Fibonacci toplamları ve fibonacci polinomları

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

FİBONACCİ TOPLAMLARI VE FİBONACCİ

POLİNOMLARI

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

SEDAT KARADAYI

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Prof. Dr. Refik KESKĐN

Nisan 2010

ii

Bu tezin gerçekleştirilmesinde, başlangıcından sonuna kadar, yardım ve önerilerini benden esirgemeyen, karşılaştığım problemlerin çözümünde deneyimlerinden yararlandığım sayın hocam Prof. Dr. Refik KESKĐN’e teşekkür ederim. Ayrıca her durumda özverisi ve desteği ile yanımda olan değerli eşim Demet KARADAYI’ya ve bugünlere gelebilmem için maddi manevi hiçbir fedakarlıktan kaçınmayan aileme teşekkürü bir borç bilirim.

iii

ÖNSÖZ……….ii

ĐÇĐNDEKĐLER………iii

ÖZET………...iv

SUMMARY………..v

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ………1

BÖLÜM 2. FĐBONACCĐ POLĐNOMLARI………5

BÖLÜM 3. FĐBONACCĐ VE LUCAS TOPLAMLARI………...….28

SONUÇ VE ÖNERĐLER………51

KAYNAKLAR………...52

ÖZGEÇMĐŞ………53

iV

Bu çalışmada Fibonacci toplamları ve Fibonacci polinomları ele alındı. Birinci bölümde konuyla ilgili temel tanımlar ve teoremler verildi. Đkinci bölümde Fibonacci ve Lucas polinomları tanıtıldı ve bunlarla ilgili teoremler ifade edildi. Son bölümde de Fibonacci ve Lucas sayılarını katsayı kabul eden polinomlar ele alındı ve türev yardımıyla Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilgili toplamlar elde edildi.

V

SUMMARY

In this study, Fibonacci polynomials and Fibonacci summations are examined. In the first chapter, the main definitions and theorems are given. In the second chapter, Fibonacci and Lucas polynomials are investigated and some theorems concerning with Fibonacci and Lucas polynomials are given. The last chapter is related to the summations containing Fibonacci and Lucas numbers.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Bu bölümde, diğer bölümlerde kullanacağımız temel tanımlar ve teoremler verilecektir.

Birinci tümevarım ilkesi: Her n doğal sayısı için ^{p n}

( )

bir önerme olsun.

a)^p

( )

¹ doğru olsun.

b)^{p n}

( )

doğru iken ^{p n}

(

⁺¹

)

de doğru olsun.

Bu takdirde her n için ^{p n}

( )

doğrudur.

Đkinci tümevarım ilkesi: Her n doğal sayısı için ^{p n}

( )

bir önerme olsun.

a)^p

( )

¹ doğru olsun.

b)1 k≤ ≤n olmak üzere ^{p k}

( )

doğru iken ^{p n}

(

⁺¹

)

de doğru olsun.

Bu takdirde her n için ^{p n}

( )

doğrudur.

Tanım 1.1: F₁ =1,F₂ =1 ve n≥3 ^için n∈Z

1 2

n n n

F =F₋ +F₋

biçiminde tanımlanan (F dizisine Fibonacci dizisi ve _n) F sayılarına da Fibonacci n

sayıları denir. Dizinin terimleri; 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… biçimindedir.

Tanım 1.2: n≥1 ^için F_−n = −( 1)ⁿ⁺¹F_n biçiminde tanımlanan sayılara negatif indisli Fibonacci sayıları denir.

Teorem 1.1:(Cassini Formülü) n∈Z ^için F F_n−1 _n+1−F_n² = −

( )

1 ⁿ’dir.

Teorem 1.2: 1 5

α = ⁺2 ve 1 5

β = ⁻2 x²− − =x 1 0 denkleminin kökleri olmak üzere, her n∈Z ^için;

a)αⁿ =αF_n+F_n−1’dir.

b)βⁿ =βF_n+F_n−1’dir.

Teorem 1.3: x²− − =x 1 0 denkleminin pozitif kökü

α

negatif kökü β olsun. Bu durumda n≥1 ^için Fn

α

ⁿ

β

ⁿ

α β

= −

− ^’dir.

Tanım 1.3: L₀ =2,L₁=1 ve n≥2 ^için Ln =Ln₋1+Ln₋2 ile tanımlı sayılara Lucas sayıları denir.

