GERİLME-ŞEKİL DEĞİŞTİRME BAĞINTILARI

(1)

GERİLME-ŞEKİL DEĞİŞTİRME BAĞINTILARI

GİRİŞ

Denge denklemleri kullanılarak gerilme bağıntıları, sonra geometrik esas- lardan hareket ederek şekil değiştirme bağıntıları incelendi. Burada ise gerilmeleri şekil değiştirmelere bağlayan gerilme-şekil değiştirme bağıntıları incelenecektir. Gerilme-şekil değiştirme bağıntılarına bünye denklemleri adı da verilmektedir. Gerilme-şekil değiştirme bağıntıları cisimden cisme farklıdır.

MALZEME SABİTLERİ

Elastik Hooke cisminde gerilme tansörü ile şekil değiştirme tansörü arasındaki bağıntı

3 3

1 1

ij k l Cijkl kl

σ ε

= =

=

∑ ∑

(i,j=1,3)

şeklinde yazılır. Toplama uylaşımı kullanıldığında yukarıda verilen bağıntı

ij Cijkl kl

σ = ε

şeklindedir. Burada Cijkl büyüklüğü dördüncü mertebeden tansördür Bu tansörün 3⁴=81 elemanı vardır. Bu bağıntı açık olarak aşağıda verildiği gibi yazılır.

(2)

1111 1122 1133 1123 1132 1113 1131 1112 1121 11

2211 2222 2233 2223 2232 2213 2231 2212 2221

22

3311 3322 3333 3323 3332 3313 3331 3312 3321

33

2311 232

23 32 13 31 12 21

C C C C C C C C C

C C

σ σ σ σ σ σ σ σ σ

 

 

  =

 

 

2 2333 2323 2332 2313 2331 2312 2321

3211 3222 3233 3223 3232 3213 3231 3212 3221

1311 1322 1333 1323 1332 1313 1331 1312 1321

3111 3122 3133 3123 3132 3113 3131 3112 3121

1211 1222 1233 1223 1232 121

C C C C C C C

C C C C C C C C C

C C C C C C

11 22 33 23 32 13 31

3 1231 1212 1221 12

2111 2122 2133 2123 2132 2113 2131 2112 2121 21

C C C

C C C C C C C C C

ε ε ε ε ε ε ε ε ε

   

   

    

 

a) Şekil değiştirme tansörünün k ve l indislerine göre simetrik olmasından;

yani εij=εji den dolayı Cijkl=Cijlk dir. Yukarıda verilen matris incelenirse dördüncü kolondaki değerler beşinci kolondaki değerlere, altıncı kolondaki değerler yedinci kolondaki değerlere, sekizinci kolondaki değerler dokuzuncu kolondaki değerlere eşittir. Bu nedenle Cijkl tansörünün bağımsız katsayıları 3*9=27 azalarak 54’e düşer.

b) Gerilme tansörünün i ve j indislerine göre simetrik olmasından; yani σij=σji den dolayı Cijkl= Cjikl dir. Yukarıda verilen matris incelenirse dördüncü satırdaki değerler beşinci satırdaki değerlere, altıncı satırdaki değerler yedinci satırdaki değerler, sekizinci satırdaki değerler dokuzuncu satırdaki değerlere eşittir. Daha önceden her satırda 6 bağımsız değişken kaldığından 3*6=18 bağımsız değişken daha azalarak Cijkl tansörünün bağımsız katsayılar tekrar azalarak 36’ya düşer.

İki katlı toplamayı elimine etmek için gerilme ve şekil değiştirme tansörle- rinin altışar elemanı

11 1 22 2 33 3 23 4 13 5 12 6

σ =σ σ =σ σ =σ σ =σ σ =σ σ =σ

11 1 22 2 33 3 2 23 4 2 13 5 2 12 6

ε =ε ε =ε ε =ε ε =ε ε =ε ε = ε

olarak tanımlanırsa yukarıda verilen bağıntı 36 sabite bağlı olarak aşağıda verildiği gibi yazılır.

