© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 1
GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI
• Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ
x, σ
y, σ
z, τ
xy, τ
yz, τ
zx.z x
y
z x
y
x’
z’
y’ • Söz konusu kübik eleman x-y-z eksenleri yerine
döndürülmüş x’-y’-z’ eksenlerine paralel alınsaydı gerilme bileşenleri; σ’
x, σ’
y, σ’
z, τ’
xy, τ’
yz, τ’
zxolacaktı.
• Gerilme dönüşüm bağıntıları kullanılarak x-y-z eksen takımındaki 6 gerilme bileşeninin döndürülmüş başka bir eksen takımındaki karşılıkları bulunur.
Q
Düzlem gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları
Yapısal bir elemanın veya makine parçasının dış/serbest yüzeyinde düzlem gerilme durumu (yüzeye uygulanmış dış kuvvet/kuvvetler yoksa) ortaya çıkar.
3 boyutlu kübik eleman
zy
0
zx
z
= τ = τ =
σ
İnce bir plakada orta düzlemdeetkiyen kuvvetlerden dolayı düzlem gerilme oluşur.
• İnce cidarlı basınçlı tank ve tüplerde de düzlem gerilme durumu söz konusudur.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 3
x x’
σ
xτ
xyσ
yy’
θ
τ
x’y’σ
y’σ
x’x y
x’
y’
θ
σ
yτ
xyσ
xn
n
Düzlem gerilme elemanı
n-n hattı boyunca bir kesim yapılırsa:
( θ ) θ τ ( θ ) θ σ
yΔ
Asin sin −
xyΔ
Asin cos
−
( ) ( )
( θ ) θ τ ( θ ) θ
σ
θ θ
τ θ θ
σ τ
sin sin
cos sin
cos cos
sin cos
0
A A
A A
A F
xy y
xy x
y x y
Δ +
Δ
−
Δ
− Δ
+ Δ
=
=
′′∑
′• σ’ bağıntısında θ= θ+90 yazılarak:
Trigonometrik dönüşüm bağıntıları kullanılarak bu denklemler şu şekilde düzenlenebilir:
θ τ
σ θ τ σ
θ τ
σ θ σ σ
σ σ
θ τ
σ θ σ σ
σ σ
2 cos 2
sin
2 sin 2
2 cos 2
2 sin 2
2 cos 2
y x
xy y
x y
x y
xy y
x y
x x
− +
−
=
− − + −
=
− + + +
=
′
2
′2 cos cos
2θ = 1 + θ
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
θ θ
θ cos
2sin
22
cos = −
θ θ
θ θ
cos )
90 sin(
sin )
90 cos(
= +
−
= +
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
θ θ
θ cos
2sin
22
cos = −
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
θ θ
θ cos
2sin
22
cos = −
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
θ θ
θ cos
2sin
22
cos = −
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
θ θ
θ cos
2sin
22
cos = −
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
θ θ
θ cos
2sin
22
cos = −
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos cos
2θ = 1 + θ
θ θ
θ cos
2sin
22
cos = −
2 2 cos sin
2θ = 1 − θ
2 2 cos
cos
2θ = 1 + θ (1)
(2) θ θ
τ θ σ
θ σ
σ
y′=
xsin
2+
ycos
2− 2
xysin cos
) sin (cos
cos sin
)
( σ σ θ θ τ
2θ
2θ
τ
x′y′= −
x−
y+
xy− θ θ τ
θ σ
θ σ
σ
x′=
xcos
2+
ysin
2+ 2
xysin cos
K düzlemi
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 5 (1)ve (3) nolu denklemler yeniden düzenlenip kareleri
alınarak taraf tarafa toplanırsa parametrik bir daire denklemi elde edilir
2 xy
y x 2 y x
x cos2 sin2
2
2 ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
′−σ σ σ σ θ τ θ
σ
( )
xy 2y x 2
y
x sin2 cos2
2 ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
−
′ =
′ σ σ θ τ θ
τ
(
x ort)
2( )
xy 2 x y 2 xy22σ τ τ σ
σ
σ ⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= +
− ′ ′
′
( )
x2y 22 ort
x′
− σ + τ
′ ′= R σ
y x ′′
τ
σ
maxσ
minσ
x′σ
x′y x ′′
τ
σ
ortK
2 xy 2 y x y
x
ort ;R 2
2
σ σ σ τ
σ σ ⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
+ =
=
Mohr Çemberi
) (− τ ) (+
Mohr Çemberinin Çizimi
τy x
xy p
ort min
max,
2 2 tan
R σ σ
θ τ
σ σ
= −
±
=
Xdüzlemi Ydüzlemi
x’
y’
Verilen düzlem gerilme durumu için X ve Y düzlemlerindeki
gerilmelere karşılık gelen noktalar σ-τ eksenlerinde işaretlenir. Bu iki noktayı çap kabul eden bir çember çizilir. Çemberin merkezi (C noktası) orijinden (O noktası) σort kadar uzakta yer alır.
