• Sonuç bulunamadı

MOMENT DENGE. Şekil 2 (a) da F 1. = F.d dir. Şekil 2 (b) de F 2. = F.2d dir. M 2. II. Bir kuvvetin etki çizgisi üzerindeki

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "MOMENT DENGE. Şekil 2 (a) da F 1. = F.d dir. Şekil 2 (b) de F 2. = F.2d dir. M 2. II. Bir kuvvetin etki çizgisi üzerindeki"

Copied!
12
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

•

d •

F1 = F

O (a)

•

2d •

F2 = F

O (b)

Þekil 2

F1 = F F2 = F F3 = F A

B

•

(a)

F1 = F F2 = F

F3 = F

•

(b) Þekil 4

•

• O

Birim Tablosu Nicelik

Sembol Birimi

Kuvvet F newton

Dik uzaklýk d metre

Moment M newton.metre

1. MOMENT

Daha önceki bölümlerde cisimleri hareket ettiren, dengede tutan kuvvetleri ve bu kuvvetlerin bileşkesini incelemiştik.

Bu bölümde kuvvetin cisimler üzerindeki bir başka etkisi olan döndürme etkisini inceleyeceğiz. Günlük yaşantımızda musluğu açarken, direksiyon çevirirken, tornavida ile vidayı döndürürken, kapıyı, pencereyi menteşeleri etrafında dön- dürürken de kuvvet uygularız. Bu örneklerden de anlaşıla- cağı gibi kuvvet cisimlere dönme hareketi de yaptırır.

Kuvvetin dönme hareketi yaptıran etkisine moment denir.

2. KUVVETİN BİR NOKTAYA GÖRE MOMENTİ

Şekil 1 deki P düzle- minde A noktasına uy- gulanan kuvvetin bu düzlemdeki O noktası- na göre momenti şu şe- kilde bulunur.

F

kuvvetinin doğrultu- suna O noktasından

⎪OH⎪ dikmesi indirilir.

F

nin O ya göre momenti, kuvvetin F büyüklüğü ile kuvvetin O ya olan d dik uzaklığının çarpımına eşittir. Moment M sembolüyle gösterilir. Momentin büyüklüğü,

M = F.d

bağıntısıyla bulunur. Şekil 1 de OHA dik üçgeninde, d = G . Sinα

olduğundan, momentin büyüklüğü, M = F. G.Sinα

bağıntısıyla da bulunabilir.

Moment vektörel bir büyüklüktür. M moment vektörü Şekil 1 deki gibi F ile G nin oluşturduğu düzleme O noktasından diktir. M moment vektörünün yönü ise kuvvetin döndürme yönünde ilerleyen vida adımının ilerleme yönüdür.

Kuvvetler cisimleri ya saat ibreleri yönünde ya da saat ibrele- rine zıt yönde döndürürler. İşlemler sırasında bu yönlerden biri (+), diğeri (–) alınır.

I. Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti kuvvetin noktaya olan dik uzaklığı ile doğru orantılıdır.

Şekil 2 (a) da F1 = F nin O noktasına göre momentinin büyüklüğü,

M1 = F.d dir.

Şekil 2 (b) de F2 = F nin O noktasına göre momentinin büyüklüğü ise,

M2 = F.2d dir.

Buradan da görüleceği gibi d uzaklığı büyüdükçe momen- tin büyüklüğü de artmaktadır.

II. Bir kuvvetin etki çizgisi üze- rindeki bir noktaya göre mo- menti sıfırdır.

Şekil 3 teki F kuvvetinin etki çizgisi üzerinde O noktasına göre momenti sıfırdır. Çünkü O noktasının kuvvetin etki çizgisine olan dik uzaklığı d sıfırdır.

III. Bir eksen etrafında dönen bir düzleme aynı noktada uygulanan eşit kuvvetlerden düzleme dik olan kuvvetin momenti en büyüktür.

Şekil 4 (a) da aynı noktaya uygulanan eşit büyüklükteki

1 2 3

F , F ve F→ → kuvvetlerinden F2kuvveti düzleme dik oldu- ğundan AB menteşelerine göre momenti en büyüktür.

Şekil 4 (b) de O noktası etrafında dönebilen çubuğa uygu- lanan eşit büyüklükteki

1 2 3

F , F ve F→ → kuvvetlerinden F2

kuvveti çubuğa dik olduğundan O noktasına göre momenti en büyüktür.

MOMENT – DENGE

•

a d

H O A P

G

• y ÆM

ÆF

Þekil 1

• •

O Æ

F Þekil 3 d

(2)

ÖRNEK 1

G uzunluğundaki AB çubuğu A noktası çevresinde dönebil- mektedir. Bu çubuğun B ucu- na uygulanan R kuvvetinin, dik bileşenleri

F1

ve F2 dir.

A noktasına göre R kuvve- tinin momentinin büyüklüğü;

I. M = R . d II. M = F1 . G III. M = F2 . G

bağıntılarından hangileri ile bulunabilir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III

ÇÖZÜM

Bir kuvvetin herhangi bir noktaya göre momentinin büyük- lüğü M=F.d bağıntısı ile bulunur. d, kuvvetin dönme nok- tasına dik uzaklığıdır.

Buna göre, R kuvvetinin A noktasına göre momentinin bü- yüklüğü M=R.d. dir. R nin dik bileşenlerinin momentleri toplamı R nin momentine eşittir. F1 dik bileşeninin A nok- tasına göre momentinin büyüklüğü M=F1 . G dir. F2 dik bi- leşeninin doğrultusu A noktasından geçtiğinden A nokta- sına göre momenti sıfırdır.

