III. NEWTON MEKANİĞİNİN TEMEL KANUNLARI: Kütlesi ölçülebilecek kadar küçük bir cisim üzerine, şiddeti ölçülebilen bir kuvvet tatbik edelim. Bir eksen sistemi seçerek cismin sisteme göre hareketini gözleyelim. Bu gözlem esnasında,
KUVVET için F KÜTLE için m
İVME için a
notasyonlarını seçerek F, m ve a arasında basit bir ilişki olup olmadığını araştıralım. Araştırma sonucunda basit bir ilişkinin olmadığını görürüz.
Biz deneylerimizi herhangi bir eksen sistemini referans kabul ederek yapmıştık. Bu referans sistemi havada daireler çizen bir uçak kabini olabileceği gibi basit bir laboratuar da olabilirdi.
Şimdi biz ikinci bir soru daha sorabiliriz. Acaba F, m ve a arasında basit bir ilişkinin var olduğu bir eksen sistemi var mıdır? Cevap evettir. F, m ve a arasında basit bir ilişkinin var olduğu bir eksen sistemi astronomik eksen sistemidir. Bu sistemin merkezinde güneş vardır ve eksenler güneşe göre rotasyon yapmayan üç sabit yıldıza yönelmiştir. Söz konusu basit ilişki,
F=kma
şeklindedir. Burada k pozitif bir sabittir ve değeri kullanılan birimlere bağlıdır.
Şimdi Newton mekaniğinin üzerine kurulduğu üç temel kanundan bahsedelim. Bu kanunlar,
HAREKET KANUNU: Hareket eden bir cismin ivmesi ile, üzerine etki eden kuvvet arasında bir orantı vardır. Bu orantı,
F=ma
şeklindedir. Burada orantı katsayısı "m", pozitif bir sabit olup cismin kütlesine eşittir.
AKSİYON-REAKSİYON KANUNU: Herhangi iki maddesel nokta birbirleri üzerine kuvvet uyguladığında, bu kuvvetin tesir çizgisi, bu iki maddesel noktayı birleştiren doğru olup, kuvvetler şiddetçe eşit işaretçe terstir; ya da sıfır çifti oluşturur.
KUVVETLERİN TOPLANMASI KANUNU: Bir maddesel nokta üzerine →F1 veF→2
gibi iki kuvvet etki ettirildiğinde, bu kuvvetlerin her ikisi → → →R F1 F2
= + şeklinde iki kuvvetin bileşkesinin etkisiyle aynı etkiyi doğurur. Buna süperpozisyon prensibi de denir.
III.1 BİR MADDESEL NOKTANIN DENGESİ.
Bir maddesel noktanın dengede olması için gerek ve yeter şart, üzerine etkiyen kuvvetler sistemi sıfıra denk olmalıdır. Yani,
1
0
n i i
R F
=
→ →
=
∑
= ve1
0
n
P i i
i
M PA F
=
→ →
=
∑
∧ =yazılır. Burada A noktaları kuvvetlerin tesir çizgileri üzerindeki keyfi noktaları temsil eder. Bir i maddesel noktaya gelen kuvvetler bir noktada kesişen kuvvetler tütünden olduğuna ve Varignon teoremine göre bu tür kuvvetlerin bir noktaya göre momenti bileşkesinin momentine eşit olacağından bileşke sıfır olduğunda moment de kendiliğinden sıfır olur. O halde bir maddesel noktanın dengesi için gerek ve yeter şart maddesel nokta üzerine gelen kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olmasıdır.
1
0
n i i
R F
=
→ →
=
∑
=EĞER BİR MADDESEL NOKTA ÜZERİNE ETKİ EDEN KUVVET VEKTÖRLERİNİN TEŞKİL ETTİĞİ POLİGON KAPANIYORSA, BU MADDESEL NOKTA DENGEDEDİR.
