• Sonuç bulunamadı

GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI"

Copied!
34
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 1

GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI

• Genel yükleme durumunda, bir Q noktasını üç boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 bileşeni gösterilebilir: σ

x

, σ

y

, σ

z

, τ

xy

, τ

yz

, τ

zx.

z x

y

z x

y

x’

z’

y’ • Söz konusu kübik eleman x-y-z eksenleri yerine

döndürülmüş x’-y’-z’ eksenlerine paralel alınsaydı gerilme bileşenleri; σ’

x

, σ’

y

, σ’

z

, τ’

xy

, τ’

yz

, τ’

zx

olacaktı.

• Gerilme dönüşüm bağıntıları kullanılarak x-y-z eksen takımındaki 6 gerilme bileşeninin döndürülmüş başka bir eksen takımındaki karşılıkları bulunur.

Q

(2)

Düzlem gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları

Yapısal bir elemanın veya makine parçasının dış/serbest yüzeyinde düzlem gerilme durumu (yüzeye uygulanmış dış kuvvet/kuvvetler yoksa) ortaya çıkar.

3 boyutlu kübik eleman

zy

0

zx

z

= τ = τ =

σ

İnce bir plakada orta düzlemde

etkiyen kuvvetlerden dolayı düzlem gerilme oluşur.

• İnce cidarlı basınçlı tank ve tüplerde de düzlem gerilme durumu söz konusudur.

(3)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 3

x x’

σ

x

τ

xy

σ

y

y’

θ

τ

x’y’

σ

y’

σ

x’

x y

x’

y’

θ

σ

y

τ

xy

σ

x

n

n

Düzlem gerilme elemanı

n-n hattı boyunca bir kesim yapılırsa:

(4)

( θ ) θ τ ( θ ) θ σ

y

Δ

A

sin sin −

xy

Δ

A

sin cos

( ) ( )

( θ ) θ τ ( θ ) θ

σ

θ θ

τ θ θ

σ τ

sin sin

cos sin

cos cos

sin cos

0

A A

A A

A F

xy y

xy x

y x y

Δ +

Δ

Δ

− Δ

+ Δ

=

=

• σ’ bağıntısında θ= θ+90 yazılarak:

Trigonometrik dönüşüm bağıntıları kullanılarak bu denklemler şu şekilde düzenlenebilir:

θ τ

σ θ τ σ

θ τ

σ θ σ σ

σ σ

θ τ

σ θ σ σ

σ σ

2 cos 2

sin

2 sin 2

2 cos 2

2 sin 2

2 cos 2

y x

xy y

x y

x y

xy y

x y

x x

− +

=

− − + −

=

− + + +

=

2

2 cos cos

2

θ = 1 + θ

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

θ θ

θ cos

2

sin

2

2

cos = −

θ θ

θ θ

cos )

90 sin(

sin )

90 cos(

= +

= +

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

θ θ

θ cos

2

sin

2

2

cos = −

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

θ θ

θ cos

2

sin

2

2

cos = −

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

θ θ

θ cos

2

sin

2

2

cos = −

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

θ θ

θ cos

2

sin

2

2

cos = −

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

θ θ

θ cos

2

sin

2

2

cos = −

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos cos

2

θ = 1 + θ

θ θ

θ cos

2

sin

2

2

cos = −

2 2 cos sin

2

θ = 1 θ

2 2 cos

cos

2

θ = 1 + θ (1)

(2) θ θ

τ θ σ

θ σ

σ

y

=

x

sin

2

+

y

cos

2

− 2

xy

sin cos

) sin (cos

cos sin

)