Yanıt: D

3. BİR KUVVETİN BİR EKSENE GÖRE MOMENTİ Şekil 5 teki ABCD düzlemi-

ne dik olan y eksenine göre

F

kuvvetinin momenti şu şekilde bulunur. Önce F kuvvetinin ABCD düzlemi üzerindeki izdüşümü olan

F1 kuvveti çizilir. y ekseninin ABCD düzlemini kestiği O noktasından

F1 in etki çizgisine OH dikmesi indirilir. F nin y eksenine göre, momentinin büyüklüğü F1 ile F1 in O ya olan d dik uzaklığının çarpımına eşittir. Momentin büyüklüğü, M = F.d

bağıntısı ile bulunur. Şekil 5 teki dik üçgende, d = G.Sina

olduğundan, momentin büyüklüğü, M = F.G.Sina

bağıntısıyla bulunur.

a. Bileşke Moment

Bir cisme veya sisteme birden çok kuvvet uygulandığında bu kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri toplamına bi- leşke veya toplam moment denir. M∑ ile gösterilir. Top-

lam moment sıfırdan farklı olursa cisim veya sistem dön- me hareketi yapar.

b. Denge Şartları

Katı bir cismin dengede kalabilmesi için hem öteleme hemde dönme hareketini yapmaması gerekir. Bu da bir cismin den- gede kalabilmesinin iki şarta bağlı olduğuna gösterir.

I. Denge Şartı

Katı bir cismin öteleme hareketi yapmaması için, cisme uygu- lanan kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır (R = 0).

x

y

F = 0 F = 0 dır.

II. Denge Şartı

Katı cismin dönme hareketi yapmaması için, cisme uygula- nan kuvvetlerin seçilen bir noktaya göre toplam momenti sıfır olmalıdır ( M∑ = 0).

4. PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ a) Aynı Yönlü Paralel Kuvvetler

Bir AB çubuğunun A ve B noktala- rına şekildeki gibi doğrultuları para- lel, aynı yönlü F1 ve F2kuvvetleri uygulayalım.

Bu kuvvetlerin bileşkesinin büyük- lüğü R = F1 + F2 dir.

R nin uygulama noktası (O), AB doğrusu üzerindedir. Bu noktanın yeri , F1 . |AO| = F2. |BO| bağıntısı ile bulunur.

O noktası, büyük olan kuvvete daha yakındır (Şekil 6).

Uyarı: Bileşke kuvvetin uygulandığı noktaya göre sis- teme etki eden kuvvetlerin toplam momenti sıfırdır. Bu noktaya, bileşke kuvvete eşit büyüklükte, aynı doğrul- tuda, zıt yönlü bir kuvvet (dengeleyici kuvvet) uygula- nırsa sistem dengede kalır.

b) Zıt Yönlü Paralel Kuvvetler Bir AB çubuğunun A ve B noktalarına şekildeki gibi doğrultuları paralel, zıt yönlü

F1 ve F2kuv- vetleri uygulayalım.

Bu kuvvetlerin bileşkesi-

ÆF2 O

A

R = F1 + F2 ÆF1

B

Þekil 6

ÆF2 A

R = F1 – F2 Æ F1 O B

Þekil 7

•

a d

H

A

C

G

y Æ

F

Þekil 5

•

•

B D

F1 O

ÆF1

G B

A

ÆR ÆF2 d

(3)

yatay ip 2m m

ip

K L M

2mg mg

K L M (–) (–)

mg (+)

N nin büyüklüğü F1 > F2 olmak koşuluyla R= F1 – F2 olur. R

nin uygulama noktası O, A ve B noktalarından geçen doğru- nun üzerinde, A ve B noktalarının dışında, büyük kuvvet tara- fındadır.

Bu noktanın yeri,

F1 . |AO| = F2 . |BO| bağıntısı ile bulunur (Şekil 7).

c) Kuvvet Çifti

Bir AB çubuğuna, şekildeki gibi, zıt yönlü, doğrultuları paralel, büyük- lükleri eşit F kuvvetleri uygulayalım.

Bu kuvvetlerin bileşkesinin büyük- lüğü sıfırdır.

Bu kuvvetlerin çubuk üzerinde her- hangi bir noktaya göre momentleri toplamı MT = F.d olur.

Çubuk bu kuvvetlerin etkisinde Şekil 8 deki gibi O noktası et- rafında döner. Bu kuvvetlere kuvvet çifti denir (Şekil 8).

d) Paralel Kuvvetlerin Dengesi

Ağırlığı önemsenmeyen AB çubuğu bir destek üzerinde F1

ve F2 kuvvetleriyle Şekil 9 daki gibi dengede ise;

1 2

F + F + N = 0 F1 . |AO| = F2 . |OB| dir.

Ağırlığı önemsenmeyen AB çubuğu bir iple asılı olarak F1 ve

F2 kuvvetleriyle Şekil 10 daki gibi dengede ise;

1 2

T + F + F = 0

F1 . |AO| = F2 . |BO| dır.

G ağırlığındaki AB çubuğu bir destek ve bir iple Şekil 11 deki gibi dengede ise;

N + G + T = 0

G . |AO| = T . |AB| dir.

ÖRNEK 2

Kütlesi m olan, eşit bölmeli, düzgün, türdeş bir çubuğa 2m ve m kütleli cisimler şekildeki gibi asılıyor.

Bu çubuk, hangi noktasından asılıp serbest bırakılırsa yatay dengede kalır?

A) K noktasından

B) KL uzunluğunun orta noktasından C) L noktasından

D) LM uzunluğunun orta noktasından E) M noktasından

(ÖSS–2004)

ÇÖZÜM

Sistemin dengede kalabilmesi için sisteme etkiyen kuvvetle- rin bileşkesi sıfır olmalıdır. Çubuk düzgün ve türdeş oldu- ğundan kütle merkezi ortasındadır. 2mg, mg ve mg kuvvetle- rinin bileşkesi L noktasındadır. L ye göre moment alınırsa;

2mg.2 = mg.1 + mg.3 bağıntısında 4mg = 4mg olduğundan çubuk L den bir iple asılırsa dengede kalır.

