ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

GİRİŞ

Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan şekil değiştirme incelenecektir. Bu kavram sayesinde, rijit cisim mekaniği ile çözülemeyen problemler çözülür hale gelmektedir. Bir cismin şekil değiştirmesi, üzerine etkiyen dış kuvvetler nedeniyle olduğu gibi başka nedenlerle de olabilir; örneğin sıcaklık değişimi, kimyasal etkiler gibi. Bu etkiler cismin boyutlarını ve/veya biçimini değişir.

Bir cismin şekil 4.1’de görülen yer değiştirmesini inceleyelim. İnceleme için cisim üzerinde alınan A, B ve C noktalarını göz önüne alalım. Cismin yer değiştirmesinden sonra bu noktalar A1, B1 ve C1 konumlarına gelsinler.

AA1, BB1 ve CC1 vektörleri sıra ile A, B ve C noktalarının yer değiştirmelerini gösterir. Bu nedenle bu vektörlere yer değiştirme vektörleri adı verilir.

Bir cismin yer değiştirmesi iki tip yer değiştirmenin toplamıdır: Birinci tip yer değiştirme cismin bir bütün olarak ötelenmesi ve/veya dönmesidir. Bu tip yer değiştirmede cismin noktalarının birbirlerine göre konumları değişmez; dolayısıyla cismin boyutları ve şekli değişmez, sadece cisim olduğu gibi yer değiştirir. Bu nedenle, bu tip yer değiştirmelere rijit cisim yer değiştirmeleri veya rijit cisim hareketi adı verilir. Şekil 4.2 (a)’da bir ötelenme tipi yer değiştirme, şekil 4.2 (b)’de bir dönme tipi rijit yer

değiştirme görülmektedir. Şekil 4.2 (c)’de ise rijit ötelenme ve dönmenin toplamından oluşan bir rijit yer değiştirme görülmektedir.

Ötelenme tipi yer değiştirmede bütün noktalardaki yer değiştirme vektörleri eşittir. Dönme tipi yer değiştirmede cismin bütün noktaları bir eksen etrafında daireler çizerek ayni θ açısı çizerek dönerler. Sonlu dönmeler vektör ile gösterilemez.

İkinci tip yer değiştirmede ise cismin noktalarının birbirlerine göre konumları değişir. Bu tip yer değiştirmeler cisimde şekil değiştirmeye yol açar bu nedenle bu tip yer değiştirmelere şekil değiştirme adı verilir. Şekil 4.1’de görülen A, B ve C noktaları arasındaki AB, BC, CA uzaklıklarını ve BAC açısını düşünelim. A, B ve C noktaları A1, B1 ve C1 konumlarına geldiklerinde AB uzunluğu A1B1 uzunluğundan farklı ise A noktasının konumu B ye göre değişmiştir ve burada bir şekil değiştirme vardır. Bazı hallerde AB nin uzunluğu A1B1 ye göre değişmemekle birlikte ABC açısı değişebilir. Bu durumda bir şekil değiştirmedir. Birinci durumdaki şekil değiştirmeye uzama şekil değiştirmesi veya uzunluk şekil değişmesi veya boy değişimi, ikinci durumdaki şekil değiştirmeye ise açısal şekil değişimi veya kayma şekil değiştirmesi adı verilir. Şekil 4.3 (a)-(b)’de sadece şekil değiştirmeler vardır; rijit yer değiştirmeler bulunmamaktadır.

Rijit cisim yer değiştirmeleri cismin konumunu, şekil değiştirmeler ise cismin geometrisini değiştirir. Rijit cisim yer değiştirmeleri küçük veya büyük olabilir buna karşın şekil değiştirmeler küçüktür. Rijit cisim yer değiştirmelerinin incelenmesi dinamik için şekil değiştirmelerin incelenmesi ise mukavemet için önemlidir.