( σ σ θ θ τ

2

θ

2

θ

τ

xy

= −

x

y

+

xy

− θ θ τ

θ σ

θ σ

σ

x

=

x

cos

2

+

y

sin

2

+ 2

xy

sin cos

K düzlemi

(5)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 5 (1)ve (3) nolu denklemler yeniden düzenlenip kareleri

alınarak taraf tarafa toplanırsa parametrik bir daire denklemi elde edilir

2 xy

y x 2 y x

x cos2 sin2

2

2 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎛ − +

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎞

⎛ +

−σ σ σ σ θ τ θ

σ

( )

xy 2

y x 2

y

x sin2 cos2

2 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎛ − +

=

σ σ θ τ θ

τ

(

x ort

)

2

( )

xy 2 x y 2 xy2

2σ τ τ σ

σ

σ ⎟⎟ +

⎜⎜ ⎞

⎛ −

= +

( )

x2y 2

2 ort

x

− σ + τ

= R σ

y x ′

τ

σ

max

σ

min

σ

x′

σ

x′

y x ′

τ

σ

ort

K

2 xy 2 y x y

x

ort ;R 2

2

σ σ σ τ

σ σ ⎟⎟ +

⎜⎜ ⎞

⎛ −

+ =

=

Mohr Çemberi

) ( τ ) (+

Mohr Çemberinin Çizimi

τ

y x

xy p

ort min

max,

2 2 tan

R σ σ

θ τ

σ σ

= −

±

=

Xdüzlemi Ydüzlemi

x’

y’

Verilen düzlem gerilme durumu için X ve Y düzlemlerindeki

gerilmelere karşılık gelen noktalar σ-τ eksenlerinde işaretlenir. Bu iki noktayı çap kabul eden bir çember çizilir. Çemberin merkezi (C noktası) orijinden (O noktası) σort kadar uzakta yer alır.

(6)

bulunabilir:

y

0

x

• Asal gerilmelerin meydana geldiği düzlemlerde kayma gerilmeleri “0” dır. Buna göre asla gerilme doğrultularını (θ

p

) veren bağıntı:

= τ

y x

xy p

2 2

tan σ σ

θ τ

= −

Maksimum kayma gerilmeleri

2 xy 2

y x

max

R σ 2 σ τ

τ ⎟⎟ +

⎜⎜ ⎞

⎛ −

=

= Burada θ

s

aralarında 90

o

bulunan iki maksimum kayma gerilme düzleminin normalini vermektedir. θ

p

ile θ

s

arasında 45

o’

lik bir açı vardır.

Maksimum kayma gerilmeleri

xy y x

s 2

2

tan

τ

σ θ = − σ

2 xy 2 y x y

x min

max,

σ 2 σ σ 2 σ τ

σ ⎟⎟ ⎠ +

⎜⎜ ⎞

⎛ − + ±

=

• Gerilme elemanı üzerinde θ kadar bir dönme Mohr Çemberi üzerinde 2θ kadar bir dönmeye karşılık

gelmektedir. Burada θp aralarında 90

o

bulunan iki asal gerilme doğrultusunu göstermektedir.

(7)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 7

120 MPa 70 °

45 MPa

c

a) Asal gerilmeler ve doğrultularını bularak bir gerilme elemanı üzerinde gösteriniz, b) c düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerinin değerini hesaplayınız.

Burada analitik çözüm verilmiştir (Mohr çemberi ile de çözüm yapılabilir).

(8)

0

, = =

=

y xy

x

A

P σ τ

σ

J

xy

Tc

y

x

= σ = τ =

σ 0

J 0 Tc

için . doğ lik

45

xy y

x = = =

°

τ σ

σ

A 2

P için . doğ lik

45

xy y

x = = =

°

τ σ σ

Örnek: Saf burulma (pure torsion) durumu için Mohr çemberi

(9)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 9 Şekildeki düzlem gerilme durumu için (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını, (b) maksimum kayma gerilmelerini ve düzlemlerini, bulunan düzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz.

(10)

Şekildeki düzlem gerilme durumu için Mohr Çemberini çizerek (a) asal gerilmeleri ve doğrultularını/düzlemlerini, (b) maksimum kayma gerilmelerini ve düzlemlerini, bulunan düzlemlerdeki normal gerilmeleri bulunuz.