Yanıt: C

ÖRNEK 3

K noktasından birbirine yapıştırıl- mış olan O1 ve O2 merkezli, 2r ve r yarıçaplı türdeş küreler şekildeki gibi dengedeyken desteğin tepki kuvveti ile ipteki T gerilme kuvveti eşit büyüklükte olmaktadır.

I küresinin ağırlığı 24N olduğuna göre II küresinin ağırlığı kaç N dur?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 40 E) 48

®F2

® O F1

®N

–A Byatay

Þekil 9

® O N

yatay

A

B

®T

®G

yatay

Þekil 11

•

•2r r

•

O1

O2 I

II T K

•

F O

A F

B d

Þekil 8

•

•

®F2 O

®F1

®T

yatay

A B

Þekil 10

(4)

• • • •

• • • •

•

•

O

•

•

• •

ÆR = ÆG Þekil 12

ÇÖZÜM

F ve T kuvvetleri eşit olduğundan bu kuvvetlerin bileşkesi K noktası- dır. Şekildeki kuvvetlerin K nokta- sına göre momenti alınarak, GI.2r = GII.r

GII = GI.2

GII = 24.2 = 48N bulunur.

Yanıt : E

ÖRNEK 4

80N ağırlığındaki O noktasın- dan dönebilen, bükülmüş eşit bölmeli düzgün türdeş tel şekil- deki gibi dengededir.

Buna göre, T gerilme kuvve- tinin büyüklüğü kaç N dur?

A) 40 B) 60 C) 80 D) 110 E) 120

ÇÖZÜM

80N ağırlığındaki eşit bölmeli düzgün ve türdeş telin KL, LM ve MO parçalarının ağırlıkları sırasıyla 20N, 20N ve 40N dur.

Tele uygulanan kuvvetlerin O noktasına göre momenti alına- rak,

T.2 = 20.3 + 20.4 + 40.2 T = 110N bulunur.

Yanıt : D

ÖRNEK 5

40N ağırlığındaki eşit bölmeli düzgün ve türdeş olan bir çu- buğa 20N ağırlığındaki X cismi asılı iken çubuk şekil- deki gibi dengededir.

Sadece yatay düzlem sür- tünmeli olduğuna göre, K noktasından çubuğa uygu- lanan

FS sürtünme kuvveti

ile yatay düzlemin çubuğa uyguladığı

FT tepki kuvve- tinin büyüklüğü kaç N dur?

FS FT

A) 60 20

B) 40 20

C) 20 60

D) 60 40

E) 40 40

ÇÖZÜM

Çubuğa uygulanan kuvvetler şekildeki gi- bidir. AK = 40 cm olduğundan her böl- mesi 10 cm dir. Çu- buğa uygulanan kuv- vetlerin K noktasına göre ∑ = 0 oldu-M ğundan,

F.70 = Gç.20 +Gx.30 F.70 = 40.20 + 20.30 F = 20N bulunur.

Çubuğa uygulanan kuvvetlerin bileşkesi R = 0 dır.

x S

y

T ç x

T T

F = 0 olduğundan F = F = 20N dur.

F = 0 olduğundan F = G + G F = 40 + 20 F = 60N bulunur.

Σ

Σ

Yanıt : C

5. KÜTLE MERKEZİ

Maddelerin atom ve moleküllerine yer- küremiz tarafından kütle çekim kuvveti uygulandığı için, çok küçük de olsa ağırlıkları vardır. Şekil 12 deki gibi bir cismin atom ve moleküllerine uygula- nan bileşke kütle çekim kuvvetine o cismin ağırlığı denir.

G sembolü ile gösterilen ağırlık vektörünün O uygulama noktasına ağırlık merkezi denir (Şekil 12).

m kütleli bir cismin bulunduğu yerdeki g kütle çekim ivme- si (yerçekim ivmesi) biliniyorsa o cismin ağırlığı,

G = m . g

bağıntısıyla bulunur.

Bir cismin kütle merkezi ile ağırlık merkezi aynı noktadır.

Fakat g kütle çekim ivmesinin sıfır olduğu yerde cismin ağırlık merkezinden söz edilemez. Bu durumda sadece cismin kütle merkezi ifadesi kullanılır.

Kütle ve ağırlık kavramları karıştırılmamalıdır. Bunlar ara- sındaki ilişki, aynı yerde bulunan cisimlerden kütlesi büyük olan cismin ağırlığının da büyük olmasıdır.

Kütle Ağırlık 1. Madde miktarıdır. 1. Cisme uygulanan

yerçekimi kuvvetidir.

2. Eşit kollu terazi ile ölçülür 2. Dinamometre ile ölçülür.

3. Birimi kilogramdır. 3. Birimi Newton dur.

4. Bulunduğu yere 4. Bulunduğu yere göre değişmez. göre değişir.

K A

• L

X düþey

ÆFT ÆFS

70 cm yatay

40 cm

yatay 40N

• T

•

• •

M

L K

O 20N

20N

•

•2r r

•

GI = 24N

I II

T K

•

(+)

GII F

• T

•

• •

O

K A

• L

X düþey

ÆFT ÆFS

•

•

•

L F = FS

Gç = 40N Gx = 20N 70 cm

40 cm

yatay

(5)

• •

r1 = 30 cm r2 = 10 cm

O1 O2

•

•

•

O

küp

•

•

•

O

dikdörtgenler prizmasý

•

•

•

O

silindir Þekil 17

y

•

y =3r 8p 0 Þekil 20

r x

6. AĞIRLIK MERKEZİNİ BULMA

Şekil 13 teki gibi bir cismi m1, m2 ve m3 kütleli üç parçaya ayırdığımızı düşünelim.

Bu parçaların ağırlıkları G1, G2 ve G3 ise, cismin ağırlığı, G = G1 + G2 + G3 tür.

Bu ağırlık vektörlerinin x ve y eksenlerine göre momenti alınarak

G.x = G1.x1 +G2.x2 + G3.x3 G.y = G1.y1 +G2.y2 + G3.y3 yazılabilir.

