• Sonuç bulunamadı

?1, ?2 Yakın-halkaların regülerliği üzerine

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "?1, ?2 Yakın-halkaların regülerliği üzerine"

Copied!
51
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T.C.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Yüksek Lisans Tezi

α

1,

α

2

YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE

Esra Pınar AKKAYMAK

Tez Danışmanı

Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN

Yozgat 2012

(2)
(3)

T.C.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Yüksek Lisans Tezi

α

1,

α

2

YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE

Esra Pınar AKKAYMAK

Tez Danışmanı

Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN

Yozgat 2012

(4)
(5)

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET .…... iii

ABSTRACT ... iv

TEŞEKKÜR ... v

KISALTMALAR VE SEMBOLLER ...……….. vi

1. GİRİŞ ………... 1

2. TEMEL BİLGİLER ...………... 2

2.1. Temel Tanım ve Özellikler ...………. 2

2.2. N-gruplar …...……… 6

2.3. Alt Yapılar …...……….. 8

2.4. Homomorfizm ve İdealler ………. 8

3. α1, α2 YAKIN-HALKALAR ….………... 13

3.1. α1 Yakın-Halkalar ……….. 16

3.2. α2 Yakın-Halkalar ……….. 18

4. YAKIN-HALKALARDA Bİ-İDEALLİK VE Bİ-REGÜLERLİK ...…... 20

5. α1, α2 ALT YAKIN-HALKALAR VE REGÜLERLİK ……… 31

SONUÇ ... 40

KAYNAKLAR ... 41

ÖZGEÇMİŞ ... 42

(6)

iii

α1, α2 YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE Esra Pınar AKKAYMAK

Bozok Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Yüksek Lisans Tezi 2012; Sayfa:42

Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN

ÖZET

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci ve ikinci bölümlerde çalışmayla ilgili literatür ve temel bilgiler verildi. Üçüncü bölümde 1 ve 2 yakın-halka kavramlarının birbirleriyle ve regüler yakın-halkalarla ilişkileri incelendi. Dördüncü bölümde yakın-halkalarda bi-ideallik, bi-regülerlik kavramlarının birçok farklı yakın-halka çeşitleriyle ilişkileri irdelendi. Orijinal bir çalışmadan oluşan beşinci bölümde, 1 yakın-halkaların regüler yakın-halkalarla çeşitli ilişkileri elde edildi. Ayrıca, bir yakın-halkanın 1 alt yakın-halkası tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır. 1 ve 2 alt yakın-halkaların yakın-halka homomorfizmi altında özellikleri araştırılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Yakın-Halka, 1 Yakın-Halka, 2 Yakın-Halka, Regüler Yakın- Halka.

(7)

iv

ON REGULARITY OF α1, α2 NEAR-RINGS Esra Pınar AKKAYMAK

Bozok University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Master of Science Thesis 2012; Page:42

Thesis Supervisor: Assist. Prof. Akın Osman ATAGÜN

ABSTRACT

This thesis consists of five chapters. The literature and basic informations about the study have been given in the first and second chapters. In the third chapter, the relations of 1 and

2 near-ring concepts with each other and regular near-rings have been examined. In the fourth chapter, the relations of the concepts of bi-idealness, bi-regularness in near-rings with a lot of different near-ring kinds have been investigated.In the fifth chapter, which consists of an original study, various relations of 1 near-rings with regular near-rings have been obtained. Furthermore, 1 subnear-ring of a near-ring has been defined and its various propertics have been proved. The features of 1 and 2 subnear-rings have been researched under near-ring homomorphism.

Keywords: Near-Ring, 1 Near-Ring, 2 Near-Ring, Regular Near-Ring.

(8)

v

TEŞEKKÜR

1, 2

  yakın-halkaların regülerliği üzerine adlı tez çalışmamda değerli hocam Yrd.

Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN'e bilgileriyle ve desteğiyle beni aydınlattığı için ve bu tezin oluşmasında geçen süreçte bana pozitif bakış açısıyla rehber olduğu için teşekkür ederim.

Yaşamımın her anında özveriyle beni destekleyen aileme, bu çalışmalar esnasında maddi manevi desteğini esirgemeyen eşim Mehmet KARATAŞ'a teşekkür ederim.

(9)

vi

KISALTMALAR VE SEMBOLLER LİSTESİ

N : Yakın-halka

No : N yakın-halkasının sıfır-simetrik kısmı Nc : N yakın-halkasının sabit kısmı

 : N-grup

 

M : ’dan ’ya tüm fonksiyonların yakın-halkası

 

Mo : ’da sıfırı koruyan tüm fonksiyonların yakın-halkası

 

Mc : ’da tüm sabit fonksiyonların yakın-halkası

N M

Hom , : N’den M ’ye tüm yakın-halka homomorfizmlerinin cümlesi

 

a b : a elemanı tarafından üretilen bi-ideal

 

a n : a elemanı tarafından üretilen invaryant N -alt grup

 

a r : a elemanı tarafından üretilen sağ N -alt grup

 

a l : a elemanı tarafından üretilen sol N -alt grup

 

C N : N yakın-halkasının merkezi

NI : Bölüm yakın-halkası

(10)

1. GİRİŞ

Halkaların bir genellemesi olan yakın-halkalara ilk adım, 1905 yılında Dickson [3]

tarafından atılmıştır. O, tek yönlü dağılma özelliğine sahip cisimlerin varlığını ispatlamıştır, bugün bu cisimler yakın-cisim olarak isimlendirilmektedir.

1 ve 2 yakın-halkalar regüler yakın-halkalara alternatif olarak alınabilecek farklı yapılardır. Bu kavramlar ilk olarak Uma ve arkadaşları [12] tarafından tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır. Her regüler yakın-halka bir 2 yakın-halka olmasına rağmen, 1 yakın-halka olması için sağ değişmeli olma şartı vardır. Aynı zamanda, her 1 yakın-halkanın homomorfik görüntüsü yine 1 yakın-halkadır fakat

2 yakın-halka için bu genelde doğru değildir.

