Üçgenlerin iç bölgelerindeki bazı özel noktalar ve yardımcı elemanlarıyla ilişkileri üzerine bir araştırma

birbirlerine göre durumları araştırılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Heron üçgenleri, diklik merkezi, Gergonne seviyanı, dokuz nokta çemberi, üçgen merkezi.

Matematik biliminin temel işlevlerinin başında; saymak, ölçmek ve karşılaştırma yapmak gelir. Saymak için özellikle doğal sayılara ihtiyacımız vardır. Bundan dolayı matematikte doğal sayılarla çalışmak insanoğluna her zaman daha ilginç gelmiştir. Bunun sonucunda; Sayılar teorisinde denklemlerin tamsayılarla çözülmesiyle ilgilenen Diophantine denklemleri ve geometride tamsayı kenarlı çokgenlerle ilgilenilen Heron Üçgenleri alanlarının başında gelmiştir. Üçgenlerle ilgili çalışmanın başladığı zamanın antik çağlarda olduğunu ve onun geleceğe doğru sağlam bir şekilde ilerlediğini biliyoruz. Bundan dolayı M.Ö 200 yıllarında Arşimed, ileriye dönük olarak açık bir şekilde, bir üçgensel bölgenin kenarlara bağlı olarak alanının hesaplanmasını veren Heron formülünü ortaya koymuştur (Bartel 1975).

Öklit Geometrisi, trigonometri gibi materyaller; ileri düzeydeki üniversite derslerinde, matematik kulüplerindeki tartışmalarda ve popüler konferansların hazırlanmasında uygundur. Üstelik bu ve benzer konularla ilgili bağımsız çalışma ve sınıf araştırması projeleri için birçok ilginç problem ortaya konabilir. Çalışmamızda yaygın olan çeşitli teknikleri kullanıyoruz

Bu çalışmada klasik üçgen merkezlerini ve bunlarla ilgili belli başlı teoremleri veriyoruz. Ayrıca Heron üçgenini, Gerogonne Seviyanını ve diklik merkezini hareket noktası olarak alıyoruz.

1.1. Kaynak Araştırması

Çalışmamızın kaynak araştırması olan bu kesimde bu alanın klasiklerinden olan bazı eserleri ve ilgili makaleleri veriyoruz.

Beauregard ve Suryanarayan (1997); Heron üçgeninin kenar uzunlukları tamsayı ve aritmetik dizinin sırasıyla üç elemanı olan aritmetik üçgenler üzerinde çalışmışlardır. Bu makalede özellikle d-aritmetik üçgenler incelenmiştir. Ayrıca Pythagorean üçlülerinden d-aritmetik üçgeninin nasıl elde edileceği göstermiştir.

Boyd ve Raychowdhury (1997) çalışmalarında; Konecny’ nin Gergonne noktası tanımı genelleştirmişlerdir. Bu tanım, genel Gergonne noktasının konveks kordinatlarını bulmamızda yardımcı olmuştur. Ayrıca bu konveks koordinatlar ile üçgenin diğer özel noktalarının konveks koordinatlarını ilişkilendirmişlerdir.

Buchholz ve MacDougall (1999) ın bu çalışmalarında; kenar uzunlukları geometrik veya aritmetik dizinin ardışık üç elemanı olan rasyonel alanlı üçgenlerin olup olmadığı incelemiştir. Kenarları aritmetik dizinin ardışık üç elemanı olan üçgenlerin sonsuz bir ailesi için tam bir karakterizasyon vermiştir. Bu çalışmada kenarları geometrik dizinin ardışık üç elemanı olan hiçbir üçgenin olamayacağı gösterilmiştir.

Dickson (1971) de; eserin basım yılına kadar olan sayılar teorisi ile ilgili gelişmeleri, açık problemleri ve çalışmaları özetlemiştir. Bu kitap ilk olarak 1920 li yıllarda basılmış ve daha sonra ise yeni baskıları verilmiştir. Dolayısıyla başta Pythagorean ve rasyonel kenarlı dik üçgenler gibi bir çok özel üçgen olmak üzere, bir çok rasyonel kenarlı üçgenlerle ilgili yapılan çalışmaları incelemiş ve geniş bir literatür özeti vermiştir.

Venema (2006) daki çalışmasında; klasik üçgen merkezlerinin tanımlamasını yapıp açık uçlu problemler ortaya koymuştur. Okuyucunun bu bölümleri okuyarak daha ileriye gidebilmesi için yol göstermiştir.

Guy (1994) de, Sayılar teorisinin geçmişten eserin basıldığı yıla kadar ki çözülmemiş problemler ile bu problemlerle ilgili yayınları ve özetlerini veren bir eser ortaya koymuştur. Bu eserin Diophantine Denklemleri isimli bölümünde, başta Pythagorean ve Heron üçgenleri olmak üzere çokgenlerle ve denklemlerin tamsayı çözümleriyle illgili çalışmaların özetleri ve çözülmemiş problemleri vermiştir.

Kimberling (2009) da; ilgili internet sitesinde klasik üçgen merkezlerinin tanımlarını geniş bir şekilde vermiştir. İç teğet çember, dış teğet çember, Gergonne noktası, diklik merkezi, dokuz nokta çemberi gibi birçok üçgen merkezini tanımlamıştır. Ayrıca iç teğet çemberin merkezi, dış teğet çemberin merkezi ve ağırlık merkezi ile bunların bazı özelliklerinin eski Yunanlılardan beri bilindiği belirtmiştir.

Sastry (2000) deki çalışmasında; üçgenin iç noktalarının bilinen özellikleri ile üçgenin kenar ortayı ile üçgenin diğer bir kenarını karşı köşe ile birleştiren doğru parçasının (seviyanın) üçgenin Gergonne noktasında kesiştirilmesi yoluyla Heron üçgenlerinin üretilmesini vermiştir.

Sastry (2001 – 1) de; Heron üçgenlerinde açıları ele alarak özel Heron açılarının bir tanımlamasını yapmıştır. Pythagorean üçgenleri ile bağlantısını kurarak yeni bir tanımlama vermiştir.

Sastry (2001 – 2) de; Heron üçgenlerinin iki kenarı arasındaki farklara bağlı olarak üretilmesini vermiştir. Ayrıca iki kenarın aynı asal çarpana bağlı olması durumlarını araştırmıştır.

Sastry (2001 – 3) de; kenarortay ve seviyanın, Gergonne noktasından geçerek kesişimini göz önüne almak suretiyle Heron üçgenlerin etkin bir yapısını vermiştir. Ayrıca Heron üçgenlerini kullanarak bir λ – ailesini tanımlamıştır.

Sastry ve Klamkin (2003) deki çalışmasında; üçgenin yükseklikleri ve kenarların orta noktalarını kullanarak çizilen dokuz nokta çemberi ile ilgili yeni teoremler bulmuşlardır.

Sastry (2005) deki çalışmasında; Steiner-Lehmus Teoremi ve Gergonne seviyanı arasındaki ilişkiyi ortaya koyan yeni bir formül arayışına girmiştir. Ayrıca bunların bir üçgenin diklik merkezi ile irtibatlarını araştırmıştır.

Sierpinski (1962), eserinde tamsayı kenarlı üçgenlerin özel çeşidi olan Pythagorean üçgenlerini alan, kenar, çevre v.b. yönleriyle incelemiştir.

