Fonksiyonların Limiti

www.mustafayagci.com.tr, 2014

Analiz ^Notları

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com

Fonksiyonların Limiti

kuduğunuz bu satırların yazarının, yani bendenizin, aynı ayın aynı gününde ama 4 yıl arayla doğmuş iki kızı vardır. Büyüğü- nün adı Neslihan, küçüğünün adı da Ceylin’dir. An- layacağınız Ceylin doğduğunda Neslihan’ın da do- ğum yıldönümüydü. Her ne kadar Neslihan ‘’Ben ondan 5 yaş büyüğüm, çünkü bugün ben 5’e gir- dim, o daha 0 yaşında!’’ dese bile yaşları farkı hep 4 olacak. Hem de tamı tamına 4. Çünkü aynı gün doğdular.

Lafı şuraya getireceğim: Yaşları farkının hep sabit kalacağını biliyoruz, peki yaşları oranı n’olacak?

Bu arada, hani derler ya ‘’Hiç ölmeyecekmiş gibi bu dünya için, yarın ölecekmiş gibi ahret için çalı- şın!’’ diye, siz de bu problemi kızlarım hiç ölmeye- ceklermiş gibi çözün. 

[2008/MY:] Şu an Neslihan 5 yaşında, Ceylin ise 1 yaşında olduğundan N/C = 5 ve C/N = 1/5, peki ge- lecek sene bu oranlar değişecek mi? Bakalım. Ge- lecek sene Neslihan 6, Ceylin ise 2 yaşında olaca- ğından N/C oranı 3’e düşecek, C/N oranıysa 1/3’e çıkacak. Ondan 1 sene sonra ise N/C oranı 7/3’e düşecek, C/N oranıysa 3/7’ye çıkacak. N/C oranı- nın devamlı azalacağını, C/N oranınınsa devamlı artacağını anlamış olmalısınız. Peki bu oranlar bir yerde birleşecekler mi? Birleşeceklerse nerde? Bir- leşmeyeceklerse neden? Bunu inceleyeceğiz. N/C ve C/N oranlarının yıllar geçtikçe değerlerini göste- ren 2008 yılına göre bir tablo yapalım.

1 Yıl sonra

2 Yıl sonra

3 Yıl sonra

10 yıl sonra

20 yıl sonra

50 yıl sonra N/C 3.000 2.333 2.000 1.363 1.190 1.078 C/N 0.200 0.428 0.500 0.733 0.840 0.927 Biraz da abartalım:

100 yıl sonra N/C = 1.039, C/N = 0.961 500 yıl sonra N/C = 1.007, C/N = 0.992

Fark etmiş olmalısınız. N/C oranı azalarak 1’e yak- laşıyor, C/N oranıysa artarak 1’e yaklaşıyor. Peki iki orandan biri herhangi bir zaman 1 olabilir mi?

Hayır, oranının 1 olması ‘’Öyle bir gün gelecek ki iki kızım da aynı yaşta olacak!’’ demek. Bu da mümkün değil.

Dikkat ettiyseniz oranların 1 olamamaları 1’e yak- laşmalarını engellemiyor. İşte biz bu duruma ma- tematikte, N/C oranının limiti 1’dir deriz. Hatta C/N oranının da limiti 1’dir.

Yukarda anlattığımız hikayeyi, N/C ve C/N oranla- rını fonksiyon şeklinde yazarak şöyle matematikleş- tirebiliriz:

N/C oranı günümüzden x yıl sonra 5 1

x x



 olacağın- dan

lim 5 1

1

x

x x



   

  

  ,

benzer şekilde x yıl sonra C/N oranı 1 5

x x



 olaca- ğından

lim 1 1

5

x

x x



   

  

  .

Fonksiyonların x (yani değişken) sonsuza giderken limiti bulunabileceği gibi, x herhangi bir reel sayıya giderken de limiti bulunabilir. Bunu da başka bir fonksiyon ile izah edelim.