Halkalar için bi-ideallik kavramı, birbirlerinden bağımsız olarak Lajos-Szasz [4] , Le Rouxs [5] ve Szasz [8] tarafından daha sonra yakın-halkalar için bu kavram Tamizh Chelvam ve Ganesan [9,10] tarafından ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. N bir yakın-halka ve A,BN olsun. Bu durumda,

} ,

{ab a A b B

AB  

1 2 1 2 1 2

* { a (a +b)-a a , , }

A Ba aA bB

ile tanımlanmıştır. Eğer, N ’nin bir B alt grubu için, ( )*

BNBBN BB

sağlanıyorsa B’ye N’nin bir bi-ideali denir. Fakat bu tanım N ’nin sıfır-simetrik olması durumunda, BNBB olarak alınmıştır.

Bu yüksek lisans tezinde, ilk olarak yakın-halkaların 1 alt yakın-halkaları tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır. 1 ve 2 alt yakın-halkaların homomorfizm altında özellikleri araştırılmıştır. Daha sonra 1 yakın-halkaların diğer tanımlanmış olan yakın-halkalarla ilişkileri incelenmiştir.

(11)

2. TEMEL BİLGİLER

Bu bölümde, temel bilgi niteliğinde olan ve diğer bölümlerde ortak olarak kullanılan yapılar verilecektir. Yakın-halka teorisi üzerine çalışan hemen hemen tüm matematikçiler için temel kaynak kabul edilen, ilk baskısı 1977 ve yenilenmiş baskısı 1983 yıllarında yapılan Günter Pilz’e ait “Near-rings” [7] kitabı, bu bölüm için temel kaynak olarak alınmıştır.

2.1. Temel Tanım ve Özellikler

Yakın-halkalar, genelleştirilmiş halkalardır. Halkalardan farklı olarak, bir yakın- halkada ilk işlem değişmeli olmak zorunda değildir ve ikinci işlemin birinci işlem üzerine tek yönlü dağılma özelliği olması yeterlidir. Bu tanım açık olarak aşağıdaki gibi verilebilir.

Tanım 2.1.1. [7] Bir N cümlesi, “+” ve “.” şeklinde gösterilen iki ikili işlem ile aşağıdaki şartları sağlıyorsa, (N,,.) üçlüsüne bir yakın-halka denir.

a) (N,) değişmeli olması gerekmeyen bir grup, b) (N,.) bir yarı grup,

c) x,y,zN için (xy).zx.zy.z

Burada c) şıkkında sağdan dağılma özelliği verildiğinden, bu şartları sağlayan ,.)

,

(N  üçlüsüne bir sağ yakın-halka denir. Eğer c) şıkkı yerine, N

z y

x

 , , için x.(yz)x.yx.z

alınırsa, bu şartları sağlayan (N,,.) üçlüsüne bir sol yakın-halka denir. Yani, dağılma özelliğinin yönü, yakın-halkanın sağ veya sol olmasını belirler. Bu çalışmada, kullanılan her yakın-halka terimi bir sağ yakın-halkayı ifade edecektir.

Bazı yakın-halka örnekleri aşağıdadır.

Örnek 2.1.2. (,) herhangi bir grup olsun.

) (

M { f : f bir fonksiyon}

ile tanımlanan bu cümle, fonksiyonlarda toplama ve bileşke işlemleri altında bir yakın-halkadır.

Örnek 2.1.3. (N,) bir grup ve x,yN için çarpma işlemi;

(12)

3



 

0 , 0

0 ,

y y xy x

ile tanımlanırsa, bu işlemler altında N bir yakın-halkadır. Bu yakın-halka literatürde, bazen, aşikar yakın-halka adıyla karşımıza çıkmaktadır.

Örnek 2.1.4. Her grup için bir yakın-halka elde edilebilir. Gerçekten, eğer (N,) grubu üzerinde ikinci işlem, x,yN için,

0 xy ile tanımlanırsa, (N,,) bir yakın-halkadır.

Örnekler 2.1.5. (,) herhangi bir grup ve “0 ” ile bu grubun etkisiz elemanı gösterilsin. Bu durumda, fonksiyonlarda toplama ve bileşke işlemleri altında aşağıdakiler birer yakın-halkadır.

a) M0(){f : f(0)0} b) Mc(){f : f sabit}

c) Mc0(){f :   ve



0 ,

0 , ) 0

(  

 

f }

Özellikler 2.1.6. [7] N bir yakın-halka ise aşağıdaki özellikler vardır.

a) xN için, 0x0 dır.

b) x,yN için, (x)yxy dir.

İspat: a) xN için, sağdan dağılma özelliğinden, x x x

x (0 0) 0 0

0    

ve dolayısıyla 0x0 bulunur.

b) x,yN için, yine sağdan dağılma özelliği kullanılarak, xy xy xy

y y x y

x       

 ) (0 ) 0 0 (

elde edilir.

Not: Bir N yakın-halkasında, her zaman, x,yN için x00 ve x(y)xy sağlanmayabilir. Mesela, Örnek 2.1.2. ’de tanımlanan M() yakın-halkasında,

) ( ,gM

f için,

0 0

f

(13)

4 olması f ’nin orjinden geçmesiyle ve

) ( )

( g f g

f    

olması ise f ’nin bir tek fonksiyon olması ile mümkündür.

Tanım 2.1.7. [7] N bir yakın-halka olsun.

a) N0 {nN n00} cümlesine N yakın-halkasının sıfır-simetrik kısmı, b) Nc {nN n0n}{nNn'Niçin nn'n} cümlesine N yakın- halkasının sabit kısmı denir.

N ve 0 Nc’de birer yakın-halkadır.