III.2 MADDESEL NOKTALAR SİSTEMİNİN DENGESİ.
a) İç ve dış kuvvetler. Kitap, masa ve zemin alalım. Kitap masa üzerinde, masa da zemin üzerinde olsun.
Burada kitap bir maddesel noktalar sistemi, masa da ayrı bir maddesel noktalar sistemi oluşturur.
Aksiyon-reaksiyon kanunu gereği kitap masaya bir basınç uygular, masa da buna aynı şiddette bir kuvvetle karşı koyar. Bu kuvvetler, sistemi oluşturan maddesel noktalar tarafından meydana getirilmektedir.
Bir sistemi oluşturan maddesel noktalar arasındaki kuvvetlere iç kuvvetler denir. Farklı sistemi oluşturan maddesel noktalar arasındaki kuvvetler dış kuvvetler denir.
b) Maddesel noktalar sisteminin dengesinin gerek şartları. Bir maddesel noktalar sistemi dengede ise sistemi oluşturan maddesel noktalar tek tek dengededir. Buna göre sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.
Bu kuvvetlerin bir kısmı dış kuvvet, bir kısmı da iç kuvvet ise sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden bütün iç kuvvetlerin ve bütün dış kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.
Aksiyon-reaksiyon kanunu gereği, sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden bütün iç kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.
Ve sonuç olarak, sistemi oluşturan her bir maddesel nokta üzerine etki eden bütün dış kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. Buna dengenin gerek şartları denir.
c) Maddesel noktalar sisteminin dengesinin yeter şartları. Maddesel noktalar sistemi üzerine etki eden dış kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması denge için yeterli değildir. Bileşke sıfırdır, ancak dış kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri sıfırdan farklı olabilir. Denge için bununda sıfır olması gerekir. Yani sistem sıfıra denk olmalıdır. Buna dengenin yeter şartları denir.
d) Temas kuvvetleri (Bağ kuvvetleri). Maddesel noktalar ya da maddesel sistemler genellikle tek başlarına serbest olarak bulunmazlar. Diğer sistemlerle temas halinde bulunurlar. Bu durumda bir bağ söz konusudur. Mesela bir P maddesel noktası bir eğri ya da bir yüzey üzerinde bulunabilir.
Eğer bir maddesel nokta üzerinde bulunduğu yüzey ya da eğriyi hiç bir şekilde terk edemiyorsa bağ çift taraflıdır, eğer yalnız bir tarafa doğru terk edebiliyorsa bağ tek taraflıdır denir. K1 ve K2
temas halinde iki cisim, π ise temas noktasından geçen ortak düzlem olsun. K1 in K2 ye değme kuvvetine,
Fb
→
:Bağ kuvveti adını veriyoruz. Bu kuuvet temas düzlemine dik olmak zorunda değildir.
Fb
→
nin π düzlemine dik bileşenine, →N
: Normal tepki Fb
→
nin π düzlemine paralel bileşenine, →S
: sürtünme kuvveti adını veriyoruz.
Deney ve gözlem neticelerine göre:
1. F→b
belli değildir. Mekanik problemlerinde esas bilinmeyeni oluşturur.
2. K1 in K2 den ayrılması halinde F→b
sıfırdır.
3. v→A
sıfırdan farklı olması halinde →S ile v→A
aynı doğrultulu ve zıd yönlüdür. Yani,
A 0
S v
→ →∧ = → →S vA 0
⋅ <
dır.
4. →S =
( (
S ve →N=( (
N yazılırsa,S=µN olur. Burada µ sürtünme katsayısıdır ve daima µ<1 dir.
5. N→
daima katı cismin yüzeyi terk edebileceği tarafa doğru yönlenmiştir.
6. v→A 0
= ise S→
daima harekete karşı koyma yönündedir ve S≤µN
dır.
7. µ=arctan
( )
θ olup, kritik sürtünme açısı adını alır ve daima 04 θ π
≤ ≤ dür.
8. µ= ise0 S=0 dır. BöyleceF→ →b N
= olur.