Buradan, O kütle merkezinin koordinatları

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

G . x + G . x + G . x

x = G

G . y + G . y + G . y

y = G

bağıntılarıyla veya ağırlıklarının yerine G = mg değerleri yazılarak,

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

m . x + m . x + m . x

x = m

m . y + m . y + m . y

y = m

bağıntılarıyla bulunur.

7. DÜZGÜN TÜRDEŞ CİSİMLERİN KÜTLE MERKEZİ Düzgün türdeş cisimlerin kütle merkezi orta noktaları veya simetri merkezleridir.

a. Düzgün ve türdeş çubuğun ağırlık merkezi çubuğun orta noktasıdır (Şekil 14).

b. Türdeş üçgen levhanın kütle merkezi kenarortaylarının kesiş- tiği noktadır (Şekil 15).

c. Türdeş çember, daire ve kü- renin kütle merkezi bu cisim- lerin geometrik merkezidir (Şekil 16).

d. Türdeş olan küp, dikdörtgenler prizması ve silindirin kütle merkezi alt ve üst tabanlarının orta noktalarını bir-

leştiren doğrunun (simetri ekseninin) orta noktasıdır (Şekil 17).

e. Türdeş yarım çemberin kütle merkezi Şekil 18 deki koordinat sisteminin orijin noktasından y = 2r

π kadar uzaktadır.

f. Türdeş yarım dairenin kütle merkezi Şekil 19 daki koor- dinat sisteminin orijin nokta- sından y = 4r

3π kadar uzak- tadır.

g. Türdeş yarım kürenin küt- le merkezi Şekil 20 deki koordinat sisteminin orijin noktasından y = 3r

8π ka- dar uzaktadır.

Uyarı : Aynı maddelerden yapılmış birleştirilmiş ci- simlerin ağırlıkları yerine uzunlukları, alanları, ha- cimleri, kütleleri ya da eşit parça sayısı alınabilir.

ÖRNEK 6

Şekildeki gibi birbirine yapış- tırılmış olan aynı telden kesi- lerek yapılan O1 ve O2 mer- kezli türdeş çemberlerin kütle merkezi O1 noktasından kaç cm uzaktadır?

A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20

•

O Þekil 14G

•

O

G Þekil 15

çember daire

• •

O O

küre

•

O

Þekil 16

G G G

y

•

y =2r p 0 Þekil 18

r x

y

•

y =4r

3p 0 Þekil 19

r x

• •

•

y

0 x

G G3

G1

G2 m1

m2

m3

Þekil 13

•

(6)

• •

K M

2r 2r r r

•

x

GM = 1

GK = 4 GL = 4 y

ÇÖZÜM 1

O1 merkezli çemberin yarıçapı O2 merkezli çemberin yarıçapının 3 katı olduğundan uzunluğu ve ağır- lığı onun 3 katıdır.

O ağırlık merkezine göre moment alınarak,

G1.x = G2.(40–x) 3.x = 1.(40–x) 3.x = 40– x 4x = 40

x = 10 cm bulunur.

ÇÖZÜM 2

Şekildeki koordinat sistemi oluşturulur. O1 merkezli çemberin kütlesi m1 = 3 bi- rim ise O2 merkezli çembe- rin kütlesi m2 = 1 birimdir.

y eksenine göre moment alınarak,

1 1 2 2

1 2

m .x + m .x x = m + m

3.0 + 1.40 x = 3 + 1 x = 40

4

x = 10 cm bulunur.

Yanıt : A

ÖRNEK 7

2r yarıçaplı O merkezli düzgün ve türdeş dairesel levhadan kesilerek çıkarılan r merkezli I nolu dairesel levha II konumunda levhaya yapıştırı- lıyor.

Sistemin kütle merkezinin K noktasından uzaklığı kaç r dir?

3 2 1 1

A) 1 B) C) D) E)

4 3 2 3

ÇÖZÜM 1

Levhaların ağırlıkları alanları ile doğru orantılı olduğundan,

A1 = π.4r2, G1 = 4 A2 = πr2 , G2 = 1 A3 = πr2 , G3 = 1

alınabilir. A2 alanlı parça çıkarıldı- ğından ağırlık vektörü ters yönlüdür.

Sistemin M ağırlık merkezinin K den uzaklığına x diyerek M noktasına göre moment alınırsa,

4.(2r–x) = 1 (r + 2r – x) + 1(r+x) 8r – 4x = 3r – x + r + x

8r – 4x = 4r 4r = 4x x = r bulunur.

ÇÖZÜM 2

Şekildeki II nolu levha ile levhanın r yarıçaplı III nolu bölümünün ağırlık merkezi K noktası ve bu levhaların ağırlını G2 = 2 birim alalım. Levhanın daha koyu taranmış olan kalan kıs- mının ağırlığı G1 = 2 birim olur.

Sistemin ağırlık merkezi ⎪KO⎪ nun orta noktası olan M noktası olur. ⎪KM⎪ = r dir.

Yanıt : A ÖRNEK 8

Aynı levhadan kesilen K ve L merkezli düzgün ve türdeş dai- resel levhalar A noktasından şekildeki gibi birbirine yapıştı- rılmıştır.

L merkezli levhadan M merkezli r yarıçaplı levha kesi- lerek çıkarıldığına göre sistemin kütle merkezi K nok- tasından kaç r uzaklıktadır?

10 11 12 13 14

A) B) C) D) E)

7 7 7 7 7

ÇÖZÜM

Levhaların ağırlıkları alanları ile doğru orantılıdır.

2 2

K K K

2 2

L L L

2 2

M M M

S = r = . 4r G = 4 birim S = r = . 4r G = 4 birim S = r = . r G = 1 birim

π π

π π

π π

Ağırlık vektörleri şekildeki gibi çizilir.

Sistemin kütle merkezinin K den uzaklığı

K K L L M M

K L M

G .x + G .x + G .x x = G + G + G

4.0 + 4.4r 1.5r x = 4 + 4 1 x = 11 r bulunur.

