ELİPS. Merkezi O noktası olan elipse merkezil elips denir. Elipsin eksenleri kestiği A,A',B ve B' noktalarına elipsin köşeleri denir.

(1)

ELİPS

Merkezil elips

A(a,0) A(a,0)

A '( a,0)- A '( a,0)-

B(0,b)

B'(0, b)-

B'(0, b)- F(c,0)

F(c,0)

F'( c,0)-

O O

P P

Şekil I Şekil II

Merkezi O noktası olan elipse merkezil elips denir.

Elipsin eksenleri kestiği A,A',B ve B' noktalarına elipsin köşeleri denir.

F ve F' noktalarına elipsin odakları denir.

Odaklar arası uzaklık |FF'| 2

®

® =

2 2

c dir.

odaklar arası uzaklık

e değerine elipsin dış merkezliği denir.

asal eksen uzunluğu

Köşeleri A(a,0), A'(-a,0), B(0,b) ve B'(0,-b) olan merkezil elipsin denklemi:

x y

a b 1 dir.

Odakların bulunduğu

® =

®

+ =

® eksene asal eksen, diğer eksene de yedek

eksen denir.

2 2 2

Asal eksen uzunluğu: |AA'|=2a

Yedek eksen uzunluğu: |BB'|=2b dir.

Odakları x ekseninde olan elips için a b dir.

a b c

Dış merkezliği e c

a

Elips üzerindeki herhangi bir P noktası için

| PF | | PF' | 2a

®

® >

= +

®

=

®

+ =

2 2 2

Asal eksen uzunluğu: |BB'|=2b

Yedek eksen uzunluğu: |AA'|=2a dir.

Odakları y ekseninde olan elips için b a dir.

b a c

Dış merkezliği e c

b

Elips üzerindeki herhangi bir P noktası için

| PF | | PF' | 2b

®

® >

= +

®

=

®

+ =

(2)

SORULAR 1.

3.

4.

5.

2.

Odakları x ekseninde olan, asal eksen uzunluğu 20 br ve yedek eksen uzunluğu 16 br olan elipsin

a) odakları arasındaki uzaklığı

b) dış merkezliği

c) denklemi

d) grafiği

Odakları y ekseninde olan, asal eksen uzunluğu 26 br ve odakları arasındaki uzaklığı 10 br olan elipsin

a) yedek eksen uzunluğu

c) denklemi

d) grafiği

2 2

Denklemi

x y

20 16 1 olan elipsin

c) grafiği

+ =

2 2

Denklemi

x y

25 34 1 olan elipsin

c) grafiği

+ =

Dış merkezliği 2 ve odakları arasındaki uzaklığı 8 br olan 3

merkezil elipsin odakları y ekseninde olduğuna göre denklemini bulunuz.

(3)

6.

7.

8.

9.

10.

11.

2 2

k 0 olmak üzere,

x y

P(2,k) noktası 1 elipsi üzerinde olduğuna göre k kaçtır?

32 8

>

+ =

A(5,0) A '

B

B'

F

F' O

P

R 1

2

Şekildeki merkezil elipste A(5,0) dır.

| PF' | 1 br, | RF | 2 br olduğuna göre

| PF | | RF' | toplamı kaç br dir?

= =

+

2 2

x +2y =1 elipsinin dış merkeziliğini bulunuz.

Düzlemde F(2,0) ve F'(-2,0) noktalarına olan uzaklıkları toplamı 10 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.

Düzlemde F(0,-3) ve F'(0,3) noktalarına olan uzaklıkları toplamı 14 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.

2 2 2

x y x y

1 ve 1

16 9 9 16

elipslerinin kesiştikleri noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanını bulunuz.

+ = + 2 =

(4)

Doğrultman Doğruları

A(a,0)

B(0,b) A '( a,0)-

- B'(0, b)

F(c,0) P1

P1

H1

H2

P2

F(c,0) F'( c,0)-

F'( c,0)- O

O

a2

x= c

b2

y= c a2

x= - c

b2

y= - c

2 2

Şekildeki gibi odakları x ekseninde olan elips için doğrultman doğrularının denklemleri

ve dir.

Elips üzerindeki herhangi bir P noktasının kensine en yakın odağa olan uzaklığının yine kend

a a

x x

c c

= = -

1 2

1 1 2 2

isine en yakın olan doğrultman doğrusuna olan uzaklığına oranı elipsin dış merkezliğine eşittir.

| | | ' |

| | | |

PF P F PH = P H =e

2 2

Şekildeki gibi odakları y ekseninde olan elips için doğrultman doğrularının denklemleri

ve dir.

Elips üzerindeki herhangi bir P noktasının kensine en yakın odağa olan uzaklığının yine kend

b b

y y

c c

= = -

1 2

1 1 2 2

isine en yakın olan doğrultman doğrusuna olan uzaklığına oranı elipsin dış merkezliğine eşittir.

| | | ' |

| | | |

PF P F PH = P H =e

Sorular 1.

2.

3.

4.