• Asal gerilmeler ve düzlemleri :

30 40 CF 2 FX

tan θp = =

θ

p

= 26 . 6 °

50

max =OA=OC+CA=20+

σ σmax =70MPa

50

min =OB = OCBC = 20−

σ σmin =−30MPa

MPa 40 FX MPa

30 20 50

CF = − = =

( ) ( )

20MPa

2 10 50

2

y x

ort + = + − =

=

σ σ

σ

( ) ( )

30 40 50MPa

CX

R = = 2 + 2 = Yarıçap:

°

=26.6 θp

(11)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 11

° +

=

p

45

s

θ

θ θ

s

= 71 . 6 °

= R

τ

max

τ

max

= 50 MPa

σ

ort

σ ′ = σ = 20 MPa

Maksimum kayma gerilmeleri ve düzlemleri/doğrultuları

(12)

döndürülmesiyle elde edilen yüzeylerdeki gerilmeleri bulunuz.

MPa 132 52

80

CA OC OA

max max

= +

=

+

=

= σ σ

MPa 28 52 80

BC OC

OA

min min

=

=

=

= σ σ

4 . 20 2 48 CF 2 XF

tan

θ

p

= = =

clockwise 7

. 33 °

p

= θ

°

= 67 . 4 2 θ

p

°

′ =

=

° +

= +

=

=

°

=

=

=

°

=

°

°

°

=

6 . 52 sin 52

6 . 52 cos 52 80

6 . 52 cos 52 80

6 . 52 4

. 67 60

180

X K

CL OC OL

KC OC

OK

y x

y x

τ σ σ φ

MPa 4 . + 48 σ =

θ=30° deki gerilmeler

( ) ( ) ( ) ( )

20 48 52MPa MPa

2 80 60 100 2

2 2

2

2 + = + =

=

+ = + =

=

FX CF

R

y ave x

σ σ σ

(13)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 13 etkimektedir. Buna göre; H noktasındaki bir gerilme elamanı (x-y düzleminde) üzerinde a) meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini gösteriniz, b) asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz.

(14)

kaynatılmasıyla (22.5 ° lik helis açısıyla) üretilmiştir. P=160 kN ve T= 800 N.m için kaynağa paralel (teğet) ve dik doğrultulardaki gerilmeleri (kayma gerilmesi ve normal gerilme ) bulunuz.

(15)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 15 etkimektedir. Buna göre; H ve K noktalarındaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmelerini bulunuz ve doğrultuları ile birlikte gösteriniz.

(16)

Genel gerilme durumunda dönüşüm bağıntıları ve Mohr Çemberi

Statik dengeden

F

n

= 0

x z zx z

y yz y

x xy 2

z z 2

y y 2

x x

n

σ λ σ λ σ λ 2 τ λ λ 2 τ λ λ 2 τ λ λ

σ = + + + + +

2 2

2

b b c c

a a

n

σ λ σ λ σ λ

σ = + +

z z x

y

x y

A B

C

ABC noktalarından geçen ve yüzey normali N olan (doğrultman kosinüsleri λx, λy, λz) bir düzlemde kesim yapılırsa:

α, β ve γ yüzey normalinin (N) sırasıyla x, y ve z eksenleriyle yaptığı açılar olmak üzere:

λx=cos α, λy=cosβ, λz=cos γ

Herhangi bir N doğrultusundaki normal gerilme (not: kayma gerilmeleri de benzer şekilde bulunabilir)

3 boyutlu kübik gerilme elemanına etkiyen kuvvetler sadece normal

(17)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 17

σ

a

σ

b

σ

c

Her bir daire/çember; kübik gerilme elemanının asal gerilme eksenleri etrafında döndürülmesiyle oluşan normal ve kayma gerilmelerini

göstermektedir. Yani ,şekildeki BC çemberi a etrafındaki bir dönmeye, AC çemberi b etrafındaki bir dönmeye, AB çemberi c etrafındaki bir dönmeye karşılık gelmektedir.

