k-Fibonacci sayıları ve (2,n)-Tor halkaların jones polinomları üzerine

(1)

k-FIBONACCI SAYILARI VE (2,n)-TOR +$/.$/$5,1,1-21(632/ø120/$5,

h=(5ø1(

<h.6(./ø6$167(=ø

Gizem ÇAYLAK

(QVWLW$QDELOLP'DOÕ

^:

0$7(0$7ø.

7H]'DQÕúPDQÕ : 'Ro'UøVPHW$/7,17$ù

Ocak 2016

(2)

(3)

BEYAN

Tez içindeki tüm verilerin akademik kurallar çerçevesinde tarafımdan elde edildiğini, görsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçların akademik ve etik kurallara uygun şekilde sunulduğunu, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezde yer alan verilerin bu üniversite veya başka bir üniversitede herhangi bir tez çalışmasında kullanılmadığını beyan ederim.

Gizem ÇAYLAK 26.01.2016

(4)

i

7(ù(..h5

Yüksek lisans e÷itimim boyunca de÷erli bilgi ve deneyimlerinden yararlandÕ÷Õm, her konuda bilgi ve deste÷ini almaktan çekinmedi÷Lm, araúWÕrmaQÕQSODQOaQPDVÕQGan yazÕlPDVÕQD kadar tüm aúamalaUÕQda yaUGÕPOarÕQÕ esirgemeyen, teúYLN eden, aynÕ

titizlikte beni yönlendiren de÷erli daQÕúman hocam Doç. Dr. øVPHW $/7,17$ù¶D ve WH]\D]ÕPVUHFLQGH\DUGÕPODUÕQÕHVLUJHPH\HQ$Uú*|U VD\ÕQ.HPDO7DúN|SU¶\H WHúHNNUOHULPL VXQDUÕP $\UÕFD KD\DWÕP ER\XQFD EHQL GHYDPOÕ GHVWHNOH\HQ

VHYJLOHUL\OHD\DNWDGXUPDPÕVD÷OD\DQDLOHPHVRQVX]úNUDQODUÕPÕVXQDUÕP

(5)

ii

7(ù(..h5«««««««««««««««««««««««««« i

ødø1'(.ø/(5«««««««««««««««««««««««««

6ø0*(/(59(.,6$/70$/$5/ø67(6ø«««««««««««««

ù(.ø//(5/ø67(6ø««««««««««««««««««««««

7$%/2/$5/ø67(6ø««««««««««««««««««««««

ÖZET………...

SUMMARY……….

BÖLÜM 1.

*ø5øù««««««««««««««««««««««««««««

BÖLÜM 2.

TEMEL KAVRAMLAR……….

'÷PYH+DOND««««««««««………

%D]Õ.ODVLN'÷PøQYDU\DQWODUÕ«««««««««««««

%D]Õ7RSODPVDO(úLWOLNOHU««««««««………..

BÖLÜM 3.

k-),%21$&&,6$<,/$5,9(g=(//ø./(5ø««««««««««««

3.1. k-FibonaccL6D\ÕODUÕ«««««««««««««««««««

3.2. k-Fibonacci SD\ÕODUÕQÕQg]HOOLNOHUL«««««««««………….

3.3. k-Fibonacci Sa\ÕODUÕQÕQ0DWULs Temsili………..

3.4. (M^k¹N)ⁿ Matrisinin Determinant Özellikleri………...

ii iv v vi vii viii

1

4 4 5 7

9 9 10 18 20

(6)

iii BÖLÜM 4.

),%21$&&,32/ø120/$5,««««««««««««««««««

4.1. Fibonacci PolinomODUÕ9Hg]HOOLNOHUL««««««««««««

4.2. x Polinomunun Fibonacci Polinⁿ RPODUÕQÕQ%LU)RQNVL\RQX2ODUDN

øIDGHVL«««««««««««««««««««««««…

22 22

28

BÖLÜM 5.

),%21$&&,32/ø120/$5,1,17h5(9/(5ø«««««««««««

)LERQDFFL3ROLQRPODUÕQÕQ7UHYOHUiyle Elde Edilen Polinomlar……

)LERQDFFL3ROLQRPODUÕQÕQ7UHYOHULQGHQ(OGH(GLOHQ6D\Õ'L]LOHUL 5.3. Fibonacci Dizisi ile TüreY'L]LVL$UDVÕQGDNL%D÷ÕQWÕODU

BÖLÜM 6.

'höh032/ø120/$5,1$8<*8/$0$««««………

6.1. Alexander-Conway Polinomu………...

6.2. Jones Polinomu………..

6.3. Fibonacci PolinomODUÕQÕQ%LU*HQHOOHúWLULOPHVL………

*HQHOOHúWLUPLú)LERQDFFL3ROLQRPODUÕ2ODUDNn)-Tor

+DONDODUÕQÕQ-RQHVPROLQRPODUÕ««««««««««««««

*HQHOOHúWLULOPLú)LERQDFFL3ROLQRPXøoLQ0DWULV7HPVLOOHUL«««

-RQHV3ROLQRPXøoLQ Matris Temsilleri………

BÖLÜM 7.

7$57,ù0$9(g1(5ø/(5«««««««««««««««««««

KAYNAKLAR………

g=*(d0øù««««««««««««««««««««««««««

31 31 35 36

41 41 44 46

48 53 58

63

65 68

(7)

iv

**6ø0*(/(59(.,6$/70$/$5/ø67(6ø**

L( )t

' : Alexander polinomu

L( )z

: Alexander-Conway polinomu

I : Birim matris

` 'R÷DOVD\ÕODUNPHVL

K '÷PGL\DJUDPÕ

(OHPDQÕGÕU

{F_n} )LERQDFFLVD\ÕGL]LVL L* ^:+DONDQÕQD\QDJ|UQWV

lk(L) :+DONDODQPDVD\ÕVÕ

{F_{k n}, } : k-Fibonacci sayi dizisi

( )p

H .DYúDNLúDUHWL

C(L) .DYúDNVD\ÕVÕ A , B, C v.s. : Matrisler

|M| : M PDWULVLQLQGHWHUPLQDQWÕ

\ ^:5HHOVD\ÕODUNPHVL ] 7DPVD\ÕODUNPHVL

¦

: Toplam sembolü

(8)

v

ù(.ø//(5 /ø67(6ø

ùHNLO5HLGHPHLVWHUKDUHNHWOHUL««««««««««««««««« 6 ùHNLO6D÷-el ve sol-el yönlendirme………... 6 ùHNLO6NHLQGL\DJUDPODUÕ««««««««««««««««««« 41 ùHNLO %D]ÕD]JHoLWOLG÷PGL\DJUDPODUÕ««««««««««««« 43 ùHNLOn)-toUKDONDVÕ««««««««««««««««««««. 43

(9)

vi

Tablo 3.1. k-)LERQDFFLVD\ÕODUÕ««««««««««««««««« 10 7DEOR)LERQDFFLSROLQRPODUÕ«««««««««««««««« 22 Tablo 3.1. Türev Pascal 2-üçgeni………. 32 Tablo 5.2. <DUÕ-N|úHJHQoJHQYH3DVFDOoJHQL«««««««««« 32 Tablo 5.3. Anti-N|úHJHQ3DVFDO-üçgenleriyle elde edilen türevler……… 33 7DEORøNLQFLWUHY3DVFDO-üçgeni……… 34 7DEORøNLQFLWUHYGHQHOGHHGLOHQoJHQYH3DVFDOoJHQL«««« 34 Tablo 6.1. (2, )n -WRUKDONDODUÕQÕQ-RQHVSROLQRPODUÕ««««««««« 49

(10)

vii

ÖZET

Anahtar Kelimeler: k-)LERQDFFL VD\ÕODUÕ )LERQDFFL SROLQRPODUÕ YH WUHYOHUL

)LERQDFFL |]GHúOLNOHUL G÷P SROLQRPX (2,n)-WRU KDONDVÕ $OH[DQGHU-Conway polinomu, Jones polinomu.