Örnek 2.1.8. [7] (M())0M0() ve (M())cMc() dır. Gerçekten, (M( )) 0 {fM( ) f o00}

{ fM( ) f(0)0}

M0() ve

(M( )) c{fM( ) f o0 f} { fM( ) f sabit}

Mc() dır.

N0

N ise N yakın-halkasına sıfır-simetrik ve NNc ise N yakın-halkasına sabit yakın-halka denir. Örnek 2.1.8. ’den görüleceği gibi, M0()bir sıfır-simetrik ve Mc() bir sabit yakın-halkadır.

Teorem 2.1.9. [2] Bir N yakın-halkası için NN0Nc dir.

İspat: nN için,

0 0 ) ( 0 0 ) 0 ) ((

0 0 )]

0 ) ((

[ 0 )]

0 (

[nnn nn  nn  n  Dolayısıyla,

) 0

0

(n N

n 

dır. Aynı zamanda,

Nc

n0

(14)

5 olduğu görülebilir. O halde,

) 0 ( )]

0 (

[n n n

n  

olduğundan ispat tamamdır.

Tanım 2.1.10. [7] (N,,.) bir yakın-halka olsun.

a) Eğer (N,) değişmeli ise N ’ye bir abelyen yakın-halka, (N,.) değişmeli ise, N ’ye bir komutatif yakın-halka, (N,.) birimli ise N ’ye birimli bir yakın-halka denir.

b) Eğer (N{0},.) bir grup ise, N ’ye bir yakın-cisim denir.

Tanım 2.1.11. [6] N bir yakın-halka olsun. a N için,

aNNa (2.1.) oluyorsa N ’ye bir alt değişmeli yakın-halka denir.

( ) { , }

C N  n N nxxn  x N cümlesi N yakın-halkasının merkezi olarak adlandırılır.

Lemma 2.1.12. [12] N bir alt değişmeli yakın-halka ve E={nN n idempotent}

olmak üzere E

 

0 olsun. Bu taktirde; EC N( ) dir.

İspat: N bir alt değişmeli yakın-halka ve E

 

0 olsun.  e E için N alt

değişmeli olduğundan,

eNNe dir. Dolayısıyla,  n N için,

enxe ve

neem olacak şekilde x m, N vardır. Buradan,

( ) ( ) 2

enee nee eme memne ( ) ( ) 2

eneen exe exexeen olup,

enne elde edilir.

(15)

6

Tanım 2.1.13. [12] N bir yakın-halka olsun. Eğer  a N için,

aaba (2.2.) olacak şekilde bN varsa N ’ye bir regüler yakın-halka denir.

Tanım 2.1.14. N bir yakın-halka olsun. Eğer x y z, , N için,

xyzxzy (2.3.) sağlanıyorsa N ’ye bir sağ değişmeli yakın-halka denir.

Tanım 2.1.15. N bir yakın-halka olsun. Eğer x y z, , N için,

xyzyxz (2.4.) sağlanıyorsa N ’ye bir sol değişmeli yakın-halka denir.

Tanım 2.1.16. Bir N yakın-halkası hem sol değişmeli yakın-halka hem de sağ değişmeli yakın-halka ise N ’ye bir değişmeli yakın-halka denir.

2.2. N-Gruplar

Halkalarda modül kavramının, yakın-halkalara taşınmasıyla elde edilmiş olan N - grup, yani N üzerinde yakın-modül kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanır:

Tanım 2.2.1. [7] (,) bir grup ve N bir yakın-halka olsun.

n n

N

 ) , (

:

alalım. Eğer x,yN ve   için,

x y y

x )  

( (2.5.) ve

) ( )

(xy   x y (2.6.) şartları sağlanıyorsa, (,) ikilisine bir N -grup, yani N üzerinde yakın-modül denir. Kısaca, N ile gösterilir. Eğer N , birimi 1 olan birimli bir yakın-halka ise,

 için,

 

1 (2.7.) şartını sağlayan  N -grubuna, bir üniter N -grup denir.

Örnekler 2.2.2. a) N bir yakın-halka olsun.

(16)

7

xy y

x

N N

N

 ) , (

:

altında (N,) bir N -gruptur. Bu N -grup, kısaca NN ile gösterilir.

b)  bir grup olsun. Bu durumda,

) ( )

, (

) ( :

f f

M

altında,  bir M()-gruptur. Gerçekten, f,gM() ve   için,

f g f g f g

g

f  ) (  )( ) ( ) ( )  (

ve

) ( )) ( ( ) )(

( )

(fg   fg   f g   f g sağlanır.

N -grup kavramıyla ilgili bazı temel özellikler aşağıdadır.

Özellikler 2.2.3. N bir yakın-halka ve  bir N -grup olsun. Bu durumda, a)   için, 0 0,

b)   ve xN için, (x) x , c) xN0 için, x0 0,

d)   ve nNc için, n n0 dır.

İspat a)   için,

 (0 0) 0 0

0    

ve dolayısıyla 0 0 dır.

b)   ve xN için,

x x x x

x       

 ) (0 ) 0 0 (

dır.

c) xN0 için,

 (00 )( 0)0 00 0

0 x x

x dır.

d)   ve nNc için,

(17)

8

(n0) n(00 ) n0

n 

elde edilir.

2.3. Alt Yapılar

Tanım 2.3.1. N bir yakın-halka ve (M,), (N,)’nın bir alt grubu olsun. Eğer, M

m

m

1, 2 için m1m2M sağlanıyorsa, M ’ye N ’nin bir alt yakın-halkası denir.

Örnek 2.3.2. N0 ve Nc, N yakın-halkasının alt yakın-halkalarıdır. Gerçekten, ,y N0

x

için,

0 0 0 0 0 0 )

(xyxy    yani, (N0,) (N,)’nın bir alt grubudur. x,yN0 için,

0 0 ) 0 ( 0 )

(xyx yx  dır. O halde N0N0N0 olur. Şimdi, x,yNc için,

y x y x y

x )0 0 0  (

yani, xyNc olur. Bu ise, (Nc,) grubunun (N,)’nın bir alt grubu olduğunu gösterir. x,yNc için,

xy y

x xy)0 ( 0) (

dır. O halde NcNcNc elde edilir.

