E¼ griler Teorisi

Tan¬m 2.5 (E¼gri): R reel say¬do¼grusunun bir aç¬k aral¬¼g¬ I olsun. : I ! E³ diferensiyellenebilir fonksiyonuna bir e¼gri denir.

fonksiyonu 8t 2 I reel say¬s¬na (t) = ( ₁(t) ; ₂(t) ; ₃(t)) 2 E³ noktas¬n¬

kar¸s¬l¬k getiren bir fonksiyondur. Burada t de¼gi¸skenine e¼grinin parametresi denir.

1; ₂; ₃ fonksiyonlar¬na Öklid koordinat fonksiyonlar¬ denir ve bu fonksiyonlar diferensiyellenebilir fonksiyonlar ise diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. Ayr¬ca I = (a; b) aç¬k aral¬¼g¬için a = 1 ve b = +1 olarak da al¬nabilir (O’Neill 1966).

Tan¬m 2.6 (Parametre De¼gi¸simi): R reel say¬do¼grusunun iki aç¬k aral¬¼g¬I ve J olsun. : I ! E³ bir e¼gri ve h : J ! I diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere = (h) : J ! E³ e¼grisine e¼grisinin h ile yeniden parametrelendirilmi¸si

denir (O’Neill 1966).

¸

Sekil 2.1 Parametre de¼gi¸simi

Tan¬m 2.7 (H¬z Vektörü): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ bir e¼gri ve (t) = ( ₁(t) ; ₂(t) ; ₃(t))olsun. 8t 2 I için ⁰(t) = ( ⁰₁(t) ; ⁰₂(t) ; ⁰₃(t)) vektörüne e¼grisinin (t) noktas¬ndaki h¬z vektörü denir (O’Neill 1966).

Tan¬m 2.8 (Bir E¼grinin Tanjant Uzay¬): : I R ! E³ e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir e¼gri olmak üzere p 2 noktas¬nda h¬z vektörlerini içine alan T (p) = V (p) vektör uzay¬na e¼grisinin p 2 noktas¬ndaki tanjant uzay¬ denir.

p2 seçilmi¸s bir nokta olmak üzere, E³ ün T (p) ile birle¸sen alt a…n uzay¬na da, e¼grisinin p 2 noktas¬ndaki te¼get do¼grusu denir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 2.9 (Regüler E¼gri): 8t 2 I için k ⁰(t)k6= 0 ko¸sulunu sa¼glayan, türevlenebilir bir : I R ! E³ e¼grisi regülerdir denir (Korkmaz 2012).

Tan¬m 2.10 (Yay Uzunlu¼gu): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ regüler e¼grisi ve bir t 2 I noktas¬verilsin. ⁰(t) vektörünün boyu,

k ⁰(t)k=

q

( ⁰₁(t))²+ ( ⁰₂(t))²+ ( ⁰₃(t))²

olmak üzere e¼grisinin t0 noktas¬ndan t noktas¬na kadar olan yay uzunlu¼gu,

s (t) = Zt

t0

k ⁰(t)k dt

olarak tan¬mlan¬r. ⁰(t)6= 0 oldu¼gu için s yay uzunlu¼gu t de¼gi¸skeninin türevlenebilir bir fonksiyonudur ve ds

dt =k ⁰(t) k olur. Ayr¬ca k ⁰(t) k= 1 ise e¼grisine birim h¬zl¬e¼gri denir (Korkmaz 2012).

Teorem 2.1 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda regüler her e¼grinin, birim h¬zl¬ olacak

¸sekilde bir koordinat kom¸sulu¼gu vard¬r (Hac¬saliho¼glu 1998).

Örnek 2.1 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen,

: I R ! E³

t ! (t) = (2 cos t; 2 sin t; 3t) e¼grisini birim h¬zl¬hale getiriniz.

Çözüm 2.1 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,

0(t) = ( 2 sin t; 2 cos t; 3)

elde edilir. Bu e¸sitlikte norm al¬n¬rsa, k ⁰(t)k =

q

( 2 sin t)²+ (2 cos t)²+ 9 =p 136= 0

elde edilir. O halde regüler bir e¼gridir. Teorem 2.1 den e¼grisini birim h¬zl¬bir e¼gri olarak yeniden yazabiliriz.

h : R ! R

¸seklindedir. Böylece yeni s parametresine göre e¼grisi a¸sa¼g¬daki gibidir.

(s) = h ¹ (s) = 2 cos s

p13; 2 sin s p13; 3

p13s

Ayr¬ca e¼grisi birim h¬zl¬d¬r (Hac¬saliho¼glu 1998).

¸

Sekil 2.2 (t) ve (s) e¼grisi

Tan¬m 2.11 (Frenet Vektörleri): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. T = ⁰ vektörü, e¼grisinin birim te¼get vektör alan¬

olarak adland¬r¬l¬r. hT; T i = 1 olup burada türev al¬n¬rsa hT⁰; Ti = 0 elde edilir. Bu durumda T⁰vektörü T vektörüne her zaman diktir. N =

00

k ⁰⁰k vektörü e¼grisinin asli normal vektör alan¬olmak üzere B = T N vektörü e¼grisinin binormal vektörü olarak adland¬r¬l¬r. Burada T, N, B vektör alanlar¬na Frenet vektör alanlar¬ denir (O’Neill 1966).