Yiu (2002) nin, 12 bölümden oluşan kitabında; üçgenlerin genel özellikleri ile birlikte iç teğet çemberin ve çevrel çemberlerin özelliklerini vermiştir. Ayrıca üçgenin iç, dış ve üzerindeki özel noktaları inceleyerek bu alanla ilgili kapsamlı bir eser ortaya koymuştur. Ek olarak; eserinde tamsayı kenarlı üçgenler, heron üçgenleri, pedal üçgenleri, Üçgenlerin Gergonne noktası, Nagell noktası gibi birçok özel durumlarına yer vermiştir.

Yiu (2003) deki çalışmasında; bir üçgenin iç teğet çemberleri yardımıyla benzer iki üçgene bölünebileceğini, ayrıca bir Heron üçgenininde, ikisi de heron olan benzer iki üçgene bölünebileceğini göstermiştir.

1.2. Ön Bilgiler

Bu kesimde, çalışmamızın daha sonraki bölümlerinde kullanacağımız tanım ve teoremleri veriyoruz.

Tanım 1.2.1. Kenar uzunlukları a, b, c tam sayıları ve alanıda tam sayı olan bir üçgene Heron üçgeni, (a, b, c) üçlüsüne de Heron üçlüsü denir (Dickson 1971).

Teorem 1.2.1 (Heron Formülü). Kenar uzunlukları a, b, c ve yarı çevre uzunluğu da ( ) 2 1 c b a s   olan bir 

ABC üçgensel bölgenin alanı ( )

 ABC A _{ile gösterilir ve} ) )( )( ( ) (ABC s s a s b s c A     

biçiminde verilir (Dickson 1971). Teorem 1.2.2 (Kosinüs Teoremi). Bir



ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları da A, B, C ise;

C ac b a c B ac c a b A bc c b

a2  2  2 2 cos , 2  2  2 2 cos , 2  2 2 2 cos dir (Ayres 1954).

Teorem 1.2.3 (Sinüs Teoremi). Bir 

ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c; iç açıları A, B, C ve çevrel çemberin yarıçapı da R ise;

R C c B b A a 2 sin sin sin    dir (Ayres 1954). Teorem 1.2.4. Bir 

ABC üçgeninde A, B, C iç açılar olmak üzere;

, sin sin cos cos ) cos( ) , cos sin cos sin ) sin( ) , tan 1 tan 1 1 cos 2 2 cos ) , tan 1 tan 2 cos sin 2 2 sin ) 2 2 2 2 B A B A B A iv A B B A B A iii A A A A ii A A A A A i               dir (Ayres 1954). Tanım 1.2.2. Bir 

ABC üçgeninin A dar açısı için; sinAsin( A) ve )

cos(

cosA  A dır (Ayres 1954). Teorem 1.2.5. Bir



ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları da A, B, C ise; A bc B ac C ab ABC A sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ) (     dır (Ayres 1954).

Teorem 1.2.6 (Seva Teoremi). Bir 

ABC üçgeni içindeki bir P noktasını, köşelere birleştiren doğruların, [BC], [AC] ve [AB] kenarlarını kestiği noktalar sırasıyla K, N, T ise; 1 | | | | | | | | | | | |    NA CN KC BK TB AT olur (Şahin 1998).

Teorem 1.2.7. İki üçgenin birer kenarları ve bu kenarların uçlarındaki ikişer açıları eş ise, bu üçgenler eştir. Buna kısaca Açı Kenar Açı eşlik kuralı denir (Şahin 1998). Teorem 1.2.8. İki üçgenin karşılıklı kenarları birbirine eş ise, bu üçgenler eştir. Bu kurala Kenar Kenar Kenar eşlik kuralı denir (Şahin 1998).

Teorem 1.2.9 (İç Açıortay Teoremi). Bir 

ABC üçgeninde, herhangi bir açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. Buna iç açıortay teoremi denir (Şahin 1998). Teorem 1.2.10 (Steiner-Lehmus Teoremi). Eğer bir üçgenin iki iç açıortayı eşit ise, o zaman üçgen ikizkenar üçgendir (Sastry 2005).

Şekil 1.1

İspat. Şekil 1.1 de, 

ABCve 

ACB açılarının açıortaylarını [BE] ve [CF] olarak gösterelim. |BE| = |CF| olduğunu varsayalım. Eğer |AB| ≠ |AC| ise, |AB| < |AC| olsun. Bu durumda ( )  ACB s < ( )  ABC s _veya 2 ) ( 2 ) (    s B C s

olur. Üçgenlerin benzerlikleriyle 

BEC ve 

BFC üçgenlerinde |CE| > |BF| olur. BFGE bir paralel kenardır. Buradan

|EG| = |BF|, 2 ) ( ) (    s B FGE s , |FG| = |BE| = |CF| olur ki bunlarda ( ) ( )   s FCG FGC

s olduğunu gösterir. Fakat varsayımımız

2 ) ( ) ( 2 ) ( ) (        s B s FCE s C FGE s idi. Böylece ) ( ) (   s ECG EGC s ve |CE| < |GE| = |BF| çelişkisine ulaşılır.

Benzer şekilde |AB| > |AC| olduğu varsayarak yine aynı şekilde çelişkiye ulaşmış oluruz. Böylece |AB| = |AC| gösterilmiş olur. Dolayısıyla



ABC üçgeni ikizkenar üçgendir.

Tanım 1.2.4. a ve b gibi iki pozitif tam sayının en büyük ortak böleni 1 ise bu iki sayıya aralarında asal denir ve bu ebob(a,b)(a,b)1 _{biçiminde gösterilir (Şenay} 2007).

Tanım 1.2.5 (Gergonne Seviyanı). Bir üçgende iç teğet çemberin kenara değdiği nokta ile karşı köşeyi birleştiren doğru parçasının kesim noktasına Gergonne seviyanı denir (Venema 2006).

Teorem 1.2.12. Bir 

ABC üçgeninde A, B, C iç açılar, H diklik merkezi, G ağırlık merkezi, N dokuz nokta çemberin merkezi, O çevrel çemberin merkezi ve R çevrel çemberin yarıçapı olmak üzere aşağıdaki özdeşlikler geçerlidir.

)

1

.

1

(

cot

cot

cot

cot

)

|

|

2

|

|

|,

|

|

|

)

)

cos

cos

cos

8

1

(

|

|

)

cos

cos

cos

4

1

2

cos

2

cos

2

cos

)

tan

tan

tan

tan

tan

tan

)

cos

cos

2

|

|

,

cos

2

|

|

,

sin

2

)

2 2



























































C

B

A

vi

OG

GN

NH

ON

v

C

B

A

R

OH

iv

C

B

A

C

B

A

iii

C

B

A

C

B

A

ii

C

B

R

HD

A

R

AH

A

R

a

i



dır (Sastry, Klamkin, 2003).

İspat. Bu ifadeler aşağıdaki yollar takip edilerek bulunabilir. Bir



ABC

üçgeninde a, b, c sırasıyla, [BC], [AC] ve [AB] kenarlarının uzunlukları olsun. (1.1) deki

ifadeleri ispatlayalım. Elbette bu ifadelerin değişik yollardan ispatları yapılabilir. Muhtemelen buradan hareketle yeni ilişkiler ve sonuçlar ortaya çıkabilir. Aynı terminoloji ve sembolleri hatırda tutuyoruz.

Şekil 1.2 C B R HD A R AH A R a

i) 2 sin , | |2 cos , | |2 cos cos

olduğunu gösterelim. Bir çember içine çizilen



ABC

üçgenini göz önüne alalım. Yarı çapı R olan ve |BK| = 2R olan çemberi çizelim. 











