PARALELKENAR PARALELKENAR

(1)

PARALELKENAR PARALELKENAR

PARALELKENAR TANIMI VE ÇEVRESİ PARALELKENAR TANIMI VE ÇEVRESİ

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene PARALELKENAR denir.

[AB]//[CD] ve [AD]//[BC] ise ABCD paralelkenardır.

Paralel olan kenarlar eşittir.

│ AB │= │CD │= a cm ve

│ AD │= │BC │= b cm dir.

Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir.

m(̂A)=m(̂C) ve m(̂B)=m(̂D)

Bir kenarın ucundaki iç açılar bütünlerdir.

m(̂A)+m(̂D)=180ô m(̂A)+m(̂B)=180ô m(̂B)+m(̂C)=180ô m(^C)+m(^D)=180ô

Çevre(ABCD)= 2.(a+ b) dir.

Örnek...1 : Örnek...1 :

ABCD paralelkenar [AF] açıortay

m(̂DCB)=70ô , m(ÂDE)=x , m(ÂBC)=y ise y −x kaç derecedir?

Örnek...2 : Örnek...2 :

ABCD paralelkenar m(^ADT)=m(^CDT)

│BT │= x cm

│CD│= 3x cm

│BC │= 7 cm ise Çevre(ABCD) kaç cm dir?

PARALELKENARDA KÖŞEGENLER PARALELKENARDA KÖŞEGENLER Köşegenler

birbirini ortalar.

Köşegenlerin kesim noktası ağırlık merkezidir.

│AC│= e, │BD│= f olmak üzere,

e²+ f²=2.(a²+b²) dir.

Örnek...3 : Örnek...3 :

ABCD

paralelkenar, E orta nokta ve O köşegenlerin kesim noktasıdır.

│OF│= 4 cm ise

│BD│ kaç cm dir?

Örnek...4 : Örnek...4 :

ABCD

paralelkenar, O köşegenlerin kesim noktasıdır.

│AO│= 4 cm

│CD│= 5 cm

│BC│= 4 cm ise

│BD│ kaç cm dir?

[AF] , [BF] , [CE] ve [DE]

açıortayları orta taban üzerinde dik kesişir.

│PR│= |a−b|

PERF bir dikdörtgendir.

www.matbaz.com

B D C

A a

b

B C D

A

O

a b

B D C

A P

E R F

a b

D C

A B

E F

100^o 70^o x

y

D 3x C

A B

7

T x

D C

A B E

O F 4

D C

A B

O

(2)

Örnek...5 : Örnek...5 :

ABCD paralelkenar, [AF], [BF], [CE] ve [DE] açıortaylar.

3. │AD│= 2.│AB│

olduğuna göre,

|EF|

Çevre(ABCD) oranı kaçtır?

Örnek...6 : Örnek...6 :

ABCD paralelkenar, [AE] ve [BE] açıortaylar.

│AB│= a cm

│BC│= b cm

olduğuna göre, a ile b

arasındaki bağıntıyı bulunuz?

ABCD paralelkenarında, E ile F kenarların orta noktaları olmak üzere,

│AK│= │KL│= │LC│ dir.

Örnek...7 : Örnek...7 :

ABCD

paralelkenar, AEF üçgen [DB] köşegen ve E ile F orta noktalardır.

│DK│= 12 cm ise

│EF│− │BL│ kaç cm dir?

Örnek...8 : Örnek...8 :

ABCD

paralelkenar, [AC] köşegen E ve F

bulundukları kenarların orta noktası ve

|KE| = 3 cm ise

|BF| kaç cm dir?

ABCD

paralelkenarın da, [BD] köşegen olmak üzere,

│AK│²= │KF│.│KE│

Örnek...9 : Örnek...9 :

ABCD paralelkenar, ABE üçgen ve B, K, D doğrusaldır.

│AK│= 6 cm

│FE│= │KF│+ 1

│AE│ kaç cm dir?

ABCD paralelkenar,

[A A^Ꞌ]//[BB^Ꞌ]//[CC^Ꞌ]//[DD^Ꞌ] olmak üzere,

│A A^Ꞌ│= x cm

│BB^Ꞌ│= z cm

│CC^Ꞌ│= t cm

│DD^Ꞌ│= y cm ise,

x+ t = y+ z dir.

www.matbaz.com

A B

C E

F D

K

D C

A B E

L 12

K F

3

D C

A B

K L

F

E

A B

C E

D F K

D C

A B

K L

F

E

D C

A B K

L F

E

D C

A B

B^Ꞌ C^Ꞌ x

y

z t

d B

C D

A E

a

b B D C

A

E

P R

F

(3)

Örnek...10 : Örnek...10 :

ABCD paralelkenarında, [AA^Ꞌ]//[BB^Ꞌ]//[CC^Ꞌ]//[DD^Ꞌ] olmak üzere,

│AA^Ꞌ│= 3 br

│BB^Ꞌ│= 2 br

│DD^Ꞌ│= 7 br ise,

│CC^Ꞌ│kaç br dir?

