ANKARA ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ
YÜKSEK L·ISANS TEZ·I
ALTERNAT·IF HAREKETL·I ÇATILARA GÖRE BAZI ÖZEL E ¼GR·ILER
Sibel ÖZDO ¼GAN
MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI
ANKARA 2016
Her hakk¬ sakl¬d¬r
TEZ ONAYI
Sibel ÖZDO ¼GAN taraf¬ndan haz¬rlanan " Alternatif Hareketli Çat¬lara Göre Baz¬Özel E¼griler "adl¬tez çal¬¸smas¬ 21/06/2016 tarihinde a¸sa¼g¬daki jüri taraf¬n- dan oy birli¼gi(veya oy çoklu¼gu) ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬’nda YÜKSEK L·ISANS TEZ·Iolarak kabul edilmi¸stir.
Dan¬¸sman: Doç. Dr. ·Ismail GÖK
Jüri Üyeleri:
Ba¸skan: Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I
Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬
Üye : Doç. Dr. ·Ismail GÖK
Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dal¬
Üye : Yrd. Doç. Dr. Osman Zeki OKUYUCU
Bilecik ¸Seyh Edebali Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Anabilim Dal¬
Yukar¬daki sonucu onaylar¬m
Prof. Dr. ·Ibrahim DEM·IR Enstitü Müdürü
ET·IK
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yaz¬m kurallar¬na uygun olarak haz¬rlad¬¼g¬m bu tez içindeki bütün bilgilerin do¼gru ve tam oldu¼gunu, bilgilerin üretilmesi a¸samas¬nda bilimsel eti¼ge uygun davrand¬¼g¬m¬, yararland¬¼g¬m bütün kay- naklar¬at¬f yaparak belirtti¼gimi beyan ederim.
21/06/2016
Sibel ÖZDO ¼GAN
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
ALTERNAT·IF HAREKETL·I ÇATILARA GÖRE BAZI ÖZEL E ¼GR·ILER
Sibel ÖZDO ¼GAN
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬¸sman: Doç. Dr. ·Ismail GÖK
Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r.
·Ilk bölüm giri¸s k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r.
Tezin di¼ger bölümlerinde kullan¬lacak temel kavram ve teoremler ikinci bölümde verilmi¸s- tir.
Üçüncü bölümde, Frenet çat¬s¬na göre baz¬özel e¼griler ve bu e¼griler ile ilgili bilinen karak- terizasyonlar verilmi¸stir.
Dördüncü bölümde, bir önceki bölümde Frenet çat¬s¬na göre incelenen baz¬ özel e¼griler, fN; C; W galternatif hareketli çat¬ya göre yeniden ele al¬nm¬¸st¬r.
Tezin son bölümü tart¬¸sma ve sonuç k¬sm¬na ayr¬lm¬¸st¬r. Yine bu bölümde, alternatif çat¬n¬n sa¼glad¬¼g¬baz¬avantajlar ifade edilmi¸stir.
Haziran 2016 , 55 sayfa
Anahtar Kelimeler: Helisel e¼griler, rekti…yan e¼griler, direction e¼griler
ABSTRACT
Master Thesis
SOME SPECIAL CURVES ACCORDING TO ALTERNATIVE MOVING FRAME
Sibel ÖZDO ¼GAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor: Associated Professor ·Ismail GÖK This thesis consists of …ve sections.
The …rst section is devoted to the introduction.
Basic concepts and theorems which will be use in the other chapters of the thesis is given in the second section.
In the third section, some special curves according to Frenet frame and known characteri- zations of these curves are given.
In the fourth section, some special curves analyzed according to Frenet frame in the pre- vious section is discussed again by moving to alternative framefN; C; W g.
The last section of the thesis is devoted to the discussion and conclusion. Moreover, some advantages that it provides analternative frame is stated.
June 2016 , 55 pages
Key Words: Helical curves, rectifying curves, direction curves
TE¸SEKKÜR
Bu tez çal¬¸smam boyunca bilgi ve tecrübelerinden yararland¬¼g¬m, yönlendirme ve bil- gilendirmeleriyle çal¬¸smalar¬m¬¸sekillendiren dan¬¸sman hocam Say¬n Doç. Dr. ·Ismail GÖK (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’e, ilgi ve desteklerini esirge- meyen Say¬n Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ya ve Say¬n Prof. Dr. F. Nejat EKMEKC·I (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dal¬)’ye sonsuz te¸sekkürlerimi sunar¬m.
Hayat¬m boyunca her zaman ve her ko¸sulda yan¬mda olan, e¼gitim hayat¬m boyunca beni çal¬¸smalar¬mda destekleyen sevgili aileme ve dostlar¬ma en içten duygular¬mla te¸sekkür ederim.
Sibel ÖZDO ¼GAN Ankara, Haziran 2016
IÇ·· INDEK·ILER
TEZ ONAY SAYFASI
ET·IK . . . i
ÖZET . . . ii
ABSTRACT. . . iii
TE¸SEKKÜR. . . iv
S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . vi
¸ SEK·ILLER D·IZ·IN·I . . . vii
1. G·IR·I¸S . . . 1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . 3
2.1 n-Boyutlu Öklid Uzay¬. . . 3
2.2 E¼griler Teorisi . . . 4
2.3 Baz¬Özel E¼griler ve Karakterizasyonlar¬. . . 12
3. FRENET VEKTÖRLER·I B·IRB·IRLER·I ·ILE ·IL·I¸SK·IL·I BAZI ÖZEL E ¼GR·ILER . . . 17
3.1 Frenet E¼gri Çiftleri . . . 17
3.2 W-Direction E¼grisi . . . 20
3.3 Principal-direction E¼griler ve Principal-donor E¼griler . . . 27
4. {N, C, W} ÇATISINA GÖRE BAZI ÖZEL E ¼GR·ILER . . . 32
5. TARTI¸SMA VE SONUÇ . . . 52
KAYNAKLAR. . . 53
ÖZGEÇM·I¸S . . . 55
S·IMGELER D·IZ·IN·I
Bir e¼gri
T Bir e¼grisinin te¼get vektör alan¬
N Bir e¼grisinin normal vektör alan¬
B Bir e¼grisinin binormal vektör alan¬
W Bir e¼grisinin Darboux vektör alan¬
C Bir e¼grisinin C vektör alan¬
f Bir e¼grisinin fN; C; W g hareketli çat¬s¬na göre 1. e¼grili¼gi g Bir e¼grisinin fN; C; W g hareketli çat¬s¬na göre 2. e¼grili¼gi
x Bir X vektör alan¬n¬n integral e¼grisi
D Bir e¼grisinin fN; C; W g hareketli çat¬s¬na göre Darboux vektörü
h; i Iç çarp¬m·
k; k Norm
¸
SEK·ILLER D·IZ·IN·I
¸
Sekil 2.1 Parametre de¼gi¸simi . . . 5
¸
Sekil 2.2 (t) ve (s) e¼grisi . . . 7
¸
Sekil 2.3 W Darboux vektörü . . . 11
¸
Sekil 2.4 fN; C; W g alternatif hareketli çat¬ . . . 12
¸
Sekil 3.1 Bertrand e¼gri çifti . . . 17
¸
Sekil 3.2 Involüt-Evolüt e¼· gri çifti . . . 18
¸
Sekil 3.3 Mannheim e¼gri çifti . . . 19
¸
Sekil 3.4 e¼grisinin W direction e¼grisi . . . 25
¸
Sekil 3.5 slant helisinin W direction e¼grisi . . . 26
¸
Sekil 4.1 slant helisinin D direction e¼grisi . . . 48
¸
Sekil 4.2 e¼grisinin C direction e¼grisi . . . 50
¸
Sekil 4.3 sabit presessiyonlu e¼grisinin C direction e¼grisi . . . 51
1.