(3)

1 1111 1122 1133 1123 1113 1112

2 2211 2222 2233 2223 2213 2212

3 3311 3322 3333 3323 3313 3312

4 2311 2322 2333 2323 2313 2312

5 1311 3122 3133 3123

6

/ 2 / 2 / 2

/ 2

C C C C C C

C C C C C

σ σ σ σ σ σ

  

  

 =

  

 

1 2 3

4 23

3113 3112 5 13

1211 1222 1233 1223 1213 1212 6 12

2

/ 2 / 2 2

/ 2 / 2 / 2 2

C

C C C C C C

ε ε ε

ε ε

   

   

   = 

   

   = 

   

   

Yukarıda verilen denklemlerde 2 katsayısı bazı kolonlardaki katsayıların birbirlerine eşit olup (örneğin 4. kolon ile 5. kolon) elimine edilmesinden gelmektedir. Diğer yazılabilecek üç denklem yukarıda verilen denklemin 4.,5. ve6. satırları ile aynı olduğundan yazılmamıştır. Yukarıda verilen bağıntıda Cijkl katsayılardaki indisler kısaltılarak ve cij olarak tanımlanarak

1 11 12 13 14 15 16 1

2 21 22 23 24 25 26 2

3 31 32 33 34 35 36 3

4 41 42 43 44 45 46 4

5 51 52 53 54 55 56 5

6 61 62 63 64 65 66 6

i ij j

c c c c c c

c c c c c c c

c c c c c c

σ ε

     

     

=      

     

     

şeklinde yazılabilir. cij matrisine elastik sabitler matrisi veya elastik modül matrisi (stiffness matrix) adı verilir.

(4)

ŞEKİL DEĞİŞTİRME ENERJİSİ

İç kuvvetlerin şekil değiştirme esnasında yaptığı işe iç kuvvetlerin işi veya şekil değiştirme enerjisi adı verilir. İç kuvvetler iş yaparken aynı zamanda da dış kuvvetler de iş yapar. Enerji kaybı olmayan sistemlerde dış kuvvetlerin işi iç kuvvetlerin işine eşittir. Tam elastik sistemlerde dış kuvvetler kaldırıldığında cisim tarafından şekil değiştirme enerjisine dönüştürülerek yutulan enerji, açığa çıkar. Bu işlemler olurken kuvvetlerin sıfırdan başlayıp yavaş yavaş etkidiği kabul edilecek dolayısıyla dinamik etkiler göz önüne alınmayacaktır.

Şekil değiştirme enerjisi aynı zamanda iç kuvvetlerin işi olduğundan U ile gösterilecektir. U değerinin hesabı için önce birim hacim şekil değiştirme enerjisi u hesaplanacak ( u değerine enerji yoğunluğu adı da verilmektedir.) sonra u aşağıda görüldüğü gibi bütün hacim üzerinde integre edilerek U bulunacaktır.

v

U =

∫

udv

Birim hacım enerjisinin hesabı için önce tek eksenli gerilme etkisinde bulunan ve kenarları ∆x, ∆y ve ∆z olan bir dikdörtgenler prizmasını düşünelim;

Burada iç kuvvet σ∆x∆z dir. Bu kuvvetin şekil değiştirme esnasında yaptığı işi hesap edelim. Birim hacim enerjisi için şekil 5.56 (b) de görülen elemanter alanı göz önüne aldığımızda

(5)

0 0 0

1 1

( ) ( ) ( )

u Pd y x z d y d

x y z x y z

ε ε ε

ε σ ε σ ε

= ∆ = ∆ ∆ ∆ =

∆ ∆ ∆

∫

∆ ∆ ∆

∫ ∫

bulunur. Şekil 5.26 (c)’de görüldüğü gibi kuvvet ile yol arasında lineer bağıntı olduğundan iş olarak kuvvet ile yer değiştirmenin çarpımının yarısı alınır. Yer değiştirme ise ε∆y dir. Bu durumda birim hacım enerjisi

1 ( )( ) 1

2 2

x z y

u x y z

σ^{∆ ∆} ε^∆ σε

= =

∆ ∆ ∆

şeklinde hesaplanır.

Basit kayma halinde, u, birim hacım enerjisi şekil 5.31 yardımıyla aşağıda verilen şekilde yazılabilir.

1 ( )( ) 1

2 2

x y z

u x y z

τ^{∆ ∆} γ^∆ τγ

= =

∆ ∆ ∆

Üç eksenli gerilme halinde iç enerji yoğunluğu: Üç eksenli gerilme halinde ise iç enerji yoğunluğu, normal ve kayma gerilmelerinin etkilerinin birbirinden bağımsız olması nedeniyle süperpozisyon ilkesi kullanılarak hesaplanabilir. Yukarıda elde edilen ifadelerden yararlanılarak

( )

12 x x y y z z xy xy yz yz zx zx

u= σ ε +σ ε +σ ε τ γ+ +τ γ +τ γ

(6)

şeklinde yazılabilir.

