x- = x

y

110⁰

80⁰ 70⁰

x

50⁰

60⁰

x

30⁰ 45⁰

50⁰

25⁰

x

140⁰

x

150⁰

300⁰

340⁰ x

y

4.

5.

6.

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

1) 60⁰ 2) 60⁰ 3) 90⁰ 4) 20⁰ 5) 15⁰ 6) 130⁰

? x =

? x =

? x =

? x =

? x = x y ?

2-

= 20⁰

30⁰

70⁰ x 2x

x

45⁰ x

x 80⁰

x

y 60⁰

x

40⁰

4.

5.

6.

Alıştırmalar: Karma

1.

2.

3.

1) 10⁰ 2) 20⁰ 3) 10⁰ 4) 110⁰ 5) 50⁰ 6) 40⁰

?

x = x =?

?

x = x =?

?

x = x y- =?

x

60⁰ 60⁰

50⁰

2x+10

4x-30 100⁰

10x+10

6x-10 60⁰

x 30⁰

80⁰

20⁰

70⁰

x

30⁰ 100⁰ 80⁰

25⁰

75⁰

60⁰

x x

x y