G·IR·I¸SKlasik diferensiyel geometride e¼griler genelde iyi bilinen hareketli Frenet çat¬s¬yar- d¬m¬yla karakterize edilir. Fakat baz¬durumlarda bu çat¬y¬kullanarak karakterizas- yonlar elde etmek mümkün de¼gil veya zordur. Bu nedenle ba¸ska bir hareketli çat¬
yard¬m¬yla e¼grileri incelemek yararl¬olabilir. E¼griler aras¬nda özellikle helisler, slant helisler ve rekti…yan e¼griler ilgi çekmesi sebebiyle en çok çal¬¸s¬lan e¼grilerdir. 3- boyutlu Öklid uzay¬nda helis e¼grileri torsiyonunun e¼grili¼gine oran¬sabit olan e¼griler olarak karakterize edilir (Lancret 1802). Bu karakterizasyon B. Saint Venant taraf¬n- dan 1845 y¬l¬nda ispatlanm¬¸st¬r (Struik 1998). Ayr¬ca helisel yap¬lar ve Frenet vek- törleri birbirleriyle ili¸skili e¼griler do¼gada oldukça fazla kar¸s¬m¬za ç¬kmaktad¬r. DNA n¬n yap¬s¬nda, galaksilerin ¸seklinde, ¸sahinin av¬na yakla¸smas¬nda ve baz¬fraktallar¬n yap¬lar¬nda bu tip e¼grilere rastlanmaktad¬r. Dolay¬s¬yla sadece geometri alan¬nda çal¬¸san ara¸st¬rmac¬lar¬n de¼gil t¬p alan¬nda, botanik alan¬nda çal¬¸sanlar¬n ve mimar- lar¬n da bu tip e¼grilerle ilgilendikleri görülmektedir.
Chen 2003 y¬l¬nda, "Herhangi bir e¼grinin pozisyon vektörü ne zaman e¼grinin rek- ti…yan düzleminde yatar?" sorusunu ortaya atm¬¸s ve bu sorusunun cevab¬n¬ ayn¬
isimli makalesinde vermi¸stir. Ayr¬ca, bu e¼grilerin pozisyon vektörlerinin e¼grinin her noktas¬nda anl¬k dönme eksenini belirlediklerini ifade ederek kinematiksel bir yorum yapm¬¸st¬r (Chen ve Dillen 2005). Choi ve Kim ise makalelerinde principal (binor- mal) direction e¼griler ile principal (binormal)-donor e¼grileri ve PD rekti…yan e¼grileri tan¬mlam¬¸slard¬r. Ayn¬çal¬¸smada bu e¼grilerin ili¸skili e¼grilerinin karakterizasyonlar¬
helisler ve slant helisler yard¬m¬yla bir uygulama olarak yer almaktad¬r (Choi ve Kim 2012).
Diferensiyel geometride genelde e¼griler teorisi e¼grinin Frenet çat¬s¬ve e¼grilikleri ile karakterize edilir. Yayl¬ ve arkada¸slar¬ 2016 y¬l¬nda yapt¬klar¬ bir çal¬¸smalar¬nda e¼gri üzerinde bir alternatif çat¬ tan¬mlam¬¸slard¬r (Uzuno¼glu vd. 2016). Bu al- ternatif çat¬ya göre e¼grinin normal vektörü ile Frenet çat¬s¬na göre normal vek- törü e¼gri boyunca ayn¬iken te¼get ve binormal vektörleri normal vektörü etraf¬nda
döndürülerek C ve W vektör alanlar¬elde edilmi¸stir. Yeni tan¬mlanan bu çat¬e¼grinin alternatif bir çat¬s¬d¬r ve fN; C; W g çat¬s¬olarak adland¬r¬l¬r. Burada e¼grinin Dar- boux vektör alan¬W = T + B
p 2
+ 2 ve C ise N ve W vektör alanlar¬na dik olan bir vektör alan¬olup C = N0
kN0k = T + B p 2
+ 2 veya C = W ^ N ile ifade edilir.
Bu tezde genel olarak özel e¼griler, karakterizasyonlar¬ve ili¸skili e¼griler ele al¬nm¬¸st¬r.
Ayr¬ca 3-boyutlu Öklid uzay¬nda fN; C; W g çat¬s¬na göre Frenet vektörleri birbiri ile ili¸skili yeni özel e¼griler ve bu e¼grilerin karakterizasyonlar¬verilmi¸stir.
2.
TEMEL KAVRAMLAR2.1 n-Boyutlu Öklid Uzay¬
Tan¬m 2.1 (Rn Vektör Uzay¬): R, reel say¬lar cismi olmak üzere Rn=f(p1; :::; pn)jpj 2 R; j = 1; :::; ng
kümesinde toplama i¸slemi !p ; !q 2 Rn için
!p + !q = (p1+ q1; :::; pn+ qn)
e¸sitli¼gi ile tan¬mlan¬r. Benzer ¸sekilde skalerle çarpma i¸slemi, 2 R ve p 2 Rn için
!p = ( p1; :::; pn)
e¸sitli¼gi ile tan¬mlan¬r. Verilen bu i¸slemler ile birlikte Rnkümesi R cismi üzerinde bir vektör uzay¬ olur (Gray vd. 2006).
Tan¬m 2.2 (Standart ·Iç Çarp¬m): Rn vektör uzay¬nda
!p = (p1; :::; pn) ve !q = (q1; :::; qn)
olmak üzere
h; i : Rn Rn ! Rn
(!p ; !q ) ! h!p ; !qi =Pn j=1pjqj
e¸sitli¼giyle tan¬mlanan fonksiyona standart öklid iç çarp¬m¬ denir (Gray vd. 2006).
Tan¬m 2.3 (Norm): !p 2 Rn olmak üzere k!pk =
q
h!p ; !pi
e¸sitli¼giyle tan¬mlanan fonksiyona !p vektörünün normu denir (Gray vd. 2006).
Buna göre Rn vektör uzay¬, normlu bir vektör uzay¬d¬r.
d (p; q) =kp qk
biçiminde tan¬mlanan d : Rn Rn ! R fonksiyonu, Rn uzay¬nda bir metriktir.
Dolay¬s¬yla Rn bir metrik uzayd¬r. Bu metrikle birlikte Rn uzay¬na Öklid uzay¬
denir (Sabuncuo¼glu 2010).
Tan¬m 2.4 (Vektörel çarp¬m): E3; 3 boyutlu Öklid uzay¬nda 8! = (a1; a2; a3) ;
!= (b1; b2; b3)2 E3 vektörlerinin Öklidiyen anlamda vektörel çarp¬m¬
= (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1)
¸seklinde tan¬mlan¬r (Hac¬saliho¼glu 1998).
2.2 E¼griler Teorisi
Tan¬m 2.5 (E¼gri): R reel say¬do¼grusunun bir aç¬k aral¬¼g¬ I olsun. : I ! E3 diferensiyellenebilir fonksiyonuna bir e¼gri denir.
fonksiyonu 8t 2 I reel say¬s¬na (t) = ( 1(t) ; 2(t) ; 3(t)) 2 E3 noktas¬n¬
kar¸s¬l¬k getiren bir fonksiyondur. Burada t de¼gi¸skenine e¼grinin parametresi denir.
1; 2; 3 fonksiyonlar¬na Öklid koordinat fonksiyonlar¬ denir ve bu fonksiyonlar diferensiyellenebilir fonksiyonlar ise diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. Ayr¬ca I = (a; b) aç¬k aral¬¼g¬için a = 1 ve b = +1 olarak da al¬nabilir (O’Neill 1966).
Tan¬m 2.6 (Parametre De¼gi¸simi): R reel say¬do¼grusunun iki aç¬k aral¬¼g¬I ve J olsun. : I ! E3 bir e¼gri ve h : J ! I diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere = (h) : J ! E3 e¼grisine e¼grisinin h ile yeniden parametrelendirilmi¸si
denir (O’Neill 1966).
¸
Sekil 2.1 Parametre de¼gi¸simi
Tan¬m 2.7 (H¬z Vektörü): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 bir e¼gri ve (t) = ( 1(t) ; 2(t) ; 3(t))olsun. 8t 2 I için 0(t) = ( 01(t) ; 02(t) ; 03(t)) vektörüne e¼grisinin (t) noktas¬ndaki h¬z vektörü denir (O’Neill 1966).
Tan¬m 2.8 (Bir E¼grinin Tanjant Uzay¬): : I R ! E3 e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir e¼gri olmak üzere p 2 noktas¬nda h¬z vektörlerini içine alan T (p) = V (p) vektör uzay¬na e¼grisinin p 2 noktas¬ndaki tanjant uzay¬ denir.
p2 seçilmi¸s bir nokta olmak üzere, E3 ün T (p) ile birle¸sen alt a…n uzay¬na da, e¼grisinin p 2 noktas¬ndaki te¼get do¼grusu denir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 2.9 (Regüler E¼gri): 8t 2 I için k 0(t)k6= 0 ko¸sulunu sa¼glayan, türevlenebilir bir : I R ! E3 e¼grisi regülerdir denir (Korkmaz 2012).