İç enerji yoğunluğu: İç enerji yoğunluğu

( )

1 1

2 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2 i i

u= σ ε +σ ε +σ ε τ γ+ +τ γ +τ γ = σ ε

şeklinde yazılır. Bu bağıntıda γij=2εij olduğuna dikkat ediniz. Yukarıda verilen bağıntı gerilmeler yerine şekil değiştirmeler yazıldığında

12

i cij j u cij i j

σ = ε → = ε ε

elde edilir. Bu bağıntının önce εi ye göre türevi alındığında (bağıntıda iki tane ε değeri bulunduğunda türev sonunda ½ katsayısı kaybolur).

ij j i

i

u c ε σ

ε

∂ = =

∂

elde edilir. Bu ifade ikinci Castiliano teoremidir. Elde edilen ifadenin sonra εj göre türevi alındığında elde edilen bağıntı sıra değiştirme ile alınan bağıntıya karışık türev özelliğinden dolayı eşit olduğundan

2 2

ij ji ij ji

i j j i

u u

c c c c

ε ε ε ε

∂ ∂

= = → =

∂ ∂ ∂ ∂

bulunur. Sonuç olarak 21 bağımsız katsayı kalır. Bu sabitler deneylerle bulunur. Bir malzemede düzleme ve/veya eksene göre malzeme simetri özelliği var ise bağımsız sabitlerin sayısı azalır. Yukarıda verilen bağıntısından

i sij j

ε = σ

elde edilir. Burada verilen sij matrisi cij matrisinin tersidir. sij matrisine esneklik matrisi (compliance matrix) adı verilir. Bu bağıntıya genel Hooke yasaları adı verilir.

Hiçbir doğrultuda simetri özelliği olmayan malzemelerde yani anizotropik malzemelerde; gerilme-şekil değiştirme bağıntıları 21 sabit ile belirlenir ve

(7)

anizotropik malzeme triklinik malzeme veya aelotropik malzeme olarak da isimlendirilir.

Malzeme sabitleri eksen takımına bağlıdır. Eksen takımı değiştikçe malzeme sabitleri değişir. Malzeme sabitleri dördüncü dereceden bir tansör olduğundan değişimleri de bu tansörün değişim kurallarına uygun olur.

Malzemede, malzeme özellikleri bakımından simetri var ise bu simetriye uygun koordinat dönüşümlerinde malzeme sabitleri koordinat dönüşümünde değişmez (invaryant kalır) . Bu durum malzeme sabitleri sayının azalmasına yol açar. Çeşitli simetri durumları aşağıda teker teker incelenecektir.

Monoklinik malzeme: Bir malzemede bir düzleme göre malzeme simetrisi var ise böyle malzemeye monoklinik malzeme adı verilir.

Bir x1,x2, x3 eksen takımı alalım.Bu takımın x1,x2 eksenleri simetri düzlemi içinde bulunsun. Bu eksen takımında gerilme ve şekil değiştirme bileşenleri σi ve εi olsun. x1*=x1,x2*= x2 ve x3*= -x3 olan bir eksen takımı seçelim. Bu eksen takımına göre gerilme ve şekil değiştirme bileşenleri σi*ve εi*olsun.

İki eksen takımı arasında dönüşüm matrisi N 1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

=  

 − 

 

N

dir. Bu matris yardımı ile iki eksen takımı arasında gerilme tansörünün bileşenleri arasında, daha önce verilen

11 1 22 2 33 3 23 4 13 5 12 6

σ =σ σ =σ σ =σ σ =σ σ =σ σ =σ

11 1 22 2 33 3 2 23 4 2 13 5 2 12 6

ε =ε ε =ε ε =ε ε =ε ε =ε ε = ε bağıntılar hatırlanarak aşağıdaki bağıntı yazılır..

* * *

1 6 5 1 6 5 1 6 5

* * *

6 2 4 6 2 4 6 2 4

* * *

5 4 3 5 4 3 5 4 3

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

         − 

 =     = − 

         

   −       −  − − 

   

Şekil değiştirme tansöründe yukarıdaki bağıntının benzeri elde edilir.

