Plaklar ve Kabuklar. Şekil değiştirme- Eğrilik İlişkileri

Plaklar ve Kabuklar

Plaklar ve kabukları, yassı ve kavisli yapısal elemanlardır. Öncelikle, kalınlığı t'nin yüzlere paralel bir düzlemle eşit yarıya bölündüğü plakaları göz önünde bulunduruyoruz. Bu düzlem plakanın orta yüzeyi olarak adlandırılır. Plaka kalınlığı, dikkate alınan her noktada orta yüzeye normal bir yönde ölçülür. Genellikle, teknik öneme sahip plakalar, kalınlığın uzunluğuna oranı 1/20'den az olduğunda ince olarak tanımlanır.

Homojen, düzgün ince plakalar

Deformasyondan önce, xy düzleminin orta yüzeyle çakıştığı ve dolayısıyla z sapmasının sıfır olduğu bir levhayı göz önüne alalım.

Şekil 1.1. Bükülmede plakanın deformasyonu

Diş yükleme nedeniyle, deformasyon meydana geldiğinde, herhangi bir noktadaki orta yüzey

x

A,

y

A, bir sapma w ile karşı karşıya kalır. Gösterilen koordinat sistemine bakıldığında, izotropik, homojen, ince plakalar için küçük sapma teorisinin temel varsayımları aşağıdaki gibi

özetlenebilir:

1. Orta yüzeyin sapması, plakanın kalınlığına kıyasla küçüktür. Saptırılmış yüzeyin eğimi birden çok daha az.

2. Başlangıçta orta yüzeye normal olan düz çizgiler düz kalır. Bu yüzden,

γ

xz ve

γ

yz dikey kesme gerinim ihmal edilebilir. Dikey yüklemeden dolayı normal

ε

z de ihmal edilebilir.

3. Bükülme sonucu hiçbir orta yüzey gerilme veya düzlem içi gerilme, uzama veya büzülme meydana gelmez.

4. Orta yüzeye normal gerilme bileşeni

σ

zihmal edilebilir.

Şekil değiştirme- Eğrilik İlişkileri

Öncelikle üç boyutlu şekil değiştirme formülü bu hale getirelim:

1

(1.1)

ε

z

= ∂w/∂z = 0

entegrasyon yaparsak

olur Benzer şekilde

γ

xz ve

γ

yz entegrasyon yaparsak

(1.2) elde ederiz.

Açıktır ki

f

2(x, y) ve

f

3(x, y), sırasıyla, z = 0'a (orta-yüzey) karşılık gelen u ve v değerlerini temsil eder. Varsayım 3’e göre, bu tür düzlem içi gerilmeyi önlediğinden, f2 = f3 =

0 ve bu nedenle

(1.3)

∂w/∂x

ve

∂w/∂y

orta yüzeyin eğimidir.

Yukardaki denklemleri bir araya getirirsek,

(1.4) Bu formül herhangi bir noktada şekil değiştirmeyi sağlar.

Küçük sapma teorisinde bir eğimin karesi ihmal edilebilir, bu yüzden denklem (1.4) plakanın eğriliklerini kısmi türevleri temsil eder. Bu nedenle, orta yüzeydeki

xz

(Şekil 1.1b),

yz

ve

xy

düzlemlerine paralel düzlemlerdeki eğrilikler sırasıyla,

(1.5)

2

Gerilme, Eğrilik ve Moment İlişkileri

İnce bir plaka için Hooke kanunu göre

σ

x

, σy

ve

τ

xy =

τ

yx'in gerilme bileşenlerin şekil değiştirme ile ilişkisi şöyle ifade edilebilir:

(1.6)

Bu ifadeler, gerilmelerin ortadaki yüzeyde kaybolduğunu ve plakanın kalınlığı boyunca doğrusal olarak değiştiğini açıkça göstermektedir.

Plakanın yan yüzeyleri üzerinde dağılmış olan gerilimler, net kuvvet üretmezken, eğilme ve bükülme momentleriyle sonuçlanır. Birim uzunluk başına bu moment sonuçlarının Mx, My ve Mxy olarak belirtilir.

Şekil. 1.2 (a) Saf bükülmede plaka segmenti; (b) bir plakanın alt yarısındaki bir eleman üzerindeki pozitif gerilimler.

