 yxivyxuzfw ),(),(  yxivyxuzfw ),(),( C zf 

(1)

0. ÖN BİLGİLER

0.1. Analitik Fonksiyonlar

Tanım 0.1.1. D kompleks düzlemde bir bölge ve f , D üzerinde tanımlı kompleks değerli bir fonksiyon olsun. Eğer bir z₀ D için

 

0 0 0 lim z z z f z f z z   

limiti varsa bu durumda f ye z da diferensiyellenebilirdir denir. Bu limite ₀ f nin z daki ₀ türevi denir ve f 

 

z₀ ile gösterilir.

Tanım 0.1.2. D kompleks düzlemde bir bölge ve f , D üzerinde tanımlı kompleks değerli bir fonksiyon olsun. Eğer bir z₀ D için f 

 

z₀ mevcut ve z ın bir komşuluğundaki her ₀ noktada f 

 

z türevi varsa bu durumda f ye z da analitiktir denir. Eğer ₀ f D nin her noktasında analitik ise veya eşdeğer olarak f D nin her noktasında diferensiyellenebilir ise bu durumda f ye D de analitik denir

Tanım 0.1.3. D kompleks düzlemde bir bölge ve f , D üzerinde tanımlı kompleks değerli bir fonksiyon olsun. Eğer bir z₀D için f , z da analitik değil fakat ₀ z ın her komşuluğundaki ₀ en az bir noktada analitik ise bu durumda z a ₀ f nin bir singüler noktası denir. Eğer f , bir

0

z singüler noktasının bir komşuluğunda bulunan her noktada analitik ise z a ayrık singüler ₀ nokta adı verilir.

Tanım 0.1.4. C kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.

Teorem 0.1.5. Eğer w f

 

z u(x,y)iv(x,y) fonksiyonu bir D bölgesinde analitik ise bu durumda reel değerli u ve v fonksiyonları Dbölgesinde harmoniktir. Yani, u ve v nin D de sürekli birinci ve ikinci mertebeden kısmi türevleri vardır ve burada ikinci kısmi türevler için

0 , 0     yy xx yy xx u v v u

Laplace denklemi sağlanır.

Teorem 0.1.6. Eğer D kompleks düzlemde basit bağlantılı bir bölge ve u( yx, ) D de harmonik

(2)

0.2. Konform Dönüşümler

Tanım 0.2.1. w f

 

z , z noktasının bir komşuluğunda tanımlı bir dönüşüm olsun. Eğer ₀ f , 0

z dan geçen yönlendirilmiş eğriler arasındaki açıları yön ve büyüklük bakımından koruyorsa bu durumda w f

 

z dönüşümüne z da konformdur denir. ₀

Teorem 0.2.2. w f

 

z , z noktasının bir komşuluğunda tanımlı bir dönüşüm olsun. Eğer ₀ 0

) (z₀ 

f ise bu durumda f , z da konformdur. ₀

Örnek 0.2.3.

 

Z

e z

f  dönüşümü kompleks düzlemin tamamında konformdur. Çözüm. zC için 

 

 Z 0

e z

f olduğu açıktır. Çünkü eZ ex cosyiex siny0 olması durumunda aynı anda cosysiny 0 olması gerekir ki bu mümkün değildir.

Dolayısıyla f kompleks düzlemin tamamında konformdur. Örneğin birbirini dik kesen b

y ve a

x  doğrularının görüntüleri de dik kesişirler:

 

x y







e y



e e e e iy x z x i iy x iy x eZ , , , .              

olduğundan  ex,   y den xa  ea , yb b (yani, orijin merkezli ea yarıçaplı çember ve orijinden çıkan pozitif reel eksen ile b açısı yapan ışın) elde edilir. a

e 



ve  b arasındaki açı diktir, çünkü merkezden çıkan bir ışın ile çemberi kestiği noktadaki teğet doğrusu birbirine dik olur.

Örnek 0.2.4. w f(z)sinz dönüşümü  x , yR

2 2

 

düşey şeridini bire-bir ve konform olarak u1, v0 ve u v1, 0 ışınları boyunca kesilmiş w-düzlemi üzerine dönüştürür.

Çözüm. uivsinzsinxcosh yicosxsinh y denkleminden

y x v y x u sinh cos cosh sin   dir. Buradan  a , yR 2 2  

olmak üzere x doğrularının görüntüleri odakları a (1,0)

olan 1 cos sin 2 2 2 2   a v a u

hiperbolleridir. x doğrusunun görüntüsü a pozitif iken hiperbolün a sağ dalı ve a negatif iken hiperbolün sol dalıdır. x0 doğrusunun görüntüsü v-eksenidir (Benzer düşünceyle  x , yb

2 2

 

yatay doğru parçaları odakları (1,0) olan

1 sinh cosh 2 2 2 2   b v b u

(3)

iken elipsin üst yarısı ve b negatif iken elipsin alt yarısıdır). Verilen şerit üzerinde 0 cos ) (    z z f olduğundan dönüşüm konformdur.

