PARALELKENAR PARALELKENAR
PARALELKENAR TANIMI VE ÇEVRESİ PARALELKENAR TANIMI VE ÇEVRESİ
Karş ılık l ı k enarları birbirine paralel olan dörtgene PARALELKENAR denir.
[AB]//[CD] ve [AD]//[BC] ise ABCD paralelk enardır.
Paralel olan kenarlar eşittir.
│ AB │= │CD │= a cm ve
│ AD │= │BC │= b cm dir.
Karş ılık l ı aç ılar ın ölçüleri eşittir.
m(̂A)=m(̂C) ve m(̂B)=m(̂D)
Bir k enar ın ucundak i iç aç ılar bütünlerdir.
m(̂A)+m(̂D)=180o m(̂A)+m(̂B)=180o m(̂B)+m(̂C)=180o m(̂B)+m(̂D)=180o
Çevre( ABCD)= 2.(a+ b) dir.
Örnek...1 : Örnek...1 :
ABCD paralelk enar [AF] açıort a y
m(̂DCB)=70o , m(^ADE)=x , m(^ABC)=y ise y −x k aç derecedir?
Örnek...2 : Örnek...2 :
ABCD paralelk enar m(^ADT)=m(^CDT )
│BT │= x cm
│CD│= 3x cm
│BC │= 7 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?
PARALELKENARDA KÖŞEGENLER PARALELKENARDA KÖŞEGENLER Köşegenler
birbirini ortalar.
Köşegenlerin kesim nok tas ı ağırl ık merke zidir.
│AC│= e, │BD│=f olm ak üzere,
e2+f2= 2.(a2+ b2) dir.
Örnek...3 : Örnek...3 :
ABCD
paralelk enar, E orta nok ta ve O k öşegenlerin k esim nok tasıd ır.
│OF│= 4 cm ise
│BD│ kaç cm dir?
Örnek...4 : Örnek...4 :
ABCD
paralelk enar, O k öşegenlerin k esim nok tasıd ır.
│AO│= 4 cm
│CD│= 5 cm
│BC│= 4 cm ise
│BD│ kaç cm dir?
[AF] , [BF] , [CE] ve [DE]
açıort a yl arı orta taban ü zerinde dik kesişir.
│PR│= |a−b|
PERF bir dik dörtgendir.
www.matbaz.com
B D C
A a
b
B C D
A
O
a b
B D C
A P
E R F
a b
D C
A B
E F
100o 70o x
y
D 3x C
B A
7
T x
D C
A B E
O F 4
D C
A B
O
Örnek...5 : Örnek...5 :
ABCD paralelk enar, [AF], [BF], [CE] ve [DE] açıort a yl ar.
3. │AD│= 2.│AB│
olduğuna göre,
|EF|
Çevre(ABCD) oranı k açt ır?
Örnek...6 : Örnek...6 :
ABCD paralelk enar, [AE] ve [BE]
açıort a yl ar.
│AB│= a cm
│BC│= b cm
olduğuna göre, a ile b arasındak i bağ ınt ıyı bulunuz?
ABCD paralelk enarın da, E ile F kenarların orta noktaları olmak üzere,
│AK│= │KL│= │LC │ dir.
Örnek...7 : Örnek...7 :
ABCD
paralelk enar, AEF üçgen [DB] köşegen ve E ile F orta nok talardır.
│DK│= 12 cm ise
│EF│− │BL│ k aç cm dir?
Örnek...8 : Örnek...8 :
ABCD
paralelk enar, [AC] k öşegen E ve F bulunduk ları k enarlar ın orta noktas ı ve
|KE | = 3 cm ise
|BF | k aç cm dir?
ABCD
paralelk enar ında, [BD] köşegen olmak üzer e,
│AK│2= │KF│.│KE│
Örnek...9 : Örnek...9 :
ABCD paralelk enar, ABE üçgen ve B, K, D doğrusald ır.
│AK│= 6 cm
│FE│= │KF│+ 1
│AE│ kaç cm dir?
ABCD paralelk enar,
[A AꞋ]//[BBꞋ]//[CCꞋ]//[DDꞋ] olm ak üzere,
│A AꞋ│= x cm
│BBꞋ│= z cm
│CCꞋ│= t cm
│DDꞋ│= y cm ise,
x+ t = y+ z dir.
www.matbaz.com
A B
C E
D F K
D C
A B E
L 12
K F
3
D C
A B
K L
F
E
A B
C E
D F K
D C
A B
K L
F
E
D C
A B K
L F
E
D C
B A
BꞋ CꞋ x
y
z t
d B
C D
A E
a
b B D C
A
E
P R
F
Örnek...10 : Örnek...10 :
ABCD paralelkenarında, [AAꞋ]//[BBꞋ]//[CCꞋ]//[DDꞋ] olmak üzere,
│AAꞋ│= 3 br
│BBꞋ│= 2 br
│DDꞋ│= 7 br ise,
│CCꞋ│kaç br dir?