min max

max 2

1 σ σ

τ = −

En büyük kayma gerilmesi büyük

çemberin yarıçapına karşılık gelmektedir:

Not:Daha önce düzlem gerilme durumunda 2 asal gerilme hesaplanmıştı. Ancak gerçekte değeri “0” da olsa üçüncü bir asal gerilme de vardır. Mohr çemberleri buna göre oluşturulabilir. Özellikle düzlem durum için bulunan σmax ve σmindeğerlerinin ikisi de pozitif veya ikisi de negatif ise; üçüncü gerilmenin “0” olarak göz önüne alınması son derece önemlidir. Çünkü maksimum kayma gerilmesideğeri ve kayma düzlemideğişmektedir.

τmaxdüzlem içi (in-plane) kaymaya neden olur.

(18)

kayma gerilmelerini bulunuz.

(19)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 19

Akma ve Kırılma Kriterleri (Düzlem Gerilme)

Eksenel olmayan yüklere maruz makina parçalarında hasarın meydana gelip gelmeyeceğini tahmin etmek için çeşitli teoriler geliştirilmiştir. Bu teorilerde genellikle, asal gerilme bileşenleri göz önüne alınarak eşdeğer bir gerilme değeri bulunmakta ve bu değer eksenel yüklemedeki akma veya kırılma mukavemet değerleri ile karşılaştırılmaktadır.

1- Sünek Malzemeler için Akma Kriterleri

• Maksimum Kayma Gerilmesi Kriteri (Tresca Kriteri):

(Maximum Shearing Stress Criterion, Fransız mühendis Henri Edouard Tresca, 1814-1885)

Bu kritere göre; çok eksenli durumdaki maksimum kayma gerilmesi, deneysel olarak elde edilen tek eksenli durumdaki kayma akma gerilmesine ulaştığında malzemede akma başlar.

σ

y

τ

y

σ

y

Tek eksenli yükleme durumu

Asal gerilmeler (σaveσb) aynı işarete sahipse:

2 or 2

max

σ

2a

σ

b

σ

Y

τ

= <

2

max

σ

a

2 σ

b

σ

Y

τ − <

Asal gerilmeler (σaveσb) zıt işaretli ise:

=

Y

max

τ

τ <

Emniyetli sınırlar içinde kalmak için ,

olmalıdır.

2 2

min Y max

max

σ σ τ σ − <

=

yani

Y b

a

σ σ

σ − <

Y a

b

σ σ

σ − <

(20)

(Maximum Distortion Energy Criterion, uygulamalı matematikçi Richard von Mises, 1883-1953) Bu kritere göre; birim hacim için, çok eksenli durumdaki çarpılma şekil değiştirme enerjisi,

deneysel olarak elde edilen tek eksenli durumdaki çarpılma şekil değiştirme enerjisine ulaştığında malzemede akma başlar. Kriter asal gerilmeler cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir.

Birim hacim için kullanılan şekil değiştirme enerjisi bağıntısı daha sonra çıkarılacaktır.

( ) (

Y 2

)

2 Y 2

b b

a 2

a

0 0

G 6

1 G

6

1 σ − σ σ + σ < σ − σ × +

Y

d

u

u < olmalıdır:

Akma olmaması için

2 Y 2

b b

a 2

a

σ σ σ σ

σ − + < elips denklemi

Sadece burulmaya maruz bir dairesel kesitli bir milde:

Tresca:

Von Mises Kriterlerindeki elips Tresca kriteri ile oluşturulan altıgenin köşelerinden geçmektedir. Her iki kriter birbirlerine çok yakın sonuçlar vermektedir. Her iki kriterde altıgen ile elips içinde kalan noktalar emniyetli gerilme değerlerini vermektedir. Von mises kriteri gerçekte daha doğru sonuçlar vermektedir. Buna karşılık Tresca kriterine göre yapılacak bir tasarımda emniyet katsayısı daha yüksek alınmış olur.