Tan¬m 2.10 (Yay Uzunlu¼gu): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 regüler e¼grisi ve bir t 2 I noktas¬verilsin. 0(t) vektörünün boyu,
k 0(t)k=
q
( 01(t))2+ ( 02(t))2+ ( 03(t))2
olmak üzere e¼grisinin t0 noktas¬ndan t noktas¬na kadar olan yay uzunlu¼gu,
s (t) = Zt
t0
k 0(t)k dt
olarak tan¬mlan¬r. 0(t)6= 0 oldu¼gu için s yay uzunlu¼gu t de¼gi¸skeninin türevlenebilir bir fonksiyonudur ve ds
dt =k 0(t) k olur. Ayr¬ca k 0(t) k= 1 ise e¼grisine birim h¬zl¬e¼gri denir (Korkmaz 2012).
Teorem 2.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda regüler her e¼grinin, birim h¬zl¬ olacak
¸sekilde bir koordinat kom¸sulu¼gu vard¬r (Hac¬saliho¼glu 1998).
Örnek 2.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen,
: I R ! E3
t ! (t) = (2 cos t; 2 sin t; 3t) e¼grisini birim h¬zl¬hale getiriniz.
Çözüm 2.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,
0(t) = ( 2 sin t; 2 cos t; 3)
elde edilir. Bu e¸sitlikte norm al¬n¬rsa, k 0(t)k =
q
( 2 sin t)2+ (2 cos t)2+ 9 =p 136= 0
elde edilir. O halde regüler bir e¼gridir. Teorem 2.1 den e¼grisini birim h¬zl¬bir e¼gri olarak yeniden yazabiliriz.
h : R ! R
t ! h (t) = Zt
0
k 0(u)kdu = Zt
0
p13du
fonksiyonunu göz önüne alal¬m.
h (t) = p
13t ) t = h(t)p13 ve s = h (t) oldu¼gundan,
h 1(s) = t = s p13
¸seklindedir. Böylece yeni s parametresine göre e¼grisi a¸sa¼g¬daki gibidir.
(s) = h 1 (s) = 2 cos s
p13; 2 sin s p13; 3
p13s
Ayr¬ca e¼grisi birim h¬zl¬d¬r (Hac¬saliho¼glu 1998).
¸
Sekil 2.2 (t) ve (s) e¼grisi
Tan¬m 2.11 (Frenet Vektörleri): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. T = 0 vektörü, e¼grisinin birim te¼get vektör alan¬
olarak adland¬r¬l¬r. hT; T i = 1 olup burada türev al¬n¬rsa hT0; Ti = 0 elde edilir. Bu durumda T0vektörü T vektörüne her zaman diktir. N =
00
k 00k vektörü e¼grisinin asli normal vektör alan¬olmak üzere B = T N vektörü e¼grisinin binormal vektörü olarak adland¬r¬l¬r. Burada T, N, B vektör alanlar¬na Frenet vektör alanlar¬ denir (O’Neill 1966).
Tan¬m 2.12 (E¼grilikler): : I R ! E3 e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda s 2 I yay uzunlu¼guna göre parametrelenmi¸s bir e¼gri olsun. k 0(s)k = (s) say¬s¬na e¼grisinin s noktas¬ndaki e¼grili¼gi denir. 00(s) 6= 0 olmak üzere B0(s) = (s) N (s) e¸sitli¼gi ile tan¬mlanan (s) say¬s¬na e¼grisinin s noktas¬ndaki burulmas¬ denir (Korkmaz 2012).
Teorem 2.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi regüler bir e¼gri olsun. Bu durumda Frenet vektör alanlar¬a¸sa¼g¬daki gibidir.
T =
0
k 0k
N = B T
B = ( 0 00) k 0 00k
: I R ! E3 e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere,
= k 0 00k k 0k3
= h 0 00; 000i k 0 00k2
¸seklindedir (O’Neill 1966).
Örnek 2.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen
: I R ! E3
s ! (s) = 4
5cos s; 1 sin s; 3 5cos s e¼grisinin T; N; B vektör alanlar¬n¬bulunuz (O’Neill 1966).
Çözüm 2.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,
0(s) = 4
5sin s; cos s;3 5sin s
elde edilir. k 0(s)k = 1 oldu¼gundan e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gridir. O halde T (s) = 0(s) = 4
5sin s; cos s;3 5sin s dir. 00(s) = 4
5cos s; sin s;3
5cos s ve k 00(s)k = 1 olup N =
00
k 00k = 4
5cos s; sin s; 3 5cos s ve
B = T N = 3
5; 0; 4 5 elde dilir.
Tan¬m 2.13 (Frenet Formülleri): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri olmak üzere e¼grili¼gi > 0 ve torsiyonu olsun. Frenet formülleri a¸sa¼g¬daki gibidir
T0(s) = (s) N (s)
N0(s) = (s) T (s) + (s) B (s) B0(s) = (s) N (s)
(O’Neill 1966).
Tan¬m 2.14 (Frenet Düzlemleri): : I R ! E3 e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬bir e¼gri olmak üzere e¼grisinin Frenet vektör alanlar¬T; N; B olsun.
(i) {T, N} cümlesinin gerdi¼gi düzlem (s) noktas¬ndaki oskülatör düzlem, (ii) {T, B} cümlesinin gerdi¼gi düzlem (s)noktas¬ndaki rekti…yan düzlem, (iii){N, B} cümlesinin gerdi¼gi düzlem (s) noktas¬ndaki normal düzlem, olarak adland¬r¬l¬r (Sabuncuo¼glu 2010).
Teorem 2.3 : I R ! E3 e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬bir e¼gri ve > 0olsun. e¼grisinin düzlemsel olmas¬için gerek ve yeter ¸sart = 0olmas¬d¬r (O’Neill 1966).
Teorem 2.4 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin e¼grili¼gi s¬f¬r ise bir do¼grudur. Kar¸s¬t olarak bir do¼gru ise e¼grili¼gi s¬f¬rd¬r (O’Neill 1966).
Tan¬m 2.15 (E¼grilik Ekseni ve E¼grilik Merkezi): E3, 3-boyutlu Öklid uza- y¬nda : I R ! E3 bir e¼gri olmak üzere e¼grisinin p 2 noktas¬nda ile sonsuz yak¬n üç ortak noktas¬olan kürelerin merkezlerinin geometrik yeri olan,
= (s0) + 1
(s0)N (s0) + B (s0)
do¼grusuna e¼grisinin p 2 noktas¬ndaki e¼grilik ekseni denir. E¼grilik ekseni üze- rindeki,
C (s0) = (s0) + 1
(s0)N (s0)
noktas¬na da n¬n p = (s0) daki e¼grilik merkezi denir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 2.16 (E¼grilik Küresi): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 bir e¼gri olmak üzere e¼grisiyle p 2 noktas¬nda sonsuz yak¬n dört noktas¬ortak olan küreye, n¬n p 2 noktas¬ndaki e¼grilik küresi veya oskülatör küresi ad¬verilir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 2.17 (Küresel Gösterge): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi s 2 I yay parametresi ile verilsin,
(i) e¼grisinin birim te¼get vektörü T olmak üzere,P Q = T! al¬nd¬¼g¬nda, P noktas¬
e¼grisini çizerken, Q noktas¬n¬n birim küre yüzeyi üzerinde çizdi¼gi e¼griye e¼grisinin te¼getler göstergesi veya birinci küresel göstergesi denir.
(ii) e¼grisinin asli normal vektörü N olmak üzere, e¼grisi çizilirken N vek- törünün uç noktalar¬cümlesinin birim küre yüzeyi üzerinde meydana getirdi¼gi e¼griye
e¼grisinin asli normaller göstergesi denir.