Düzlemde (2, 0) noktasına olan uzaklığının 8 doğrusuna olan uzaklığına oranı 1 olan noktaların geometrik yer denklemini

2 bulunuz.

F x =

Düzlemde (0, 3) noktasına olan uzaklığının 25 doğrusuna olan 3

uzaklığına oranı 3 olan noktaların geometrik yer denklemini 5

bulunuz.

F - y= -

2 2

Denklemi

16 9 1

olan elipsin doğrultman doğrularının denklemlerini bulunuz.

x +y =

2 2

Denklemi

12 16 1

olan elipsin doğrultman doğrularının denklemlerini bulunuz.

x +y =

(5)

Doğrultman Çemberleri

F' O F

Merkezi elipsin odakları ve yarıçap uzunluğu elipsin asal eksen uzunluğuna eşit olan çemberlere elipsin doğrultman çemberleri denir.

(

^{x c}^-

)

²⁺^y²⁼⁴^a²

(

^{x c}⁺

)

²⁺^y²⁼⁴^a²

( )

2 2 2

Not:

Odakları y eksenin olan elips için bu denklemler:

4 4 dir.

x y c b

+ - =

+ + =

Sorular 1.

2.

2 2

12 8 1

elipsinin doğrultman çemberlerinin denklemlerini bulunuz.

x +y =

2 2

20 29 1

elipsinin doğrultman çemberlerinin denklemlerini bulunuz.

x +y =

Asal ve yedek Çemberler

O

Elips ile merkezi aynı ve çap uzunluğu elipsin asal ekseni kadar olan

çembere elipsin denir.

Elips ile merkezi aynı ve çap uzunluğu elipsin yedek ekseni kadar olan çembere elipsin

asal çemberi

yedek çemberidenir.

2 2 2

Odakları x ekseninde olan merkezil elip için, asal çember denklemi:

yedek çember denklemi:

x y a

x y b

+ =

2 2 2

Odakları x ekseninde olan merkezil elip için, asal çember denklemi:

yedek çember denklemi:

x y b

x y a

+ =

Sorular 1.

2 2

2

Denklemi 144 25 1

olan elipsin asal çemberi ile yedek çemberi arasında kalan bölgenin alanı kaç br dir?

x +y =

(6)

2.

3.

2 2

Denklemi 36 49 1

olan elipsin asal ve yedek çemberlerinin denklemlerini bulunuz.

x +y =

Şekildeki merkezil elipsin alanı, asal çemberi ile elips arasında kalan taralı alana eşit olduğuna göre, elipsin dış merkezliği kaçtır?

Teğet ve Normal Denklemleri

O

0 0

( , ) P x y

teğet normal

( )

2 2

0 0

2 2

0 0

2 2

2 0

0 2 0

0

1 elipsine üzerindeki bir ( , ) noktasından çizilen

. .

teğet doğrusunun denklemi 1

normal doğrusunun denklemi x y

P x y a b

x x y y

a b

y y a y x x b x

+ =

- = -

Sorular 1.

1.

2.

2 2

4 9 72 elipsinin ( 3, 2) noktasındaki teğet ve normal doğrularının denklemlerini bulunuz.

x + y = -

2 2

1 elipsine üzerindeki ( 3,1) noktasından çizilen teğetin 12 4

eğimini bulunuz.

x y

+ = P-

(7)

3. 9 ² ² 36 elipsine üzerindeki ( ,1) noktasından çizilen teğetin denklemi 3 12 0 olduğuna göre değerini bulunuz.

x by P k

x y b k

+ =

+ - = -

Bir doğru ile bir elipsin birbirine göre durumu

2 2

2 2 2 2

Denklemi 1 olan elips ile denklemi olan doğru için

0 ise elips ve doğru birbirine teğettir.

0 ise doğru elipsi iki farklı noktada keser.

0 ise elips ve x y

y mx n a b

m a b n m a b n m a b n

+ = = +

® + - =

® + - >

® + - < doğru kesişmez.

Sorular 1.

2.

2 2

1 elipsinin 2 4 doğrusuna paralel olan teğetlerini bulunuz.

16 36 x y

y x

+ = = -

2 2

9 16 144 elipsinin 2 3 doğrusuna dik olan teğetlerinin denklemlerini bulunuz.

x + y = y= x-

3.

4.

2 2

1 elipsi ile 2 0 doğrusu birbirine teğet oldu- 20 10

ğuna göre kaç olabilir?

x y

x y k k

+ = - + =

2 2

3 4 12 elipsine dışındaki (2,3) noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini bulunuz.

x + y = P

(8)

Monge(Monj) Çemberi

Değme Kirişi

Elipsin Parametresi

O

2 2 2 2

Elipsin birbirine dik olan teğetlerinin dik kesiştikleri noktaların geometrik yer denklemi bir çember belirtir. Bu çembere Monge (monj) çemberi denir.

Denklemi x +y =a +b dir.