τ σ

σ = =

Y b

a

σ σ

σ − < τ −

(

− τ

)

< σ

Y Y 0.5 Y

2

σ

τ < σ =

(21)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 21 temsil etmektedir. Söz konusu çelik parçanın eksenel yüklemedeki akma gerilme değeri σy=250 MPa olduğuna göre, Tresca ve von Mises kriterlerine göre parçanın mevcut gerilme durumu için emniyet katsayısını bulunuz.

(22)

milin emniyetli çapını maksimum kayma gerilmesi kriterine göre (Tresca) bulunuz.

x y

z

P=44 kN

150 mm 200 mm

(23)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 23

σ

a

σ

UT

σ

UT

σ

UC

σ

UC

2- Gevrek Malzemeler için Kırılma Kriterleri

• Maksimum Normal Gerilme Kriteri:

Bu kritere göre; çok eksenli durumdaki maksimum normal gerilme değeri, malzemenin deneysel olarak elde edilmiş tek eksenli durumdaki kırılma değerine ulaştığında kırılma/hasar meydana gelir.

• İç Sürtünme Teorisi -Coulomb Kriteri:

Bu kritere göre; malzemenin hasara uğramasında maksimum gerilme ile beraber iç sürtünme kuvvetleri de etkilidir. Gevrek malzemelerin çeki ve basıdaki mukavemet değerleri de (malzeme içindeki süreksiz noktalar ve malzeme kusurları nedeniyle, micro kırıklar gibi) birbirinden farklıdır.

Kriteri ifade eden aşağıdaki bağıntıda a ve b sırasıyla maksimum kayma gerilmesini ve iç sürtünmeleri karakterize eden parametrelerdir. Bu katsayılar basit çekme ve basma testleri ile bulunur.

) (

b

a

a b

b

a

σ σ σ

σ − = − +

b 2 / a

basma

burulma

çekme

Sadece çekmedurumunda:

) 1 ...(

) (

b

a

a b

b

a

σ σ σ

σ − = − +

0 ,

b

UT

a

= σ σ =

σ

) 0 (

b a

0 UT

UT

− = − σ +

σ

) 2 ...(

b

a

UT

UT

σ

σ = −

UC b

a

0 , σ σ

σ = = −

Sadece basmadurumunda:

) 0

( b a ) (

0

− − σ

UC

= − − σ

UC

) 3 ...(

b

a

UC

UC

σ

σ = +

(2) ve (3) nolu denklemlerden

(

UT UT

)

UC

UC

σ b σ b σ

σ = + +

UT UC

UT

a

UC

σ σ

σ σ

+

= −

UT UC

UC

b

UT

σ σ

σ σ

+

= −

emniyet için

olmalıdır.

{

a b

}

UT

UC σ ,σ σ

σ < <

(24)

UT b UC

a UT σ σ

σ

σ −σ =

UT a UC

b σ σ

σ −σ = denklemde yerine yazılırsa,

hasar olmaması için;

1

olmalıdır.

UC b UT

a

− ≤

σ σ

Not:bu bağıntı çıkarılırken

σ

UT ve

σ

UC İşaretleriyle beraber (+ ve –) kullanıldı. Bu nedenle bağıntıda mutlak değer olarak yazılmalıdır. Yani her ikisi de + olarak yerlerine yazılmalıdır.

Örnek:

Dökme demirden imal edilmiş şekildeki kolun çekme ve basmadaki mukavemet değerleri sırasıyla σUT=180 MPa ve σUC=300 MPa ’dır.

Emniyet katsayısını n=3 olduğuna göre, milin OA kısmının çapı için emniyet kontrolü yapınız.