Tan¬m 2.12 (E¼grilikler): : I R ! E³ e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda s 2 I yay uzunlu¼guna göre parametrelenmi¸s bir e¼gri olsun. k ⁰(s)k = (s) say¬s¬na e¼grisinin s noktas¬ndaki e¼grili¼gi denir. ⁰⁰(s) 6= 0 olmak üzere B⁰(s) = (s) N (s) e¸sitli¼gi ile tan¬mlanan (s) say¬s¬na e¼grisinin s noktas¬ndaki burulmas¬ denir (Korkmaz 2012).

Teorem 2.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi regüler bir e¼gri olsun. Bu durumda Frenet vektör alanlar¬a¸sa¼g¬daki gibidir.

T =

Örnek 2.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen

: I R ! E³

s ! (s) = 4

5cos s; 1 sin s; 3 5cos s e¼grisinin T; N; B vektör alanlar¬n¬bulunuz (O’Neill 1966).

Çözüm 2.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,

0(s) = 4

5sin s; cos s;3 5sin s

elde edilir. k ⁰(s)k = 1 oldu¼gundan e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gridir. O halde T (s) = ⁰(s) = 4

Tan¬m 2.13 (Frenet Formülleri): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri olmak üzere e¼grili¼gi > 0 ve torsiyonu olsun. Frenet formülleri a¸sa¼g¬daki gibidir

T⁰(s) = (s) N (s)

N⁰(s) = (s) T (s) + (s) B (s) B⁰(s) = (s) N (s)

(O’Neill 1966).

Tan¬m 2.14 (Frenet Düzlemleri): : I R ! E³ e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬bir e¼gri olmak üzere e¼grisinin Frenet vektör alanlar¬T; N; B olsun.

(i) {T, N} cümlesinin gerdi¼gi düzlem (s) noktas¬ndaki oskülatör düzlem, (ii) {T, B} cümlesinin gerdi¼gi düzlem (s)noktas¬ndaki rekti…yan düzlem, (iii){N, B} cümlesinin gerdi¼gi düzlem (s) noktas¬ndaki normal düzlem, olarak adland¬r¬l¬r (Sabuncuo¼glu 2010).

Teorem 2.3 : I R ! E³ e¼grisi 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬bir e¼gri ve > 0olsun. e¼grisinin düzlemsel olmas¬için gerek ve yeter ¸sart = 0olmas¬d¬r (O’Neill 1966).

Teorem 2.4 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin e¼grili¼gi s¬f¬r ise bir do¼grudur. Kar¸s¬t olarak bir do¼gru ise e¼grili¼gi s¬f¬rd¬r (O’Neill 1966).

Tan¬m 2.15 (E¼grilik Ekseni ve E¼grilik Merkezi): E³, 3-boyutlu Öklid uza-y¬nda : I R ! E³ bir e¼gri olmak üzere e¼grisinin p 2 noktas¬nda ile sonsuz yak¬n üç ortak noktas¬olan kürelerin merkezlerinin geometrik yeri olan,

= (s₀) + 1

(s₀)N (s₀) + B (s₀)

do¼grusuna e¼grisinin p 2 noktas¬ndaki e¼grilik ekseni denir. E¼grilik ekseni üze-rindeki,

C (s₀) = (s₀) + 1

(s₀)N (s₀)

noktas¬na da n¬n p = (s₀) daki e¼grilik merkezi denir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 2.16 (E¼grilik Küresi): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ bir e¼gri olmak üzere e¼grisiyle p 2 noktas¬nda sonsuz yak¬n dört noktas¬ortak olan küreye, n¬n p 2 noktas¬ndaki e¼grilik küresi veya oskülatör küresi ad¬verilir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 2.17 (Küresel Gösterge): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi s 2 I yay parametresi ile verilsin,

(i) e¼grisinin birim te¼get vektörü T olmak üzere,P Q = T! al¬nd¬¼g¬nda, P noktas¬

e¼grisini çizerken, Q noktas¬n¬n birim küre yüzeyi üzerinde çizdi¼gi e¼griye e¼grisinin te¼getler göstergesi veya birinci küresel göstergesi denir.

(ii) e¼grisinin asli normal vektörü N olmak üzere, e¼grisi çizilirken N vek-törünün uç noktalar¬cümlesinin birim küre yüzeyi üzerinde meydana getirdi¼gi e¼griye

e¼grisinin asli normaller göstergesi denir.

(iii) e¼grisinin bir P noktas¬ndaki binormal vektörü B =P R!ve kom¸su iki binormal vektörü aras¬ndaki aç¬ olmak üzere P noktas¬ e¼grisini çizerken R noktas¬n¬n birim küre yüzeyi üzerinde çizdi¼gi e¼griye e¼grisinin binormaller göstergesi denir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 2.18 (Darboux Vektör Alan¬): E¼gri üzerindeki bir P noktas¬e¼griyi çizer-ken T; N; B vektörleri de¼gi¸sirler, dolay¬s¬yla küresel göstergeler olu¸surlar. E¼grinin T; N; B Frenet üçlüsünün her s an¬nda, bir eksen etraf¬nda, bir ani helis hareketi yapt¬¼g¬kabul edilir. Bu eksene e¼grinin bu s parametresine kar¸s¬l¬k gelen (s) nok-tas¬ndaki Darboux (ani dönme) ekseni denir. Bu eksenin yön ve do¼grultusunu veren vektör,

w = T + B

olup e¼grinin (s)noktas¬ndaki Darboux vektörü ad¬n¬al¬r.