Tanım 1.4: n≥1 ^için L₋n = −^{( 1)n}Ln biçiminde tanımlanan sayılara negatif indisli Lucas sayıları denir.

Teorem 1.4:n≥1 için L_n =αⁿ+βⁿ’dir.

Teorem 1.5: ⁵Fn² =Ln²− −⁴

( )

^{1 n}’dir.

Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilgili geniş bilgi için [1] ve [2] numaralı kaynaklara bakılabilir.

BÖLÜM 2. FİBONACCİ POLİNOMLARI

Tanım 2.1: f x1

( )

=1^, f2

( )

x =x ^ve n≥3 olmak üzere fn

( )

x =xfn₋1

( )

x + fn₋2

( )

x bağıntısı ile tanımlanan polinomlara Fibonacci polinomları denir. Fibonacci polinomlarının ilk on tanesini yazalım;

( )

1 1

f x =

( )

f2 x =x

( )

²

3 1

f x = +x

( )

³

4 2

f x = +x x

( )

^{4 2}

5 3 1

f x = +x x +

…

tir.

( )

fn x ’in derecesi n≥1 iken n−1 dir. Fibonacci polinomları ve Fibonacci sayıları arasında n≥1 olmak üzere fn

( )

¹ =Fn ilişkisi vardır. Örneğin f4

( )

1 =F4^’tür.

Ayrıca f1

( )

2 =1 ^, f2

( )

2 =2 ^ve n≥3 olmak üzere

( )

^{2 2 1}

( )

^{2 2}

( )

²

n n n

f = f ₋ + f ₋

eşitliği söz konusudur. Bu eşitlikten elde edilen sayılar

( )

²

n n

P = f

biçimindeki Pell sayılarıdır. Pell sayıları 1,2,5,12,29… şeklindedir.

( )

^{9 7 5 3}

10 8 21 20 5

f x = +x x + x + x + x

Tanım 2.2: ^f0

( )

^{x =0} olmak üzere ^f−ⁿ

( ) ( )

^x = −^{1 n+1 fn}

( )

^x bağıntısı ile tanımlanan polinomlara negatif indisli Fibonacci polinomları denir.

Teorem 2.1: n≥3 olmak üzere

( )

1

( ) ( )

1

1

n

i n n

i

x f x f ₊ x f x

=

= + −

∑

^’dir.

Đspat: ^fn

( )

^x =^xfn−¹

( )

^x + ^fn−²

( )

^x bağıntısını kullanırsak

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

n n n

i i i

i i i

f₊ x x f x f₋ x

= = =

= +

∑ ∑ ∑

olur. Buradan

( )

1

( ) ( )

0

( )

1

( )

1 n

n n i

i

f x f ₊ x x f x f x f x

=

+ =

∑

+ +

bulunur. f0

( )

x =0 olduğundan

( )

1

( ) ( )

1

1

n

i n n

i

x f x f ₊ x f x

=

= + −

∑

elde edilir.

Tanım 2.3: ^l0

( )

^{x =2 , l x1}

( )

^{=x ve n≥2} olmak üzere

( )

1

( )

2

( )

n n n

l x =xl₋ x +l ₋ x

biçiminde tanımlanan polinomlara Lucas polinomları denir. Lucas polinomlarının ilk 10 tanesini yazalım;

( )

l x1 =x

( )

²

2 2

l x =x +

( )

³

3 3

l x = +x x

( )

^{4 2}

4 4 2

l x = +x x +

…

( )

^{10 8 6 4 2}

10 10 35 50 25 2

l x =x + x + x + x + x +

dir.

Lucas polinomları ve Lucas sayıları arasında n≥0 ^için ln

( )

¹ =Ln ilişkisi vardır.

Tanım 2.4: Negatif indisli Lucas polinomları l₋n

( ) ( ) ( )

x = −^{1 n}ln x biçiminde tanımlanır.

Teorem 2.2: Her n∈Z ^için

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

n

x x

f x

x x

α β

α β

= −

− ^’dir.

Burada

( )

^{2 4}

2

x x

α

x = ^{+ + ve}

( )

^{2 4}

2

x x

β

x = ^{− + ’dir.}

Đspat:

^α ( ) ( )

^{x −}

^β

^{x = x2 +4} olduğunu kullanarak her n doğal sayısı içinn

( ) ( ) ( )

2 4

n n

n

x x

f x

x α −β

= + olduğunu tümevarımla gösterelim. Đddia n=1 için

doğrudur. Çünkü,

( ) ( ) ( )

1 2 1

4

x x

f x

x

α

−

β

= =

+ dir. Đddia n için doğru, yani

( ) ( ) ( )

2 4

n n

n

x x

f x

x α −β

= + olsun.