(25)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 25 p dA

σ1dA σ1dA

p dA σ2dA

İçten basınca maruz ince cidarlı kaplarda gerilmeler (düzlem gerilme)

t pr 4 2

1 2 )

plane in

max( = σ =

τ (

2t x

) (

p 2r x

)

0

Fz = =σ1 Δ − Δ

• Teğetsel Gerilme Piç basıncına

maruz iki ucu kapalı, ince cidarlı (r>>t) silindirde gerilmeler

t pr

1

= σ

• Eksenel Gerilme

( ) ( )

2

2

x 0 2 rt p r

F = =σ π − π

2

1 2σ

σ =

t 2 pr

2

= σ

σ1= teğetsel gerilme,σ2= eksenel gerilme Burada σ1ve σ2aynı zamansa asal gerilmeleridir.

Çünkü kayma gerilmesi yok.

A ve B noktaları sırasıyla teğetsel gerilmeyi (σ1) ve eksenel gerilmeyi (σ2) göstermektedir.

Maksimum düzlem içi (in-plane) kayma gerilmesi:

Düzlem dışı (

out-of-plane

) maksimum kayma gerilmesi:

t pr

2 2

max = σ =

τ

Emniyet kontrolünde veya

tasarımda göz önüne alınması gereken kayma gerilme

(26)

Burada σ1 ve σ2 aynı zamansa asal gerilmeleridir. Çünkü kayma gerilmesi yok. Her ikisi de Mohr çemberinde aynı noktayı gösterir. Bu nedenle;

Üçüncü asal gerilme “0” olduğundan; maksimum kayma gerilmesi;

plane)

0

-

max(in

=

τ

Piç basıncına maruz ince cidarlı (r>>t) küresel kaplarda gerilmeler

t pr

2 2

1 = σ = σ

t pr

1 4

2 1

max = σ =

τ

(27)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 27 Silindirik kısmın et kalınlığı 10 mm küresel kısmın et kalınlığı 8 mm ise;

a)Küresel ve silindirik kısımlarda meydana gelen maksimum normal ve kayma gerilmelerini b)Kaynak dikişinde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini bulunuz.

(28)

(

z zx zy

0 )

xy , y x,

=

=

= γ γ ε

γ ε ε

Gerilme dönüşüm bağıntıları ile şekil değiştirme dönüşüm bağıntıları arasında benzeşim vardır.Gerilme dönüşüm bağıntılarında σ yerine ε ve τ yerine γ/2 yazılarak dönüşüm bağıntıları elde edilebilir.

γ θ ε θ

ε γ

γ θ ε θ

ε ε ε ε

γ θ ε θ

ε ε ε ε

2 2 cos 2

2 sin 2

2 2 sin 2

2 cos 2

2 2 sin 2

2 cos 2

xy y

x y

x

xy y

x y x y

xy y

x y x x

− +

=

− − + −

=

− + + +

=

σ ε τ

2 γ

Düzlemşekil değiştirme durumunda:

x x y

z

(29)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 29

2 xy 2

y x y

x

ort ; R 2 2

2

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎛ − + =

= ε ε ε ε γ

ε

( )

2 2

max

2

R

ε

x

ε

y

γ

xy

γ = = − +

Düzlem içi maksimum kayma birim şekil değiştirmesi

Asal birim şekil değiştirmeler ve doğrultuları

R

; R 2

tan

ave min

ave max

y x

xy p

= +

=

= −

ε ε

ε ε

ε ε θ γ

doğrultuları aynıdır. Çünkü kayma gerilmeleri ve dolayısıyla kayma şekil değiştirmeleri yoktur (Hooke bağıntıları).

Düzlem şekil değiştirme durumunda asal gerilmelerin üçüncüsü gerilmede olduğu gibi “0” dır. Bu durum göz önüne alınarak Mohr çemberi çizilmeli ve maksimum kayma birim şekil değiştirmesi bulunmalıdır.