ÖRNEK:
1 2
Yukarıdaki şekillerde maddesel noktayı dengede tutacak Fmaks ve Fmin kuvvetini bulunuz.
1. DURUM
x 0
R =
( ) ( )
( ) ( )
0 0
min min
cos sin
cos sin
F S mg
F N mg
α θ
α µ θ
+ − =
+ − =
y 0
R = −Fminsin
( )
α + −N mgcos( )
θ = 0( ) ( )
( ) ( )
min min
cos sin
sin cos
F N mg
F N mg
α µ θ
α θ
+ =
− + =
( ) ( )
( ) ( )
min
sin cos
cos sin
F mg θ µ θ
α µ α
= −
+
min 0
F = için µ=tan
( )
θ olmalıdır.( ) ( )
( ) ( )
m aks m aks
cos sin
sin cos
F N mg
F N mg
α µ θ
α θ
− =
− + =
( ) ( )
( ) ( )
m aks
sin cos
cos sin
F mg θ µ θ
α µ α
= +
−
Fmaks= ∞ için tan α
( )
1= olmalıdır. Bu otoblokaj şartıdır. µ
ÖRNEK: 1000 N’luk bir ağılık üç adet ip ile A,B ve C noktalarına asılmıştır. A
(
2 1 0, ,)
m,(
3 4 0, ,)
mB − , C
(
0,−3 0,)
m ve D(
0 0, ,−4)
m’dir. İp kuvvetlerini hesaplayınız.İplerdeki kuvvetleri bulmak için ipleri kesip, yerlerine ip kuvvetleri kadar kuvvetleri koymamız gerekir. Denge için,
1000 0
DA DB DC
R=F +F +F − k=
olmalıdır.
DA DA DA
F =F e
DA
e DA DA
=
DA= + +2i j 4 mk
2 2 2
2 1 4 21 m
DA = + + =
2 4
DA 21
i j k
e = + +
2 4
21
DA DA N
i j k
F =F + +
DB DB DB
F =F e
DA
e DB DB
=
DB= − +3i 4j+4 mk
( )
3 2 42 42 41 mDB = − + + =
3 4 4
DB 41
i j k
e =− + +
3 4 4
41 N
DB DB
i j k
F =F − + +
DC DC DC
F =F e
DC
e DC
DC
=
DC= −0i 3j+4 mk
( )
22 2
0 3 4 25 5 m
DC = + − + = =
0 3 4
DC 5
i j k
e = − +
0 3 4
5 N
DC DC
i j k
F =F − +
2 4 3 4 4 0 3 4
1000 0
21 41 5
DA DB DC
i j k i j k i j k
R F + + F − + + F − + k
= + + − =
0 3 4
2 3 1 4 4 4
1000 0
5 5 5
21 41 21 41 21 41
DC DC DC
DA DB F DA DB F DA DB F
F F F F F F
i j k
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + + + + + + + − =
0
2 3
5 0
21 41
3
1 4
5 0
21 41
4
4 4
1000 0 21 41 5
DC
DA DB
DC
DA DB
DC
DA DB
F
F F
F
F F
F
F F
⋅ − ⋅ ⋅
+ + =
⋅ ⋅ − ⋅
+ + =
⋅ ⋅ ⋅
+ + − =
2 3 0
21 41 5
1 4 3 0
5 0
21 41
4 4 4 1000
21 41 5
DA DB DC
F F F
−
− ⋅ =
1 7 21 3 21 9 21
2 3 0
26 26 104
21 41 5 0 0
1 4 3 2 41 41 3 41
0 0
5 13 13 52
21 41
1000 1000
15 25 55
4 4 4
26 26 104
21 41 5
DA DB DC
F F F
−
− −
= − ⋅ = − ⋅
− −
N
1125 21
13 396 569 750 41
369 511 13 528 846 6875
13
.
. N
.
