Laplace

B¨

ol¨

um 6

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

u

B¨

ol¨

um 7

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

u

7.1

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

un¨

un Tanımı

Bir f (t) fonksiyonunun integral d¨on¨u¸s¨um¨u T [f (t)] = F (s) =

Z b

a

k(s, t)f (t) dt

bi¸ciminde bir integralle tanımlanır. Verilmi¸s k(s, t) fonksiyonuna integral d¨o-n¨u¸s¨um¨un ¸cekirde˘gi denir. F (s) fonksiyonu verildi˘ginde f (t) ye ters integral d¨on¨u¸s¨um denir ve T−1_{[F (s)] ile g¨osterilir. Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u integral d¨on¨}

u-¸s¨umlerin ilk ¨orneklerinden birisidir. C¸ ekirdek ve sınırlar k(s, t) = e−st, a = 0, b = ∞

olarak tanımlanır. Di˘ger ¨onemli bir integral d¨on¨u¸s¨um de k(s, t) = e−ist_{, a = −∞, b = ∞}

ile verilir. Bu t¨ur d¨on¨u¸s¨ume Fourier d¨on¨u¸s¨um¨u denir ve diferansiyel denk-lemler kuramında ¨onemli bir yer tutar. Ancak biz burada yalnızca Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini inceleyece˘giz.

f, t > 0 zaman de˘gi¸skeninin tek-de˘gerli bir fonksiyonu ve s bir (reel veya kompleks olabilir) parametre olsun. f (t) nin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u

F (s) = L{f (t)} = ∞ Z 0 e−st_{f (t) dt (7.1)} 3

integrali ile tanımlanır. Buradaki integral Riemann anlamında ¨oz-olmayan bir integraldir ve lim M →∞ M Z 0 e−stf (t) dt

limiti anla¸sılacaktır. E˘ger integral yakınsak ise yani yukarıdaki limit sonlu bir sayı ise Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tanımlıdır, e˘ger de˘gilse d¨on¨u¸s¨um tanımlı olmaz. F (s) fonksiyonuna bazen g¨or¨unt¨u fonksiyon da denir.

Tanım 7.1 Bir T ≥ 0 i¸cin

|f (t)| ≤ M eαt _{veya |e}−αt_{f (t)| ≤ M, t ≥ T}

olacak bi¸cimde M > 0 ve α sabitleri varsa f (t) fonksiyonuna α ¨ustel mertebe-dendir denir ve

f (t) = O(eαt₎

yazılır.

Polinomlar, ¨ustel fonksiyonlar, sin t ve cos t trigonometrik fonksiyonlar ¨ustel mertebeden oldu˘gu halde f (t) = et2

fonksiyonu ¨ustel mertebeden de˘gildir. C¸ ¨unk¨u, α ne kadar b¨uy¨uk se¸cilirse se¸cilsin

lim

t→∞e t2

e−αt

limiti s¨uratle sonsuza gidecektir.

Tanım 7.2 E˘ger bir f (t) fonksiyonunun lim t→t+₀ f (t) = f (t+ 0) ve lim t→t−₀ f (t) = f (t− 0)

sa˘gdan ve soldan limitleri varsa fakat

f (t+0) 6= f (t−0)

ise f nin t0 noktasında bir sı¸crama s¨ureksizli˘gi vardır denir. Tanım 7.3 E˘ger lim

t→0+f (t) limiti varsa ve f fonksiyonu [0, ∞) aralı˘gında sonlu

sayıda sı¸crama s¨ureksizli˘gi dı¸sında her sonlu (0, T ) aralı˘gında s¨urekli ise fonksiy-ona [0, ∞) aralı˘gında par¸ca par¸ca s¨urekli fonksiyondur denir.

x y

S¸ekil 7.1: Sı¸crama S¨ureksizli˘gi

Par¸ca par¸ca s¨urekli bir fonksiyonu bir aralık ¨uzerinde integre etmek i¸cin s¨urekli oldu˘gu altaralıklarda integre edip toplamak yeterli olacaktır. Par¸ca par¸ca s¨urekli bir fonksiyon integre edilebilir. Analizden bilinen bu sonucu kullnarak a¸sa˘gıdaki teoremi ifade edebiliriz.

Laplace D¨on¨u¸s¨um¨u ˙I¸cin Varlık Teoremi:

Teorem 7.4 E˘ger f (t) fonksiyonu [0, ∞) aralı˘gında par¸ca par¸ca s¨urekli ve α ¨ustel mertebeden ise, α > s i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u vardır ve mutlak yakınsar. Kanıt: f fonksiyonu par¸ca par¸ca s¨urekli oldu˘gundan [0, M ) sonlu aralı˘gı ¨ uze-rinde sınırlı olur ve ∞ Z 0 e−stf (t) dt = t0 Z 0 e−stf (t) dt + ∞ Z t0 e−stf (t) dt

yazarak Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un yakınsaklı˘gını yukarıdaki ikinci integralin yakın-saklı˘gına indirgemi¸s oluruz. Varsayımdan f ¨ustel merdebeden oldu˘gundan

| ∞ Z t0 e−stf (t) dt| ≤ ∞ Z t0 e−st|f (t)| dt ≤ M ∞ Z t0 e−(s−α)tdt = lim τ →∞ −M s − αe −(s−α)t¯¯_¯τ t0

Varlık teoremi bir yeter ko¸suldur. Yani teoremin varsayımları ger¸ceklen-di˘ginde teorem Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un varlı˘gını garantiler. Ancak tersi do˘gru de˘gildir. Yani gerek ko¸sul de˘gildir. Varsayımların ger¸ceklenmemesi durumunda Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u var olabilir veya olmayabilir.

¨

Ornek 7.1 t > 0 ve negatif olmayan tamsayı n i¸cin L{tn_{} d¨on¨u¸s¨um¨un¨un var}

oldu˘gunu g¨osterin? Herhangibir α > 0 i¸cin eαt= ∞ X r=0 αn_tn n! ≥ tn n! e¸sitsizli˘gi tn _{≤ n!e}αt

olarak yazılabildi˘ginden tn _{ustel mertebeden bir fonksiyondur, o halde Laplace¨}

d¨on¨u¸s¨um¨u vardır. ¨

Ornek 7.2 L{tn_{cos at} ve L{t}n_{cos at} d¨on¨u¸s¨umlerinin var oldu˘gunu g¨osterin?}

| sin at| ≤ 1 ve | cos at| ≤ 1 oldu˘gundan verilen fonksiyonlar ¨ustel mertebeden olur. Varlık teoreminden d¨on¨u¸s¨umlerin tanımlı oldu˘gu ¸cıkar.

7.2

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

un¨

un ¨

Ozelikleri

1.) Lineerlik ¨Ozeli˘gi

E˘ger L{f (t)} = F (s) ve L{g(t)} = G(s) ise

L{f (t) + g(t)} = L{f (t)} + L{g(t)} = F (s) + G(s) (7.2) ba˘gıntısı ge¸cerlidir. Yani, Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u lineer bir operat¨ord¨ur. Bu sonu¸c Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tanımından hemen ¸cıkar.

2.) Birinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi

L{f (t)} = F (s) ise L{eat_{f (t)} = F (s + a) dir.}

Ger¸cekten, tanımdan L{eat_{f (t)} =} ∞ Z 0 e−st_eat_{f (t) dt =} ∞ Z 0 e−(s−a)t_{f (t) dt = F (s − a). (7.3)}

3.) ˙Ikinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi

t = a noktasında sı¸crama s¨ureksizli˘gi olan birim basamak fonksiyonu u(t − a) =

½

1, t ≥ a 0, t < a

ile tanımlanır. L{f (t)} = F (s) ise L{f (t − a)u(t − a)} = eas_{F (s), a ≥ 0 dir.}

Yine tanımdan L{f (t − a)u(t − a)} = ∞ Z 0 e−st_{f (t − a)u(t − a) dt =} Z _∞ a e−st_{f (t − a) dt}

yazılır ve son integralde τ = t − a d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa L{f (t − a)u(t − a)} = e−as

Z _∞

0

e−sτ_{f (τ ) dτ = e}−as_{L{f (t)} (7.4)}

¸cıkar. Ne yazık ki f (t+a)u(t+a), a ≥ 0 i¸cin benzer simetrik bir ba˘gıntı yoktur. 4.) ¨Ol¸cek De˘gi¸sim ¨Ozeli˘gi (Benzerlik Teoremi)

L{f (t)} = F (s) ise L{f (at)} = 1 aF ( s a) (7.5) yazılabilir. Tanımdan L{f (at)} = Z _∞ 0 e−st_{f (at) dt}

yazıp integralde τ = at d¨on¨u¸s¨um¨u yaparsak ¨ol¸cek ¨ozeli˘gini hemen elde ederiz. 5.) G¨or¨unt¨u Fonksiyonun T¨uretilmesi

E˘ger L{f (t)} = F (s) ise

L{tf (t)} = −F0_(s)

dir.

Bu kuralı g¨ormek i¸cin F (s) fonksiyonunu s e g¨ore t¨uretmek ve Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un tanımını g¨oz ¨on¨une almak yeterlidir:

dF (s) ds = − ∞ Z 0 e−st_{tf (t) dt = −L{tf (t)}.}

T¨uretme i¸slemini n kez yineleyerek g¨or¨unt¨u fonksiyonun n. t¨urevi ile i¸saret farkıyla tn_{f (t) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u arasındaki ¸su il¸skiyi elde}

e-deriz:

dn_{F (s)}

dsn = (−1)

n_L{tn_{f (t)}. (7.6)}

6.) G¨or¨unt¨u Fonksiyonun ˙Integre Edilmesi

L{f (t)} = F (s) ise bu kez F (s) fonksiyonunun integrali i¸cin ilgin¸c bir kural ¸cıkaraca˘gız. Bu kural ¸s¨oyle ifade edilir:

L{f (t) t } =

Z _∞

s

F (u) du. (7.7)

Bunu g¨ormek i¸cin F (u) integrandı yerine tanımı yazılır: Z _∞ s F (u) du = Z _∞ s ³Z ∞ 0 e−utf (t) dt ´ du. Bu ba˘gıntının sa˘gındaki integrasyonun sırası de˘gi¸stirilirse

Z ∞ s F (u) du = Z ∞ 0 f (t) ³Z ∞ s e−ut_du´_dt = ∞ Z 0 e−st³₋1 t £ e−ut¤∞ u=s ´ dt = ∞ Z 0 e−stf (t) t dt elde ederiz.