bulunabilir:
y
0
x
• Asal gerilmelerin meydana geldiği düzlemlerde kayma gerilmeleri “0” dır. Buna göre asla gerilme doğrultularını (θ
p) veren bağıntı:
′
= τ
′y x
xy p
2 2
tan σ σ
θ τ
= −
Maksimum kayma gerilmeleri
2 xy 2
y x
max
R σ 2 σ τ
τ ⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
= Burada θ
saralarında 90
obulunan iki maksimum kayma gerilme düzleminin normalini vermektedir. θ
pile θ
sarasında 45
o’lik bir açı vardır.
Maksimum kayma gerilmeleri
xy y x
s 2
2
tan
τ
σ θ = − σ −
2 xy 2 y x y
x min
max,
σ 2 σ σ 2 σ τ
σ ⎟⎟ ⎠ +
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ − + ±
=
• Gerilme elemanı üzerinde θ kadar bir dönme Mohr Çemberi üzerinde 2θ kadar bir dönmeye karşılık
gelmektedir. Burada θp aralarında 90
obulunan iki asal gerilme doğrultusunu göstermektedir.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 7
120 MPa 70 °
45 MPa
c
a) Asal gerilmeler ve doğrultularını bularak bir gerilme elemanı üzerinde gösteriniz, b) c düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerinin değerini hesaplayınız.
Burada analitik çözüm verilmiştir (Mohr çemberi ile de çözüm yapılabilir).
0
, = =
=
y xyx
A
P σ τ
σ
J
xy
Tc
y
x
= σ = τ =
σ 0
J 0 Tc
için . doğ lik
45
xy y
x = = =
°
τ σ
σ
A 2
P için . doğ lik
45
xy y
x = = =
°
τ σ σ
Örnek: Saf burulma (pure torsion) durumu için Mohr çemberi
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 9 Şekildeki düzlem gerilme durumu için (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını, (b) maksimum kayma gerilmelerini ve düzlemlerini, bulunan düzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz.
Şekildeki düzlem gerilme durumu için Mohr Çemberini çizerek (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını/düzlemlerini, (b) maksimum kayma gerilmelerini ve düzlemlerini, bulunan düzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz.
• Asal gerilmeler ve düzlemleri :
30 40 CF 2 FX
tan θp = =
θ
p= 26 . 6 °
50
max =OA=OC+CA=20+
σ σmax =70MPa
50
min =OB = OC −BC = 20−
σ σmin =−30MPa
MPa 40 FX MPa
30 20 50
CF = − = =
( ) ( )
20MPa2 10 50
2
y x
ort + = + − =
=
σ σ
σ
( ) ( )
30 40 50MPaCX
R = = 2 + 2 = Yarıçap:
°
=26.6 θp
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 11
° +
=
p45
s
θ
θ θ
s= 71 . 6 °
= R
τ
maxτ
max= 50 MPa
σ
ortσ ′ = σ ′ = 20 MPa
Maksimum kayma gerilmeleri ve düzlemleri/doğrultuları
döndürülmesiyle elde edilen yüzeylerdeki gerilmeleri bulunuz.