øONE|OPGHG÷PSROLQRPODUÕ YH)LERQDFFLGL]LOHULLOHLOJLOLNÕsa bir literatür bilgisi YHULOPHNWHGLUøNLQFLE|OPGHED]ÕWHPHONDYUDPYH|]HOOLNOHUYHULOPHNWHGLUhoQF

bölümde k-)LERQDFFLVD\ÕGL]LOHULYH|]HOOLNOHULD\UÕQWÕOÕRODUDNLQFHOHQPHNWHGLU

'|UGQFE|OPGH)LERQDFFLSRLQRPODUÕ, bHúLQFLE|OPGHFibonacFLSROLQRPODUÕQÕQ

türevleriyle elde edilen polinomlarYHEXSROLQRPODUGDQUHWLOHQVD\ÕGL]LOHUL]HULQH

oDOÕúÕOPDNWDGÕU

$OWÕQFÕ E|OPGH )LERQDFFL SROLQRPODUÕ LOH G÷P SROLQRPODUÕ DUDVÕQGD LOLúNL

NXUPD\D\|QHOLNoDOÕúPDODU\DSÕOPDNWDGÕU%XE|OPGHEDúODQJÕoúDUWODUÕ)LERQDFFL

SROLQRPGL]LVLQLQEDúODQJÕoúDUWODUÕ\ODD\QÕRODQJHQHOOHúWLULOPLúELU)LERQDFFLGL]LVL

WDQÕWÕOPDNWDGÕU%XSROLQRPdan \DUDUODQÕODUDN(2,n)-WRUKDONDODUÕQÕQ-RQHVSROLQRPODU

GL]LVLQLQ ELU WHNUDUODPD ED÷ÕQWÕVÕQÕ VD÷ODGÕ÷Õ LVSDWODQGÕNWDQ VRQUD n)-tor KDONDODUÕQÕQ -RQHV SROLQRPODU GL]LVLQLQ )LERQDFFL EHQ]HUL |]HOOLNOHUL PDWULV

WHPVLOOHULYH)LERQDFFLEHQ]HUL|]GHúOLNOHULLVSDWHGLOPHNWHGLU6RQXoRODUDNn)- WRUKDONDODUÕQÕQ-RQHVSROLQRPODUÕ)LERQDFFLSROLQRPODUÕQÕQELUJHQHOOHPHVLRODUDN

elde edilmektedir.

(11)

viii

SUMMARY

Keywords: k-Fibonacci numbers, Fibonacci polynomial and their derivatives, Fibonacci identities, knot polynomial, (2,n)-torus link, Alexander Conway polynomial, Jones polynomial.

It has been given a short literature information about the knot polynomials and the Fibonacci sequences in the first chapter. Some fundamental concepts and properties have been given in the second chapter. k-Fibonacci sequence whether to give, properties of them have been discussed in detail in the third chapter.

The Fibonacci polynomial in the fourth chapter and the polynomials obtained from derivatives of the Fibonacci polynomial and the number sequences produced from these polynomial has been examined in the fifth chapter.

Studies to establish a relationship between knot polynomials and Fibonacci polynomial have been done in the sixth chapter. A generalized Fibonacci polynomial, which its initial conditions are the same as Fibonacci polynomial has been introduced in this chapter. By using this polynomial, the Jones polynomial of (2,n)-torus link has been expressed as a generalized Fibonacci polynomial. Firstly, it has been proved that the sequence of the Jones polynomials of (2,n)-torus link satisfy a recurrence relation. Then, it has been given Fibonacci-like properties, matrix representations and links. Consequently, the Jones polynomial of (2,n)-torus link has been obtained as a generalized Fibonacci polynomial.

(12)

**%g/h0*ø5øù**

'÷PWHRULVLLOHLOJLOLoDOÕúPDODUÕQoR÷XG÷PVÕQÕIODQGÕUPDSUREOHPL\OHLOJLOLGLU

'÷P WHRULVLQGH KHVDSODQPDVÕ ]RU IDNDW NROD\FD WDQÕPODQDELOHQ ED]Õ |QHPOL

LQYDU\DQWODU YDUGÕU %XQODU VD\ÕVDO JUXSVDO YH SROLQRP LQYDU\DQWODUÕ RODUDN VÕQÕIODQGÕUÕOÕU %LU G÷PQ YH\D KDONDQÕQ ELOHúHQ VD\ÕVÕ PLQLPXP NDYúDN VD\ÕVÕ

KDONDODQPDVD\ÕVÕEXUXOPDVD\ÕVÕ|UJVD\ÕVÕN|SUVD\ÕVÕYHUHQNOHQPHVD\ÕVÕJLEL

VD\ÕVDO LQYDU\DQWODUÕ [1-3], G÷PQ KRPRWRSL JUXEX KRPRORML JUXEX NULVWDO YH

kuantle JLEL JUXSVDO LQYDU\DQWODUÕ [2-4] ile Alexander polinomu [5], Alexander- Conway polinomu [6], Jones polinomu [7,8] .DXIIPDQ SROLQRPX JHQHOOHúWLULOPLú

Kauffman polinomu [2,9], Homfly polinomu [10] JLELSROLQRPLQYDU\DQWODUÕYDUGÕU

\ÕOÕQD NDGDU G÷P WHRULVLQGHNL WHPHO oDOÕúPD DODQÕ 6HLIHUW PDWULVOHULQGHQ

WUHWLOPLúLQYDU\DQWODUGÕU [11,12]gUQH÷LQ; $OH[DQGHUSROLQRPXELUG÷PQLúDUHWL

v.s. \ÕOÕQGD -RQHV WDUDIÕQGDQ \|QOHQGLULOPLú G÷P GL\DJUDPÕ LoLQ WHN

GH÷LúNHQOL ELU /DXUHQW SROLQRPX WDQÕPODnGÕ [7]. Bu Laurent polinomu G÷P

WHRULVLQLQ \HQL LQYDU\DQWODUÕQGDQ ELULGLU YH -RQHV SROLQRPX RODUDN DGODQGÕUÕOÕU %X

LQYDU\DQW VD\HVLQGH G÷P WHRULVLQGHNL WHRULN oDOÕúPDODU GH÷LúLN G÷P GDOODUÕQD

X\JXODQGÕ YH EXQODUÕQ o|]P LOH \DQ oDOÕúPD DODQODUÕ ROXúWXUXOGX |\OH NL -RQHV

SROLQRPX GL÷HU ELOLP GDOODUÕQGDQ \|QWHPOHU NXOODQÕODUDN LQúD HGLOHELOPLúWLU[8].

gUQH÷LQ LVWDWLNVHO PHNDQLN NXDQWXP JUXSODUÕ JUDI WHRULVL YV %|\OHFH G÷P

teorisi, PDWHPDWL÷LQLoLQGHNLYHGÕúÕQGDNLGL÷HUDODQODUODLOLúNLOHQGLULOGi. 'ROD\ÕVÕ\OD

bLUELUL\OHLOLúNLOLELOLPOHUDUDVÕQGDELUDUDúWÕUPDDODQÕROXúWX%XUDODUGDQHOGHHGLOHQ

VRQXoODUVD\HVLQGH.DXIIPDQSROLQRPODUÕYH+RPIO\SROLQRPXJLEL\HQLLQYDU\DQWODU

elde edildi.