Örnek...11 : Örnek...11 :

ABCD

paralelkenarında, [AA^Ꞌ] ⊥ d [CC^Ꞌ] ⊥ d [DDꞋ] ⊥ d

│AA^Ꞌ│= a br

│CC^Ꞌ│= (a+ 5) br

│DD^Ꞌ│= (a+ 7) br ise, │CCꞋ │kaç br dir?

Örnek...12 : Örnek...12 :

ABCD paralelkenarında, [AA^Ꞌ] ⊥ d , [BB^Ꞌ]⊥ d [CC^Ꞌ]⊥ d , [DD^Ꞌ]⊥ d

│AA^Ꞌ│= 3 br

│BB^Ꞌ│= 2 br

│CC^Ꞌ│= 4 br ise,

│DD^Ꞌ│kaç br dir?

PARALELKENARDA ALAN PARALELKENARDA ALAN

ÖZELLİKLERİ ÖZELLİKLERİ

ABCD

paralelkenarı için alan şöyle hesaplanır.

Alan(ABCD)= a.ha = b.hb = a . b .sinα

Örnek...13 : Örnek...13 :

ABCD paralelkenar [DE] ⊥ [AB]

[DF] ⊥ [BC]

│DE │= h br

│DF│= h+3 br

│AB│= 8 br

│BC│= 4 br olduğuna göre,

│AE│kaç birimdir?

Örnek...14 : Örnek...14 :

ABCD paralelkenar m(^BCD)=30^o

│AB│= 8 br

│AD│= 5 br olduğuna göre, paralelkenarın iç bölgesinde alınan bir noktanın kenarlara uzaklıkları toplamı kaçtır?

www.matbaz.com

D C

A B

A^Ꞌ D^Ꞌ

B^Ꞌ C^Ꞌ 3

7

2 d

D C

A B

A^Ꞌ D^Ꞌ

C^Ꞌ d

D C

A A^Ꞌ

D^Ꞌ

C^Ꞌ d B

B^Ꞌ

B D C

A b

a h_a h_b α

E

F

B C D

A

h h+3

E

F 4

8

B D C

A 5

8

30^o

(4)

[BD] köşegeni paralelkenar alanını iki eşit bölgeye ayırır.

Örnek...15 : Örnek...15 :

ABCD paralelkenar [CH] ⊥ [BD]

[BD]∩ [AC]={O}

5.│OH│=2. │OD│

│AD│= 5 br

│CH│= 4 br olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?

ABCD paralel kenarının alanını 4 eşit bölgeye ayırmak

Örnek...16 : Örnek...16 :

ABCD paralelkenar [OH] ⊥ [AB]

[BD]∩ [AC]={O}

│CD│= 6 br

│OH│= 2 br olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?

E ∈[DC] olmak üzere, Alan(AEB^Δ )=Alan(ABCD)

2

Örnek...17 : Örnek...17 :

ABCD paralelkenar E ∈ [CD]

│EB │=4. │BF│

2.│AG│=3.│FG│

Alan(ABCD)= 280 3 br² olduğuna göre,

Alan(AEG) kaç birim karedir?

Örnek...18 : Örnek...18 :

ABCD paralelkenar E ∈ [CD]

[AF] ⊥ [BE]

2.│EB │=6. │AF│=18 br olduğuna göre,

Alan(ABCD) kaç birim karedir?

P paralelkenarın içinde bir nokta ve çember içindeki ifadeler üçgenlerin alanını belirtmek üzere,

S1+ S3=S2+ S4 olur.

Örnek...19 : Örnek...19 :

ABCD paralelkenar [DP] ⊥ [CP]

m(^CDP)=5.m(^DCP)

www.matbaz.com

B C D

A

B C D

A B

C D

A

E

B D C

A P

S₃ S₁

S₂ S₄

B D C

A

O H

B D C

A 6

O

H B D C

A

E

F

B C D

A E

F G

B C D

A E

F

C D

(5)

ABCD paralelkenar [AB] // [EF]

[BC] // [KL]

olmak üzere, S1 .S3= S2 .S4 olur.

Örnek...20 : Örnek...20 :

ABCD paralelkenar [AB] // [EF] ,

[BC] // [KL] ve şekilde verilen alanlara göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?