DA DB DC
F F F
= =
ÖRNEK: A ve B cisimleri bir iple bağlanmış olup sürtünme katsayısı sıfırdır. Denge konumu için θ1 ve θ2 açıları arasındaki ilişkiyi bulunuz.
B 0
Rx = NB−mgcosθ2=0
B 0
Ry = TB−mgsinθ2=0
A 0
Rx = NA−4mgcosθ1=0
B 0
Ry = TA−4mgsinθ1=0
2
1
1 2
1 2
4 4
1 4
sin sin
sin sin
sin sin
A B
B A
T T
T mg
T mg
mg mg
θ θ
θ θ
θ θ
=
=
=
=
=
ÖRNEK: AD çubuğu ile temas ettiği yüzeyler arasında bir sürtünme olmadığına göre denge konumu için θ açısını bulunuz.
x 0
R = NAcosθ−mgsinθ+0NB=0
y 0
R = −NAsinθ−mgcosθ+NB=0
A 0 M =
2
0 3 0
2
0 3 2 0
cos cos
cos
A B
A B
a a
N mg N
N a mg N a
θ θ
θ
− ⋅ + =
− ⋅ + ⋅ =
2
0 0
1 0
0 3 2 0
cos sin
sin cos
cos
A
B
N mg
a a N
θ θ
θ θ
θ
−
− − ⋅ =
− ⋅
2
0
1 0
0 3 2
cos sin
sin cos
a cos a
θ θ
θ θ
θ
−
− − =
− ⋅
(
2) ( )
2 3 2
3
3
0
2 3 2 0
2 3 2 0
2 3
2 3 27 691
cos cos cos sin sin
cos cos sin
cos
arccos .
a a a
a a a
θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ
θ θ
− + + − =
− + − =
=
=
= 0 525
tan . NA=mg θ= mg
( )
0 525 0 525
1 12944
cos sin cos . sin cos . sin
.
B A
B
N mg N mg mg mg
N mg
θ θ θ θ θ θ
= + = + ⋅ = +
=
ÖRNEK: AC çubuğu ile temas ettiği yüzeyler arasında bir sürtünme olmadığına göre denge konumu için θ açısını bulunuz.
x 0
R = NAcosθ−mgsinθ+0NB=0
y 0
R = NAsinθ−mgcosθ+NB=0
A 0 M =
[ ]
0 3 2 0
2
0 3 4 0
cos cos
cos
A B
A B
N mg R N R
R N mg N
θ θ
θ
− ⋅ + ⋅ =
− + =
0 0
1 0
0 3 4 0
cos sin sin cos
A
B
N mg N
θ θ
θ θ
−
− ⋅ =
−
0 1 0
0 3 4
cos sin sin cos
θ θ
θ θ
−
− =
−
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
4 3 4 0
4 3 4 0
4 3 4 1 0
8 3 4 0
cos cos sin sin
cos cos sin
cos cos cos
cos cos
θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ
− + + =
− + + =
− + + − =
− + + =
1
2
3 137
0 54404 16
3 137
0 91904 16
cos .
cos .
θ θ
= − = −
= + =
0 1 23 2139. θ =
0 429 tan .
NA=mg θ= mg
( )
0 429 0 429
0 75
cos sin cos . sin cos . sin
.
B A
B
N mg N mg mg mg
N mg
θ θ θ θ θ θ
= + = − ⋅ = −
=
ÖRNEK: AD çubuğu ile temas ettiği yüzeyler arasında bir sürtünme katsayısı µ olduğuna göre denge konumu için θmaks açısını bulunuz.