( )

¹

( )

¹

( )

1 2

4

n n

n

x x

f x

x α ⁺ β ⁺

+

= −

+

ifadesinin doğru olduğu gösterilecek. Fibonacci polinomlarının tanımından

( ) ( ) ( )

1 1

n n n

f ₊ x =xf x + f ₋ x

tir. Burada fn

( )

x ve fn₋1

( )

x değerleri yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa

( )

1

fn₊ x

( ) ( )

¹

( )

¹

( )

2 2

4 4

n n n n

x x x x

x

x x

α β

^

α

⁻

β

^{− }

 −  −

=  +   + + 

2

( ( ) ( )

¹

( )

¹

( ) )

1 4

n n n n

x x x x x x

x α β α ⁻ β ⁻

= − + −

+

₂^{1 1}

( ) (

¹

( ) )

¹

( ) (

¹

( ) )

4

n n

x x x x x x

x ^α ⁻ α β ⁻ β ^

=  + − + 

+

1 1

2 2 2 2 2 2

2

1 4 4 4 4

1 1

2 2 2 2

4

n n

x x x x x x x x x x

x

− −

 + +   + +   − +   − + 

 

=    +  −   + 

       

 

+        

2

1 4 x

= +

2 2 2

2

4 2 2 4

2 4 2

n

x x x x x

x x

 + +  + + +

 

  + +

 

2

1 4 x

− +

2 2 2

2

4 2 2 4

2 4 2

n

x x x x x

x x

 − +  + − +

 

  + +

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 4 2 4 4 2 4

2 2

4 4 4 4 4

n n

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

 + +   + + +   − +   + − + 

 

= +      + + +    −     + + + 

bulunur. Ayrıca

2 2

2 2

2 4

4 4

x x x

x x x

 + + + 

 

 + + + 

 

ve

2 2

2 2

2 4

4 4

x x x

x x x

 + − + 

 

 + + + 

 

ifadeleri paydalarının eşlenikleri ile

çarpılıp düzenlenirse

2 2 2

2 2 2

2 4 4

4 4 2 4

x x x x x

x x x x

+ + + = + +

+ + + + ^ve

2 2 2

2 2 2

2 4 4

4 4 2 4

x x x x x

x x x x

+ − + = − +

+ + + + bulunur.

Böylece

( )

1

fn₊ x

2 2 2 2

2 2 2

1 4 4 4 4

2 2

4 2 4 2 4

n n

x x x x x x x x

x x x

 + +   + +   − +   − + 

 

= +      +    −     + 

elde edilir. Dolayısıyla

( )

1

fn₊ x

( ) ( ) ( ) ( )

¹

( )

¹

( )

2 2 2

4 4 4

n n n n

x x x x x x

x x x

α α β β α ⁺ −β ⁺

= − =

+ + +

olur.

Şu halde iddia n+1 için de doğrudur. Tümevarım ilkesine göre her n için ifade doğrudur. Diğer yandan n=0 ^için

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

x x

f x

x x

α β

α β

= −

− =0 doğrudur. Şimdi de

n∈N olmak üzere

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

n

x x

f x

x x

α β

α β

− −

−

= −

− olduğunu gösterelim.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

( ) ( )

( ) ( )

n n n n

n

x x x x

f x

x x x x

α β α β

α β α β

− −

−

− −

= =

− − olur. Buradan,

f_−n( )x

( ) ( )

( 1) ( ) ( )

n n

n

x x

x x

β α

α β

−

= −

−

( 1) ( ( ) ( )) ( ) ( )

n n n

x x

x x

β α

α β

− −

= −

( 1) 1( ( ) ( )) ( ) ( )

n n n

x x

x x

α β

α β

− + −

= −

f_−n( )x = −( 1)ⁿ⁺¹f x_n( ) elde edilir. Şu halde her n∈Z ^için

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

n

x x

f x

x x

α β

α β

= −

−

olur.

Teorem 2.3: Her n∈Z ^için ln

( )

x =

α

ⁿ

( )

x +

β

ⁿ

( )

x ^’dir.