Yukarıda verilen bağıntıdan görüldüğü gibi gerilme ve şekil değiştirme

(8)

tansörlerinin iki eksen takımı bileşenleri arasında aşağıda verilen bağıntılar vardır.

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 6 6 5 5 4 4

σ =σ σ =σ σ =σ σ =σ σ = −σ σ = − σ

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 6 6 5 5 4 4

ε =ε ε =ε ε =ε ε =ε ε = −ε ε = − ε x1*,x2*, x3* eksen takımında yazılan bağıntı

* *

11 12 13 14 15 16

1 1

* *

21 22 23 24 25 26

2 2

* *

31 32 33 34 35 36

3 3

* *

41 42 43 44 45 46

4 4

* *

51 52 53 54 55 56

5 5

* *

61 62 63 64 65 66

6 6

c c c c c c

σ ε

    

    

 = 

   

 

   

   





şeklindedir. Gerilme ve şekil değiştirmeni eşiti yerlerine konulduğunda

1 11 12 13 14 15 16 1

2 21 22 23 24 25 26 2

3 31 32 33 34 35 36 3

4 41 42 43 44 45 46 4

5 51 52 53 54 55 56 5

6 61 62 63 64 65 66 6

c c c c c c

σ ε

− −

     

   − −  

    

   − −  

  = − − − −  

    

  − − − −  

   − −  

    

    





iki bağıntının eşit olması için, yani

11 12 13 16

21 22 23 26

31 32 33 36

44 45

54 55

61 62 63 66

0 0

0 0 0 0

0 0

ij

c c c c

c c c

c c

c c c c

 

 

=  

 

 

(9)

olması gerekir. Buradan görüldüğü gibi monoklinik malzemede 13 tane bağımsız sabit bulunmaktadır.

Ortotropik malzeme: Birbirine dik üç düzleme göre malzeme simetrisi olan malzemelere ortogonalli anizotropik kelimelerinin kısaltılmışı olan ortotropik malzeme adı verilir. Teknikte çok kullanılan; ahşap, lifli kompozit malzeme, haddeden geçirilmiş malzemeler ortotropik malzemelerdir.

Bir x1,x2, x3 eksen takımı x1*,x2* x3* eksen takımlarını alalım.Bu takımın sıra ile x1,x2; x1,x3 ve x2,x3 simetri düzlemi olması hali incelenecek. x1,x2

eksenleri simetri düzlemi olması hali incelendi. x1,x3 düzlemi simetri olması hali incelenecek. İnceleme monoklinik malzemede olduğu gibi yapılacağından x1*=x1, x2*=-x2 ve x3*= x3 olan ikinci bir eksen takımı seçelim. Bu eksen takımına göre gerilme ve şekil değiştirme bileşenleri σi*ve εi*olsun. İki eksen takımı arasında dönüşüm matrisi N

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

 

= − 

 

 

N

dir. Bu matris yardımı ile iki eksen takımı arasında gerilme tansörünün bileşenleri arasında aşağıdaki bağıntı vardır.

* * *

1 6 5 1 6 5 1 6 5

* * *

6 2 4 6 2 4 6 2 4

* * *

5 4 3 5 4 3 5 4 3

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

         − 

 = −     − = − − 

         

           − 

   

Yukarıdaki bağıntıda görüldüğü gibi ve benzer tansör olan şekil değiştirme tansörünün elemanları arasında aşağıda verilen bağıntı vardır.

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 6 6 5 5 4 4

σ =σ σ =σ σ =σ σ = −σ σ =σ σ = − σ

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 6 6 5 5 4 4

ε =ε ε =ε ε =ε ε = −ε ε =ε ε = − ε x1*,x2*, x3* eksen takımında yazılan bağıntı

(10)

* *

11 12 13 14 15 16

1 1

* *

21 22 23 24 25 26

2 2

* *

31 32 33 34 35 36

3 3

* *

41 42 43 44 45 46

4 4

* *

51 52 53 54 55 56

5 5

* *

61 62 63 64 65 66

6 6

c c c c c c

σ ε

    

    

 = 

   

 

   

   





1 11 12 13 14 15 16 1

2 21 22 23 24 25 26 2

3 31 32 33 34 35 36 3

4 41 42 43 44 45 46 4

5 51 52 53 54 55 56 5

6 61 62 63 64 65 66 6

c c c c c c

σ ε

− −

     

   − −  

    

   − −  

  = − − − −  

    

   − −  

  − − − −  

    

    





iki bağıntının eşit olması için sıfır olan katsayılar aşağıda görülmektedir.