ŞEKİL DEĞİŞTİRMENİN ELEMANTER OLARAK İNCELENMESİ Yukarıda belirtildiği gibi, bir cismin şekil değiştirmesi, boyutlarının veya biçiminin değişmesi şeklinde iki tipte olmaktadır. Dolayısıyla şekil değiştirmenin farklı iki elemanı bulunmaktadır. Bu elemanların ölçümleri de farklı olacaktır. Cismin boyutlarının değişmesi, uzunlukların değişmeleri ile ölçülür. Biçiminin değişmesi ise açılarının değişmeleri ile ölçülür.

Şekil 4.4’de görüldüğü gibi x ekseni üzerinde A ve B noktalarını alalım.

Şekil değiştirmeden sonra bu noktalar A1 ve B1 konumlarına gelsinler.

A B1 1 AB

ε = AB⁻ (4.1)

Yukarıda verilen eşitlik ile tarif edilen boyutsuz büyüklüğe birim uzama veya uzama oranı adı verilir. Bu değer A ve B noktaları arasında ortalama birim uzamadır. Bu büyüklüğün değeri küçüktür (mühendislikte kullanılan bir çok malzeme için). B noktasını A ya yaklaştırıp limite geçildiğinde

lim 1 1

x B A

A B AB ε AB

→

= − (4.2)

olarak elde edilen büyüklük A noktasında x doğrultusunda birim uzamayı gösterir. ε değeri artı olduğunda boy uzamasını, eksi olduğunda ise boy kısalmasını gösterir.

Açısal şekil değişiminin ölçülmesi için şekil 4.5’de görüldüğü gibi bir dik açı alınır. A noktasında açı değişimi diklikten sapmanın ölçüsü olarak aşağıdaki şekilde tarif edilir.

lim( _{1 1 1})

xy B A 2

C A

C A B γ π

→→

= − (4.3)

Yukarıda görüldüğü gibi açı değişimi, iki indis ile gösterilmektedir. Göz önüne alınan doğrultular eksenler ile aynı doğrultuda ve açı azalıyor ise γxy>0 dir. γxy değerine kayma açısı adı da verilir.

Şekil değiştirme hali: Cismin içinde bir A noktasında boy değişiminden veya açı değişiminden bahsedilemez. Bunlardan bahsedebilmek için A noktasından geçen bir doğrultunun veya yönlendirilmiş bir açının verilmesi gerekir. A noktasından geçen üç doğrultudaki boy değişimi ve üç açının değişimini bilinirse herhangi bir doğrultudaki boy değişimi ve herhangi bir açının değişimi bulunur. A noktasında şekil değiştirmeyi analiz etmek için şekilde görülen boyutları çok küçük dikdörtgen bir prizma alalım.

Bu prizmanın kenarlarındaki birim uzamalar εx , εy , εz ve açı değişimleri γxy, γxz, γyz değerleri ile verilsin. Verilen herhangi bir doğrultudaki uzunluk değişimi ve açı değişimi, geometrik esastan hareket edilerek, verilen bu altı değerden bulunabilir. Bu altı değer, gerilme halinde olduğu gibi, aşağıda verilen bir tabloda toplanabilir.

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

x xy xz

yx y yz

zx zy z

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

 

 

 

 

 

(4.4)

Bu değerlere şekil değiştirme halinin bileşenleri adı verilir. Detaya inmeden, şekli değiştirme halinin simetrik bir tansörel büyüklük olduğunu belirtelim;

ispatı ileride yapılacaktır.

Bir noktada, bir doğrultu ile ona dik bütün doğrultular arasındaki açı değişimi sıfır ise bu doğrultuya asal doğrultu ve bu doğrultudaki uzamaya asal uzama adı verilir. Bir noktadan geçen bir eksen takımında açı değimlerinden üçü birden sıfır ise böyle takıma asal takım, doğrultularada asal uzama doğrultuları adı verilir. Kenarları asal uzama doğrultularına paralel olan elemanların açıları bozulmaz sadece kenar boyları değişir.