B ile w Darboux vektörü aras¬ndaki aç¬ ile gösterilirse

= kwk sin (2.1)

= kwk sin yaz¬labilir.

¸

Sekil 2.3 w Darboux vektörü wDarboux vektörü yönündeki birim vektör W ise kwk =p ₂

+ ² > 0 olmak üzere W = kwkT +

kwkB olur ve (2.1) e¸sitlikleri burada yerlerine yaz¬l¬rsa,

W = sin T + sin B elde edilir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 2.19 (Harmonik E¼grilik): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ bir e¼gri olsun. 8s 2 I ya kar¸s¬l¬k gelen (s) noktas¬nda e¼grisinin e¼grili¼gi (s) ve torsiyonu (s) olmak üzere

H : I ! R

s ! H (s) = (s)

¸seklinde tan¬ml¬H fonksiyonuna, e¼grisinin s noktas¬ndaki harmonik e¼grili¼gi denir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 2.20 (fN; C; W g Çat¬s¬): Birim h¬zl¬ : I ! R³ e¼grisinin asli normali N, asli normalin türevi C = N⁰

k N⁰ k ve birim Darboux vektörü W = T + B p ₂

+ ² olmak üzere fN; C; N C = Wg kümesine e¼grisi boyunca fN; C; N C = Wg çat¬s¬ denir ve türevleri ile elde edilen e¸sitlikler a¸sa¼g¬daki gibidir.

N⁰(s) = f (s) C (s)

C⁰(s) = f (s) N (s) + g (s) W (s) W⁰(s) = g (s) C (s)

Burada f = p

1 + H²; H = ve g = f; = H⁰ (1 + H²)³²

¸

seklindedir (Uzuno¼glu vd. 2015).

Burada fN; C; W g alternatif hareketli çat¬, e¼grinin te¼get vektörü T ve e¼grinin bi-normal vektörü B belirli bir aç¬s¬ile asli normali N etraf¬nda döndürülerek elde edilir.

Sekil 2.4 fN; C; W g alternatif hareketli çat¬¸ 2.3 Baz¬Özel E¼griler ve Karakterizasyonlar¬

Tan¬m 2.21 (Helis): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ regüler e¼grisinin birim te¼get vektörü T olsun. E¼ger T vektör alan¬ sabit bir u vektörü ile sabit bir aç¬yap¬yorsa, yani her s 2 I için hT; ui = cos ise e¼grisine helis denir (O’Neill 1966).

Teorem 2.5 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi regüler bir e¼gri olsun. > 0 olmak üzere e¼grisinin bir helis olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart oran¬n¬n sabit olmas¬d¬r (O’Neill 1966).

Örnek 2.3 : R ! R³; (s) = 3 coss

5; 3 sin s 5;4

5s e¼grisinin bir helis oldu¼gunu gösterelim.

Çözüm 2.3 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda verilen e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,

0(s) = 3 vektör alan¬n¬n tan¬m¬na göre T (s) = ⁰(s) oldu¼gundan,

T (s) = 3

3 olup e¼grisi bir helistir.

Tan¬m 2.22 (Slant Helis): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri ve (s)6= 0 olmak üzere e¼grisinin asli normal vektörü, e¼grinin her noktas¬nda sabit bir do¼grultu ile sabit bir aç¬yap¬yorsa e¼grisine bir slant helis denir (Izumiya ve Takeuchi 2004).

Önerme 2.1 birim h¬zl¬bir e¼gri ve (s)6= 0 olsun. n¬n slant helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart

(s) =

2

( ²+ ²)³²

0! (s) e¸sitli¼ginin sabit olmas¬d¬r (Izumiya ve Takeuchi 2004).

Burada Tan¬m 2.19 dan (s) fonksiyonunu (s) = H⁰ (1 + H²)³²

!

(s) olarak da ifade edebiliriz.

Tan¬m 2.23 (Clad Helis): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ bir e¼gri ve 6= 0 olsun. e¼grisinin N : I ! S² birim asli normalinin küresel gösterimi, S² deki bir silindirik helisin parças¬ ise e¼grisine clad helis denir (Takahashi ve Takeuchi 2014).

Önerme 2.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda birim h¬zl¬bir uzay e¼grisi ve 6= 0 olsun. n¬n bir clad helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart

' (s) =

0

( ²+ ²)¹² (1 + ²)³²

! (s) fonksiyonunun sabit olmas¬d¬r (Takahashi ve Takeuchi 2014).