Örneğin,

f : ℝ↦ℝ, f (x) = 3x

fonksiyonunu ele alalım. x sayısı 4’e yaklaşırken f (x)’in kaça yaklaştığını bulacağız. Tahmini zor olmasa gerek, biz yine de bakalım. Tabi x’e nerden yaklaştığın da önemli. 4’ten küçük sayılardan arta- rak da olabilir, 4’ten büyük sayılardan azalarak da… Önce 4’ten küçük sayılardan, arta arta 4’e yaklaşalım bakalım:

O

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik x = 3,8 iken y = f (3,8) = 3·(3,8) = 11,4

x = 3,9 iken y = f (3,9) = 3·(3,9) = 11,7 x = 3,95 iken y = f (3,95) = 3·(3,95) = 11,85 x = 3,99 iken y = f (3,99) = 3·(3,99) = 11,97 x = 3,999 iken y = f (3,999) = 3·(3,999) = 11,997

Görüldüğü üzere x, 4’e yaklaşırken y değeri ayan beyan 12’ye yaklaşıyor. Bu durumu artık

lim ( ) 124

x _ f x

 

yazarak göstereceğiz. 4’ün üzerindeki “−” işareti 4’e sayı doğrusu üzerinde sol taraftan yani 4’ten daha küçük sayılardan yaklaştığımızı anlatmaya ça- lışır. Bir de 4’e, 4’ten daha büyük sayılardan azala azala yaklaşalım bakalım:

x = 4,1 iken y = f (4,1) = 3·(4,1) = 12,3 x = 4,05 iken y = f (4,05) = 3·(4,05) = 12,15 x = 4,01 iken y = f (4,01) = 3·(4,01) = 12,03 x = 4,001 iken y = f (4,001) = 3·(4,001) = 12,003

Görüldüğü üzere, x, 4’e sağdan yani 4’ten daha bü- yük sayılardan yaklaşırken y yine ayan beyan 12’ye yaklaşıyor. Bu durumu da artık

lim ( ) 124

x _ f x

 

yazarak göstereceğiz. Burada 4’ün üzerindeki ‘’+”

işareti de 4’e sayı doğrusunda sağ taraftan yaklaştı- ğımızı anlatır.

İşte burada olduğu gibi, x herhangi bir sayıya sol- dan veya sağdan yaklaşırken y’nin yaklaştığı sayı aynı reel sayıysa, fonksiyonun o noktada limiti var- dır denir ve limit değeri y’nin yaklaştığı reel sayı- dır.

Limit hesaplamalarında fonksiyonun grafiğini dü- şünmek çoğu zaman çok faydalıdır. Neyi düşün- memiz gerektiğini anlatayım. Örneğin aşağıda belli bir aralıkta grafiği çizilmiş, (a, b) noktasından ge- çen f fonksiyonunun a noktasındaki limitini bulma- ya çalışalım.

O y

x a b

y = f(x)

Elinizi fonksiyon grafiğinin üzerine koyun ve gra- fik üzerinde sol taraftan sağ tarafa doğru hareket et- tirin. Eliniz fonksiyon üzerinde a apsisli noktaya yani (a, b) noktasına doğru giderken üzerinden geç- tiğiniz noktaların ordinatlarının siz tam o noktaya yaklaşırken kaça doğru yaklaştığına bakın.

O y

x a b

y = f(x)

Göreceksiniz ki, (a, b) noktasına yaklaştıkça, ordi- natlar da b’ye yaklaşıyor. Gönül rahatlığıyla söyle- yebilirsiniz ki lim ( )

x a_ f x b

  ’dir.

Şimdi de sağ taraftan sol tarafa yaklaşalım.

O y

x a b

y = f(x)

Yine göreceksiniz ki, grafiğin sağ tarafından (a, b) noktasına yaklaşırken, üzerinden geçtiğiniz noktala- rın ordinatları azalarak b’ye doğru gidiyor.

O halde lim ( )

x a_ f x b

  ’dir.

lim ( ) lim ( )

x a f x x a f x b

 

   

olduğundan da lim ( )

x a f x b

  ’dir.