Açı değimlerinin ve simetrinin açıklanması: Prizmanın xy düzlemindeki tabanının açı değişimi şekil 4.7 (a)’da görüldüğü gibi γxy=α+β dır. Prizmayı z ekseni etrafında kenarları x ve y eksenleri ile eşit açılar yapacak şekilde döndürelim; yani |(α-β)/2| açısı kadar; şekil 4.7 (b). Dönme rijit olduğundan bu döndürmenin şekil değiştirmeye etkisi yoktur. Bu durumda yeni açılar α*=β*=γxy/2 dir. α* açı değişimi, x koordinatları y doğrultusunda hareket ettirdikleri için, εxy olarak tanımlanır. Aynı şekilde; β* açı değişimi ise y koordinatları x doğrultusunda hareket ettirdikleri için εyx olarak tanımlanır.

Şekil 4.7 (b)’de görüldüğü gibi εxy=εyx=γxy/2 dir.

Şekil 4.8’de εzy, εyz , εzx ve εxz açı değişimleri görülmektedir. Kayma açılarının artı yönleri kayma gerilmelerinin artı yönleri ile uyum sağlamalıdır.

Yukarıda görüldüğü gibi altı değer şekil değiştirme halinin bileşenleridir.

Şekil değiştirme halinin tansörel bir büyüklük olduğu ilerde ispat edilecektir yalnız burada bu tansörün simetrik olduğunu söyleyebiliriz.

Bir noktada altı büyüklük εx, εy , εz , εxy=εyx, εyz=εzy , εxz=εzx bilindiğinde verilen herhangi bir doğrultudaki uzunluk değişimi ve açı değişimi, geometrik esastan hareket ederek bulunur. Altı büyüklük toplama gösterilimine uyum sağlaması için ε11, ε22 , ε33 , ε12=ε21, ε13=ε31 , ε23=ε32

şeklinde de gösterilir. Altı değere, şekil değiştirme halinin bileşenleri adı verilir ve gerilme halinde olduğu gibi, aşağıda verilen bir tabloda toplanabilir.

1 1

11 12 13

2 2

1 1

21 22 23

2 2

1 1

31 32 33

2 2

xx xy xz xx xy xz

yx yy yz yx yy yz

zx zy zz zx zy zz

ε γ γ ε ε ε ε ε ε

γ ε γ ε ε ε ε ε ε

γ γ ε ε ε ε ε ε ε

     

     

=  =  = 

     

   

E (4.5)

Yukarıda görülen altı değer simetrik bir tansörün bileşenleridir. Bu tansöre şekil değiştirme tansörü adı verilir.

Mühendislik hesaplarında, karışık bileşen olarak kayma açısı γij (i≠j, i=1,3;j=1,3) kullanılır; tansör hesaplarında ise kayma şekil değiştirmesi εij

(i≠j, i=1,3;j=1,3) kullanılır.

ŞEKİL DEĞİŞTİRMENİN GENEL OLARAK İNCELENMESİ

Kapalı bir R bölgesi ile belirlenen bir cismi göz önüne alalım. Bu cisim şekil değiştirdikten sonra bölge R* bölgesinde bulunsun. Cisim üzerinde alınan P noktası P* gelsin. P noktasının komşuluğundan bulunan noktalar P* noktasının komşuluğunda da olsun. Kısaca bu şekil değiştirme esnasında noktaların komşuluğu değişmesin. Örneğin P ve Q noktaların komşuluğu aynı kalsın.

R bölgesinin ve şekil değiştirdikten sonra bulunduğu R* bölgesinde tanımı genel olarak iki farklı koordinat sistemleri ile yapılmaktadır. R bölgesi (x1, x2, x3 ) veya (x,y,z) koordinatları ile, R* bölgesini ise (ξ1, ξ 2, ξ3 ) veya (ξ, η, ζ ) koordinatlar ile tanımlayalım. Burada bu koordinatların bağlı olduğu A,B gibi iki farklı referans çerçevesi bulunmaktadır. R bölgesindeki bir P (x1, x2, x3 ) noktası, koordinat dönüşümleri yardımı ile R* bölgesindeki P* (ξ1, ξ 2, ξ3 ) dönüşmektedir.