(iii) e¼grisinin bir P noktas¬ndaki binormal vektörü B =P R!ve kom¸su iki binormal vektörü aras¬ndaki aç¬ olmak üzere P noktas¬ e¼grisini çizerken R noktas¬n¬n birim küre yüzeyi üzerinde çizdi¼gi e¼griye e¼grisinin binormaller göstergesi denir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 2.18 (Darboux Vektör Alan¬): E¼gri üzerindeki bir P noktas¬e¼griyi çizer- ken T; N; B vektörleri de¼gi¸sirler, dolay¬s¬yla küresel göstergeler olu¸surlar. E¼grinin T; N; B Frenet üçlüsünün her s an¬nda, bir eksen etraf¬nda, bir ani helis hareketi yapt¬¼g¬kabul edilir. Bu eksene e¼grinin bu s parametresine kar¸s¬l¬k gelen (s) nok- tas¬ndaki Darboux (ani dönme) ekseni denir. Bu eksenin yön ve do¼grultusunu veren vektör,
w = T + B
olup e¼grinin (s)noktas¬ndaki Darboux vektörü ad¬n¬al¬r.
B ile w Darboux vektörü aras¬ndaki aç¬ ile gösterilirse
= kwk sin (2.1)
= kwk sin yaz¬labilir.
¸
Sekil 2.3 w Darboux vektörü wDarboux vektörü yönündeki birim vektör W ise kwk =p 2
+ 2 > 0 olmak üzere W = kwkT +
kwkB olur ve (2.1) e¸sitlikleri burada yerlerine yaz¬l¬rsa,
W = sin T + sin B elde edilir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 2.19 (Harmonik E¼grilik): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 bir e¼gri olsun. 8s 2 I ya kar¸s¬l¬k gelen (s) noktas¬nda e¼grisinin e¼grili¼gi (s) ve torsiyonu (s) olmak üzere
H : I ! R
s ! H (s) = (s)
¸seklinde tan¬ml¬H fonksiyonuna, e¼grisinin s noktas¬ndaki harmonik e¼grili¼gi denir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 2.20 (fN; C; W g Çat¬s¬): Birim h¬zl¬ : I ! R3 e¼grisinin asli normali N, asli normalin türevi C = N0
k N0 k ve birim Darboux vektörü W = T + B p 2
+ 2 olmak üzere fN; C; N C = Wg kümesine e¼grisi boyunca fN; C; N C = Wg çat¬s¬ denir ve türevleri ile elde edilen e¸sitlikler a¸sa¼g¬daki gibidir.
N0(s) = f (s) C (s)
C0(s) = f (s) N (s) + g (s) W (s) W0(s) = g (s) C (s)
Burada f = p
1 + H2; H = ve g = f; = H0 (1 + H2)32
¸
seklindedir (Uzuno¼glu vd. 2015).
Burada fN; C; W g alternatif hareketli çat¬, e¼grinin te¼get vektörü T ve e¼grinin bi- normal vektörü B belirli bir aç¬s¬ile asli normali N etraf¬nda döndürülerek elde edilir.
Sekil 2.4 fN; C; W g alternatif hareketli çat¬¸ 2.3 Baz¬Özel E¼griler ve Karakterizasyonlar¬
Tan¬m 2.21 (Helis): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 regüler e¼grisinin birim te¼get vektörü T olsun. E¼ger T vektör alan¬ sabit bir u vektörü ile sabit bir aç¬yap¬yorsa, yani her s 2 I için hT; ui = cos ise e¼grisine helis denir (O’Neill 1966).
Teorem 2.5 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi regüler bir e¼gri olsun. > 0 olmak üzere e¼grisinin bir helis olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart oran¬n¬n sabit olmas¬d¬r (O’Neill 1966).
Örnek 2.3 : R ! R3; (s) = 3 coss
5; 3 sin s 5;4
5s e¼grisinin bir helis oldu¼gunu gösterelim.
Çözüm 2.3 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,
0(s) = 3 5sins
5;3 5coss
5;4 5
elde edilir. Her s 2 I için k 0(s) k= 1 oldu¼gundan birim h¬zl¬ bir e¼gridir. T vektör alan¬n¬n tan¬m¬na göre T (s) = 0(s) oldu¼gundan,
T (s) = 3 5sins
5;3 5coss
5;4 5 olur. Buradan,
T0(s) = 3 25coss
5; 3 25sins
5; 0 ve (s) =k T0(s)k= 3 25 bulunur.
N (s) = 1
(s)T0(s) = coss
5; sins 5; 0 oldu¼gundan,
B (s) = T (s) N (s) = 4 5sins
5; 4 5coss
5;3 5 olur. B0(s) = 4
25coss 5; 4
25sins
5; 0 oldu¼gundan, (s) = hB0(s) ; N (s)i = 4
5 dir. O halde = 4
3 olup e¼grisi bir helistir.
Tan¬m 2.22 (Slant Helis): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri ve (s)6= 0 olmak üzere e¼grisinin asli normal vektörü, e¼grinin her noktas¬nda sabit bir do¼grultu ile sabit bir aç¬yap¬yorsa e¼grisine bir slant helis denir (Izumiya ve Takeuchi 2004).
Önerme 2.1 birim h¬zl¬bir e¼gri ve (s)6= 0 olsun. n¬n slant helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart
(s) =
2
( 2+ 2)32
0! (s) e¸sitli¼ginin sabit olmas¬d¬r (Izumiya ve Takeuchi 2004).
Burada Tan¬m 2.19 dan (s) fonksiyonunu (s) = H0 (1 + H2)32
!
(s) olarak da ifade edebiliriz.
Tan¬m 2.23 (Clad Helis): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 bir e¼gri ve 6= 0 olsun. e¼grisinin N : I ! S2 birim asli normalinin küresel gösterimi, S2 deki bir silindirik helisin parças¬ ise e¼grisine clad helis denir (Takahashi ve Takeuchi 2014).
Önerme 2.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬bir uzay e¼grisi ve 6= 0 olsun. n¬n bir clad helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart
' (s) =
0
( 2+ 2)12 (1 + 2)32
! (s) fonksiyonunun sabit olmas¬d¬r (Takahashi ve Takeuchi 2014).
Burada Tan¬m 2.20 den ' (s) fonksiyonunu ' (s) =
0
f (1 + 2)32
!
olarak ifade edebiliriz.
Tan¬m 2.24 (C Slant Helis): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi fN; C; W g alternatif hareketli çat¬ya göre birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. e¼grisinin C vektör alan¬ sabit bir u vektörü ile sabit bir ' (' 6= 2) aç¬s¬ yap¬yorsa e¼grisi C slant helis olarak adland¬r¬l¬r. Burada e¼grisinin C slant helis olabilmesi için gerek ve yeter ¸sart
=
f2 fg 0 (f2+ g2)32
=
0
f (1 + 2)32
= c (sabit) olmas¬d¬r (Uzuno¼glu 2016).
Tan¬m 2.25 (g-Clad Helis): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 bir e¼gri ve 6= 0 olsun. e¼grisinin N : I ! S2 birim asli normalinin küresel gösterimi, S2deki bir slant helisin parças¬ise e¼grisine g-clad helis denir (Takahashi ve Takeuchi 2014).
Önerme 2.3 birim h¬zl¬bir uzay e¼grisi ve k 6= 0 olsun. n¬n bir g-calad helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart
(s) = '0
( 2+ 2)12 (1 + 2)12 (1 + '2)32
! (s)
fonksiyonunun sabit olmas¬d¬r (Takahashi ve Takeuchi 2014).
Tan¬m 2.26 (Rekti…yan E¼gri): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin pozisyon vektörü her zaman e¼grinin rekti…yan düzleminde yat¬yorsa e¼grisine rekti…yan e¼gri denir (Chen 2003).
Teorem 2.6 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi s yay uzunlu¼guna göre parametrelenmi¸s bir rekti…yan e¼gri ve > 0 olsun. Bu durumda a¸sa¼g¬dakiler gerçeklenir:
(i) Uzakl¬k fonksiyonu =k k olmak üzere 2 = s2+ sc1+ c2¸seklindedir. Burada c1 ve c2 sabitlerdir.
(ii) E¼grinin pozisyon vektörünün te¼get bile¸seni h ; T i = s + b ile verilir. Burada b sabittir.
(iii)E¼grinin pozisyon vektörünün normal bile¸seni N sabit uzunluktad¬r ve uzakl¬k fonksiyonu sabit de¼gildir.