7.) Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un limit bi¸cimi

E˘ger F (s) bir f (t) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u ise lim

s→∞F (s) = 0

dır. Ger¸cekten, f (t) ¨ustel mertebeden ise |F (s)| ≤ ∞ Z 0 e−st_{|f (t)| dt ≤ M} Z _∞ 0 e−(s−α)t_{dt =} M s − α, s > α yazılabilir. O halde lim s→∞|F (s)| = 0 ⇒ s→∞lim F (s) = 0 dir.

7.3

Bazı Elemanter Fonksiyonların

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

umleri

¨

Ornek 7.3 f (t) = et_{olsun. L{e}t_{} yi hesaplayalım.}

L{et} = ∞ Z 0 e−stetdt = Z _∞ 0 e−(s−1)tdt

yazılırsa sa˘gdaki integralin de˘geri s > 1 i¸cin yakınsar ve limit i¸slemi ile lim M →∞ −1 (s − 1)[e −(s−1)t_]M 0 = 1 s − 1 bulunur. O halde L{et} = 1 s − 1, s > 1 dir. ¨

Ol¸cek kuralını kullanarak L{eat} = 1 a 1 s − 1 ¯ ¯ ¯ s→s/a= 1 s − a, s > a (7.8)

form¨ul¨un¨u buluruz. ¨

Ornek 7.4 L{tα_{} Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplayın.}

Genel olarak reel bir α i¸cin L{tα_{} =}

∞

Z 0

e−st_tα_{dt = Γ(α + 1)}

integralinde st = τ d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa integral Γ fonksiyonu ile ifade edilebilir: L{tα_{} =} 1 sα+1 ∞ Z 0 e−τ_τα_{dτ =} Γ(α + 1) sα+1 , α > −1, s > 0. ¨

Ozel olarak α = n ∈ Z≥0 _{ise Γ(α) = Γ(n) = (n − 1)! dir ve}

L{tn} = n!

yazabiliriz. ¨Orne˘gin, L{1} = 1 s, L{t} = 1 s2, L{t 2_{} =} 2 s3. ¨ Oteleme teoreminden

L{u(t − a)} = e−as_{L{1} =} e−as

s dir. α = −1/2 i¸cin Γ(α + 1) = Γ(1 2) = √ π de˘geri kullanılırsa L{t−1/2_{} =} r π s

¸cıkar. f (t) = t−1/2_{fonksiyonu i¸cin 7.4 teoreminin ko¸sulları sa˘glanmadı˘gı halde,}

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un var oldu˘guna dikkat ediniz. Genel olarak n = 1, 2, . . . i¸cin

L{tn−1 2} = Γ(n + 1 2) s(n+1 2) =√π (2n)! 22n_n! s −n−1 2, s > 0 (7.9)

d¨on¨u¸s¨um¨u ge¸cerlidir. ¨

Ornek 7.5 L{sinh at} Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplayın. Linerlik ¨ozeli˘gi ve (7.8) form¨ul¨u ile

L{sinh at} = 1 2(L{e at_{} − L{e}−at_{}) =} 1 2 ³ 1 s − a+ 1 s + a ´ = 1 s2_{− a}2, s > |a| ¸cıkar. Benzer olarak

L{cosh at} = s

s2_{− a}2, s > |a| dir.

S¸imdi trigonometrik fonksiyonların Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini hesaplayalım. ¨

Ornek 7.6

L{cos at} =? ve L{sin at} =?

F (s) = L{cos t} ve G(s) = L{sin t} = olsun. Tanımdan kısmi integrasyon ile F (s) = ∞ Z 0 e−st _{cos t dt =}£_e−st_{sin t}¤∞ 0 + s ∞ Z 0 e−st_{sin t dt = sG(s)}

ve

G(s) =

∞

Z 0

e−st _{sin t dt =}£_−e−st_{cos t}¤∞

0 − s

∞

Z 0

e−st _{cos t dt = 1 − sF (s)}

bulunur. Bu iki e¸sitlik F (s) ve G(s) i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse hemen L{cos t} = s

s2_{+ 1}, L{sin t} = 1 s2_{+ 1} bulunur. Son olarak ¨ol¸cek kuralı ile

L{cos at} = s

s2_{+ a}2, L{sin at} = a s2_{+ a}2 ¸cıkar. Ayrıca, birinci ¨oteleme kuralı ile

L{eatcos bt} = s − a

(s − a)2_{+ b}2, L{e

at_{sin bt} =} b

(s − a)2_{+ b}2 d¨on¨u¸s¨um form¨ullerini buluruz.

¨

Ornek 7.7 L{t sin at} =?

L{t sin at} = −d dsL{sin at} = − d ds a s2_{+ a}2 = 2as s2_{+ a}2. Genel olarak,

L{tnsin at}, L{tncos at} d¨on¨u¸s¨umlerini hesaplamak i¸cin

h(t) = tneiat (7.10)

fonksiyonunu d¨u¸s¨unelim.

H(s) = L{h(t)} = (−1)n dn dsn 1 s − ia = n! (s − ia)n+1 = n!(s2_{+ a}2₎−(n+1)_{(s + ia)}n+1

d¨on¨u¸s¨um¨unde

s + ia = Reiφ, R =ps2_{+ a}2_{, tan φ =} a s

kutupsal g¨osterimini kullanır ve H(s) nin reel ve sanal par¸calarını ayırırsak L{tn_{cos at} = n! R}n+1cos(n + 1)φ

(s2_{+ a}2₎n+1,

L{tnsin at} = n! Rn+1 sin(n + 1)φ (s2_{+ a}2₎n+1

d¨on¨u¸s¨um form¨ullerini ¸cıkarmı¸s oluruz. ¨Orne˘gin n = 1 i¸cin cos 2φ = s 2_{− a}2 s2_{+ a}2, sin 2φ = 2as s2_{+ a}2 ba˘gıntıları yardımıyla L{t cos at} = s 2_{− a}2 s2_{+ a}2, L{t sin at} = 2as s2_{+ a}2 buluruz. n = 2 i¸cin L{t2_{cos at} =} 2s(s2− 3a2) (s2_{+ a}2₎3 , L{t

2_{sin at} =} 2a(3s2− a2) (s2_{+ a}2₎3 . ¨ Ornek 7.8 L{sin at t } =? L{sin at t } = Z _∞ s a du u2_{+ a}2 = arctan u a ¯ ¯ ¯∞ s = π 2 − arctan s a = arctan a s. Bu d¨on¨u¸s¨umde s → 0+_{limitine ge¸cerek yan ¨ur¨un olarak}

lim s→0L{ sin at t } = Z _∞ 0 sin at t dt = lims→0arctan a s = π 2 integralinin de˘gerini bulmu¸s oluruz.

¨

Ornek 7.9

L{sin 2_t t } =? (7.7) form¨ul¨unden

L{sin 2_t t } = L{ 1 − cos 2t 2t } = 1 2 Z ∞ 0 ³ 1 u− u u2_{+ 4} ´ du = 1 2ln u √ u2_{+ 4}| ∞ s = 1 4ln ³ 1 + 4 s2 ´

¨

Ornek 7.10 L{sinh(2√t)} =?

Fonksiyonun seri a¸cılımının terim terim Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alınır ve (7.9) kul-lanılırsa L{(sinh(2√t)} = L{ ∞ X n=0 22n+1_tn+1 2 (2n + 1)! } = ∞ X n=0 22n+1 (2n + 1)!L{t n+1 2} = √πs−3 2 ∞ X n=0 1 n! 1 sn = √ πs−3 2e1/s.

7.3.1

Periodik Fonksiyonların D¨

on¨

u¸s¨

umleri

f (t) τ periyodlu bir fonksiyon, yani

f (t + τ ) = f (t), t ≥ 0

ise L{f (t)} hesaplamak i¸cin (7.1) d¨on¨u¸s¨um tanımınında yarı sonsuz integrasyon aralı˘gını alt aralıklara b¨olerek yazalım:

L{f (t)} = Z _τ 0 e−stf (t) dt + Z _2τ τ e−stf (t) dt + Z _3τ 2τ e−stf (t) dt + · · · = ∞ X n=0 Z (n+1)τ nτ e−st_{f (t) dt.}

Yukarıdaki integralde t = u + nτ d¨on¨u¸s¨um¨u yapar ve periodik fonksiyon i¸cin f (u + nτ ) = f (u), n = 1, 2, . . . e¸sitli˘gini dikkate alırsak

L{f (t)} =³ ∞ X n=0 e−sτ n´ Z τ 0 e−su_{f (u) du =} 1 1 − e−sτ Z τ 0 e−su_{f (u) du (7.11)}

buluruz. Yukarıdaki toplamın sonsuz geometrik bir serinin toplamı olarak he-saplandı˘gına dikkat edin.