Đspat: Önce her n∈N ^{için ln}

( )

^{x =}

^α

ⁿ

( )

^{x +}

^β

ⁿ

( )

^x olduğunu tümevarımla gösterelim.Đddia n=1 için doğrudur. Çünkü

( ) ( ) ( )

l x1 =

α

x +

β

x =x doğrudur. Đddia n için doğru, yani ^ln

( )

^{x =}

^α

ⁿ

( )

^{x +}

^β

ⁿ

( )

^x

olsun. 1

( )

¹

( )

¹

( )

n n

ln₊ x =

α

⁺ x +

β

⁺ x ifadesinin doğru olduğunu gösterelim. Burada

( ) ( ) ( )

1 2

n n n

l ₊ x = f ₊ x + f x

olduğu kullanılırsa

( )

²

( )

²

( ) ( ) ( )

1 2 2

4 4

n n n n

n

x x x x

l x

x x

α ⁺ β ⁺ α β

+

− −

= +

+ +

ve böylece

( ) ( ) ( ) (

²

) ^{( )} (

²

^{( )} )

1 2

1 1

4

n n

n

x x x x

l x

x

α α β β

+

+ − +

= +

elde edilir.

( )

^{2 4}

2

x x

α

x = ^{+ +} olduğundan

( )

^{2 2 2}

2 2 4 4

1 1

4

x x x x

α

x + = ^{+ + + +} + ^{2 2} 4 4 2

x +x x + +

=

olur. Buradan

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

1 4 4 4

4 2 4 2

x x x x x x

x

x x

α

⁺ = ^{+ + +} = ^{+ +} =

α

+ +

bulunur. Böylece,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

n n

ln₊ x =

α

x

α

x +

β

x

β

x ve buradan

( )

¹

( )

¹

( )

1

n n

ln₊ x =

α

⁺ x +

β

⁺ x

elde edilir. Şu halde iddia n+1 için de doğrudur. Tümevarım ilkesine göre her n için

ifade doğrudur. Diğer yandan n=0 ^{için l0}

( )

^{x =}

^α

⁰

( )

^{x +}

^β

⁰

( )

^x =2 doğrudur.

Şimdi de her n doğal sayısı için l₋n

( )

x =

α

⁻ⁿ

( )

x +

β

⁻ⁿ

( )

x olduğunu gösterelim.

( )

^{1 1}

( ) ( )

n n n

l x

x x

α β

− = + olup buradan ( ) ( )

( ) ( 1)

n n

n n

x x

l x

β α

− = +

− olduğu görülür.

Dolayısıyla

( ) ( 1)ⁿ ( )

n n

l₋ x = − l x

bulunur. Şu halde her n∈Z ^için

( )

ⁿ

( )

ⁿ

( )

ln x =

α

x +

β

x dir.

Teorem 2.4: Her n∈Z ^için

( ) ( ) ( )

1

( )

n

n n

x x f x f x

α

=

α

+ ₋ ^’tir.

Đspat:

( ) ( ) ( )

2 4

n n

n

x x

f x

x α −β

= + olduğundan

( ) ( )

^{x fn x fn 1}

( )

^x

α

+ ₋ =

( ) ( ) ( )

¹

( )

¹

( )

2 2

4 4

n n n n

x x x x

x

x x

α β α β

α ^ ^{− }+ ^{− − −}

+ +

 

yazılır. Buradan

( ) ( )

x fn x fn 1

( )

x

α

+ ₋ ¹

( ) ( ) ( )

¹

( )

¹

( )

2 4

n n n n

x x x x x

x

α ⁺ −α β +α ⁻ −β ⁻

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

4 4

n n

x x x x

x x

x x

α α β α

α β

   

+ +

   

   

= −

+ +

olur. Burada

^α ( ) ( )

^x

^β

^{x = −1} olduğu kullanılırsa

( ) ( )

x fn x fn 1

( )

x

α

+ ₋

( ) ( ) ( ) ( ) _{( )}

2 4

n

x x x n

x x

α α β

−

α

= =

+

tir.Yani,

( ) ( ) ( )

¹

( )

n

n n

x x f x f x

α

=

α

+ ₋

tir.

Teorem 2.5: Her n∈Z ^için

( ) ( ) ( )

1

( )

n

n n

x x f x f x

β

=

β

+ ₋ ^’tir.