Bu iki koordinat takımı arasında

1 2 3

1 2 3

( , , , ) 1,2,3

( , , , ) 1,2,3

i i

i i

x x t i

x x x t i

ξ ξ ξ ξ ξ

= =

= =

bağıntı vardır. Bu bağıntılar kullanılırken zamana göre değişimler ihmal edileceğinden zaman parametresi kullanılmayacak. Ayrıca dönüşümün tek değerli olması için aşağıda verilen bağıntı sağlanmalıdır.

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

0

i j

x x x

J x x x x

x x x

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ 

∂ ∂ ∂ 

 

 

∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ =∂ ∂ ∂ ≠

∂ ∂ ∂ 

∂ ∂ ∂ 

 

 

İki koordinat takımı arasında bire bir dönüşüm vardır. (ξ1, ξ 2, ξ3 ) fonksiyonları (x1, x2, x3 ) değişkenlerine göre sürekli ve türeve haiz olmaları gerekir. Aksi halde ortamda bir yırtılma bulunacaktır.

Bağımsız değişken olarak xi veya ξi değişkenleri seçilebilir. Akışkanlar mekaniğinde xi değerleri seçilirse bunun anlamı belirli parçacığın hareketinin takibidir. Bu koordinatlara maddesel veya Lagrange koordinatları adı verilir. ξi değişkenleri bağımsız değişken olarak (ξ1, ξ 2, ξ3

) noktasını veya belirli bölgeyi sabitlemiş olmaktayız. Dolayısıyla belirlenen (ξ1, ξ 2, ξ3 ) noktasından geçen parçacıklara ait değerler incelenir. Bu koordinatlara Euler koordinatları veya uzaysal koordinatlar adı verilir.

Bir büyüklük S(x1, x2, x3 ) şeklinde maddesel koordinatlar ile veya S (ξ1, ξ 2, ξ3 ) şeklinde uzay koordinatları ile incelenir. Akışkanlar mekaniğinde, genelde, uzaysal koordinatlar hız, ivme gibi büyüklüklerin belirlenmesinde kullanılır. Katı cisim mekaniğinde de büyük yer değiştirmelerde de uzay koordinatlar kullanılır. Bazı kolaylıklar sağlamasına karşın sınırların önceden bilinmemesi problem çıkartır.

Şekil değiştirme, yukarıda tanımlanan iki farklı A ve B çerçevelerinde iki eğrisel koordinat kullanılarak genel olarak incelenebilir. Bazı problemlerde şekil değiştirmeler, iki eksen takımı almayı gerektirmez iki çerçeveyi üst üste alıp dik kartezyen koordinatları kullanarak incelenebilir.

Birinci sistemdeki yay elemanı ds ikinci sistemdeki yay elemanı ds* olsun.

Bu büyükler aşağıda verilen şekilde yazılır.

1 1 1

1 1 2 3 1, ,

1 2 3

1 1 1

1 1 2 3 1, ,

1 2 3

j j i i j j

j j i i j j

x x x

dx d d d x d dx x d

d dx dx dx d d dx

x x x

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂

= + + = → =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= + + = → =

∂ ∂ ∂

2 2 2 2

1 2 3

2

, ,

2

, ,

i i ij i j

k k k k i i k j j

k i k j i j

ds dx dx dx dx dx dx dx

ds dx dx dx x d x d

ds x x d d

δ

ξ ξ

ξ ξ

= + + = =

= = =

=

2 2 2 2

1 2 3

2

, ,

2

, ,

( *) ( *) ( *)

i i ij i j

k k k k i i k j j

k i k j i j

ds d d d d d d d

ds d d d dx dx

ds dx dx

ξ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

= + + = =

= = =

=

2 2

, , , ,

2 2

, ,

( *) ( )

( *) 2 ( ) / 2

k i k j i j ij i j k i k j ij i j

ij i j ij k i k j ij

ds ds dx dx dx dx dx dx

ds ds E dx dx E

ξ ξ δ ξ ξ δ

ξ ξ δ

− = − = −

− = = −

Yukarıda verilen Eij tansörüne Green birim şekil değiştirme tansörü adı verilir. Yukarıda verilen bağıntılar uzaysal koordinatlar ile yazıldığında