x 0 R =
( )
0 0
0 0
0
sin sin cos
sin sin cos
sin sin cos
A A C C
A A B C
A C
mg N S N S
mg N N N N
mg N N
θ θ θ
θ θ µ θ µ
θ θ µ θ µ
− − + − =
− − ⋅ + − ⋅ =
− + ⋅ − ⋅ =
y 0 R =
( )
0
0 0
0
cos cos sin
cos cos sin
cos cos sin
A A C
A A B C
A C
mg N S N
mg N N N N
mg N N
θ θ θ
θ θ µ θ
θ θ µ θ
− + − + =
− + − ⋅ + + =
− + − ⋅ + =
A 0 M =
[ ]
3 0
2
1 3 2 0
2
cos tan
tan sin
C
C
R R
mg N
R mg N
θ θ
θ θ
⋅ − ⋅ =
− =
( )
( )
0
1 0
3 0 2 0
sin sin cos
cos cos sin sin
A C
mg N N
θ θ µ θ µ
θ θ µ θ
θ
− + −
− − ⋅ =
−
( )
( )
1(
3 2 2 3)
2 2 2 03 0 2
sin sin cos
cos cos sin sin cos
sin
θ θ µ θ µ
θ θ µ θ µ µ θ µ θ
θ
− + −
− − = − + − =
−
(
2)
2 22
2
2
3 2 3 2 0
2
3 2 3
2
3 2 3
sin cos
tan
tan
µ µ θ µ θ
θ µ
µ µ
θ µ
µ µ
− + − =
= − +
= − +
0 5.
µ=
( ) ( )
( )
2 2
0
2 2 0 5
0 603
3 2 3 3 0 5 2 0 5 3
0 603 31 1
tan tan tan . .
. .
arctan . .
θ θ µ θ
µ µ
θ
= = = = ⋅ =
− + − +
= =
SÜRTÜNMELİ BAĞLAR Silindirik bir yüzeye sarılmış halatın iki ucuna tesir eden kuvvetler
2 1
F >F olmak üzere F2 ve F1 olup halat sarıldığı yüzey ile arasındaki sürtünme kuvvetinin tesiriyle dengededir. F2 =F θ µ1
( )
, şeklindeki ilişkiyi hesaplayınız.dθ merkez açısını gören halat yayını izole edip denge denklemlerini yazalım.
x 0 R =
( )
02 2
2 2 2 0
cos cos
cos cos cos
d d
T N T dT
d d d
T N T dT
θ θ
µ
θ θ θ
µ
− − + + =
− − − + = Çok küçük açıların kosinüsü bire yaklaşır.
dT=µN
y 0 R =
( )
02 2
2 2 2 0
sin sin
sin sin sin
d d
T N T dT
d d d
T N T dT
θ θ
θ θ θ
− + − + =
− + − + =
Çok küçük açıların sinüsü radyan olarak açının kendisine yaklaşır.
0
2 2 2 0
d d d
T θ N T θ dT θ
− + − + ⋅ =
Tdθ=N
denklemleri taraf tarafa bölerek,
ln ln dT Td
dT d
T
T C
θ µ
µ θ µθ
=
=
= +
T=Ceµθ 0
θ= T =F1=C T=F e1 µθ
θ=θ0 T =F2 F2=F e1 µθ
0 5. µ= için
θ=2π 0 5 2( )
2 1 . 23 141. 1
F =F e π = ⋅ F
4
θ= π 0 5 4( )
2 1 . 535 492. 1
F =F e π = ⋅ F
θ=6π 0 5 6( )
2 1 . 12391 648. 1
F =F e π = ⋅ F
ÖRNEK: Şekildeki kayış kasnak mekanizmasında önceden verilmiş bir gücün transferi için lazım gelen ön gerilme kuvvetinin hesabı.
( )
2 1
1 1
1 1
ön
ön
ön
F F F
F F e F
F F e
µπ
µπ
= +
= +
= +
( )
( )
2 1
1 1
d
d
M F F R
M F eµπ R
= − ⋅
= − ⋅
( )
( )
1
1
1 1 2
60
P Md F e R
P F e R n
µπ
µπ
ω ω
π
= ⋅ = − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
( )
( )
1
1
1 2
60
ön 1
F e R n P
F F e
µπ
µπ
− ⋅ ⋅ π
= +
( )
( )
1 2
1 60
ön
e n
P F R
e
µπ
µπ
− π
= ⋅
+
ÖRNEK: Şekilde bir bantlı fren mekanizması görülmektedir. Dönme istikametini dikkate alarak Fren koluna uygulanan F kuvveti ile durdurma momenti arasında bir bağıntı bulunuz.