'L÷HU WDUDIWDQ günümüzde )LERQDFFL VD\Õ GL]LOHUL ve oQODUÕQ EHQ]HUOHUL [12,13], VD\ÕODU WHRULVLQGH E\N |QHPH VDKLS ROPDVÕQÕQ \DQÕ VÕUD PDWHPDWL÷LQ GL÷HU

GDOODUÕQGD IL]LN PKHQGLVOLN YH KDWWD VDQDW ELOLPLQLQ ELUoRN GDOÕQGD VÕNOÕNOD

NXOODQÕODQ YH X\JXODPD DODQÕ EXODQ GL]LOHUGLU )LERQDFFL VD\Õ GL]LOHULQLQ bilim GQ\DVÕQGDEXNDGDULOJLoHNPHVLoQHGHQOHLIDGHHGLOHELOLU%XQODUÕQLONLGL]LQLQ

(13)

ED]Õ WHULPOHUL GR÷DGD EHNOHQPHGLN úHNLOOHUGH YH \HUOHUGH NDUúÕPÕ]D oÕNPDNWDGÕU

gUQH÷LQSDSDW\DGDNL\DSUDNODUÕQVD\ÕVÕD\oLoH÷LQGHNLVDUPDOODUÕQVD\ÕODUÕ)LERQDFFi VD\ÕODUÕGÕU <DSÕODQ oDOÕúPDODUGD EX WU VÕUDODQPDQÕQ JQHúL HQ YHULPOL NXOODQPD\Õ

VD÷ODGÕ÷Õ SROHQ WDúÕ\DQ E|FHNOHULQ EX WU ELU G]HQL WHUFLK HWWL÷L VRQXFXQD

YDUÕOPÕúWÕUøNLQFLVLDUGÕúÕNLNL)LERQDFFLVD\ÕVÕQÕQRUDQÕQÕQDOWÕQRUDQGL\HELOLQHQ

insan vücudunda da bulunan, sanat ve mimaride güzel sonuçlar veren 1,61803…

VD\ÕVÕQD \DNÕQVDPDVÕGÕU hoQFV LVH, PDWHPDWLN YH IL]LNWHNL X\JXODPDODUÕGÕU

øWDO\DQ PDWHPDWLNoL ( /XFDV µ)LERQDFFL VD\Õ VLVWHPLQGH NXOODQÕODQ DUGÕúÕN LNL

WHULPLQ WRSODPÕ ELU VRQUDNL WHULPL YHULU¶ NXUDOÕQÕ EDúODQJÕo úDUWODUÕQÕ GH÷LúWLUHUHN

X\JXODPÕúYH/XFDVVD\ÕGL]LOHULGHQLOHQ\HQLELUVD\ÕVLVWHPLWDQÕPODPÕúWÕU [14-17].

%XGL]LOHUHEHQ]HURODUDNWDQÕPODQDQYHEXGL]LOHULQJHQHOOHPHOHULRODQEDúNDVD\Õ

GL]LOHULGHYDUGÕU

$\QÕ ]DPDQGD )LERQDFFL VD\ÕODUÕQÕQ JHQHOOHPHVL RODQ )LERQDFFL SROLQRPODUÕ GD

PRGHUQ ELOLPOHUGH \NVHN VHYL\HGH LOJL oHNPHNWHGLU )LERQDFFL SROLQRPODUÕ LON

RODUDN\ÕOÕQGD(&&DWDODQ[18]\ÕOÕQGD3)%U\GWDUDIÕQGDQ)LERQDFFL

formunda yeni bir poliQRP WDQÕPODQPÕúWÕU [19] /LWHUDWUGH &DWDODQ¶ÕQ WDQÕPODGÕ÷Õ

SROLQRP)LERQDFFLSROLQRPXYH%U\G¶LQWDQÕPODGÕ÷ÕSROLQRP3HOOSROLQRPXRODUDN

DGODQGÕUÕOPDNWDGÕU6RQ\ÕOODUGD)LERQDFFLSROLQRPODUÕYHRQODUÕQJHQHOOHúWLULOPHOHUL

]HULQHoRNVD\ÕGDoDOÕúPDODU\DSÕOPDNWDGÕU. [20-23] v.d.

Bu tezde k-)LERQDFFL VD\Õ GL]LOHUL [13-15] EX GL]LOHULQ |]HOOLNOHUL ED]Õ |QHPOL

|]GHúOLNOHUL YH )LERQDFFL SROLQRPODUÕ RQODUÕQ WUHYOHUL oDOÕúÕOGÕ (2,n), tor G÷POHULQLQ-RQHVSROLQRPXJHQHOOHúWLULOPLú)LERQDFFLSROLQRPXRODUDNWDQÕPODQGÕ

ve bu polinomun bütün Fibonacci benzeri özellikleri ile Cassini, Catalan ve D’OcagneJLEL|QHPOL)LERQDFFL|]GHúOLNOHULLVSDWHGLOGL

Bu tez, sonuç ve öneriler bölümü hariç DOWÕ E|OPGHQROXúPDNWDGÕUøNLQFLE|OPGH

GL÷HUE|OPOHUGHNXOODQÕODQG÷PWHRULVLQLQED]ÕWHPHONDYUDPODUÕYHULOGL

Üçüncü bölümde, k-)LERQDFFL VD\Õ GL]LOHUL oDOÕúÕOGÕ %X VD\Õ GL]LOHULQLQ UHWHQ

IRQNVL\RQX %LQHW IRUPO DOWÕQ RUDQ LON n WHULPLQLQ WRSODPÕ NÕVPL WRSODPODUÕ YH

matris temsilleri verildi [13,17]. Dördüncü bölümde, Fibonacci polinom dizisi, üreten

(14)

3

IRQNVL\RQX %LQHW IRUPO DUGÕúÕN WHULPOHULQ DVLPSWRWLN GDYUDQÕúÕ Honsberger formülü&DVVLQL&DWDODQYH'¶2FDJQH|]GHúOLNOHUL [17,24] ve bu Fibonacci polinom GL]LOHULQLQ WRSODPÕ JLEL |]HOOLNOHUL YHULOGL $\UÕFD Q GHUHFHGHQ NXYYHW SROLQRPX

)LERQDFFL SROLQRPODUÕQÕQ ELU IRQNVL\RQX RODUDN ifade edildi. Dördüncü bölümde )LERQDFFLSRLQRPODUÕ ve sonraki bölümde )LERQDFFLSROLQRPODUÕQÕQWUHYOHUL\OHHOGH

edilen polinomlar [14,15] ve bu polinomlardan üretilen sD\ÕGL]LOHUL]HULQHoDOÕúÕOGÕ

$\QÕ ]DPDQGD )LERQDFFL VD\Õ GL]LOHUL LOH WUHY SROLQRPODUÕQGDQ HOGH HGLOHQ VD\Õ

dizileriDUDVÕQGDNLLOLúNLOHULQFHOHQGL.