Burada Tan¬m 2.20 den ' (s) fonksiyonunu ' (s) =

0 e¼grisi fN; C; W g alternatif hareketli çat¬ya göre birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. e¼grisinin C vektör alan¬ sabit bir u vektörü ile sabit bir ' (' 6= ₂) aç¬s¬ yap¬yorsa e¼grisi C slant helis olarak adland¬r¬l¬r. Burada e¼grisinin C slant helis olabilmesi için gerek ve yeter ¸sart

=

Tan¬m 2.25 (g-Clad Helis): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ bir e¼gri ve 6= 0 olsun. e¼grisinin N : I ! S² birim asli normalinin küresel gösterimi, S²deki bir slant helisin parças¬ise e¼grisine g-clad helis denir (Takahashi ve Takeuchi 2014).

Önerme 2.3 birim h¬zl¬bir uzay e¼grisi ve k 6= 0 olsun. n¬n bir g-calad helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart

(s) = '⁰

( ²+ ²)¹² (1 + ²)¹² (1 + '²)³²

! (s)

fonksiyonunun sabit olmas¬d¬r (Takahashi ve Takeuchi 2014).

Tan¬m 2.26 (Rekti…yan E¼gri): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. E¼ger e¼grisinin pozisyon vektörü her zaman e¼grinin rekti…yan düzleminde yat¬yorsa e¼grisine rekti…yan e¼gri denir (Chen 2003).

Teorem 2.6 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi s yay uzunlu¼guna göre parametrelenmi¸s bir rekti…yan e¼gri ve > 0 olsun. Bu durumda a¸sa¼g¬dakiler gerçeklenir:

(i) Uzakl¬k fonksiyonu =k k olmak üzere ² = s²+ sc₁+ c₂¸seklindedir. Burada c₁ ve c2 sabitlerdir.

(ii) E¼grinin pozisyon vektörünün te¼get bile¸seni h ; T i = s + b ile verilir. Burada b sabittir.

(iii)E¼grinin pozisyon vektörünün normal bile¸seni ^N sabit uzunluktad¬r ve uzakl¬k fonksiyonu sabit de¼gildir.

(iv) 6= 0 olmak üzere e¼grinin pozisyon vektörünün binormal bile¸seni sabittir. Yani h ; Bi sabittir (Chen 2003).

Teorem 2.7 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ bir e¼gri ve > 0 olsun. e¼grisinin rekti…yan e¼gri olmas¬için gerek ve yeter ¸sart s yay parametresine göre e¼grinin torsiyon ve e¼grilik oran¬n¬n (yani harmonik e¼grilik fonksiyonunun) sabit olmayan bir lineer fonksiyon olmas¬d¬r. Yani = as + b olmas¬d¬r. Burada a 6= 0 olmak üzere a ve b sabitlerdir (Chen 2003).

Teorem 2.8 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi için > 0 olmak üzere e¼grisinin rekti…yan e¼gri olmas¬için gerek ve yeter ¸sart

(t) = a sec (t + t₀) y (t)

dir. Burada a 6= 0 olmak üzere a; t⁰ sabitler ve y = y (t) e¼grisi S² küresi üzerinde birim h¬zl¬bir e¼gridir (Chen ve Dillen 2003).

Teorem 2.9 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ birim h¬zl¬ e¼grisinin e¼grili¼gi s¬f¬rdan farkl¬bir sabit ve torsiyonu sabit olmayan olmak üzere e¼grisinin Darboux vektörü rekti…yand¬r (Chen ve Dillen 2003).

Teorem 2.10 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ birim h¬zl¬e¼grisinin e¼grili¼gi sabit olmayan ve torsiyonu s¬f¬rdan farkl¬bir sabit olmak üzere e¼grisinin Darboux vektörü rekti…yand¬r (Chen ve Dillen 2003).

3.

FRENET VEKTÖRLER·I B·IRB·IRLER·I ·ILE ·IL·I¸SK·IL·I BAZI ÖZEL E ¼GR·ILER

3.1 Frenet E¼gri Çiftleri

Tan¬m 3.1 (Bertrand E¼gri Çifti) : Birim h¬zl¬ : I R ! E³ e¼grisi ile ayn¬

aral¬kta tan¬ml¬ : I R ! E³ e¼grisi verilsin. Her bir s 2 I ya kar¸s¬l¬k gelen (s) 2 ve (s) 2 noktalar¬nda ve e¼grilerinin fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g Frenet çat¬lar¬verildi¼ginde fN (s) ; N (s)g liner ba¼g¬ml¬ise ( ; ) e¼gri çiftine bir Bertrand e¼gri çifti denir (Hac¬saliho¼glu 1998).

¸

Sekil 3.1 Bertrand e¼gri çifti

Teorem 3.1 : I R ! E³ birim h¬zl¬ e¼grisi ile ayn¬ aral¬kta tan¬ml¬ : I R ! E³ e¼grisi verilsin. ( ; ) e¼gri 2-lisi bir Bertrand çifti ise 8s 2 I için

d ( (s) ; (s)) = c (sabit) dir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Teorem 3.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda ayn¬ aral¬kta tan¬ml¬ iki e¼gri ve olsun. n¬n e¼grilikleri , ise ( ; )e¼gri çiftinin bir Bertrand e¼gri çifti olmas¬için gerek ve yeter ¸sart

+ = 1

olmas¬d¬r (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 3.2 (·Involüt-Evolüt E¼gri Çifti): Birim h¬zl¬ : I R ! E³ e¼grisi ile ayn¬aral¬kta tan¬ml¬ : I R ! E³ e¼grisi verilsin. (s) ve (s)noktalar¬nda ve e¼grilerinin Frenet çat¬lar¬, s¬ras¬yla, fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g olmak üzere hT (s) ; T (s)i = 0 ise e¼grisine e¼grisinin involütü, e¼grisine e¼grisinin evolütü denir (Hac¬saliho¼glu 1998).