   ) ( , ) ( , ) (A s B sC s olacak

şekilde alalım. Eğer





90

o veya









90

o _ise

2 ) ( 



 BCK s _ve



  ) (BKC

s _{olur. Her iki durumda da,} |BC | |BK|sin olur. Benzer şekilde  cos 2 | | AH  R , |HD | 2Rcoscos olduğu da gösterilir. 

AHB üçgeni için sinüs kuralını uygularsak;

R

AB

BH

AH

2

)

sin(

|

|

)

2

sin(

|

|

)

2

sin(

|

|

























bulunur. Sonra, 



 ) (HBD s için; ) 2 sin( cos 2 sin | | | |HD  BH



 R









olur.

C B A C B A

ii) tan tan tan tan tan tan olduğunu gösterelim. Burada

B A B A B A tan tan 1 tan tan ) tan(    

ifadesinden hareket eder ve    eşitliğini göz önüne alırsak; (ii) ifadesine ulaşırız. C B A C B A

iii)cos2 cos2 cos2 14cos cos cos dir. Gösterelim.

Bu ifadenin sol tarafını göz önüne alalım. İlk iki terimin toplamı yerine karşılık gelen ifadeleri yazalım ve iki katlı açı formülünü üçüncünün yerine kullanalım. Burada    yi kullanırsak;

2cos( )cos( ) 2cos 1 2

 



   

 ve 12cos[cos( )cos( ) elde ederiz. Buradan işleme devam edecek olursak;

C B A C

B

A cos2 cos2 1 4cos cos cos 2 cos     sonucuna ulaşırız. ) cos cos cos 8 1 ( | | ) OH 2 R2 A B C iv   eşitliğini gerçekleyelim. 

ABC

üçgeninde, O çevrel çemberinin merkezi ve H diklik merkezi olacak şekilde O ve H noktalarını işaretleyelim (Şekil 1.2).



OAH

üçgenini göz önüne alalım.











)

(OAH

s

_{buluruz. Kosinüs teoreminden;}

))] cos( ) (cos( cos 4 1 [ )] cos( cos 4 cos 4 1 [ | | 2 2 2 2



















         R R OH

olur ki, gerekli düzeltmeler yapıldığında sonuca ulaşılır. | | 2 | | |, | | | ) ON NH GN OG v   olduğunu gösterelim. 

ABC

üçgeninde O, H, A′ ve α noktalarını (α, [AH]’nin orta noktasını) işaretleyelim. |Aα| = |αH| = |OA´| olduğuna ve

OA



A



ve

O



H

A



´nın paralel kenar olduğuna dikkat ediniz. Dolayısıyla |αA´| = |OA| = R dir. [αA´] köşegeninin ve [OH] orta dikmesi birbirlerini N noktasında kessinler. N nin dokuz-nokta çemberinin merkezi olduğunu görmek için, N nin αDA´ çemberinin

merkezinde olduğuna ve bunun β, E, B´ ve γ, F, C´ den geçen aynı çember olduğuna dikkat ediniz. Dolayısıyla |ON| = |NH| dir.

Sonra, [ AA ] , [OH] yi G de kessin.



AGH

üçgeni 

GO

A

üçgenine benzerdir. Dolayısıyla,

2

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|











O

A

AH

OG

GH

A

G

AG

olur. [ AA ] , 

ABC

üçgeninin kenar ortayı olduğundan dolayı, G ağırlık merkezi ve |GH| = 2|OG| olarak bulunur.

Şekil 1.3 vi) cotcotAcotBcotC

ifadesinin geçeli olduğunu gösterelim. Şekil 1. 3 deki

  AB ve 



AC

üçgenlerine sinüs kuralını uygularsak











sin

sin

|

|

sin

)

sin(

|

|

A

b

ve

c

A











olur. Dolayısıyla, buradan;

ac

b

c

b

2

sin

sin

sin

)

sin(

















elde edilir. Bu son ifadede sin() yi açarsak;

) 2 . 1 ( 2 ) ( sin 2 ) ( cot 2 2 2 2 2 2 abc c b a R ac c b a        

abc R a c b 2 ) ( sin cos cot 2 2 2      

 diğer açıları da benzer şekilde yazıp,

 

 cot cot

2. KLASİK ÜÇGEN MERKEZLERİ

Bu bölümde klasik üçgen merkezleri ile bazı özelliklerini veriyoruz. Tanım 2.1 (Ağırlık Merkezi).

Düzlemde herhangi bir üçgen



ABC

olsun. Ayrıca

D: [BC] kenarının orta noktası, E: [CA] kenarının orta noktası, F: [AB] kenarının orta noktası olarak verilsin.

Şekil 2.1 de görüldüğü üzere, [AD], [BE], [CF] doğru parçaları bir noktada kesişirler, bu noktaya



ABC

üçgenin Ağırlık Merkezi denir ve G ile gösterilir (Kimberling 2009).

Tanım 2.2 (İç Teğet Çemberin Merkezi). Düzlemde herhangi bir



ABC

üçgeni verilsin. Ayrıca

D :



A açısının açıortayının [BC] kenarını kestiği nokta, E :



B _{açısının açıortayının [AC] kenarını kestiği nokta,} F :



Caçısının açıortayının [AB] kenarını kestiği nokta olsun.

Şekil 2.2.1 görüldüğü üzere, bir üçgenin açıortayları bir noktada kesişirler, bu noktaya



ABC

üçgenin iç teğet çemberin merkezi denir. İç teğet çemberin merkezi kenarlara eşit uzaklıkta bulunur ki bu uzaklık iç teğet çemberin yarıçapıdır. Oluşan çember iç teğet çember olarak adlandırılır (Kimberling 2009).

Tanım 2.3 (Çevrel Çemberin Merkezi). Düzlemde herhangi bir



ABC

üçgeni verilsin.

D : [BC] kenarının orta dikmesi, E : [CA] kenarının orta dikmesi, F : [AB] kenarının orta dikmesi olsun.

Şekil 2.3 de görüldüğü üzere O noktası, üç orta dikmenin bir noktada kesişimidir ve O noktası



ABC

üçgeninin dış teğet çemberin merkezi olarak adlandırılır.

Dış teğet çemberin merkezi köşelere eşit uzaklıkta bulunur, bu da bilinen köşelere değen çemberin yarıçapıdır. Oluşan çember dış teğet çember olarak adlandırılır (Kimberling 2009).

Tanım 2.4 (Diklik Merkezi). Düzlemde



ABC

bir üçgen olsun. D: A köşesinden [BC] kenarına inilen dikme (A köşesine ait yükseklik),

E: B köşesinden [AC] kenarına inilen dikme (B köşesine ait yükseklik)

F: C köşesinden [AB] kenarına inilen dikme (C köşesine ait yükseklik)

olarak verilsin.

Şekil 2.4 de görüldüğü üzere H noktası üç dikmenin bir noktada kesişimidir, bu da



ABC

üçgeninin diklik merkezi olarak adlandırılır (Kimberling 2009). Tanım 2.5 (Fermat Noktası).

Düzlemde herhangi bir



ABC

üçgeni verilsin.



BC

A

: [BC] kenarı üzerinde oluşan eşkenar üçgen,



C

B

A

: [AC] kenarı üzerinde oluşan eşkenar üçgen,





C

olsun.

[AA'], [BB'], [CC'] doğru parçalarının kesişmesiyle F noktası meydana gelir. Bu noktaya Fermat noktası denir.

Bu antik Yunan tarihinden sonra keşfedilmiş ilk üçgen merkezi olarak bilinir.