%HúLQFL E|OPGH )LERQDFFL SROLQRPODUÕ LOH G÷P SROLQRPODUÕ DUDVÕQGD LOLúNL

NXUPD\D \|QHOLN oDOÕúPDODU \DSÕOGÕ %X E|OPGH $OH[DQGHU-Conway polinomunun WDQÕPÕ YH ED]Õ |]HOOLNOHUL YHULOGL YH ELUNDo D] JHoLWOL G÷PQ $OH[DQGHU-Conway SROLQRPODUÕ KHVDSODQGÕ (2,n)-tor KDONDODUÕQÕQ $OH[DQGHU SROLQRPX )LERQDFFL

SROLQRPXJLELEDúODQJÕoúDUWODUÕELOLQHQELUWHNUDUODPDED÷ÕQWÕVÕRODUDN\D]ÕOGÕ(2,n)- WRU KDONDODUÕQÕQ $OH[DQGHU SROLQRPX )LERQDFFL SROLQRPX JLEL EDúODQJÕo úDUWODUÕ

ELOLQHQELUWHNUDUODPDED÷ÕQWÕVÕRODUDN\D]ÕOGÕ/LWHUDWUGHGHoRNL\LELOLQGL÷LJLELEX

SROLQRPODUÕQ)LERQDFFLSROLQRPODUÕROGXNODUÕJ|UOG%XE|OPGHEDúODQJÕoúDUWODUÕ

)LERQDFFL SROLQRP GL]LVLQLQ EDúODQJÕo úDUWODUÕ\OD D\QÕ RODQ JHQHOOHúWLULOPLú ELU

)LERQDFFL GL]LVL WDQÕWÕOGÕ %X SROLQRP GL]LVLQGHQ \DUDUODQÕODUDN (2,n)-tor G÷POHULQLQ -RQHV SROLQRPODUÕQÕQ ELU JHQHOOHúWLULOPLú )LERQDFFL polinomu olarak ifade edildi. Bunun için önce (2,n)-WRUG÷POHULQLQ-RQHVSROLQRPODUGL]LVLQLQbir WHNUDUODPD ED÷ÕQWÕVÕQÕ VD÷ODGÕ÷Õ LVSDWODQGÕ 6RQUD (2,n)-toU G÷POHULQLQ -RQHV

polinomlar dizisinin bütün Fibonacci benzeri özellikleri, matris temsilleri ve Cassini, Catalan ile '¶2FDJQH EHQ]HUL |]GHúOLNleri ispat edildi. Sonuç olarak, (2,n)-tor G÷POHULQLQ -RQHV SROLQRPODUÕ, )LERQDFFL SROLQRPODUÕQÕQ ELU genellemesi olarak elde edildi.

(15)

2.1.'÷PYH+DOND

7DQÕP.1.1. S¹ {( , ) :x y x² y² 1; ,x yR birim çember olsun. } S¹ in R³ veya

3 3

{ }

S R  f LoLQH \HUOHúWLULOPHVLQH ELU G÷P denir.n` ^{için n} WDQH G÷PQ

D\UÕNELUOHúLPine bir halka denir [25].

7DQÕP2.1.2. K ve L S³ LoLQGH\|QOHQGLULOPLúLNLG÷PROVXQ(÷HUh(K)=L olacak úHNLOGH \|QOHQGLUPH\LNRUX\DQELUh: S³ oS³ homeomorfizmi varsa K G÷PL G÷PQHGHQNWLU denir [25,26].

Not 2.1.1.øNL G÷PQGHQNOL÷LWDQÕPÕ S³ LoLQGHNLG÷POHU]HULQGHELUGHQNOLN

ED÷ÕQWÕVÕYHULU %XED÷ÕQWÕ V|]NRQXVXNPH\LD\UÕNGHQNOLNVÕQÕIODUÕQD D\ÕUÕU+HU

GHQNOLNVÕQÕIÕQDELUG÷PWLSLGHQLU'HQNLNLG÷PD\QÕG÷PWLSLQGHGLU

TanÕP 2.1.3. <|QOHQGLULOPLú bir çember (veya bir üçgen) LOH D\QÕ WLSWH RODQ ELU

G÷PH G÷POHQPHPLú DúLNDU G÷P GHQLU +DONDODQPDPÕú KDOND\D LVH DúLNDU

halka denir [27,28].

7DQÕP 2.1.4. p S: ³ o ,S³ p x y z( , , ) ( , , 0)x y LOH WDQÕPODQDQ IRQNVL\RQD L]GúP

fonksiyonu denir.

(÷HU K, S³ LoLQGH ELU G÷P LVH p L]GúP IRQNVL\RQX DOWÕQGDNL UHVPL p(K), K G÷PQQ xy- G]OHPLQGHNLL]GúPGU

7DQÕP 2.1.5. K, S³ LoLQGH ELU G÷P YH p, \XNDUÕGD JHoHQ L]GúP IRQNVL\RQX

olsun. a^{p(K) için} p¹^{( )}a K , n tane (n>1) noktadan ibaret ise, a QRNWDVÕQD p(K)

(16)

5

QÕQbir n-NDWOÕQRNWDVÕGHQLU(÷HUn=2 ise, a QRNWDVÕQDJHoLWQRNWDVÕoLIWNDWOÕQRNWD denir [25].

TaQÕP2.1.6. %LUJHoLWQRNWDVÕ K G÷PQH DLWLNLQRNWDQÕQgörüntüsü olup, bu iki noktadan z NRRUGLQDWÕ GDKD E\N RODQ ELU VW JHoLW QRNWDVÕ YH GL÷HULQH DOW JHoLW

QRNWDVÕGHQLU [25].

7DQÕP 2.1.7. K ELU G÷P ve p L]GúP IRQNVL\RQX ROVXQ (÷HU p(K) QÕQ NDWOÕ

QRNWDODUÕVDGHFHVRQOXVD\ÕGDJHoLWQRNWDVÕise ve hLoELUJHoLWQRNWDVÕK G÷PQH ait ELUN|úHQRNWDVÕQÕQp DOWÕQGDUHVPLGH÷LOVH p(K) ya K G÷PQQ UHJOHUL]GúP

denir. (÷HUp(K) L]GúPUHJOHULVHK G÷PQH X]D\GDUHJOHUSR]LV\RQGDQGÕU denir [27].

%LU G÷PQ UHJOHU L]GúPQH R G÷PQ UHJOHU GL\DJUDPÕ GHQLU Regüler GL\DJUDPG÷PQX]D\ÕQ\HWHULNDGDUX]DNYHX\JXQELUQRNWDVÕQGDQoL]LOHQUHVPL

gibidir [27].

