• Sonuç bulunamadı

Laplace

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Laplace"

Copied!
59
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

ol¨

um 6

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

u

(2)
(3)

ol¨

um 7

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

u

7.1

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

un¨

un Tanımı

Bir f (t) fonksiyonunun integral d¨on¨u¸s¨um¨u T [f (t)] = F (s) =

Z b

a

k(s, t)f (t) dt

bi¸ciminde bir integralle tanımlanır. Verilmi¸s k(s, t) fonksiyonuna integral d¨o-n¨u¸s¨um¨un ¸cekirde˘gi denir. F (s) fonksiyonu verildi˘ginde f (t) ye ters integral d¨on¨u¸s¨um denir ve T−1[F (s)] ile g¨osterilir. Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u integral d¨on¨

u-¸s¨umlerin ilk ¨orneklerinden birisidir. C¸ ekirdek ve sınırlar k(s, t) = e−st, a = 0, b = ∞

olarak tanımlanır. Di˘ger ¨onemli bir integral d¨on¨u¸s¨um de k(s, t) = e−ist, a = −∞, b = ∞

ile verilir. Bu t¨ur d¨on¨u¸s¨ume Fourier d¨on¨u¸s¨um¨u denir ve diferansiyel denk-lemler kuramında ¨onemli bir yer tutar. Ancak biz burada yalnızca Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini inceleyece˘giz.

f, t > 0 zaman de˘gi¸skeninin tek-de˘gerli bir fonksiyonu ve s bir (reel veya kompleks olabilir) parametre olsun. f (t) nin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u

F (s) = L{f (t)} = Z 0 e−stf (t) dt (7.1) 3

(4)

integrali ile tanımlanır. Buradaki integral Riemann anlamında ¨oz-olmayan bir integraldir ve lim M →∞ M Z 0 e−stf (t) dt

limiti anla¸sılacaktır. E˘ger integral yakınsak ise yani yukarıdaki limit sonlu bir sayı ise Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tanımlıdır, e˘ger de˘gilse d¨on¨u¸s¨um tanımlı olmaz. F (s) fonksiyonuna bazen g¨or¨unt¨u fonksiyon da denir.

Tanım 7.1 Bir T ≥ 0 i¸cin

|f (t)| ≤ M eαt veya |e−αtf (t)| ≤ M, t ≥ T

olacak bi¸cimde M > 0 ve α sabitleri varsa f (t) fonksiyonuna α ¨ustel mertebe-dendir denir ve

f (t) = O(eαt)

yazılır.

Polinomlar, ¨ustel fonksiyonlar, sin t ve cos t trigonometrik fonksiyonlar ¨ustel mertebeden oldu˘gu halde f (t) = et2

fonksiyonu ¨ustel mertebeden de˘gildir. C¸ ¨unk¨u, α ne kadar b¨uy¨uk se¸cilirse se¸cilsin

lim

t→∞e t2

e−αt

limiti s¨uratle sonsuza gidecektir.

Tanım 7.2 E˘ger bir f (t) fonksiyonunun lim t→t+0 f (t) = f (t+ 0) ve lim t→t−0 f (t) = f (t− 0)

sa˘gdan ve soldan limitleri varsa fakat

f (t+0) 6= f (t−0)

ise f nin t0 noktasında bir sı¸crama s¨ureksizli˘gi vardır denir. Tanım 7.3 E˘ger lim

t→0+f (t) limiti varsa ve f fonksiyonu [0, ∞) aralı˘gında sonlu

sayıda sı¸crama s¨ureksizli˘gi dı¸sında her sonlu (0, T ) aralı˘gında s¨urekli ise fonksiy-ona [0, ∞) aralı˘gında par¸ca par¸ca s¨urekli fonksiyondur denir.

(5)

x y

S¸ekil 7.1: Sı¸crama S¨ureksizli˘gi

Par¸ca par¸ca s¨urekli bir fonksiyonu bir aralık ¨uzerinde integre etmek i¸cin s¨urekli oldu˘gu altaralıklarda integre edip toplamak yeterli olacaktır. Par¸ca par¸ca s¨urekli bir fonksiyon integre edilebilir. Analizden bilinen bu sonucu kullnarak a¸sa˘gıdaki teoremi ifade edebiliriz.

Laplace D¨on¨u¸s¨um¨u ˙I¸cin Varlık Teoremi:

Teorem 7.4 E˘ger f (t) fonksiyonu [0, ∞) aralı˘gında par¸ca par¸ca s¨urekli ve α ¨ustel mertebeden ise, α > s i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u vardır ve mutlak yakınsar. Kanıt: f fonksiyonu par¸ca par¸ca s¨urekli oldu˘gundan [0, M ) sonlu aralı˘gı ¨ uze-rinde sınırlı olur ve Z 0 e−stf (t) dt = t0 Z 0 e−stf (t) dt + Z t0 e−stf (t) dt

yazarak Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un yakınsaklı˘gını yukarıdaki ikinci integralin yakın-saklı˘gına indirgemi¸s oluruz. Varsayımdan f ¨ustel merdebeden oldu˘gundan

| Z t0 e−stf (t) dt| ≤ Z t0 e−st|f (t)| dt ≤ M Z t0 e−(s−α)tdt = lim τ →∞ −M s − αe −(s−α)t¯¯¯τ t0

(6)

Varlık teoremi bir yeter ko¸suldur. Yani teoremin varsayımları ger¸ceklen-di˘ginde teorem Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un varlı˘gını garantiler. Ancak tersi do˘gru de˘gildir. Yani gerek ko¸sul de˘gildir. Varsayımların ger¸ceklenmemesi durumunda Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u var olabilir veya olmayabilir.

¨

Ornek 7.1 t > 0 ve negatif olmayan tamsayı n i¸cin L{tn} d¨on¨u¸s¨um¨un¨un var

oldu˘gunu g¨osterin? Herhangibir α > 0 i¸cin eαt= X r=0 αntn n! tn n! e¸sitsizli˘gi tn ≤ n!eαt

olarak yazılabildi˘ginden tn ustel mertebeden bir fonksiyondur, o halde Laplace¨

d¨on¨u¸s¨um¨u vardır. ¨

Ornek 7.2 L{tncos at} ve L{tncos at} d¨on¨u¸s¨umlerinin var oldu˘gunu g¨osterin?

| sin at| ≤ 1 ve | cos at| ≤ 1 oldu˘gundan verilen fonksiyonlar ¨ustel mertebeden olur. Varlık teoreminden d¨on¨u¸s¨umlerin tanımlı oldu˘gu ¸cıkar.

7.2

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

un¨

un ¨

Ozelikleri

1.) Lineerlik ¨Ozeli˘gi

E˘ger L{f (t)} = F (s) ve L{g(t)} = G(s) ise

L{f (t) + g(t)} = L{f (t)} + L{g(t)} = F (s) + G(s) (7.2) ba˘gıntısı ge¸cerlidir. Yani, Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u lineer bir operat¨ord¨ur. Bu sonu¸c Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tanımından hemen ¸cıkar.

2.) Birinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi

L{f (t)} = F (s) ise L{eatf (t)} = F (s + a) dir.

Ger¸cekten, tanımdan L{eatf (t)} = Z 0 e−steatf (t) dt = Z 0 e−(s−a)tf (t) dt = F (s − a). (7.3)

(7)

3.) ˙Ikinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi

t = a noktasında sı¸crama s¨ureksizli˘gi olan birim basamak fonksiyonu u(t − a) =

½

1, t ≥ a 0, t < a

ile tanımlanır. L{f (t)} = F (s) ise L{f (t − a)u(t − a)} = easF (s), a ≥ 0 dir.

Yine tanımdan L{f (t − a)u(t − a)} = Z 0 e−stf (t − a)u(t − a) dt = Z a e−stf (t − a) dt

yazılır ve son integralde τ = t − a d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa L{f (t − a)u(t − a)} = e−as

Z

0

e−sτf (τ ) dτ = e−asL{f (t)} (7.4)

¸cıkar. Ne yazık ki f (t+a)u(t+a), a ≥ 0 i¸cin benzer simetrik bir ba˘gıntı yoktur. 4.) ¨Ol¸cek De˘gi¸sim ¨Ozeli˘gi (Benzerlik Teoremi)

L{f (t)} = F (s) ise L{f (at)} = 1 aF ( s a) (7.5) yazılabilir. Tanımdan L{f (at)} = Z 0 e−stf (at) dt

yazıp integralde τ = at d¨on¨u¸s¨um¨u yaparsak ¨ol¸cek ¨ozeli˘gini hemen elde ederiz. 5.) G¨or¨unt¨u Fonksiyonun T¨uretilmesi

E˘ger L{f (t)} = F (s) ise

L{tf (t)} = −F0(s)

dir.

Bu kuralı g¨ormek i¸cin F (s) fonksiyonunu s e g¨ore t¨uretmek ve Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un tanımını g¨oz ¨on¨une almak yeterlidir:

dF (s) ds = − Z 0 e−sttf (t) dt = −L{tf (t)}.