2 2

, , , ,

2 2

, ,

( *) ( )

( *) 2 ( ) / 2

ij i j k j k i i j ij k j k i i j

ij i j ij ij k j k i

ds ds d d x x d d x x d d

ds ds d d x x

δ ξ ξ ξ ξ δ ξ ξ

ε ξ ξ ε δ

− = − = −

− = = −

Elde edilen εij tansörüne Cauchy birim şekil değiştirme tansörü adı verilir.

Cisim rijit hareket yapıyorsa yukarıda belirtilen iki tansör sıfırdır.

Green ve Cauchy tansörlerinin yer değiştirmeler cinsinden ifadesi:

Şekilde görüldüğü gibi aynı koordinat takımı alındığında yer değiştirme ifadesi

i i i

u = − ξ x

şeklinde yazılır. Bu bağıntı kullanılarak aşağıda verilen bağıntılar elde edilir.

, ,

, ,

i i

i i i ij i j ij i j

j j

i i

i i i ij i j i j ij

j j

x u

x u x u

u x u u

x x

ξ δ δ

ξ ξ

ξ ξ δ ξ δ

∂ ∂

= − = − = −

∂ ∂

∂ ∂

= + = + = +

∂ ∂

yukarıda verilen bağıntılar Green ve Cauchy tansörlerinde yerlerine konulduğunda

, , , , , ,

, , , , , ,

1 1 1

[( )( ) ] ( ) ( )

2 2 2

1 1 1

[ ( )( )] ( ) ( )

2 2 2

j i k k

ij k i ik k j kj ij j i i j k i k j

i j i j

j i k k

ij ij kj k j ki k i j i i j k i k j

i j i j

u u u u

E u u u u u u

x x x x

u u u u

u u u u u u

δ δ δ

ε δ δ δ

ξ ξ ξ ξ

∂ ∂ ∂ ∂

= + + − = + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

= − − − = + − = + +

∂ ∂ ∂ ∂

elde edilir. Küçük yer değiştirmeler için yani

1 1

j j

i i

u u

x ξ

∂ ∂

∂ ∂

için ikinci mertebeden çarpımlar ihmal edilir ve

( ) [ ( )] ( )

i i m i i m i

m m mj

j m j m j m j j

u u x u u u u

x x ξ u x δ x

ξ ξ ξ ξ

∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ −∂ ≈ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

bağıntısı kullanır ise aşağıda verilen sonuçlar elde edilir.

, ,

1 1

( ) ( )

2 2

j i

ij ij j i i j

i j

u u

E u u

x x

ε ^{∂ ∂}

= = + = +

∂ ∂

Yukarıda bulunan sonucun x,y ve z koordinat takımında açılmış hali aşağıda verilmiştir.

1 1

( )

2 2

1 1

( )

2 2

1 1

( )

2 2

xx xy xy

yy yz yz

zz zx zx

u u v

x y x

v v w

y z y

w u w

z z x

ε ε γ

ε ε γ

ε ε γ

∂ ∂ ∂

= = = +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= = = +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= = = +

∂ ∂ ∂

εij= Eij tansörünün elemanlarına anlam vermeye çalışalım. x ekseni doğrultusunda bir doğru alalım. dy=dz=0 ve ds=dx olacaktır. Bu durumda aşağıda verilen bağıntılar yazılır.

2 2

( *) ( ) 2 ( * )( * ) 2

( * )( * ) ( * )2

2 2

*

xx xx

xx xx

xx

ds ds dxdx ds ds ds ds dsds

ds ds ds ds ds ds ds

dsds dsds

ds ds ds

ε ε

ε ε

ε

− = → − + =

− + −

= → ≈

≈ −

Görüldüğü gibi εxx daha önce tanımlanan x ekseni doğrultusunda birim şekil değiştirmeyi göstermektedir. Karışık bileşenler aşağıda belirtilen şekil değiştirmeler ile yer değiştirmeler arasındaki bağıntının geometrik analizden bulunur.