7DQÕP 2.1.8. Regüler pozisyonda bulunan bir K G÷P Lle bir H !0 ^reelVD\ÕVÕ

verilsin. K G÷PQQ KHUKDQJLDOWJHoLWQRNWDVÕQGDQX]DNOÕ÷ÕH VD\ÕVÕQGDQ küçük RODQQRNWDODUÕQNPHVLA ise p K( A) kümesine K G÷PQün normal diyagramÕ

veya NÕVDFDG÷PGL\DJUDPÕdenir [25,27].

7DQÕP 2.1.9. Bir K G÷PQQ r S: ³ oS³ ,r x y z( , , ) ( , ,x y z) LOH WDQÕPODQDQ

\DQVÕPD IRQNVL\RQX DOWÕQGDNL J|UQWVQH, K G÷PQQ ayna görüntüsü denir.

<DQVÕPD IRQNVL\RQX X]D\ÕQ \|QOHQGLUPHVLQL WHUVine çeviren bir homeomorfizmdir [25].

7DQÕP2.1.10. %LUG÷P, WHUVLúDUHWOLVLQHdenk LVHWHUVLQLUG÷PGHQLU %LUG÷P

ayna görüntüsüne denk ise EXG÷PHNUHVHOG÷P denir [25].

(17)

2.2.%D]Õ.ODVLN'÷PøQYDU\DQWODUÕ

7DQÕP øNLG÷PGHQELULVRQOXVD\ÕGDReidemeister hareketiyle (ùHNLO2.1) GL÷HULQH G|QúHELOL\RUVD EX G÷POHU D\QÕ WLSWHQGLU denir <DQL VRQOX VD\ÕGD

5HLGHPHLVWHUKDUHNHWL\OHELUELULQHG|QúHELOHQG÷POHUGHQNWLUOHU [28].

%XWDQÕPDJ|UH5HLGHPHLVWHUKDUHNHWOHULLOHGH÷LúPH\HQ|]HOOLNOHUG÷üm tipinin özellikleridir [28,29].

7DQÕP II ve III. Reidemeister hareketleri ile UHWLOHQ GHQNOLN ED÷ÕQWÕVÕna regüler izotopi ve Reidemeister hareketlerinin üçü ile üretilen diyagramlar üzerindeki GHQNOLNED÷ÕQWÕVÕQDNXúDWDQL]RWRSLGHQLU>28].

Bö\OHFH ,, YH ,,, KDUHNHWOHU UHJOHU L]RWRSL LQYDU\DQWÕ I., II. ve III. hareketler NXúDWDQL]RWRSLLQYDU\DQWÕGÕU [28].

ùHNLO 2.1. Reidemeister hareketleri: I. Hareket: DlD0 veya Dc lD ;0

II. Hareket: JlJ veya0 JclJ ; III. Hareke: T0 lTc veya K l^Kc.

7DQÕP %LU.G÷PQQKHUKDQJLELUGL\DJUDPÕQGDNLNDYúDNODUÕQPLQLPXP

VD\ÕVÕQDNDYúDNVD\ÕVÕGHQLU .DYúDNVD\ÕVÕG÷PQELULQYDU\DQWÕGÕU>8,30].

7DQÕP %LU G÷P GL\DJUDPÕ VD÷ HO NXUDOÕQD J|UH \|QOHQGLULOPLú LVH LúDUHWL

SR]LWLIYHVROHO\|QOHQGLUPHVLQHJ|UH\|QOHQGLULOPLúLOHLúDUHWLQHJDWLIWLU(ùHNLO.2).

'ƍ

D Do J -ƍ J0 ^T Tƍ K Kƍ

H 1 H 1

ùHNLO. 6D÷-el ve sol-el yönlendirme

(18)

7

7DQÕP 6. L D E{ , }, D ve E ELOHúHQOHULQGHQ ROXúDQ ELU KDOND ROVXQ

( ) ( , )

lk K D Elk KDONDODQPDVD\ÕVÕ

( ) ( , ) 1 ( ) 2_p

lk L lk p

D E DE

¦

H

IRUPOLOHWDQÕPODQÕU%XUDGDD E^, D ile E (kendi kendini kesmeyen) geçitlerinin kümesini ve H( )p JHoLGLQLúDUHWLQLJ|VWHULU [28].

7DQÕP7. K \|QOHQGLULOPLúELUG÷PGL\DJUDPÕROVXQK G÷PQQEXUXOPD

VD\ÕVÕZ( )K ^,

( )

( ) ( )

p C K

K p

Z

¦

H

IRUPOLOHWDQÕPODQÕU%XUDGDC K( ), KGL\DJUDPÕQGDNLNDYúDNODUÕQVD\ÕVÕQÕJ|VWHULU

[28].

2.3.%D]ÕToplamsal (úLWOLNOHU 7DQÕP3.1. ( )a_n bir dizi olsun.

0

( ) _k ^k

k

f x a x

¦

f

biçiminde bir kuvvet serisine (a_n) dizisinin üreteç fonksiyonu denir.

7DQÕP3.1.øNLVD\ÕQÕQWRSODPÕQÕQVOLIDGHVLQLQ%LQRPDoÕOÕPÕDoÕOÕPÕGÕU7HPHO

ELQRPDoÕOÕPÕ, n` iken

0

( )

n

n k n k

k

x y n x y

k

§ ·

¨ ¸

¦

© ¹

(19)

bLoLPLQGH WDQÕPODQÕU %XUDGD !

!( )!

n n

k k n k

§ ·

¨ ¸

kombinasyonudur ve

1 1

1

n n n

k k k

§ · § · § ·

¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸

HúLWOL÷LQL VD÷ODU Binomsal formüllerin GH÷LúLN ELoLPOHUL YDUGÕU %XQODUGDQ ELUL

genellikle tekrarlDPD ED÷ÕQWÕODUÕQ VD÷OD\DQ dizilerin Binet formüllerinin EXOXQPDVÕQGDNXOODQÕODQ

1 1 2

1

( 1) ( ) ( )

n n n

k k n k

k

x y n k

xy x y k

x y

« »

¬

¦

¼ §¨© ·¸¹

DoÕNformülüdür [24].

(20)

BÖLÜM 3. k- ),%21$&&,6$<,/$5,9(g=(//ø./(5ø

3.1. k-)LERQDFFL6D\ÕODUÕ

7DQÕP3.1.1. Herhangi bir k SR]LWLIUHHOVD\ÕVÕLoLQk-)LERQDFFLVD\ÕGL]LVL

^ `

^F^{k n}^, ⁿ`, EDúODQJÕoúDUWODUÕ,

,0 0, ,1 1

k k

F F

olmak üzere ve nt^{1 için,}

, 1 , , 1

k n k n k n

F kF F (3.1)

LQGLUJHPHED÷ÕQWÕVÕLOHWDQÕPODQÕU [13]. %XVD\ÕGL]LVLNODVLN)LERQDFFLGL]LVL ve Pell dizisine [31]J|UHGDKDJHQHOELUVD\ÕGL]LVLGLU

k-)LERQDFFLVD\ÕGL]LVLED]Õözel durumODUÕúXQODUGÕU

a. k=1 ise F₀ ,0 F1 , nt 1 için 1 Fn1 Fn Fn1 ve { }F_{n n}_` {0,1,1, 2,3,5,...}ile klasik Fibonacci dizisi elde edilir.

b. k=2 ise P₀ ,0 P =1, n1 t 1 için P_n1 2P_nP_n1 ve { }P_{n n}_` {0,1, 2,5,12,...}ile Pell dizisi elde edilir.

c. k=3 ise H₀ ,0 H =1, n1 t 1 için H_n1 3H_nH_n1 ve {H_{n n}}_` {0,1,3,10,33,...}

dizisi elde edilir.

k-)LERQDFFLVD\ÕGL]LVLnin ilk birkaç terimi Tablo 3.1.’de verildi.