Tanım 2.3.3. N bir yakın-halka ve bir N -grup olsun. ’nın

N (2.8.) şartını sağlayan, bir  alt grubuna, ’nın bir N -alt grubu denir ve  N  ile gösterilir.

2.4. Homomorfizm ve İdealler

Tanım 2.4.1. N ve M iki yakın-halka ve h:NM bir dönüşüm olsun. Eğer N

y x

 , için,

) ( ) ( )

(x y h x h y

h    (2.9.) ve

) ( ) ( )

(xy h x h y

h  (2.10.)

(18)

9

şartları sağlanıyorsa, h dönüşümüne bir yakın-halka homomorfizmi denir.

Önerme 2.4.2. [2] N ve M iki yakın-halka ve h:NM yakın-halka homomorfizmi olsun. Bu durumda,

a) h(N) görüntüsü, M’nin bir alt yakın-halkasıdır.

b) Eğer T , M ’nin bir alt yakın-halkası ise, bu taktirde h1

 

T ’de N ’nin bir alt yakın-halkasıdır.

c) h(N0)M0 dır.

d) h(Nc)Mc dir.

e) Eğer h bir izomorfizm ise, h1’de bir izomorfizmdir.

İspat a) h(N)’nin M ’nin bir alt grubu olduğu açıktır. Şimdi, )

( ) ( ),

(x b h y h N h

a   alalım. O halde,

) ( ) ( ) ( )

(x h y h xy h N h

ab  

olur. Bu ise, h(N)’nin, M ’nin bir alt yakın-halkası olduğunu gösterir.

b) T M ’nin bir alt yakın-halkası olsun. h1

 

T ’nin N ’nin bir alt grubu olduğu açıktır. Eğer, h(x),h(y)T ise,

T y h x h xy

h( ) ( ) ( ) yani,

 

xyh1 T

olur. Dolayısıyla h1( )T N ’nin bir alt yakın-halkasıdır.

c) n0N0 için,

M N

N N

M h n h h n h

n

h( 0)0  ( 0) (0 ) ( 00 ) (0 )0 olur. Bu ise, h(N0)M0 olduğu anlamına gelir.

d) ncNc için,

) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 0

)

(nc M h nc h N h nc N h nc

h   

elde edilir. Buradan, ncNc için, h(nc)Mc, yani h(Nc)Mc sonucuna ulaşılır.

(19)

10

e) h:NM bir izomorfizm olsun. Bu durumda, h1:MN bir grup izomorfizmidir. Şimdi, u,vM alalım. Bu durumda, h(x)u ve h(y)v olacak şekilde tek x,yN elemanları vardır. O halde,

1 1

( ) ( ( ) ( )) h uvh h x h y

h1( (h xy)) xy

h1( ( ))h x h1( ( ))h yh1( )u h1( )v olur. Bu ise, ispatı tamamlar.

Tanım 2.4.3. [7] N bir yakın-halka ve I N ’nin bir normal alt grubu olsun. Bu durumda, eğer,

a) I NI

b) x,yN ve iI için, x(yi)xyI

şartları sağlanıyorsa, I ’ya N yakın-halkasının bir ideali denir ve IN ile gösterilir. Eğer, sadece a) şartı sağlanıyorsa I , N ’nin bir sağ ideali, sadece b) şartı sağlanıyorsa I, N ’nin bir sol ideali adını alır ve sırasıyla Ir N ve Il N ile gösterilir.

Not: a) N bir yakın-halka ve IN ise, N

I bölüm yakın-halkası, bölüm halkasında olduğu gibi,

}

{n I n N

N I   

şeklinde tanımlanır.

b) {0} ve N, N yakın-halkasının idealleridir. Bunlara N ’nin aşikar idealleri denir.

Benzer şekilde, {0} ve , N yakın-halkasının  N -grubunun aşikar idealleridir.

c) N ve M iki yakın-halka ve hHom(N,M) ise, } 0 ) (

{n N h n M

çekh  

cümlesine h homomorfizminin çekirdeği denir.

(20)

11

Tanım 2.4.4. [7] Eğer N yakın-halkasının, bir M alt yakın-halkası için, MNM ve NMM şartları sağlanıyorsa, M ’ye N yakın-halkasının bir invaryant alt yakın-halkasıdır denir. Burada N ’nin yönüne göre M sağ ya da sol invaryant alt yakın-halka adını alır.

Örnek 2.4.5. [7] N bir yakın-halka olsun. Bu durumda, a) N0l N dir, fakat N0N olmak zorunda değildir.

b) N N ’nin bir invaryant alt yakın-halkasıdır, fakat ne sağ ne de sol ideali olmak c zorunda değildir.

Bunların doğruluğu aşağıdaki gibi gösterilebilir:

a) x,yN ve nN0 için,

0 0 0 0 0 0 0 )

(xnxxnxxx

yani, N N ’nin bir normal alt grubudur. Şimdi, 0x,yN ve nN0 için, 0

0 0 0 ) 0 0 ( 0 ] ) (

[x ynxyx ynxyxyxy  olur. Bunun anlamı x,yN ve nN0 için,

) 0

(y n xy N

x   

olmasıdır. Bu ise N0l N olduğunu gösterir. Şimdi, N0N olmak zorunda olmadığını göstermek için, bir örnek yeterlidir. R reel sayılar cümlesi ve NM(R) olsun. 1M(R) ile birim dönüşüm gösterilirse, 1N0M0(R) dir.  M(R) dönüşümü,

x R

R R

1

:

 

ile tanımlansın. Bu durumda,

R R) 1 1 ( 1 ) 0 )(

1

(   

yani,

0 0( ) 1 M RN

olur. Bu ise, M0(R)’nin M(R)’nin bir ideali olmadığını gösterir.

b) xN ve nNc için,

xn n

x xn)0 ( 0) (

(21)

12

yani, NNcNc dir. Yine, xN ve nNc için, nx n n

nx)0 0  (

olduğundan, NcNNc olur. O halde N N ’nin bir invaryant alt yakın-halkasıdır. c N N ’nin genelde ne sağ ne de sol idealidir, çünkü c (Nc,) (N,)’nın genelde bir normal alt grubu değildir. Örneğin, (,) abelyen olmayan bir grup ve ,  elemanları     olacak şekilde seçilsin. Şimdi, bir f dönüşümü

x f

:

ile tanımlansın. Bu durumda, fMc()’dır. 1M() birim dönüşüm ise, bu durumda,

    

 1)(0) 0 0 1

( f

olur, fakat

     

 1)( ) 1

( f

dır. Bu ise,

) ( 1

1 f  Mc

olduğunu gösterir. Buradan, Mc(), M()’nın bir normal alt grubu değildir. O halde, Mc()’nın M()’da normal olması için gerek ve yeter şart ’nın bir abel grubu olmasıdır.

Lemma 2.4.6. [12] N bir sıfır-simetrik yakın-halka olsun. Bu taktirde N ’nin her I ideali için, N II dır. Dolayısıyla N I NI dır.

İspat: I N ’nin bir ideali olsun. Dolayısıyla  i I ve n n, 'N için,

' '

( )

n n  i nnI

dır. Burada n' 0 alınırsa ve N ’nin sıfır-simetrik olduğu kullanılırsa niI olur. O halde, N II ve I NI dır. Buradan,

N I NI NI elde edilir.

(22)

3. α

1

, α

2

YAKIN-HALKALAR

Yakın-halkalarda regülerlik kavramı ile ilgili olarak birçok çalışma yapılmış ve halen bu çalışmalara yenileri eklenmektedir. 1 ve 2 yakın-halkalar regüler yakın- halkalara alternatif olarak alınabilecek farklı yapılardır. Bu bölümde 1 ve 2 yakın-halka kavramları tanıtılmış olup, birbirleriyle ve regüler yakın-halkalarla ilişkileri incelenmiştir. Bu kavramlar ilk olarak Uma ve arkadaşları [12] tarafından tanımlanmış ve çeşitli özellikleri ispatlanmıştır.

Tanım 3.1. [12] N bir yakın-halka olsun. Eğer  a N için,

axax (3.1.) olacak şekilde  x N varsa N’ye bir 1 yakın-halka denir.

Tanım 3.2. [12] N bir yakın-halka olsun. Eğer   a N

 

0 için,

xxax (3.2.) olacak şekilde   x N

 

0 varsa N’ye bir 2 yakın-halka denir.

Örnek 3.3. [12] a) N

0, , ,a b c

cümlesi üzerinde aşağıdaki tablolar ile verilen işlemlere göre ( , ,.)N  bir yakın-halkadır.

Burada,

0 0b 0, abaa bcb, b cbc, c olup N bir regüler yakın-halkadır.

0 0, , ,

b bcaca bbbb cccc olduğundan N bir 1 yakın-halkadır. Aynı zamanda,

, ,

aaaa cbcc acaa + 0 a b c

0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0

. 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b 0 0 b b c a a c c

(23)

14 olduğundan N bir 2 yakın-halkadır.

b) N

0, , ,a b c

cümlesi üzerinde aşağıdaki tablolar ile verilen işlemlere göre ( , ,.)N  bir yakın-halkadır.

Burada,

, , , 0 0

baba bbbb cccc a a olup N bir 1 yakın-halkadır. aN için,

0 , , ,

a aa aaaa abaa acaa

olduğundan Nregüler yakın-halka değildir. Aynı zamanda a N

 

0 için,

, ,

aaaa babb cacc olduğundan N2 yakın-halka değildir.

c) Her

N, ,.

yakın cisminde;

n N

  için 1 1nn, 1N ve

 

0

n N

   için n nn1 1n1, n1 N

 

0

olup yakın cisimler 1 ve 2 yakın-halkalardır.

d) N

0, , ,a b c

cümlesi üzerinde aşağıdaki tablolar ile verilen işlemlere göre ( , ,.)N  bir yakın-halkadır.

+ 0 a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0

. 0 a b c 0 0 0 0 0 a 0 0 a a b 0 a b b c 0 a c c

(24)

15

Burada,

, ,

aaaa abaa acaa olup N bir 2 yakın-halkadır. Buna rağmen cN için,

0 , , ,

c cc cacc cbcc cccc

olduğundan N regüler yakın-halka değildir. Aynı zamanda cN için, 0 0cc aca, c bcb, c ccc, c

olduğundan N1 yakın-halka değildir.

e) Bir N Boolean yakın-halkasında  a N için aaa olduğundan, aaaaaa

olup her Boolean yakın-halkası 1 ve 2 yakın-halkadır.

f) (Z6, ) grubu aşağıda verilen tablodaki işleme göre

Z6, ,.

bir yakın-halkadır.

. 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 1 0 5 1 2 0 4 2 0 4 2 3 0 3 3 0 3 3 4 0 2 4 0 2 4 5 0 1 5 0 1 5

Burada 3Z6 için,

0303, 131 3, 232 3, 3333, 4343, 5353 + 0 a b c

0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0

. 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b 0 0 b 0 c a a c a

(25)

16 olduğundan Z61 yakın-halka değildir.

 

3Z6 0 için,

131 1, 232 2, 3333, 4344, 5355 olduğundan Z62 yakın-halka değildir.

Not: Örnek 3.3. ’ün b) şıkkından görüldüğü üzere 1 ve 2 yakın-halka kavramları birbirlerinden farklıdırlar. Ayrıca Örnek 3.3. ’ün b) ve d) şıklarından yakın-halkanın

1 ve 2 olması da regülerliği gerektirmez.

