[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...5 : Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : =?

(1)

DETERMİNANT DETERMİNANT

A= [ai j]r x r bir kare m atris ise bu k are matrisi reel bir sa yı ya eşle yen fonk si yon a determ inant denir.

Bir A kare matrisinin determinant ı |A|

ve ya det(A) ile gösterilir ve 1. A= [ai j]1 x 1 ise det(A)= a1 1

2. A= [ai j]2 x 2 =

[

^{a b}c d

]

ise |A | = ad-bc olur.

3. A= [ai j]3 x 3 ise det (A) yı bulm ak için Sarrus kural ı (sadece 3x3 tipindek iler için) ve ya Laplace k uralı (en genel yönt em ) u ygulanır

SARRUS KURALI SARRUS KURALI

Sadece 3x3 tipindek i matrisler için geçerlidir.

Bu kurala göre, ilk iki sat ır 3. satır ın altın a ya zılarak esas k öşegeni yön ündek i elem anlar ının çarp ım ın ın toplam ları ile yan köşegeni yö nündek i elem anlar ının çarpım ı toplam lar ının f ark ı alınarak bulunur.

Bu işlem ilk ik i sütün sağa ya zılarak da yap ıl abilir.

A=

|

^{a b c}^{x y z}^{e f p}

|

⁼ ^{= I-II}

I= a. y.p+ x.f.c+ e.b. z II= c. y.e+ z.f .a+ p.b.x

Örnek...1 : Örnek...1 :

|

^{3 4}2 8

|

^=?

Örnek...2 : Örnek...2 :

∣

^{2002 1999}2000 1997

∣

^=?

Örnek...3 : Örnek...3 :

i sanal sa yı birimi olmak ü zere ,

[

^{1−i 6−2i}3+i 2+2i

]

matrisinin determinant ı kaça eşittir?

Örnek...4 : Örnek...4 :

∣

^{12 20 3}⁰¹ ⁰² ⁰⁷

∣

kaça eşittir?

Örnek...5 : Örnek...5 :

∣

^{−1 3 0}¹⁶ ^{3 2}^{2 4}

∣

kaça eşittir?

Örnek...6 : Örnek...6 :

i sanal sa yı birimi olmak ü zere,

∣

ⁱⁱⁱ²⁴⁵¹⁰⁰²⁶ ⁱⁱⁱ²⁸⁵¹²³²⁷ ⁱ¹⁷⁷ⁱⁱ⁴⁵⁰

∣

kaça eşittir?

www.matbaz.com

(2)

Örnek...7 : Örnek...7 :

∣

cos8^{sin8 −sin2}cos2

∣

= x ise tan 85⁰ in x türünden eşiti nedir?

MİNÖR VE KOFAKTÖR MİNÖR VE KOFAKTÖR

A= [ai j]r x r verilsin . Bu m atriste ai j

elem an ın bulunduğu satır ve sütun silinerek elde edilen matrisin

determ inant ına ai j nin minörü denir ve Mi j

ile gösterilir.

(–1)^{i + j}.Mi j= Ai j sa yıs ın a ise ai j nin kof ak törü (eş çarpan ı) denir

Örnek...8 : Örnek...8 :

1) M=

[

¹^{2 −1 0}⁷ ²² ⁶⁹

] matrisi için

M23

M31

A31

A12

A31

LAPLACE YÖNTEMİ LAPLACE YÖNTEMİ

Her m ertebeden kare m atris için geçerlidir.

Kare m atrisin determ inantı,bu m atrisin herhangi bir satır vek törü ile bu sat ır ı oluşturan elem anların k ofaktörlerinin oluşturduğu vek törün iç çarp ım ıdır. (a yn ı şe y sütun için de geçerlidir)

Örneğin A 3x3 tipinde bir m atris ise

∣A∣=a3 1.A3 1+ a3 2.A3 2+a3 3.A3 3 (3. sat ıra göre)

∣A∣ =a2 1.A21+ a2 2.A2 2+ a2 3.A2 3 (2. satır a göre)

∣A∣ =a1 2.A1 2+ a2 2.A2 2+a3 2.A3 2 (2. sütuna göre)

Örnek...9 : Örnek...9 :

[

²^{2 −1 3}³ ⁷¹ ⁰²

]

matrisinin determinant ın ı Laplace yönt em i yle hesapla yın ız.

www.matbaz.com

(3)

Örnek...10 : Örnek...10 :

[

^{1 −2 1 0}^{2 −1 2 0}⁵⁰ ¹¹ ^{2 3}^{2 0}

]

m atrisinin determ inantını iki f arkl ı şekilde hesapla yın ız.

DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ : DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ :

1) Bir determ inantın herhangi bir satır ı (ve ya sütununu n) tüm elemanlar ı sıf ır ise determ inantın değeri s ıf ır olur.

∣

^{a b 0}^{c d 0}^{e f 0}

∣ ⁼⁰⁼ ∣

^{0 0 0}^{c d h}^{e f g}

∣

Örnek...11 : Örnek...11 :

∣

cosec2^tan0 ^−ln1ln4

∣ ^=?