11 12 13 15

21 22 23 25

31 32 33 35

44 46

51 52 53 55

64 66

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

ij

c c c c

c c c

c c c c

c c

 

 

=  

 

 

(x1,x3 simetri düzlemi olması hali)

Daha önce x1,x2 düzlemi simetri düzlemi olması halinde

(11)

11 12 13 16

21 22 23 26

31 32 33 36

44 45

54 55

61 62 63 66

0 0

0 0 0 0

0 0

ij

c c c c

c c c

c c

c c c c

 

 

=  

 

 

idi. İki simetri düzlemi olması halinde

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44 55

66

0 0 0

0 0 0 0 0

ij

c c c

c c

 

 

=  

 

 

Şimdi x2,x3 düzlemi simetri olması hali incelenecek. İnceleme daha önce olduğu gibi yapıldığında x1*=-x1, x2*=x2 ve x3*= x3 olan bir eksen takımı seçelim. Bu eksen takımına göre gerilme ve şekil değiştirme bileşenleri σi*ve εi*olsun. İki eksen takımı arasında dönüşüm matrisi N

1 0 0 0 1 0 0 0 1

− 

 

=  

 

 

N

dir. Bu matris yardımı ile iki eksen takımı arasında gerilme tansörünün bileşenleri arasında aşağıdaki bağıntı vardır.

* * *

1 6 5 1 6 5 1 6 5

* * *

6 2 4 6 2 4 6 2 4

* * *

5 4 3 5 4 3 5 4 3

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

  −    −   − − 

 =     = − 

         

          − 

   

(12)

Yukarıdaki bağıntıda görüldüğü gibi ve benzer tansör olan şekil değiştirme tansörünün elemanları arasında aşağıda verilen bağıntı vardır.

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 6 6 5 5 4 4

σ =σ σ =σ σ =σ σ = −σ σ = −σ σ =σ

* * * * * *

1 1 2 2 3 3 6 6 5 5 4 4

ε =ε ε =ε ε =ε ε = −ε ε = −ε ε = ε x1*,x2*, x3* eksen takımında yazılan bağıntı

* *

11 12 13 14 15 16

1 1

* *

21 22 23 24 25 26

2 2

* *

31 32 33 34 35 36

3 3

* *

41 42 43 44 45 46

4 4

* *

51 52 53 54 55 56

5 5

* *

61 62 63 64 65 66

6 6

c c c c c c

σ ε

   

   

  

 

  

   



1 11 12 13 14 15 16 1

2 21 22 23 24 25 26 2

3 31 32 33 34 35 36 3

4 41 42 43 44 45 46 4

5 51 52 53 54 55 56 5

6 61 62 63 64 65 66 6

c c c c c c

σ ε

− −

     

   − −  

    

   − −  

    

  − − − −  

    

     



iki bağıntının eşit olması için sıfır olan katsayılar aşağıda görülmektedir.

(13)

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

55 56

65 66

0 0

0 0 0 0

ij

c c c c

c c c c c

c c c c

 

 

=  

 

 

Bu şart daha önce bulunan şartları sağlar. Dolayısyla iki dik düzlemde simetri var ise bunlara dik üçüncü düzlemde de simetri vardır.

Ortotropik malzemde sabitlerinin sayısı 9’a düşer. Birbirine dik iki düzleme göre malzeme simetri olması halinde bu iki düzlem dik üçüncü düzlemde simetri kendiliğinden sağlanır. Dolayısıyla birbirine dik 3 düzleme göre simetrisi olan malzemelerde bağımsız malzeme sabitlerinin sayısı 9’dur.