ABCD paralelkenar, E ile F kenarların orta noktaları olmak üzere, üçgensel bölgelerin alanları şekildeki gibidir.

Örnek...21 : Örnek...21 :

ABCD paralelkenar Alan(ADE)=S br² Alan(AEF)=39 br² Alan(CEF)=T br² olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?

ABCD paralelkenar, E ile F kenarların orta noktaları ve [BD] köşegen olmak üzere, üçgensel bölgelerin alanları şekildeki gibidir.

Örnek...22 : Örnek...22 :

ABCD paralelkenar Alan(ADL)=24 br² Alan(CEF)=18 br² Alan(DEL)=T br² Alan(FELN)=P br² Alan(BAN)=S br² olduğuna göre, T+P+S toplamı kaç birim karedir?

ABCD paralelkenar, [AB] // [EF] , [BC] // [KL] ve [BD] köşegen olmak üzere,

Alan(ALME)= Alan(FCKM) dir.

Örnek...23 : Örnek...23 :

ABCD paralelkenar [AB] // [EF] , [BC] // [KL] ve [BD] köşegendir.

Alan(DEM)=9 br² Alan(BMF)=4 br² olduğuna göre, Alan(ABCD) kaç birim karedir?

www.matbaz.com

B C D

A

E

F 2S

2S 3S

S

B D C

A

E

4S F

4S 5S

3S 4S

2S

B D C

A E

S

F K

L S

P P

T

T M

B C D

A

E

F S

39 T B

C D

A E

4 S 10

S+3 F K

L B

C D

A

E

24 F

S P

18 T

L

N

B D C

A E

9

F K

L

4 M B

C D

A E

S₃

S₁ S₂

S₄

F K

L

(6)

ABCD paralelkenar, [BD] köşegeni üzerinde herhangi bir K noktası için,

Alan(ABK)= Alan(BCK) dır.

Örnek...24 : Örnek...24 :

ABCD paralelkenarında [BD] köşegendir.

│AD│= 6 br

│CD│= 9 br ve K noktasının [AB] ye uzaklığı 4 br olduğuna göre, K noktasının [BC] ye uzaklığı kaç birimdir?

Örnek...25 : Örnek...25 :

MTBZ paralelkenarında [MR], [ZR] açıortay

│MR│= 3 br

│ZR│= 4 br

│MT│= 8 br olduğuna göre, Alan(MTBZ) kaç birim karedir?

Örnek...26 : Örnek...26 :

MTBZ paralelkenarında [MR], [TR] açıortay Alan(MRZ)=13 br² olduğuna göre, Alan(MTBZ) kaç birim

Örnek...27 : Örnek...27 :

ABCD paralelkenarında [AB] 6 eşit parçaya bölünmüştür.

[AC] ∩ [DE]={F}

│AF│= 4 br olduğuna göre,

│CF│= x kaç birimdir?

Örnek...28 : Örnek...28 :

ABCD paralelkenarında taralı alanlar birbirine eşit ve │DE│= 10 br olduğuna göre,

│EF│ kaç birimdir?

Örnek...29 : Örnek...29 :

KLPR paralelkenarında [KL] 6 eşit parçaya, [PR] 5 eşit parçaya bölünmüştür.

Buna göre, Alan(MTBZ) Alan(KLPR) oranı kaçtır?

Örnek...30 : Örnek...30 :

ABCD paralelkenarında taralı alanların toplamı EFG üçgeninin alanına eşit ve │AB│= 16 br

www.matbaz.com

B D C

A

K

B C D

A

K 9

6

T B Z

M R 3 4

8

B Z

R

B D C

A E

4

x F

B D C

A E

10

F

L P R

K Z B

M T

D E C

G

F

(7)

DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME −− 1 1 1) ABCD bir paralelkenar

[AC] ∩ [BD]={K}

∣AC∣=8br ,∣DK∣=6br ,

∣AB∣=8br olduğuna göre,

∣BC∣ kaç birimdir?

2) ABCD bir

paralelkenar [AK], [BK] açıortaylar ,

K∈[DC] ,

|AB|=|BC|+4 , olduğuna göre Ç(ABCD) kaç birimdir?

3) ABCD bir paralelkenar [KL] ⊥ [CD] ,[AK] ve [BK] açıortaylar veriliyor

∣DL∣_{=6br ,}∣LC∣_{=14 br}

∣LK∣=3 olduğuna göre, Ç(ABCD) kaç birimdir?

4) ABCD bir paralelkenar [AC] ∩ [BD]={K} ve E ,[DC] nin orta noktası olarak veriliyor.

∣LK∣=4br olduğuna göre,

∣BD∣ kaç birimdir?

5) ABCD bir paralelkenar, A,K,E,F doğrusal noktalar.