Büyük Fransız matematikçi Pierre De Fermat, araştırmasında üçgenin içinde alınan rastgele bir P noktasının köşelerine olan uzaklıkların

|PA|+|PB|+|PC| toplamının mümkün mertebede en az olması için P noktasının F noktasında olması gerektiğini ispatlamıştır.

Torricelli,



ABC

üçgeninin her bir açısının 120˚ den daha küçükse, şekil 2.5 de F noktasının, Fermat noktası olduğunu ispatlamıştır. F noktası Fermat-Toricelli noktası olarak da bilinir.

Fermat noktası birinci eş açılı merkez olarak da bilinir. “isogonik” kökleri “iso” ve “gon” kelimelerinin anlamı “eş açılı” demektir.

 BFC _,  CFA _,  AFB açılarının hepsi birbirine eştir.

İkinci eş açılı merkez;



ABC

üçgeninin kenarları üzerinde diğer üç eşkenar üçgenin kullanılmasıyla elde edilir (Kimberling 2009).

Tanım 2.6 (Dokuz Nokta Çemberinin Merkezi). Düzlemde herhangi bir



ABC

üçgeni verilsin. Burada;

D: [BC] kenarının orta noktası, E: [AC] kenarının orta noktası, F: [AB] kenarının orta noktası,

G: A köşesinden [BC] kenarına inilen dikme, H: B köşesinden [AC] kenarına inilen dikme, I: C köşesinden [AB] kenarına inilen dikme, J: [AX] doğru parçasının orta noktası,

K: [BX] doğru parçasının orta noktası, L: [CX] doğru parçasının orta noktası,

X: diklik merkezi, [AG], [BH], [CI] yüksekliklerinin kesim noktası olsun.

Şekil 2.6 da görüldüğü üzere; D, E, F, G, H, I, J, K, L noktalarından geçen bir çember çizilebilir. Bu çembere



ABC

üçgenin dokuz-nokta çemberi denir. Bu çemberin merkezi olan noktaya dokuz nokta çemberin merkezi denir ve N ile gösterilir (Kimberling 2009).

Tanım 2.7 (Simedyan Noktası). Düzlemde



ABC

herhangi bir üçgen olmak üzere, G onun ağırlık merkezi olsun.

Ayrıca yandaki şekilde görüldüğü üzere; La :  A açısının açıortayı, Lb :  Baçısının açıortayı, Lc :  C açısının açıortayı,

Ga: [AG] nın La’ ya göre simetrisi, Gb: [BG] nın Lb’ ye göre simetrisi, Gc: [CG] nın Lc’ ye göre simetrisi olarak verilsin.

Bu durumda şekil 2.7 de, Ga, Gb, Gc doğrularının kesişmesiyle oluşan K noktasına simedyan noktası denir. Ayrıca bu nokta Lemoine noktası olarak da bilinir (Kimberling 2009).

Tanım 2.8 (Gergonne Noktası).

Bir düzlemde herhangi bir



ABC

üçgeni verilsin. Şekil 2.8 de görüldüğü üzere;

D : İç teğet çemberin [BC] kenarına değdiği nokta, E : İç teğet çemberin [AC] kenarına değdiği nokta, F : İç teğet çemberin [AB] kenarına değdiği nokta olsun.

kesim noktası olan X noktasına



ABC

üçgeninin Gergonne noktası denir (Kimberling 2009).

Tanım 2.9 (Mittenpunkt Noktası). Düzlemde herhangi bir üçgen



ABC

olsun.

Ayrıca;

D: [BC] kenarının orta noktası, E: [AC] kenarının orta noktası, F: [AB] kenarının orta noktası, X:



A açısının dış teğet çemberin merkezi, Y:



B açısının dış teğet çemberin merkezi, Z:



C açısının dış teğet çemberin merkezi, olarak verilsin.

DX, EY, FZ doğrularının kesişmesiyle oluşan M noktasına



ABC

üçgeninin Mıttenpunkt noktası denir. Bu nokta C.Von Nagel tarafından 1836 yılında çalışılmıştır. Mıttenpunkt noktası aynı zamanda



XYZ üçgeninin simedyan noktasıdır (Kimberling 2009).

Tanım 2.10 (Spieker Merkez). Düzlemde herhangi bir



ABC

üçgeni için; D: [BC] kenarının orta noktası,

E: [AC] kenarının orta noktası, F: [AB] kenarının orta noktası, d:



FDE açısının açıortayı, e:



DEF açısının açıortayı, f:



olarak verilsin. d, e, f doğrularının kesim noktası spieker merkezi olarak isimlendirilir. Şekil 2.10 da S ile gösterilmiştir (Kimberling 2009).

Tanım 2.11 (Feuerbach Noktası).



ABC

herhangi bir üçgen olsun.



ABC

üçgeninin iç teğet çemberi ile dokuz nokta çemberi bir noktada kesişmektedir. Oluşan bu noktaya Feuerbach noktası denir (Kimberling 2009).

Tanım 2.12 (İsodinamik Noktalar).



ABC

üçgeni herhangi bir üçgen olsun. U ve V noktaları, [BC] kenarının üzerinde olmak üzere A açısının iç bölgesinde ve dış bölgesinde olsun. Bu durumda [UV] yarıçapına sahip çembere A-Apollonian çemberi denir. B-A-Apollonian ve C-Apollonian çemberleri de aynı şekilde inşa

edilebilir. Üç çemberin kesiştiği iki nokta olan J ve J′ ye, izodinamik nokta denir (Kimberling 2009).

Tanım 2.13 (Napoleon Noktası).



ABC

herhangi bir üçgen olsun. Şekil 2.13.1 de görüldüğü üzere 

BC

A

, 

C

B

A

, 



C

AB

üçgenleri eşkenar üçgen olacak şekilde D, E, F noktalarını belirleyelim. Burada;

D:



BC

A

üçgeninin ağırlık merkezi, E:



C

B

F:





C

AB

üçgeninin ağırlık merkezi, olarak verilsin. Ayrıca AD, BE, CF doğruları N′ noktasında kesişsin.

Eğer A′, B′, C′ noktaları



ABC

_{üçgeninin dışında} alınan noktalar ise bu kesiştikleri N′ noktası, birinci Napoleon noktası olarak adlandırılır (Şekil 2.13.1).

Eğer şekil 2.13.2 deki gibi A′, B′, C′ noktaları



ABC

_{üçgeninin içinde oluşan noktalar ise bu kesiştikleri nokta, (N′′ noktası ile} gösterilmiştir) ikinci Napoleon noktası olarak adlandırılır (Kimberling 2009).

Tanım 2.14 (Steiner Noktası). Yanda şekil 2.14 deki bir



ABC

üçgeni ve bu üçgene ait çevrel çember çizilmiş olsun. Steiner noktası aşağıdaki biçimde inşa edilir. İlk olarak O, çevrel çemberin merkezi ve K,



ABC

üçgeninin simedyan noktası olsun. [OK] çaplı çember Brocard çemberdir.

O noktasından geçen [BC] kenarına dik Brocard çemberine değme noktası H, aynı şekilde [AC] kenarına dik

Brocard çemberine değme noktası I ve [AB] kenarına dik Brocard çemberine değme noktası J olsun. Bu şekilde oluşturulan



HIJ üçgenine Birinci Brocard üçgeni denir. Şimdi IJ ye paralel A noktasından geçen, HJ ye paralel B noktasından geçen ve HI ya paralel C noktasından geçen bir yapı inşa edelim. Buradaki üç doğru Steiner Noktasını oluşturur (Kimberling 2009).