(iv) 6= 0 olmak üzere e¼grinin pozisyon vektörünün binormal bile¸seni sabittir. Yani h ; Bi sabittir (Chen 2003).
Teorem 2.7 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 bir e¼gri ve > 0 olsun. e¼grisinin rekti…yan e¼gri olmas¬için gerek ve yeter ¸sart s yay parametresine göre e¼grinin torsiyon ve e¼grilik oran¬n¬n (yani harmonik e¼grilik fonksiyonunun) sabit olmayan bir lineer fonksiyon olmas¬d¬r. Yani = as + b olmas¬d¬r. Burada a 6= 0 olmak üzere a ve b sabitlerdir (Chen 2003).
Teorem 2.8 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi için > 0 olmak üzere e¼grisinin rekti…yan e¼gri olmas¬için gerek ve yeter ¸sart
(t) = a sec (t + t0) y (t)
dir. Burada a 6= 0 olmak üzere a; t0 sabitler ve y = y (t) e¼grisi S2 küresi üzerinde birim h¬zl¬bir e¼gridir (Chen ve Dillen 2003).
Teorem 2.9 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 birim h¬zl¬ e¼grisinin e¼grili¼gi s¬f¬rdan farkl¬bir sabit ve torsiyonu sabit olmayan olmak üzere e¼grisinin Darboux vektörü rekti…yand¬r (Chen ve Dillen 2003).
Teorem 2.10 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 birim h¬zl¬e¼grisinin e¼grili¼gi sabit olmayan ve torsiyonu s¬f¬rdan farkl¬bir sabit olmak üzere e¼grisinin Darboux vektörü rekti…yand¬r (Chen ve Dillen 2003).
3.
FRENET VEKTÖRLER·I B·IRB·IRLER·I ·ILE ·IL·I¸SK·IL·I BAZI ÖZEL E ¼GR·ILER3.1 Frenet E¼gri Çiftleri
Tan¬m 3.1 (Bertrand E¼gri Çifti) : Birim h¬zl¬ : I R ! E3 e¼grisi ile ayn¬
aral¬kta tan¬ml¬ : I R ! E3 e¼grisi verilsin. Her bir s 2 I ya kar¸s¬l¬k gelen (s) 2 ve (s) 2 noktalar¬nda ve e¼grilerinin fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g Frenet çat¬lar¬verildi¼ginde fN (s) ; N (s)g liner ba¼g¬ml¬ise ( ; ) e¼gri çiftine bir Bertrand e¼gri çifti denir (Hac¬saliho¼glu 1998).
¸
Sekil 3.1 Bertrand e¼gri çifti
Teorem 3.1 : I R ! E3 birim h¬zl¬ e¼grisi ile ayn¬ aral¬kta tan¬ml¬ : I R ! E3 e¼grisi verilsin. ( ; ) e¼gri 2-lisi bir Bertrand çifti ise 8s 2 I için
d ( (s) ; (s)) = c (sabit) dir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Teorem 3.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda ayn¬ aral¬kta tan¬ml¬ iki e¼gri ve olsun. n¬n e¼grilikleri , ise ( ; )e¼gri çiftinin bir Bertrand e¼gri çifti olmas¬için gerek ve yeter ¸sart
+ = 1
olmas¬d¬r (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 3.2 (·Involüt-Evolüt E¼gri Çifti): Birim h¬zl¬ : I R ! E3 e¼grisi ile ayn¬aral¬kta tan¬ml¬ : I R ! E3 e¼grisi verilsin. (s) ve (s)noktalar¬nda ve e¼grilerinin Frenet çat¬lar¬, s¬ras¬yla, fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g olmak üzere hT (s) ; T (s)i = 0 ise e¼grisine e¼grisinin involütü, e¼grisine e¼grisinin evolütü denir (Hac¬saliho¼glu 1998).
¸
Sekil 3.2 ·Involüt-Evolüt e¼gri çifti
Teorem 3.3 3-boyutlu Öklid uzay¬ E3 de ayn¬ aral¬kta tan¬ml¬ iki e¼gri ve olsun. E¼ger , n¬n involütü ise 8s 2 I için
d ( (s) ; (s)) = kc sk dir. Burada c sabittir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Teorem 3.4 : I R ! E3 birim h¬zl¬e¼grisi ile ayn¬aral¬kta tan¬ml¬
: I R ! E3 e¼grisi verilsin. (s) ve (s) noktalar¬nda ve ¬n Frenet çat¬lar¬s¬ras¬yla fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g, n¬n e¼grilikleri ; ve ¬n e¼grilikleri ; olmak üzere,
( ) (s ) =
s 2(s) + 2(s)
2(s) (c s)2
( ) (s ) = (s) 0(s) 0(s) (s) (s) ( 2(s) + 2(s)) (c s) dir (Hac¬saliho¼glu 1998).
Tan¬m 3.3 (Mannheim E¼gri Çifti): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda ayn¬aral¬kta tan¬ml¬ iki e¼gri ve olsun. (s) ve (s) noktalar¬nda ve e¼grilerinin Frenet çat¬lar¬, s¬ras¬yla, fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g olmak üzere e¼grisinin (s) noktas¬ndaki asli normali ile e¼grisinin (s) noktas¬ndaki bi- normal vektörleri çak¬¸s¬yorsa yani fN (s) ; B (s)g lineer ba¼g¬ml¬ ise e¼grisine bir Mannheim e¼grisi ve ( ; ) e¼gri çiftine ise Mannheim e¼gri çifti denir (Liu ve Wang 2008).
¸
Sekil 3.3 Mannheim e¼gri çifti
Teorem 3.5 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s bir e¼gri ve n¬n e¼grilikleri ; olmak üzere e¼grisinin bir Mannheim e¼grisi olmas¬için gerek ve yeter ¸sart,
= 2 + 2
olmas¬d¬r (Liu ve Wang 2008).
Önerme 3.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3e¼grisi s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s bir Mannheim e¼grisi olmak üzere : I R ! E3 e¼grisi e¼grisinin s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s bir Mannheim e¼gri çifti olsun.
E¼ger e¼grisi bir helis ise bir do¼grudur (Liu ve Wang 2008).
3.2 W-Direction E¼grisi
Tan¬m 3.4 (W-direction E¼grisi): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisi olsun. W , n¬n birim Darboux vektör alan¬olmak üzere W (s) nin integral e¼grisi e¼grisinin W -direction e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r.Yani e¼ger e¼grisinin W - direction e¼grisi (s) ise
(s) = Z
W (s) dir. Burada W = T + B
p 2
+ 2 dir (Macit ve Düldül 2014).
Teorem 3.6 , düzlemsel olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun.
e¼grisinin helis olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin do¼gru olmas¬d¬r (Macit ve Düldül 2014).
Ispat.· e¼grisi helis olsun. O halde Teorem 2.5 den = c(sabit) dir. Burada oran¬n¬H ile ifade edelim. Ayr¬ca , düzlemsel olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi oldu¼gundan,
0(s) = W (s) = H
p1 + H2T + 1
p1 + H2B (3.1)
yaz¬labilir. (3.1) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
00(s) = H0 (1 + H2)32
T HH0
(1 + H2)32
B (3.2)
elde edilir. Di¼ger taraftan H = = c (sabit) idi. O halde H0 = 0 olup
00(s) = N = 0 (3.3)
yaz¬labilir. (3.3) e¸sitli¼ginden = 0 olup e¼grisi bir do¼grudur.
Tersine bir do¼gru olsun. Bu durumda 0(s) = 0 d¬r. Ayr¬ca , düzlemsel olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi oldu¼gundan,
0(s) = W0(s) = 0 (3.4)
yaz¬labilir. (3.4) denkleminde türev al¬n¬rsa,
00(s) = H0 (1 + H2)32
T HH0
(1 + H2)32
B (3.5)
elde edilir. 6= 0 ve 6= 0 olup 1 + H2 6= 0 oldu¼gundan H0 = 0 d¬r. O halde
H = c(sabit) (3.6)
yaz¬labilir ve Teorem 2.5 den bir helistir.
Teorem 3.7 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 Frenet e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere e¼grisinin W -direction e¼grisi (s) olsun. helis olmayan bir e¼gri olmak üzere e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu ,
= jH0j
1 + H2; = p
1 + H2
¸seklindedir (Macit ve Düldül 2014).