MPa 132 52
80
CA OC OA
max max
= +
=
+
=
= σ σ
MPa 28 52 80
BC OC
OA
min min
=
−
=
−
=
= σ σ
4 . 20 2 48 CF 2 XF
tan
θ
p= = =
clockwise 7
. 33 °
p
= θ
°
= 67 . 4 2 θ
p°
′ =
=
° +
= +
=
=
°
−
=
−
=
=
°
=
°
−
°
−
°
=
′
′
′
′
6 . 52 sin 52
6 . 52 cos 52 80
6 . 52 cos 52 80
6 . 52 4
. 67 60
180
X K
CL OC OL
KC OC
OK
y x
y x
τ σ σ φ
MPa 4 . + 48 σ =
θ=30° deki gerilmeler
( ) ( ) ( ) ( )
20 48 52MPa MPa2 80 60 100 2
2 2
2
2 + = + =
=
+ = + =
=
FX CF
R
y ave x
σ σ σ
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 13 etkimektedir. Buna göre; H noktasındaki bir gerilme elamanı (x-y düzleminde) üzerinde a) meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini gösteriniz, b) asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz.
kaynatılmasıyla (22.5 ° lik helis açısıyla) üretilmiştir. P=160 kN ve T= 800 N.m için kaynağa paralel (teğet) ve dik doğrultulardaki gerilmeleri (kayma gerilmesi ve normal gerilme ) bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 15 etkimektedir. Buna göre; H ve K noktalarındaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmelerini bulunuz ve doğrultuları ile birlikte gösteriniz.
Genel gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları ve Mohr Çemberi
Statik dengeden
∑ F
n= 0
x z zx z
y yz y
x xy 2
z z 2
y y 2
x x
n
σ λ σ λ σ λ 2 τ λ λ 2 τ λ λ 2 τ λ λ
σ = + + + + +
2 2
2
b b c ca a
n
σ λ σ λ σ λ
σ = + +
z z x
y
x y
A B
C
ABC noktalarından geçen ve yüzey normali N olan (doğrultman kosinüsleri λx, λy, λz) bir düzlemde kesim yapılırsa:
α, β ve γ yüzey normalinin (N) sırasıyla x, y ve z eksenleriyle yaptığı açılar olmak üzere:
λx=cos α, λy=cosβ, λz=cos γ
Herhangi bir N doğrultusundaki normal gerilme (not: kayma gerilmeleri de benzer şekilde bulunabilir)
3 boyutlu kübik gerilme elemanına etkiyen kuvvetler sadece normal
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 17
σ
aσ
bσ
cHer bir daire/çember; kübik gerilme elemanının asal gerilme eksenleri etrafında döndürülmesiyle oluşan normal ve kayma gerilmelerini
göstermektedir. Yani ,şekildeki BC çemberi a etrafındaki bir dönmeye, AC çemberi b etrafındaki bir dönmeye, AB çemberi c etrafındaki bir dönmeye karşılık gelmektedir.
min max
max 2
1 σ σ
τ = −
En büyük kayma gerilmesi büyük
çemberin yarıçapına karşılık gelmektedir:
Not:Daha önce düzlem gerilme durumunda 2 asal gerilme hesaplanmıştı. Ancak gerçekte değeri “0” da olsa üçüncü bir asal gerilme de vardır. Mohr çemberleri buna göre oluşturulabilir. Özellikle düzlem durum için bulunan σmax ve σmindeğerlerinin ikisi de pozitif veya ikisi de negatif ise; üçüncü gerilmenin “0” olarak göz önüne alınması son derece önemlidir. Çünkü maksimum kayma gerilmesideğeri ve kayma düzlemideğişmektedir.
τmaxdüzlem içi (in-plane) kaymaya neden olur.
kayma gerilmelerini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 19
Akma ve Kırılma Kriterleri (Düzlem Gerilme)
Eksenel olmayan yüklere maruz makina parçalarında hasarın meydana gelip gelmeyeceğini tahmin etmek için çeşitli teoriler geliştirilmiştir. Bu teorilerde genellikle, asal gerilme bileşenleri göz önüne alınarak eşdeğer bir gerilme değeri bulunmakta ve bu değer eksenel yüklemedeki akma veya kırılma mukavemet değerleri ile karşılaştırılmaktadır.