(8)

T¨uretme i¸slemini n kez yineleyerek g¨or¨unt¨u fonksiyonun n. t¨urevi ile i¸saret farkıyla tnf (t) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u arasındaki ¸su il¸skiyi elde

e-deriz:

dnF (s)

dsn = (−1)

nL{tnf (t)}. (7.6)

6.) G¨or¨unt¨u Fonksiyonun ˙Integre Edilmesi

L{f (t)} = F (s) ise bu kez F (s) fonksiyonunun integrali i¸cin ilgin¸c bir kural ¸cıkaraca˘gız. Bu kural ¸s¨oyle ifade edilir:

L{f (t) t } =

Z

s

F (u) du. (7.7)

Bunu g¨ormek i¸cin F (u) integrandı yerine tanımı yazılır: Z s F (u) du = Z s ³Z 0 e−utf (t) dt ´ du. Bu ba˘gıntının sa˘gındaki integrasyonun sırası de˘gi¸stirilirse

Z s F (u) du = Z 0 f (t) ³Z s e−utdu´dt = Z 0 e−st³1 t £ e−ut¤ u=s ´ dt = Z 0 e−stf (t) t dt elde ederiz.

7.) Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un limit bi¸cimi

E˘ger F (s) bir f (t) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u ise lim

s→∞F (s) = 0

dır. Ger¸cekten, f (t) ¨ustel mertebeden ise |F (s)| ≤ Z 0 e−st|f (t)| dt ≤ M Z 0 e−(s−α)tdt = M s − α, s > α yazılabilir. O halde lim s→∞|F (s)| = 0 s→∞lim F (s) = 0 dir.

(9)

7.3

Bazı Elemanter Fonksiyonların

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

umleri

¨

Ornek 7.3 f (t) = etolsun. L{et} yi hesaplayalım.

L{et} = Z 0 e−stetdt = Z 0 e−(s−1)tdt

yazılırsa sa˘gdaki integralin de˘geri s > 1 i¸cin yakınsar ve limit i¸slemi ile lim M →∞ −1 (s − 1)[e −(s−1)t]M 0 = 1 s − 1 bulunur. O halde L{et} = 1 s − 1, s > 1 dir. ¨

Ol¸cek kuralını kullanarak L{eat} = 1 a 1 s − 1 ¯ ¯ ¯ s→s/a= 1 s − a, s > a (7.8)

form¨ul¨un¨u buluruz. ¨

Ornek 7.4 L{tα} Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplayın.

Genel olarak reel bir α i¸cin L{tα} =

Z 0

e−sttαdt = Γ(α + 1)

integralinde st = τ d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa integral Γ fonksiyonu ile ifade edilebilir: L{tα} = 1 sα+1 Z 0 e−τταdτ = Γ(α + 1) sα+1 , α > −1, s > 0. ¨

Ozel olarak α = n ∈ Z≥0 ise Γ(α) = Γ(n) = (n − 1)! dir ve

L{tn} = n!

(10)

yazabiliriz. ¨Orne˘gin, L{1} = 1 s, L{t} = 1 s2, L{t 2} = 2 s3. ¨ Oteleme teoreminden

L{u(t − a)} = e−asL{1} = e−as

s dir. α = −1/2 i¸cin Γ(α + 1) = Γ(1 2) = π de˘geri kullanılırsa L{t−1/2} = r π s

¸cıkar. f (t) = t−1/2fonksiyonu i¸cin 7.4 teoreminin ko¸sulları sa˘glanmadı˘gı halde,

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un var oldu˘guna dikkat ediniz. Genel olarak n = 1, 2, . . . i¸cin

L{tn−1 2} = Γ(n + 1 2) s(n+1 2) =√π (2n)! 22nn! s −n−1 2, s > 0 (7.9)

d¨on¨u¸s¨um¨u ge¸cerlidir. ¨

Ornek 7.5 L{sinh at} Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplayın. Linerlik ¨ozeli˘gi ve (7.8) form¨ul¨u ile

L{sinh at} = 1 2(L{e at} − L{e−at}) = 1 2 ³ 1 s − a+ 1 s + a ´ = 1 s2− a2, s > |a| ¸cıkar. Benzer olarak

L{cosh at} = s

s2− a2, s > |a| dir.

S¸imdi trigonometrik fonksiyonların Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini hesaplayalım. ¨

Ornek 7.6

L{cos at} =? ve L{sin at} =?

F (s) = L{cos t} ve G(s) = L{sin t} = olsun. Tanımdan kısmi integrasyon ile F (s) = Z 0 e−st cos t dt =£e−stsin t¤ 0 + s Z 0 e−stsin t dt = sG(s)

(11)

ve

G(s) =

Z 0

e−st sin t dt =£−e−stcos t¤

0 − s

Z 0

e−st cos t dt = 1 − sF (s)

bulunur. Bu iki e¸sitlik F (s) ve G(s) i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse hemen L{cos t} = s

s2+ 1, L{sin t} = 1 s2+ 1 bulunur. Son olarak ¨ol¸cek kuralı ile

L{cos at} = s

s2+ a2, L{sin at} = a s2+ a2 ¸cıkar. Ayrıca, birinci ¨oteleme kuralı ile

L{eatcos bt} = s − a

(s − a)2+ b2, L{e

atsin bt} = b

(s − a)2+ b2 d¨on¨u¸s¨um form¨ullerini buluruz.

¨

Ornek 7.7 L{t sin at} =?

L{t sin at} = −d dsL{sin at} = − d ds a s2+ a2 = 2as s2+ a2. Genel olarak,

L{tnsin at}, L{tncos at} d¨on¨u¸s¨umlerini hesaplamak i¸cin

h(t) = tneiat (7.10)

fonksiyonunu d¨u¸s¨unelim.

H(s) = L{h(t)} = (−1)n dn dsn 1 s − ia = n! (s − ia)n+1 = n!(s2+ a2)−(n+1)(s + ia)n+1

d¨on¨u¸s¨um¨unde

s + ia = Reiφ, R =ps2+ a2, tan φ = a s

(12)

kutupsal g¨osterimini kullanır ve H(s) nin reel ve sanal par¸calarını ayırırsak L{tncos at} = n! Rn+1cos(n + 1)φ

(s2+ a2)n+1,

L{tnsin at} = n! Rn+1 sin(n + 1)φ (s2+ a2)n+1

d¨on¨u¸s¨um form¨ullerini ¸cıkarmı¸s oluruz. ¨Orne˘gin n = 1 i¸cin cos 2φ = s 2− a2 s2+ a2, sin 2φ = 2as s2+ a2 ba˘gıntıları yardımıyla L{t cos at} = s 2− a2 s2+ a2, L{t sin at} = 2as s2+ a2 buluruz. n = 2 i¸cin L{t2cos at} = 2s(s2− 3a2) (s2+ a2)3 , L{t

2sin at} = 2a(3s2− a2) (s2+ a2)3 . ¨ Ornek 7.8 L{sin at t } =? L{sin at t } = Z s a du u2+ a2 = arctan u a ¯ ¯ ¯ s = π 2 − arctan s a = arctan a s. Bu d¨on¨u¸s¨umde s → 0+limitine ge¸cerek yan ¨ur¨un olarak

lim s→0L{ sin at t } = Z 0 sin at t dt = lims→0arctan a s = π 2 integralinin de˘gerini bulmu¸s oluruz.

¨

Ornek 7.9

L{sin 2t t } =? (7.7) form¨ul¨unden

L{sin 2t t } = L{ 1 − cos 2t 2t } = 1 2 Z 0 ³ 1 u− u u2+ 4 ´ du = 1 2ln u u2+ 4| s = 1 4ln ³ 1 + 4 s2 ´

(13)

¨

Ornek 7.10 L{sinh(2√t)} =?

Fonksiyonun seri a¸cılımının terim terim Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alınır ve (7.9) kul-lanılırsa L{(sinh(2√t)} = L{ X n=0 22n+1tn+1 2 (2n + 1)! } = X n=0 22n+1 (2n + 1)!L{t n+1 2} = √πs−3 2 X n=0 1 n! 1 sn = πs−3 2e1/s.

7.3.1

Periodik Fonksiyonların D¨

on¨

u¸s¨

umleri

f (t) τ periyodlu bir fonksiyon, yani

f (t + τ ) = f (t), t ≥ 0

ise L{f (t)} hesaplamak i¸cin (7.1) d¨on¨u¸s¨um tanımınında yarı sonsuz integrasyon aralı˘gını alt aralıklara b¨olerek yazalım:

L{f (t)} = Z τ 0 e−stf (t) dt + Z τ e−stf (t) dt + Z e−stf (t) dt + · · · = X n=0 Z (n+1)τ e−stf (t) dt.

Yukarıdaki integralde t = u + nτ d¨on¨u¸s¨um¨u yapar ve periodik fonksiyon i¸cin f (u + nτ ) = f (u), n = 1, 2, . . . e¸sitli˘gini dikkate alırsak

L{f (t)} =³ X n=0 e−sτ n´ Z τ 0 e−suf (u) du = 1 1 − e−sτ Z τ 0 e−suf (u) du (7.11)

buluruz. Yukarıdaki toplamın sonsuz geometrik bir serinin toplamı olarak he-saplandı˘gına dikkat edin.

¨ Ornek 7.11 f (t) = | sin t| = ½ sin t sin t ≥ 0 − sin t sin t < 0 , τ = 2π do˘grultulmu¸s sin¨us dalga fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u. τ = π dir. (7.11) form¨ul¨unden

L{| sin t|} = 1 1 − e−πs

Z π

0

(14)

olur. Z π

0

e−susin u du = 1 + e−πs

1 + s2 integral de˘geri kullanılırsa

L{| sin t|} = 1 + e−πs 1 − e−πs(1 + s

2)−1= coth(πs/2)(1 + s2)−1

d¨on¨u¸s¨um¨u bulunur.