Đspat:

( ) ( ) ( )

2 4

n n

n

x x

f x

x α −β

= + olduğundan

( ) ( )

^{x fn x fn 1}

( )

^x

β

+ ₋ =

( ) ( ) ( )

¹

( )

¹

( )

2 2

4 4

n n n n

x x x x

x

x x

α β α β

β ^ ^{− }+ ^{− − −}

+ +

 

tür. Buradan

( ) ( )

x fn x fn 1

( )

x

β

+ ₋ ¹

( ) ( ) ( )

¹

( )

¹

( )

2 4

n n n n

x x x x x

x

β ⁺ α β α ⁻ β ⁻

− − + −

= +

elde edilir. Böylece

( ) ( )

^{x fn x fn 1}

( )

^x

β

+ ₋

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1

4 4

n n

x x x x

x x

x x

α β α β β β

   

+ +

   

   

= −

+ +

olur. Burada ( ) ( )α βx x = −1 olduğu kullanılırsa

( )x f x_n( ) f_n 1( )x

β

+ ₋

( ) ( ) ( ) ( ) _{( )}

2 4

n

x x x n

x x

β β α

− −

β

= =

+

bulunur. Dolayısıyla

( ) ( ) ( )

1

( )

n

n n

x x f x f x

β

=

β

+ ₋

elde edilir.

Teorem 2.6: Her n∈Z ^için

( ) ( )

^{2 4}

( )

2

n n

n l x x f x

α

x = ^{+ +} ’dir.

Đspat:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

n

x x

f x

x x

α β

α β

= −

− ^ve

^α ( ) ( )

^{x −}

^β

^{x = x2+4} olduğu biliniyor.

Buradan

( ) ( ) ( )

2 4 _n ^{n n}

x + f x +

β

x =

α

x yazılır. Ayrıca ^ln

( )

^{x =}

^α

ⁿ

( )

^{x +}

^β

ⁿ

( )

^x olduğu kullanılırsa

( ) ( ) ( ) ( )

2 4 _{n n} ^{n n}

x + f x +l x −

α

x =

α

x elde edilir. Buradan da

( ) ( )

^{2 4}

( )

2

n n

n l x x f x

α

x = ^{+ +}

bulunur.

Teorem 2.7: Her n∈Z ^için

( ) ( )

^{2 4}

( )

2

n n

n l x x f x

β

x = ^{− +} ’dir.

Đspat:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

n

x x

f x

x x

α β

α β

= −

− ^ve

^α ( ) ( )

^{x −}

^β

^{x = x2+4} olduğu kullanılırsa

( ) ( ) ( )

2 4 _n ^{n n}

x + f x +

β

x =

α

x yazılır. Ayrıca ln

( )

x =

α

ⁿ

( )

x +

β

ⁿ

( )

x olduğundan

( ) ( ) ( ) ( )

2 4 _{n n} ^{n n}

x + f x =l x −

β

x −

β

x olur. Buradan

( ) ( )

^{2 4}

( )

2

n n

n l x x f x

β

x = ^{− +} elde edilir.

Teorem 2.8: Her n∈Z ^için

( ) (

^{2 4}

)

^{1( ) 1( )}

n n n

f x x + =l ₊ x +l ₋ x ve l_n+1( )x =xl x_n( )+l_n−1( )x ’dir.

Đspat:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

n

x x

f x

x x

α β

α β

= −

− ^{ve ln}

( )

^{x =}

^α

ⁿ

( )

^{x +}

^β

ⁿ

( )

^x olduğu kullanılarak ispat yapılabilir.

Teorem 2.9:

( )

2 4

2 2

1

2 2

x x

P x x

 + 

 

= 

 

 

 

olsun. Bu durumda her n∈Z ^için

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 2

2 2

n n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

 + 

 

 

= 

 

 

dir.

Đspat: Önce ifadenin her ndoğal sayısı için doğru olduğunu gösterelim. Đddia n=1 için doğrudur. Çünkü;

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 1

1 1

4

2 2

2 2

f x x l x

P x

f x l x

 + 

 

 

= 

 

 

2 4

2 2

1

2 2

x x

x

 + 

 

= 

 

 

 

dir. Đddia n için doğru, yani

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 2

2 2

n n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

 + 

 

 

= 

 

 

olsun.