1- Sünek Malzemeler için Akma Kriterleri
• Maksimum Kayma Gerilmesi Kriteri (Tresca Kriteri):
(Maximum Shearing Stress Criterion, Fransız mühendis Henri Edouard Tresca, 1814-1885)
Bu kritere göre; çok eksenli durumdaki maksimum kayma gerilmesi, deneysel olarak elde edilen tek eksenli durumdaki kayma akma gerilmesine ulaştığında malzemede akma başlar.
σ
yτ
yσ
yTek eksenli yükleme durumu
Asal gerilmeler (σaveσb) aynı işarete sahipse:
2 or 2
max
σ
2aσ
bσ
Yτ
= <2
max
σ
a2 σ
bσ
Yτ − <
Asal gerilmeler (σaveσb) zıt işaretli ise:
=
Y
max
τ
τ <
Emniyetli sınırlar içinde kalmak için ,
olmalıdır.
2 2
min Y max
max
σ σ τ σ − <
=
yani
Y b
a
σ σ
σ − <
Y a
b
σ σ
σ − <
(Maximum Distortion Energy Criterion, uygulamalı matematikçi Richard von Mises, 1883-1953) Bu kritere göre; birim hacim için, çok eksenli durumdaki çarpılma şekil değiştirme enerjisi,
deneysel olarak elde edilen tek eksenli durumdaki çarpılma şekil değiştirme enerjisine ulaştığında malzemede akma başlar. Kriter asal gerilmeler cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir.
Birim hacim için kullanılan şekil değiştirme enerjisi bağıntısı daha sonra çıkarılacaktır.
( ) (
Y 2)
2 Y 2
b b
a 2
a
0 0
G 6
1 G
6
1 σ − σ σ + σ < σ − σ × +
Y
d
u
u < olmalıdır:
Akma olmaması için
2 Y 2
b b
a 2
a
σ σ σ σ
σ − + < elips denklemi
Sadece burulmaya maruz bir dairesel kesitli bir milde:
Tresca:
Von Mises Kriterlerindeki elips Tresca kriteri ile oluşturulan altıgenin köşelerinden geçmektedir. Her iki kriter birbirlerine çok yakın sonuçlar vermektedir. Her iki kriterde altıgen ile elips içinde kalan noktalar emniyetli gerilme değerlerini vermektedir. Von mises kriteri gerçekte daha doğru sonuçlar vermektedir. Buna karşılık Tresca kriterine göre yapılacak bir tasarımda emniyet katsayısı daha yüksek alınmış olur.
τ σ
σ = =
Y b
a
σ σ
σ − < τ −
(− τ
)< σ
Y Y 0.5 Y2
σ
τ < σ =
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 21 temsil etmektedir. Söz konusu çelik parçanın eksenel yüklemedeki akma gerilme değeri σy=250 MPa olduğuna göre, Tresca ve von Mises kriterlerine göre parçanın mevcut gerilme durumu için emniyet katsayısını bulunuz.
milin emniyetli çapını maksimum kayma gerilmesi kriterine göre (Tresca) bulunuz.
x y
z
P=44 kN
150 mm 200 mm
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 23
σ
aσ
UTσ
UTσ
UCσ
UC2- Gevrek Malzemeler için Kırılma Kriterleri
• Maksimum Normal Gerilme Kriteri:
Bu kritere göre; çok eksenli durumdaki maksimum normal gerilme değeri, malzemenin deneysel olarak elde edilmiş tek eksenli durumdaki kırılma değerine ulaştığında kırılma/hasar meydana gelir.
• İç Sürtünme Teorisi -Coulomb Kriteri:
Bu kritere göre; malzemenin hasara uğramasında maksimum gerilme ile beraber iç sürtünme kuvvetleri de etkilidir. Gevrek malzemelerin çeki ve basıdaki mukavemet değerleri de (malzeme içindeki süreksiz noktalar ve malzeme kusurları nedeniyle, micro kırıklar gibi) birbirinden farklıdır.
Kriteri ifade eden aşağıdaki bağıntıda a ve b sırasıyla maksimum kayma gerilmesini ve iç sürtünmeleri karakterize eden parametrelerdir. Bu katsayılar basit çekme ve basma testleri ile bulunur.