7.3.2

urevlerin D¨

on¨

u¸s¨

umleri

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un diferansiyel denklemlere uygulamalarında bir fonksi-yonun t¨urevinin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u form¨ul¨une gerek duyaca˘gız. Kısmi inte-grasyon ile bir kez integre ederek

L{f0(t)} = [f (t)e−st] 0 + s Z 0 e−stf (t) dt

yazabiliriz. f (t) nin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un varlı˘gı i¸cin bir gerek ko¸sul lim

t→∞e

−stf (t) = 0

olmasıdır. O halde, t > 0 i¸cin f (t) yi s¨urekli varsayarsak

L{f0(t)} = sL{f (t)} − f (0) = sF (s) − f (0) (7.12)

d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨u ¸cıkar. Bu i¸sleme devam edersek s¨urekli t¨uretilebilen bie f (t) i¸cin

L{f00(t)} = s2L{f00(t)} − sf (0) − f0(0) (7.13)

oldu˘gunu g¨orebiliriz.

Genelle¸stirme: t ≥ 0 i¸cin f , f0, · · · f(n−1) urekli ve t > 0 i¸cin f(n) par¸ca par¸ca s¨urekli ve ¨ustel mertebeden ise, t¨umevarım ile

L{f(n)(t)} = snL{fn(t)} − sn−1f (0) − sn−2f0(0) − . . . − f(n−1)(0) (7.14) oldu˘gu g¨osterilebilir.

E˘ger f (t) fonksiyonu reel eksen ¨uzerinde yalnızca par¸ca par¸ca s¨urekli ise, yukarıdaki form¨ul¨un de˘gi¸stirilmesi gerekir. ¨Orne˘gin f (t) nin t = a da sonlu bir sı¸crama s¨ureksizli˘gi varsa

L{f0(t)} = Z a 0 e−stf0(t) dt + Z a+ e−stf0(t) dt

(15)

= [f (t)e−st]a− 0 + s Z a− 0 e−stf (t) dt + [f (t)e−st] a++ s Z a+ e−stf (t) dt

ve f (t) nin a daki sı¸cramasının uzunlu˘gunu

[f (t)]a= f (a+) − f (a−)

ile g¨osterirsek

L{f0(t)} = sL{f (t)} − f (0) − e−as[f (t)]

a (7.15)

buluruz.

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un kısmi diferansiyel denklemlere uygulamalrında hem uzay hem de zaman de˘gi¸skenlerine ba˘glı ¸cok de˘gi¸skenli fonksiyonların kısmi t¨urevlerinin d¨on¨u¸s¨umlerini bilmemiz gerekir. Orne˘gin iki de˘gi¸skenli f (x, t)¨ fonksiyonu i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tanıma g¨ore

L{∂f (x, t)

∂t } = sF (x, s) − f0(x) yazılabilir. Burada,

F (x, s) = L{f (x, t)}, f0(x) = f (x, 0) olarak tanımlanmı¸stır. Genel olarak,

L{∂ nf (x, t) ∂tn } = s nF (x, s) − n X r=0 sn−r−1fr(x), fr(x) = rf (x, t) ∂tr |t=0

ge¸cerlidir. Zaman de˘gi¸skenine g¨ore t¨urevleri i¸cermeyen kısmi t¨urevler i¸cin L{∂ nf (x, t) ∂xn } = ∂n ∂xnL{f (x, t)} = ∂n ∂xnF (x, s)

olacaktır. C¸ ¨unki bu durumda x e g¨ore kısmi t¨urevlerle t ye g¨ore integral yerde˘gi¸stirir. Karma¸sık t¨urevler i¸cin, ¨orne˘gin

L{∂ 2f (x, t) ∂x∂t } = ∂xL{ ∂f ∂t} = s ∂F (x, s) ∂x ∂f0 ∂x dir. ¨ Ornek 7.12 L{sin 2t t2 } =?

(16)

f (t) = sin 2t

t , f (0) = 0 fonksiyonunu d¨u¸s¨unelim.

f0(t) = sin 2t

t

sin2t t2 t¨urevinin d¨on¨u¸s¨um¨unden ve ¨ornek 7.8-7.9 dan

L{sin 2t t2 } = L{ sin 2t t } − sF (s) = arctan 2 s− s 4ln ³ 1 + 4 s2 ´

buluruz. Bu d¨on¨u¸s¨umden yine s → 0+ limitine ge¸cerek a¸sa˘gıdaki integralin de˘gerini hesaplamı¸s oluruz:

Z 0 sin2t t2 dt = π 2. S¸imdi g(t) = Z t 0 f (u) du, g(0) = 0

integrali ile tanımlanan fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmak istiyoruz. ˙Integral hesabın temel teoremine g¨ore g0(t) = f (t) yazılabilir. F (s) = L{f (t)}

ve G(s) = L{g(t)} olsun. Bu e¸sitli˘gin her iki yanın Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alarak sG(s) = F (s) veya G(s) = F (s) s elde ederiz. ¨ Ornek 7.13 I(a, b) = Z 0 e−a2u2−b2u−2 du, I(a, 0) = π 2a integralini hesaplayarak L{t−1/2e−b2/t

} d¨on¨u¸s¨um¨un¨u elde ediniz. I(a, b) integralinde ξ = au d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa

I(a, b) = 1 a Z 0 e−ξ2−a2v2ξ−2dξ = 1 aI(1, ab) buluruz. Iburevinde η = bu−1 d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa

Ib = −2b Z 0 e−a2u2−b2u−2 du u2 = −2 Z 0 e−η2−a2b2η−2 dη = −2I(1, ab)

(17)

bulunur. Bu iki ba˘gıntı arasında I(1, ab) yi yok edersek I(a, b) fonksiyonu Ib+ 2aI = 0 diferansiyel denklemini sa˘glar. ˙Integre eder ve I(a, 0) =

π/2a ko¸sulunu kullanırsak

I(a, b) = I(a, 0)e−2ab=

π 2ae

−2ab

buluruz. I(a, b) integralinde a2= s se¸cilir ve u2= t d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa L{t−1/2e−b2/t } = r π se −2b√s (7.16)

d¨on¨u¸s¨um¨u bulunur. Ayrıca, bunun her iki yanını b parametresine g¨ore t¨uretirsek L{∂ ∂bt −1/2e−b2/t } = −2√πe−2b√s L{t−3/2e−b2/t } = π b e −2b√s (7.17) d¨on¨u¸s¨um¨un¨u buluruz. b = 1/2 i¸cin

L{t−3/2e−1/4t} = 2√πe−√s (7.18) d¸cn¨u¸s¨um form¨ul¨u ¸cıkar. Bu d¨on¨u¸s¨umden

L{ 1 2√π Z t 0 u−3/2e−1/4udu} =e− s s bulunur. Yukarıdaki integralde v2= 1/4u d¨on¨u¸s¨um¨u yaparak

erfc (t) = 2 π Z t e−v2 dv

ile tanımlanan tamamlayıcı hata fonksiyonu t¨ur¨unden ¸s¨oyle ifade edebiliriz: L{erfc ( 1

2√t)} = e−√s

s . (7.19)

7.3.3

Bessel Fonksiyonlarının D¨

on¨

u¸s¨

umleri

Bessel fonksiyonları sonsuz serilerle tanımlandı˘gından terim terim Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alarak d¨on¨u¸s¨um form¨ullerini ¸cıkarmak olduk¸ca elveri¸sli bir yakla¸sımdır. Ger¸cekten, ¨orne˘gin

L{tn/2J n(2

t)} d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplamak i¸cin

tn/2J n(2 t) = X r=0 (−1)rtn+r r!Γ(n + r + 1)

(18)

e¸sitli˘ginin her iki yanının terim terim Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alırsak s > 0 i¸cin L{tn/2J n(2 t)} = X r=0 (−1)r r!Γ(n + r + 1)L{t n+r}

buluruz. Di˘ger yandan,

L{tn+r} = Γ(n + r + 1)

sn+r+1

form¨ul¨u ile

L{tn/2J n(2 t)} = 1 sn+1 X r=0 (−1)r r! ( 1 s) r= 1 sn+1e 1 s

d¨on¨u¸s¨um¨une ula¸sırız. ¨Ozel olarak, n = 0 i¸cin L{J0(2 t)} = 1 se 1 s (7.20) olur.

Benzer bi¸cimde, J0(t) fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u i¸cin seri y¨ontemi uygulayabiliriz. Ancak, bunun yerine diferansiyel denklem y¨ontemini uygula-mak istiyoruz. Bu y¨ontemde genel olarak fonksiyonların sa˘gladıkları diferansi-yel denklemlerin Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini alarak bu fonksiyonların d¨on¨u¸s¨umlerini ¸cıkarırız. y(t) = J0(t), y(0) = 1 fonksiyonunun

ty00(t) + y0(t) + ty(t) = 0

diferansiyel denklemini sa˘gladı˘gını biliyoruz. Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alıp L{y(t)} = Y (s) yazarsak

−d ds[s

2Y (s) − sy(0) − y0(0)] + sY (s) − y(0) − d

dsY (s) = 0

veya sadele¸stirerek Y (s) d¨on¨u¸s¨um fonksiyonunun sa˘gladı˘gı 1. mertebe lineer (homojen)

(s2+ 1)dY (s)

ds + sY (s) = 0

diferansiyel denklemini buluruz. De˘gi¸skenlerini ayırır, integre edersek dY

Y = −

s ds

s2+ 1 Y (s) = c(s

(19)

buluruz. c integrasyon sabitini belirlemek i¸cin ba¸slangı¸c-de˘ger teoreminden yararlanalım:

lim

s→∞sY (s) = limt→0y(t) = y(0) = 1 c = 1.