7

Yanıt : B

•

30 cm 10 cm

•

O1 O2

m1 = 3

x y

m2 = 1

• •K O• •

II I

r r

• •

K A L M

2r 2r

•

r r

• •K O• •

II • r r

G3 = 1

G1 = 4 G

G2 = 1 r x 2r–x

M

r •r

•K• O •

II

G1 = 2 G G2 = 2

r IIIM • I

• •

G1 = 3 G2 = 1 O1 40 cm

•

O2

x 40 – x

G O

(7)

X

• yatay

K

L

•

P

•

•

M N R S

X

• yatay

K

L

•

P

•

•

M N R S

T T

x R = 2T

Gç = 3P

K L

M N

2a a a

a a

a

a

O

•

A 2a

2a

K

L M N

2a a a

a a

a

a

O

•

B

•

C

•

2a

a

a A

•

K

P L

M N

R S T

1 2 3 4 5 6 1

23 45 6

0 x

y

K P L

M N

R S T

1 2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6

0 x

y

ÖRNEK 9

3P ağırlığındaki eşit bölmeli düzgün KL çubuğu P ağırlı- ğındaki X cismi ile şekildeki gibi dengededir.

Buna göre, çubuğun kütle merkezi nerededir?

(Sürtünmeler önemsenmiyor.)

A) R noktasında B) RN arasında C) N noktasında D) NM arasında E) M noktasında

ÇÖZÜM

İplerdeki T gerilme kuvvetlerinin N noktasındaki bileşkesi R = 2T dir.

Bu noktaya göre moment alınırsa, 3P . x = P . 3

x = 1 birim bulunur.

Bu da çubuğun kütle merkezinin M noktasında olduğunu gösterir.

Yanıt : E ÖRNEK 10

Şekildeki levha, farklı metallerden yapılmış dikdörtgen bi- çimli, ince, düzgün ve türdeş K, L, M, N parçalarından oluşmuştur. Bu levhanın kütle merkezi O noktasıdır.

K, L, M, N parçalarının kütleleri sırasıyla mK, mL, mM, mN olduğuna göre,

I. mK = mL II. mM = mN

III. mK + mL = mM + mN

eşitliklerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III

(ÖSS–2005)

ÇÖZÜM

Düzgün ve türdeş K ve L levhalarının kütle merkezi AO nun orta noktasındadır. Bu nedenle kütleleri mK = mL dir.

Düzgün türdeş M ve N levhalarının kütle merkezi, OC doğrusu üzerinde herhangi bir noktada olabilir.

mM > mN ise, OB arasında mM = mN ise, B noktasında mM < mN ise, BC arasındadır.

mK = mL = mM = mN ise,

mK + mL = mM + mN olabilir fakat kesin değildir.

Yanıt : A ÖRNEK 11

Türdeş ve özdeş 10 kareden oluşan şekildeki düzgün ince levhanın L, M, N, R, S, T parça- ları tek; K, P parçaları da çift katlıdır.

Buna göre, bu levhanın kütle merkezinin koordinatları (x, y) aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2,2) B) (2,3) C) (2,4) D) (3,3) E) (3,4) (ÖSS–2006) ÇÖZÜM

Şekildeki K parçasının kütlesi m1

= 2m koordinatları (1,5), M, N, R, S parçalarının toplam kütlesi m2

= 4m koordinatları (2,2), L, P, T parçalarının toplam kütlesi m3 = 4m koordinatları (5,3) tür.

Levhanın kütle merkezinin x ko- ordinatı

1 1 2 2 3 3

1 2 3

m x m x m x

x m m m

2m.1 4m.2 4m.5

x 2m 4m 4m

x 30m 3 tür.

10m

+ +

= + +

+ +

= + +

= =

Levhanın kütle merkezinin y koordinatı

1 1 2 2 3 3

1 2 3

m y m y m y

y m m m

2m.5 4m.2 4m.3

y 2m 4m 4m

y 30m 3 tür.

10m

+ +

= + +

+ +

= + +

= =

Yanıt: D

(8)

a a

yatay O

•

K L

yatay

yatay O

•

K L

yatay

x y

K L M

O

N P R

yatay

yatay

K L

P1

•

•

Þekil 1 yatay

K L

P2

•

• Þekil 2

yatay

K L

P3

•

Þekil 3

•

ÇÖZÜMLÜ TEST

1.

K noktası çevresinde dönebilen sürtünmesiz yatay düzlemdeki katı cisme →

F1, → F2, →

F3 kuvvetleri şekil- deki gibi etki etmektedir.

Bu kuvvetlerin K noktasına göre

momentlerinin büyüklükleri eşit ise kuvvetlerin bü- yüklükleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) F1 = F2 = F3 B) F1 > F2 > F3 D) F3 > F2 > F1 D) F2 > F3 > F1 E) F3 > F1 > F2

ÇÖZÜM

Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti- nin büyüklüğü

M = F.d bağıntısı ile bulunur.

F1 kuvvetinin K noktasına olan dik uzaklığı 3 birim, F2 kuvvetinin 2 birim, F3 kuvvetinin 1 birimdir.

M = F1.d1 = F2.d2 = F3.d3 F1.3 = F2.2 = F3.1 olduğundan F3 > F2 > F1 dir.

Yanıt: D

2.

Şekildeki gibi biçimlendirilmiş ağırlığı önemsiz eşit böl- meli çubuk O noktası etrafında serbestçe dönebiliyor.

K ve L cisimleri çubuğa şekildeki gibi asıldığında dengesi bozulmuyor.

Buna göre,

I. K ve L cisimlerin ağırlıkları eşittir.

II. K ve L cisimlerin yerleri değiştirilirse denge bo- zulmaz.

III. K nin ağırlığı L ninkinden küçüktür.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

ÇÖZÜM

O noktası çevresinde dönebilen ağırlıksız çubuk dengede olduğuna göre, PK.x = PL.y ve x > y olduğundan PL > PK dir.