Dikkat ettiyseniz, limiti belirlerken hiç ama hiç f (a) = b

mi değil mi diye ilgilenmiyoruz. Yani, grafik

O y

a x b

y = f(x)

c

şeklinde olsaydı da lim ( )

x a f x b

  olacaktı. Fonksi- yon a’da tanımsız ya da b dışında başka bir sayı olarak tanımlı olsaydı bile…

Bir fonksiyonun belirli bir a reel sayısında bir gö- rüntüye sahip olması ya da olmaması fonksiyonun o noktadaki limitini etkilemez, ''sürekli'' olup olmadı- ğını etkiler.

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik Nedir bu “süreklilik”?

f : A↦ℝ bir fonksiyon olsun. a A olmak üzere, x = a noktasında üç durumla karşılaşabiliriz:

 Ya lim ( )

x a f x

 yoktur,

 Ya lim ( )

x a f x

 vardır fakat lim ( ) ( )

x a f x f a

  ’dır,

 Ya da lim ( )

x a f x

 var ve f (a)’ya eşittir.

İşte üçüncü durumda, fonksiyon a noktasında sü- reklidir deriz. Hem limit var olacak hem de o nok- tadaki görüntü, o noktadaki limit değerine eşit ola- cak. Bunu biraz grafik yardımı ile anlatalım.

O y

a x b

y = f(x)

Örneğin, yukardaki grafikte hem lim ( )

x a f x b

  hem de f (a) = b olduğundan f fonksiyonu a noktasında süreklidir.

Sürekliliği kabaca şuradan anlayabilirsiniz. Fonksi- yon grafiğini tam o noktada elinizi kaldırmadan çi- zebiliyorsanız, fonksiyon o noktada süreklidir. Şe- killerden takip ederseniz daha rahat anlayabilirsi- niz.

O y

a x b c

y = f(x)

Bu grafik için; lim ( )

x a f x

 yoktur, bundan dolayı sü- rekliliğin lafı bile edilemez, sürekli değildir. Sürek- siz olduğu nokta sorulursa da cevaba ‘’a’’ demeli- yiz.

O y

a x b

y = f(x)

c

Bu grafik için, lim ( )

x af x b

  ’dir, fakat f (a) değeri b değil c’dir. Bundan dolayı a noktasında sürekli de- ğildir. Grafiği çizerken (a, c) noktasını işaretlemek için elimizi kaldırmamız gerektiğini düşünün.

O y

x a b

y = f(x)

Bu grafik için, lim ( )

x a f x b

  ’dir, aynı zamanda da f (a) değeri b’ye eşittir. Dolayısıyla fonksiyon a noktasında süreklidir. Görüldüğü üzere a apsisli noktadan elimizi kaldırmadan geçebiliyoruz.

Sürekliliği şu an araya girerek anlatmamızın nedeni birçok limit problemini birkaç saniyede çözmeye yardım etmesinden kaynaklanıyor. Görülüyor ki, her noktada sürekli olan fonksiyonlarda herhangi bir noktadaki limit değeri o noktadaki görüntüye eşit. Dolayısıyla biz uzun uzun soldan sağdan limit bakacağımıza fonksiyon o noktada sürekli mi değil mi ona bakalım, eğer sürekliyse direkt olarak o noktadaki görüntüsünü limit olarak cevaplayalım.

Peki fonksiyonun sürekli olup olmadığını nere- den anlayacağız?

Süreksizlik daha çok tanımsızlık veya belirsizlik durumlarında çıkar. Tanımlı olduğu halde süreksiz- likler de mevcuttur ama.

Örneğin x’e bağlı polinom fonksiyonlar hiç bir x reel sayısı için tanımsız veya belirsiz olamazlar, a > 0 iken y = a^x gibi üstel fonksiyonlar da öyle, x > 0 olmak üzere log x gibi logaritmik fonksiyon-₂ lar ve x ≠ a olmak üzere 1

x a gibi eğriler, daha neler neler…

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik Grafiklerini göz önüne getirirsek çok daha rahat an-

larız. Tabi, insan bilmediğini nasıl göz önüne getir- sin diyeniniz olabilir, iş yine başa düştü. Temel bazı fonksiyonların grafiklerini ben sizin yerinize çizip öyle anlatayım.