Şekil değiştirme bileşenleri ile yer değiştirmeler arasındaki bağıntıların geometrik olarak elde edilmesi:

Şekil değiştirme bileşenleri ile yer değiştirme bileşenleri arasındaki bağıntıyı düzlemsel halde bulmak için kenarları ∆x, ∆y olan ABCD elemanını göz önüne alalım; şekil 4.20. Bu elemanın A, B, C ve D noktaları şekil değiştirmeden sonra sıra ile A1, B1, C1, D1, konumlarına gelsinler. AA1

vektörü A noktasının yer değiştirme vektörüdür.

Yer değiştirme vektörünün x, y doğrultularındaki bileşenleri sıra ile u ve v olsun. A noktasından ∆x kadar uzakta olan B noktasının yer değiştirmesinin bileşenleri sıra ile u+(∂u/∂x)∆x ve v+(∂v/∂x)∆x olacaktır. Aynı şekilde D noktasının yer değiştirme bileşenleri u+(∂u/∂y)∆y ve v+(∂v/∂y)∆y dir. Şekil 4.27 de görülen α1 ve α2 açıları küçük olduğundan

[ ( / ) ]

[ v ( v / ) v] v

x

y

x u u x x u x u

x x

y y y y

x y

ε ε

∆ + + ∂ ∂ ∆ − − ∆ ∂

= =

∆ ∂

∆ + + ∂ ∂ ∆ − − ∆ ∂

= =

∆ ∂

(4.31)

bulunur. Açı değişimi aşağıda verilen şekilde bulunur.

1 2

v ( v / ) v ( / )

v

xy

xy

x x u u y y u

x y

u

x y

γ α α

γ

+ ∂ ∂ ∆ − + ∂ ∂ ∆ −

= + = +

∆ ∆

∂ ∂

= +

∂ ∂

(4.32)

Bu bağıntılar yer değiştirme şekil değiştirme bağıntılarıdır.

Sonsuz küçük dönmeler: ui,j tansörü

, , , , ,

1 1

( ) ( )

2 2

i j i j j i i j j i

u = u +u + u −u

Şeklinde yazılır. Yukarıda verilen birinci terim εij birim şekil değiştirme tansörünü vermektedir. İkinci terim ise ωij ile gösterilen sonsuz küçük dönme tansörünü vermektedir. Bu tansör antisimetriktir. ui,j tansörü birim şekil değiştirme ve dönme tansörü ile aşağıda verilen şekilde yazılır.

,

i j ij ij

u =ε +ω

Uygunluk şartları:(4.31) eşitliği ile (4.32) arasında türev alınarak yer değiştirmeler yok edildiğinde aşağıda verilen bağıntı elde edilir.

2 2

2 x y

2 2

xy

y x x y

ε γ

ε ^{∂ ∂}

∂ + =

∂ ∂ ∂ ∂ (4.33)

Bu bağıntıya uygunluk şartı adı verilir.

Yukarıda (4.31), (4.32) ve (4.33) eşitlikleri ile verilen şekil değiştirme yer değiştirme bağıntıları ile uygunluk şartı kolaylıkla üç boyutlu hale genişletilebilir. Üç boyutlu halde yer değiştirme vektörünün x, y ve z doğrultularındaki bileşenleri sıra ile u,v ve w olduğuna göre; üç boyutlu hal için aşağıda verilen bağıntılar elde edilir.

x y z

u v w

x y z

ε = ^∂ ε = ^∂ ε =^∂

∂ ∂ ∂

xy yz zx

u v v w u w

y x z y z x

γ =^∂ +^∂ γ =^∂ +^∂ γ = ^∂ +^∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.34)

2 2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2

2

y xy xy

x

y z yz yz

z x zx zx

y x x y x y

z y y z y z

x z z x z x

ε γ ε

ε

ε ε γ ε

ε ε γ ε

∂ ∂ ∂

∂ + = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ +∂ =∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ +∂ =∂ = ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