Örnek 0.2.5. Ters sinüs fonksiyonunun esas değeri olan w f(z) Arcsinz fonksiyonu: v u i v u w iy

x sin sin cosh  cos sinh den 1

cos sin 2 2 2 2   u y u x

dir. Eğer u sabit kabul edilirse bu denklem xy-düzleminde odakları (1,0) olan hiperbol gösterir. Odaklara olan uzaklıklar farkı 2sinudur. Dolayısıyla hiperbol üzerinde bulunan bir ( yx, ) noktası için

2 2 2 2 ₍ ₁₎ ) 1 ( sin 2 u x y  x y

denklemi sağlanır. Buradan

        _ _ _ _ _  2 ) 1 ( ) 1 ( sin ) , ( 2 2 2 2 y x y x Arc y x u

elde edilir. Bu denklemde kullanılan fonksiyon için

2 sin 2   _ _  Arc t eşitsizliği

sağlanmaktadır. Benzer düşünceyle 1

sinh cosh 2 2 2 2   v y v x

denkleminde v sabit kabul edildiğinde odakları (1,0) ve büyük eksen uzunluğu 2coshv olan elips elde edilir. Dolayısıyla elips üzerinde bulunan bir ( yx, ) noktası için

2 2 2 2 ₍ ₁₎ ) 1 ( cosh 2 v x y  x y

denklemi sağlanır. Buradan

        _ _ _ _ _  2 ) 1 ( ) 1 ( cosh ) (sgn ) , ( 2 2 2 2 y x y x Arc y y x v elde edilir.

Örnek 0.2.4. de z ve w nin rollerini değiştirdiğimizde görürüz ki wArcsinz fonksiyonu 0

,

1 



 y

x ve x1, y0 ışınları boyunca kesilmiş z-düzlemini bire-bir ve konform olarak R v u    , 2 2  

düşey şeridi üzerine dönüştürür. Ayrıca, wArcsinz dönüşümü altında 0

Imz üst yarı-düzleminin , 0

2

2   

 u  v yarı sonsuz şeridine ve Imz0 alt

yarı-düzleminin , 0

2

2   

 u  v yarı sonsuz şeridine dönüştüğü kolayca görülebilir.

Örnek 0.2.6. wlogzln z iargz fonksiyonu r  ve a r  çemberleri arasındaki halka b bölgeyi w -düzlemindeki lnaulnb sonsuz şeridi üzerine dönüştürür.

(4)

 



  





  , ln , , ln log r v u r i r iv u re z i z           

olduğundan ar blnaulnb, vR sonsuz düşey şeridi elde edilir.

Tanım 0.2.7. D₁ ve D₂ kompleks düzlemde iki bölge olsun. Eğer bir f :D₁ D₂ birebir ve üzerine konform dönüşümü varsa bu durumda D₁ ve D₂ ye konform eşdeğerdir denir.

Teorem 0.2.8. (Riemann Dönüşüm Teoremi) Eğer G

 

C kompleks düzlemin basit bağlantılı bir alt bölgesi ise bu durumda G , D birim dairesine konform eşdeğerdir.

Tanım 0.2.9. a,b,c,dkompleks sabitler ve ad bcolmak üzere

 

d cz b az z S   

biçimindeki bir dönüşüme kesirli lineer dönüşüm veya Mobiüs dönüşümü denir. Bir kesirli lineer dönüşüm, çemberler ve doğruları yine çemberler ve doğrulara dönüştürür.

Teorem 0.2.10. Bir

 

d cz b az z S    kesirli lineer dönüşümü        c d C den        c a C üzerine bir birebir ve konform dönüşümdür. Örnek 0.2.11. z z i w    1 ) 1 (

kesirli lineer dönüşümü z 1 birim diskini Imw0 üst yarı-düzlemine dönüştüren bir bire-bir konform dönüşümdür.

Çözüm. Gerçekten, 0 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 (                         w i w i u i v u i v v i w i w z z z i w

Yani, Imw0 elde edilir. Verilen bölgede w z

 

0 olduğundan dönüşüm konformdur. Ayrıca, 2 2 2 2 2 2 ₍ ₁₎ 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( y x y x i y x y z z i iv u w              (0.2) iy x v u u i v u v u i w i w z                ₂ 2 2 ₂ ₂ ₂ ) 1 ( 2 ) 1 ( 1

denirse bu durumda (0.2) denklemine göre _0,1_ 2 _ 2 _0 y x

y üst yarım çemberi üzerinde