(14)

İzotropik malzeme: Bu malzemede malzemenin her doğrultuda elastik özellikler aynıdır. Bu malzeme iki sabit ile belirlenir. İzotropik malzemede c11= c22= c33 , c12= c23= c13 c44= c55= c66 c11= c12+2 c44

11 12 12

12 11 12

12 12 11

44 44

44

0 0 0 2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ij

c c c

c c

λ µ λ λ

λ λ µ λ

λ λ λ µ

µ µ

µ

   + 

   + 

   

   + 

=  = 

   

 

   

 

şeklindedir. Burada görülen sabitlere Lamé sabitleri adı verilir. Bu sabitlerin mühendislik sabitleri veya teknik sabitler adı verilen E, G ve ν değerlerine bağlantısı

(1 )(1 2 )

G νE

µ λ

ν ν

= =

+ −

şeklindedir. Ayrıca E ve G arasında aşağıda verilen bağıntı vardır.

2(1 ) G E

= ν

+

Lamé sabitleri kullanarak gerilme şekil değiştirme bağıntıları

11 11 22 33 11 23 23

22 11 22 33 22 13 13

33 11 22 33 33 12 12

( ) 2 2

σ λ ε ε ε µε σ µε

= + + + =

2 (1 )(1 2 ) 2

ij ij kk ij

E G

σ λδ ε µε

σ ν δ ε ε

ν ν

= +

+ −

(15)

Ters dönüşümler 1

2 2 (3 2 )

1

ij ij kk ij

ij ij kk ij

E E

ε σ λ σ δ

µ µ λ µ

ν ν

ε σ σ δ

 

= −  + 

= + −

1 1

( )

1 1

( )

1 1

( )

xx xx yy zz xy xy

yy yy xx zz yz yz

zz zz xx yy zx zx

E G

ε σ ν σ σ γ τ

 

=  − +  =

 

=  − +  =

 

=  − +  =

Poisson oranı için sınırlama: Tek eksenli gerilme hali için birim hacim değiştirme oranı θ, aşağıdaki şekilde yazılabilir.

(1 2 )

x x x x

x y z

E E E E

σ σ σ σ

θ ε= +ε +ε = −ν −ν = − ν (5.15)

Yapılan deneyler göstermiştir ki tek eksenli çekme halinde cismin hacmi hiçbir zaman azalmaz. Bu nedenle θ>0 olmalıdır. Bu şarttan ν≤1/2 elde edilir. Ayrıca 0≤ν den

0≤ν≤1/2 (5.16)

bulunur. Yanal şekil değiştirmenin en az olduğu malzeme, mantar olup ν≅0 dır. Kauçukta ise ν≅1/2 olup kauçuğun hacim değişmesi yaklaşık olarak sıfırdır. Metallerde ν değeri 0,3 civarındadır.

Bazı malzemelerde Poisson oranı eksi olabiliyor. Bu durumda E ve G aynı işaretli olacağından

-1<ν≤1/2 olur.

(16)

Hacimsel elastisite modülü: Hidrostatik gerilme halinde σ1=σ2=σ3=σh ol- duğundan

[ ]

1 2 3

1 (1 2 )

( ) ^h

h h h

E E

ε =ε =ε = σ ν σ− +σ = ⁻ ν σ bulunur. Diğer taraftan birim hacım değişimi θ;

1 2 3

3(1 2 )

h h E

E K K

ν σ σ θ ε ε ε

ν

= + + = − = =

− (5.30) şeklinde yazılır. Burada görülen K sabiti hacımsal elastisite modülü olarak isimlendirilir. Poisson oranı ν=0,5 olduğunda K→∞ olur ki böyle cisimlerde hacım değişimi olmaz. Yukarıda verilen (5.30) bağıntısı

h K.

σ = θ

şeklinde yazıldığında bu bağıntıya hacimsel Hooke yasası adı verilir.

İzotropik cisimde kullanılan sabitler: İzotropik bir cisimde iki malzeme sabiti bulunmaktadır. Bu sabitler çeşitli şekilde ifade edilirler. En çok kullanılan sabitler; E, G, ν, K, λ ve µ’dır. Bu sabitlerinden ikisi verildiğinde diğerleri sabitler verilen sabitlere bağlı olarak bulunur. Aşağıdaki Tablo 3.1 de altı elastik sabitin ikisi verilmesi halinde diğerlerinin ifadeleri verilmektedir.