¨ Ornek 7.11 f (t) = | sin t| = ½ sin t sin t ≥ 0 − sin t sin t < 0 , τ = 2π do˘grultulmu¸s sin¨us dalga fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u. τ = π dir. (7.11) form¨ul¨unden

L{| sin t|} = 1 1 − e−πs

Z _π

0

olur. _{Z π}

0

e−su_{sin u du =} 1 + e−πs

1 + s2 integral de˘geri kullanılırsa

L{| sin t|} = 1 + e−πs 1 − e−πs(1 + s

2₎−1_{= coth(πs/2)(1 + s}2₎−1

d¨on¨u¸s¨um¨u bulunur.

7.3.2

T¨

urevlerin D¨

on¨

u¸s¨

umleri

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un diferansiyel denklemlere uygulamalarında bir fonksi-yonun t¨urevinin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u form¨ul¨une gerek duyaca˘gız. Kısmi inte-grasyon ile bir kez integre ederek

L{f0_{(t)} = [f (t)e}−st_]∞ 0 + s ∞ Z 0 e−st_{f (t) dt}

yazabiliriz. f (t) nin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un varlı˘gı i¸cin bir gerek ko¸sul lim

t→∞e

−st_{f (t) = 0}

olmasıdır. O halde, t > 0 i¸cin f (t) yi s¨urekli varsayarsak

L{f0_{(t)} = sL{f (t)} − f (0) = sF (s) − f (0) (7.12)}

d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨u ¸cıkar. Bu i¸sleme devam edersek s¨urekli t¨uretilebilen bie f (t) i¸cin

L{f00_{(t)} = s}2_L{f00_{(t)} − sf (0) − f}0_{(0) (7.13)}

oldu˘gunu g¨orebiliriz.

Genelle¸stirme: t ≥ 0 i¸cin f , f0_{, · · · f}(n−1) _{s¨urekli ve t > 0 i¸cin f}(n) _par¸ca par¸ca s¨urekli ve ¨ustel mertebeden ise, t¨umevarım ile

L{f(n)(t)} = snL{fn(t)} − sn−1f (0) − sn−2f0(0) − . . . − f(n−1)(0) (7.14) oldu˘gu g¨osterilebilir.

E˘ger f (t) fonksiyonu reel eksen ¨uzerinde yalnızca par¸ca par¸ca s¨urekli ise, yukarıdaki form¨ul¨un de˘gi¸stirilmesi gerekir. ¨Orne˘gin f (t) nin t = a da sonlu bir sı¸crama s¨ureksizli˘gi varsa

L{f0_{(t)} =} Z _a− 0 e−st_f0_{(t) dt +} Z _∞ a+ e−st_f0_{(t) dt}

= [f (t)e−st_]a− 0 + s Z a− 0 e−st_{f (t) dt} + [f (t)e−st_]∞ a++ s Z ∞ a+ e−st_{f (t) dt}

ve f (t) nin a daki sı¸cramasının uzunlu˘gunu

[f (t)]a= f (a+) − f (a−)

ile g¨osterirsek

L{f0_{(t)} = sL{f (t)} − f (0) − e}−as_{[f (t)]}

a (7.15)

buluruz.

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨un kısmi diferansiyel denklemlere uygulamalrında hem uzay hem de zaman de˘gi¸skenlerine ba˘glı ¸cok de˘gi¸skenli fonksiyonların kısmi t¨urevlerinin d¨on¨u¸s¨umlerini bilmemiz gerekir. Orne˘gin iki de˘gi¸skenli f (x, t)¨ fonksiyonu i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tanıma g¨ore

L{∂f (x, t)

∂t } = sF (x, s) − f0(x) yazılabilir. Burada,

F (x, s) = L{f (x, t)}, f0(x) = f (x, 0) olarak tanımlanmı¸stır. Genel olarak,

L{∂ n_{f (x, t)} ∂tn } = s n_{F (x, s) −} n X r=0 sn−r−1fr(x), fr(x) = ∂ r_{f (x, t)} ∂tr |t=0

ge¸cerlidir. Zaman de˘gi¸skenine g¨ore t¨urevleri i¸cermeyen kısmi t¨urevler i¸cin L{∂ n_{f (x, t)} ∂xn } = ∂n ∂xnL{f (x, t)} = ∂n ∂xnF (x, s)

olacaktır. C¸ ¨unki bu durumda x e g¨ore kısmi t¨urevlerle t ye g¨ore integral yerde˘gi¸stirir. Karma¸sık t¨urevler i¸cin, ¨orne˘gin

L{∂ 2_{f (x, t)} ∂x∂t } = ∂ ∂xL{ ∂f ∂t} = s ∂F (x, s) ∂x − ∂f0 ∂x dir. ¨ Ornek 7.12 L{sin 2_t t2 } =?

f (t) = sin 2_t

t , f (0) = 0 fonksiyonunu d¨u¸s¨unelim.

f0(t) = sin 2t

t −

sin2t t2 t¨urevinin d¨on¨u¸s¨um¨unden ve ¨ornek 7.8-7.9 dan

L{sin 2_t t2 } = L{ sin 2t t } − sF (s) = arctan 2 s− s 4ln ³ 1 + 4 s2 ´

buluruz. Bu d¨on¨u¸s¨umden yine s → 0+ _{limitine ge¸cerek a¸sa˘gıdaki integralin} de˘gerini hesaplamı¸s oluruz:

Z _∞ 0 sin2t t2 dt = π 2. S¸imdi g(t) = Z t 0 f (u) du, g(0) = 0

integrali ile tanımlanan fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmak istiyoruz. ˙Integral hesabın temel teoremine g¨ore g0_{(t) = f (t) yazılabilir. F (s) = L{f (t)}}

ve G(s) = L{g(t)} olsun. Bu e¸sitli˘gin her iki yanın Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alarak sG(s) = F (s) veya G(s) = F (s) s elde ederiz. ¨ Ornek 7.13 I(a, b) = Z _∞ 0 e−a2_u2_−b2_u−2 du, I(a, 0) = √ π 2a integralini hesaplayarak L{t−1/2_e−b2_/t

} d¨on¨u¸s¨um¨un¨u elde ediniz. I(a, b) integralinde ξ = au d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa

I(a, b) = 1 a Z _∞ 0 e−ξ2−a2v2ξ−2dξ = 1 aI(1, ab) buluruz. Ib t¨urevinde η = bu−1 d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa

Ib = −2b Z _∞ 0 e−a2u2−b2u−2 du u2 = −2 Z _∞ 0 e−η2_−a2_b2_η−2 dη = −2I(1, ab)

bulunur. Bu iki ba˘gıntı arasında I(1, ab) yi yok edersek I(a, b) fonksiyonu Ib+ 2aI = 0 diferansiyel denklemini sa˘glar. ˙Integre eder ve I(a, 0) =

√ π/2a ko¸sulunu kullanırsak

I(a, b) = I(a, 0)e−2ab= √

π 2ae

−2ab

buluruz. I(a, b) integralinde a2_{= s se¸cilir ve u}2_{= t d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa} L{t−1/2_e−b2_/t } = r π se −2b√s _(7.16)

d¨on¨u¸s¨um¨u bulunur. Ayrıca, bunun her iki yanını b parametresine g¨ore t¨uretirsek L{∂ ∂bt −1/2_e−b2_/t } = −2√πe−2b√s _{⇒ L{t}−3/2_e−b2_/t } = √ π b e −2b√s (7.17) d¨on¨u¸s¨um¨un¨u buluruz. b = 1/2 i¸cin

L{t−3/2e−1/4t} = 2√πe−√s (7.18) d¸cn¨u¸s¨um form¨ul¨u ¸cıkar. Bu d¨on¨u¸s¨umden

L{ 1 2√π Z t 0 u−3/2_e−1/4u_{du} =}e− √ s s bulunur. Yukarıdaki integralde v2_{= 1/4u d¨on¨u¸s¨um¨u yaparak}

erfc (t) = √2 π Z ∞ t e−v2 dv

ile tanımlanan tamamlayıcı hata fonksiyonu t¨ur¨unden ¸s¨oyle ifade edebiliriz: L{erfc ( 1

2√t)} = e−√s

s . (7.19)

7.3.3

Bessel Fonksiyonlarının D¨

on¨

u¸s¨

umleri

Bessel fonksiyonları sonsuz serilerle tanımlandı˘gından terim terim Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alarak d¨on¨u¸s¨um form¨ullerini ¸cıkarmak olduk¸ca elveri¸sli bir yakla¸sımdır. Ger¸cekten, ¨orne˘gin

L{tn/2_J n(2

√ t)} d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplamak i¸cin

tn/2_J n(2 √ t) = ∞ X r=0 (−1)r_tn+r r!Γ(n + r + 1)

e¸sitli˘ginin her iki yanının terim terim Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alırsak s > 0 i¸cin L{tn/2_J n(2 √ t)} = ∞ X r=0 (−1)r r!Γ(n + r + 1)L{t n+r_}

buluruz. Di˘ger yandan,

L{tn+r_{} =} Γ(n + r + 1)

sn+r+1

form¨ul¨u ile

L{tn/2_J n(2 √ t)} = 1 sn+1 ∞ X r=0 (−1)r r! ( 1 s) r₌ 1 sn+1e −1 s

d¨on¨u¸s¨um¨une ula¸sırız. ¨Ozel olarak, n = 0 i¸cin L{J0(2 √ t)} = 1 se −1 s (7.20) olur.