3.1. α1 Yakın-Halkalar

Önerme 3.1.1. [12] N bir 1 yakın-halka olmak üzere  a N için, a) a x2xa2

b) ax axn n,  n 1

olacak şekilde xN vardır.

İspat: N bir 1 yakın-halka ve aN olsun. Bu taktirde, axax

olacak şekilde xN vardır.

a) xa2 (xa a) xa xax( )(xax ax) a ax( )a x2 olup xa2a x2 elde edilir.

b)  n 1 için, xaxx xax x( ) x ax2 2x xax x2( ) 2x ax3 3  ... x axn n olur.

Önerme 3.1.2. [12] N bir regüler yakın-halka olsun. Eğer, N sağ değişmeli ise N bir 1 yakın-halkadır.

İspat: N regüler olduğundan  a N için aaba olacak şekilde bN vardır.

xab olsun. N sağ değişmeli olduğundan,

( ) ( ) ( ) ( )

xaxab a ababa aba ababaa olup  a N için,

xaxa

olacak şekilde xN elde edilmiş olur. Dolayısıyla N bir 1 yakın-halkadır.

(26)

17

Önerme 3.1.3. [12] N bir sıfır-simetrik sağ değişmeli 1 yakın-halka olsun. Bu taktirde ab0 şartını sağlayan a b, N için ba0 olur.

İspat: ,a bN için ab0 olsun. N bir 1 yakın-halka olduğundan, xaxa

ve

ybyb

olacak şekilde x y, N vardır. N sıfır-simetrik ve sağ değişmeli olduğundan,

( )( ) ( ) ( )

bayby xaxyb yxa xyb yax xy bya x( ) 2y bay x( ) 2 (yba yx) 2

2 2 2

(yab yx) ( 0)y yx y yx0 0

   

olarak bulunur.

Önerme 3.1.4. [12] Bir N1 yakın-halkasının homomorfizma altındaki görüntüsü yine bir 1 yakın-halkadır.

İspat: N ve M yakın-halkaları ve h N: M yakın-halka homomorfizması verilmiş olsun. u v, h N( ) için

( ), ( ) uh a vh b

olacak şekilde a b, N vardır. N bir 1 yakın-halka olduğundan ,

axax byby olacak şekilde ,x yN vardır.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

uh ah xaxh x h a h xh x uh x ve

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vh bh ybyh y h b h yh y vh y

olacak şekilde h x h y( ), ( )h N( ) vardır. Dolayısıyla h N( ) bir 1 yakın-halkadır.

Önerme 3.1.5. [12] N bir 1 yakın-halka ve I N yakın-halkasının bir ideali olsun.

Bu taktirde N

I bölüm yakın-halkasıda bir 1 yakın-halkadır.

(27)

18 İspat:

: h N N

I

x x I

  ile tanımlı h fonksiyonu verilsin. x y, N için,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h xy      x y I x I y I h xh y

( ) ( )( ) ( ) ( )

h xyxy  I x I y I h x h y

olduğundan h bir homomorfizmadır. Aynı zamanda (x I), (y I) N

    I için,

( ) , ( )

h x  x I h y  y I

olacak şekilde x y, N vardır. Buradan h bir epimorfizmadır. N bir 1 yakın- halka ve ( )h N N

I olduğundan Önerme 3.1.4. ’den N

I bir 1 yakın-halkadır.

3.2. α2 Yakın-Halkalar

Önerme 3.2.1. [12] Bir 2 yakın-halkasında E={nN n idempotent}

 

0 dır.

İspat: N bir 2yakın-halka olsun. Bu taktirde   a N

 

0 için xaxx olacak

şekilde x N

 

0 vardır. Burada,

   

(ax)2ax axa xaxax

   

(xa)2xa xaxax axa

olup xa ve ax idempotent elemanlardır. Dolayısıyla ax xa, E olur. Burada x0 olduğundan,

0 xa dır. Aksi halde; xa0 olsa idi,

0 0

xxaxx çelişkisi ortaya çıkardı.

Önerme 3.2.2. [12] Her regüler yakın-halka bir 2 yakın-halkadır.

İspat: N bir regüler yakın-halka olsun. Buradan   a N

 

0 için abaa olacak

şekilde bN vardır. xbab olsun.

     

( ) ( )

xaxbab a babb aba babb a babb aba bbabx

(28)

19

olur ki bu N ’nin bir 2 yakın-halka olduğunu ispatlar.

Uyarı: Bir 1 yakın-halkanın homomorfik görüntüsü yine bir 1 yakın-halkadır.

Eğer N2 yakın-halka ve f N: M’de bir yakın-halka homomorfizmi ise M

2 yakın-halka olmak zorunda değildir. Gerçekten; N Klein-4 grup üzerinde aşağıdaki işlemlerle verilen

N, ,.

ve

N, , 

yakın-halkaları için,

(0) 0, ( ) , ( ) 0, ( ) ff aa f bf ca olarak tanımlı

:

f NN dönüşümü bir homomorfizmadır.

Burada

N, ,*

bir 2 yakın-halkadır fakat

N, ,.

bir 2 yakın-halka değildir.

Önerme 3.2.3. Bir N2 yakın-halkasının monomorfizma altındaki görüntüsü yine bir 2 yakın-halkadır.

İspat: N ve M yakın-halkaları, h N: M yakın-halka monomorfizması verilmiş olsun. h bir yakın-halka monomorfizması olduğundan  y h N( )

 

0 için,

( )

yh x olacak şekilde x N

 

0 vardır. N bir 2 yakın-halka olduğundan, bbxb

olacak şekilde b N

 

0 vardır.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h bh bxbh b h x h b , h b( )h N( )

 

0

olup h N( ) bir 2 yakın-halkadır.