Düzlem gerilme hali: Gerilme vektörlerinin bulunduğu düzlem xy düzlemi olarak alındığında, düzlem gerilme hali için σz=0, τzx=0, τzy=0 dır. Bu durumda Hooke yasaları

1 1

( ) ( ) ( )

x x y y y x z x y

E E E

ε = σ νσ− ε = σ −νσ ε = −ν σ +σ

xy 0

xy yz xz

G

γ =τ γ =γ =

Düzlem şekil değiştirme hali: Düzlem şekil değiştirme halinde, şekil değiştirmelerin bulunduğu düzlem xy düzlemi olarak seçildiğinde εz=0, γzx=0, γzy=0 dır. Düzlem şekil değiştirme halinde εz=0 olduğundan (5.18) denkleminden σz=ν(σx+σy) elde edilir. Düzlem gerilme halinde ise σz=0

(17)

olup εz=-ν(σx+σy)/E dir. Düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme arasındaki bu fark önemlidir.

Özel haller: Düzlem gerilme halinde σx=-σy olduğu zaman yukarıda verilen (5.34) bağıntısından εz=0 elde edilir. Bu özel durum hem düzlem gerilme ve hem düzlem şekil değiştirme halidir. Bir başka özel durum ile ν=0 olduğunda karşılaşılır. Bu durumda (5.34) bağıntısından εz=0 elde edilir. Bu özel durumda hem düzlem gerilme ve hem düzlem şekil değiştirme halidir.

TABLO 3.1

(18)

Ortotropik malzemenin mühendislik sabitleri ile incelenmesi: Birbirine dik üç düzleme göre simetrisi bulunan bir malzemede sij, esneklik matrisi (compliance matrix) aşağıda verilen şekildedir.

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

4 44 4

5 55 5

6 66 6

0 0 0

0 0 0 0 0

s s s

s s

s

ε σ

     

     

  =   

     

     

Teknikte sij katsayıları yerine mühendislik sabitleri veya teknik sabitler adı verilen E, G, ν sabitlerine benzer sabitler kullanılır. E11, E22 ve E33 ile gösterilen elastisite modülleri sıra ile 1,2 ve 3 doğrultularındaki elastisite modülleridir; G12, G23 ve G31 kayma modüleri sıra ile malzemenin 1,2; 2,3;

ve 3,1 düzlemlerindeki kayma modülleridir. νij (i,j=1,2,3) Poisson oranları; i doğrultusunda gerilme uygulandığında j doğrultusundaki enine birim uzamalar için kullanılacak Poisson oranıdır; yani

j ij

i

ν ε

= −ε

dir. Yukarda verilen tanımlara göre (1,2); (2,3) ve (3,1) doğrultularının belirttiği düzlemlere göre simetrik bir malzemede sıfırdan farklı sij değerleri aşağıda verilmiştir.

11 11

s 1

=E ₁₂ ²¹

22

s E

−ν

= ₁₃ ³¹

33

s E

−ν

=

21 12 11

s E

−ν

= ₂₂

22

s 1

=E ₂₃ ³²

33

s E

−ν

=

31 13 11

s E

ν

=− ₃₂ ²³

22

s E

ν

=− ₃₃

33

s 1

=E

44 23

s 1

=G ₅₅

13

s 1

=G ₆₆

12

s 1

=G

(19)

Yukarı verilen denklemlerde; E11, E22, E33, ν21, ν31, ν12, ν32, ν13, ν23, G23, G13 G12 olmak üzere on iki malzeme sabiti bulunmaktadır. sij matrisinin simetrisinden dolayı yazılan

12 21 13 31 23 32

11 22 11 33 22 33

( ^ij ^ji , 1,3 )

ii jj

i j ve i j

E E E E E E E E

ν ν

ν ₌ν ν ₌ν ν ₌ν ₌ _≠ ₌

eşitlikleri ile bağımsız malzeme sabiti sayısı 9’a düşer. 1,2 ve 3 doğrultuları olarak x,y ve z alınırsa ortotropik malzemede Hooke yasaları aşağıda verilmiştir.