Örnek...11 : Örnek...11 :
ABCD paralelkenarında, [AAꞋ] ⊥ d
[CCꞋ] ⊥ d [DDꞋ] ⊥ d
│AAꞋ│= a br
│CCꞋ│= (a+ 5) br
│DDꞋ│= (a+ 7) br ise, │CCꞋ│k aç br dir?
Örnek...12 : Örnek...12 :
ABCD paralelkenarında, [AAꞋ] ⊥ d , [BBꞋ] ⊥ d [CCꞋ] ⊥ d , [DDꞋ] ⊥ d
│AAꞋ│= 3 br
│BBꞋ│= 2 br
│CCꞋ│= 4 br ise,
│DDꞋ│kaç br dir?
PARALELKENARDA ALAN PARALELKENARDA ALAN
ÖZELLİKLERİ ÖZELLİKLERİ
ABCD
paralelk enar ı için alan şö yle hesaplanır.
Alan( ABCD)= a.ha = b.hb = a. b.sin α
Örnek...13 : Örnek...13 :
ABCD paralelkenar [DE] ⊥ [AB]
[DF] ⊥ [BC]
│DE │= h br
│DF│= h+3 br
│AB│= 8 br
│BC│= 5 br olduğuna göre,
│AE│kaç birimdir?
Örnek...14 : Örnek...14 :
ABCD paralelkenar m(^BCD)=30o
│AB│= 8 br
│AD│= 5 br olduğuna göre, paralelkenarın iç bölgesinde alınan bir noktanın kenarlara uzaklıkları toplamı kaçtır?
www.matbaz.com
D C
A B
AꞋ DꞋ
BꞋ CꞋ 3
7
2 d
D C
A B
AꞋ DꞋ
CꞋ d
D C
A AꞋ
DꞋ
CꞋ d B
BꞋ
B D C
A b
a ha hb α
E
F
B C D
A
h h+3
E
F 4
8
B D C
A 5
8
30 o
[BD] k öşegeni paralelk enar alan ın ı ik i eşit bölge ye a yır ır.
Örnek...15 : Örnek...15 :
ABCD paralelkenar [CH] ⊥ [BD]
[BD] ∩ [AC]= {O}
5.│OH│= 2. │OD│
│AD│= 5 br
│CH│= 4 br olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?
ABCD paralel kenarın ın alan ını 4 eşit bölge ye a yırm ak
Örnek...16 : Örnek...16 :
ABCD paralelkenar [OH] ⊥ [AB]
[BD] ∩ [AC]= {O}
│CD│= 6 br
│OH│= 2 br olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?
E
∈
[DC] olmak ü zere, Alan(AEC)= Alan(ABCD)2
Örnek...17 : Örnek...17 :
ABCD paralelkenar E ∈ [CD]
│EB │= 4. │BF│
2.│AG│=3.│FG│
Alan(ABCD)= 280 3 br2 olduğuna göre,
Alan(AEG) kaç birim karedir?
Örnek...18 : Örnek...18 :
ABCD paralelkenar E ∈ [CD]
[AF] ⊥ [BE]
2.│EB │= 6. │AF│=18 br olduğuna göre,
Alan(ABCD) kaç birim karedir?
P paralelk enarın içinde bir nokta ve çem ber içindeki if adeler üçgenlerin alanını belirtmek üzer e,
S1+S3= S2+S4 olur.
Örnek...19 : Örnek...19 :
www.matbaz.com
B C D
A
B C D
A B
C D
A
E
B C D
A
PS3 S1
S2 S4
B D C
A
O H
B D C
A 6
O
H B D C
A
E
F
B D C
A E
F G
B D C
A E
F
ABCD paralelek enar [AB] // [EF]
[BC] // [KL]
olmak ü zere, S1 .S3=S2 .S4 olur.
Örnek...20 : Örnek...20 :
ABCD paralelkenar [AB] // [EF] ,
[BC] // [KL] ve şekilde verilen alanlara göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?
ABCD paralelek enar, E ile F k enarların orta nok taları olm ak ü zere, üçgensel bölgelerin alanları şekildek i gibidir.
Örnek...21 : Örnek...21 :
ABCD paralelkenar Alan(ADE)=S br2 Alan(AEF)=39 br2 Alan(CEF)=T br2 olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?