Sonu¸c olarak, L{J0(t)} = (s2+ 1)−1/2 veya ¨ol¸cek de˘gi¸sim kuralı ile

L{J0(at)} = (s2+ a2)−1/2 (7.21) buluruz.

7.3.4

˙Impuls veya Delta Fonksiyonu

S¸imdi yalnızca fiziksel problemlerde anlamlı olabilecek bir fonksiyon ¨uretmek istiyoruz. Bu ama¸cla, δ²(t − t0) =    1 2², |t − t0| ≤ ² 0 |t − t0| > ² (7.22) ile tanımlanan bir fonksiyon d¨u¸s¨unelim. Bu fonksiyonnun b¨ut¨un reel eksen ¨ uzerinde integrali Z −∞ δ²(t − t0) dt = Z ² −² 1 2²dt = 1

dir. Birim impuls fonksiyonu δ²(t − t0) nin ² → 0 i¸cin limiti olarak tanımlanır:

δ(t − t0) = lim

²→0δ²(t − t0) =

(

∞, t = t0 0, t 6= t0 Bu limite bazen delta fonksiyonu da denir. Ayrıca,

Z

−∞

δ(t − t0) dt = 1

¨ozeli˘gine sahip olur. Bu limit i¸slemi ile tanımlanan δ(t − t0) fonksiyonu klasik anlamda 1 bir fonksiyon de˘gildir. Ancak, fiziksel olarak ¸cok kısa bir zaman aralı˘gında aniden uygulanan yo˘gunla¸smı¸s yani, ¸siddeti ¸cok b¨uy¨uk olan bir etkinin bi¸cimsel g¨osterilimi olarak yorumlayabiliriz. ¨Orne˘gin, ¸sim¸sek ¸carptı˘gında elektri˘gin bo¸salması, iki bilardo topunun elastik ¸carpı¸sması gibi. Bu fonksiyon

1Bildi˘gimiz hi¸c bir fonksiyon bu bi¸cimde davranmaz. Reel eksen ¨uzerinde bir nokta

dı¸sında heryerde sıfır, ancak Riemann integrali sıfırdan farklı bir fonksiyon olamaz. Bu t¨ur fonksiyonlar matematiksel bir tabana oturtulmu¸stur ve genelle¸stirilmi¸s fonksiyonlar veya distrib¨usyon’lar olarak bilinirler.

(20)

ilk kez ˙Ingiliz fizik¸ci Dirac tarafından kuvantum mekani˘ginde kullanılmı¸stır. δ(t − t0) fonksiyonun eleme ¨ozeli˘gi diye bilinen bir ¨ozeli˘ge sahiptir. Bu ¨ozelik ¸s¨oyle ifade edilir: Z

−∞

δ(t − t0)f (t) dt = f (t0).

Bu e¸sitli˘gi ¸cıkarmak i¸cin δ²(t − t0) fonksiyonunun tanımı kullanılır ve sonra limite ge¸cilir.

δ²(t − t0) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplamak i¸cin, t0 > 0 varsayıp, birim basamak fonksiyonu ile ifade edelim ve d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alalım.

L{δ²(t − t0)} = 1 2²L{u(t − (t0− ²)) − u(t − (t0+ ²))} = e−(t0−²)s− e−(t0+²)s = e −t0ssinh ²s ²s . Limite ge¸cilirse (L’Hospital kuralını kullanarak)

L{δ(t − t0)} = e−t0slim

²→0

sinh ²s ²s = e

−t0s (7.23)

bulunur. ¨Ozel olarak, t0= 0 i¸cin L{δ(t)} = 1 buluruz.

7.3.5

Ba¸slangı¸c ve Son-De˘

ger Teoremleri

Teorem 7.5 (Ba¸slangı¸c-De˘ger Teoremi) f (t) t > 0 i¸cin s¨urekli ve ¨ustel mer-tebden, f0(t) t ≥ 0 i¸cin par¸ca par¸ca s¨urekli olsun. O zaman

f (0+) = lim

t→0+f (t) = lims→∞sF (s).

Kanıt: Laplace d¨on¨u¸s¨umlerinin genel ¨ozeli˘ginden s → ∞ i¸cin G(s) = L{f0(t)} =

sF (s) − f (0+) fonksiyonu sıfıra gider. O halde lim

s→∞G(s) = lims→∞(sF (s) − f (0

+)) = 0

limitine ge¸cilirse teorem kanıtlanmı¸s olur.

Teorem 7.6 (Son-De˘ger Teoremi) f ba¸slangı¸c-de˘ger teoreminin ko¸sullarını sa˘glıyorsa ve limt→∞f (t) varsa

lim

t→∞f (t) = lims→0sF (s)

(21)

Kanıt: f fonksiyonu sınırlı oldu˘gundan α = 0 mertebeden bir fonksiyondur. T¨urev d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨unden

G(s) = L{f0(t)} = sF (s) − f (0+), s > 0

dir. Limite ge¸cerek

lim s→0G(s) = lims→0(sF (s) − f (0 +)) (7.24) yazabiliriz. Ayrıca, lim s→0G(s) = lims→0 Z 0 e−stf0(t) dt = Z 0 f0(t) dt.

Yukarıda limitin integral i¸cine ge¸cebildi˘gine dikkat edin (?). Z 0 f0(t) dt = lim τ →∞ Z τ 0 f0(t) dt = lim τ →∞[f (τ ) − f (0 +)] (7.25)

yazılabilir. Sonu¸c olarak, (7.24) ve (7.25) sonu¸cları kar¸sıla¸stırılırsa lim

t→∞f (t) = lims→0sF (s)

elde ederiz.

C

¸ ¨

oz¨

ulecek Problemler

1. A¸sa˘gıdaki fonksiyonların Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini bulunuz. a) e−tt sin 2t b) cos2t c) sin 2√t d) cos t t e) erf (√t) f ) Z t 0 sinh au du g) I0(t) h) cos at − cos bt t i) e2t(t − 1)u(t − 1) j) eat− ebt t

(22)

7.3.6

Ters Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

u

E˘ger F (s) = L{f (t)} ise f (t) fonksiyonuna F (s) g¨or¨unt¨u fonksiyonun ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u adı verilir ve

f (t) = L−1{F (s)}

yazılır. Ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u de lineer bir i¸slemdir, yani f (t) = L−1{F (s)}

ve g(t) = L−1{G(s)} ise

L−1{F (s) + G(s)} = L−1{F (s)} + L−1{G(s)} = f (t) + g(t)

dir. Bi¸cimsel olarak

LL−1= L−1L = 1l yazılabilir. Burada 1l birim operat¨or¨u g¨ostermektedir.

Ters D¨on¨u¸s¨um¨un Tekli˘gi: A¸sa˘gıdaki teorem bir F (s) fonksiyonunun ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u garanti eder. Teoremin kanıtı daha ileri kitaplarda bulunabilir. Teorem 7.7 Lerch Teoremi:

Bir F (s) fonksiyonu verildi˘ginde, Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u F (s) olan t ≥ 0 i¸cin tanımlı en ¸cok bir s¨urekli f (t) fonksiyonu vardır.

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u i¸cin verilen ¨ozeliklere ters d¨on¨u¸s¨um operat¨or¨u uygula-yarak a¸sa˘gıdaki kuralları hemen yazabiliriz:

¨

Ol¸cek De˘gi¸sim ¨Ozeli˘gi: L−1{F (s)} = f (t) ise

L−1{F (as)} = 1

af ( t a). Birinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi:

L−1{F (s − a)} = eatL−1{F (s)} = eatf (t).

˙Ikinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi:

L−1{e−asF (s)} = f (t − a)u(t − a) =

½

f (t − a), t ≥ a 0, t < a . T¨urevlerin Ters D¨on¨u¸s¨umleri:

L−1{F(n)(s)} = (−1)ntnL−1{F (s)} = (−1)ntnf (t).

Bir fonksiyonun ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmak i¸cin ¸ce¸sitli y¨ontemler uygulanabilir. ¨Orneklerle bu y¨ontemleri g¨ozden ge¸cirelim.

(23)

¨ Ornek 7.14 L−1{ 1 (s − a)n}, n ≥ 1. L−1{ 1 (s − a)n} = e atL−1{ 1 sn} = e at tn−1 (n − 1)!.

Kesirli ¨ustler i¸cin faktoriyel yerine Gamma fonksiyonu kullanılmalıdır. ¨Orne˘gin, L−1{√1 s} = r t π. ¨

Oteleme form¨ul¨u ile L−1{√ 1 as + b} = 1 ae −b aL−1{s−1/2} = e−ba r t bulunur. ¨ Ornek 7.15 L−1{ln³1 + 1 s2 ´ } =? F (s) = ln³1 + 1 s2 ´

fonksiyonunun t¨urevinin ters d¨on¨u¸s¨um¨u L−1{F0(s)} = L−1{ 2s s2+ 1 2 s} = 2(cos t − 1) ile L−1{F0(s)} = −tf (t) ba˘gıntısı f (t) = L−1{F (s)} = 2(1 − cos t) t sonucunu verir. ¨ Ornek 7.16 L−1{ s + 1 s2− 2as + a2+ b2} =? s + 1 s2− 2as + a2+ b2 = (s − a) + a + 1 (s − a)2+ b2 yazar ve ters d¨on¨u¸s¨um¨un lineerli˘gi kullanılırsa

L−1{ s + 1 s2− 2as + a2+ b2} = L −1{ s − a (s − a)2+ b2} + L −1{ a + 1 (s − a)2+ b2} = eat[cos bt + a + 1 b sin bt] bulunur.