Cisimlerin yerleri değiştirilirse O noktasına göre, ağırlıklarının momentleri PL . x > PK . y olduğundan denge bozulur.

Yanıt: C

3.

Ağırlığı önemsenmeyen çubuğa özdeş cisimler şekil- deki gibi bağlanmıştır.

Buna göre,

I. M ye asılı cisimlerden birini alıp L ye bağlama II. K ye asılı cisimlerden birini alıp L ye bağlama III. P ye asılı cisimlerden birini alıp R ye bağlama işlemlerinden hangileri yapılıp çubuk yatay ko- numdan serbest bırakılırsa dengede kalır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ya da II E) II ya da III

ÇÖZÜM

I. M ye asılan cisimlerden birini alıp L ye bağladığımızda O ya göre bileşke moment

ΣM = 2P.3+P.2+P.1–P.1–3P.2 ΣM = 2P olur.

Çubuk dengede kalmaz.

II. K ye asılan cisimlerden birini alıp L ye bağladığımızda O ya göre bileşke moment

ΣM = P.3 + P.2 + 2P.1–P.1–3P.2 = 0 olduğundan çubuk dengede kalır.

III. P ye asılan cisimlerden birini alıp R ye bağladığımızda O ya göre bileşke moment

ΣM = 2P.3 + 2P.1 –P.1–2P.2–P.3 = 0 olduğundan çubuk dengede kalır.

Yanıt: E

4.

Eşit bölmelenmiş KL çubuğu üç ayrı şekilde P1, P2 ve P3 ağırlıklı cisimlerle şekillerdeki gibi yatay olarak dengelenmiştir.

Buna göre, cisimlerin P1, P2, P3 ağırlıkları arasın- daki ilişki nedir?

(Makara ağırlıkları ve sürtünmeler önemsenmiyor.) A) P1 < P2 = P3 B) P3 < P1 = P2 C) P1 < P2 < P3

D) P1 < P3 < P2 E) P1 = P2 = P3

®F1

®F2

®F3

•

K

®F1

®F2

®F3

•

K

1 br

(9)

K K K

yatay

I II yatay III yatay

®F1

®F2 ®

F3

K

(–) (–) (–)

K K

P (+) P (+) P (+)

®F1 ®

F2

®F3

• •

•

X Y

r M r

yatay K L

ÇÖZÜM F

KL çubuğu Şekil 1 de den- gede olduğuna göre, ağırlığı P1 ağırlık merkezi O noktası- dır.

Şekil 2 de ise, yere bağlı ipin çubuğa bağlı olduğu noktaya göre moment alınırsa P1.3 = P2.2 olduğundan P2 = 3P1

2 dir.

Şekil 3 te tavana bağlı ipin çubuğa bağlı olduğu nok- taya göre moment alınırsa P1.3 = 2P3.1

P3 = 3P1 2 dir.

Yanıt: A

5.

Her birinin ağırlığı P olan düzgün, türdeş ve eşit böl- meli I, II ve III dikdörtgen biçimli levhalar, yatay düz- lem üzerinde dengededir. Bu levhaları K noktası et- rafında döndürebilmek için her birine uygulanacak en küçük →

F1 , → F2 ve →

F3 kuvvetleri şekildeki gibidir.

Buna göre, uygulanan kuvvetlerin büyüklükleri arasındaki ilişki nedir?

A) F1 < F2 < F3 B) F2 < F1 < F3 C) F3 < F1 < F2 D) F1 = F2 < F3

E) F1 = F2 = F3 ÇÖZÜM

P ağırlıklı cisimler düzgün türdeş olduğuna göre ağırlık merkezleri orta noktasındadır. Cisimleri devirebilmek için uygulanacak en küçük kuvvetlerin K noktasına göre mo- menti, ağırlıkların bu noktaya göre momentlerine eşitlenirse P . 1 = F1 . 4 = F2 . 3 = F3 . 1 olacağından F3 > F2 > F1 olur.

Yanıt: A

6.

K noktasından dö- nebilen ve ağırlığı önemsenmeyen, eşit bölmeli düzgün ve türdeş KL çu- buğu, F kuvvetiyle şekildeki gibi yatay olarak dengede tu- tulmaktadır.

X cisminin ağırlığı 20N, M çıkrığının ağırlığı 10N olduğuna göre, F kuvveti kaç N dur?

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

ÇÖZÜM

Çıkrık dengede olduğun- dan, bileşke moment sıfır olur.

Px . 2r = Py . r den 20.2 = PY

Py = 40 N olur.

Çıkrığa etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır olduğuna gö- re, çıkrığın çubuğa bağlı ol- duğu ipteki T gerilme kuvve- tinin büyüklüğü 70 N dir.

Çubuk dengede olduğun- dan, K noktasına göre bi- leşke moment sıfır olur.

70 . 2 = F . 5 ten F = 28 N bulunur.

Yanıt: D

7.

Eşit bölmeli yatay düzleme m, m, 2m ve 4m kütleli ci- simler şekildeki gibi konul- muştur.

Bu cisimlerin kütle mer- kezi nerededir?

A) K B) L C) P D) R E) S

ÇÖZÜM

Şekildeki m kütleli I cismi ile 2m kütleli II cisminin kütleleri- nin toplamı 3m kütle merkezi T dir. I, II, III cisimlerinin kütlele- rin toplamı 4m kütle merkezi P, I, II, III, IV cisimlerinin ise kütle merkezi S noktasıdır.

Yanıt: E

•

• •

• •

• •

•

m

m

4m

S R 2m L K

•

P

•

• •

• •

• •

•

m

m 4m

S R 2m L K

•

P

IV III

II I

•

T

yatay

K L

P1

•

• Þekil 1 P1

P1 O

yatay

K L

P2

•

• Þekil 2 P1

yatay

K L

P3

•

Þekil 3

•

P1 2P3

X Y

•

•

r r K

T=70 N

PX =20N 10 N Py=40N

(+) (–) (–)

(+)

M

F

(10)

8.