Sabit fonksiyonlar, yani cℝ olmak üzere

y = f (x) = c şeklindeki fonksiyonlar süreklidir.

Yukarda sadece bir örnek olarak resmedilmiş y = 2 doğrusuna bakarsanız, grafiğin hiç el kaldırılmadan sonsuza kadar çizilebileceğini görürsünüz. y = 3 ol- sa da böyledir, y = 2015 olsa da…

O halde sabit fonksiyonların herhangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki görüntüye eşit ola- caktır, yani c’ye.

 ^{lim 4}_x3

 



 

lim 53 5

x 

 ^{lim 5}_xπ

 

 ^lim_xπ

 

Doğrusal fonksiyonlar, yani kuralları birinci dereceden polinom olan fonksiyonlar da süreklidir.

Daha açık olarak,

a ve b birer reel sayı olmak üzere y = ax + b

şeklindeki fonksiyonlar süreklidir.

Grafikte sadece bir örnek olarak y = x + 1 çizilmiş durumdadır. Hiçbir yerde tanımsız ya da belirsiz olmadığına dikkat ediniz. Çizerken el kaldırılmadı- ğına da! y = 2x olsa da böyle olacaktı, y = x + 2015 olsa da…

O halde birinci dereceden polinom fonksiyonların herhangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

 ^lim_x3

 



 

lim 23 2 3 6

x x

   

 ^{lim 2}_xπ





 _x^lim_{ 2}





İkinci dereceden fonksiyon- lar da süreklidir. Genel ola- rak

a, b ve c reel olmak üzere y = ax² + bx + c şeklindeki fonksiyonlar süreklidir.

Grafikleri adına parabol dediğimiz şekildedir. Sa- dece bir örnek olarak 2y = x² + 2x  8 parabolünü çizdik. Hiçbir yerde duraksama olmadığına dikkat edin.

O halde ikinci dereceden polinom fonksiyonların herhangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

 ^lim_x3

 

 ^lim_x3





 ^lim_x3





 _x^{lim 2}_{ 2}





 

Kübik fonksiyonlar da süreklidir. Daha açık olarak;

a, b, c ve d birer reel sayı ol- mak üzere

y = f (x) = ax³ + bx² + cx + d şeklindeki eğriler, yani kübik fonksiyonlar da süreklidir.

Yanda örnek olarak y = x³ gra-

fiğini çizdik. Herhangi bir noktada limit mi sorulu- yor, koy x yerine bitsin!

O halde ikinci dereceden polinom fonksiyonların herhangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

y

x

0

2 y=2

y

0 1 x

1 x+y=1

y

0 x

-2 4

-4

2y=x +2x-8²

y

x

0

y=x³

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik

 ^lim_x1

 

 ^lim_x1





 ^lim_x1





 ^lim_x2





Uzatmadan şunu belirtelim. Kuralı bir polinom olan tüm fonksiyonlar süreklidir. Derecesi fark et- mez! Hatırlarsanız polinomlar hiçbir x reel değeri için tanımsız veya belirsiz olamazlardı.

a pozitif olmak üzere y = f (x) = a^x şeklindeki üstel fonksiyonlar da süreklidir.

Yanda örnek olarak y = 2^x

grafiğini çizdik. Dur durak bilmediğinden belli!

O halde yukardaki gibi üstel fonksiyonların her- hangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki gö- rüntüye eşit olacaktır.

 ^{lim 3}_x1

 

 ^{lim 4}_x2

 

 ^{lim 3}_x1

 

 ^{lim ( 2)}_x5





nℕ⁺ ve g(x) bir sürekli bir fonksiyon olmak üzere

y = f (x) = ^2n1g x( ) fonksiyonları da süreklidir.