(24)

7.3.7

Kısmi Kesirler Y¨

ontemi

Sabit katsayılı linear diferansiyel denklemlere uygulamalarda rasyonel bir fonk-siyonun ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u belirleme problemiyle kar¸sıla¸sırız:

L−1{F (s)} = L−1{N (s)

D(s)} =? Burada N (s) ve D(s)

N (s) = aksk+ ak−1sk−1+ · · · + a0 D(s) = bnsn+ bn−1sn−1+ · · · + b0

bi¸ciminde polinomlardır. F (s) ger¸cek bir fonksiyonun ters d¨on¨u¸s¨um¨u olacaksa, lims→∞F (s) = 0 olmalı, bunun i¸cin de k < n ko¸sulu sa˘glanmalıdır. Bir ba¸ska

deyi¸sle F (s) bir ¨oz rasyonel fonksiyon olmalıdır. Bundan b¨oyle, payın dere-cesinin paydanın derecesinden k¨u¸c¨uk oldu˘gunu varsayaca˘gız. D(s) in

D(s) = D1(s)D2(s)

bi¸ciminde ¸carpanlara ayrılabildi˘gini varsayalım. F (s) fonksiyonunu N (s) D(s) = N1(s) D1(s)+ N2(s) D2(s)

olacak bi¸cimde iki kesrin toplamı olarak yazabiliriz. Burada, N1 ve N2 nin dereceleri D1 ve D2 nin derecelerinden daha k¨u¸c¨ukt¨ur. N1 ve N2 polinom-larının belirlenmesi i¸cin genel bir y¨ontem verece˘giz.

Liner C¸ arpanlara Ayrı¸sım: Genelli˘gi bozmadan D(s) polinomunu normal-ize edebiliriz, yani bn = 1 alabiliriz.

D(s) =

n

Y

i=1

(s − si) = (s − s1)(s − s2) . . . (s − sn), si6= sj, i 6= j

bi¸ciminde lineer ¸carpanlara ayrılabiliyorsa N (s) D(s) = A1 s − s1 + A2 s − s2 + . . . + An s − sn

yazılabilir. Toplam notasyonu ile N (s) D(s) = n X j=1 Aj s − sj

(25)

dir. Aj katsayılarını belirlemek i¸cin bu e¸sitli˘gin her iki yanı s − sj ile ¸carpılır ve s → sj limiti alınır: Aj = lim s→sj (s − sj)N (s) D(s) = N (sj) lims→sj s − sj D(s) = N (sj) D0(sj).

Yukarıda ikinci limit i¸cin L’Hospital kuralını uyguladık.

Sonu¸c: (Heaviside A¸cılım Form¨ul¨u) D(s) = 0 polinom denkleminin bir-birinden farklı reel sıfırları (basit k¨okleri) s1, s2, . . . , sn ise

L−1{N (s) D(s)} = n X j=1 N (sj) D0(sj)L −1{ 1 s − sj} = n X j=1 N (sj) D0(sj)e sjt. (7.26) ¨ Ornek 7.17 L−1{ s2− 2s + 3 s3− 2s2− s + 2} =?

s3−2s2−s+2 = (s+1)(s−1)(s−2) bi¸ciminde liner ¸carpanlara ayrılabildi˘ginden, basit kesirlere L−1{ s 2− 2s + 3 s3− 2s2− s + 2} = A s + 1+ B s − 1+ C s − 2

yazılabilir. A yı belirlemek i¸cin s + 1 ile ¸carpalım ve s yerine −1 yazalım: A = s 2− 2s + 3 (s − 1)(s − 2) ¯ ¯ ¯ s=−1= 1.

Di˘ger sabitler B = −1, C = 1 olarak bulunur. O halde, ters d¨on¨u¸s¨um L−1{ s2− 2s + 3

s3− 2s2− s + 2} = e

−t− et+ e2t

olur.

Katlı Lineer C¸ arpanlar: D(s) polinomunun reel bir sıfırı m katlı ise D(s) = (s − a)mD

2(s)

yazılabilir. Bu durumda F (s) kesrini basit iki kesrin toplamı olarak ifade ede-biliriz: N (s) D(s) = N1(s) (s − a)m+ N2(s) D2(s). Birinci kesir basit kesirlere ayrı¸stırılabilir:

N1(s) (s − a)m = m−1X j=0 Aj (s − a)m−j.

(26)

Aj katsayılarını belirlemek i¸cin F (s) nin her iki yanını (s − a)mile ¸carpalım: N (s) D2(s)= A0+ A1(s − a) + A2(s − a) 2+ . . . + A m−1(s − a)m+N2(s) D2(s)(s − a) m.

Bu e¸sitlik j kez t¨uretilir ve s → sj limitine ge¸cilirse Aj katsayıları

Aj= 1 j! dj dsj N (s) D2(s) ¯ ¯ ¯ s=a, j = 0, 1, 2, . . . , m − 1

form¨ul¨u ile bulunur. Aj katsayıları belirlenince

L−1{ N1(s) (s − a)m} = e at m−1X j=0 Aj t m−j−1 (m − j − 1)! ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplamı¸s oluruz.

¨ Ornek 7.18 L−1{ s2− 1 (s + 2)3(s2+ 1)} =? L−1{ s2− 1 (s + 2)3(s2+ 1)} = A1 (s + 2)3 + A2 (s + 2)2 + A3 (s + 2)+ Cs + D s2+ 1 ayrı¸sımı yapılır ve yukarıda verilen y¨ontem uygulanırsa sabitler

A1=3 5, A2= − 8 25, A3= − 22 125, C = 22 125, D = − 4 125 olarak belirlenir. Ters d¨on¨u¸s¨um

L−1{ s2− 1 (s + 2)3(s2+ 1)} = e −2t[ 3 10t 2 8 25t − 22 125] + 22 25cos t − 4 125sin t olacaktır.

Kuadratik C¸ arpanlar: Q(s) = (s − a)2+ b2, D(s) polinomunun kuadratik bir ¸carpanı olsun ve

D(s) = Q(s)D2(s) yazalım. Basit kesirlere ayrı¸stırarak

N (s) D(s) = As + B Q(s) + N2(s) D2(s) (7.27) yazabiliriz. Ters d¨on¨u¸s¨um¨un belirlenmesini kolayla¸stıracak bir ayrı¸sım

As + B Q(s) =

C(s − a) + Db Q(s)

(27)

yazmaktır. (7.27) ayrı¸sımının her iki yanı Q(s) ile ¸carpılır N (s) D2(s) = C(s − a) + bD +N2(s) D2(s) Q(s)

ve s yerine Q(s) = (s − s1)(s − ¯s1) = 0 denkleminin k¨ok¨u olan s1= s1= a + ib (veya e¸sleni˘gi) yazılırsa

N (a + ib) D2(a + ib)

= ibC + bD

buluruz. Sol yandaki kompleks sayıyı W ile g¨osterirsek C ve D katsayılarını C = 1

b ImW, D = 1 b ReW olarak elde ederiz ve ters d¨on¨u¸s¨um

L−1{C(s − a) + bD

(s − a)2+ b2 } = eat

b (ImW cos bt + ReW sin bt) = eat

b Im{W e

ibt}

olur. W kompleks sayısınının kutupsal g¨osterimi W = Zeiφ olsun. O zaman,

Im{W eibt} = Z Imei(bt+φ)= Z sin(bt + φ)

yazılabilir ki

L−1{C(s − a) + bD (s − a)2+ b2 } =

Z

b sin(bt + φ) ters d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨un¨u buluruz.

¨ Ornek 7.19 L−1{ 1 s4+ 4} =? L −1{ s s4+ 4} =? s4+ 4 = (s2+ 2)2− 4s2= (s2+ 2s + 2)(s2− 2s + 2) = [(s + 1)2+ 1][(s − 1)2+ 1] kuadratik ¸carpanlara ayrılabildi˘ginden

F (s) = L−1{ 1 s4+ 4} = A(s + 1) + B (s + 1)2+ 1 + C(s − 1) + D (s − 1)2+ 1

ayrı¸sımında e¸sitli˘gin her iki yanını ¨once Q1= (s + 1)2+ 1 ile sonra (s − 1)2+ 1 ile ¸carpıp sırasıyla s yerine s → −1 + i ve s → 1 + i yazarak belirsiz sabitler

(28)

olarak belirlenir. O halde ters d¨on¨u¸s¨um f (t) = L−1{F (s)} = 1 8e −t(cos t + sin t) +1 8e t(sin t − cos t) veya f (t) = L−1{F (s)} = 1

4(sin t cosh t − cos t sinh t)

bulunur. Ayrıca, ba¸slangı¸c-de˘ger teoreminden f (0) = 0 = lims→∞sF (s) dir ve

t¨urev d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨uyle L−1{ s

s4+ 4} = f

0(t) = 1

2sin t sinh t elde edilir.