(21)

Tablo 3.1. k-)LERQDFFLVD\ÕODUÕ

,1 1

Fk

,2

Fk k

2

,3 1

Fk k

3

,4 2

Fk k k

4 2

,5 3 1

Fk k k

5 3

,6 4 3

Fk k k k

6 4 2

,7 5 6 1

Fk k k k

7 5 3

,8 6 10 4

Fk k k k k

#

3.2. k-FiERQDFFL6D\ÕODUÕQÕQg]HOOLNOHUL

7DQÕP 3.2.1.

^ `

^F^{k n}^, ⁿ` k-)LERQDFFL VD\Õ GL]LVLQLQ LQGLUJHPH ED÷ÕQWÕVÕQD

NDUúÕOÕNJHOHQNDUDNWHULVWLNGHQNOHPL,

2 k 1

O O (3.2)

ve bu karakteristik denklemin kökleri O D₁ ve O E2 olmak üzere,

2 4

2 k k

D ^, ² ⁴

2

k k

E

olur. D pozitif kök,

E

LVHQHJDWLIN|NWUN!ROGX÷XQGDQ

D ,0 E D ^< E ^, D E^. ,¹ D E ve k D E k²4

(22)

11

olur. %D]Õ|]HOGXUXPODUDúD÷ÕGDNLJLELVÕUDODQDELOLU

a. k 1 için klasik Fibonacci dizisinin kökleri, 1 5

D 2 ^ve ¹ ⁵

E 2 ^olarak elde edilir D LOHYHULOHQN|NDOWÕQRUDQGÕU[13].

b. k 2 için Pell dizisinin kökleri,D 1 2 ^ve E ¹ ² elde edilir. D ^ile verilen kök, gPúRUDQGÕU[13].

c. k 3 için

^H^{n n}` dizisinin kökleri, 1 13

D 2 ^ve ¹ ¹³

E 2 elde edilir. D ^ile verilen kök EURQ]RUDQGÕU [13].

Önerme 3.2.1. (Binet formülü) [16,24]. D ^ve E^{, (3.2)} HúLWOL÷L ile verilen karakteristik denkleminin kökleri olmak üzere, n.inci k-)LERQDFFLVD\ÕVÕ,

,

n n

Fk n D E D E

^(3.3)

ile verilir.

øVSDW. k-Fibonacci dizisinin genel terimi, C ve 1 C₂ NDWVD\ÕODUÕLoLQ

, 1 2

n n

Fk n CD C E

formda ifade edilebilir[14]. n 0 ve n 1 EDúODQJÕoGH÷HUOHULLoLQC =1 1

D E =C₂ elde edilir ve (3VD÷ODQÕU

%LQHWIRUPOQQGR÷DOELUVRQXFXRODUDNDúD÷ÕGDNL|]GHúOLNYHULOHELOLU

Önerme 3.2.3. &DWDODQ |]GHúOL÷L N-)LERQDFFL VD\Õ GL]LVLQH NDUúÕOÕN JHOHQ

karakteristik denklemin kökleri D E, ^ve^{r n}^, ` olmak üzere,

2 1 2

, , , ( 1)ⁿ ^r ,

k n r k n r k n k r

F F F F (3.4)

|]GHúOL÷Lile verilir.

(23)

øVSDW Binet formülünü (3.4) ile verilen |]GHúOL÷LQLQ VRO WDUDIÕQa uygulayarak ve . 1

D E

HúLWOL÷LJ|]|QQGHEXOXQGXUXODUDN

2

, , ,

k n r k n r k n

F F F

n r n r n r n r n n 2

D E D E D E

¨§© ¸·¹

2 2

2

2 )

n n r n r n r n r n n n n

D D E D E D D E E

D E

=

_{D E}¹

²^¨_¨^§

^DE ⁿ^{§ ·}_{¨ ¸}^D_E ^r

^DE ^r² ^DE ⁿ^·^¸_¸

=

1 2 2

2

1 2

( )

n r r

r

D E

D E DE

§ ·

¨¨© ¸¸¹

1 2

( 1)ⁿ^rF_{k r},

elde edilir. Böylece (3.4) |]GHúOL÷LQLQ LVSDWÕWDPDPODQÕU

Not 3.2.1. r=1 için (3.4) |]GHúOL÷L k-Fibonacci dizisi

2

, 1 , 1 , 1 ⁿ

k n k n k n

F F F (3.5)

úHNLOGHNODVLN)LERQDFFLVD\ÕGL]LVLLoLQ&DWDODQ|]GHúOL÷LGLU>13]. Benzer bir biçimde DúD÷ÕGDNL|]GHúOLNLVSDWODQDELOLU

Önerme 3.2.4.G¶2FDJQH|]GHúOL÷L. m n, `^, m!n olmak üzere,

2

, 1 , 1 , 1 ⁿ

k n k n k n

F F F ^(3.6)

$úD÷ÕGDNL|QHUPHGHN-)LERQDFFLGL]LVLQLQJHQHO WHULPLQLQKHVDSODQPDVÕLoLQEDúND

ELUDoÕNLIDGHYHULOPHNWHGLU.

(24)

13

Önerme 3.2.5. i,k,n_`, at0 ve ¬ ¼^{« »}^a ^sup

^

^{n n}^| ^d^a

`

olmak üzere,

1 2

1 2 2

, 1

0

1 4

2 1 2

n

n i i

k n n

i

F n k k

i

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

^(3.7)

øVSDW. (3.2) ifadesinden elde edilen D ^ve

E

GH÷HUOHULLoLQ

,

n n

Fk n D E D E ⁼

2 4

2

n

k k

§ ·

¨ ¸

2

n

k k

§ ·

¨ ¸

© ¹

²

1 2 2 2 2

4 4 ... 4

0 1 2

n

n n n n n n n n n

k k k k k k

D E ¨^§©¨© ¹^{§ ·}¨ ¸ ^{§ ·}¨ ¸© ¹ ^{§ ·}¨ ¸© ¹ © ¹^{§ ·}¨ ¸n ¸¸^·¹

²

1 2 2 2 2

4 4 ... 4

0 1 2

n

n n n

n n n n

k k k k k k

n

§§ · § · § · § · ·

¨¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸

¨© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ ¸

© ¹

Böylece

n n

D ED E

1 2

1 2 2

2 1

0

1 1

2 1 4 4 2

n

n i i n

i

n k k

k i

« »

¬ ¼

§¨ ·¸

¦

© ¹

elde edilir. Bu ifadenin düzenlenmesiyle (3HúLWOL÷LHOGHHGLlir.