* 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b b b b b c c c c c

. 0 a b c 0 0 0 0 0 a a a a a b 0 0 0 0 c a a a a

(29)

4. YAKIN-HALKALARDA Bİ-İDEALLİK VE Bİ-REGÜLERLİK

Halkalar için bi-ideallik kavramı, birbirlerinden bağımsız olarak Lajos-Szasz [4] , Le Rouxs [5] ve Szasz [8] tarafından daha sonra yakın-halkalar için bu kavram Tamizh Chelvam ve Ganesan [9,10] tarafından ortaya atılmış ve üzerinde çeşitli çalışmalar yapılmaya başlanmıştır.N bir yakın-halka ve A,BN olsun. Bu durumda,

} ,

{ab a A b B

AB  

1 2 1 2 1 2

* { a (a +b)-a a , , }

A Ba aA bB

ile tanımlanmıştır. Eğer, N ’nin bir B alt grubu için, ( )*

BNBBN BB

sağlanıyorsa B’ye N’nin bir bi-ideali denir. NN0 olduğunda  xb BNB için,

(0 ) 0 ( )*

xbx  b xBN B olduğundan,

( )*

BNBBN B

dir. Dolayısıyla N ’nin sıfır-simetrik yakın-halka olması durumunda bi-ideal kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.

Bu bölümde tüm yakın-halkalar sıfır-simetrik yakın-halka olarak alınacaktır.

Tanım 4.1. [11] N bir yakın-halka olsun. N’nin bir Balt grubu için,

BNBB (4.1.) oluyorsa B’ye N’nin bir bi-idealidir denir. Eğer m n, Zolmak üzere,

m n

B NBB (4.2.) oluyorsa B’ye genelleştirilmiş

m n bi-ideal denir. ,

Tanım 4.2. [11] N bir yakın-halka, A N’nin bir alt grubu olsun.

NAA( ANA) (4.3.) oluyorsa A’ya N’nin bir sol (sağ) N-alt grubu denir.

Tanım 4.3. [6] N bir yakın-halka olmak üzere aN tarafından üretilen N ’nin bi- ideali (invaryant N-alt grubu )

 

a (b

 

a n) şeklinde gösterilir.

(30)

21

Tanım 4.4. [6] N bir yakın-halka olmak üzere aN tarafından üretilen sağ (sol) N-alt grubu

 

a (r

 

a ) şeklinde gösterilir. l

Tanım 4.5. [6] N bir yakın-halka olsun. a N için,

   

b b

aa N a (4.4.) oluyorsa N’ye bir bi-regüler yakın-halka denir.

Önerme 4.6. [6] Her regüler yakın-halka bi-regülerdir. Fakat tersi genelde doğru olmak zorunda değildir.

İspat: N bir regüler yakın-halka olsun. Dolayısıyla  a N için, aaxa

olacak şekilde xN vardır. Buradan,

   

b b

aaxaa N a

olduğundan N bi-regülerdir. Tersinin doğru olmadığı aşağıdaki örnekte gösterilmiştir.

Örnek 4.7.

Z4,

grubu aşağıda verilen tablodaki işleme göre

Z4, ,.

bir bi- regüler yakın-halkadır.

. 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 2 2 0 3 0 3 3 0

Burada,

 

3 3 3 N  0

olduğundan N yakın-halkası regüler yakın-halka değildir.

Önerme 4.8. [6] N bir yakın-halka olsun. Bu taktirde aşağıdakiler denktir.

a) N bi-regülerdir.

b) A, N ’nin bir bi-ideali ve B bir invaryant N-alt grup olmak üzere, ABA A B

dir.

(31)

22 c) a b, N için,

         

a b b n a b b n a b

dir.

d)  a N için,

         

a b a n a b a n a b

dir.

İspat a)b) : N bi-regüler yakın-halka olsun. Aynı zamanda, A N’nin bir bi- ideali ve B invaryant N-alt grup olsun. A bir bi-ideal olduğundan,

ANAA dır. Buradan,

ABAA

olur. Aynı zamanda B bir invaryant N-alt grup olduğundan, ABAB

olup,

ABA A B

dir. x A B olsun. N bi-regüler yakın-halka olduğundan,

   

b b

xx N x

dir. Buradan xynz olacak şekilde y z,

 

x b , nN vardır. y z,

 

x b  A B

olduğu açıktır. Yine N bi-regüler yakın-halka olduğundan,

   

b b

yy N yANB dir.

Bu taktirde,

( )

xA NBN zABA olup,

A B ABA dir. Dolayısıyla A B ABA  dır.

b)c) : A , N’nin bir bi-ideali ve B bir invaryant N-alt grup olmak üzere, ABA A B

olsun. Burada, A

 

a b ve B

 

b n olarak alınırsa ispat elde edilir.

(32)

23 c)d) : a b, N için,

         

a b b n a b b n a b

olsun. Burada, ab olarak alınırsa ispat elde edilir.

d)a) :  a N için,

         

a b a n a b a n a b

olsun.

   

b n

aaa olduğundan,

         

b n b b b

aa a aa N a olup N bir bi-regüler yakın-halkadır.

Tanım 4.9. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

xNN (4.5.) oluyorsa N’ye

 

özelliğine sahiptir denir.

Tanım 4.10. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

xNx (4.6.) oluyorsa N’ye bir S-yakın-halka denir.

Tanım 4.11. [11] N bir S-yakın-halka olsun.  x N için,

xxN (4.7.) oluyorsa N’ye bir S -yakın-halka denir.

Önerme 4.12. [6] N

 

özelliği ile bir S -yakın-halka olsun. Bu taktirde aşağıdakiler denktir.

a) N bi-regülerdir.

b) N regülerdir.

c) N ’nin her B bi-ideali için BNBB dir.