Tanım 2.15 (Nagel Noktası).

Düzlemde herhangi bir



ABC

üçgeni verilsin. Şekil 2.15 de olduğu gibi; D :



A açısının dış teğet çemberinin [BC] kenarına değdiği nokta,

E :



B açısının dış teğet çemberinin [AC] kenarına değdiği nokta,

F :



C açısının dış teğet çemberinin [AB] kenarına değdiği nokta

olsun. Bu durumda AD, BE, CF doğruları

şekilde olduğu üzere bir X noktasında kesişirler. Bu noktaya Nagel noktası denir ve genellikle Na ile gösterilir (Kimberling 2009).

3. DİKLİK MERKEZİ BAKIŞ AÇISIYLA BİR ÜÇGENİN İNCELENMESİ

Bu bölümde üçgenin diklik merkezinin üçgenin herhangi bir yüksekliğinden ayırdığı oranlar üzerine çalışılmıştır.

Bir



ABC

üçgeninde H diklik merkezinin, bu üçgenin yüksekliklerinin kesim noktası olduğunu biliyoruz. H, her bir yüksekliği belli bir oranda böler. Burada



ABC

üçgeni dik açılı olmayan bir üçgen olarak alınacaktır. Aynı zamanda bu üçgenin bozulmamış olması; yani A, B, C köşe noktalarının (tepelerinin) bir doğru üzerinde olmaması ve tek bir nokta üzerinde çakışmaması gerekir. Bu durumda



ABC

_{üçgeninin B ve C açılarının dar açı ve}

)

(

)

(

 



s

C

B

s

olduğunu varsayabiliriz. Burada



ABC

üçgeninin a, b, c kenarları veya sırasıyla [BC], [CA], [AB] kenarlarının uzunluklarıdır. O;



ABC

üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olup, R de çevrel çemberin yarıçapıdır. A´, B´, C´ sırasıyla [BC], [CA] ve [AB] nin orta noktalarını göstersin.



ABC

üçgeninin [AA´], [BB´] Şekil 3.1 ve [CC´] kenar ortaylarının kesim noktası, G ağırlık merkezidir (Tanım 1.2).



ABC

üçgeninin 9 özel noktasından geçen çok dikkat çekici bir çember vardır. Bu çemberde; A´, B´, C´;D, E, F yüksekliklerinin

ayakları, α, β, γ; [AH], [BH] ve [CH] nin orta noktaları olur. (Şekil 3.1.), bu “dokuz nokta çemberi’ ni göstermektedir (Tanım 2.6). N, dokuz nokta çemberinin merkezini temsil eder. Öklit geometrisinin diğer bir güzel teoremi, O, G, N, H şeklindeki dört noktanın

Onu keşfedenin onuruna “Euler Doğrusu” adı verilmiştir. Şekil 3.2 de HNGO’ yu göstermektedir (Sastry 2003).

Yine de Öklit geometrisinin bir diğer güzel teoremi, Ω Crelle – Brocard noktasıdır. Şekil 3.3 te görüldüğü üzere, Ω, 

ABC

üçgeninin içinde ve















  

)

(

)

(

)

(

AB

s

BC

s

CA

s

_{Şekil 3.3 Ω Crelle - Brocard noktası}

olacak şekilde bir ve yalnız bir nokta vardır. Bu ω açısına “Crelle – Borcard açısı” denir (Sastry and Klamkin, 2003).

Şimdi H diklik merkezinin [AD] yüksekliğinden ayırdığı parçalar ve bunların bir birlerine oranlarının bize kazandırdıklarını araştıralım.

3.1. H Diklik Merkezinin [AD] Yüksekliğini Bölmesi

Şekil 3.1 deki, yüksekliği [AD] ve diklik merkezi H olan



ABC

üçgenini göz önüne alalım.  | | | | HD AH

olsun. Burada üçgen dik üçgen olarak alınmadığından λ≠0

dır. ( )90  BAC s olduğunda λ > 0 ve ( )90  BAC s olduğunda -1 < λ < 0 dır. Teorem 3.1. Bir 

ABC

üçgeninde; 2 2 2 2 2

2

)

2

1

(

4

|

|

|

|

|

|

)

tan

tan

tan

)

1

tan

tan

)

cos

cos

cos

)

a

R

HC

HB

HA

iv

A

C

B

iii

C

B

ii

C

B

A

i































ifadeler denktir(Sastry and Klamkin, 2003). İspat: (i) yi, (1.1) deki sonuçlardan;











C

B

R

A

R

HD

AH

cos

cos

2

cos

2

|

|

|

|

Şimdi i  iidurumunu ispatlayalım. Önce i  ii yi gösterelim. İlk olarak



ABC

üçgeninde A + B + C = π veya A = π – (B + C) olduğunu biliyoruz. Buradan cos A = – cos B.cos C + sin B. Sin C

olur ve (i) yi kullanarak

sin B.sin C = (λ + 1) cos B.cos C

bulunur. Bu ise (ii) yi verir. Bu adımları geriye doğru takip edersek; (ii) den (i) ye ulaşırız. Böylece (i) (ii) olur.

(1.1) de verilen tanjant özdeşliğini kullanılarak, kolaylıkla ii iii olduğu gösterilir.

Teorem 3.1 in ispatını tamamlamak için i  iv olduğunu göstermek yeterlidir. i  iv burada; ) cos cos (cos 4 | | | | | |HA 2  HB 2  HC 2 R2 2 A 2 B 2C

olduğuna belirtelim ((1.1) ifadelerinden). İlk olarak, iyi bilinen ) 2 cos 1 ( 2 1

cos2 A  A özdeşliğini, sonra diğer bilinen özellikleri kullanılır ve en son olarak da (1.1) da verilen kosinüs özdeşliğini göz önüne alırsak;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 ( 4 ) ) sin 1 ( 2 1 ( 4 ) cos 2 1 ( 4 ) cos cos cos 2 1 ( 4 | | | | | | a R A R A R C B A R HC HB HA                

elde edilir ki bu da aranandır. □

Şimdi de Teorem 3.1 den elde edilen önemli sonuçları verelim.

Teorem 3.1 deki (ii) ve (iii) ifadeleri; tanB ve tanC nin değerlerinin λ ve tan A cinsinden ifade edilebileceğini belirtmektedir. Bunu görmek için, tan A = t dersek; o zaman,

tan B + tan C = λ.t ve tan B.tan C = λ + 1 olur. Varsayımlarımızdan dolayı, tan B ≥ tan C olur. Buradan;

) 1 ( 4 ) tan

(tanB C 2 2t2  veya

tan

B



tan

C





2

t

2



4





4

)

elde edilir. Böylece;







4 4



2 1 tan , 4 4 2 1 tan , tanAt B  2t2   C   2t2   (3.1) olarak bulunur. (3.1) ifadelerinden aşağıdaki sonuçlara ulaşılır (Sastry and Klamkin, 2003).

Sonuç 3.1.1. Sadece λ değerinin sabit verildiğini varsayalım. Bu durumda t değişeceğinden değerlerin sonsuz olduğunu kabul ederiz. Böylece, H nin [AD] yüksekliğini bölmesiyle elde edilen 

| | | | HD AH olacak şekilde,  ABC üçgenlerinin sonsuz bir ailesi elde edilir (Sastry and Klamkin, 2003).