¸

Sekil 3.2 ·Involüt-Evolüt e¼gri çifti

Teorem 3.3 3-boyutlu Öklid uzay¬ E³ de ayn¬ aral¬kta tan¬ml¬ iki e¼gri ve olsun. E¼ger , n¬n involütü ise 8s 2 I için

d ( (s) ; (s)) = kc sk dir. Burada c sabittir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Teorem 3.4 : I R ! E³ birim h¬zl¬e¼grisi ile ayn¬aral¬kta tan¬ml¬

: I R ! E³ e¼grisi verilsin. (s) ve (s) noktalar¬nda ve ¬n Frenet çat¬lar¬s¬ras¬yla fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g, n¬n e¼grilikleri ; ve ¬n e¼grilikleri ; olmak üzere,

( ) (s ) =

s 2(s) + ²(s)

2(s) (c s)²

( ) (s ) = (s) ⁰(s) ⁰(s) (s) (s) ( ²(s) + ²(s)) (c s) dir (Hac¬saliho¼glu 1998).

Tan¬m 3.3 (Mannheim E¼gri Çifti): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda ayn¬aral¬kta tan¬ml¬ iki e¼gri ve olsun. (s) ve (s) noktalar¬nda ve e¼grilerinin Frenet çat¬lar¬, s¬ras¬yla, fT (s) ; N (s) ; B (s)g, fT (s) ; N (s) ; B (s)g olmak üzere e¼grisinin (s) noktas¬ndaki asli normali ile e¼grisinin (s) noktas¬ndaki bi-normal vektörleri çak¬¸s¬yorsa yani fN (s) ; B (s)g lineer ba¼g¬ml¬ ise e¼grisine bir Mannheim e¼grisi ve ( ; ) e¼gri çiftine ise Mannheim e¼gri çifti denir (Liu ve Wang 2008).

¸

Sekil 3.3 Mannheim e¼gri çifti

Teorem 3.5 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s bir e¼gri ve n¬n e¼grilikleri ; olmak üzere e¼grisinin bir Mannheim e¼grisi olmas¬için gerek ve yeter ¸sart,

= ² + ²

olmas¬d¬r (Liu ve Wang 2008).

Önerme 3.1 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³e¼grisi s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s bir Mannheim e¼grisi olmak üzere : I R ! E³ e¼grisi e¼grisinin s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s bir Mannheim e¼gri çifti olsun.

E¼ger e¼grisi bir helis ise bir do¼grudur (Liu ve Wang 2008).

3.2 W-Direction E¼grisi

Tan¬m 3.4 (W-direction E¼grisi): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisi olsun. W , n¬n birim Darboux vektör alan¬olmak üzere W (s) nin integral e¼grisi e¼grisinin W -direction e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r.Yani e¼ger e¼grisinin W -direction e¼grisi (s) ise

(s) = Z

W (s) dir. Burada W = T + B

p ₂

+ ² dir (Macit ve Düldül 2014).

Teorem 3.6 , düzlemsel olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun.

e¼grisinin helis olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin do¼gru olmas¬d¬r (Macit ve Düldül 2014).

Ispat.· e¼grisi helis olsun. O halde Teorem 2.5 den = c(sabit) dir. Burada oran¬n¬H ile ifade edelim. Ayr¬ca , düzlemsel olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi oldu¼gundan,

0(s) = W (s) = H

p1 + H²T + 1

p1 + H²B (3.1)

yaz¬labilir. (3.1) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

00(s) = H⁰ (1 + H²)³²

T HH⁰

(1 + H²)³²

B (3.2)

elde edilir. Di¼ger taraftan H = = c (sabit) idi. O halde H⁰ = 0 olup

00(s) = N = 0 (3.3)

yaz¬labilir. (3.3) e¸sitli¼ginden = 0 olup e¼grisi bir do¼grudur.

Tersine bir do¼gru olsun. Bu durumda ⁰(s) = 0 d¬r. Ayr¬ca , düzlemsel olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi oldu¼gundan,

0(s) = W⁰(s) = 0 (3.4)

yaz¬labilir. (3.4) denkleminde türev al¬n¬rsa,

00(s) = H⁰ (1 + H²)³²

T HH⁰

(1 + H²)³²

B (3.5)

elde edilir. 6= 0 ve 6= 0 olup 1 + H² 6= 0 oldu¼gundan H⁰ = 0 d¬r. O halde

H = c(sabit) (3.6)

yaz¬labilir ve Teorem 2.5 den bir helistir.

Teorem 3.7 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ Frenet e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere e¼grisinin W -direction e¼grisi (s) olsun. helis olmayan bir e¼gri olmak üzere e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu ,

= jH⁰j

1 + H²; = p

1 + H²

¸seklindedir (Macit ve Düldül 2014).