Kök derecesinin pozitif tek sayı olduğuna dikkat edin

ama. Biz örnek olarak y³x grafiğini çizdik.

O halde yukardaki gibi tek dereceden köklü fonksi- yonların herhangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

 ^{3 3}

lim8 8 2

x x

  

 ^{3 2 3 2}

lim3 15 3 3 15 3

x x x

      

 ^{3 5 3 1 5}

lim 21 ^x 2 4

x

 

  

Mutlak değer fonksiyonu da süreklidir.

Genel olarak;

g(x) sürekliyse y = f (x) = |g(x)|

fonksiyonları süreklidir.

Tabi ki süreksiz bir fonksiyonun mutlak değeri sü- reklidir diye bir şey demiyoruz. Evvela g(x) sürekli olacak. Resmedilen y = |x − 1| grafiğine bakarsanız hiçbir yerde el kaldırmadan çizmenin mümkün ol- duğunu fark edin.

O halde yukardaki gibi mutlak değer fonksiyonları- nın herhangi bir reel a noktasındaki limiti o nokta- daki görüntüye eşit olacaktır.

 lim 28 1 2 8 1 17

x x

     

 ^{3 3}

lim64 64 64 60

x x x

    

 ^{2 1 2 1 1}

lim 41 ^x 4 64

x

  

  

y

x 0

y

0 x

y=sinx 1 y=cosx

g(x) sürekli bir fonksiyon olmak üzere

y = f (x) = sin(g(x)) ve y = f (x) = cos(g(x)) fonksiyonları süreklidir.

Sadece birer örnek olarak y = sin x ve y = cos x gra- fiklerini çizdik.

O halde yukardaki gibi sinüs ve kosinüs fonksiyon- larının herhangi bir reel a noktasındaki limiti o nok- tadaki görüntüye eşit olacaktır.



 

lim sinπ sin π 0

x x

  

 ^{lim cos 2}_xπ





 _π

 

2

lim sin(cos ) sin(cos ) 0π

x 2

x



 

 ^{lim cos(3}_x3





y

x 0

1

y=2^x

y

x 0

y= x³

y

x

0 1 1

y=|x|

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik

Tanım aralığında süreklilik

Bazı fonksiyonlar her yerde değil ama tanımlandık- ları bölgelerde süreklilerdir.

a, 1’den farklı bir pozitif sayı ve g(x) sürekli bir fonksiyon olsun.

y = f (x) = loga g(x) fonksiyonu g(x)’in pozitif olduğu yerlerde sürekli- dir.

g(x)’in negatif olduğu zamanlar, zaten f diye bir fonksiyondan bahsedemeyiz bile.

Örnek olarak, y = log₂ x fonksiyonunu düşünürsek, fonksiyonun tanımlı olması için x’in pozitif reel sa- yı olması lazım. x bu şartlara uyduğu sürece bu lo- garitma fonksiyonu süreklidir.

O halde yukardaki gibi logaritmik fonksiyonların tanımlı oldukları herhangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

 lim log (2





x x

    

 lim log (4 )3





x  

 ₁ ³ ₁ ³

8 2 2

lim log ( ) log ( 8) 1

x x



 

  

 

 

Karekök fonksiyonu dedi- ğimiz y x fonksiyonu da süreklidir. Genel olarak, g(x) sürekli bir fonksiyon olmak üzere

( ) ( )

y f x  g x

fonksiyonu g(x)’in tanımlı ve pozitif olduğu aralık- larda süreklidir. Biz örnek olarak y x eğrisini çizdik. x > 0 olduğu sürece sorun yok.

O halde yukardaki gibi kareköklü fonksiyonların tanımlı oldukları herhangi bir reel a noktasındaki limiti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

 ^lim_x2





 lim3

 

x  

 ^lim_x8





a, b, c ve d birer reel sayı olmak üzere

( ) ax b y f x

cx d

  

 şeklindeki rasyonel fonk- siyonlar, ℝ−{ d

 } kü-c mesinde yani f (x)’in ta-

nımlı olduğu kümede süreklidir.