Ispat.· ve ayn¬s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s e¼griler olsunlar.
n¬n W -direction e¼grisi (s) oldu¼gundan
W (s) = 0(s) = T (3.7)
yaz¬labilir. (3.7) e¸sitli¼ginden,
T = H
p1 + H2T + 1
p1 + H2B (3.8)
dir. (3.8) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
T0 = N = H0 (1 + H2)32
T HH0
(1 + H2)32
B (3.9)
elde edilir. (3.9) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,
=kT0k = s
(H0)2+ H2(H0)2
(1 + H2)2 = jH0j
1 + H2 (3.10)
elde edilir. (3.10) dekleminde elde edilen ; (3.9) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa,
N = 1
p1 + H2T H
p1 + H2B (3.11)
yaz¬labilir. B = T N oldu¼gundan,
B = N (3.12)
elde edilir. (3.12) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
N = T + B (3.13)
olup (3.13) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,
= p
1 + H2 (3.14)
elde edilir.
Teorem 3.8 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda helis olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. e¼grisinin helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin slant helis olmas¬d¬r (Macit ve Düldül 2014).
Ispat.· e¼grisi bir helis olsun Bu durumda = c(sabit) dir. Teorem (3.7) kul- lan¬l¬rsa,
=
p1 + H2 jH0j 1 + H2
= (1 + H2)32
H0 = c (3.15)
elde edilir. O halde
= H0
(1 + H2)32
= 1 c yaz¬labilir. Önerme (2.1) den e¼grisi bir slant helistir.
Tan¬m 3.5 (Second W-direction E¼grisi): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi ve e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. Bu durumda e¼grisi, e¼grisinin second W -direction e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r (Macit ve Düldül 2014).
Sonuç 3.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda e¼grisi bir slant helis ise n¬n second W-direction e¼grisi bir do¼grudur (Macit ve Düldül 2014).
Tan¬m 3.6 (W-rekti…yan E¼grisi): Bir Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. E¼ger e¼grisinin pozisyon vektörü her zaman e¼grisinin rekti…yan düzleminde yat¬yorsa e¼grisine W - rekti…yan e¼grisi denir (Macit ve Düldül 2014).
Teorem 3.9 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. E¼ger bir W- rekti…yan e¼grisi ise e¼grisi bir helistir (Macit ve Düldül 2014).
Ispat.· W- rekti…yan e¼grisi tan¬m¬ndan
= (s) T (s) + (s) B (s) (3.16)
yaz¬labilir. Burada (s), (s)s¬f¬rdan farkl¬fonksiyonlar ve e¼grisi boyunca Frenet çat¬s¬fT; N; Bg dir. (3.16) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
T = 0T + ( ) N + 0B (3.17)
elde edilir. Ayr¬ca Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi oldu¼gundan,
W = 0 = T (3.18)
dir. (3.17) ve (3.18) e¸sitliklerinden, p H
1 + H2T + 1
p1 + H2B = 0T + ( ) N + 0B (3.19)
yaz¬labilir. (3.19) e¸sitli¼ginden,
0 = H
p1 + H2 (3.20)
0 = 1
p1 + H2 (3.21)
= 0 (3.22)
d¬r. (3.20), (3.21) ve (3.22),e¸sitliklerinden,
0 0 = 0
elde edilir. Buradan = c(sabit) olup = = c elde edilir. O hale bir helistir.
Örnek 3.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda (s) = cos s
p2; sin s p2; s
p2 helisinin W-direction e¼grisini bulal¬m (Macit ve Düldül 2014).
Çözüm 3.1 e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,
0(s) = 1
p2sin s p2; 1
p2cos s p2; 1
p2 (3.23)
dir ve burada norm al¬n¬rsa,
k 0(s)k = 1 elde edilir. O halde
T (s) = 0(s) = 1
p2sin s p2; 1
p2cos s p2; 1
p2 (3.24)
dir. (3.24) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
00(s) = 1 2cos s
p2; 1 2sin s
p2; 0 ve k 00(s)k = 1 2 elde edilir. Tan¬m 2.11 den
N =
00
k 00k = cos s
p2; sin s
p2; 0 (3.25)
dir. Tan¬m 2.11 den
B = T N = 1
p2sin s p2; 1
p2cos s p2; 1
p2 (3.26)
elde edilir. Ayr¬ca
= k 00(s)k = 1
2 (3.27)
= hB0; Ni = 1 2 dir. (3:24),(3:26) ve (3:27) e¸sitlikleri W = T + kB
p 2
+ 2 e¸sitli¼ginde yerlerine yaz¬l¬rsa, W = 0; 0;1
2
elde edilir. , e¼grisinin W -direction e¼grisi olmak üzere (s) = (c1; c2; s + c3)
dir. Burada c1; c2 ve c3 sabitlerdir. c1 = c2 = c3 = 0 için helisinin W direction e¼grisi a¸sa¼g¬daki gibidir.
¸
Sekil 3.4 e¼grisinin W direction e¼grisi
Örnek 3.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda, (s) = 3
2cos s 2
1
6cos 3s
2 ; 3
2sin s 2
1
6sin 3s 2 ;p
3 cos s 2 slant helisinin W -direction e¼grisini bulal¬m (Macit ve Düldül 2014).
Çözüm 3.2 Frenet formülleri yard¬m¬yla, T (s) = 3
4sin s 2 ;1
4sin 3s 2 ; 3
4cos s 2
1
4cos 3s 2 ;
p3 2 sin s
2
!
ve
B (s) = 1
2cos s
2 2 cos2 s
2 3 ; sin3 s 2 ;
p3
2 cos s 2
!
elde edilir. E¼grinin e¼grilikleri, (s) =
p3
2 cos s
2 ve (s) = p3
2 sin s 2
¸seklindedir. Darboux vektörü W = T + B p 2
+ 2 olup W (s) = 1
8 9 + 24 cos s
2 + 6 cos (s) + cos (2s) ;1
2sin (s) ; p3
2
!
elde edilir. e¼grisi e¼grisinin W direction e¼grisi oldu¼gundan,
= 9s
8 6 sin s 2
3
4sin (s) 1
16sin (2s) ; 1
2cos (s) ; p3
2 s
!
+ (c1; c2; c3) elde edilir. Burada c1; c2; c3 reel sabitlerdir. c1 = c2 = c3 = 0 için slant helisinin W direction e¼grisi a¸sa¼g¬daki gibidir.
¸
Sekil 3.5 slant helisinin W direction e¼grisi
3.3 Principal-direction E¼griler ve Principal-donor E¼griler
V : I ! E3 bir vektör alan¬ve : I ! E3 bir Frenet e¼grisi olsun. V vektör alan¬
V (s) = u (s) T (s) + v (s) N (s) + w (s) B (s) (3.28) ile verilsin. Burada u; v ve w fonksiyonlar¬I üzerinde tan¬ml¬olmak üzere
u (s)2+ v (s)2+ w (s) = 1
dir. E3 de birim h¬zl¬bir e¼grisi V vektör alan¬n¬n integral e¼grisi olsun.
Tan¬m 3.7 (Principal-direction E¼gri): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisi olsun. e¼grisi N (s) asli normal vektörünün integral e¼grisi olmak üzere e¼grisine e¼grisinin principal-direction e¼grisi denir. Benzer ¸sekilde B (s) binormal vektörünün integral e¼grisi de binomal-direction e¼gri olarak adland¬r¬l¬r (Choi ve Kim 2012).
Uyar¬3.1 (3.28) denkleminde u (s) = w (s) = 0 ve v (s) = 1 al¬n¬rsa V (s) vektör alan¬n¬n integral e¼grisi principal-direction e¼gridir (Choi ve Kim 2012).
Uyar¬3.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisi ve e¼grili¼gi 0 s¬f¬r- dan farkl¬bir sabit ya da torsiyonu 0 s¬f¬rdan farkl¬bir sabit olsun. Bu durumda T0(s) = 00(s) = 0N (s) ya da B0(s) = 0N (s) oldu¼gundan dolay¬ n¬n principal-direction e¼grisi ; s¬ras¬yla 1
0
0(s)ya da 1
(s) 0 ( 0(s) 00(s))ifadeleri- ne e¸sittir (Choi ve Kim 2012).