Ispat.· ve ayn¬s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s e¼griler olsunlar.

n¬n W -direction e¼grisi (s) oldu¼gundan

W (s) = ⁰(s) = T (3.7)

yaz¬labilir. (3.7) e¸sitli¼ginden,

T = H

p1 + H²T + 1

p1 + H²B (3.8)

dir. (3.8) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

T⁰ = N = H⁰ (1 + H²)³²

T HH⁰

(1 + H²)³²

B (3.9)

elde edilir. (3.9) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,

=kT⁰k = s

(H⁰)²+ H²(H⁰)²

(1 + H²)² = jH⁰j

1 + H² (3.10)

elde edilir. (3.10) dekleminde elde edilen ; (3.9) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa,

N = 1

p1 + H²T H

p1 + H²B (3.11)

yaz¬labilir. B = T N oldu¼gundan,

B = N (3.12)

elde edilir. (3.12) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

N = T + B (3.13)

olup (3.13) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,

= p

1 + H² (3.14)

elde edilir.

Teorem 3.8 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda helis olmayan bir e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. e¼grisinin helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin slant helis olmas¬d¬r (Macit ve Düldül 2014).

Ispat.· e¼grisi bir helis olsun Bu durumda = c(sabit) dir. Teorem (3.7) kul-lan¬l¬rsa, yaz¬labilir. Önerme (2.1) den e¼grisi bir slant helistir.

Tan¬m 3.5 (Second W-direction E¼grisi): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi ve e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. Bu durumda e¼grisi, e¼grisinin second W -direction e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r (Macit ve Düldül 2014).

Sonuç 3.1 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda e¼grisi bir slant helis ise n¬n second W-direction e¼grisi bir do¼grudur (Macit ve Düldül 2014).

Tan¬m 3.6 (W-rekti…yan E¼grisi): Bir Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. E¼ger e¼grisinin pozisyon vektörü her zaman e¼grisinin rekti…yan düzleminde yat¬yorsa e¼grisine W - rekti…yan e¼grisi denir (Macit ve Düldül 2014).

Teorem 3.9 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi olsun. E¼ger bir W- rekti…yan e¼grisi ise e¼grisi bir helistir (Macit ve Düldül 2014).

Ispat.· W- rekti…yan e¼grisi tan¬m¬ndan

= (s) T (s) + (s) B (s) (3.16)

yaz¬labilir. Burada (s), (s)s¬f¬rdan farkl¬fonksiyonlar ve e¼grisi boyunca Frenet çat¬s¬fT; N; Bg dir. (3.16) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

T = ⁰T + ( ) N + ⁰B (3.17)

elde edilir. Ayr¬ca Frenet e¼grisinin W -direction e¼grisi oldu¼gundan,

W = ⁰ = T (3.18)

dir. (3.17) ve (3.18) e¸sitliklerinden, p H

1 + H²T + 1

p1 + H²B = ⁰T + ( ) N + ⁰B (3.19)

yaz¬labilir. (3.19) e¸sitli¼ginden,

d¬r. (3.20), (3.21) ve (3.22),e¸sitliklerinden,

0 0 = 0

elde edilir. Buradan = c(sabit) olup = = c elde edilir. O hale bir helistir.

Örnek 3.1 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda (s) = cos s

p2; sin s p2; s

p2 helisinin W-direction e¼grisini bulal¬m (Macit ve Düldül 2014).

Çözüm 3.1 e¼grisinin türevi al¬n¬rsa,

0(s) = 1

dir ve burada norm al¬n¬rsa,

k ⁰(s)k = 1

dir. (3.24) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

00(s) = 1 elde edilir. Tan¬m 2.11 den

N =

00

k ⁰⁰k = cos s

p2; sin s

p2; 0 (3.25)

dir. Tan¬m 2.11 den

+ ² e¸sitli¼ginde yerlerine yaz¬l¬rsa, W = 0; 0;1

2

elde edilir. , e¼grisinin W -direction e¼grisi olmak üzere (s) = (c₁; c₂; s + c₃)

dir. Burada c1; c₂ ve c3 sabitlerdir. c1 = c₂ = c₃ = 0 için helisinin W direction e¼grisi a¸sa¼g¬daki gibidir.

¸

Sekil 3.4 e¼grisinin W direction e¼grisi

Örnek 3.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda, (s) = 3 slant helisinin W -direction e¼grisini bulal¬m (Macit ve Düldül 2014).

Çözüm 3.2 Frenet formülleri yard¬m¬yla,

elde edilir. E¼grinin e¼grilikleri, (s) =

elde edilir. e¼grisi e¼grisinin W direction e¼grisi oldu¼gundan,

= 9s W direction e¼grisi a¸sa¼g¬daki gibidir.

¸

Sekil 3.5 slant helisinin W direction e¼grisi

3.3 Principal-direction E¼griler ve Principal-donor E¼griler

V : I ! E³ bir vektör alan¬ve : I ! E³ bir Frenet e¼grisi olsun. V vektör alan¬

V (s) = u (s) T (s) + v (s) N (s) + w (s) B (s) (3.28) ile verilsin. Burada u; v ve w fonksiyonlar¬I üzerinde tan¬ml¬olmak üzere

u (s)²+ v (s)²+ w (s) = 1

dir. E³ de birim h¬zl¬bir e¼grisi V vektör alan¬n¬n integral e¼grisi olsun.