Biz örnek olarak

1 y x

 x

 fonksiyonunun grafiğini çizdik. Eğer 1’de limit sorulsaydı sol limit ile sağ limit birbirlerine eşit olmadıklarından (hatta eşit ol- salardı bile reel sayı olmadıklarından) limit yok di- yecektik.

2 4 2 y x

x

 

 bağıntısını düşünelim.

0 y

x y =

2 -2

4

2

x  4 x 2

2

Eğer bu bağıntı ℝ−{2} kümesinden ℝ kümesine tanımlanırsa fonksiyon olacağından, bu fonksiyona da tanım kümesinde süreklidir diyebiliriz. Evet, haklısınız, x = 2’de süreksizdir ama 2 tanım küme- sinde yoktur ki! Ayrıca bu fonksiyonun 2 noktasın- da limitinin de var olduğuna dikkat ediniz. O nok- tada belirsiz olduğu halde limitinin var olabileceği- ne güzel bir örnektir.

O halde yukardaki gibi rasyonel fonksiyonların ta- nımlı oldukları herhangi bir reel a noktasındaki li- miti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

 2

1 2 1 1 lim^x 1 2 1 3

x x



 

 

 

 ₁

1

4 1 4 1 1

lim 1

3^x 3

x

x



    

 π

2 sin 2 sin π

lim 2

cos cos π

x

x x



 

  

 4

2 4 2

lim 4

1 4 1

x

x x



   

 

y

0 1 x

y=log x₂

y

x 0

y= x

y

x

0 1

1

y= xx-1

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik y

x

0 



y=tanx y

x

0 

y=cotx

y = f (x) = tan x fonksiyonu, π/2’nin tek katlarında tanımsızdır. Diğer tüm yerlerde tanımlıdır. Tanımlı olduğu her yerde de süreklidir.

y = f (x) = cot x fonksiyonu da π’nin katlarında ta- nımsızdır, diğer her yerde tanımlı ve üstüne üstlük süreklidir.

O halde yukardaki gibi tanjant fonksiyonlarının ta- nımlı oldukları herhangi bir reel a noktasındaki li- miti o noktadaki görüntüye eşit olacaktır.

 ^{lim tan}_xπ





 π

π π

lim tan(2 ) tan(2π ) 3

3 3

x x



    

 

 

 _π

 

2

lim cot 3 cot 3π 0

x

x



 

Şu ana kadar anlattıklarımızın özetini şu cümleyle yapabiliriz:

‘ lim ( )

x a f x

 kaçtır?’ sorusunda a değeri f (x) için kri- tik bir nokta değilse (fonksiyonu tanımsız veya be- lirsiz yapmıyorsa), direkt olarak

lim ( ) ( )

x a f x f a

  ’dır

diyoruz, bitiyor!

‘Ya kritik noktaysa?’ya geleceğiz, biraz sabır!

Örnek. f : ℝ↦ℝ,

( ) 3^x f x 

fonksiyonu veriliyor. Fonksiyonun 0 ve 4 noktala- rındaki limitlerinin toplamı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 4 D) 81 E) 82 Çözüm: Kabaca, 3^x’i tanımsız veya belirsiz yap- mak mümkün değil diye 3^x fonksiyonu her yerde süreklidir. O halde

0 0

lim ( ) lim3^x

x f x x

   = 3⁰ = 1,

4 0

lim ( ) lim3^x

x f x x

   = 3⁴ = 81 olduğundan 1 + 81 = 82 olmalıdır.

Doğru cevap: E.

Örnek.

2 1

lim 25 ^{x x} x

 



limitinin değeri (varsa) kaçtır?

A) 1 B) 0 C) 1 D) 2²¹ E) Yoktur Çözüm: y2^{x2 x 1} fonksiyonu her x reel sayısı için sürekli olduğundan x = 5 değerini direkt olarak yerine yazalım.

2 2 2

lim (5 1)

- 1 5 5 1 21

lim 25 ^{x x} 2^{x x x} 2 2

x

  

  

    .