%XHúLWOL÷LQ ED]Õözel GXUXPODUÕúXQODUGÕU

a. k=1 ise klasik Fibonacci dizisinin genel terimi,

1 2 1

0

1 5

2 2 1

n

i

n n

i

F n

i

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

biçiminde ifade edilir.

(25)

b. k=2 ise Pell dizisinin genel terimi,

1 2

1 2 1

0

1 2 8

2 2 1

n

n i i

n n

i

P n

i

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

ifadesi düzenlenerek

1 2

0

2 1 2

n

i n

i

P n

i

« »

¬ ¼§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

elde edilir.

c. k=3 ise H dizisinin genel terimi,_n

1 1 2

0

3 13

2 2 1 9

n

n i

n

i

H n

i

« »

¬ ¼§ ·

§ · ¨ ¸§ ·

¨ ¸ ¨ ¸

© ¹

¦

biçiminde elde edilir.

Önerme 3.2.6. (k-)LERQDFFLGL]LVLQLQDUGÕúÕNWHULPOHULQLQRUDQÕQÕQOLPLWLk,n `ve r (3.2) ile verilen karakteristik denklemin pozitif kökü olmak üzere,1

, 1 ,

lim ^{k n} .

n k n

F

F D

of (3.8)

øVSDW. (3.3) Binet formülünden,

, , 1

1

lim lim lim

1 1

n

n n

k n

n n n n

k n

F F

DE

D ED E E

D D E

of of of

¨ ¸§ ·

© ¹

¨ ¸§ ·© ¹

HúLWOL÷LQGH E D ROGX÷XQdan

(26)

15

lim

n

DE

of

§ ·¨ ¸

olur ve böylece (3HúLWOL÷LHOGHHGLOLU

Bu önermenin bir sonucu olarak klasik Fibonacci dizisi için D DOWÕQRUDQ3HOOGL]LVL

LoLQJPúRUDQ ve

^H^{n n}`dizisi için bronz oUDQGÕU

Önerme 3.2.7. (k-Fibonacci dizisinin genel terimi için 3.formül) i, k,n,mא Գ olmak üzere,

1 2

1 2 ,

0

1 .

n

n i

k n i

n i

F k

i

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

^(3.9)

øVSDW7PHYDUÕPODF_k_,2 WDQÕPÕQGDQⁿ 2 için

1 2

1 2 1

,2 0

1 1

0

i k

i

n i

F k k k

i

« »« »

¬ ¼§ · § ·

¨ ¸ ¨ ¸

¦

GR÷UXOX÷XDoÕNWÕU%XIRUPOQFk n,1 veF_{k n}_, LoLQGR÷UXROGX÷XNDEXO edilsin. Fk n, 1

WDQÕPÕQGDQ

, 1 . , , 1

k n k n k n

F k F F

HúLWOL÷LQGHQYHWPHYDUÕPKLSRWH]LQGHQ,

1 2

1 2 , 1

0

1

n

n i

k n

i

n i

F k k

i

« »

¬ ¼

§¨ ·¸

© ¹

¦

1 2

2 2 0

2 2

n

n i

i

n i

i k

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

(27)

1 1

2 2

1 2 2 2

1 0

1 2

n n

n n i n i

i i

n i n i

k k k k

i i

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

§ · § ·

¨ ¸ ¨ ¸

¦ ¦

ROXU%XHúLWOL÷LQVRQWHULPLQGHi yerine i-DOÕQÕUVDVRQXoWD

1 1

2 2

, 1

1 1

n n

n n i n i

k n

i i

n i n i

F k k k

i i

« » « »

¬ ¼ ¬ ¼

§¨ ·¸ §¨ ·¸

¦ ¦

elde edilir.

1 1

m m m

i i i

§ · § · § ·

¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸

oOGX÷XQGDQ,

2

2 , 1

1 n

n i k n

i

F n i k

i

« »« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

bulunur.

k-Fibonacci fonksiyonu için verilen (3|]GHúOL÷LQLQ|]HOGXUXPODUÕúXQODUGÕU

a. nt2 olmak üzere k=1 için klasik Fibonacci dizisinin genel terimi,

1 2

0

1

n

n i

F i

« »

¬ ¼§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

(28)

17

b. k=2 için Pell dizisinin genel terimi,

Pn 1 2

1 2 0

1 2

n

n i

i

n i

i

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

c. k=3 için

^ `

Hⁿ n_` dizisinin genel terimi,

1 2

1 2 0

1 3

n

n i

H i

« »

¬ ¼

§ ·

¨ ¸

© ¹

¦

Önerme 3.2.8. (k-)LERQDFFLGL]LVLQLQNÕVPLWRSODPODUGL]LVL. i,j,k,n`, k-Fibonacci dizisinin ilk nWHULPLQLQWRSODPÕ

, ,

0 n

k n k i

i

S

¦

F 2

^, ¹ ^,

2

1 1

4 ^{k n} ^{k n} 4

F F

k k

^(3.10)

øVSDW Binet formülünden Sk n, úXúHNLOGHLIDGHHGLOHELOLU

,

0

1 ⁿ i i

k n

i

S D E

¦

D E

= 1

D E ⁰

n i i

¦

D _{D E}¹

¦

_iⁿ₀^Eⁱ

IDUNÕLoLQ ^j ^{1, 2} ,

0 n

i j i

¦

r NÕVPLWRSODPÕLOH,

,

Sk n ¹

D E

1 1

n n

D E

§ ·

¨ ¸

© ¹

=

1 1

n n n n

D D E E D E

D E D E

(29)

= 1 D E

1 1

n n n n

D E D E D E

§ ·

¨ ¸

© ¹

Böylece (3.10)HúLWOL÷LHOGHHGLOLU

3.3. k-Fibonacci SD\ÕODUÕQÕQ Matris Temsili Önerme 3.3.1. k n, ], nt1^için

¹

^, ¹ ^, ^,

, 1 , 1 , , 1

n k n k n k n

k

k n k n k n k n

F F F

M N

F F F F

§ ·

¨© ¸¹ ^(3.11)

øVSDW 7PHYDUÕPODYHULOLU n 1 için F_k_,0 0 ve F_k_,1 ve1 Fk,2 ,k

,2 ,1 ,1

1

,2 ,0 ,1 ,0

1 1 1

k k k

k

k k k k

F F F

M N k

F F F F

k

§ · § ·

¨ ¸

(3HúLWOL÷Ln1 LoLQGR÷UXROVXQ Bu durumda

¹

¹ ^, ^, ¹ ^, ¹

, , 2 , 1 , 2

n k n k n k n

k

k n k n k n k n

F F F

M N

F F F F

§ ·

¨© ¸¹

olur. O halde,

^M^k¹^N

ⁿ⁼

^M^k¹^N

ⁿ¹

^M^k¹^N

^, ^, ¹ ^, ¹

, , 2 , 1 , 2

1 1 1

k n k n k n

k n k n k n k n

F F F k

F F F F k

§ ·§ ·

¨© ¸¨¹© ¸¹

^, ^, ¹ ^,

, , , 1

1 _{k n} _{k n} _{k n}

k n k n k n

k F F F

kF F F

§ ·

¨© ¸¹

= ^, ¹ ^, ^,

, 1 , 1 , , 1

k n k n k n

k n k n k n k n

F F F

F F F F

§ ·

¨ ¸

© ¹

bulunur.