My ve Mxy = Myx içeren ifadeler benzer şekilde türetilmiştir. Bükülme ve eğilme momentleri birim uzunluk başına şu şekilde gösterilebilir:

(1.7)

3

(1.6) denklemdeki gerilmeleri (1.7) denklem içine koyarak aşağıdaki sonuca erişebiliriz:

(1.8) Burada

(1.9) D-plakanın eğilme rijitliği

Plak Saptırma Yöneten Temel Denklemleri

Şimdi, birim alan başına eşit olarak dağıtılmış bir yanal yüke

p

maruz kalan bir plaka elemanı dx dy düşünelim. Önceki Mx, My ve Mxy ek olarak, şimdi plakanın kenarına etkileyen dikey kesme kuvveti Qx ve Qy buluyoruz. Bu kuvvetler doğrudan dikey kesme gerilmeleri ile ilgilidir:

(1.10)

Şekil 1.3. Pozitif momentler ve kesme kuvvetleri (birim uzunluk başına) ve bir plaka elemanı üzerine dağıtılmış yanal yük (birim alan başına)

4

İnce plakların basit teorisi,

σ

_z

, γ

xz

= τ

xz/ G ve

γ

yz

= τ

yz / G'nin bükülme üzerindeki etkisini ihmal etse de,

τ

xz ve

τ

yz

’

den kaynaklanan dikey kuvvetlerin Qx ve Qy ihmal edilemez. Bir sonraki adımımız, bir element için denge denklemini elde etmek ve sonunda denklem sistemini, w saptırmayı içeren tek bir ifadeye indirgemektir. Z-yönelimli kuvvetlerin dengesi

ya da

(1.10a)

x-

ekseni etrafında momentlerin dengesi:

Bu formülden

(1.10b)

P’nin momenti ve Qy'deki değişime neden olan moment gibi daha yüksek terimler ihmal edildi.

y ekseni etrafındaki momentlerin dengesi, denklem 1.10b'ye benzer bir ifade verir.

(1.11)

1.10b ve 1.11 denklemler 1.8 denklem ile birleştirildiği zaman, şu denkleme varabiliriz:

(1.12)

Sonunda denklem 1.12 denklem 1.10a’ya içine koyarak plaka teorisinin yöneten temel denklemi buluruz:

(1.13a) Ya da özlü formda

(1.13b)

p

-birim alan başına yanal yükleme, D-plakanın eğilme dayanımı (rijitliği).

5

Sınır şartları

Plaka denkleminin çözümü, her kenarda iki sınır koşulunun sağlanmasını gerektirir. Bunlar sapma ve eğim, kuvvetler ve momentler veya bir birleşim ile ilgili olabilir.

Şekil 1.4 Büküm momentinin kenar etkisi

Burada sağ eleman büküm momenti Mxy dy, sol taraf ise [Mxy + (∂Mxy /∂y) dy]dy maruz kaldı.

Şekil b görüldüğü gibi bu büküm momentler yerel farklılıklar üreten eşdeğer kuvvet çiftleriyle değiştirildi. Yukarı yönlü kuvvet Mxy ve aşağıya yönlü kuvvet Mxy + (∂Mxy /∂y) dy farkı kesme kuvvet Qx ile birleştirilince birim uzunluk başına kenar kuvveti, Vx verir. Vx kirchhoff kuvveti denir.

(1.14)

1.8 ve 1.12 denklemeler yukarıdaki denklem içine koyarsak:

(1.15)

Şu anda sık karşılaşılan çeşitli durumları formüle edebilecek durumdayız. Önce dikdörtgen plakanın kenetli kenarı x = a boyunca uygulanan koşullar düşünelim. Hem sapma hem de eğim sıfır olduğundan;

(1.16) olur.

Şekil. 1.5 Çeşitli sınır koşulları (a) sabit kenar; (b) basit destekli; (c) serbest kenar.

6

Basit destekli kenar için, sapma ve bükülme momentinin her ikisi de sıfırdır:

(1.17a)

Çünkü bu denklemlerden ilki x = a kenarı boyunca ∂w / ∂y = 0 ve ∂²w / ∂y² = 0, ifade eder.

Yukardaki 1.17a denklem aşağıdaki eşdeğer biçimde yeniden ifade edilebilir:

(1.17b) Serbest kenar durumunda moment ve dikey kenar kuvveti sıfırdır:

(1.18)

Basit Destekli Dikdörtgen Plaka

Genel olarak, Şekil 1.6 a'daki gibi bir geometri için plaka probleminin basit desteklerle çözümü tüm kenarlar boyunca, yük ve sapma için Fourier serilerinin uygulanmasıyla elde edilebilir.