Doğru cevap: D.

Örnek.

3

lim1

x x x

 

limitinin değeri (varsa) kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) Yoktur Çözüm: |x³ − x| fonksiyonu her x reel sayısı için sü- reklidir. Dikkat ederseniz tanımsız belirsiz yapmak da mümkün değil. O halde hemen x yerine 1 yaza- lım.

3 3

lim1 1 1 0

x x x

     .

Doğru cevap: C.

Örnek.

3 1

lim 3 5

x

x x





 ifadesi kaça eşittir?

A) 4 B) 1 C) 0 D) 1 E) Yoktur Çözüm: Fonksiyon sadece 5 noktasında süreksiz- dir. Fakat x = 5’te değil de x = 1’de limit soruldu- ğundan hemen x yerine 1 yazalım.

3 3 3

1

3 1 3

lim 1 1

5 1 5

x

x x



      

  .

Doğru cevap: B.

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik Örnek.





lim log (3 1)

x x

 

limitinin değeri (varsa) kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) Yoktur Çözüm: x > 1 olduğu sürece log4(x + 1) fonksiyo- nu sürekli olduğundan hemen x yerine 3 yazalım.





lim log (3 1)

x x

  = log₄ (3 + 1) = log₄ 4 = 1 Doğru cevap: D.

Limit Hesaplarında Dört İşlem

İki farklı fonksiyonumuz var olsun. Birinin a’daki limiti  , diğerinin de ₁  olsun. O halde bu fonksi-₂ yonların

 toplamının a’daki limiti ₁ , ₂

 farklarının a’daki limiti ₁ , ₂

 çarpımının a’daki limiti   , ₁ ₂

 bölümünün a’daki limiti de ¹

2



 olur. (₂0)

Örnek. İkisi deℝ’de tanımlı

f (x) = 2x³ ve g(x) = x² − 1 fonksiyonları verilsin.

 

lim1 ( ) ( ) ,

x f x g x

 

 

lim2 ( ) ( ) ,

x f x g x

 

 

lim1 ( ) ( ) ,

x f x g x

 

2

lim ( ) ( )

x

f x g x



 

 

 

değerlerini bulunuz.

Çözüm: Verilen fonksiyonların her reel sayı için sürekli olduklarını biliyoruz. O halde limit istenen noktaları direkt olarak yerine yazabiliriz. İsteyen

f (x) + g(x), f (x) − g(x), f (x)‧g (x) ve ( )

( ) f x g x

değerlerini hesaplayıp, orada noktaları yerlerine ya- zabilir.



 

1 1 1

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x f x g x x f x x g x

     

= 2‧1³ + 1² − 1 = 2,



 

2 2 2

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x f x g x x f x x g x

     

= 2‧2³ − (2² − 1) = 16 − 3 = 13,



 

1 1 1

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x f x g x x f x x g x

     

= 2‧(−1)³‧[(−1)² − 1] = −2‧[0] = 0,

 ²

2

2

lim ( ) lim ( )

( ) lim ( )

x x

x

f x f x

g x g x







  

 

 

3 2

2 ( 2) 16

( 2) 1 3

  

 

  .

Örnek.

3 2

3 2

lim 3 3

x

x x

x







ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 3

2 B) 1

2 C) 0 D) 3 E) 6 Çözüm: 3 değeri bu fonksiyon için kritik bir nokta olmadığından sadece x yerine 3 yazmak yeter.

3 2

3 2 3 2

3

2 2 2

3

3

lim( 3 )

3 3 3 3 0

lim 0

3 lim( 3) 3 3 6

x x

x

x x

x x

x x







       

   .

Doğru cevap: C.

Örnek. f : ℝ↦ℝ−{2}, ( ) 3

2 f x x

x

 



fonksiyonunun 1 noktasındaki limiti kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Çözüm: Fonksiyonun tek kritik noktası var, o da 2.

Ama soruda 2 noktasında limit sorulmuyor. 1 nok- tasındaki limit soruluyor. 1 kritik değil diye hemen x yerine 1 yazacağız.