(30)

19

a. k 1 için klasik Fibonacci dizisi elde edilir. F₀ ,0 F1 ve 1 nt1 olmak üzere

1 1

n n n

F F F ve

Nn ¹

1

n n

F F

§ ·

¨ ¸

© ¹

klasik Fibonacci dizisinin matris temsili olur [8]. Belirtmek gerekir ki, N matrisiⁿ

2 1

1 0

F F

Q F F

§ ·

¨ ¸

1 1

n n

n

n n

F F

Q F F

§ ·

¨ ¸

© ¹

ile benzerdir.

b. k 2 için Pell dizisi elde edilir. P₀ ,0 P1 1 ve nt1 olmak üzere

1 2 1

n n n

P P P ve

^MN ⁿ ¹

2 1

n n

n n n

P P

P P P

§ ·

¨ ¸

© ¹

c. k 3 için

^ `

Hⁿ n_` dizisi elde edilir. H₀ ,0 H1 ve 1 nt1 olmak üzere

1 3 1

n n n

H H H ve

^{M N}²

ⁿ ¹

1

3 3

n n n

H H H

§ ·

¨ ¸

© ¹

olur.

(31)

3.4.

^{M N}^k-1

ⁿMatrisinin Determinant Özellikleri

Bu bölümde T M^k¹N DOÕQDFDN YH k-Fibonacci dizileri için ^Tⁿ

^M^k¹^N

ⁿ

PDWULVLQGHQ YH EX PDWULVLQ GHWHUPLQDQWÕQGDQ HOGH edilen özelliklerde

\DUDUODQÕODFDNWÕU

Önerme 3.4.1.&DWDODQ|]GHúOL÷L

2

, 1 , 1 ,

k n r k n r k n r

F F F

¹^{n r} ^(3.12)

øVSDW Önerme 3.3.1 ile verilen matriste n ,ⁿ^r LOH GH÷LúWLULOLUVH úX PDWULV HOGH

edilir.

¹

^, ¹ ^, ^,

, 1 , 1 , , 1

n r k n r k n r k n r

k

k n r k n r k n r k n r

F F F

M N

F F F F

§ ·

¨© ¸¹

LOHYHULOHQPDWULVLQGHWHUPLQDQWÕ,

^M^k¹^N

^{n r} ^F^{k n r}^, ¹^F^{k n r}^, ¹^F²^{k n r}^,

%|\OHFHEXPDWULVOHULQGHWHUPLQDQWODUÕVÕUDVÕ\OD M 1, N 1 ROGX÷XQGDQ

^M^k¹^N

^{n r}

¹ ^{n r}

olur.%XGHWHUPLQDQWLoLQ|]HOGXUXPODUúXQODUGÕU

(32)

21

a. (÷HU k 1 ve r 0 LVHNODVLN )LERQDFFLIRQNVL\RQODUÕ LoLQ&DVVLQLLIDGHVLYH\D

Simson formülü verilir.

2

1 1

n n n

FF F

¹ ⁿ ^(3.13)

b. (÷HUk 2 ve r 0 LVH3HOOGL]LVLLoLQúXIRUPOYHULOLU

2

1 1 1 ⁿ

n n n

P P P (3.14)

c(÷HUk 3 ve r 0 ise

^ `

^Hⁿ GL]LVLLoLQúXIRUPOYHULOLU

2

1 1 1 ⁿ

n n n

H H H (3.15)

(33)

4.1. Fibonacci PROLQRPODUÕVe Özellikleri

7DQÕP 4.1.1. k-FibonacFL VD\ÕODUÕ WDQÕPÕQGD YHULOHQ k bir x UHHO GH÷LúNHQL LVH

, ,

k n x n

F F ROXUYHEXQDNDUúÕOÕNJHOHQ)LERQDFFLSROLQRPODUÕ,

1

Fn x =

¹

1, 0

, 1

n n

n x n

xF x F x n

½

° °

® ¾

° ! °

¯ ¿

(4.1)

úHNOLQGHWDQÕPODQÕU

%XWDQÕPOD)LERQDFFLSROLQRPODUÕ WDEORKDOLQGHDúD÷ÕGDNLELoLPGHYHULOLU

Tablo 4.1. Fibonacci pROLQRPODUÕ n F_n₁( )x

0 1

1 x

2 x²1

3 x³2x

4 x⁴3x²1

5 x⁵4x³3x 6 x⁶5x⁴6x²1 7 x⁷6x⁵10x³4x

# #

(34)

23

7DQÕP .2. Fibonacci polinRPODUÕQD NDUúÕOÕN JHOHQ NDUDNWHULVWLN GHQNOHP k- )LERQDFFLVD\ÕODUÕQGDNLJLEL

2 k 1

O O (4.2)

ve bu denklemin kökleri

2 1

4 2 x x

O D ^, 2 ² ¹

4 2 x x

O D ^(4.3)

olmak üzere bu kökler LOH NDWVD\ÕODU DUDVÕQGDNL ED÷ÕQWÕODU 7DQÕP 3.1.2 deki ED÷ÕQWÕODUODEHQ]HUELoLPGHGLU

Önerme 4.1.1.(Binet Formülü)

D

^,(4,2) karakteristik denklemin pozitif kökü olmak üzere n. Fibonacci polinomu için

ⁿ ⁽ ¹⁾ ⁿ

F xn D D D D

(4.4)

øVSDW. Önerme 3.2.1 de verildi.

Önerme 4.1.2. $UGÕúÕN WHULPOHULQLQ RUDQÕQÕQ DVLPSWRWLN GDYUDQÕúÕ.

D

^{, (4.2)}

karakteristik denklemin pozitif kökü olmak üzere,

lim ⁿ 1

n n

F x

F x

of =

D

^(4.5)

øVSDW.Önerme 3.2.5. te verildi.

k-Fibonacci sayıları ve (2,n)-Tor halkaların jones polinomları üzerine

k-FIBONACCI SAYILARI VE (2,n)-TOR +$/.$/$5,1,1-21(632/ø120/$5,

h=(5ø1(

<h.6(./ø6$167(=ø

(QVWLW$QDELOLP'DOÕ

0$7(0$7ø.

7H]'DQÕúPDQÕ : 'Ro'UøVPHW$/7,17$ù

Ocak 2016

BEYAN

7(ù(..h5

6ø0*(/(59(.,6$/70$/$5/ø67(6ø



¦

ù(.ø//(5 /ø67(6ø

ÖZET

SUMMARY

%g/h0*ø5øù

¦

¦

¦

¦

¦

BÖLÜM 3. k- ),%21$&&,6$<,/$5,9(g=(//ø./(5ø

^ `

^ `

E

D E

^

`

¦

E

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦

¦ ¦

¦ ¦

¦

¦

¦

^ `

¦

¦

¦

¦

¦

¦

^ `

^ `

D

D

D

(QVWLW$QDELOLP'DOÕ

7H]'DQÕúPDQÕ : 'Ro'UøVPHW$/7,17$ù

**6ø0*(/(59(.,6$/70$/$5/ø67(6ø**

**%g/h0*ø5øù**