(1.19)

(1.20)

Şekil 1.6 Basit destekli dikdörtgen plaka: : (a) Navier metod için koordinat sisteminin konumu;

(b) basit destekli plakanın m = 1 ve n = 2'nin yarım sinüs eğrilerine sapması Eksenel Simetrik Yüklü Dairesel Plakalar

Sadece uygulanan yük ve uç emniyet koşulları θ açısından bağımsız olduğu zaman dairesel bir plakanın w sapması, radyal pozisyona r bağımlılığını açığa çıkar. Başka bir deyişle, plakadaki simetri sapma uygulanan yükte simetriden kaynaklanır. Bu durumda, dairesel plaka elemanına etki eden sadece birim uzunluk başına Mr ve Mθ radyal ve teğetsel momentler ve birim uzunluk başına Qr kuvvetleri aşağıdaki şekilde gösterilir.

7

Şekil 1.7. Asimetrik yüklü dairesel plaka elemanı. (Sadece kesme kuvveti ve momentler gösterilir.)

Koordinat dönüşüm ilişkilerinin uygulanmasıyla, bükülme momentler ve dikey kesme kuvvetleri Denk. (1.8) ve (1.12) Qθ = 0, Mrθ = 0 olur ve

(1.21)

(1.22)

(1.23)

Yüzey sapmasını tanımlayan diferansiyel denklem benzer şekilde bulunur:

(1.24)

8

Kabuklar (Shells)

Kabukların Teorileri ve Davranışları

Kavisli plakalara benzeyen yapısal elemanlara kabuklar denir. Bilinen kabuk örneklerinden sabun köpüğü, akkor lambalar, uçak gövdesi kaplar ve çeşitli metal, cam ve plastik kaplar bahse edilebilir. Bu bolümde, plakalarda olduğu gibi, sabit bir kalınlığa sahip izotropik, homojen, elastik kabuklar tartışacağız. Kabuk kalınlığını ikiye bölen yüzey, orta yüzey olarak adlandırılır. Bir kabuğun geometrisini belirtmek için, yalnızca orta yüzeyin yapılandırmasını ve her bir noktada kabuğun kalınlığını bilmemiz gerekir. İnce bir kabuk tanımlamak için sıklıkla uygulanan kritere göre (teknik hesaplamalar amacıyla), t kalınlığının r eğrilik yarıçapına oranı 1/20'ye eşit veya daha az olmalıdır.

Kabukların stres analizi normal olarak iki farklı teoriyi kapsar. Membran teorisi, çoğu zaman tüm kabuğun oldukça büyük bir kısmına uygulanan momentsiz membranlarla sınırlıdır. Bükme teorisi veya genel teori, bükmenin etkilerini içerir.

Basit Membran Hareketi

Bu bölümde basit membrane olan yumurta kabuğunu örnek olarak ele alalım. Olguyu anlamak için, yarıçap r ve t kalınlığının küresel bir kabuğunun bir kısmını düzgün bir basınç p'ye maruz kaldığını düşünelim. Kabuğu dengede tutmak için gereken birim uzunluk başına normal kuvveti (N);

Ya da

ile ifade edilebilir.

Şekil 2.1 Eşit basınç altında kesik küresel kabuk Kabuğun simetrisine ve yüklemeye dayanarak, gerilmeler bu formül ile verilir:

(2.1)

Burada,

σ

ndüzlem içi basma gerilmesi temsil eder. Orta yüzeye normal gerilim ihmal edilebilir ve bu nedenle düzlem içi şekil değiştirme sadece σn içerir:

(2.2) Şekil değiştirme ile ilişki olan azalmış dairenin çevresi:

2πr′ = 2π(r + rεn )

9 r ′ = r(1 + εn ) Bu nedenle eğrilikteki değişiklik:

(2.3)

İhmal edilebilir büyüklükleri nedeniyle daha üst düzey terimleri bırakarak denklem (2.2)’yi denklem (2.3) içine koyarsak,

(2.4) Kabuktaki eğilme momenti, plaka denklemlerinden belirlenir.

(2.5) Karşılık gelen maksimum gerilme:

(2.6) σb and σn karşılaştırsak:

Simetrik Yüklü Devrim Kabukları

Devrim yüzeyi, meridyen eğrisinin (eo ′) OO ekseni etrafında dönmesiyle oluşur. Gösterildiği gibi, kabuk üzerindeki bir nokta θ, φ, r0 koordinatları ile yerleştirilir.

10

Şekil 2.2 Simetrik olarak yüklenmiş devrim kabuklarının analizi için diyagramlar: (a) kabuğun geometrisi; (b) bir kabuk elemanı üzerinde etkiyen membran kuvvetleri (birim uzunluk başına) ve dağıtılmış yükleme (birim alan başına); (c) meridyen kuvvetleri ve kesik bir kabuk üzerine etki eden yükün sonucu.