Benzer bi¸cimde, J0(t) fonksiyonun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u i¸cin seri y¨ontemi uygulayabiliriz. Ancak, bunun yerine diferansiyel denklem y¨ontemini uygula-mak istiyoruz. Bu y¨ontemde genel olarak fonksiyonların sa˘gladıkları diferansi-yel denklemlerin Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini alarak bu fonksiyonların d¨on¨u¸s¨umlerini ¸cıkarırız. y(t) = J0(t), y(0) = 1 fonksiyonunun

ty00_{(t) + y}0_{(t) + ty(t) = 0}

diferansiyel denklemini sa˘gladı˘gını biliyoruz. Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alıp L{y(t)} = Y (s) yazarsak

−d ds[s

2_{Y (s) − sy(0) − y}0_{(0)] + sY (s) − y(0) −} d

dsY (s) = 0

veya sadele¸stirerek Y (s) d¨on¨u¸s¨um fonksiyonunun sa˘gladı˘gı 1. mertebe lineer (homojen)

(s2_{+ 1)}dY (s)

ds + sY (s) = 0

diferansiyel denklemini buluruz. De˘gi¸skenlerini ayırır, integre edersek dY

Y = −

s ds

s2_{+ 1} ⇒ Y (s) = c(s

buluruz. c integrasyon sabitini belirlemek i¸cin ba¸slangı¸c-de˘ger teoreminden yararlanalım:

lim

s→∞sY (s) = limt→0y(t) = y(0) = 1 ⇒ c = 1.

Sonu¸c olarak, L{J0(t)} = (s2+ 1)−1/2 veya ¨ol¸cek de˘gi¸sim kuralı ile

L{J0(at)} = (s2+ a2)−1/2 (7.21) buluruz.

7.3.4

˙Impuls veya Delta Fonksiyonu

S¸imdi yalnızca fiziksel problemlerde anlamlı olabilecek bir fonksiyon ¨uretmek istiyoruz. Bu ama¸cla, δ²(t − t0) =    1 2², |t − t0| ≤ ² 0 |t − t0| > ² (7.22) ile tanımlanan bir fonksiyon d¨u¸s¨unelim. Bu fonksiyonnun b¨ut¨un reel eksen ¨ uzerinde integrali _Z ∞ −∞ δ²(t − t0) dt = Z _² −² 1 2²dt = 1

dir. Birim impuls fonksiyonu δ²(t − t0) nin ² → 0 i¸cin limiti olarak tanımlanır:

δ(t − t0) = lim

²→0δ²(t − t0) =

(

∞, t = t0 0, t 6= t0 Bu limite bazen delta fonksiyonu da denir. Ayrıca,

Z _∞

−∞

δ(t − t0) dt = 1

¨ozeli˘gine sahip olur. Bu limit i¸slemi ile tanımlanan δ(t − t0) fonksiyonu klasik anlamda 1 _{bir fonksiyon de˘gildir. Ancak, fiziksel olarak ¸cok kısa bir zaman} aralı˘gında aniden uygulanan yo˘gunla¸smı¸s yani, ¸siddeti ¸cok b¨uy¨uk olan bir etkinin bi¸cimsel g¨osterilimi olarak yorumlayabiliriz. ¨Orne˘gin, ¸sim¸sek ¸carptı˘gında elektri˘gin bo¸salması, iki bilardo topunun elastik ¸carpı¸sması gibi. Bu fonksiyon

1_{Bildi˘gimiz hi¸c bir fonksiyon bu bi¸cimde davranmaz. Reel eksen ¨uzerinde bir nokta}

dı¸sında heryerde sıfır, ancak Riemann integrali sıfırdan farklı bir fonksiyon olamaz. Bu t¨ur fonksiyonlar matematiksel bir tabana oturtulmu¸stur ve genelle¸stirilmi¸s fonksiyonlar veya distrib¨usyon’lar olarak bilinirler.

ilk kez ˙Ingiliz fizik¸ci Dirac tarafından kuvantum mekani˘ginde kullanılmı¸stır. δ(t − t0) fonksiyonun eleme ¨ozeli˘gi diye bilinen bir ¨ozeli˘ge sahiptir. Bu ¨ozelik ¸s¨oyle ifade edilir: _Z

∞ −∞

δ(t − t0)f (t) dt = f (t0).

Bu e¸sitli˘gi ¸cıkarmak i¸cin δ²(t − t0) fonksiyonunun tanımı kullanılır ve sonra limite ge¸cilir.

δ²(t − t0) fonksiyonunun Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplamak i¸cin, t0 > 0 varsayıp, birim basamak fonksiyonu ile ifade edelim ve d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alalım.

L{δ²(t − t0)} = 1 2²L{u(t − (t0− ²)) − u(t − (t0+ ²))} = e−(t0−²)s− e−(t0+²)s 2² = e −t0ssinh ²s ²s . Limite ge¸cilirse (L’Hospital kuralını kullanarak)

L{δ(t − t0)} = e−t0slim

²→0

sinh ²s ²s = e

−t0s _(7.23)

bulunur. ¨Ozel olarak, t0= 0 i¸cin L{δ(t)} = 1 buluruz.

7.3.5

Ba¸slangı¸c ve Son-De˘

ger Teoremleri

Teorem 7.5 (Ba¸slangı¸c-De˘ger Teoremi) f (t) t > 0 i¸cin s¨urekli ve ¨ustel mer-tebden, f0_{(t) t ≥ 0 i¸cin par¸ca par¸ca s¨urekli olsun. O zaman}

f (0+_{) = lim}

t→0+f (t) = lims→∞sF (s).

Kanıt: Laplace d¨on¨u¸s¨umlerinin genel ¨ozeli˘ginden s → ∞ i¸cin G(s) = L{f0_{(t)} =}

sF (s) − f (0+_{) fonksiyonu sıfıra gider. O halde} lim

s→∞G(s) = lims→∞(sF (s) − f (0

+_{)) = 0}

limitine ge¸cilirse teorem kanıtlanmı¸s olur.

Teorem 7.6 (Son-De˘ger Teoremi) f ba¸slangı¸c-de˘ger teoreminin ko¸sullarını sa˘glıyorsa ve limt→∞f (t) varsa

lim

t→∞f (t) = lims→0sF (s)

Kanıt: f fonksiyonu sınırlı oldu˘gundan α = 0 mertebeden bir fonksiyondur. T¨urev d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨unden

G(s) = L{f0(t)} = sF (s) − f (0+), s > 0

dir. Limite ge¸cerek

lim s→0G(s) = lims→0(sF (s) − f (0 +_{)) (7.24)} yazabiliriz. Ayrıca, lim s→0G(s) = lims→0 ∞ Z 0 e−st_f0_{(t) dt =} Z ∞ 0 f0_{(t) dt.}

Yukarıda limitin integral i¸cine ge¸cebildi˘gine dikkat edin (?). Z ∞ 0 f0_{(t) dt = lim} τ →∞ Z τ 0 f0_{(t) dt = lim} τ →∞[f (τ ) − f (0 +_{)] (7.25)}

yazılabilir. Sonu¸c olarak, (7.24) ve (7.25) sonu¸cları kar¸sıla¸stırılırsa lim

t→∞f (t) = lims→0sF (s)

elde ederiz.

C

¸ ¨

oz¨

ulecek Problemler

1. A¸sa˘gıdaki fonksiyonların Laplace d¨on¨u¸s¨umlerini bulunuz. a) e−t_{t sin 2t b) cos}2_t c) sin 2√t d) cos √ t √ t e) erf (√t) f ) Z _t 0 sinh au du g) I0(t) h) cos at − cos bt t i) e2t_{(t − 1)u(t − 1) j)} eat− ebt t

7.3.6

Ters Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

u

E˘ger F (s) = L{f (t)} ise f (t) fonksiyonuna F (s) g¨or¨unt¨u fonksiyonun ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u adı verilir ve

f (t) = L−1{F (s)}

yazılır. Ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u de lineer bir i¸slemdir, yani f (t) = L−1_{{F (s)}}

ve g(t) = L−1_{{G(s)} ise}

L−1_{{F (s) + G(s)} = L}−1_{{F (s)} + L}−1_{{G(s)} = f (t) + g(t)}

dir. Bi¸cimsel olarak

LL−1= L−1L = 1l yazılabilir. Burada 1l birim operat¨or¨u g¨ostermektedir.

Ters D¨on¨u¸s¨um¨un Tekli˘gi: A¸sa˘gıdaki teorem bir F (s) fonksiyonunun ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u garanti eder. Teoremin kanıtı daha ileri kitaplarda bulunabilir. Teorem 7.7 Lerch Teoremi:

Bir F (s) fonksiyonu verildi˘ginde, Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u F (s) olan t ≥ 0 i¸cin tanımlı en ¸cok bir s¨urekli f (t) fonksiyonu vardır.

Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u i¸cin verilen ¨ozeliklere ters d¨on¨u¸s¨um operat¨or¨u uygula-yarak a¸sa˘gıdaki kuralları hemen yazabiliriz:

¨

Ol¸cek De˘gi¸sim ¨Ozeli˘gi: L−1_{{F (s)} = f (t) ise}

L−1_{{F (as)} =} 1

af ( t a). Birinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi:

L−1_{{F (s − a)} = e}at_L−1_{{F (s)} = e}at_{f (t).}

˙Ikinci ¨Oteleme ¨Ozeli˘gi:

L−1_{e−as_{F (s)} = f (t − a)u(t − a) =}

½

f (t − a), t ≥ a 0, t < a . T¨urevlerin Ters D¨on¨u¸s¨umleri:

L−1_{F(n)_{(s)} = (−1)}n_tn_L−1_{{F (s)} = (−1)}n_tn_{f (t).}

Bir fonksiyonun ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmak i¸cin ¸ce¸sitli y¨ontemler uygulanabilir. ¨Orneklerle bu y¨ontemleri g¨ozden ge¸cirelim.

¨ Ornek 7.14 L−1_{ 1 (s − a)n}, n ≥ 1. L−1_{ 1 (s − a)n} = e at_L−1_{ 1 sn} = e at tn−1 (n − 1)!.