Katlı Kuadratik C¸ arpanlar: Q(s) kuadrati˘gi D(s) polinomunda m kez g¨or¨ul¨uyorsa, yani

D(s) = [Q(s)]mD 2(s) ise ayrı¸sım N (s) D(s) = N1(s) Qm(s)+ N2(s) D2(s)

olur. Burada N1(s), (2m − 1). veya daha k¨u¸c¨uk dereceden bir polinomdur. Ayrıca, birinci kesir

N1(s) Qm(s) = C0(s − a) + bD0 Qm + C1(s − a) + bD1 Qm−1 + . . . + Cm−1(s − a) + bDm−1 Q

bi¸ciminde basit kesirlere ayrılarak yazılabilir. Cj, Dj, j = 0, 1, 2 . . . , m − 1

katsayılarını belirlemek i¸cin benzer bir yol izlenir. Katsayılar belirlendikten sonra

L−1{ 1

(s2+ a2)j}, L

−1{ s

(s2+ a2)j}, j = 2, 3, . . . m

bi¸ciminde ters d¨on¨u¸s¨umleri hesaplamamız gerekecek. Genel olarak, bir rek¨urans ba˘gıntısı ¨ureterek bu ters i¸slem yapılabilir. Ancak, a¸sa˘gıdaki ¨ornekte farklı bir yol izlenecektir. ¨ Ornek 7.20 L−1{ 1 (s2+ a2)2} =? L −1{ s (s2+ a2)2} =? L{sin at} = a s2+ a2

(29)

ba˘gıntısının her iki yanını a parametresine g¨ore t¨uretelim:

∂aL{sin at} = L{

∂asin at} = L{t cos at} = 1 s2+ a2

2a2 (s2+ a2)2. Her iki yana ters d¨on¨u¸s¨um uygulayarak

f (t) = L−1{ 1

(s2+ a2)2} = 1 2a2(

1

asin at − t cos at)

ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmu¸s oluruz. Bu sonu¸ctan yararlanarak ve f (0) = 0 oldu¨uunu dikkate alarak

L−1{ s

(s2+ a2)2} = f

0(t) = 1

2at sin at elde edilir.

7.3.8

Konvol¨

usyon ˙I¸slemi ve Teoremi

Tanım 7.8 f (t) ve g(t) fonksiyonlarının konvol¨usyonu (katlama)

t

Z 0

f (t − τ ) g(τ ) dτ

belirli integrali ile tanımlanır ve (f ∗ g)(t) sembol¨u ile g¨osterilir. Konvol¨usyon i¸cin a¸sa˘gıdaki ba˘gıntılar ge¸cerlidir:

1. f ∗ g = g ∗ f (Kom¨utatif)

2. f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h (Asosiyatif) 3. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h (Distrib¨utif)

4. (kf ∗ g) = (f ∗ kg) = k(f ∗ g), k ∈ R (Skaler ile ¸carpma) 5. (eatf ) ∗ (eatg) = eat(f ∗ g)

6. L{f ∗ g} = L{f }L{g} (Konvol¨usyon teoremi) 7.

d

dt(f ∗ g)(t) = f (0

(30)

8. F (s) = L{f (t)} ve G(s) = L{g(t)} ise L{d

dt(f ∗ g)(t)} = L{(f ∗ g)

0} = sF (s)G(s).

Bu ba˘gıntı Duhamel integrali olarak bilinir. Bu ba˘gıntıların bazılarını ger¸cekleyece˘giz:

1. f ∗ g integral tanımında u = t − τ d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa

f ∗ g = t Z 0 f (t − τ ) g(τ ) dτ = − Z 0 t f (u)g(t − u) du = Z t 0 g(t − τ )f (τ ) du = g ∗ f buluruz. 2. Tanımdan (f ∗ g) ∗ h = Z t 0 h(t − τ ) dτ Z τ 0 f (ξ)g(τ − ξ) dξ. ˙Integrasyonların sırasını de˘gi¸stirirsek bu e¸sitli˘gin sa˘g yanı

Z t 0 f (ξ) dξ Z t ξ g(τ − ξ)h(t − τ ) dτ

olarak yazılabilir. ˙I¸cteki integralde η = τ −ξ d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa, iki katlı integral Z t 0 f (ξ) dξ Z t−ξ 0 g(η)h(t − ξ − η) dη = Z t 0 f (ξ)(g ∗ h)(t − ξ) dξ = f ∗ (g ∗ h) olur ki bu da asosiyatiflik ¨ozeli˘gini ger¸cekler.

6. Konvol¨usyon Teoremi: Yine tanımdan L{f ∗ g} = Z 0 e−stdt t Z 0 f (τ ) g(t − τ ) dτ

(31)

yazabiliriz. ˙Integrasyonların sırasını de˘gi¸stirir ve i¸cteki integralde η = t − τ d¨on¨u¸s¨um¨u yaparsak

L{f ∗ g} = Z 0 f (τ ) dτ Z τ e−stg(t − τ ) dt = Z 0 f (τ )e−stdτ Z 0 e−sηg(η) dη = L{f (t)}L{g(t)} buluruz. Bu sonucu kullanarak L−1{F (s)G(s)} = (f ∗ g)(t) (7.28)

ters d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨un¨u ¸cıkarmı¸s oluruz. Bu form¨ul ters d¨on¨u¸s¨umlerin bulunmasında ¸cok ¨onemlidir. Daha sonra ¸ce¸sitli ¨ornekler verece˘giz. ¨Ozel olarak, g = f ise a¸sa˘gıdaki ba˘gıntıları elde ederiz:

L{(f ∗ f )(t)} = [F (s)]2, L−1{F (s)2} = (f ∗ f )(t).

Konvol¨usyon hesaplarken f ∗ g = g ∗ f yerde˘gi¸stirme ¨ozeli˘gini kullanmak yararlı olabilir. C¸ ¨unk¨u, bunlardan birini hesaplamak di˘gerine g¨ore daha kolay olabilir.

7. Bunun i¸cin Leibnitz t¨uretme form¨ul¨une g¨ore d dt(f ∗ g)(t) = d dt t Z 0 f (t − τ ) g(τ ) dτ = d dt t Z 0 f (τ ) g(t − τ ) dτ t¨urevlerini hesaplamak yeterlidir. ¨Ust sınır de˘gi¸sken oldu˘gu i¸cin bu teri-min t¨urevinden gelecek katkıya dikkat ediniz.

8. T¨urev d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨u ve (f ∗ g)(0) = 0 oldu˘gu g¨oz¨on¨unde tutulursa L{d

dt(f ∗ g)(t)} = sL{(f ∗ g)(t)} − (f ∗ g)(0) = sL{f (t)}L{g(t)} ¸cıkar.

3, 4 ve 5 numaralı ¨ozeliklerin ger¸ceklenmesi okuyucuya bırakılmı¸stır. C¸ e¸sitli ¨ Ornekler: ¨ Ornek 7.21 L−1{ s (s2+ a2)(s2+ b2)} =?

(32)

F (s) = s/(s2+ a2) ve G(s) = 1/(s2+ b2) fonksiyonlarının ters d¨on¨u¸s¨umleri f (t) = cos at, g(t) = 1

b sin bt oldu˘gundan

L−1{F (s)G(s)} = 1

b(sin bt ∗ cos at)

= 1

b Z t

0

sin b(t − τ ) cos aτ dτ

= 1

b Z t

0

sin bτ cos a(t − τ ) dτ

= 1 2b{ Z t 0 sin[at + (b − a)τ ] dτ − Z t 0 sin[at − (b + a)τ ] dτ } yazılabilir. ˙Integral hesaplanırsa b 6= a i¸cin

L−1{ s

(s2+ a2)(s2+ b2)} =

cos at − cos bt

b2− a2 , b 6= a ¸cıkar. b = a i¸cin 0/0 belirsizli˘gi oldu˘gu i¸cin L’Hospital kuralı ile

L−1{ s (s2+ a2)2} = limb→a cos at − cos bt b2− a2 = t 2asin at bulunur (Bak: ¨Ornek 7.20).

¨ Ornek 7.22 f (t) = Z t 0 τm−1(t − τ )n−1

integralini hesaplamak i¸cin konvol¨usyon teoreminden yararlanalım.

F (s) = L{f (t)} = L{tm−1∗ tn−1} = L{tm−1}L{tn−1} = Γ(m)Γ(n)

sm+n

ve ters d¨on¨u¸s¨um alarak

f (t) = Γ(m)Γ(n)L−1{ 1

sm+n} =

Γ(m)Γ(n) Γ(m + n)t

(33)

buluruz. ¨Ozel olarak, t = 1 i¸cin

B(m, n) = f (1) = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n)

beta fonksiyonu ile gamma fonksiyonu arasındaki il¸skiyi elde ederiz. ¨

Ornek 7.23 f (t) =√t∗√t konvol¨usyonunu hesaplayarak L{√t} d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplayın.

Yukarıdaki ¨ornekte m = n = 3/2 se¸cilirse

L{f (t)} = (L{√t})2= [Γ(32)]2 Γ(3) 1 s3 = π 4s3 veya L{√t} = π 2 1 s3/2 bulunur. ¨ Ornek 7.24 fn(t) fonksiyonu fn+1(t) = Z t 0 fn(τ ) dτ, n = 0, 1, 2, . . .

ba˘gıntısı ile rek¨ursif olarak tanımlandı˘gına g¨ore fn+1(t) = Z t 0 (t − τ )n n! f0(τ ) dτ oldu˘gunu g¨osterin.