) (
b
a
a bb
a
σ σ σ
σ − = − +
b 2 / a
basma
burulma
çekme
Sadece çekmedurumunda:
) 1 ...(
) (
b
a
a bb
a
σ σ σ
σ − = − +
0 ,
bUT
a
= σ σ =
σ
) 0 (
b a
0 UT
UT
− = − σ +
σ
) 2 ...(
b
a
UTUT
σ
σ = −
UC b
a
0 , σ σ
σ = = −
Sadece basmadurumunda:
) 0
( b a ) (
0
− − σ
UC= − − σ
UC) 3 ...(
b
a
UCUC
σ
σ = +
(2) ve (3) nolu denklemlerden
(
UT UT)
UCUC
σ b σ b σ
σ = + +
UT UC
UT
a
UCσ σ
σ σ
+
= −
UT UC
UC
b
UTσ σ
σ σ
+
⋅
= −
emniyet için
olmalıdır.
{
a b}
UTUC σ ,σ σ
σ < <
−
UT b UC
a UT σ σ
σ
σ −σ =
−
− UT a UC
b σ σ
σ −σ = denklemde yerine yazılırsa,
hasar olmaması için;
1
olmalıdır.UC b UT
a
− ≤
σ σ
Not:bu bağıntı çıkarılırken
σ
UT veσ
UC İşaretleriyle beraber (+ ve –) kullanıldı. Bu nedenle bağıntıda mutlak değer olarak yazılmalıdır. Yani her ikisi de + olarak yerlerine yazılmalıdır.Örnek:
Dökme demirden imal edilmiş şekildeki kolun çekme ve basmadaki mukavemet değerleri sırasıyla σUT=180 MPa ve σUC=300 MPa ’dır.
Emniyet katsayısını n=3 olduğuna göre, milin OA kısmının çapı için emniyet kontrolü yapınız.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 25 p dA
σ1dA σ1dA
p dA σ2dA
İçten basınca maruz ince cidarlı kaplarda gerilmeler (düzlem gerilme)
t pr 4 2
1 2 )
plane in
max( − = σ =
τ (
2t x) (
p 2r x)
0
Fz = =σ1 Δ − Δ
∑
• Teğetsel Gerilme Piç basıncına
maruz iki ucu kapalı, ince cidarlı (r>>t) silindirde gerilmeler
t pr
1
= σ
• Eksenel Gerilme
( ) ( )
22
x 0 2 rt p r
F = =σ π − π
∑
2
1 2σ
σ =
t 2 pr
2
= σ
σ1= teğetsel gerilme,σ2= eksenel gerilme Burada σ1ve σ2aynı zamansa asal gerilmeleridir.
Çünkü kayma gerilmesi yok.
A ve B noktaları sırasıyla teğetsel gerilmeyi (σ1) ve eksenel gerilmeyi (σ2) göstermektedir.
Maksimum düzlem içi (in-plane) kayma gerilmesi:
Düzlem dışı (
out-of-plane
) maksimum kayma gerilmesi:t pr
2 2
max = σ =
τ
Emniyet kontrolünde veyatasarımda göz önüne alınması gereken kayma gerilme
Burada σ1 ve σ2 aynı zamansa asal gerilmeleridir. Çünkü kayma gerilmesi yok. Her ikisi de Mohr çemberinde aynı noktayı gösterir. Bu nedenle;
Üçüncü asal gerilme “0” olduğundan; maksimum kayma gerilmesi;
plane)
0
-
max(in
=
τ
Piç basıncına maruz ince cidarlı (r>>t) küresel kaplarda gerilmeler
t pr
2 2
1 = σ = σ
t pr
1 4
2 1
max = σ =
τ
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 27 Silindirik kısmın et kalınlığı 10 mm küresel kısmın et kalınlığı 8 mm ise;
a)Küresel ve silindirik kısımlarda meydana gelen maksimum normal ve kayma gerilmelerini b)Kaynak dikişinde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini bulunuz.