[AF ]∩[DB]={K}

|AK|=2x br,

∣KE∣=1+x br,

∣EF∣=2+x br olduğuna göre ∣AF∣

kaç birimdir?

6) ABCD bir paralelkenar, [DL]⊥ [AB]

∣LK∣=5 br 3.∣AL∣₌∣BL∣_{=6 br} olduğuna göre A(ABCD) kaç birim karedir?

www.matbaz.com

A B

D C

K

A B

C D

K E

L

A B

D C

K E

F

C

A B

D

L

K C

A B

D K

A B

K

D L C

(8)

DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME −− 2 2 1) ABCD bir

paralelkenar F [DC]' nin, E [BC]' nin orta

noktasıdır.

m(^C)=150^o,

|DF|₌₄√^{3 br}

olduğuna göre, A(ABCD) kaç birim karedir?

2) ABCD bir paralelkenar [CL], [DK] açıortaylar

m̂(ALK)=110^o, olduğuna göre

m^(ADK) kaç derecedir?

3) ABCD paralelkenarında

A(1,2), B(−5,−3), C(7,−6) ve D(m,n) ise a) ⃗AC.⃗BD iç çarpımı kaçtır?

b) BD doğrusunun eğimi kaçtır?

4) ABCD bir paralelkenar.

K,L,N,P doğrusal noktalar.

[AC] // [KP]

∣LK∣_{=x ,}∣NL∣_{=x+1 ve}

∣NP∣=2x−1 olduğuna göre

∣KP∣ kaç birimdir?

5) ABCD bir paralelkenar, P [AD]'nin ,

L [AB]'nin orta noktalarıdır.

A(0,24) ve C(−12,0) ise K noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?

6) ABCD bir paralelkenar, E [DC]'nin orta noktasıdır.

m̂KCB=32^o

m̂(KBC)−m̂(EKC)=?

www.matbaz.com

D C

B A

K

L

E 150^o F

D C

B A

K

L 110^o

A B

D C

P

K

L

N

D C(-12,0)

B A(0,24)

K

L P

A B

D C K

E

(9)

paralelkenar F [DC]'nin, E [BC]'nin orta noktasıdır.

Alan(ELB)= 6 br² olduğuna göre, A(ABCD) kaç birim karedir?

2) ABCD bir paralelkenar,

L [AB] 'nın orta noktası 3.|LK|_=2.|CK|, olduğuna göre

A(ABCD)

A(DKC) kaçtır?

3) ABCD paralelkenarının köşe koordinatları A(0,0), B(8,0), C(10,6) ve D(m,n) olarak veriliyor. Buna göre paralelkenarının alanını koordinat düzleminde çizerek hesaplayınız.

[KL]⊥ [CB],

[AK] ve [BK] açıortay

|DL|=3br

|KL|_=4br

∣KB∣=∣CL∣ olduğuna göre, A(ABCD) kaç birimdir?

5) ABCD bir paralelkenar, m(^AKB)=30^o

∣AK∣=6 br ,

∣DK∣=14 br ise paralelkenarın alanı kaç birim karedir?

6) ABCD bir paralelkenar, K paralelkenarın içinde herhangi bir noktadır.

Alan(AKD)=9−S br² Alan(BKC)=3+S br² A(KDC)=A(AKB)+2 olduğuna göre, Alan(BAK) kaçtır?

www.matbaz.com

D C

B A

K

L

C

A B

D

K 30^o

C

A B

D

K

D C

B A

K

L

E F

6

A B

K

D C

L 3 4

(10)

paralelkenar

A(APB)− A(SPR)= 6 br² A(TNS)= 4 br²

olduğuna göre A(ADN) kaç birim karedir?

2) ABCD bir paralelkenar

|CK|=|KB|

2.|AL|=|LB| ve Alan(DAL)=12 br² ise A(ABCD) kaç birim karedir?

3) ABCD bir paralelkenar

∣CK∣₌∣KB∣ ve

A(PAL)=6.A(BLK)=18 br² ise A(ABCD) kaç birim karedir?

[KL]⊥ [CB]

[KM]⊥ [AB],

∣KM∣=6br,∣KL∣=8br m̂(BCD)=120^o olduğuna göre A(ABCD) kaç birimdir?

5) ABCD bir paralelkenar, AD // KM , AB // LP

∣LR∣=10 br ,

∣RM∣=4 br 6.∣BM∣=∣AB∣ ise paralelkenarın alanı kaç birim karedir?

C

K

A B

D

L

C

K

A B

D

L 18

P

M B

A

D C

K 8 6

L

135^o

A B

D C

R K

L

M P C

D

A B

N T

S R P

www.matbaz.com