Rek¨urans ba˘gıntısından

f1(t) = L{f0∗ 1} = Z t 0 f0(τ ) dτ, F1(s) = F0(s) s , f2(t) = L{f1∗ 1} = L{f0∗ 1 ∗ 1} = Z t 0 f1(τ ) dτ, F2(s) = F1(s) s = F0(s) s2 ve b¨oylece devam ederek t¨umevarım ile

Fn+1(s) = L{fn+1(t)} = L{f0(t) ∗ 1 ∗ . . . ∗ 1| {z } (n+1)−kez

} = F0(s) sn+1

(34)

bulunur. Bunun ters d¨on¨u¸s¨um¨unden istenilen fn+1(t) = tn n!∗ f0(t) = Z t 0 (t − τ )n n! f0(τ ) dτ

e¸sitli˘gi ¸cıkar. Buna ek olarak, fn(t) nin tanımından n ardı¸sık integrali

tek-boyutlu integrale d¨on¨u¸st¨uren

fn+1(t) = Z t 0 Z t2 0 · · · Z tn 0 | {z } n−katlı f0(t1) dt1dt2. . . dtn= Z t 0 (t − τ )n n! f0(τ ) dτ

form¨ul¨u elde edilir.

Genelle¸stirilmi¸s Konvol¨usyon veya Efros Teoremi: L{k(t, u)} = A(s)e−uB(s) ve L{f (t)} = F (s) ise

L{ Z

0

k(t, u)f (u) du} = Z 0 L{k(t, u)}f (u) du (7.29) = A(s) Z 0 e−uB(s)f (u) du (7.30) = A(s)F (B(s)) (7.31) ba˘gıntısı ge¸cerlidir.

Bu teoremde ¨ozel olarak k(t, u) = g(t − u)u(t − a) se¸cilirse L{k(t, u)} = e−suL{g(t)} = e−suG(s)

olur ki B(s) = s ve A(s) = G(s) demektir. O halde Eforov teoremi

L{ Z

0

u(t − u)g(t − u)f (u) du} = L{ Z t

0

f (u)g(t − u) du} = L{(f ∗ g)(t)} = F (s)G(s) konvol¨usyon form¨ul¨une indirgenir.

(35)

C

¸ ¨

oz¨

ulecek Problemler

1. A¸sa˘gıdaki fonksiyonların ters d¨on¨u¸s¨umlerini hesaplayınız.

a) 1 (s2− a2)(s2+ a2) b) 1 (s − 1)(s + 2)3 c) 1 s2(s2+ a2) d) s (s2− a2)(s2+ b2) e) 1 (s2+ 4)(s2+ 2s + 2) f ) 2s + 3 (s2− 2s + 2)2 g) s s4− 5s2+ 4 h) s3 (s4− 1)(s4+ 4) 2. A¸sa˘gıdaki ters d¨on¨u¸s¨umleri hesaplayınız.

a) L−1{arctan 2 s2} b) L−1{ln s + a s − a} c) L−1{ln s2+ a s2+ b2}

7.4

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

un¨

un Uygulamaları

S¸imdiye kadar Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u ve ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨une il¸skin bazı onemli ¨ozelikler ve y¨ontemler verdik. Artık uygulamalara ge¸cmeye hazırız. Once¨ sabit katsayılı sabit katsayılı lineer ba¸slangı¸c de˘ger problemlerinin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tekni˘gini kullanaca˘gız. ¨Ornekler bu tekni˘gin g¨uc¨un¨u ¸cok daha iyi a¸cıklayacaktır. Esas olarak y¨ontemi birka¸c adımdan olu¸sur:

1. Diferansiyel denklemin her iki yanının Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alınır. Sonu¸c bilinmeyen fonksiyonun d¨on¨u¸s¨um¨un¨u i¸ceren cebirsel bir denklmdir. 2. Cebirsel denklem ¸c¨oz¨ul¨ur.

3. Ters d¨on¨u¸s¨um alarak diferansiyel denklemin aynı zamanda ba¸slangı¸c ko-¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨une varılır.

S¸imdi bu adımları Ly = a0d ny dtn + a1 dn−1y dtn−1 + · · · + an−1 dy dt + any = f (t) (7.32a) denklemi ve y(0) = y0, y0(0) = y1, y00(0) = y2, . . . , y(n−1)(0) = yn−1 (7.32b)

(36)

ba¸slangı¸c ko¸sulları ile verilmi¸s ba¸slangı¸c de˘ger problemine uygulayalım. Y (s) = L{y(t)} ve F (s) = L{f (t)} olsun ve denklemin her iki yanını d¨on¨u¸st¨urelim:

L{Ly} = D(s)Y (s) + G(s) = F (s). Burada,

D(s) = a0sn+ a1sn−1+ . . . + an−1s + an

ve G(s) katsayıları ba¸slangı¸c de˘gerlerine ba˘glı (n − 1). dereceden G(s) = n X r=0 r−1 X j=0 aryjsr−j−1, yj = y(j)(0)

bi¸siminde bir polinomdur. D¨on¨u¸sm¨u¸s denklem Y (s) i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse aranan ¸c¨oz¨um Y (s) in ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmaya indirgenmi¸s olur:

y(t) = L−1{Y (s)} = L−1{F (s) − G(s)

D(s) }.

E˘ger b¨ut¨un ba¸slangı¸c ko¸sulları ¨ozde¸s olarak sıfırsa G(s) = 0 oldu˘guna dikkat edelim. C¸ ¨oz¨um¨u

y(t) = y0(t) + y1(t)

bi¸ciminde yazabiliriz. H(s) = 1/D(s) ve h(t) = L−1{H(s)} tanımlanırsa

y0(t) = L−1{−H(s)G(s)}, y1(t) = L−1{H(s)F (s)}

olacaktır. Dikkat edilirse y0(t) ¸c¨oz¨um¨u yalnızca ba¸slangı¸c de˘gerlerine ba˘glı olacaktır. Ge¸cici ¸c¨oz¨um denilen bu ¸c¨oz¨um kararlı sistemlerde yeterince uzun zaman ge¸ctikten sonra hissedilmeyecektir, yani

lim

t→∞y0(t) = 0,

y1(t) kalıcı ¸c¨oz¨um¨u ise ba¸slangı¸c de˘gerlerinden ba˘gımsızdır. Kalıcı ¸c¨oz¨um¨u konvol¨usyon integrali ile

y1(t) = L−1{H(s)F (s)} = (h ∗ f )(t) =

t

Z 0

h(t − τ ) f (τ ) dτ

olarak form¨ule edebiliriz. h(t) fonksiyonuna bazen transfer fonksiyonu denir. ¨

Ornek 7.25

y00(t) + ω2y(t) = f (t), y(0) = y

0, y0(0) = y1 ba¸slangı¸c de˘ger problemini ¸c¨oz¨un¨uz.

(37)

Denklemin d¨on¨u¸s¨um¨u

(s2+ ω2)Y (s) = F (s) + y 0s + y1 dir ve Y (s) e g¨ore ¸c¨oz¨ul¨urse

Y (s) = y0s + y1 (s2+ ω2)+

F (s) (s2+ ω2) ve ters d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

y(t) = L−1{Y (s)} = y

0cos ωt +y1

ω sin ωt + 1

ωf (t) ∗ sin ωt veya a¸cık olarak

y(t) = y0cos ωt +y1 ω sin ωt + 1 ω Z t 0 f (τ ) sin ω(t − τ ) dτ ¸c¨oz¨um¨u bulunur. Bu ¸c¨oz¨um¨u ¨Ornek (??)(sayfa ??) ile kar¸sıla¸stırınız.

¨

Ozel olarak, f (t) = u(t − a) ve y0= y1= 0 i¸cin ¸c¨oz¨um

y = 1 ωsin ωt ∗ u(t − a) = 1 ωu(t − a) ³Z t a sin ω(t − τ ) dτ´ = 1 ω2(1 − cos ω(t − a))u(t − a) = ( 1 ω2(1 − cos ω(t − a)), t ≥ a 0 t < a bi¸cimini alır. E˘ger,

y00+ ω2y = u(t − a), y(0) = y0(0) = 0

problemi i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u do˘grudan do˘gruya uygulansaydı, ¸c¨oz¨um yine (s2+ ω2)Y (s) = eas s Y (s) = 1 ω2e as[1 s s s2+ ω2] fonksiyonunun ters d¨on¨u¸s¨um¨u olan

y(t) = L−1{Y (s)} = 1

ω2(1 − cos ω(t − a))u(t − a) olarak elde edilirdi.

(38)

¨

Ornek 7.26

y00− 2y0+ (1 + m2)y = (1 + 4m2) cos mt, y(0) = 1, y0(0) = 0

ba¸slangı¸c de˘ger problemini ¸c¨oz¨un¨uz. D¨on¨u¸sm¨u¸s denklem

(s2− 2s + m2+ 1)Y (s) = [(s − 1)2+ m2]Y (s) = (1 + 4m 2)s s2+ m2 + s − 2 ve buradan Y (s) = (1 + 4m2)s [(s − 1)2+ m2](s2+ m2)+ s − 2 [(s − 1)2+ m2] belirlenirse, ¸c¨oz¨um basit kesirler y¨ontemiyle

y(t) = L−1{Y (s)} = L−1{As + B s2+ m2+ C(s − 1) + D (s − 1)2+ m2+ (s − 1) − 1 (s − 1)2+ m2} ters d¨on¨u¸s¨um¨une indirgenir. A, B, C, D katsayıları esas kesrin iki yanını sırasıyla s2+ m2ve (s − 1)2+ m2ile ¸carpıp s → im ve s → 1 + im yazarak elde edilecek

−2m2+ im = B + imA, (1 + 2m2) − im = D + imC kompleks e¸sitliklerinden

A = 1, B = −2m2, C = −1, D = 1 + 2m2 olarak elde edilir. Sonu¸c olarak ¸c¨oz¨um

y(t) = L−1{s − 2m 2 s2+ m2 + −(s − 1) + (1 + 2m2) (s − 1)2+ m2 + s − 1 (s − 1)2+ m2} = cos mt + 2m(et− 1) sin mt

olur. ¨

Ornek 7.27

y00+ 4y = 3 sin t, y(0) = 0, y(π/2) = −2

(39)

y0(0) = c olsun. Denklemin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alındıktan sonra Y (s) =

L{y(t)} i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse Y (s) = c s2+ 4+ 3 (s2+ 1)(s2+ 4) = c − 1 s2+ 4+ 1 s2+ 1 bulunur. Ters d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

y(t) =c − 1

2 sin 2t + sin t

¸cıkar. S¸imdi c sabitini belirlemek i¸cin y(π/2) = −2 ko¸sulunu kullanabiliriz: y(π/2) = −c − 1

2 + 1 = −2 c = 7. O halde ¸c¨oz¨um y = 3 sin 2t + sin t olur.