Eşit hacimli düzgün ve türdeş, GX, GY, GZ ağırlıklı X, Y, Z cisimleri şe- kildeki gibi dengededir.

Buna göre, I. GX > GY II. GZ > GY III. GZ > GX

yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III

ÇÖZÜM

X cisimlerinin ağırlık merkezi ipin asılma doğrultusu üze- rindedir. Bu nedenle X cisimlerinin ağırlıkları Y ve Z cisim- lerinin ağırlıkları ile karşılaştırılamaz.

Y

Y Z

Z

3 1 G 2

G . 2G .

2= 2 G =3

GZ > GY dir.

Yanıt: B

9.

Her biri düzgün türdeş olan, birbirine yapıştırılmış X ve Y küreleri K noktası etrafında dönebilmektedir.

İpteki gerilme kuvvetinin büyüklüğü 3P

2 olduğuna göre,

I. X küresinin ağırlığı 8P dir.

II. Y küresinin ağırlığı 2P dir.

III. X küresinin özkütlesi Y küresininkinden büyüktür.

yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III

ÇÖZÜM

Sistem dengede olduğuna göre, O noktasına göre bileşke moment sıfır olur.

T . 4r = GY . 3r 3P

2 . 4r = GY . 3r GY = 2P dir.

X küresi ile Y küresinin ağırlıkları ve özkütleleri karşılaştırılamaz.

Yanıt: B

10.

Kütle merkezi O noktası olan eşit böl- meli düzgün, türdeş kare levha şekil- deki gibi tavana asıldığında dengede kalıyor.

Buna göre, kare levhanın taralı parçalarından,

I. K ve P parçalarını birlikte çıkar- mak

II. R, L, M, N parçalarını birlikte çı- karmak

III. L ve R parçalarını birlikte çıkarmak

işlemlerinden hangileri yapılırsa ipin doğrultusu yine AB doğrultusunda olur?

A) Yalnız I B) I ya da II C) I ya da III D) II ya da III E) I ya da II ya da III ÇÖZÜM

Sistemin şekildeki konumda dengede kalabilmesi için, ip doğrultusuna göre sistemi oluşturan parçaların bileşke momenti sıfır olmalı ya da sistemin ağırlık merkezi askı ipi doğrultusunda olmalıdır. K ve P parçalarının ip doğrultu- suna göre, bileşke momentleri sıfırdır. R, L, M ve N parça- larının ip doğrultusuna göre bileşke momentleri sıfırdır. Bu nedenle I ve II işlemlerinde askı ipinin doğrultusu AB doğ- rultusunda olur. L ve R parçaları birlikte çıkarılırsa AB doğrultusunun solundaki parçaların momenti sağındaki parçaların momentinden büyük olduğundan kalan levha saatin dönme yönüne ters yönde döner.

Yanıt: B

11.

Şekildeki düzgün türdeş kare lev- hanın kütle merkezi O noktasıdır.

Bu kare levhanın K ve L parçaları kesilip çıkarılıyor.

Bu parçalarla birlikte, I. 1 ve 4 parçalarını kesip çıkarma II. 2 ve 3 parçalarını kesip çıkarma III. 2 ve 4 parçalarını kesip çıkarma

işlemlerinden hangileri yapılırsa levhanın kütle merkezi yine O noktası olur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ya da II D) II ya da III E) I ya da II ya da III ÇÖZÜM

Bir sistemden çıkarılan parçaların kütle merkezleri sistemin ilk kütle merkezinde ise kütle merkezinin yeri değişmez.

Şekildeki K ve L parçalarının kütle mer- kezi O1 dir. Kütle merkezleri O2 olan herhangi iki parça sistemden çıkarılırsa

kütle merkezinin yeri değişmez. Kütle merkezi O2 nokta- sında olan bu iki parça 1 ve 4 parçaları veya 2 ve 3 parça- ları olabilir.

Yanıt: C

•

2r

•

r

• yatay

X Y

yatay

O O

K

•

2r

•

r

• yatay

X Y

yatay O

K

T = 3P 2

GY GX

K M

N P R L

•

•

O B A ip

K L 1

•

2 3

4 O

Y X Z

X Z

•

düþey ip

1

•

2 3

4 O

2P

•

O1 O2

•

K L

(11)

a b

b III

I yatay II yatay

yatay L

L

K

K K

L F1

F2

F3

yatay F

•

•

G

•

•

A

E

• •

• •

F B yatay

D

C G

P

KONU TESTİ

1.

Aynı düzlemde bulunan F1,

F2, F3 ve

F4 kuvvetlerinden hangilerinin O noktasına göre momenti,

F kuvvetinin mo- mentine eşittir?

A) Yalnız →

F3 B) Yalnız →

F4 C) → F1 ve →

F2 D) →

F3 ve →

F4 E) →

F2 ve → F3

2.

Düşey düzlemde O noktası etrafında dönebilen P ağırlı- ğındaki düzgün, türdeş ve eşit kare bölmeli cisim şekildeki

→F1, → F2 ve →

F3 kuvvetleri ile ayrı ayrı dengede tutulabiliyor.

Buna göre, F1 ,

F2 ve

F3 kuvvetlerinin büyüklük- leri arasındaki ilişki nedir?

A) F1 = F2 > F3 B) F1 = F2 = F3 C) F1 > F2 > F3 D) F1 = F3 > F2

E) F3 > F1 = F2

3.

P ağırlığında düzgün, tür- deş çubuk ağırlıkları PX, PY, PZ olan X, Y ve Z ci- simleri ile şekildeki gibi dengededir.

Çubuğu tavana bağlayan

ipteki gerilme kuvvetin büyüklüğü T olduğuna göre;

I. PX = P II. T = 3PY III. PX > PY IV. PX > PZ

yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

A) I ve II B) III ve IV C) II ve III D) I ve IV E) Yalnız IV

4.