Önerme 3.2 E3 de bir Frenet e¼grisi ve (3.28) e¸sitli¼ginde verilen V(s) in integral e¼grisi olsun. nin principal-direction e¼grisinin e¼grisine e¸sit olabilmesi için gerek ve yeter ¸sart (3.28) e¸sitli¼ginde verilen u (s) ; v (s) ve w (s) fonksiyonlar¬n¬n u (s) = 0; v (s) = cos
Z
ds 6= 0 ve w (s) = sin Z
ds olmas¬d¬r (Choi ve Kim 2012).
Ispat.· (3.28) e¸sitli¼ginin ¸sart¬olan
u (s)2+ v (s)2+ w (s) = 1 (3.29) (3.29) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
uu0 + vv0 + ww0 = 0 (3.30)
elde edilir. Di¼ger tarftan (3.28) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
V0(s) = u0T + uT0+ v0N + vN0+ w0B + wB0 (3.31)
= u0T + u N + v0N + v ( T + B) + w0B w N
= (u0 v) T + ( u + v0 w) N + (w0+ v) B elde edilir. V(s) in integral e¼grisi oldu¼gundan,
V0(s) = (s) = T0(s) = N (s) (3.32) yaz¬labilir. nin principal-direction e¼grisinin e¼grisine e¸sit olsun. Buradan
0(s) = T (s) = N (3.33)
yaz¬labilir. (3.32) ve (3.33) e¸sitliklerinden
u0 v 6= 0 (3.34)
u + v0 w = 0 (3.35)
w0+ v = 0 (3.36)
elde edilir. (3.36) e¸sitli¼gi w ile çarp¬l¬r ve (3.29) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa,
vw = uu0+ vv0 (3.37)
elde edilir. Benzer ¸sekilde (3.35) e¸sitli¼gi v ile çarp¬l¬rsa,
uv + v0v wv = 0 (3.38)
olup (3.37) e¸sitli¼gi (3.38) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa, uv uu0 = u ( v u0) = 0
elde edilir. (3.34) e¸sitli¼ginde v u0 6= 0 olup u = 0 d¬r. Bu durum da v (s) = cos
Z
ds 6= 0vew (s) = sin Z
ds elde edilir.
Tan¬m 3.8 (Principal-donor E¼gri): (3.28) denkleminde cos
Z
ds N (s) + sin Z
ds B (s)
ifadesinin integral e¼grisi e¼grisinin principal-donor e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r.
Benzer ¸sekilde binormal-donor e¼gri de tan¬mlanabilir (Choi ve Kim 2012).
Teorem 3.10 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 Frenet e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere n¬n principal-direction e¼grisi (s) olsun.
e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu a¸sa¼g¬daki e¸sitliklerle verilir:
= p
1 + H2 ve = H0 p1 + H2 (Choi ve Kim 2012).
Ispat.· ve e¼grileri ayn¬s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s e¼griler olsun- lar. n¬n principal-direction e¼grisi (s) oldu¼gundan
0 = T = N (3.39)
yaz¬labilir. (3.39) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
T0 = N = T + B (3.40)
elde edilir. (3.40) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,
= p
1 + H2 (3.41)
dir. (3.41) e¸sitli¼gi (3.40) e¸siti¼ginde yerine yaz¬l¬rsa,
N = 1
p1 + H2T + H
p1 + H2B (3.42)
elde edilir.
B = T N = H
p1 + H2T + 1
p1 + H2B (3.43)
yaz¬labilir. (3.43) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa, B0 = H0
(1 + H2)32
T HH0
(1 + H2)32
B (3.44)
dir. =hB0; Ni olup buradan
= H0
p1 + H2 (3.45)
elde edilir.
Teorem 3.11 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda e¼grisinin principal-donor e¼grisi olsun. e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu ;
(s) = (s)j cos Z
ds j ve (s) = (s) sin Z
ds
¸seklindedir (Choi ve Kim 2012).
Ispat.· e¼grisinin principal-donor e¼grisi oldu¼gundan
0(s) = cos Z
ds N (s) + sin Z
ds B (s) (3.46)
yaz¬labilir. (3.46) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
00(s) = (s) N (s) = (s) cos Z
ds T (s) (3.47)
elde edilir. (3.47) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa, (s) = (s)j cos
Z
ds j (3.48)
yaz¬labilir. B = T N oldu¼gundan, B (s) = cos
Z
ds B (s) + sin Z
ds N (s) (3.49)
elde edilir. (3.49) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
B0(s) = (s) N (s) = (s) sin Z
ds (3.50)
dir. (3.50) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,
(s) = (s) sin Z
ds (3.51)
elde edilir.
Uyar¬3.3 (3.41) ve (3.51) e¸sitliklerinden Z
ds = arcsin 1 1 p1 + H2 yaz¬labilir (Choi ve Kim 2012).
Sonuç 3.2 E3, 3- boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 Frenet e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere e¼grisinin principal-direction e¼grisi (s) olsun.
= H0
(1 + H2)32
elde edilir. Buradan slant helis ise e¼grisinin helis oldu¼gu söylenebilir (Choi ve Kim 2012).
Tan¬m 3.9 (Second Principal-direction E¼gri): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisinin principal-direction e¼grisi ve e¼grisinin principal-direction e¼grisi olsun. e¼grisi e¼grisinin second principal-direction e¼grisi olarak ad- land¬r¬l¬r. Ayr¬ca e¼grisinin second principal-donor e¼grisi d¬r (Choi ve Kim 2012).
4.
{N, C, W} ÇATISINA GÖRE BAZI ÖZEL E ¼GR·ILERYayl¬ve arkada¸slar¬yapt¬klar¬bir çal¬¸smada e¼gri üzerinde bir fN; C; W g alternatif çat¬ tan¬mlam¬¸slard¬r. Bu k¬s¬mda da Bölüm 3 de verilen baz¬ ili¸skili özel e¼griler fN; C; W g çat¬s¬na göre yeniden ele al¬nacakt¬r.
Tan¬m 4.1 (Darboux Vektör): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda fN; C; W g alter- natif hareketli çat¬s¬na göre Darboux vektörü
D = N + W p1 + 2
ile tan¬mlan¬r. Burada D N = N0; D C = C0 ve D W = W0 d¬r (Uzuno¼glu vd. 2016).
Tan¬m 4.2 (D-direction E¼gri): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. D, n¬n birim Darboux vektör alan¬olmak üzere D (s)vektör alan¬n¬n integral e¼grisi e¼grisinin D-direction e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r.
Yani e¼ger e¼grisinin D-direction e¼grisi (s)ise (s) =
Z
D (s) ds dir.
Teorem 4.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri ve e¼grisinin D-direction e¼grisi olsun. e¼grisinin bir slant helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin bir do¼gru olmas¬d¬r.
Ispat.· e¼grisi bir slant helis olsun. O halde Önerme 2.1 den
= H0
(1 + H2)32
oran¬sabittir. O halde g = f oldugundan = g
f oran¬sabittir. Ayr¬ca e¼grisi e¼grisinin D-direction e¼grisi oldu¼gundan
0(s) = D (s) = p
1 + 2N + 1
p1 + 2W (4.1)
yaz¬labilir. (4.1) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
00(s) = N =
0
(1 + 2)32 N
0
(1 + 2)32
W (4.2)
elde edilir. = g
f oran¬ sabit oldu¼gundan 0 = 0 d¬r. O halde (4.2) e¸sitli¼ginden
= 0 d¬r. Bu durumda bir do¼grudur.
Tersine bir do¼gru olsun. Bu durumda = 0 d¬r. Ayr¬ca e¼grisi e¼grisinin D-direction e¼grisi ve bir do¼gru oldu¼gundan
0(s) = D (s) = sabit (4.3)
yaz¬labilir. (4.3) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
00(s) =
0
(1 + 2)32 N
0
(1 + 2)32
W = 0 (4.4)
elde edilir. Burada (1 + 2)32 6= 0 olaca¼g¬ndan 0 = 0d¬r. O halde = sabittir:Bu da demektir ki e¼grisi bir slant helistir.
