ETKİNLİK Sınıf: 11/B
Mevcut: 30
Öğrenme Alanı: Tümevarım
Grup: 3 er kişilik gruplar olacak şekilde 10 grup Süre: 45+45 dk.
Araç-Gereçler: Tahta, Tahta kalemi, kâğıt, kalem, hesap makinesi Kazanım(lar):
-Tümevarım yöntemini açıklar ve uygulamalar yapar.
Kullanılan Yöntemler: Tartışma, Soru-cevap, Düz Anlatım, İşbirlikçi öğrenme.
Kaynaklar:
1. Orta öğretim 9-12 müfredat programı 2. İnternet
3. 11. Sınıf ders kitabı
Amaç: Öğrencilerin tümevarım kavramını anlamasını sağlamak ve uygulamalarını yapmalarını sağlamak.
Hazır bulunuşluk: Öğrencilerin;
- Doğal sayılar kümesini
- Doğal sayılar kümesinin bazı alt kümelerini - Sayma sayılar kümesini
- Tek ve çift doğal sayılar kümelerini
Bilmeleri gerekir ki bu öğrenme alanları 9. Sınıf ta görüldü.
ADIM 1:
Açıklama: Bu adımda tümevarım tanımı öğrencilere verilir. Öğrencilerin bu tanım üzerinde tartışmaları istenir.
Tanım:
P N olmak üzere,
1. Adım, n N için n P ve n k N için k P olsun.
2. Adım, Eğer, k 1 N için k 1 P olursa,
/{ 1, 2, 3,...}
P N n n n
Adım 2: Aşağıdaki tabloda çözülen sorular için, çözüm yollarını inceleyin ve bütün çözümlerdeki ortak olan noktaları not edin.
Tablo
Örnek 1:
.( 1) 1 2 3 ...
2
n n n
olduğunu tümevarım yöntemi ile gösteriniz.
Adım 1:
n=1 için,
1.(1 1) 1 2
Adım 2:
n=k için doğru olsun. Yani;
.( 1) 1 2 3 ...
2 k k
k
Adım 3:
n= k+1 için de doğru oluyorsa, yani;
( 1).( 2) 1 2 3 ... ( 1)
2
k k
k k
Oluyorsa eşitlik sağlanır deriz.
Çözüm:
.( 1) ( 1).( 2)
( 1)
2 2
k k k k
k
2 2 2 2 2 2
k k k k k k
eşitlik sağlandı.
Sonuç:
.( 1) 1 2 3 ...
2 n n n
Örnek 2:
2 4 6 ... 2 n n n .( 1)
olduğunu tümevarım yöntemi ile gösteriniz.
Adım 1:
2n=2 > n=1 için, 1.(1 1) 2
Adım 2:
2n=2k için doğru olsun. Yani;
2 4 6 ... 2 k k k .( 1)
Adım 3:
2n=2k+2 için de sağlanıyorsa, yani;
2 4 6 ... 2 (2 2) ( 1).( 2) k k k k
Oluyorsa eşitlik sağlanır deriz.
Çözüm:
.( 1) (2 4) ( 1).( 2) k k k k k
2 2 2 2 2 2
k k k k k k
eşitlik sağlandı.
Sonuç:
2 4 6 ... 2 n n n .( 1)
Örnek 3:
1 3 5 ... (2 n 1) n 2
Olduğunu tümevarım yöntemi ile gösteriniz.
Adım 1:
2n-1=1 > n=1 için 1 1 2
Adım 2:
2n-1=2k-1 için doğru olsun. Yani,
1 3 5 ... (2 k 1) k 2
Adım 3:
2n-1= 2k+1 içinde sağlanıyorsa, yani;
1 3 5 ... (2 1) (2 1) ( 1) k k k 2
Oluyorsa eşitlik sağlanır deriz.
Çözüm:
2 (2 1) ( 1) 2 2 2 1
k k k k k
eşitlik sağlandı.
Sonuç:
1 3 5 ... (2 n 1) n 2
Adım 3: Aşağıdaki soruları, yukarıdaki tablodaki soruların çözümlerini göz önüne alarak, tümevarım yöntemi ile çözünüz. Adımlarınızı yukarıdaki soruların
SORULAR:
2 2 2 2
.( 1).(2 1)
1-)1 2 3 ...
6
n n n
n
3 3 3 3
.( 1)
22 )1 2 3 ... ( )
2 n n n
2 3
1
3 )1 ...
1
n
n