ÖRNEKLER-VEKTÖRLER
1. Aşağıdaki vektörleri analitik olarak yazınız.
Çözüm:
OMr =3i+4j+2k ya da OM
r =3e1+4e2+2e3
AB
r=4i+3j+2k
z
y
x
O
M(3,4,2)
z
y
x
O
B(5,6,3)
A(1,3,1)
2. OM
r =3i+4j+2k ve ABr
=4i+3j+2k ise;
OM
r + ABr , OM
r - ABr , OM
r . ABr ,
Vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulunuz.
Çözüm:
3. u =
(
2 6)
ve v = −(
1 5)
ise vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulunuz.Çözüm:u v. =
(
u1 u2) (
. v1 v2)
= u v1 1 +u v2 2( )
2. 1 5.6 28
= − + =
2 2
2 6 40
= + =
u
( )
1 2 52 26= − + =
v
. 28
cos 0.8682
40 26
θ = u v = =
u v
4. u =
(
2 4 1 0 2)
vektörünü normalize ediniz.Çözüm: u = 22 + 42 +12 +02 + 21 = 25 5=
2 4 1 2
5 5 5 5 5
N
=
u
5. u=i+2j-3k ve v=4i-5j-6k vektörleri verilmiştir.
u v∧ vektörel çarpımını ve aralarındaki açının sinüsünü bulunuz.
Çözüm:
( ) ( ) ( )
1 2 3 12 15 6 12 5 8
4 5 6
∧ = − = − − − − + + − −
− −
i j k
u v i j k
= −27i−6j−13k.
sinθ
∧ =
u v e u v
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
27 6 13
sin
1 2 3 4 5 6
θ = ∧ = − + − + −
+ + − + − + −
u v u v
467
= 7 11
6. u =
(
c 1 −1)
ve v = −(
3 1 c2)
vektörleri verilmiştir.u v∧ vektörel çarpım vektörü xy- düzlemine paralel olacak şekilde c skalerini bulunuz.Çözüm:
(
2) (
3) ( )
2
1 1 1 3 3
3 1
c c c c
c
∧ = − = + − − + +
−
i j k
u v i j k
Vektörel çarpım vektörü, xy-düzlemine paralel ise z-eksenine dolayısı ile z ekseninin birim vektörü k ya diktir,
(
u v k∧)
=0(
c2 1) (
3 c3) (
c 3)
0 + − − + + =
i j k k
3 c = −
7. u=i+2j+k vektörünün v=4i-4j+7k vektörü üzerindeki izdüşümünü bulunuz.
Çözüm: v vektörü yönündeki birim vektör e=vn
olsun.
( )
( )
2 2 2
4 4 7 1
4 4 7 4 4 7 9
− +
= = = − +
+ − +
v i j k
e i j k
v
Vektörel izdüşüm vektörü w olsun, izd u=w
w = w e ve w = u cosθ =ue
( )( )
1 4 4 7 2
= 9 − + − +
w i j k i j k
19
= 9
w ve
izd =u w = w e
19 1
(
4 4 7)
= 9 9 i − j+ k
( )
19 4 4 7
= 81 i − j+ k
8. Eğer u ve v üç boyutlu uzaydaki iki vektör ise,
( )
. ∧ = 0
u u v olduğunu ispatlayınız.
Çözüm: Üç boyutlu uzaydaki her hangi iki vektör
(
u u u1, ,2 3)
u = v =
(
v v v1, ,2 3)
ise( ) (
1 2 3)(
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1)
. ∧ = u u u, , u v −u v u v, −u v u v, −u v u u v
( )
1(
2 3 3 2)
2(
3 1 1 3)
3(
1 2 2 1)
. ∧ = u u v −u v +u u v −u v +u u v −u v u u v
= 0
9. Eğer u ve v üç boyutlu uzaydaki iki vektör ise,
( )
22 2 2
.
∧ = −
u v u v u v (Lagrange özdeşliği) olduğunu ispatlayınız.
Çözüm: Üç boyutlu uzaydaki her hangi iki vektör
(
u u u1, ,2 3)
u = v =
(
v v v1, ,2 3)
ise( )
2( )
2( )
22
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
u v u v u v u v u v u v
∧ = − + − + −
u v
( )
2( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. u u u v v v
− = + + + +
u v u v
+
(
u v1 1 + u v2 2 +u v3 3)
2Kare alma ve çarpma işlemlerinden sonra eşitlik ortaya çıkar.
10. Üç boyutlu uzaydaki iki vektör u ve v için vektörel çarpımdan u v∧ elde edilen vektörün uzunluğunun,
sinθ
∧ =
u v u v
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Hatırlanacağı üzere u v. = u v cosθ
ve Lagrange özdeşliği
( )
22 2 2
.
∧ = −
u v u v u v
olup bu ifadede u.v yerine konarak,
( )
22 2 2
cosθ
∧ = −
u v u v u v
2 2 2 2 2 2
cos θ
∧ = −
u v u v u v
( )
2 2 2 1 cos2θ
∧ = −
u v u v
2 2 2sin2θ
∧ =
u v u v
sonuç olarak:
sinθ
∧ =
u v u v