Tan¬m 3.7 (Principal-direction E¼gri): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisi olsun. e¼grisi N (s) asli normal vektörünün integral e¼grisi olmak üzere e¼grisine e¼grisinin principal-direction e¼grisi denir. Benzer ¸sekilde B (s) binormal vektörünün integral e¼grisi de binomal-direction e¼gri olarak adland¬r¬l¬r (Choi ve Kim 2012).

Uyar¬3.1 (3.28) denkleminde u (s) = w (s) = 0 ve v (s) = 1 al¬n¬rsa V (s) vektör alan¬n¬n integral e¼grisi principal-direction e¼gridir (Choi ve Kim 2012).

Uyar¬3.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisi ve e¼grili¼gi 0 s¬f¬r-dan farkl¬bir sabit ya da torsiyonu 0 s¬f¬rdan farkl¬bir sabit olsun. Bu durumda T⁰(s) = ⁰⁰(s) = ₀N (s) ya da B⁰(s) = ₀N (s) oldu¼gundan dolay¬ n¬n principal-direction e¼grisi ; s¬ras¬yla 1

0

0(s)ya da 1

(s) ₀ ( ⁰(s) ⁰⁰(s)) ifadeleri-ne e¸sittir (Choi ve Kim 2012).

Önerme 3.2 E³ de bir Frenet e¼grisi ve (3.28) e¸sitli¼ginde verilen V(s) in integral e¼grisi olsun. nin principal-direction e¼grisinin e¼grisine e¸sit olabilmesi için gerek ve yeter ¸sart (3.28) e¸sitli¼ginde verilen u (s) ; v (s) ve w (s) fonksiyonlar¬n¬n u (s) = 0; v (s) = cos

Z

ds 6= 0 ve w (s) = sin Z

ds olmas¬d¬r (Choi ve Kim 2012).

Ispat.· (3.28) e¸sitli¼ginin ¸sart¬olan

u (s)²+ v (s)²+ w (s) = 1 (3.29) (3.29) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

uu⁰ + vv⁰ + ww⁰ = 0 (3.30)

elde edilir. Di¼ger tarftan (3.28) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

V⁰(s) = u⁰T + uT⁰+ v⁰N + vN⁰+ w⁰B + wB⁰ (3.31)

= u⁰T + u N + v⁰N + v ( T + B) + w⁰B w N

= (u⁰ v) T + ( u + v⁰ w) N + (w⁰+ v) B elde edilir. V(s) in integral e¼grisi oldu¼gundan,

V⁰(s) = (s) = T⁰(s) = N (s) (3.32) yaz¬labilir. nin principal-direction e¼grisinin e¼grisine e¸sit olsun. Buradan

0(s) = T (s) = N (3.33)

yaz¬labilir. (3.32) ve (3.33) e¸sitliklerinden

u⁰ v 6= 0 (3.34)

u + v⁰ w = 0 (3.35)

w⁰+ v = 0 (3.36)

elde edilir. (3.36) e¸sitli¼gi w ile çarp¬l¬r ve (3.29) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa,

vw = uu⁰+ vv⁰ (3.37)

elde edilir. Benzer ¸sekilde (3.35) e¸sitli¼gi v ile çarp¬l¬rsa,

uv + v⁰v wv = 0 (3.38)

olup (3.37) e¸sitli¼gi (3.38) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa, uv uu⁰ = u ( v u⁰) = 0

elde edilir. (3.34) e¸sitli¼ginde v u⁰ 6= 0 olup u = 0 d¬r. Bu durum da

Tan¬m 3.8 (Principal-donor E¼gri): (3.28) denkleminde cos

Z

ds N (s) + sin Z

ds B (s)

ifadesinin integral e¼grisi e¼grisinin principal-donor e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r.

Benzer ¸sekilde binormal-donor e¼gri de tan¬mlanabilir (Choi ve Kim 2012).

Teorem 3.10 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ Frenet e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere n¬n principal-direction e¼grisi (s) olsun.

e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu a¸sa¼g¬daki e¸sitliklerle verilir:

= p

1 + H² ve = H⁰ p1 + H² (Choi ve Kim 2012).

Ispat.· ve e¼grileri ayn¬s yay uzunlu¼guna göre parametrelendirilmi¸s e¼griler olsun-lar. n¬n principal-direction e¼grisi (s) oldu¼gundan

0 = T = N (3.39)

yaz¬labilir. (3.39) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

T⁰ = N = T + B (3.40)

elde edilir. (3.40) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,

= p

1 + H² (3.41)

dir. (3.41) e¸sitli¼gi (3.40) e¸siti¼ginde yerine yaz¬l¬rsa,

N = 1

p1 + H²T + H

p1 + H²B (3.42)

elde edilir.

B = T N = H

p1 + H²T + 1

p1 + H²B (3.43)

yaz¬labilir. (3.43) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa, B⁰ = H⁰

Teorem 3.11 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda e¼grisinin principal-donor e¼grisi olsun. e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu ;

¸seklindedir (Choi ve Kim 2012).