Bandı keserek bantta ortaya çıkan kuvvetleri bant üzerinde işaretleyelim.
C noktasına göre momentleri yazalım:
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
F L F R f F R f 0
F R f F R f F L
⋅ − + + ⋅ − =
+ − ⋅ − = ⋅
2 1
F = ⋅F eµπ
( ) ( )
1 1
F e⋅ µπ R+f − ⋅F R−f = ⋅ F L
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1
F F L
e R f R f
F F L
R e f e
µπ
µπ µπ
= ⋅
+ − −
= ⋅
− − +
Durdurma momenti: M=
(
F2−F R1)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
M F F R
F L e F L
M R
R e f e R e f e
F L e R
M R e f e
M F L
f e R e
µπ
µπ µπ µπ µπ
µπ
µπ µπ
µπ µπ
= −
⋅ ⋅ ⋅
= − − + − − − +
⋅ ⋅ − ⋅
= − − +
= ⋅
− +
−
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
M F F R
F L e F L
M R
R e f e R e f e
F L e R
M R e f e
M F L
f e R e
µπ
µπ µπ µπ µπ
µπ
µπ µπ
µπ µπ
= −
⋅ ⋅ ⋅
= − − + − − − +
⋅ ⋅ − ⋅
= − − +
= ⋅
− +
−
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 1
1 1 1 1
1
1 1
M F F R
F L e F L
M R
R e f e R e f e
F L e R
M R e f e
µπ
µπ µπ µπ µπ
µπ
µπ µπ
= −
⋅ ⋅ ⋅
= − − + − − − +
⋅ ⋅ − ⋅
= − − +
( )
( )
1 1
1 M F L
f e R e
µπ µπ
= ⋅
− +
−
Payda sıfır olduğunda, frenleme kuvveti sıfır bile olsa durdurma momenti sonsuz olur. Bu duruma otoblokaj şart denir. Bunun için,
1 1
f e
R e
µπ µπ
= − + olmalıdır.
ÖRNEK: Birbiri üzerine bastırılan disklerde sürtünme dolayısıyla moment nakli.
Disk üzerindeki basınç: p
Taralı alanda ortaya çıkan kuvvet: dF=p
(
2πr dr⋅)
Taralı alanda ortaya çıkan sürtünme kuvveti: dS=µp
(
2πr dr⋅)
Taralı alanda ortaya çıkan moment: dM=r pµ
(
2πr dr⋅)
Diskte ortaya çıkan toplam moment:
( ) ( )
3 0 3 20 0
1 2 2
2 2 2
3 3 3
R R R
r r r
M dM r pµ πr dr πµp r r dr πµp r πµpR µ πp R R
= = =
=
∫
=∫
⋅ =∫
⋅ = ⋅ = = ⋅2 2 2 2
3 3 3
M= µ πp R R⋅ = µpA R⋅ = µF R⋅
Eğer diskin ortası boş ise:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
2
1 2
1
0
3 3 3
2 1
2 2
2 1 2 1 2 1
2 2
2 1 2 2
2 1
2 2
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 2
1 2
2 3 3
2 3 2 3
R R
r r R
R r R
M dM r p r dr p r r dr
p r p R R
R R R R R R
p R R
R R
R R R R R R
pA R R R R
µ π πµ
πµ πµ
µ π
µ
= =
=
= = ⋅ = ⋅
= ⋅ = −
− + +
= −
−
− + +
= − +
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 2
3 3
R R R R R R R R
M pA F
R R R R
µ + + µ + +
= =
+ +