1 yx zx

x x y z

xx yy zz

E E E

ν ν

ε = σ − σ − σ

xy 1 zy

y x y z

xx yy zz

E E E

ν ν

ε = − σ + σ − σ

yz 1

xz

z x y z

xx yy zz

E E E

ν ν

ε = − σ − σ + σ

xy yz zx

G G G

τ τ τ

γ = γ = γ =

(20)

Ortotropik malzemede düzlem gerilme hali: Teknikte kullanılan levha ve plakların büyük bir kısmı ortotropik malzeme olarak modellenirler ve bunlar düzlem gerilme etkisi altındadır. Ortotropik malzemede xy düzleminde düzlem gerilme halinde σz=τxz=τyz=0 dir. Levha ve plaklarda εz ile özel haller dışında ilgilenilmez. Bu durumda Hooke yasaları

1 yx

x x y

xx yy

E E

ε = σ −ν σ xy 1

y x y

xx yy

E E

ε = −ν σ + σ _xy ^xy

Gxy

γ =τ

dir. Burada 5 sabit görülmektedir. νyx/Eyy =νxy/Exx eşitliğinden sabit sayısı 4’e iner. (5.68) ifadelerinin ters dönüşümleri, dört sabite bağlı olarak

* *

x Exx x Exy y y Exy x Eyy y xy Gxy xy

σ = ε + ε σ = ε + ε τ = γ şeklinde yazılır. Denklemlerde görülen dört sabit aşağıda verilmiştir.

* *

1 1

xx yy

xy yx xy yx

yx xx xy yy

xy yx

xy yx xy yx

E E

ν ν ν ν

ν ν

ν ν ν ν

= =

− −

= = =

− −

(21)

Enine izotrop: Birbirine dik üç düzleme göre simetrik olan malzeme, simetri düzlemlerinden birinde izotrop ise, yani malzeme özellikleri bu düzlemde doğrultuya göre değişmiyor ise bu tip malzemeye enine izotrop adı verilir. Enine izotrop malzemede bağımsız elastik sabit sayısı 5’dir.

Hooke yasası ile verilen ortotrop malzeme, xy düzleminde izotrop olsun;

şekil 5.33. Bu durumda; malzeme x ve y doğrultuları aynı özelliği gösterdiğinden Exx=Eyy=E olup Ez farklıdır. νij Poisson oranı, i doğrultusunda gerilme uygulandığında j doğrultusundaki enine birim uzamalar için kullanılacağından νxy=νyx=ν dir. x veya y doğrultularında kuvvet uygulanması z doğrultusunda aynı sonucu doğuracağından νxz=νyz

dir. z doğrultusunda kuvvet uyguladığında x ve y doğrultuların da aynı sonucu doğuracağından νzy=νzx dir. Aynı kayma gerilmeleri altında xz ve yz açılarındaki açı değişimi aynı olacağından Gyz=Gxz dir. Sonuçlar toplu olarak aşağıda verilmiştir.

;

; ;

;

xx yy zz

xy yx xz yz zy zx

xy yz xz

E E E E

G G G G

ν ν ν ν ν ν ν

= =

= = = =

= =

Yukarıda yazılan bağıntılara ek olarak bu sabitler arasında; izotropik malzemede E, G ve ν aralarındaki bağıntı ile (5.66) bağıntıları göz önüne alınarak

2(1 )

yz zx

zz

G E

E E

ν ν

= ν =

+

yazılabilir. Sonuç olarak enine izotrop malzemede 5 bağımsız sabit bulunmaktadır.

(22)

Enine izotrop malzemede düzlem gerilme hali: Uygulamada çok karşılaşılan bu hal için, aynı yönde lifleri bulunan kompozit bir tabakayı göz önüne alalım, şekil 5.33. Birbirine dik doğrultuda üç doğrultu olarak x,y,z doğrultularının seçelim ve z doğrultusu liflerin ortak doğrultusu olsun.

Burada xy düzleminde izotropi kabul edilecek.

Kompozit tabakada düzlem gerilme haline ait düzlem zx düzlemi olsun. Bu durumda σy=0, τyx=τyz=0 dır. Ayrıca şekil değiştirmelerden γyx=γyz=0 dır.

Bu enine izotrop tabakada Hooke yasaları aşağıda verilen şekilde yazılır.

1 _xz 1 _zx _zx

z z x x x z zx

zz xx xx zz zx

E E E E G

ν ν τ

ε = σ − σ ε = σ − σ γ =

Yukarıda verilen bağıntılarda görülen malzeme sabitleri için νxz/Exx=νzx/Ezz

bağıntısını göz önünde bulundurmak gerekir.

Isı etkilerini Hooke yasası içine taşıyan terimler αx ∆T, αy ∆T dir. Isı genleşme katsayısı çeşitli doğrultularda farklı ise αx, αy, αz, gibi farklı ısı genleşme katsayıları kullanmak gerekir.