İspat a)b) : N bi-regüler yakın-halka ve xN olsun. Her sağ ve sol N alt-grup bir bi-ideal olduğundan,

       

b b r l

xx N xx N x

dir. A, x ’i içeren herhangi bir sağ N-alt grup olsun. Dolayısıyla,

(33)

24

xA ve ANA olup,

xNANA

dır. Buradan, N

 

özelliği ile bir S yakın-halka olduğundan xN, x ’i içeren en küçük sağ N-alt gruptur. Buradan, xN

 

x r dir. Benzer şekilde, Nx

 

x l dir.

           

b b r l

xx N xx N xxN N NxxNx olup N regülerdir.

b)c) : N regüler yakın-halka ve B, N’nin bi-ideali olsun. N regüler olduğundan,

BBNB dir. Aynı zamanda B bi-ideal olduğundan,

BNBB dir. Dolayısıyla,

BNBB dir.

c)a) : N’nin her B bi-ideali için BNBB olsun.  x N için

 

x bi-ideal b olduğundan,

     

b b b

xxx N x dir. Dolayısıyla, N bir bi-regüler yakın-halkadır.

Tanım 4.13. [11]N bir yakın-halka olsun.  a N için,

aba2 (4.8.) olacak şekilde  b N varsa N ’ye bir kuvvetli regüler yakın-halka denir.

Not: Her kuvvetli regüler yakın-halka regüler yakın-halkadır [11].

Tanım 4.14. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için, 0

ab iken axb0 oluyorsa Nyakın-halkasına bir IFP yakın-halka denir.

Tanım 4.15. [11] N bir yakın-halka olsun.  a N için,

NaNa2 (4.9.)

(34)

25 oluyorsa N’ye bir sol bi-potent yakın-halka denir.

Tanım 4.16. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

xNxk(xx Nk ) (4.10.) oluyorsa N’ye bir S (k S'k) yakın-halka denir.

Not: N bir S yakın-halka ise k  j k için N bir Sj yakın-halkadır [11].

Tanım 4.17. [11] N bir yakın-halka olsun. ,r mZ olmak üzere  a N için,

r m

a NNa (4.11.) oluyorsa N’ye bir P r m( , ) yakın-halka denir.

Tanım 4.18. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

x NkxNx (NxkxNx ) (4.12.) oluyorsa N’ye bir P (k P'k) yakın-halka denir.

Tanım 4.19. [11] N bir yakın-halka olsun.  x N için,

k r m

x Nx Nx (Nxkx Nxr m ) (4.13.) oluyorsa N’ye bir P r m (k

,

P'k

r m ) yakın-halka denir. ,

Lemma 4.20. [11] N bir yakın-halka ve E idempotentlerin kümesi olsun. Eğer e E

  için,

eNeNeNe ise EC N( ) dir.

İspat:  e E için,

eNeNeNe olsun. Dolayısıyla  n N için,

neeue ve eneve olacak şekilde u v, N vardır. Buradan,

( ) ( )

enee nee eueeuene

( ) ( )

eneen eeve eeveen olup,

enne elde edilir. Dolayısıyla EC N( ) dir.

(35)

26

Önerme 4.21. [11] N bir S yakın-halka olsun. Bu taktirde, N ’nin P(1, 2) yakın- halka olması için gerek ve yeter şart N’nin alt değişmeli ve N’nin her B bi-ideali için BBNB olmasıdır.

İspat: N bir P(1, 2) yakın-halka olsun.  e E için, eNNe2Ne dir. Buradan,

( ) ( )

eNee Nee eNeN Dolayısıyla Lemma 4.20. ’den,

( ) EC N dir. N bir S yakın-halka olduğundan  a N için,

aaNNa2

olup, N kuvvetli regüler, dolayısıyla regüler yakın-halkadır. Dolayısıyla, aaba olacak şekilde bN vardır. Burada ab ve ba idempotent elemanlar olduğundan,

( ) ( )

aNaba NaN baNa ve

( ) ( )

NaN abaab NaaN olup,

aNNa

dır. Yani, N alt değişmelidir. N’nin her B bi-ideali için, BNBB

dir. N kuvvetli regüler olduğundan  b B için,

bNb2NbbbNbBNB olup,

BBNB dir. Buradan,

BBNB elde edilir.

Tersine N alt değişmeli ve N’nin her B bi-ideali için BBNB olsun. Nx ve xN bi-ideal olduğundan,

( ) ( )

NxNx N Nx

Referanslar

Benzer Belgeler

Ancak, eğer ilgili aracı, çok birimli devletin bölgesel birimlerinden birinin değil de, o çok bi- rimli devletin kendisinin hukukuna göre tüzel kişilik kazanmış veya

concluded in their study conducted with 494 nursing students that the compassion scale mean scores of the participants were 4.19±0.44 and the compassion levels of the participants

Sabah (10:00) ve Öğlen (12:00) yumurta toplama zamanlarından farklı olarak Akşam (15:00) yumurta toplama zamanından elde edilen yumurtalar üzerine

1) Amatör müzik eğitimi müziksel öğrenme ve öğretme etkinliklerini destekler. 2) Amatör müzik eğitimi diğer dallardaki başarıyı artırır. 3) Amatör müzik eğitimi genel

Li et al reported in their recent article entitled “Evaluation of Preprocedural Laboratory Parameters as Predictors of Drug- Eluting Stent Restenosis in Coronary Chronic Total

Sonuç: Alt oblik miyektomi cerrahisi uygulanan gözlerde geçici bir süre subfoveal koroid kalınlığı artışı olduğu tespit

İs­ tanbul Şehir Tiyatro­ sunun en uzun süre gö­ rev yapan sanatçılarından olan Vasfi Rıza Zobu, bir süredir te­ davi görmekte olduğu Esnaf Has­ tanesinde önceki

♦Araştırma konumuz olan erkek gibi güçlü kadınlar in bir kısmı, lâkaplarıyla karşımıza çıkarlar: Zülf-i Perişan (15, s: 64), Şah İsmail’deki Arap Üzengi