2

2 ( )

2 ( )

yz xy

x zx

y zx xy yz

y z x x y z

z x y y z x

γ γ

ε γ

ε γ γ γ

∂ ∂

∂ = ∂ − +∂ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

2 ^z ( ^{xy yz zx})

x y z z x y

γ γ

ε ^{∂ ∂} γ

∂ = ∂ − + +∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.35)

Yukarıda verilen denklemleri toplu şekilde yazmak için şekil 4.35’de görüldüğü gibi x1, x2 ve x3 eksen takımı alalım. u yer değiştirme vektörü, bileşenleri ise u1, u2 ve u3 olsun; yani u1=u, u2=v, u3=w olsun. Bu durumda şekil değiştirme tansörünün bileşenleri olan ε11,ε22, ε33, ε12,ε13, ε23, ε21,ε31, ε32

aşağıda verilen şekilde yazılır.

, ,

1 1

( ) ( , 1,3) ( )

2 2

i j

ij ij i j j i

j i

u u

i j veya u u

x x

ε = ^∂ +^∂ = ε = +

∂ ∂

, , , ,

ij kl kl ij ik jl jl ik

ε + ε = ε + ε

Yukarıda verilen ikinci bağıntıdan 3⁴=81 adet denklem elde edilir.

Bunlardan bazıları özdeş olarak sağlanır, bazıları birbirlerinin tekrarıdır.

Geriye 6 bağımsız denklem kalır. Yukarıda verilen bağıntılar (4.34) ve (4.36) bağıntılarının toplu olarak yazılmasıdır. Örneğin:

1 1 1

11

1 1 1

1 2

12

2 1

1( )

2

1 1 1

( ) ( )

2 2 2

x

xy

u u u u

x x x x

u u u v

x x y x

ε ε

ε γ

∂ ∂ ∂ ∂

= + = = =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

= + = + =

∂ ∂ ∂ ∂

EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ HALİNDE ŞEKİL DEĞİŞTİRME BİLEŞENLERİNİN DEĞİŞMESİ:

Şekil 4.35’de görülen s, t ve d eksen takımını göz önüne alalım. Şekil değiştirme tansörünün bu eksen takımında bileşenleri

* *

* 1

( )

2

t s

ts

u u

s t

ε = ^∂ +^∂

∂ ∂ (4.32)

şeklinde yazılır. Burada ut ve us değerleri, yer değiştirme vektörünün t ve s doğrultularında bileşenleridir. Bu bileşenler x1, x2 ve x3 doğrultularındaki u1, u2 ve u3 cinsinden, bir vektörün dönüşümlerinin gösteren (3.59) bağıntısından

3 3

* *

1 1

t j tj j tj s j sj j sj

j j

u u n u n u u n u n

= =

=

∑

∑

şeklinde elde edilir. Burada ntj ve nsj değerleri sıra ile t ve s eksenlerinin x1, x2 ve x3 doğrultuları ile yaptıkları açının kosinüsleridir. Bu açıların tanımı daha önce yapılmıştı. Yukarıda (4.33) ile verilen değerler (4.32) de yerlerine konulduğunda

* 1

( )

2

j j

ts tj sj

u u

n n

s t

ε = ^∂ +^∂

∂ ∂ (4.34)

elde edilir. Bu bağıntıda bulunan kısmi türevleri zincir kuralına göre

^{j j}. ^{k j} _sk ^{j j}. ^{k j} _tk

k k k k

u u x u u u x u

n n

s x s x t x t x

∂ =∂ ∂ = ∂ ∂ =∂ ∂ =∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.35)

yazılabilir. Yukarıda bağıntılarda bulunan∂x_k/∂ =s n_sk ve ∂x_k/∂ =t n_tk bağıntılarını ters dönüşüm alınarak elde edilir. (4.35)’de elde edilen bağıntılar (4.34)’de yerlerine konulduğunda

* 1

( )

2

j j

ts tj sk sj tk

k k

u u

n n n n

x x

ε = ^∂ +^∂

∂ ∂ (4.36)

elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafındaki ikinci terimde sessiz indislerden j yerine k ve k yerine j konursa aşağıda verilen bağıntı bulunur.