ABCD paralelek enar, E ile F kenarlar ın orta nok talar ı ve [BD] köşegen olmak üzer e, üçgensel bölgelerin alanlar ı şek ildek i gibidir.
Örnek...22 : Örnek...22 :
ABCD paralelkenar Alan(ADL)=24 br2 Alan(CEF)=18 br2 Alan(DEL)=T br2 Alan(FELN)=P br2 Alan(BAN)=S br2 olduğuna göre, T+P+S toplamı kaç birim karedir?
ABCD paralelek enar, [AB] // [EF] ,
[BC] // [KL] ve [BD] köşegen olm ak üzere,
Alan( ALME)= Alan(FCKM) dir.
Örnek...23 : Örnek...23 :
ABCD paralelkenar [AB] // [EF] , [BC] // [KL] ve [BD] k öşegendir.
Alan(DEM)=9 br2 Alan(BMF)=4 br2 olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?
www.matbaz.com
B D C
A
E
F 2S
2S 3S
S
B C D
A
E
4S F
4S 5S
3S 4S
2S
2S
B D C
A E
S
F K
L S
P P
T
T M
B D C
A
E
F S
39 T B D C
A E
4 S 10
S+3 F K
L B
D C
A
E
24 F
S P
18 T
L
N
B C D
A E
9
F K
L
4 M B
D C
A E
S3
S1 S2
S4
F K
L
ABCD paralelek enar, [BD] k öşegeni ü zerinde herhangi bir K nok tası için,
Al an( AB K)= Al an(BCK) d ır.
Örnek...24 : Örnek...24 :
ABCD paralelkenarında [BD] köşegendir.
│AD│= 6 br
│CD│= 9 br ve K noktasının [AB] ye uzaklığı 4 br olduğuna göre, K noktasının [BC] ye uzaklığı kaç birimdir?
Örnek...25 : Örnek...25 :
MTBZ paralelkenarında [MR], [ZR] açıort a y
│MR│= 3 br
│ZR│= 4 br
│MT│= 8 br olduğuna göre, Alan(MTBZ) kaç birim karedir?
Örnek...26 : Örnek...26 :
MTBZ paralelkenarında [MR], [TR] açıort a y Alan(MRZ)=13 br2 olduğuna göre,
Örnek...27 : Örnek...27 :
ABCD paralelkenarında [AB] 6 eşit parça ya bölünm üştür.
[AC] ∩ [DE]= {F}
│AF│= 4 br olduğuna göre,
│CF│= x kaç birimdir?
Örnek...28 : Örnek...28 :
ABCD paralelkenarında taral ı alanlar birbirine eşit ve │DE│= 10 br olduğuna göre,
│EF│ kaç birimdir?
Örnek...29 : Örnek...29 :
KLPR paralelkenarında [KL] 6 eşit parça ya, [PR] 5 eşit parça ya bölünm üştür.
Buna göre, Alan(MTBZ)
Alan(KLPR) oranı k açt ır?
Örnek...30 : Örnek...30 :
ABCD paralelkenarında taral ı alanlar ın toplam ı EFG
www.matbaz.com
B D C
A
K
B C D
A
K 9
6
T B Z
M R 3 4
8
B Z
R
B D C
A E
4
x F
B D C
A E
10
F
L P R
K Z B
M T
D E C
G
F
DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME −− 1 1 1) ABCD bir paralelk enar
[AC] ∩ [BD]= {K}
∣AC∣=8br,∣DK∣=6br ,
∣AB∣=8br olduğuna göre,
∣BC∣ k aç birim dir?
2) ABCD bir
paralelkenar [AK], [BK] açıortaylar ,
K∈[DC] ,
|AB|=|BC|+4 , olduğuna göre Ç(ABCD) k aç birimdir?
3) ABCD bir paralelkenar [KL] ⊥ [CD] ,[AK] ve [BK] açıortaylar veriliyor
∣DL∣=6br ,∣LC∣=14 br
∣LK∣=3 olduğuna göre, Ç(ABCD) kaç birimdir?
4) ABCD bir paralelkenar [AC] ∩ [BD]={K} ve E ,[DC] nin orta noktası olarak veriliyor.
∣LK∣=4br olduğuna göre,
∣BD∣ kaç birimdir?
5) ABCD bir paralelkenar, A,K,E,F doğrusal noktalar.
[AF ]∩[DB]={K} |AK|=2x br,
∣KE∣=1+x br,
∣EF∣=2+x br olduğuna göre ∣AF∣
kaç birimdir?