Kesirli ¨ustler i¸cin faktoriyel yerine Gamma fonksiyonu kullanılmalıdır. ¨Orne˘gin, L−1{√1 s} = r t π. ¨

Oteleme form¨ul¨u ile L−1{√ 1 as + b} = 1 √ ae −b aL−1{s−1/2} = e−ba r t aπ bulunur. ¨ Ornek 7.15 L−1_{ln³_{1 +} 1 s2 ´ } =? F (s) = ln³1 + 1 s2 ´

fonksiyonunun t¨urevinin ters d¨on¨u¸s¨um¨u L−1{F0(s)} = L−1{ 2s s2_{+ 1} − 2 s} = 2(cos t − 1) ile L−1_{F0_{(s)} = −tf (t) ba˘gıntısı} f (t) = L−1_{{F (s)} =} 2(1 − cos t) t sonucunu verir. ¨ Ornek 7.16 L−1_{ s + 1 s2_{− 2as + a}2_{+ b}2} =? s + 1 s2_{− 2as + a}2_{+ b}2 = (s − a) + a + 1 (s − a)2_{+ b}2 yazar ve ters d¨on¨u¸s¨um¨un lineerli˘gi kullanılırsa

L−1_{ s + 1 s2_{− 2as + a}2_{+ b}2} = L −1_{ s − a (s − a)2_{+ b}2} + L −1_{ a + 1 (s − a)2_{+ b}2} = eat[cos bt + a + 1 b sin bt] bulunur.

7.3.7

Kısmi Kesirler Y¨

ontemi

Sabit katsayılı linear diferansiyel denklemlere uygulamalarda rasyonel bir fonk-siyonun ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u belirleme problemiyle kar¸sıla¸sırız:

L−1_{{F (s)} = L}−1_{N (s)

D(s)} =? Burada N (s) ve D(s)

N (s) = aksk+ ak−1sk−1+ · · · + a0 D(s) = bnsn+ bn−1sn−1+ · · · + b0

bi¸ciminde polinomlardır. F (s) ger¸cek bir fonksiyonun ters d¨on¨u¸s¨um¨u olacaksa, lims→∞F (s) = 0 olmalı, bunun i¸cin de k < n ko¸sulu sa˘glanmalıdır. Bir ba¸ska

deyi¸sle F (s) bir ¨oz rasyonel fonksiyon olmalıdır. Bundan b¨oyle, payın dere-cesinin paydanın derecesinden k¨u¸c¨uk oldu˘gunu varsayaca˘gız. D(s) in

D(s) = D1(s)D2(s)

bi¸ciminde ¸carpanlara ayrılabildi˘gini varsayalım. F (s) fonksiyonunu N (s) D(s) = N1(s) D1(s)+ N2(s) D2(s)

olacak bi¸cimde iki kesrin toplamı olarak yazabiliriz. Burada, N1 ve N2 nin dereceleri D1 ve D2 nin derecelerinden daha k¨u¸c¨ukt¨ur. N1 ve N2 polinom-larının belirlenmesi i¸cin genel bir y¨ontem verece˘giz.

Liner C¸ arpanlara Ayrı¸sım: Genelli˘gi bozmadan D(s) polinomunu normal-ize edebiliriz, yani bn = 1 alabiliriz.

D(s) =

n

Y

i=1

(s − si) = (s − s1)(s − s2) . . . (s − sn), si6= sj, i 6= j

bi¸ciminde lineer ¸carpanlara ayrılabiliyorsa N (s) D(s) = A1 s − s1 + A2 s − s2 + . . . + An s − sn

yazılabilir. Toplam notasyonu ile N (s) D(s) = n X j=1 Aj s − sj

dir. Aj katsayılarını belirlemek i¸cin bu e¸sitli˘gin her iki yanı s − sj ile ¸carpılır ve s → sj limiti alınır: Aj = lim s→sj (s − sj)N (s) D(s) = N (sj) lims→sj s − sj D(s) = N (sj) D0_(sj).

Yukarıda ikinci limit i¸cin L’Hospital kuralını uyguladık.

Sonu¸c: (Heaviside A¸cılım Form¨ul¨u) D(s) = 0 polinom denkleminin bir-birinden farklı reel sıfırları (basit k¨okleri) s1, s2, . . . , sn ise

L−1_{N (s) D(s)} = n X j=1 N (sj) D0_(sj)L −1_{ 1 s − sj} = n X j=1 N (sj) D0_(sj)e sjt_{. (7.26)} ¨ Ornek 7.17 L−1_{ s2− 2s + 3 s3_{− 2s}2_{− s + 2}} =?

s3_−2s2_{−s+2 = (s+1)(s−1)(s−2) bi¸ciminde liner ¸carpanlara ayrılabildi˘ginden,} basit kesirlere L−1{ s 2_{− 2s + 3} s3_{− 2s}2_{− s + 2}} = A s + 1+ B s − 1+ C s − 2

yazılabilir. A yı belirlemek i¸cin s + 1 ile ¸carpalım ve s yerine −1 yazalım: A = s 2_{− 2s + 3} (s − 1)(s − 2) ¯ ¯ ¯ s=−1= 1.

Di˘ger sabitler B = −1, C = 1 olarak bulunur. O halde, ters d¨on¨u¸s¨um L−1_{ s2− 2s + 3

s3_{− 2s}2_{− s + 2}} = e

−t_{− e}t_{+ e}2t

olur.

Katlı Lineer C¸ arpanlar: D(s) polinomunun reel bir sıfırı m katlı ise D(s) = (s − a)m_D

2(s)

yazılabilir. Bu durumda F (s) kesrini basit iki kesrin toplamı olarak ifade ede-biliriz: N (s) D(s) = N1(s) (s − a)m+ N2(s) D2(s). Birinci kesir basit kesirlere ayrı¸stırılabilir:

N1(s) (s − a)m = m−1_X j=0 Aj (s − a)m−j.

Aj katsayılarını belirlemek i¸cin F (s) nin her iki yanını (s − a)mile ¸carpalım: N (s) D2(s)= A0+ A1(s − a) + A2(s − a) 2_{+ . . . + A} m−1(s − a)m+N2(s) D2(s)(s − a) m_.

Bu e¸sitlik j kez t¨uretilir ve s → sj limitine ge¸cilirse Aj katsayıları

Aj= 1 j! dj dsj N (s) D2(s) ¯ ¯ ¯ s=a, j = 0, 1, 2, . . . , m − 1

form¨ul¨u ile bulunur. Aj katsayıları belirlenince

L−1_{ N1(s) (s − a)m} = e at m−1_X j=0 Aj t m−j−1 (m − j − 1)! ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplamı¸s oluruz.

¨ Ornek 7.18 L−1_{ s2− 1 (s + 2)3_(s2_{+ 1)}} =? L−1_{ s2− 1 (s + 2)3_(s2_{+ 1)}} = A1 (s + 2)3 + A2 (s + 2)2 + A3 (s + 2)+ Cs + D s2_{+ 1} ayrı¸sımı yapılır ve yukarıda verilen y¨ontem uygulanırsa sabitler

A1=3 5, A2= − 8 25, A3= − 22 125, C = 22 125, D = − 4 125 olarak belirlenir. Ters d¨on¨u¸s¨um

L−1_{ s2− 1 (s + 2)3_(s2_{+ 1)}} = e −2t_[ 3 10t 2₋ 8 25t − 22 125] + 22 25cos t − 4 125sin t olacaktır.

Kuadratik C¸ arpanlar: Q(s) = (s − a)2_{+ b}2_{, D(s) polinomunun kuadratik} bir ¸carpanı olsun ve

D(s) = Q(s)D2(s) yazalım. Basit kesirlere ayrı¸stırarak

N (s) D(s) = As + B Q(s) + N2(s) D2(s) (7.27) yazabiliriz. Ters d¨on¨u¸s¨um¨un belirlenmesini kolayla¸stıracak bir ayrı¸sım

As + B Q(s) =

C(s − a) + Db Q(s)

yazmaktır. (7.27) ayrı¸sımının her iki yanı Q(s) ile ¸carpılır N (s) D2(s) = C(s − a) + bD +N2(s) D2(s) Q(s)

ve s yerine Q(s) = (s − s1)(s − ¯s1) = 0 denkleminin k¨ok¨u olan s1= s1= a + ib (veya e¸sleni˘gi) yazılırsa

N (a + ib) D2(a + ib)

= ibC + bD

buluruz. Sol yandaki kompleks sayıyı W ile g¨osterirsek C ve D katsayılarını C = 1

b ImW, D = 1 b ReW olarak elde ederiz ve ters d¨on¨u¸s¨um

L−1_{C(s − a) + bD

(s − a)2_{+ b}2 } = eat

b (ImW cos bt + ReW sin bt) = eat

b Im{W e

ibt_}

olur. W kompleks sayısınının kutupsal g¨osterimi W = Zeiφ _{olsun. O zaman,}

Im{W eibt_{} = Z Ime}i(bt+φ)_{= Z sin(bt + φ)}

yazılabilir ki

L−1{C(s − a) + bD (s − a)2_{+ b}2 } =

Z

b sin(bt + φ) ters d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨un¨u buluruz.

¨ Ornek 7.19 L−1{ 1 s4_{+ 4}} =? L −1_{ s s4_{+ 4}} =? s4_{+ 4 = (s}2_{+ 2)}2_{− 4s}2_{= (s}2_{+ 2s + 2)(s}2_{− 2s + 2) = [(s + 1)}2_{+ 1][(s − 1)}2_{+ 1]} kuadratik ¸carpanlara ayrılabildi˘ginden

F (s) = L−1{ 1 s4_{+ 4}} = A(s + 1) + B (s + 1)2_{+ 1} + C(s − 1) + D (s − 1)2_{+ 1}

ayrı¸sımında e¸sitli˘gin her iki yanını ¨once Q1= (s + 1)2+ 1 ile sonra (s − 1)2+ 1 ile ¸carpıp sırasıyla s yerine s → −1 + i ve s → 1 + i yazarak belirsiz sabitler

olarak belirlenir. O halde ters d¨on¨u¸s¨um f (t) = L−1_{{F (s)} =} 1 8e −t_{(cos t + sin t) +}1 8e t_{(sin t − cos t)} veya f (t) = L−1{F (s)} = 1

4(sin t cosh t − cos t sinh t)

bulunur. Ayrıca, ba¸slangı¸c-de˘ger teoreminden f (0) = 0 = lims→∞sF (s) dir ve

t¨urev d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨uyle L−1_{ s

s4_{+ 4}} = f

0_{(t) =} 1

2sin t sinh t elde edilir.