1 1

3 1 3

lim ( ) lim 4

2 1 2

x x

f x x

x

 

 

   

  .

Doğru cevap: B.

Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Fonksiyonların Limiti ve Süreklilik Örnek.

O y

1 3 5 7 x

3 2 1 2

3 y = f(x)

Yukarıda grafiği verilmiş fonksiyonun nerelerde sü- rekli nerelerde süreksiz olduğunu belirterek, −3,

−2, 0, 1, 3, 5, 7 noktalarındaki limitlerini varsa bu- lalım.

Çözüm: −2, 1, 3, 7 apsisli noktalarda el kaldırma- dan çizmek mümkün olmadığından bu noktalarda fonksiyon süreksizdir, diğer her yerde süreklidir.

Sürekli olduğu noktalarda limit değeri de görüntüye eşittir. Bu kısıtlamalar altında sorulan soruları ce- vaplayalım.

 lim ( ) 0,3

x f x

 

 lim ( ) 2,0

x f x

 

 lim ( ) 0,5

x f x

 

 lim ( ) 12

x f x

  ama

lim2 ( ) 3

x f x

  olduğundan lim ( )2

x f x

 yoktur,

 lim ( ) 01

x _ f x

  ama

lim ( ) 21

x _ f x

  olduğundan lim ( )1

x f x

 yoktur,

 lim ( ) 33

x f x

   ama

lim ( ) 13

x f x

   olduğundan lim ( )3

x f x

 yoktur,

 lim ( ) lim ( ) 17 7

x _ f x x _ f x

    olduğundan

lim ( ) 17

x f x

  ’dir.

Örnek.

f, grafiği yanda verilen bir fonksiyondur.

Bu fonksiyonun x’in 2, 3, 4 değerinden bazıları için var olan limitleri toplamı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Çözüm:

lim ( ) 23

x _ f x

  ama

lim ( ) 03

x _ f x

  yani x = 3 noktasında soldan limit değeriyle sağdan limit de- ğeri eşit olmadığından x = 3’te limit yoktur. Diğer yandan

2 2

lim ( ) lim ( ) 3

x _ f x x _ f x

    diye

lim ( ) 32

x f x

  ve

4 4

lim ( ) lim ( ) 1

x _ f x x _ f x

    diye

lim ( ) 14

x f x

  ’dir.

O halde var olan limitler toplamı 3 + 1 = 4’tür.

Doğru cevap: A.

Örnek. Yanda y = f (x) eğrisinin grafiği verilmiştir.

Buna göre

₁

3

( ( 1)) lim^x ( ) ( 2)

f f x f x f^ x





 

ifadesinin değeri kaçtır?

A) 3

5 B) 4

5 C) 5

4 D) 5

3 E) 5

Çözüm: _{1 1}

3

( ( 1)) ( (4))

lim^x ( 2) (3) (5)

f f x f f

x f^ x f f^



 

  

Fonksiyon grafiği (4, 0) noktasından geçtiği için f (4) = 0 dır. Şimdi bize f (0) lazım. Grafik (0, 5) noktasından geçtiğinden f (0) = 5’tir. Diğer yandan f ⁻¹(5) = 0 çıkar. Aynı zamanda f (3) = 3 olduğun- dan cevap

1

( (4)) (0) 5

(3) (5) 3 0 3

f f f

f f^  

  .

Doğru cevap: D.

Örnek. Yanda y = f (x) parçalı fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre

1

( 2) lim (2 )

x

f x

f x





 ifadesinin değeri kaçtır?

A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2 Çözüm: x → 1⁻ ise x + 2 → 3⁻ ve 2 – x → 1⁺ olur.

3 1

1

lim ( )

( 2) 2

lim 2

(2 ) lim ( ) 1

x x

x

f x f x

f x f x













 

   

 .

Doğru cevap: A.

y

x

0

y= f (x) 3 3

5

4

y

x

0

y= f (x)

1 1

3 -1

y -2

x 0 1 2 3 4 1

2 3

4 y= f (x)