Teorem 4.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri ve e¼grisinin D-direction e¼grisi olsun. bir slant helis olmamak üzere e¼grisinin e¼grilikleri f ve g a¸sa¼g¬daki e¸sitliklerle verilir:
g =
0
1 + 2 ve f =
0
(1 + 2) p 2
+ 1
Ispat.· e¼grisi e¼grisinin D direction e¼grisi oldu¼gundan
0 = T = D = p
1 + 2N + 1
p1 + 2W (4.5)
yaz¬labilir. (4.5) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
0 = N =
0
(1 + 2)32 N
0
(1 + 2)32
W (4.6)
elde edilir. (4.6) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,
= j 0j
1 + 2 (4.7)
elde edilir. Ayr¬ca 0 > 0 al¬nabilir. Bu durumda (4.7) e¸sitli¼gi =
0
1 + 2 olarak yaz¬labilir. (4.7) e¸sitli¼gi (4.6) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa,
N = 1
p1 + 2N p
1 + 2W (4.8)
ve
B = T N = C (4.9)
yaz¬labilir. (4.9) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
B0 = N = f N + gW (4.10)
elde edilir. (4.10) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,
= fp
1 + 2 (4.11)
yaz¬labilir. Di¼ger taraftan W = H q
1 + H2
T + 1
q
1 + H2
B oldu¼gunu biliyoruz. Bu e¸sitlikte türev al¬n¬rsa
gC = H0 1 + H2
3 2
T HH0
1 + H2
3 2
B (4.12)
elde edilir. (4.12) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa, g = H0
1 + H2 (4.13)
elde edilir. Ayr¬ca alternatif hareketli çat¬dan f = p 2
+ 2 dir. (4.7) ve (4.11) e¸sitliklerinden,
g =
f (1 + 2)
3 2
0
!0
1 + f2(1 + 2)3 ( 0)2
ve f = 1 1 + 2
q
( 0)2 + f2(1 + 2)3
elde edilir. Tan¬m 2.24 den, g =
0
1 + 2 ve f =
0
(1 + 2) p 2
+ 1 elde edilir.
Teorem 4.3 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E3 e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri ve n¬n D-direction e¼grisi olsun. e¼grisinin C slant helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin helis olmas¬d¬r.
Ispat.· e¼grisi C slant helis olsun. O halde Tan¬m 2.24 den f (1 + 2)32
0 = c(sabit) dir. (4.7) ve (4.11) e¸sitliklerinde
f (1 + 2)32
0 = fp
1 + 2
0
1 + 2
= k = c(sabit)
elde edilir. Bu durumda e¼grisi bir helistir.ersine e¼grisi bir helis olsun.
Tersine e¼grisi bir helis olsun. O halde
k = c (sabit) dir. (4.7) ve (4.11) e¸sitlik- lerinden
k = fp 1 + 2
0
1 + 2
= f (1 + 2)32
0 = c (sabit) elde edilir. Bu durumda e¼grisi bir C slant helistir.
Sonuç 4.1 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬bir e¼gri, n¬n D-direction e¼grisi e¼grisi ve nin W -direction e¼grisi olsun. E¼ger e¼grisi bir C slant helis ise e¼grisi bir do¼grudur.
Ispat.· e¼grisi C slant helis olsun. Tan¬m 2.24 den
=
f2 fg 0 (f2+ g2)32
=
0
f (1 + 2)32
= c(sabit)
elde edilir. Teorem 4.3 den f (1 + 2)32
0 = fp
1 + 2
0
1 + 2
= k = H = c (sabit)
elde edilir. Di¼ger taraftan nin W -direction e¼grisi oldu¼gundan 0 = W yaz¬labilir.
Burada W = H q
1 + H2
T + 1
q
1 + H2
B oldu¼gunu biliyoruz. O halde
00= N = W0 = H0 1 + H2
3 2
T HH0
1 + H2
3 2
B
elde edilir. H = c(sabit) oldu¼gundan H0 = 0 olup = 0 elde edilir. O halde e¼grisi bir do¼grudur.
Tan¬m 4.3 (C-direction E¼gri): E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda e¼grisi, fN; C; W g alternatif hareketli çat¬s¬na göre birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. e¼grisi C vektör alan¬n¬n integral e¼grisi olmak üzere e¼grisine C direction e¼gri denir. Yani
(s) = Z
C (s) ds dir.
Teorem 4.4 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda e¼grisi, fN; C; W g alternatif hareketli çat¬s¬na göre birim h¬zl¬bir e¼gri ve e¼grisi e¼grisinin C direction e¼grisi olsun.
e¼grisinin C slant helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin helis olmas¬d¬r.
Ispat.· e¼grisi, e¼grisinin C direction e¼grisi olup Tan¬m 4.4 den
0(s) = T (s) = C (s) (4.14)
yaz¬labilir. (4.14) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,
00(s) = (s) N (s) = f (s) N (s) + g (s) W (s) (4.15)
elde edilir. (4.15) denkleminde norm al¬n¬rsa,
= fp
1 + 2 (4.16)
dir. (4.16) e¸sitli¼gi (4.15) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa,
N = 1
p1 + 2N +p
1 + 2W (4.17)
elde edilir.
B = T N = p
1 + 2N + 1
p1 + 2W (4.18)
olup (4.18) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa, B0 =
0
(1 + 2)32 W +
0
(1 + 2)32 N
elde edilir ve burada norm al¬n¬rsa,
=
0
1 + 2
dir. fN; C; W g alternatif çat¬s¬na göre e¼grisinin e¼grilikleri ile fT; N; Bg Frenet çat¬s¬na göre e¼grisinin e¼grilikleri aras¬ndaki ili¸ski a¸sa¼g¬daki gibidir:
H = =
0
f (1 + 2)32
O halde e¼grisinin C slant helis olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin helis olmas¬d¬r.
Sonuç 4.2 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬ e¼grisinin C direction e¼grisi olsun. E¼ger e¼grisi bir düzlem e¼grisi ise e¼grisi bir slant helistir.
Ispat.· Teorem 4.4 den
H =
0
f (1 + 2)32 (4.19)
dir. E¼ger e¼grisi bir slant helis ise = c (sabit) dir. O halde H = = 0
d¬r. Yani e¼grisi bir düzlem e¼grisidir.
Tersine e¼ger e¼grisi bir düzlem e¼grisi ise = 0 d¬r. (4.19) denkleminde 0 = 0 olup
= c(sabit) elde edilir. O halde bir slant helistir.
Tan¬m 4.4 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda fN; C; W g alternatif çat¬s¬na göre ve birim h¬zl¬e¼griler olsunlar.
(i) e¼grisinin pozisyon vektörü her zaman e¼grisinin fN; Cg cümlesinin gerdi¼gi düzlemde yat¬yorsa e¼grisi e¼grisinin (N C)düzlem e¼grisidir.
(ii) e¼grisinin pozisyon vektörü her zaman e¼grisinin fN; W g cümlesinin gerdi¼gi düzlemde yat¬yorsa e¼grisi e¼grisinin (N W ) düzlem e¼grisidir.
(iii) e¼grisinin pozisyon vektörü her zaman e¼grisinin fC; W g cümlesinin gerdi¼gi düzlemde yat¬yorsa e¼grisi e¼grisinin (C W )düzlem e¼grisidir.
Teorem 4.5 E3, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda fN; C; W g alternatif çat¬s¬na göre e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri ve e¼grisi, e¼grisinin N -direction e¼grisi olsun. E¼ger e¼grisi bir (N W )düzlem e¼grisi ise (s) lineer fonksiyondur.
Ispat.· Tan¬m 4.4 ün (ii) ¸s¬kk¬ndan
(s) = (s) N (s) + (s) W (s) (4.19)
yaz¬labilir. Di¼ger taraftan e¼grisi e¼grisinin N -direction e¼grisi oldu¼gundan (s) =
Z
N (s) (4.20)
yaz¬labilir. (4.19) ve (4.20) e¸sitliklerinde türev al¬n¬rsa,
0 = T = N = 0N + ( f g) C + 0W (4.21)
elde edilir. (4.21) e¸sitli¼ginden
0 = 1 (4.22)
f g = 0 (4.23)
0 = 0 (4.24)
yaz¬labilir. (4.22) e¸sitli¼ginden = s + c1 ve (4.24) e¸sitli¼ginden = c2 elde edilir.
Burada c1 ve c2 sabitlerdir. (4.23) e¸sitli¼ginden g
f = as + b
dir. Burada a ve b reel sabitlerdir. O halde lineer bir fonksiyondur.