Katlı Kuadratik C¸ arpanlar: Q(s) kuadrati˘gi D(s) polinomunda m kez g¨or¨ul¨uyorsa, yani

D(s) = [Q(s)]m_D 2(s) ise ayrı¸sım N (s) D(s) = N1(s) Qm_(s)+ N2(s) D2(s)

olur. Burada N1(s), (2m − 1). veya daha k¨u¸c¨uk dereceden bir polinomdur. Ayrıca, birinci kesir

N1(s) Qm_(s) = C0(s − a) + bD0 Qm + C1(s − a) + bD1 Qm−1 + . . . + Cm−1(s − a) + bDm−1 Q

bi¸ciminde basit kesirlere ayrılarak yazılabilir. Cj, Dj, j = 0, 1, 2 . . . , m − 1

katsayılarını belirlemek i¸cin benzer bir yol izlenir. Katsayılar belirlendikten sonra

L−1{ 1

(s2_{+ a}2₎j}, L

−1_{ s

(s2_{+ a}2₎j}, j = 2, 3, . . . m

bi¸ciminde ters d¨on¨u¸s¨umleri hesaplamamız gerekecek. Genel olarak, bir rek¨urans ba˘gıntısı ¨ureterek bu ters i¸slem yapılabilir. Ancak, a¸sa˘gıdaki ¨ornekte farklı bir yol izlenecektir. ¨ Ornek 7.20 L−1_{ 1 (s2_{+ a}2₎2} =? L −1_{ s (s2_{+ a}2₎2} =? L{sin at} = a s2_{+ a}2

ba˘gıntısının her iki yanını a parametresine g¨ore t¨uretelim: ∂

∂aL{sin at} = L{ ∂

∂asin at} = L{t cos at} = 1 s2_{+ a}2−

2a2 (s2_{+ a}2₎2. Her iki yana ters d¨on¨u¸s¨um uygulayarak

f (t) = L−1_{ 1

(s2_{+ a}2₎2} = 1 2a2(

1

asin at − t cos at)

ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmu¸s oluruz. Bu sonu¸ctan yararlanarak ve f (0) = 0 oldu¨uunu dikkate alarak

L−1{ s

(s2_{+ a}2₎2} = f

0_{(t) =} 1

2at sin at elde edilir.

7.3.8

Konvol¨

usyon ˙I¸slemi ve Teoremi

Tanım 7.8 f (t) ve g(t) fonksiyonlarının konvol¨usyonu (katlama)

t

Z 0

f (t − τ ) g(τ ) dτ

belirli integrali ile tanımlanır ve (f ∗ g)(t) sembol¨u ile g¨osterilir. Konvol¨usyon i¸cin a¸sa˘gıdaki ba˘gıntılar ge¸cerlidir:

1. f ∗ g = g ∗ f (Kom¨utatif)

2. f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h (Asosiyatif) 3. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h (Distrib¨utif)

4. (kf ∗ g) = (f ∗ kg) = k(f ∗ g), k ∈ R (Skaler ile ¸carpma) 5. (eat_{f ) ∗ (e}at_{g) = e}at_{(f ∗ g)}

6. L{f ∗ g} = L{f }L{g} (Konvol¨usyon teoremi) 7.

d

dt(f ∗ g)(t) = f (0

8. F (s) = L{f (t)} ve G(s) = L{g(t)} ise L{d

dt(f ∗ g)(t)} = L{(f ∗ g)

0_{} = sF (s)G(s).}

Bu ba˘gıntı Duhamel integrali olarak bilinir. Bu ba˘gıntıların bazılarını ger¸cekleyece˘giz:

1. f ∗ g integral tanımında u = t − τ d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa

f ∗ g = t Z 0 f (t − τ ) g(τ ) dτ = − Z ₀ t f (u)g(t − u) du = Z t 0 g(t − τ )f (τ ) du = g ∗ f buluruz. 2. Tanımdan (f ∗ g) ∗ h = Z _t 0 h(t − τ ) dτ Z _τ 0 f (ξ)g(τ − ξ) dξ. ˙Integrasyonların sırasını de˘gi¸stirirsek bu e¸sitli˘gin sa˘g yanı

Z _t 0 f (ξ) dξ Z _t ξ g(τ − ξ)h(t − τ ) dτ

olarak yazılabilir. ˙I¸cteki integralde η = τ −ξ d¨on¨u¸s¨um¨u yapılırsa, iki katlı integral Z t 0 f (ξ) dξ Z t−ξ 0 g(η)h(t − ξ − η) dη = Z t 0 f (ξ)(g ∗ h)(t − ξ) dξ = f ∗ (g ∗ h) olur ki bu da asosiyatiflik ¨ozeli˘gini ger¸cekler.

6. Konvol¨usyon Teoremi: Yine tanımdan L{f ∗ g} = Z _∞ 0 e−st_dt t Z 0 f (τ ) g(t − τ ) dτ

yazabiliriz. ˙Integrasyonların sırasını de˘gi¸stirir ve i¸cteki integralde η = t − τ d¨on¨u¸s¨um¨u yaparsak

L{f ∗ g} = Z _∞ 0 f (τ ) dτ Z _∞ τ e−stg(t − τ ) dt = Z _∞ 0 f (τ )e−stdτ Z _∞ 0 e−sηg(η) dη = L{f (t)}L{g(t)} buluruz. Bu sonucu kullanarak L−1_{{F (s)G(s)} = (f ∗ g)(t) (7.28)}

ters d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨un¨u ¸cıkarmı¸s oluruz. Bu form¨ul ters d¨on¨u¸s¨umlerin bulunmasında ¸cok ¨onemlidir. Daha sonra ¸ce¸sitli ¨ornekler verece˘giz. ¨Ozel olarak, g = f ise a¸sa˘gıdaki ba˘gıntıları elde ederiz:

L{(f ∗ f )(t)} = [F (s)]2, L−1{F (s)2} = (f ∗ f )(t).

Konvol¨usyon hesaplarken f ∗ g = g ∗ f yerde˘gi¸stirme ¨ozeli˘gini kullanmak yararlı olabilir. C¸ ¨unk¨u, bunlardan birini hesaplamak di˘gerine g¨ore daha kolay olabilir.

7. Bunun i¸cin Leibnitz t¨uretme form¨ul¨une g¨ore d dt(f ∗ g)(t) = d dt t Z 0 f (t − τ ) g(τ ) dτ = d dt t Z 0 f (τ ) g(t − τ ) dτ t¨urevlerini hesaplamak yeterlidir. ¨Ust sınır de˘gi¸sken oldu˘gu i¸cin bu teri-min t¨urevinden gelecek katkıya dikkat ediniz.

8. T¨urev d¨on¨u¸s¨um form¨ul¨u ve (f ∗ g)(0) = 0 oldu˘gu g¨oz¨on¨unde tutulursa L{d

dt(f ∗ g)(t)} = sL{(f ∗ g)(t)} − (f ∗ g)(0) = sL{f (t)}L{g(t)} ¸cıkar.

3, 4 ve 5 numaralı ¨ozeliklerin ger¸ceklenmesi okuyucuya bırakılmı¸stır. C¸ e¸sitli ¨ Ornekler: ¨ Ornek 7.21 L−1_{ s (s2_{+ a}2_)(s2_{+ b}2₎} =?

F (s) = s/(s2_{+ a}2_{) ve G(s) = 1/(s}2_{+ b}2_{) fonksiyonlarının ters d¨on¨u¸s¨umleri} f (t) = cos at, g(t) = 1

b sin bt oldu˘gundan

L−1{F (s)G(s)} = 1

b(sin bt ∗ cos at)

= 1

b Z t

0

sin b(t − τ ) cos aτ dτ

= 1

b Z _t

0

sin bτ cos a(t − τ ) dτ

= 1 2b{ Z _t 0 sin[at + (b − a)τ ] dτ − Z _t 0 sin[at − (b + a)τ ] dτ } yazılabilir. ˙Integral hesaplanırsa b 6= a i¸cin

L−1_{ s

(s2_{+ a}2_)(s2_{+ b}2₎} =

cos at − cos bt

b2_{− a}2 , b 6= a ¸cıkar. b = a i¸cin 0/0 belirsizli˘gi oldu˘gu i¸cin L’Hospital kuralı ile

L−1{ s (s2_{+ a}2₎2} = lim_b→a cos at − cos bt b2_{− a}2 = t 2asin at bulunur (Bak: ¨Ornek 7.20).

¨ Ornek 7.22 f (t) = Z t 0 τm−1_{(t − τ )}n−1_dτ

integralini hesaplamak i¸cin konvol¨usyon teoreminden yararlanalım.

F (s) = L{f (t)} = L{tm−1∗ tn−1} = L{tm−1}L{tn−1} = Γ(m)Γ(n)

sm+n

ve ters d¨on¨u¸s¨um alarak

f (t) = Γ(m)Γ(n)L−1_{ 1

sm+n} =

Γ(m)Γ(n) Γ(m + n)t

buluruz. ¨Ozel olarak, t = 1 i¸cin

B(m, n) = f (1) = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n)

beta fonksiyonu ile gamma fonksiyonu arasındaki il¸skiyi elde ederiz. ¨

Ornek 7.23 f (t) =√t∗√t konvol¨usyonunu hesaplayarak L{√t} d¨on¨u¸s¨um¨un¨u hesaplayın.