Sonuç 3.1.2. Sadece t değerinin sabit verildiğini varsayalım. Bu durumda λ değişir ve sonuçta Sonuç 3.1.1 e benzer durum oluşur (Sastry and Klamkin, 2003).

Sonuç 3.1.3. Hem λ nın, hem de t nin sabit verildiğini varsayalım. O zaman tanB, tanC ve dolayısıyla A, B, C açıları tek olarak belirlenir. Başka bir deyişle; “eğer iki üçgen aynı λ ve t değerine sahipse o zaman bu üçgenler benzerdir.” Dolayısıyla burada



ABC üçgeni, benzerlik anlamında tek türlü olarak belirlendiğinden elde edilen bu sonsuz üçgen ailesi benzerdir (Sastry and Klamkin, 2003).

Sonuç 3.1.4. Şekil 3.1 den; 2 2

2 2 2 ₁ 8cos ₍₁ 8₎ 2 | |OH R A R a    _         (3.2) (1.1) daki |OH|2 ifadesinde, Teorem 3.1 deki (i) özdeşliğini kullanırsak bu sonuca ulaşırız (Sastry and Klamkin, 2003).

Sonuç 3.1.5. t t ) 1 ( 1 cot 2         (3.3) dir.

Bundan sonraki kesimde, λ = 2 şartını sağlayan özel üçgenler üzerinde durulacaktır. Burada λ = 2 olması durumunda;



ABC üçgeninde, [BC] kenarına Euler doğrusunun paralel olduğu görülecektir (Sastry and Klamkin, 2003).

3.2. 

ABC Üçgeninde λ = 2 Olması Durumu Şekil 3.1 deki



ABC üçgeninde λ=2 olsun. Bu durumda [OH] Euler doğrusu, 

ABC üçgeninin [BC] kenarına paraleldir. Ek olarak; bu kesimde 

ikizkenar olmadığını varsayıyoruz. Bunun nedeni, eğer 

ABC üçgeni ikizkenarsa, o zaman O ve H noktalarının her ikisi de üçgenin bir açıortayı üzerinde bulunur. Böylece [OH] hiçbir zaman [BC] kenarına paralel olamaz. Bu, aşağıdaki Teorem 3.2 ile ifade edilmiştir (Sastry and Klamkin, 2003).

Teorem 3.2. Bir 

ABC üçgeninde, [OH] Euler doğrusunun, [BC] kenarına paralel olması için gerek ve yeter şart λ = 2 olmasıdır (Sastry and Klamkin, 2003).

İspat. Şekil 3.4 e bakalım. O, 

ABC üçgeninin

çevrel çemberinin merkezidir ve A`, [BC] Şekil 3. 4. [OH], [BC] ye paraleldir nin orta noktasıdır. Dolayısıyla, [OA`], [BC]

ye dik ve [AD] ye paraleldir. Ayrıca ( ) 2 ( )

 

 s A BOC

s dır.

Aynı zamanda, R çevrel çemberin yarı çapı olmak üzere, |OB| = R dir.

Böylece ( ) ( )     s A A BO

s , |OA´| = RcosA ve |AH| = 2|OA´| olur ((1.1) özdeşliklerinden). Sonra [OH] nın [BC] ye paralel olması için gerek ve yeter şart OHDA´ dörtgeninin bir dikdörtgen olmasıdır. Buradan;

|OA´| = |HD| D|  2 | | | |   HD AH

 olur ki ispat tamamlanır (Sastry

and Klamkin, 2003). □

 = 2, yani [OH], [BC] ye paralel olduğu zaman, Teorem 3.1 deki denk ifadelerden aşağıdaki ifadelere ulaşılır.

Teorem 3.3. 

ABC üçgeninde, [OH] Euler doğrusunun, [BC] kenarına paralel olması için gerek ve yeter şart;

i´) cos A = 2cos B.cos C, ii´) tan B.tan C = 3, iii´) tan B + tan C = 2tan A, iv´) |HA2| + |HB2| + |HC2 |= a2

Bu ifadeler Teorem 3.1 e benzer olduğundan ispatlamıyoruz. Ayrıca (3.1), (3.2) ve (3.3) ile verilen ifadelerden;

t A 

tan , tanBt t23, tanCt t23,

3 ) (   BAC s (3.1´) biçiminde buluruz. Buradan 3 ) (   ABC

s olduğunu görmek için direkt olarak, Teorem 3.2 den önceki paragrafa bakılabilir. O zaman,

2 2 2 |OH | a 3R (3.2′) 2 2 3 cot 3 t t   (3.3′) bulunur.

Şimdi de A ve ω açılarının sağlaması gereken bazı eşitsizlikleri verebiliriz. Teorem 3.4.



ABC üçgeninde, Euler doğrusunun, [BC] kenarına paralel olduğunu kabul edelim. O zaman

(i) 2 ) ( 3      A s , (ii) 2 ) ( ) (     w s A s

olur (Sastry and Klamkin, 2003). İspat. (3.1´) den, 3 ) (   A s buluruz. Varsayımımızdan 2 ) (   A s dir. Eğer 2 ) (   A s

ise, o zaman, yukarıdaki A köşesine ait [AD] üzerindeki H diklik merkezi, çevrel çemberinin O merkezi [BC] kenarının altındadır. Böylece [OH], [BC] yi keser ki, bu durumda [OH], [BC] ye paralel olamaz. Dolayısıyla

2 ) (   A s

olur ve (i') yi belirler. (Mitrinovi´c 1989) ile verilen çalışmanın 284. sayfasında;

(3.4) ifadesini buluruz. Sonra buradan

) | | | | | (| 12 ) cos cos (cos 3 ( 4 ) sin sin (sin 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 HC HB HA R C B A R C B A R c b a             

elde edilir. burada (iv´) nün kullanılmasıyla

2 2 2 2 2 ) sin 4 8 (   R a b c

) cos 4 8 ( ) sin 4 12 ( 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A R A R a R c b a        

olarak bulunur. O zaman (3.4) den

2 2 2 2 ) cos 4 8 ( ) sin 4 8 (  w R   A R veya ) 2 sin( cos sinw A  A olur ki buradan . 2 A

elde edilir ve teoremin ispatı tamamlanır(Sastry and Klamkin, 2003). □ 

ABC üçgeninde, [BC] kenarını sabit tutup, A köşegenini değiştirerek; A, H, G ve N noktalarının hareketlerini inceleyebiliriz.

Teorem 3.5. 

ABC üçgeninde, [OH] Euler doğrusu, [BC] kenarına paralel olacak şekilde, sabit [BC] tabanlı sabit değişkenli bir üçgen olsun. O zaman A tepesine ait, H diklik merkezi, G ağırlık merkezi ve N dokuz nokta merkezinin geometrik yerleri (konumları) varsayımlarımızı ihlâl eden noktalar istisna olmak üzere, sırasıyla merkezleri aynı olan elipslerdir (Sastry and Klamkin, 2003).

İspat. Şimdi Şekil 3.4 e bakar ve A′ orijinli bir dik koordinat sistemi seçersek, x ekseni [BC] doğrultusunda, y ekseni de [A′O] doğrultusunda olur. Burada |OH| = |A′D| = x ve |A′O| = |DH| = y olsun. Bu ifadelere göre noktaların koordinatları;

). 3 , ( ), , ( ), , 0 ( ), 0 , 0 ( O y H x y A x y A     

biçiminde olur. Aynı zamanda |A′B| = |A′C| = a 2 1

dır. Teorem 3.3 (iii′) den, her 

ABC üçgeni için tan B. tan C = 3 bulunur. Yani; 3 | | | | | | | |   DC AD BD AD veya | || | 3 | |AD 2 BD DC olur. Buradan,

               a x a x y 2 2 3 9 2

olur ki bu ifadeyi düzenlersek;

4 3 2 2 2 a y x   (3.5)

elde edilir. Yukarıdaki (3.5) denklemi bir elips belirtir. Dolayısıyla H nin geometrik yeri; ,0) 2 (a ve ) 6 3 , 0

(  a noktaları hariç olmak üzere, (3.5) elipsidir. Diğer noktaların geometrik yerleri, kolaylıkla (3.5) ten çıkarılabilir.