Meridyen düzlemi içindeki

r

^θ ab tarafı ile ilgilidir,

r

φ ise bd yan ile ilgilidir. Böylece, uzunluk ab= (

r

^θ sin θ)dθ =

r

0 dθ, and uzunluk bd =

r

^{φ dφ.}

Simetri koşulu, eleman üzerinde hiçbir kesme kuvvetinin etki etmediğini ve birim uzunluk başına normal Nθ ve N_φ kuvvetlerinin θ ile farklılık göstermediğini belirtir. Dişten uygulanan yük, dik bileşenler olan

p

y ve

p

z ile temsil edilir.

Bazı Genel Devrim Kabukları

Buna girmeden önce dengedeki önemli denklemi bahse edelim:

Yukarıdaki kabuk denge haldeyken, z-yönü kuvvetlerin toplamı:

(2.7a)

Yakardaki formülü

r

0

r

φ ile bölünerek ve

r

0 yerine

r

θ sin φ koyarak, bu ifade aşağıdaki forma dönüştürülür:

(2.7b) y-yönü kuvvetlerin toplamı:

(2.8) Bu formüllerden yola çıkarak farklı kabukları bakalım.

11 Küresel Kabuk

Sadece ortalama yarıçapı

r = r

θ

= r

φ ve dolayısıyla

r

0

= r sin φ

değerini ayarlamamız gerekir. Daha sonar denklem (2.7b) şöyle olur:

(2.9)

Şekil 2.3 Tipik devrim kabukları: (a) küresel kabuklar; (b) üniforma altında konik kabuk basınç;

(c) silindirik kabuk.

En basit durum, iç basınca

p

maruz kalan küresel bir kabuktur. Şimdi

p = –p

z

,

φ= 90 ° ve F = - πr²p. Küresel bir kabuğun simetrisinden anlaşıldığı gibi, Nφ = Nθ = N. Bunları (2.8) denklem içine koyarsak, küresel basınçlı kapta membran gerilmesi:

t- kabuğun kalınlığı

Konik Kabuk

(2.7b) denklemde yalnızca

r

φ = ∞ ayarlamamız yeterlidir. Bu ve (2.8) denklem düzgün dağılmış yük

p

z

= p

r altında membran kuvvetlerini belirlemek için aşağıdaki çift denklemi verir:

(2.10) Burada x yönü temsil eder.

Dairesel Silindirik Kabuk

Dairesel bir silindirik kabuktaki membran kuvvetlerini belirlemek için koni denklemleri ile başlıyoruz, φ = π /2,

p

z

= p

rve ortalama yarıçap

r = r

0

=

sabit. Böylece denklem (2.10)

12

(2.11) Olur.

Burada x silindirin eksenel yönü temsil eder.

Dâhili basınç altındaki kapalı uçlu silindirik bir kap için

p = –p

rve F = –πr²p. Önceki denklemler böylece membran gerilmeleri verir:

(2.12)

Yönü nedeniyle,

σ

θ teğetsel, çevresel veya kasnak gerilme denir; benzer şekilde,

σ

x eksenel veya boyutsal gerilmedir. İnce duvarlı silindirik basınçlı kaplar için

, σ

θ

= 2σ

xHooke’un

yasasına göre, teğetsel ve eksenel gerilmelerin etkisi altında

σ

θ ve

σ

x, silindirin radyal uzantısı ∂:

(2.13)

Genel Şekilli Silindirik Kabuklar

Düz bir çizgi olarak üretilen silindirik bir kabuk, kapalı bir yol boyunca kendisine paralel olarak hareket eder. Aşağıdaki şekil kesitli silindirik bir kabuktan izole edilmiş bir elemanı

göstermektedir.

Şekil 2.4 Membran kuvvetleri (birim uzunluk başına) ve dağıtılmış eksenel, radyal ve teğet silindirik bir kabuk elemanına yükler (birim alan başına).

Elemanın yanlarına etkiyen kuvvetler şekilde gösterilmiştir.

x

ve θ bileşenleri birim alan başına uygulanan diş kuvvetler

p

x ve

p

θ ile gösterilir.

p

r pozitif z yönünde etki eder. Aşağıdaki ifadeler x, θ ve r yönlerinde denge gereksinimlerini açıklar:

13

(2.14) Diferansiyel nicelikler iptal ederek, silindirik bir kabuğun denklemlerini elde ederiz:

(2.15)

Diş yükleme göz önüne alındığında, Nθ (2.15) 'in ilk denkleminden kolayca belirlenebilir. Bunu takiben, ikinci ve üçüncü denklemleri entegre ederek Nxθ ve Nx bulunur::

2.16

Burada f1 (θ) ve f2(θ) sınır şartları dayanarak değerlendirilecek entegrasyonun keyfi fonksiyonu temsil eder.