Yukarıdaki ¨ornekte m = n = 3/2 se¸cilirse

L{f (t)} = (L{√t})2₌ [Γ(32)]2 Γ(3) 1 s3 = π 4s3 veya L{√t} = √ π 2 1 s3/2 bulunur. ¨ Ornek 7.24 fn(t) fonksiyonu fn+1(t) = Z _t 0 fn(τ ) dτ, n = 0, 1, 2, . . .

ba˘gıntısı ile rek¨ursif olarak tanımlandı˘gına g¨ore fn+1(t) = Z _t 0 (t − τ )n n! f0(τ ) dτ oldu˘gunu g¨osterin.

Rek¨urans ba˘gıntısından

f1(t) = L{f0∗ 1} = Z _t 0 f0(τ ) dτ, F1(s) = F0(s) s , f2(t) = L{f1∗ 1} = L{f0∗ 1 ∗ 1} = Z t 0 f1(τ ) dτ, F2(s) = F1(s) s = F0(s) s2 ve b¨oylece devam ederek t¨umevarım ile

Fn+1(s) = L{fn+1(t)} = L{f0(t) ∗ 1 ∗ . . . ∗ 1_{| {z }} (n+1)−kez

} = F0(s) sn+1

bulunur. Bunun ters d¨on¨u¸s¨um¨unden istenilen fn+1(t) = tn n!∗ f0(t) = Z _t 0 (t − τ )n n! f0(τ ) dτ

e¸sitli˘gi ¸cıkar. Buna ek olarak, fn(t) nin tanımından n ardı¸sık integrali

tek-boyutlu integrale d¨on¨u¸st¨uren

fn+1(t) = Z t 0 Z t2 0 · · · Z tn 0 | {z } n−katlı f0(t1) dt1dt2. . . dtn= Z t 0 (t − τ )n n! f0(τ ) dτ

form¨ul¨u elde edilir.

Genelle¸stirilmi¸s Konvol¨usyon veya Efros Teoremi: L{k(t, u)} = A(s)e−uB(s) _{ve L{f (t)} = F (s) ise}

L{ Z ∞

0

k(t, u)f (u) du} = Z ∞ 0 L{k(t, u)}f (u) du (7.29) = A(s) Z ∞ 0 e−uB(s)_{f (u) du (7.30)} = A(s)F (B(s)) (7.31) ba˘gıntısı ge¸cerlidir.

Bu teoremde ¨ozel olarak k(t, u) = g(t − u)u(t − a) se¸cilirse L{k(t, u)} = e−su_{L{g(t)} = e}−su_G(s)

olur ki B(s) = s ve A(s) = G(s) demektir. O halde Eforov teoremi

L{ Z ∞

0

u(t − u)g(t − u)f (u) du} = L{ Z t

0

f (u)g(t − u) du} = L{(f ∗ g)(t)} = F (s)G(s) konvol¨usyon form¨ul¨une indirgenir.

C

¸ ¨

oz¨

ulecek Problemler

1. A¸sa˘gıdaki fonksiyonların ters d¨on¨u¸s¨umlerini hesaplayınız.

a) 1 (s2_{− a}2_)(s2_{+ a}2₎ b) 1 (s − 1)(s + 2)3 c) 1 s2_(s2_{+ a}2₎ d) s (s2_{− a}2_)(s2_{+ b}2₎ e) 1 (s2_{+ 4)(s}2_{+ 2s + 2)} f ) 2s + 3 (s2_{− 2s + 2)}2 g) s s4_{− 5s}2_{+ 4} h) s3 (s4_{− 1)(s}4_{+ 4)} 2. A¸sa˘gıdaki ters d¨on¨u¸s¨umleri hesaplayınız.

a) L−1_{arctan 2 s2} b) L−1{ln s + a s − a} c) L−1_{ln s2+ a s2_{+ b}2}

7.4

Laplace D¨

on¨

u¸s¨

um¨

un¨

un Uygulamaları

S¸imdiye kadar Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u ve ters Laplace d¨on¨u¸s¨um¨une il¸skin bazı onemli ¨ozelikler ve y¨ontemler verdik. Artık uygulamalara ge¸cmeye hazırız. Once¨ sabit katsayılı sabit katsayılı lineer ba¸slangı¸c de˘ger problemlerinin ¸c¨oz¨um¨u i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u tekni˘gini kullanaca˘gız. ¨Ornekler bu tekni˘gin g¨uc¨un¨u ¸cok daha iyi a¸cıklayacaktır. Esas olarak y¨ontemi birka¸c adımdan olu¸sur:

1. Diferansiyel denklemin her iki yanının Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alınır. Sonu¸c bilinmeyen fonksiyonun d¨on¨u¸s¨um¨un¨u i¸ceren cebirsel bir denklmdir. 2. Cebirsel denklem ¸c¨oz¨ul¨ur.

3. Ters d¨on¨u¸s¨um alarak diferansiyel denklemin aynı zamanda ba¸slangı¸c ko-¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨une varılır.

S¸imdi bu adımları Ly = a0d n_y dtn + a1 dn−1_y dtn−1 + · · · + an−1 dy dt + any = f (t) (7.32a) denklemi ve y(0) = y0, y0(0) = y1, y00(0) = y2, . . . , y(n−1)(0) = yn−1 (7.32b)

ba¸slangı¸c ko¸sulları ile verilmi¸s ba¸slangı¸c de˘ger problemine uygulayalım. Y (s) = L{y(t)} ve F (s) = L{f (t)} olsun ve denklemin her iki yanını d¨on¨u¸st¨urelim:

L{Ly} = D(s)Y (s) + G(s) = F (s). Burada,

D(s) = a0sn+ a1sn−1+ . . . + an−1s + an

ve G(s) katsayıları ba¸slangı¸c de˘gerlerine ba˘glı (n − 1). dereceden G(s) = n X r=0 r−1 X j=0 aryjsr−j−1, yj = y(j)(0)

bi¸siminde bir polinomdur. D¨on¨u¸sm¨u¸s denklem Y (s) i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse aranan ¸c¨oz¨um Y (s) in ters d¨on¨u¸s¨um¨un¨u bulmaya indirgenmi¸s olur:

y(t) = L−1_{{Y (s)} = L}−1_{F (s) − G(s)

D(s) }.

E˘ger b¨ut¨un ba¸slangı¸c ko¸sulları ¨ozde¸s olarak sıfırsa G(s) = 0 oldu˘guna dikkat edelim. C¸ ¨oz¨um¨u

y(t) = y0(t) + y1(t)

bi¸ciminde yazabiliriz. H(s) = 1/D(s) ve h(t) = L−1_{{H(s)} tanımlanırsa}

y0(t) = L−1{−H(s)G(s)}, y1(t) = L−1{H(s)F (s)}

olacaktır. Dikkat edilirse y0(t) ¸c¨oz¨um¨u yalnızca ba¸slangı¸c de˘gerlerine ba˘glı olacaktır. Ge¸cici ¸c¨oz¨um denilen bu ¸c¨oz¨um kararlı sistemlerde yeterince uzun zaman ge¸ctikten sonra hissedilmeyecektir, yani

lim

t→∞y0(t) = 0,

y1(t) kalıcı ¸c¨oz¨um¨u ise ba¸slangı¸c de˘gerlerinden ba˘gımsızdır. Kalıcı ¸c¨oz¨um¨u konvol¨usyon integrali ile

y1(t) = L−1{H(s)F (s)} = (h ∗ f )(t) =

t

Z 0

h(t − τ ) f (τ ) dτ

olarak form¨ule edebiliriz. h(t) fonksiyonuna bazen transfer fonksiyonu denir. ¨

Ornek 7.25

y00_{(t) + ω}2_{y(t) = f (t), y(0) = y}

0, y0(0) = y1 ba¸slangı¸c de˘ger problemini ¸c¨oz¨un¨uz.

Denklemin d¨on¨u¸s¨um¨u

(s2_{+ ω}2_{)Y (s) = F (s) + y} 0s + y1 dir ve Y (s) e g¨ore ¸c¨oz¨ul¨urse

Y (s) = y0s + y1 (s2_{+ ω}2₎+

F (s) (s2_{+ ω}2₎ ve ters d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

y(t) = L−1_{{Y (s)} = y}

0cos ωt +y1

ω sin ωt + 1

ωf (t) ∗ sin ωt veya a¸cık olarak

y(t) = y0cos ωt +y1 ω sin ωt + 1 ω Z t 0 f (τ ) sin ω(t − τ ) dτ ¸c¨oz¨um¨u bulunur. Bu ¸c¨oz¨um¨u ¨Ornek (??)(sayfa ??) ile kar¸sıla¸stırınız.

¨

Ozel olarak, f (t) = u(t − a) ve y0= y1= 0 i¸cin ¸c¨oz¨um

y = 1 ωsin ωt ∗ u(t − a) = 1 ωu(t − a) ³Z t a sin ω(t − τ ) dτ´ = 1 ω2(1 − cos ω(t − a))u(t − a) = ( ₁ ω2(1 − cos ω(t − a)), t ≥ a 0 t < a bi¸cimini alır. E˘ger,

y00+ ω2y = u(t − a), y(0) = y0(0) = 0

problemi i¸cin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u do˘grudan do˘gruya uygulansaydı, ¸c¨oz¨um yine (s2_{+ ω}2_{)Y (s) =} eas s ⇒ Y (s) = 1 ω2e as_[1 s − s s2_{+ ω}2] fonksiyonunun ters d¨on¨u¸s¨um¨u olan

y(t) = L−1{Y (s)} = 1

ω2(1 − cos ω(t − a))u(t − a) olarak elde edilirdi.