Örneğin (3.5) de x → x ve y → 3 y

dönüşümleri uygulanırsa A tepesi için geometrik yer denklemi

4 3 2 2 2 y a x  

olur. Bu durumda da, ,0) 2 (a ve ) 2 3 , 0

(  a noktalarını hariç tutarız. G ve N

noktalarının | | 3 1 | |OG  OH ve | | 2 1 |

|ON  OH olacak şekilde [OH] üzerinde yerleştirildiğinin gözlenmesi, G ve N nin geometrik yerlerinin de x ve y eksenlerinin kesim noktalarını dışarıda bırakan elipsler olduğunu göstermektedir (aşağıdaki nota bakınız). Ayrıca G ve N için geometrik yer denklemlerini bulması ve dört elipsin her biriyle aynı merkezli olduklarının gösterilmesi de benzer şekilde yapılabilir ki ispat

biter (Sastry and Klamkin, 2003). □

Not 3.1. Bizim varsayımlarımız 

ABC üçgeninin; dik açılı olmaması, ikizkenar olmaması ve bozulmamış olması durumunda geçerlidir.

2 ) (   ABC s olması için

gerek ve yeter şart BAC yayının bir yarım çember oluşturması gerektiğini hatırlayalım. BAC bir elips olduğundan, A noktası için



ABC bir dik açılı üçgen değildir. Eğer A, Y eksenli elipste kesişseydi,



ABC üçgeni ikizkenar olurdu. Eğer A, X eksenli elipste kesişseydi,



ABC üçgeni bozuk (üçgenin üç köşesinin aynı doğru üzerinde olması) olurdu. Bütün bunlardan dolayı, A, H, G ve N nin geometrik yeri,

x-ekseni ve y-ekseninin kesim noktaları hariç tutulmak üzere aynı merkezli elipsler olduğunu söyleriz (Sastry and Klamkin, 2003).

3.3. Sonuç

Diklik merkezi bakış açısıyla bir üçgenin incelemesini yapmaya çalıştık. Daha bağımsız çalışma veya sınıf içi inceleme için, daha çok alan vardır. Geniş kapsamlı tartışmalarda çok daha fazla soru sorulabilir. Bir üçgenin diğer önemli noktalarından olan; iç teğet çemberin merkezi, çevrel çember merkezi, ağırlık merkezi, Gergonne noktası gibi açılardan ilginç çalışmalar yapılabilir (Sastry and Klamkin, 2003).

Bu çalışma kapsamında aşağıdaki sorulara cevap aranabilir. 1. t > 0 bir reel sayı olsun. Bu durumda bir



ABC üçgeninde [OH] ın, [BC] ye paralel olması için gerek ve yeter şart (a,b,c)



t2 3,t 9t2,3 1t2



olmasıdır. 2.  | | | | HD AH

bir sabit olmak üzere; belirli bir [BC] tabanı üzerindeki  ABC üçgenlerinin [OH] Euler doğru parçası uzunluklarının extremum değerleri bulunabilir.

3. 

ABC üçgeninin iç teğet çemberini çizelim. 

ABC üçgeninin diklik merkezini H ile iç teğet çemberinin merkezini de I ile gösterelim. O zaman;

(i) [AH], [BH], [CH] yi çevrel çemberini sırasıyla A ,'' B ,'' C '' de kesecek şekilde uzatınız.  ABC ve  '' '' ''_{B C} A üçgenlerinin sırasıyla [BC] ve [B''C''] kenarlarının Euler doğrularının her ikisinin de paralel olması için gerek ve yeter şartlar araştırılabilir.

(ii) İç teğet çemberin I merkezi için de (i) deki ifadeler araştırılabilir. 4. Aşağıdaki doğrular üzerinde, 3 ün genelleştirilme ihtimalini araştırınız. K,

 ABC üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde bir nokta olsun. [AK], [BK] ve [CK] doğru parçaları çevrel çemberi sırasıyla A''',B''',C''' noktalarında kessin.

 ABC ve  '' ' '' ' '' ' _{B C}

A üçgenlerinin sırasıyla [BC] ve [B'''C'''] Euler doğrularına paralel olması için gerek ve yeter şartların bulunup bulunmadığını araştırılabilir.

4. BİR ÜÇGENİN GERGONNE SEVİYANI VE KENARORTAYI

Bu bölümde üçgenin Gergonne Seviyanı ile kenarortayının birbirlerine göre durumlarını inceleyeceğiz.

Teorem 4.1. Bir 

ABC üçgeninin [AD], [BE], [CF] seviyanları üçgenin içinde S noktasında kesişsin. O zaman,

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

FB

AF

EC

AE

SD

AS





olur (Sastry 2001). İspat. Bir 

ABC üçgeninin alanı ( )



ABC

A ile gösterilsin. Eğer iki üçgenin ortak bir yüksekliği varsa, o zaman bu yüksekliklere karşılık gelen tabanlarıyla onların alanları orantılı olduğunu biliyoruz. Buradan;

Şekil 4.1 Şekil 4.1 den, | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

AS A ABS A ASC A ABS A ASC

SD A SBD A SDC A SBD A SDC A ABS A ASC A SBC A SBC                    (4.1)

bulunur. Öte yandan,

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | | | |                 SBC A ABS A ESC A EBC A ASE A ABE A ESC A ASE A EBC A ABE A EC AE (4.2)

ve benzer şekilde, ) ( ) ( | | | |    SBC A ASC A FB AF (4.3) olarak bulunur. Böylece (4.2) ve (4.3) ifadeleri (4.1) de yerine yazılırsa ispat

tamamlanır.

Yukarıdaki ispatta, oran ve orantının; “eğer p r k

q  s ise, o zaman s q r p k  

 dır” biçiminde bir özelliğini kullandık. Teorem 4.1 den aşağıdaki doğal sonucu çıkarırız.

Sonuç 4.1. Bir 

ABC üçgeninin, şekil 4.1 deki [AD] kenar ortayını ve [BE] Gergonne seviyanını göstersin. O zaman,

c s a s SD AS    2( ) | | | | olur (Sastry 2001).

İspat. [AD] kenarortay olduğundan |BD| = |DC| olmasını gerektirir. E, iç teğet

çemberin [AC] ye teğet olduğu nokta ve ( ) 2 1 c b a s   olduğundan; |AE| = s – a,

|EC| = s – c olacağı açıktır. Sonra Seva teoreminden 1 | | | | | | | | | | | |    FB AF EA CE DC BD olduğundan hareketle c s a s FB AF    | | | |

bulunur. Bunları Teorem 4.1’ de yerine

yazarsak iddiamıza ulaşırız.