Ispat.· e¼grisinin principal-donor e¼grisi oldu¼gundan

0(s) = cos Z

ds N (s) + sin Z

ds B (s) (3.46)

yaz¬labilir. (3.46) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

00(s) = (s) N (s) = (s) cos Z

ds T (s) (3.47)

elde edilir. (3.47) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa, (s) = (s)j cos

Z

ds j (3.48)

yaz¬labilir. B = T N oldu¼gundan, B (s) = cos

Z

ds B (s) + sin Z

ds N (s) (3.49)

elde edilir. (3.49) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

B⁰(s) = (s) N (s) = (s) sin Z

ds (3.50)

dir. (3.50) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,

(s) = (s) sin Z

ds (3.51)

elde edilir.

Uyar¬3.3 (3.41) ve (3.51) e¸sitliklerinden Z

ds = arcsin ¹ 1 p1 + H² yaz¬labilir (Choi ve Kim 2012).

Sonuç 3.2 E³, 3- boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ Frenet e¼grisinin e¼grili¼gi ve torsiyonu olmak üzere e¼grisinin principal-direction e¼grisi (s) olsun.

= H⁰

(1 + H²)³²

elde edilir. Buradan slant helis ise e¼grisinin helis oldu¼gu söylenebilir (Choi ve Kim 2012).

Tan¬m 3.9 (Second Principal-direction E¼gri): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda bir Frenet e¼grisinin principal-direction e¼grisi ve e¼grisinin principal-direction e¼grisi olsun. e¼grisi e¼grisinin second principal-direction e¼grisi olarak ad-land¬r¬l¬r. Ayr¬ca e¼grisinin second principal-donor e¼grisi d¬r (Choi ve Kim 2012).

4.

{N, C, W} ÇATISINA GÖRE BAZI ÖZEL E ¼GR·ILER

Yayl¬ve arkada¸slar¬yapt¬klar¬bir çal¬¸smada e¼gri üzerinde bir fN; C; W g alternatif çat¬ tan¬mlam¬¸slard¬r. Bu k¬s¬mda da Bölüm 3 de verilen baz¬ ili¸skili özel e¼griler fN; C; W g çat¬s¬na göre yeniden ele al¬nacakt¬r.

Tan¬m 4.1 (Darboux Vektör): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda fN; C; W g alter-natif hareketli çat¬s¬na göre Darboux vektörü

D = N + W p1 + ²

ile tan¬mlan¬r. Burada D N = N⁰; D C = C⁰ ve D W = W⁰ d¬r (Uzuno¼glu vd. 2016).

Tan¬m 4.2 (D-direction E¼gri): E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬bir e¼gri olsun. D, n¬n birim Darboux vektör alan¬olmak üzere D (s)vektör alan¬n¬n integral e¼grisi e¼grisinin D-direction e¼grisi olarak adland¬r¬l¬r.

Yani e¼ger e¼grisinin D-direction e¼grisi (s)ise (s) =

Z

D (s) ds dir.

Teorem 4.1 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri ve e¼grisinin D-direction e¼grisi olsun. e¼grisinin bir slant helis olmas¬için gerek ve yeter ¸sart e¼grisinin bir do¼gru olmas¬d¬r.

Ispat.· e¼grisi bir slant helis olsun. O halde Önerme 2.1 den

= H⁰

(1 + H²)³²

oran¬sabittir. O halde g = f oldugundan = g

f oran¬sabittir. Ayr¬ca e¼grisi e¼grisinin D-direction e¼grisi oldu¼gundan

0(s) = D (s) = p

1 + ²N + 1

p1 + ²W (4.1)

yaz¬labilir. (4.1) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

00(s) = N =

Tersine bir do¼gru olsun. Bu durumda = 0 d¬r. Ayr¬ca e¼grisi e¼grisinin D-direction e¼grisi ve bir do¼gru oldu¼gundan

0(s) = D (s) = sabit (4.3)

yaz¬labilir. (4.3) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

00(s) = da demektir ki e¼grisi bir slant helistir.

Teorem 4.2 E³, 3-boyutlu Öklid uzay¬nda : I R ! E³ e¼grisi birim h¬zl¬ bir e¼gri ve e¼grisinin D-direction e¼grisi olsun. bir slant helis olmamak üzere e¼grisinin e¼grilikleri f ve g a¸sa¼g¬daki e¸sitliklerle verilir:

g =

Ispat.· e¼grisi e¼grisinin D direction e¼grisi oldu¼gundan

0 = T = D = p

1 + ²N + 1

p1 + ²W (4.5)

yaz¬labilir. (4.5) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

0 = N =

elde edilir. (4.6) e¸sitli¼ginde norm al¬n¬rsa,

= j ⁰j

1 + ² (4.7)

elde edilir. Ayr¬ca ⁰ > 0 al¬nabilir. Bu durumda (4.7) e¸sitli¼gi =

0

1 + ² olarak yaz¬labilir. (4.7) e¸sitli¼gi (4.6) e¸sitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa,

N = 1

p1 + ²N p

1 + ²W (4.8)

ve

B = T N = C (4.9)

yaz¬labilir. (4.9) e¸sitli¼ginde türev al¬n¬rsa,

B⁰ = N = f N + gW (4.10)

B⁰ = N = f N + gW (4.10)

Belgede ALTERNATİF HAREKETLİ ÇATILARA GÖRE BAZI ÖZEL (sayfa 13-0)