Düzlem gerilme durumu için asal şekil değiştirmeler:

(

a b

) (

a b

)

c

b a

b

b a

a

1 E

E E

E E

ε ν ε

σ ν ν σ

ε

σ σ

ε ν

σ ν ε σ

− +

= +

=

+

=

=

σa ve σa asal gerilmeler σc=0 ise de εc≠0;

(30)

Deformasyon Rozetleri: Strain-Gages

• Strain gages birim şekil değiştirme ölçümünde kullanılan dirençlerdir.

• 45o lik bir rozet ile εxveεy doğrudan , γxy ise dolaylı olarak ölçülmüş olur:

2 2

2 2 2 2

2

1 1

2 1 2 1

1

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

θ θ

γ θ ε

θ ε

ε

θ θ

γ θ ε

θ ε

ε

xy y

x

xy y

x

+ +

=

+ +

=

• Aralarında herhangi bir açı bulunan rozetler kullanılırsa, x-y düzlemindeki normal ve kayma birim şekil değiştirmeleri 3 bilinmeyenli 3 denklem kullanılarak bulunur. Burada ε1,

ε

2

ve ε

3 strain gages’lerden deneysel olarak elde edilen değerlerdir.

( )

( ) ( )

(

x y

)

OB xy

xy y

x OB

xy y

x

ε ε ε

γ

γ ε ε ε

ε

θ θ

γ θ ε

θ ε

θ ε

+

=

+ +

=

°

=

+ +

=

2 45

cos sin

sin cos

12

2 2

(31)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 31 şekil değiştirmeler εa=+400 μ ve εb=-50 μ olarak hesaplanmıştır. Ölçüm yapılan malzemenin Poisson oranı ν=0.3 olduğuna göre; a) maksimum düzlem-içi birim kayma deformasyonunu, b) gerçek maksimum birim kayma deformasyonunu bulunuz (E=200 GPa).

(32)

okunmuştur. G=75 GPa olduğuna göre T’nin değerini bulunuz.

(33)

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 7- 33 75 mm

75 mm

ε2=+240 μ,ve ε3=+200 μolarak okunmuştur. E=200 GPa, G=79 GPa ve ν=0.3 olduğuna göre, uygulanan Pve Q kuvvetlerini bulunuz.

(34)

tankın yüzeyindeki bir noktaya şekildeki gibi boyuna ve enine yapıştırılan strain gage’ lerden ε1=+255 μ ve ε2=+60 değerleri okunmuştur. G=80 GPa olduğuna göre, a) tank içindeki basıncı ve b) tankın cidarındaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmesini bulunuz.

600 mm

Referanslar

Benzer Belgeler

• To keep frequently used apps at the bottom of the Home screen, touch and hold an app, then drag it to the quick access area at the bottom. • To remove an icon from the quick

31 Call-by-Call listesini açma Şarj soketi Mikrofon R tuşu - Danışma Flaş - Çevirme bekleme süresi girme uzun süreli basın Yıldız tuşu Zil seslerini açma/kapatma uzun

1). Ekran menüsü penceresini etkinleştirmek için MENÜ düğmesine basın. İşlevler arasında gezinmek için Sol veya sağ öğesine basın. İstenen işlev

1). Ekran menüsü penceresini etkinleştirmek için MENÜ düğmesine basın. İşlevler arasında gezinmek için Sol veya sağ öğesine basın. İstenen işlev

“AS IS”, WITH ALL FAULTS AND ERRORS, AND EZVIZ MAKES NO WARRANTIES, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING WITHOUT LIMITATION, MERCHANTABILITY, SATISFACTORY QUALITY, FITNESS FOR A

1). Ekran menüsü penceresini etkinleştirmek için MENÜ düğmesine basın. İşlevler arasında gezinmek için &lt; veya &gt; öğesine basın. İstenen işlev

1,200’den fazla çeşit arıza tipi ve 6,000den fazla Diyagnostik kural Kitaplığı.

1). Ekran menüsü penceresini etkinleştirmek için MENÜ düğmesine basın. İşlevler arasında gezinmek için &lt; veya &gt; öğesine basın. İstenen işlev