O

değme kirişi Monj Çemberi

0 0

( , ) P x y

A

B

0 0

2 2

Merkezil elipse dışındaki bir ( , ) noktasından çizilen teğetlerin elipse değdiği noktalar A ve B olsun. AB doğrusuna değme kirişi denir.

Denklemi

. .

: 1

P x y

x x y y AB a + b =

O

F

F'

A

A'

B'

B

2

Elipsin odaklarından geçen en kısa (asal eksene dik) kirişlerinin uzunluğuna elipsin parametresi denir.

Bu kirişlerin uzunlukları odakları x ekseninde olan elipsi için

| | 2

odakları y ekseninde ola p KL b

= = a

2

n elips için ise

| | 2a p KL

= = b

Elipsin parametrik denklemi

Elipsin alanı

Elipsin köşegenleri ve eşlenikleri

2 2

θ olmak üzere, 1 elipsinin parametrik denklemi .cosθ

.sinθ dır.

x y

R a b

x a y b

Î + =

=

2 2

2 2 2 1 elipsinin alanı π.a.b br dir.

x y a +b =

O

1

Elipsin merkezinden geçen kiriş doğrularına elipsin köşegenleri denir.

Merkezil elipste doğruları köşegendir.

köşegenine paralel olan kirişlerin orta noktalarının geometrik yeri de bir köşegen

y mx y m x

=

1

2 2

1 2 2

olur.

Bu köşegene köşegeninin eşleniği denir.

Eğer bu köşegenin denklemi ise;

. eşitliği vardır.

y m x

y m x m m b

a

=

= -

y=m x1

y=m x2

2

( ,b ) K c a

2

( , b ) L c-a

2

(a , )

K c

b

2

( a , )

L c

-b

(9)

2.

1.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2 2

4 9 36 elipsine dışındaki (2, 4) noktasından çizilen teğetleri elipse A ve B noktalarında teğettir. Buna göre AB doğrusunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?

x + y = P -

2 2

25 4 100 elipsinin bir odağından geçen en kısa kirişinin uzunluğu kaç br dir?

x + y =

2 2

2 3 12 elipsinin bir odağından geçen en kısa kirişinin uzunluğu kaç br dir?

x + y =

olmak üzere, parametrik denklemi 5.cos

3.sin

olan elipsin standart denklemini bulunuz.

R

x y a Î

= a

2 2

3 9 elipsinin dik kesişen teğetlerinin dik kesim noktalarının geometrik yer denklemi nedir?

x +y =

2 2

2

10 20 1

elipsinin asal çemberi ile kendisi arasında kalan bölgenin alanı kaç br dir?

x +y =

2 2

8 6 24

elipsinin 2 doğrusuna paralel olan kirişlerinin orta noktalarının geometrik yer denklemi nedir?

x y

y x

+ =

=

2 2

4 7 28

elipsinin parametrik denklemini bulunuz.

x + y =

(10)

Elipsin Ötelenmesi

O

( , ) M a b

A F

F1

F'

'1

F A1

A'

'1

A

B'

'1

B B

B1

2 2

1 1

1

Denklemi 1 ve odakları F ve F' olan merkezil elips, ( , ) vektörü ile ötelenerek M( , ) merkezli ötelenmiş elips elde edilir.

Bu elipste

( , ) ( , )

'( , ) ( , )

x y a b OM

A a B b

F

+ = = a b a b

a + b a b +

a - b a b -

uuuur

( ) ( )

1

2 2

( , ) '( , )

olur.

Denklemi

1 dir.

c F c

x y

a b

a + b a - b

- a + -b =

Sorular 1.

2.

(

²

) (

² ¹

)

² ₁

25 16

elipsinin merkezini, köşelerini ve odaklarını bulunuz.

x- y+

+ =

(

³

) (

² ¹

)

² ₁

25 169

elipsinin merkezini, köşelerini ve odaklarını bulunuz.

x+ + y- =

3.

4.

(2, 0) ve '(6, 0) noktalarına uzaklıkları toplamı 20 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.

F F

(2, 1) ve '(2, 7) noktalarına uzaklıkları toplamı 10 br olan noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.

F - F

(11)

Karışık Sorular

1. 5.

2. 6.

3.

4.

2 2

2x +3y - -8x 6y+ =5 0 elipsinin merkezini bulunuz.

2 2

1 elipsinin 2 10 0 doğrusuna en yakın noktasının

8 2

koordinatları toplamı kaçtır?

x y

+ = + - =

2 2

Denklemi 9 8 72 olan elipsin üzerindeki noktalardan asal eksenine indirilen dik doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.

x + y =

A

B P Yandaki AB doğru parçasının

A ucu y ekseninde, B ucu ise x ekseninde hareketlidir.

AB= BP= AP

y

x

Düzlemde verilen (3, 0) ve ( 3, 0) noktaları için ve

doğrularının eğimleri çarpımını 2 yapan P noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.

A B- PA PB

-

O A

A'

B

P B'

F F'

2 2

Şekildeki elipsin denklemi 1 olduğuna göre ' üçge- 36 20

ninin çevresi kaç br dir?

x y + = PFF