(
z zx zy0 )
xy , y x,
=
=
= γ γ ε
γ ε ε
Gerilme dönüşüm bağıntıları ile şekil değiştirme dönüşüm bağıntıları arasında benzeşim vardır.Gerilme dönüşüm bağıntılarında σ yerine ε ve τ yerine γ/2 yazılarak dönüşüm bağıntıları elde edilebilir.
γ θ ε θ
ε γ
γ θ ε θ
ε ε ε ε
γ θ ε θ
ε ε ε ε
2 2 cos 2
2 sin 2
2 2 sin 2
2 cos 2
2 2 sin 2
2 cos 2
xy y
x y
x
xy y
x y x y
xy y
x y x x
− +
−
=
− − + −
=
− + + +
=
′
′
′
′
σ ε τ
2 γ
Düzlemşekil değiştirme durumunda:
x x y
z
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 29
2 xy 2
y x y
x
ort ; R 2 2
2
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ − + =
= ε ε ε ε γ
ε
( )
2 2max
2
Rε
xε
yγ
xyγ = = − +
Düzlem içi maksimum kayma birim şekil değiştirmesi
Asal birim şekil değiştirmeler ve doğrultuları
R
; R 2
tan
ave min
ave max
y x
xy p
−
= +
=
= −
ε ε
ε ε
ε ε θ γ
doğrultuları aynıdır. Çünkü kayma gerilmeleri ve dolayısıyla kayma şekil değiştirmeleri yoktur (Hooke bağıntıları).
Düzlem şekil değiştirme durumunda asal gerilmelerin üçüncüsü gerilmede olduğu gibi “0” dır. Bu durum göz önüne alınarak Mohr çemberi çizilmeli ve maksimum kayma birim şekil değiştirmesi bulunmalıdır.
Düzlem gerilme durumu için asal şekil değiştirmeler:
(
a b) (
a b)
c
b a
b
b a
a
1 E
E E
E E
ε ν ε
σ ν ν σ
ε
σ σ
ε ν
σ ν ε σ
− +
−
= +
−
=
+
−
=
−
=
σa ve σa asal gerilmeler σc=0 ise de εc≠0;
Deformasyon Rozetleri: Strain-Gages
• Strain gages birim şekil değiştirme ölçümünde kullanılan dirençlerdir.
• 45o lik bir rozet ile εxveεy doğrudan , γxy ise dolaylı olarak ölçülmüş olur:
2 2
2 2 2 2
2
1 1
2 1 2 1
1
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
θ θ
γ θ ε
θ ε
ε
θ θ
γ θ ε
θ ε
ε
xy y
x
xy y
x
+ +
=
+ +
=
• Aralarında herhangi bir açı bulunan rozetler kullanılırsa, x-y düzlemindeki normal ve kayma birim şekil değiştirmeleri 3 bilinmeyenli 3 denklem kullanılarak bulunur. Burada ε1,
ε
2ve ε
3 strain gages’lerden deneysel olarak elde edilen değerlerdir.( )
( ) ( )
(
x y)
OB xy
xy y
x OB
xy y
x
ε ε ε
γ
γ ε ε ε
ε
θ θ
γ θ ε
θ ε
θ ε
+
−
=
+ +
=
°
=
+ +
=
2 45
cos sin
sin cos
12
2 2
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 31 şekil değiştirmeler εa=+400 μ ve εb=-50 μ olarak hesaplanmıştır. Ölçüm yapılan malzemenin Poisson oranı ν=0.3 olduğuna göre; a) maksimum düzlem-içi birim kayma deformasyonunu, b) gerçek maksimum birim kayma deformasyonunu bulunuz (E=200 GPa).
okunmuştur. G=75 GPa olduğuna göre T’nin değerini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 33 75 mm
75 mm
ε2=+240 μ,ve ε3=+200 μolarak okunmuştur. E=200 GPa, G=79 GPa ve ν=0.3 olduğuna göre, uygulanan Pve Q kuvvetlerini bulunuz.
tankın yüzeyindeki bir noktaya şekildeki gibi boyuna ve enine yapıştırılan strain gage’ lerden ε1=+255 μ ve ε2=+60 değerleri okunmuştur. G=80 GPa olduğuna göre, a) tank içindeki basıncı ve b) tankın cidarındaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmesini bulunuz.
600 mm