Laplace d¨on¨u¸s¨um tekni˘gi diferansiyel denklem sistemlerinin ¸c¨oz¨um¨unde de etkin bir bi¸cimde kullanılabilir. Ba¸slangı¸c ko¸sulları ile verilmi¸s sisteme Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u uygulayarak cebirsel denklem sistemine indirgeriz ve ters d¨on¨u¸s¨um alarak ¸c¨oz¨ume ula¸sırız.

¨

Ornek 7.28

¨

x + 4¨y = x, y = x + y¨

denklem sisteminin x(0) = ˙x(0) = 0, y(0) = 1, ˙y(0) = 0 ba¸slangı¸c ko¸sulları altında ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.

E˘ger L{x(t)} = X(s), L{y(t)} = Y (s) tanımlarsak ve her iki denklemin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alırsak

s2X(s) + 4s2Y (s) − 4s = X(s) s2Y (s) − s = X(s) + Y (s) ve d¨uzenleyerek yazarsak

(s2− 1)X(s) + 4s2Y (s) = 4s −X(s) + (s2− 1)Y (s) = s

sistemini buluruz. Yok etme veya Cramer y¨ontemi ile Y (s) ¸c¨oz¨ul¨urse Y (s) = 4s (s2+ 1)2 + s(s2− 1) (s2+ 1)2 = 2s (s2+ 1)2+ s s2+ 1 ve ters d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

y(t) = L−1{Y (s)} = t sin t + cos t

bulunur. x(t) yi bulmak i¸cin ikinci denklemden yararlanabiliriz: x(t) = ¨y − y = −2t sin t.

(40)

¨

Ornek 7.29

˙x + 2 ˙y + x − y = cos t ˙x − ˙y − x − 2y = sin t

sistemini ve x(0) = 1, y(0) = 0 ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨u bulunuz. Sistemin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u

(s + 1)X(s) + (2s − 1)Y (s) = s

2+ s + 1 s2+ 1 (s − 1)X(s) − (s + 2)Y (s) = s2+ 2

s2+ 1

cebirsel denklem sistemini verir. Cramer kuralı ile ¸c¨oz¨ul¨urse ve basit kesirlere ayrılırsa X(s) = s(3s 2+ 2s + 7) 3(s2+ 1)2 = 2 3 2s − 1 (s2+ 1)2+ 3s + 2 3(s2+ 1) ve Y (s) = −s 2+ 2s + 3 3(s2+ 1)2 = − 1 3 1 (s2+ 1) 2 3 s + 1 (s2+ 1)2 bulunur. L−1{ 2s (s2+ 1)2} = t sin t, L −1{ 1 (s2+ 1)2} = 1 2(sin t − t cos t) ters d¨on¨u¸s¨umlerini kullanarak

x(t) = 1

3[(t + 3) cos t + (2t + 1) sin t] y(t) = 1

3[t cos t − (t + 2) sin t] ¸c¨oz¨um sistemini elde ederiz.

¨

Ornek 7.30 S¨on¨uml¨u Lineer Salınıcı Problemi:

Hızla orantılı bir kuvvet etkisi altında maddesel bir par¸cacı˘gın serbest titre¸simleri ikinci mertebe lineer

¨

x(t) + 2λ ˙x(t) + ω2x(t) = 0

diferansiyel denklemi ile y¨onetilir. Ba¸slangı¸c anındaki yer ve hız b¨uy¨ukl¨ uk-lerini x(0) = x0 ve ˙x(0) = v0 ile g¨osterelim. Ayrıca, λ > 0 varsayıyoruz. X(s) = L{x(t)} olsun. Denklemin her iki yanının Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

(s2+ 2λs + ω2)X(s) = x

(41)

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4 -2 2 4

S¸ekil 7.2: Zayıf S¨on¨uml¨u Salınımlar

ve X(s) i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse

X(s) = x0s + v0+ 2kx0 s2+ 2λs + ω2

elde edilir. Ters d¨on¨u¸s¨um λ ile ω arasındaki il¸skiye ba˘glıdır. Burada ¨u¸c ayrı durum s¨oz konusu olabilir:

1.) ν2= ω2− λ2> 0

Bu durumda, basit kesirlere ayrı¸sımla

X(s) = x0(s + λ) + v0+ x0λ (s + λ)2+ ν2 ve ters d¨on¨u¸s¨um alınarak

x(t) = L−1{X(s)} = e−λt[x

0cos νt +v0+ x0λ ν sin νt]

¸c¨oz¨um¨u bulunur. Buna zayıf s¨on¨uml¨u salınımlar adı verilir. Zaman yeterince b¨uy¨uk bir de˘ger aldı˘gında, bir ba¸ska deyi¸sle yeterince uzun zaman sonunda salınımlar sıfıra yakla¸sacaktır.

2.) ω2− λ2< 0

µ2= λ2− ω2diyelim ve basit kesirlere ayrı¸stıralım: X(s) =x0(s + λ) + v0+ x0λ

(s + λ)2− µ2 . Ters d¨on¨u¸s¨um¨u

x(t) = L−1{X(s)} = e−λt[x

0cosh µt +v0+ x0λ µ sin µt]

(42)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

S¸ekil 7.3: Kuvvetli S¨on¨uml¨u Salınımlar

¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Bu ise kuvvetli s¨on¨um durumudur. x(t) ¸c¨oz¨um¨u t eksenini kesmeden sıfıra yakla¸sır. Yani hareket salınımsızdır.

3.) ω2= λ2

X(s) = x0 s + λ+

v0+ λx0 (s + λ)2 yazılır ve tersi alınırsa

x(t) = L−1{X(s)} = e−λt[x

0+ (v0+ λx0)t]

bulunur. Bu ¸c¨oz¨um¨un 2. ¨ozel durumda verilen ¸c¨oz¨um¨un µ → 0 i¸cin limit durumu oldu˘gu a¸cıktır. Bu ¨ozel durum kritik s¨on¨uml¨u durumdur ve t b¨uy¨urken bir kez negatif de˘ger alıp sonra sıfıra yakla¸sır.

¨

Ornek 7.31 S¨on¨uml¨u Zorlanmı¸s Lineer Salınıcı Problemi:

Bu kez par¸cacı˘gın f (t) = f0sin(Ωt + σ) bi¸ciminde periodik bir dı¸s kuvvetin etkisi altında oldu˘gunu varsayac˘gız. Hareketi y¨oneten diferansiyel denklem ve ba¸slangı¸c ko¸sulları

¨

x(t) + 2λ ˙x(t) + ω2x(t) = f (t), x(0) = x

0, ˙x(0) = v0 olacaktır. Bu denklem yerine z(t) kompleks fonksiyonunun sa˘gladı˘gı

¨

z(t) + 2λ ˙z(t) + ω2z(t) = f

Referanslar

Benzer Belgeler

Sonuçlar şam piyonada ilk 4 sırayı paylaşan takım lar arasında m üsabaka bitiş süresi teknik puan ve pasitive kriterleri açısından fa rklılığ ın olm adığını

(135) Mu oaidnu dáid vuolggasajiide lea ahte ii leat vuođđu geahčadit man muddui Sárevuomi čearru njuolgut sáhttá čuoččuhit alddiset vuoigatvuođaid Vuođđolága

Denklemin ¸c¨ oz¨ umleri, f nin k¨ okleri ile aynıdır.. Derste ispatlanan Teoremlerden, f t¨ um R de (dolayısıyla her aralıkta)

sa˘ glayan bir

R ¨ uzerindeki sa˘ g ı¸sın, sol ı¸sın, sonlu t¨ umleyenli topolojiklerin metrik topoloji olmadı˘ gını g¨ osterin.. (ipucu: bu topolojilerin, Hausdoff ¨ ozelli˘ gine

2 Haziran 2008 tarihinde sizlik Sigortas kapsam nda, 20 i siz için Ayval k Halk E itim Müdürlü ü i birli inde bayanlara yönelik “Gümü Has r Tak Örücülü ü” mesle inde

Dede Korkut’un Günbed Yazmasında Geçen 50 Moğolca Kelime (s. 55-82) başlıklı yazıda, yazmada geçen kırk sekiz kelime ele alınmaktadır. Bu kelimeler arasında.. kurban,

Bose SimpleSync™ teknolojisi ile Bose SoundLink Flex hoparlörünüzü bir Bose Akıllı Hoparlör veya Bose Akıllı Soundbara bağlayarak aynı şarkıyı farklı odalarda aynı