* 1 1

( ) ( )

2 2

j k j k

ts tj sk sk tj sk tj jk sk tj

k j k j

u u u u

n n n n n n n n

x x x x

ε = ^∂ +^∂ = ^∂ +^∂ =ε

∂ ∂ ∂ ∂ (4.37)

Yukarıda bulunan dönüşüm bağıntısı daha önce belirtilen bir tansörel dönüşümdür. Dolayısıyla εjk büyüklüğü tansörel bir büyüklüktür. Bu tansörel büyüklüğün karışık bileşenleri γij olmayıp γij/2 dir. Yukarıda (4.37)’de verilen bağıntıda nij değerlerini bulunduran N matrisi (3.54) ile verilmiş olup N matrisi ortagonal bir matrisdir. Matrisin bu özellikleri olduğu göz önüne alınarak (4.37) bağıntısı matrisler kullanılarak aşağıda verilen şekilde yazılır.

* . . ^T . . 1

ε =N Nε =N N ε ⁻ (4.38)

Üç eksenli şekil değiştirme halinde, asal şekil değiştirmeler ve doğrultuların bulunuşu ile şekil değiştirme halinin değişmezleri, üç eksenli gerilme halinde izlenen yolların aynısı izlenerek bulunur. Tek değişiklik gerilme tansörü yerine şekil değiştirme tansörü kullanılmasıdır.

x1, x2 ve x3 doğrultuları olarak asal şekil değiştirme doğrultuları alındığında şekil değiştirme tansörünün bileşenlerinin bulunduğu matris köşegendir.

Köşegen elemanları ise asal şekil değiştirmeler ε1, ε2, ε3 dir. İkinci eksen takımı olarak birbirlerine dik a, b ve c eksenlerini alalım. Bu eksenlerin x1, x2 ve x3 eksenlerine göre doğrultman kosinüsleri sıra ile λa, µa,νa; λb, µb,νb;

λc, µc,νc olsun. Verilen bilgiler (4.38) bağıntısına uygulandığında daha önce bulunan (4.22) ve (4.23) bağıntıları elde edilir.

Hacim değişmesi: Şekil değişimi sonunda bir cisimde hacim değişikliği meydana gelebilir. ∆v hacmindeki bir elemanın şekil değiştirmeden sonra hacmi ∆v* olsun. Hacim değiştirme oranı θ;

*

v v

θ=^{∆ −∆}v

∆ (4.24)

şeklinde tarif edilir. θ, hacim değiştirme oranını şekil değiştirmeler cinsinden hesaplamak için şekilde görülen kenarları ∆x, ∆y ve ∆z olan bir dikdörtgenler prizmasını göz önüne alalım. Açı değişimlerinin hacim değişimine etkisi ikinci mertebeden olacağı için hacim değişiminde sadece birim uzamalar εx , εy ve εz göz önüne alınacaktır. Şekil değiştirmeden sonra, prizmanın kenarları (1+εx) ∆x, (1+εy )∆y ve (1+εz)∆z olacağından, hacim değiştirme oranı

θ=(1+εx ).(1+εy ).(1+εz )-1 θ=1+εx εy+εy εz +εz εx +εx εy εz -1

şeklinde yazılır. Bu ifadede yüksek mertebeden terimler (ε’ların çarpımları) ihmal edildiğinde birim hacim değişimi aşağıda verilen şekilde elde edilir.

θ=εx +εy+εz (4.25)

Bir şekil değiştirmede θ=εx+εy+εz=0 ve γxy, γyz, ve γzx açı değişimlerinden bazıları sıfır değilse bu şekil değiştirmede sadece biçim değişikliği olur;

γxy=γyz=γzx=0 ve θ≠0 ise bu şekil değiştirmede sadece hacım değişikliği olur, biçim değişikliği olmaz.