2) Bir determ inantın ik i satırdak i (ve ya sütundak i) elem anları k arş ılık l ı olarak orant ıl ı ise determ inantın değeri sıf ır olur.

∣

k.a k.b k.c^a ^b ^c e f r

∣

^{= 0}

Örnek...12 : Örnek...12 :

∣

^log7e^sin1^sin2 ^2cos1^ln34¹ ^sec1²^π

∣ ^=?

3) Bir A m atrisinin determ inantı ile transpo zunun determ inant ı birbirine eşittir. Det(A)= Det(A^T)

4) Bir determ inantın herhangi bir satır ı ve ya sütununu n bir k gibi reel sa yı ile çarp ılm as ı, bu determ inantın değerinin k ile çarp ılm asıd ır.

∣

k.x k.y k.z^a ^b ^c

∣

^=k.

∣

^{a b c}^{x y z}

∣

www.matbaz.com

(4)

Örnek...13 : Örnek...13 :

∣

^{a b}c d

∣

^{=x ise}

∣

^axcx² ^bxdx²

∣

x türünden nedir?

5) A nxn bo yutlu k are matris k R olsun.

Det(k .A) = kⁿdet(A)

6)A ve B nxn bo yutlu iki k are matrisinde Det(A.B) = det(A).det(B) olur.

Dola yıs ıyla Det(Aⁿ)= (det(A))ⁿ det (A^{- 1})= 1

∣A∣

7) Bir determ inant ın iki sat ır (ve ya ik i sütunu) k endi aralar ında yer değiştirirse determ inant ın işareti değişir.

∣

^{a b c}^{x y z}^{e f h}

∣

^{= -}

∣

^{e f h}^{x y z}^{a b c}

∣

8) Bir determ inant ın herhangi bir sat ırı (ve ya sütunu) k gibi bir reel sa yı ile çarpıl ıp başka bir sat ıra (ve ya sütuna) ek lenirse determinant ın değeri değişme z.

|

^{a b c}^{x y z}^e ^{f h}

|

⁼

|

x+k .a y+k . b z+k. c^a ^b ^c

e f h

|

UYARI UYARI

Bu özelliği determinant ı hesaplam adan elem anlar ın ba zılar ın ı 0 yapm ak için kullanırız

Örnek...14 : Örnek...14 :

∣

^{x x+2}x x+1

∣

^=?

9)Bir nxn matrisinin herhangi iki sat ırının elem anların ın her biri r tane elem anın ın toplam ına eşitse; matrisin determinant ı n inci m ertebeden r tane m atrisin

determ inantları toplam ı olarak ya zılabilir.

∣

^{a+ x b}c+y d

∣

⁼

∣

^{a b}c d

∣

⁺

∣

^{x b}y d

∣

10) Alt ve ya üst üçgen m atriste determ inant esas köşegen elem anları çarp ım ıd ır.

∣

^{a b c}^{0 u z}^{0 0 r}

∣

^{= a.u.r}

Örnek...15 : Örnek...15 :

1) A=

[

²⁰^{1 −3}¹⁵ ⁻²¹⁴

] ^ise

^∣A∣

^=?

www.matbaz.com

(5)

Örnek...16 : Örnek...16 :

Takip eden 4 uygulamada determinantı hesaplamayınız, bir önceki bulduğunuz determinant değeri ve determinant özelliklerini kullanınız.

1) A=

[

²⁰^{1 −3}¹⁵ ⁻²¹⁴

] ^ise

^∣A^T^∣

^=?

2) A=

[

¹⁰⁰^{1 −3}⁵⁵ ⁻²⁵⁴

] ^ise

^∣A∣

^=?

3)

∣

²^{0 15 −12}^{1 −3}¹ ²⁸

∣ ^=?

4)

∣

²^{0 −24 15}¹ ¹⁶⁴ ⁻³¹

∣ ^=?

Örnek...17 : Örnek...17 :

A matrisi 3. mertebeden , B matrisi 4. mertebeden ve C matrisi 2. mertebeden birer kare matrislerdir.

∣A∣=5 ∣B∣=2

,

∣C∣=3

ise

∣4A∣+∣3B∣−5∣C∣

=?

Örnek...18 : Örnek...18 :

∣

[

−2 4¹ ²

][

−2 225⁰ ⁻¹

]

^∣

^.

Örnek...19 : Örnek...19 :

A= [

^{1 4 3}^{2 8 0}^{3 2 5}

] ^ise

^∣A∣

^=?

Örnek...20 : Örnek...20 :

A= [

^{4 3 2}^{2 1 3 −2}^{1 2 3}^{6 3 8 −6}⁰⁴

] ^ise

^∣A∣

^=?

(6)

Örnek...21 : Örnek...21 :

A= [

^{1 0 0}^{2 8 0}^{3 2 5}

] ^ise

^|A|

^=?