K noktasından dönebilen türdeş KL çubuğu F1, F2, F3 kuvvetleri ile I, II, III teki gibi ayrı ayrı dengeleni- yor.

β > α olduğuna göre, bu kuvvetlerin büyüklükleri arasındaki ilişki nedir?

A) F1 = F2 = F3 B) F1 > F2 > F3 C) F1 = F2 > F3 D) F3 > F1 = F2 E) F2 > F1 > F3

5.

Ağırlığı önemsenmeyen eşit bölmeli çubuk üzerine konulan G ağırlıklı cisim, F kuvvetiyle şekildeki gibi yatay olarak dengeleniyor.

Makara ağırlığı ve sürtünmeler önemsenmediğine göre, F kuvvetinin büyüklüğü, G ağırlığının kaç katıdır?

A) 1

4 B) 1

3 C) 1

2 D) 1 E) 2

6.

Sürtünmelerin önemsenmediği sistemde ağırlığı 3P olan eşit bölmeli AB çubuğu P ağırlıklı cisim ile yatay olarak dengededir.

Buna göre, çubuğun ağırlık merkezi nerededir?

A) CD arasında B) D noktasında C) DE arasında D) F noktasında E) FG arasında

®F1

®F2

®F3

®F4

F O

®F1 ®

F2

®F3

•

O

yatay T

X Y Z

(12)

A

• •

•

B yatay I

A

•

B yatay II

3P P

P

A

•

B yatay III

P

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8

y

0 x

2l

6l

A)

2l

6l

B)

C)

N P L M K

l l 3l

3l

•

D)

PN M L

K l l

3l

3l

•

E)

• •

NP M L K

l l

3l

3l

• I

• ip

II

• ip

III

• ip

•

K

•

L

•

M

7.

Ağırlığı 4P olan eşit bölmeli düzgün, türdeş AB çubuğu P ve 3P ağırlıklı cisimlerle I, II, III teki gibi tutulmaktadır.

Çubuklar serbest bırakıldığında hangileri yatay olarak dengede kalabilir?

(Makaralarda sürtünme önemsenmiyor.)

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ya da II E) I ya da III

8.

Düzgün ve türdeş bir tel I, II, III teki gibi bükülüp K, L, M noktalarından iple asılmıştır.

Buna göre, tellerden hangileri serbest bırakıldı- ğında asıldıkları konumda dengede kalır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III

9.

Türdeş kare levhadan kesilen parça şekildeki gibi ekleniyor.

Buna göre, yeni cismin kütle mer- kezi nerede olur?

(OM arası eşit aralıklıdır.)

A) ML arasında B) L noktasında C) LK arasında D) K noktasında E) KO arasında

10.

Her biri düzgün ve türdeş olan eşit kare bölmeli X ve Y levhaları, şe- kildeki gibi birleştirilip O noktasın- dan bir destek üzerine konuldu- ğunda yatay olarak dengede kalı- yor.

Buna göre,

I. X levhasının ağırlığı Y ninkinden küçüktür.

II. K ve L parçaları kesilip alınırsa levhalar 2 yönün- de döner.

III. K ve L parçaları yerdeğiştirirse düzeneğin denge durumu değişmez.

yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III

11.

Şekildeki eşkenar üçgen çer- çevenin türdeş AB ve BC ke- narlarının ağırlıkları P, türdeş AC kenarının ağırlığı ise 2P dir.

Buna göre, üçgen çerçe- venin kütle merkezi nere- dedir? (BS arası eşit bölme- lidir.)

A) MN arasında B) NO arasında C) O noktasında D) OP arasında E) P noktasında

12.

Şekildeki düzgün ve türdeş kare levhalardan oluşan sistemin kütle merkezinin koordinatları nedir?

A) (4, 3) B) (4, 2) C) (3, 4) D) (3, 2) E) (5, 3)

13.

Boyu 8A olan düzgün, türdeş bir tel şekildeki gibi bükülüyor.

Buna göre, tel O noktasından asıldı- ğında aşağıdakilerden hangisindeki gibi dengede kalır?

(KP eşit bölmelidir.)

K L M N O P R S A

B C

O NP M L K

l l

3l

3l

•

• • • •

•

••K O••

M L

K X L

Y O

•

yatay

1 2

1. B 2. D 3. E 4. C 5. A 6. D 7. D 8. C 9

Referanslar

Benzer Belgeler

f: A →B ve g: C→D iki fonksiyon olmak üzere, A ∩C=T ise. Sınıf Matematik

Bir kübün hacmi 64 cm 3 iken hacminin değişim hızı 2 cm 3 /sn olduğuna göre, bu andaki kübün yüzey alanının değişim hızı kaç cm 2 /sn

Şekilde kaldırma kapasitesi Q=200 kN olan bir vincin tel halat işletme grubu 2 olup halat makarası ve denge makarası için dönme dirençli halat kullanılmaktadır.

Yumurtalar aynı yükseklikten bırakıldıkları için parke ve tüylü ha- lıya çarpma hızları eşittir. Son hızları sıfır olduğu için yumurtala- rın momentum

Alan 100cm 2 oldu˘gu anda dairenin yarı¸capının de˘ gi¸sim hızı a¸sa˘gıdakilerden

İletişim ve bilgi teknolojisine dayalı olarak Üniversitede ön lisans, lisans, yüksek lisans, doktora ve sürekli eğitim dahil tüm eğitim programları kapsamında

HAREKET KANUNU: Hareket eden bir cismin ivmesi ile, üzerine etki eden kuvvet arasında bir orantı vardır. Burada orantı katsayısı &#34;m&#34;, pozitif bir sabit olup

20 dakikadan kısa süreli programlar için ilk önce timer manivelasını skalanın sonuna kadar çevirin ve sonra arzu edilen süre üzerine getirin.. Fonksiyon seçim