¨

Ornek 7.26

y00− 2y0+ (1 + m2)y = (1 + 4m2) cos mt, y(0) = 1, y0(0) = 0

ba¸slangı¸c de˘ger problemini ¸c¨oz¨un¨uz. D¨on¨u¸sm¨u¸s denklem

(s2− 2s + m2+ 1)Y (s) = [(s − 1)2+ m2]Y (s) = (1 + 4m 2_)s s2_{+ m}2 + s − 2 ve buradan Y (s) = (1 + 4m2)s [(s − 1)2_{+ m}2_](s2_{+ m}2₎+ s − 2 [(s − 1)2_{+ m}2_] belirlenirse, ¸c¨oz¨um basit kesirler y¨ontemiyle

y(t) = L−1{Y (s)} = L−1{As + B s2_{+ m}2+ C(s − 1) + D (s − 1)2_{+ m}2+ (s − 1) − 1 (s − 1)2_{+ m}2} ters d¨on¨u¸s¨um¨une indirgenir. A, B, C, D katsayıları esas kesrin iki yanını sırasıyla s2_{+ m}2_{ve (s − 1)}2_{+ m}2_{ile ¸carpıp s → im ve s → 1 + im yazarak elde edilecek}

−2m2_{+ im = B + imA, (1 + 2m}2_{) − im = D + imC} kompleks e¸sitliklerinden

A = 1, B = −2m2, C = −1, D = 1 + 2m2 olarak elde edilir. Sonu¸c olarak ¸c¨oz¨um

y(t) = L−1{s − 2m 2 s2_{+ m}2 + −(s − 1) + (1 + 2m2₎ (s − 1)2_{+ m}2 + s − 1 (s − 1)2_{+ m}2} = cos mt + 2m(et_{− 1) sin mt}

olur. ¨

Ornek 7.27

y00_{+ 4y = 3 sin t, y(0) = 0, y(π/2) = −2}

y0_{(0) = c olsun. Denklemin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alındıktan sonra Y (s) =}

L{y(t)} i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse Y (s) = c s2_{+ 4}+ 3 (s2_{+ 1)(s}2_{+ 4)} = c − 1 s2_{+ 4}+ 1 s2_{+ 1} bulunur. Ters d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

y(t) =c − 1

2 sin 2t + sin t

¸cıkar. S¸imdi c sabitini belirlemek i¸cin y(π/2) = −2 ko¸sulunu kullanabiliriz: y(π/2) = −c − 1

2 + 1 = −2 ⇒ c = 7. O halde ¸c¨oz¨um y = 3 sin 2t + sin t olur.

Laplace d¨on¨u¸s¨um tekni˘gi diferansiyel denklem sistemlerinin ¸c¨oz¨um¨unde de etkin bir bi¸cimde kullanılabilir. Ba¸slangı¸c ko¸sulları ile verilmi¸s sisteme Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u uygulayarak cebirsel denklem sistemine indirgeriz ve ters d¨on¨u¸s¨um alarak ¸c¨oz¨ume ula¸sırız.

¨

Ornek 7.28

¨

x + 4¨y = x, y = x + y¨

denklem sisteminin x(0) = ˙x(0) = 0, y(0) = 1, ˙y(0) = 0 ba¸slangı¸c ko¸sulları altında ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz.

E˘ger L{x(t)} = X(s), L{y(t)} = Y (s) tanımlarsak ve her iki denklemin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨un¨u alırsak

s2_{X(s) + 4s}2_{Y (s) − 4s = X(s)} s2_{Y (s) − s = X(s) + Y (s)} ve d¨uzenleyerek yazarsak

(s2_{− 1)X(s) + 4s}2_{Y (s) = 4s} −X(s) + (s2− 1)Y (s) = s

sistemini buluruz. Yok etme veya Cramer y¨ontemi ile Y (s) ¸c¨oz¨ul¨urse Y (s) = 4s (s2_{+ 1)}2 + s(s2_{− 1)} (s2_{+ 1)}2 = 2s (s2_{+ 1)}2+ s s2_{+ 1} ve ters d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

y(t) = L−1_{{Y (s)} = t sin t + cos t}

bulunur. x(t) yi bulmak i¸cin ikinci denklemden yararlanabiliriz: x(t) = ¨y − y = −2t sin t.

¨

Ornek 7.29

˙x + 2 ˙y + x − y = cos t ˙x − ˙y − x − 2y = sin t

sistemini ve x(0) = 1, y(0) = 0 ko¸sullarını sa˘glayan ¸c¨oz¨um¨u bulunuz. Sistemin Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u

(s + 1)X(s) + (2s − 1)Y (s) = s

2_{+ s + 1} s2_{+ 1} (s − 1)X(s) − (s + 2)Y (s) = s2+ 2

s2_{+ 1}

cebirsel denklem sistemini verir. Cramer kuralı ile ¸c¨oz¨ul¨urse ve basit kesirlere ayrılırsa X(s) = s(3s 2_{+ 2s + 7)} 3(s2_{+ 1)}2 = 2 3 2s − 1 (s2_{+ 1)}2+ 3s + 2 3(s2_{+ 1)} ve Y (s) = −s 2_{+ 2s + 3} 3(s2_{+ 1)}2 = − 1 3 1 (s2_{+ 1)} − 2 3 s + 1 (s2_{+ 1)}2 bulunur. L−1_{ 2s (s2_{+ 1)}2} = t sin t, L −1_{ 1 (s2_{+ 1)}2} = 1 2(sin t − t cos t) ters d¨on¨u¸s¨umlerini kullanarak

x(t) = 1

3[(t + 3) cos t + (2t + 1) sin t] y(t) = 1

3[t cos t − (t + 2) sin t] ¸c¨oz¨um sistemini elde ederiz.

¨

Ornek 7.30 S¨on¨uml¨u Lineer Salınıcı Problemi:

Hızla orantılı bir kuvvet etkisi altında maddesel bir par¸cacı˘gın serbest titre¸simleri ikinci mertebe lineer

¨

x(t) + 2λ ˙x(t) + ω2x(t) = 0

diferansiyel denklemi ile y¨onetilir. Ba¸slangı¸c anındaki yer ve hız b¨uy¨ukl¨ uk-lerini x(0) = x0 ve ˙x(0) = v0 ile g¨osterelim. Ayrıca, λ > 0 varsayıyoruz. X(s) = L{x(t)} olsun. Denklemin her iki yanının Laplace d¨on¨u¸s¨um¨u alınırsa

(s2_{+ 2λs + ω}2_{)X(s) = x}

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4 -2 2 4

S¸ekil 7.2: Zayıf S¨on¨uml¨u Salınımlar

ve X(s) i¸cin ¸c¨oz¨ul¨urse

X(s) = x0s + v0+ 2kx0 s2_{+ 2λs + ω}2

elde edilir. Ters d¨on¨u¸s¨um λ ile ω arasındaki il¸skiye ba˘glıdır. Burada ¨u¸c ayrı durum s¨oz konusu olabilir:

1.) ν2_{= ω}2_{− λ}2_{> 0}

Bu durumda, basit kesirlere ayrı¸sımla

X(s) = x0(s + λ) + v0+ x0λ (s + λ)2_{+ ν}2 ve ters d¨on¨u¸s¨um alınarak

x(t) = L−1_{{X(s)} = e}−λt_[x

0cos νt +v0+ x0λ ν sin νt]

¸c¨oz¨um¨u bulunur. Buna zayıf s¨on¨uml¨u salınımlar adı verilir. Zaman yeterince b¨uy¨uk bir de˘ger aldı˘gında, bir ba¸ska deyi¸sle yeterince uzun zaman sonunda salınımlar sıfıra yakla¸sacaktır.

2.) ω2_{− λ}2_{< 0}

µ2_{= λ}2_{− ω}2_{diyelim ve basit kesirlere ayrı¸stıralım:} X(s) =x0(s + λ) + v0+ x0λ

(s + λ)2_{− µ}2 . Ters d¨on¨u¸s¨um¨u

x(t) = L−1_{{X(s)} = e}−λt_[x

0cosh µt +v0+ x0λ µ sin µt]

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

S¸ekil 7.3: Kuvvetli S¨on¨uml¨u Salınımlar

¸c¨oz¨um¨un¨u verir. Bu ise kuvvetli s¨on¨um durumudur. x(t) ¸c¨oz¨um¨u t eksenini kesmeden sıfıra yakla¸sır. Yani hareket salınımsızdır.

3.) ω2_{= λ}2

X(s) = x0 s + λ+

v0+ λx0 (s + λ)2 yazılır ve tersi alınırsa

x(t) = L−1_{{X(s)} = e}−λt_[x

0+ (v0+ λx0)t]

bulunur. Bu ¸c¨oz¨um¨un 2. ¨ozel durumda verilen ¸c¨oz¨um¨un µ → 0 i¸cin limit durumu oldu˘gu a¸cıktır. Bu ¨ozel durum kritik s¨on¨uml¨u durumdur ve t b¨uy¨urken bir kez negatif de˘ger alıp sonra sıfıra yakla¸sır.

¨

Ornek 7.31 S¨on¨uml¨u Zorlanmı¸s Lineer Salınıcı Problemi:

Bu kez par¸cacı˘gın f (t) = f0sin(Ωt + σ) bi¸ciminde periodik bir dı¸s kuvvetin etkisi altında oldu˘gunu varsayac˘gız. Hareketi y¨oneten diferansiyel denklem ve ba¸slangı¸c ko¸sulları

¨

x(t) + 2λ ˙x(t) + ω2_{x(t) = f (t), x(0) = x}

0, ˙x(0) = v0 olacaktır. Bu denklem yerine z(t) kompleks fonksiyonunun sa˘gladı˘gı

¨

z(t) + 2λ ˙z(t) + ω2_{z(t) = f}