Örnek...22 : Örnek...22 :

A= [

^{2 −1}¹⁰ ¹¹

]

3x2

ve B= [

^{1 2}3 4 −1¹

] matrisleri veriliyor.

Buna göre

∣A.B∣−∣B.A∣

-kaçtır?

Örnek...23 : Örnek...23 :

A,B,C noktaları bir üçgenin köşe noktaları ve a,b,c bu üçgenin kenarları olmak üzere

∣

^{0 a sinA}^{1 b sinB}^{2 c sinC}

∣

^=?

Örnek...24 : Örnek...24 :

∣

cosx sinx^sinx ^cosx

∣

⁼¹2

eşitliğini sağlayan x açısı kaç derece olabilir?

Örnek...25 : Örnek...25 :

∣

^log2log4 log90^log3

∣ ^=?

Örnek...26 : Örnek...26 :

∣

^{x −18}y 2

∣ = p ise K = [

4+y^{3+x −18}2

] matrisinin determinantının p türünden eşiti nedir?

Örnek...27 : Örnek...27 :

ax+by+c = 0 ile dx+ey+f = 0 doğrularının farklı iki noktalarının ortak olduğu biliniyorsa

∣

^{2 a d+3}^{5 b e+2}^{0 c} ^f

∣ determinantının c türünden eşiti nedir?

(7)

EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS) EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)

Bir A = [ai j]n x n olmak ü zere, ai j elem an ı yerin e ai j elem anın ın eş çarpanı

(k of ak törleri) ya zılıp elde edilen matrisin devriğine (transpo zesine) A nın ek m atrisi denir. Ek(A) ve ya A^E ile gösterilir.

Ya ni Ek(A) = A^E = (Ai j)^Tn x n

Örnek...28 : Örnek...28 :

K=

[

−3 4² ⁵

]

ise Ek(K)=?

Örnek...29 : Örnek...29 :

A=

[

^{−1 2 0}¹⁰ ^{2 3}^{1 1}

]

ise Ek(A)= ?

UYARI UYARI

A n. mertebeden bir kare matris ise

A^{- 1} = 1

∣A∣. Ek(A) , |A|≠0

Örnek...30 : Örnek...30 :

[

^{1 −2}6 3

]

matrisinin tersini ek matris kullanarak bulunuz

Örnek...31 : Örnek...31 :

A=

[

^{−1 2 0}¹⁰ ^{2 3}^{1 1}

]

matrisinin tersini ek matris kullanarak bulunuz.

(8)

DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME

1)

∣

sin275 sin175

sin230 cos130

∣ ^=?

2)

∣

cos10 cos190

−1

2 cos20

∣ ^=?

3) A=

[

^{6 −18}0 6

] ^ise

^∣A¹⁰^∣

sayısının asal olmayan pozitif bölen sayısı kaçtır?

4)

∣

⁻²^{6a −3a −2a}^4a ⁻¹^a ^2a⁴

∣ sayısı 11 basamaklı ise en küçük a tamsayısı kaç olabilir?

5)

|

−cosx sinx^{−sinx cosx}

|

⁼

^√

2²

eşitliğini sağlayan x açısı kaç derece olabilir?

6) A=

[

^{−1 2 0}¹⁰ ^{2 3}^{1 1}

]

ise Ek(A)= ?

[ 1 i 6 2i. [ a b. Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...5 : Örnek...6 : i sanal sayı birimi olmak üzere, i. Örnek...1 : =?

DETERMİNANT DETERMİNANT

[

]

SARRUS KURALI SARRUS KURALI

|

|

Örnek...1 : Örnek...1 :

|

|

Örnek...2 : Örnek...2 :

∣

∣

Örnek...3 : Örnek...3 :

[

]

Örnek...4 : Örnek...4 :

∣

∣

Örnek...5 : Örnek...5 :

∣

∣

Örnek...6 : Örnek...6 :

∣

∣

Örnek...7 : Örnek...7 :

∣

∣

MİNÖR VE KOFAKTÖR MİNÖR VE KOFAKTÖR

Örnek...8 : Örnek...8 :

[

] matrisi için

LAPLACE YÖNTEMİ LAPLACE YÖNTEMİ

Örnek...9 : Örnek...9 :

[

]

Örnek...10 : Örnek...10 :

[

]

DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ : DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ :

∣

∣ =0= ∣

∣

Örnek...11 : Örnek...11 :

∣

∣ =?

∣

∣

Örnek...12 : Örnek...12 :

∣

∣ =?

∣

∣

∣

∣

Örnek...13 : Örnek...13 :

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

|

|

|

|

UYARI UYARI

Örnek...14 : Örnek...14 :

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣ ⁼⁰⁼ ∣

∣ ^=?

∣ ^=?

] ^ise

^=?

] ^ise

^=?

] ^ise

^=?

∣ ^=?

∣ ^=?

^.

] ^ise

^=?

] ^ise

^=?

] ^ise

^=?

∣ ^=?