6) ABCD bir paralelkenar, [DL] ⊥ [AB]
∣LK∣=5 br 3.∣AL∣=∣BL∣=6 br olduğuna göre A(ABCD) kaç birim karedir?
www.matbaz.com
A B
D C
K
A B
C D
K E
L
A B
D C
K E
F
C
A B
D
L
K C
A B
D K
A B
K
D L C
DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME −− 2 2 1) ABCD bir
paralelk enar F [DC]'nin, E [BC]'nin orta noktas ıd ır.
m(^C)=150o,
|DF|=4
√
3 brolduğuna göre, A(ABCD) k aç birim k aredir?
2) ABCD bir paralelkenar [CL], [DK] açıortaylar
m̂(ALK)=110o, m^(DAL)=130o, olduğuna göre
m^(DCK) kaç derecedir?
3) ABCD paralelkenarında
A(1,2), B(−5,−3), C(7,−6) ve D(m,n) ise a) ⃗AC.⃗BD iç çarpımı kaçtır?
b) BD doğrusunun eğimi kaçtır?
4) ABCD bir paralelkenar.
K,L,N,P doğrusal noktalar.
[AC] // [KP]
∣LK∣=x , ∣NL∣=x+1 ve
∣NP∣=2x−1 olduğuna göre
∣KP∣ kaç birimdir?
5) ABCD bir paralelkenar, P [AD]'nin , L [AB]'nin orta noktalarıdır.
∣KE∣=1+x A(0,24) ve C(−12,0) ise
K noktasının
koordinatları çarpımı kaçtır?
6) ABCD bir paralelkenar, E [DC]'nin orta noktasıdır.
m̂KCB=32o
m̂(KBC)−m̂(EKC)=?
www.matbaz.com
D C
B A
K
L
E 150o F
D C
B A
K
L 110o
A B
D C
P
K
L
N
D C(-12,0)
B A(0,24)
K
L P
A B
D C K
E
DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME −− 3 3 1) ABCD bir
paralelk enar F [DC]'nin, E [BC]'nin orta noktas ıd ır.
Alan(ELB)= 6 br2 olduğuna göre, A(ABCD) k aç birim k aredir?
2) ABCD bir paralelkenar,
L [AB] 'nın orta noktası 3.|LK|=2.|CK|, olduğuna göre
A (ABCD)
A(BLC) k açt ır?
3) ABCD paralelkenarında A(1,2), B(−5,−3), C(7,−6) ve D(m,n) ise A(ABCD) kaç birim karedir?
4) ABCD bir paralelkenar.
[KL] ⊥ [CB],
[AK] ve [BK] açıortay
|DL|=3br
|KL|=4br
∣KB∣=∣CL∣ olduğuna göre, A(ABCD) kaç birimdir?
5) ABCD bir paralelkenar, m(^AKB)=30o
∣AK∣=6 br ,
∣DK∣=14 br ise paralelkenarın alanı kaç birim karedir?
6) ABCD bir paralelkenar, K paralelkenarın içinde herhangibir noktadır.
Alan(AKD)=9−A br2 Alan(BKC)=3+A br2 A(KDC)=A(AKB)+2 olduğuna göre, Alan(BAK) kaçtır?
www.matbaz.com
D C
B A
K
L
C
A B
D
K 30o
C
A B
D
K
D C
B A
K
L
E F
6 A B
K
D C
L 3 4
DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME −− 4 4 1) ABCD bir
paralelk enar
A(APB)− A(SPR)= 6 br2 A(TNS)= 4 br2
olduğuna göre A(ADN) k aç birim k aredir?
2) ABCD bir paralelkenar
|CK|=|KB| 2.|AL|=|LB| ve Alan(DAL)=12 br2 ise A(ABCD) kaç birim karedir?
3) ABCD bir paralelkenar
∣CK∣=∣KB∣ ve
A(PAL)=6.A(BLK)=18 br2 ise A(ABCD) kaç birim karedir?
4) ABCD bir paralelkenar.
[KL] ⊥ [CB]
[KM] ⊥ [AB],
∣KM∣=6br,∣KL∣=8br m̂(BCD)=120o olduğuna göre A(ABCD) kaç birimdir?
5) ABCD bir paralelkenar, AD // KM , AB // LP
∣LR∣=10 br ,
∣RM∣=4 br 6.∣BM∣=∣AB∣ ise paralelkenarın alanı kaç birim karedir?
6) ABCD bir paralelkenar,
⃗AP=(0,−2)
⃗PB=(2,4) ise Alan(ABCD) kaçtır?
C
K
A B
D
L
C
K
A B
D
L 18
P
M B
A
D C
K 8 6
L
135o
A B
D C
R K
L
M P
C
B D
A P K C
D
A B
N T
S R P
www.matbaz.com