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1 1

1

1 1

( ) 4

2 2

2 2

n n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

+ + +

+ +

 + 

 

 

= 

 

 

ifadesinin doğru olduğunu gösterelim.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4 2 4

2 2

2 2

( ) ( )

1

2 2

2 2

n n n

n n

f x x

l x x x

P x P x

f x l x x

 +  + 

   

 

=  

   

   

 

ise

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

4 4 ( )( 4)

4 4

( ) ( )

( ) 4

4 4

n n n n

n

n n

n n

xl x f x x xf x x l x x

P x P x

xl x f x x xf x l x

 + + + + + 

 

 

= + + + 

 

 

olur. Pⁿ⁺¹( )x =P x P xⁿ( ) ( ) olduğunu göstermek için

( ) ( ) (

² 4

)

1( )

4 2

n n n

xl x + f x x + l ₊ x

=

ve

( ) ( )

^{( )}

2 4

n n n

f x xf x +l x

=

olduğu gösterilmelidir. Đlk önce

( ) ( ) (

² 4

)

1( )

4 2

n n n

xl x + f x x + l ₊ x

=

olduğunu gösterelim. Teorem 2.8’den

( ) (

^{2 4}

)

^{1( ) 1( )}

n n n

f x x + =l₊ x +l ₋ x

olduğu biliniyor. Ayrıca

1( ) ( ) 1( )

n n n

l ₊ x =xl x +l ₋ x olduğu kullanılırsa

( ) (

^{2 4}

)

^{( ) 1( ) 1( )}

n n n n

f x x + =xl x +l ₋ x +l ₋ x

olur, yani

( ) (

^{2 4}

)

^{( ) 2 1( )}

n n n

f x x + =xl x + l ₋ x

olur. Bu ifade de her iki tarafa xl x eklenirse _n( )

( ) (

²

)

¹

( ) 4 2 ( ) 2 ( )

n n n n

xl x + f x x + = xl x + l ₋ x

elde edilir. Buradan

( ) (

²

)

1

( ) 4

( ) ( )

2

n n

n n

xl x f x x

xl x l ₋ x + +

+ =

bulunur. Dolayısıyla

( ) (

²

)

1

( ) 4

( ) 2

n n

n

xl x f x x

l ₊ x + +

=

ve buradan

( ) ( ) (

² 4

)

1( )

4 2

n n n

xl x + f x x + l ₊ x

=

elde edilir. Şimdi de

( ) ( )

^{( )}

2 4

n n n

f x = xf x +l x

olduğunu gösterelim. Teorem 2.8’den

( )

1 1( ) ( )

n n n

f ₊ x + f ₋ x =l x

olduğu biliniyor. Ayrıca

( ) ( ) ( )

1 1

n n n

f ₊ x =xf x + f ₋ x

olduğu kullanılırsa,

( )

^{1( ) 1( )}

( )

n n n n

xf x + f ₋ x + f ₋ x =l x

olur. Bu eşitlikte her iki tarafa xfn

( )

x eklenirse

( )

1

( )

2xf_n x +2f_n− ( )x =xf x_n( )+l_n x

bulunur. Buradan

( )

¹

( )

2(xf_n x + f_n− ( ))x =xf x_n( )+l_n x

olur. Böylece

( )

2f_n+1( )x =xf x_n( )+l_n x yani

( ) ( )

^{( )}

2 4

n n n

f x xf x +l x

=

elde edilir. Böylece Đddia n+1 için de doğru olduğundan her n doğal sayısı için

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 2

2 2

n n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

 + 

 

 

= 

 

 

dir. Şimdi de n∈N ^için

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 2

2 2

n n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

− −

−

− −

 + 

 

 

= 

 

 

olduğunu gösterelim.

( ) ( ( )) 1

n n

P⁻ x = P x ⁻ olduğundan P x matrisinin tersini bulalım. ⁿ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

1

4

1 2 2

( ( ))

det ( )

2 2

n n n

n

n n

f x x l x

P x P x f x l x

−

 + 

 − 

 

=  

−

 

 

dir. Buradan

(P xⁿ( ))⁻1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 2

( 1)

2 2

n n n

n n

f x x l x

f x l x

 + 

 − 

 

= −  

−

 

 

olur. Böylece

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1

1

( 1) 4

( 1)

2 2

( ( ))

( 1) ( 1)

2 2

n n n n n

n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

+

−

+

 − − + 

 

 

= − − 

 

elde edilir. Buradan da

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1

1

( 1) 4

( 1)

2 2

( ( ))

( 1) ( 1)

2 2

n n n n n

n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

+

−

+

 − − + 

 

 

= − − 

 

n( ) P⁻ x

=

bulunur. n=0 ise teoremin doğru olduğunu görmek kolaydır. Şu halde her n∈Z için

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 2

2 2

n n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

 + 

 

 

= 

 

 

dır.

Teorem 2.10: Her n∈Z için ’dir.

Đspat: Bu teoremin ispatını

( )

2 4

2 2

1

2 2

x x

P x x

 + 

 

= 

 

 

 

polinomunu kullanarak

yapacağız. Önceki teoreme göre

dır.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 2

2 2

n n n

n n

f x x l x

P x

f x l x

 + 

 

 

= 

 

 

det ( )P x = −1 olduğundan (det ( ))P x ⁿ = −1 olur. Böylece

( ( ) )

²

^{( )}

²

^{( )} (

^{2 4}

) _{( )}

det 1

4 4

n n n

n l x f x x

P x +

= − = −

ve buradan

( ) ( ) ^{( ) ( )}

2 2 2

4 4 1 ⁿ

n n

l x − x + f x = −

elde edilir.

Teorem 2.11:Her n∈Z olmak üzere

( )

¹

1 0

Q x x 

= 

  olmak üzere

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

n n

n

n n

f x f x

Q x

f x f x

+

−

 

= 

 ’dir.

Đspat: Önce her n doğal sayısı için

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

n n

n

n n

f x f x

Q x

f x f x

+

−

 

= 

 

olduğunu gösterelim. Bunun için tümevarım kullanılacaktır. Đddia n=1 için doğrudur.

Çünkü

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1

1 0

1 ( )

1 0

f x f x x

Q x Q x

f x f x

   

= = =

 

 

tir. Đddia n için doğru, yani

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

n n

n

n n

f x f x

Q x

f x f x

+

−

 

= 

 

olsun. Đddianın n+1 içinde doğru olduğunu gösterelim.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1

1

1

n n

n

n n

f x f x

Q x

f x f x

+ +

+

+

 

= 

 

olur.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

( ) 1

1 0

n n

n

n n

f x f x x

Q x Q x

f x f x

+

−

   

=   

 

 

ifadesinden

( ) ( ) ( )

( )

^{1 1 1}

( )

( ) ( )

( )

n n n

n

n n n

f x x f x f x Q x Q x

f x x f x f x

+ +

−

+

 

= 

 + 

( ) ( )

( ) ( )

2 1

1

n n

n n

f x f x

f x f x

+ +

+

 

= 

 

1( ) Qn⁺ x

=

bulunur. Dolayısıyla Đddia n+1 için de doğrudur.n=0 ise teoremin doğru olduğunu görmek kolaydır. Benzer şekilde n∈N için

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

n n

n

n n

f x f x

Q x

f x f x

− + −

−

− − −

 

= 

  olduğu ispatlanabilir.

Teorem 2.12: Her ,m n∈Z için;

a) ^{fm n}+

( )

^x = ^fm

( ) ( )

^{x fn}+^{1 x} + ^fm−¹

( ) ( )

^{x fn x}

b)

( )

−1ⁿ f_{m n−}

( )

x = f_m

( ) ( )

x f_n−1 x − f_m−1

( ) ( )

x f_n x tir.

Đspat: ^{Qm n+}

( )

^x matrisini yazalım.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

m n m n

m n

m n m n

f x f x

Q x

f x f x

+ + +

+

+ + −

 

= 

  (2.1) olur. Diğer yandan

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

( ) ( ) ^{m m n n}

m n m n

m m n n

f x f x f x f x

Q x Q x Q x

f x f x f x f x

+ +

+

− −

   

= =   

   

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

^{1 1}

( )

^{1 1}

( ) ( ) ( ) ( )

^{1 1}

( )

¹¹

( )

( ) ( ) ^{m n m n m n m n}

m n

m n m n m n m n

f x f x f x f x f x f x f x f x

Q x Q x

f x f x f x f x f x f x f x f x

+ + + −

+ − − −

+ +

 

= 

+ +

  (2.2)

olur. (2.1) ve (2.2) eşit olduğundan

( ) ( ) ( )

1 1

( ) ( )

m n m n m n

f ₊ x = f x f ₊ x + f ₋ x f x