ABC üçgeninin bir Heron üçgeni olması durumunda a, b, c ve s doğal sayılar

olur. Bu nedenle     c s a s SD AS 2( ) | | | |

oranı bir rasyonel sayıdır. Kuşkusuz daha

genel olarak ( )



ABC

A tam sayı olmasa bile bu genel olarak doğru olacaktır. Ayrıca, a ≥ c olması, 0 < λ ≤ 2 olmasını gerektirir. Bu durum bizim hareket noktamız olacaktır. Sonra, her bir λ rasyonel sayısının, Heron üçgenlerinin sonsuz bir λ – ailesini ürettiğini göstereceğiz.

4.1. Heron Üçgenlerinin λ - Ailesinin Tanımlanması

Teorem 4.2, λ nın terimleri olarak bir Heron üçgeninin kenarları için ifadeler vermektedir. Bu noktada üçgenin kenarlarını rasyonelden tamsayıya dönüştürmüyoruz. Bununla beraber, λ yı bir rasyonel sayı olarak belirlediğimizde, obeb(a, b, c) = 1 olacak şekilde a, b, c tamsayılarını ifade ederiz. Bu ortak uygulamanın bir istisnası olarak bir Heron probleminin obeb(a, b, c) > 1 şartı altında çözümü kalır ki bunun örneğini de daha sonra, (4.2.4.a) ile vereceğiz.

Teorem 4.2. λ, 0 < λ ≤ 2 olacak şekilde bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda m ile n aralarında asal ve m 2.n olacak şekilde doğal sayılar olmak üzere; Heron üçgenlerinin λ ailesi )) 4 ( ), 2 )( 2 ( ), ( 2 ( ) , , (a b c  m2 2n2  m2  n2  m2  n2 biçiminde verilir (Sastry 2001).

İspat. λ nın tanımdan; 2(s a) s c     veya 2 ( ) 2 b  a c     

ifadesini elde ederiz. Eğer λ ≠ 2 ise a – c = (2 – λ)p olduğunu varsayalım. Buradan b = (2 + λ)p elde edilir. Eğer λ = 2 ise o zaman b = 4p olarak tanımlarız. Tanımlamanın diğer kısmında her iki durum da ortaktır. Buradan hareketle,

(2 )

a  pc, s c 2p

olur. Burada teorem 1.2.1 ile verilen ve Heron alan formülünü kullanarak, bu üçgen ailesinin alanını

2 _{2p c}2_{( 2 )(p c p)}

    (4.1)

olarak hesaplarız. Burada (a, b, c) nin Heron üçgeni olması için

2

(c2 )(p cp)2q olmalıdır. Burada 2λ nın, bir rasyonel sayının karesi olması veya olmaması gibi iki durumu ayırt etmeye ihtiyacımız yoktur. Bu durumu daha sonra, Sonuç 4.1.2 olarak vereceğiz. Yukarıdaki ifadeleri

n m rasyoneli yardımıyla, ) 1 ) , ( , (m n ve mn  için 2 m c p q n   ve c p m(2 q) n    

olarak yazabiliriz. Yukarıdaki denklemleri p ve c için ortak çözersek; q mn n m p     ) 2 ( 2 2 2   , q mn n m c     ) 2 ( ) 4 ( 2 2  

elde ederiz. Buradan,

) 4 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 n m c mn q n m p        

ifadelerine ulaşırız. Burada p, q, c ve λ pozitif olduğundan m 2n olmalıdır. Orantı sabitini ihmal edersek (yani 1 kabul edersek)

) 4 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 _{n q mn c m n} m p      

ifadelerini buluruz. Bu değerlerden hareketle, Teorem 4.2 ifadesindeki a, b, c kenarlarına ulaşırız. Hem de bu değerleri (4.1) de yerine yazarsak

) 2 ( ) 2 ( 2  mn m2  n2 

 olur ki bu ise alanın da rasyonel olduğunu gösterir.  Yukarıdaki verilenlere sayısal bir örnek verelim: λ = 1, m = 4, n = 1 olsun. O zaman Teorem 4.1 den (a, b, c) = (34, 42, 20) olur. Burada obeb(a, b, c) = 2 dir. Heron üçgenleri ile ilgili çalışmalarda genellikle obeb(a, b, c) > 1 dir. Bu durumda, üçgenlerin kenar uzunluklarını onların obeb ile bölersek ilkel çözümü buluruz. Böylece

(a, b, c) = (17, 21, 10) olarak buluruz. Şimdi

2 3 

 , m = 5, n = 2 olduğunu varsayalım. O zaman Teorem 4.1 den

hemen        2 123 , 2 91 , 68 ) , ,

(a b c elde edilir ki burada b ve c kenarları tamsayı değildir. Bu durumda, kenarları tam sayı yapmak için bütün kenarları 2 ile çarparız (Eğer obeb 1 den büyük olsaydı o zaman obeb ile bölecektik) ki sonuçta (a, b, c) = (136, 91, 123) olur.

Eğer, kenarların sıralanışını ihmal edersek, Teorem 4.2 den aynı Heron üçgeni birden fazla yolla üretilebilir. Bunların sayısı; a, b, c kenarlarının a ≥ c sınırlamasını koruyarak, a, b, c kenarlarının farklı şekillerde sıraya konuluş sayısına (permütasyonların sayısına) bağlıdır.

Örneğin  = 1, m = 4, n = 1 için bulunan yukarıdaki (17, 21, 10) üçgeni, hem

7 3 

 , m = 12, n = 7 olduğu zaman, hem de 7 6 

 , m = 12, n = 7 olduğu zaman elde edilir.

Şimdi sıra, Teorem 4.2 den önemli birçok doğal sonuç çıkarmaya geldi. Sonuç 4.2.1. Teorem 4.2 de u v 2   , m = 2, n = 1 olarak alınırsa, ) 2 , , ( ) , ,

(a b c  u2 v2 u2 v2 uv Pythagorean üçgenlerine ulaşılır (Sastry 2001). Burada, Pisagor üçgenlerinin bilinen u, v üreteçlerinin oranı ile [BE] Gergonne seviyanı ile [AD] kenar ortayının kesişme oranının aynı olduğunu kolaylıkla söyleyebiliriz. Benzer gözlemler uygun durumlar içinde de yapılabilir. Sonuç 4.2.2. = 2 için Teorem 4.2 den (a,b,c)(m2 n2,2(m2 n2),m2 n2) ikizkenar Heron üçgenlerine ulaşılır (Sastry 2001).

Gerçekte,Teorem 4.2 de  = 2 için (_a,_b,_c)_(_m2 _4_n2,2(_m2 _4_n2),_m2 _4_n2) olur. Bununla beraber, bu son ifade de m  2m, n  n dönüşümleri yapıldığında daha iyi bilinen, Sonuç 4.2.2 ifadesine ulaşılır.

Sonuç 4.2.3. Teorem 4.2 Heron üçgenlerinin tam bir kümesini verir (Sastry 2001). Bunun nedeni, [BE] Gergonne Seviyanının, [AD] kenar ortayını bir noktada kesmesini gerektirmesidir. Bundan dolayı, tüm Heron üçgenleri için 0 <   2 dir. İlk olarak  yı bir rasyonel olacak şekildeseçelim. Böylece Teorem 4.2, her bir elemanı [AD] ile [BE] nin kesişimi aynı oranında olan bütün Heron üçgenlerinin ailesini verir. Sonra,  yı, 0 <   2 aralığındaki rasyonel sayılar üzerinde değiştiririz. Bu durumu aşağıdaki Sonuç 4.2.4 ile ifade ediyoruz.

Sonuç 4.2.4. Teorem 4.2 de ₂ 2 6n

m 

 olarak seçilirse; kenarları aritmetik dizi oluşturan,

( , , )a b c 



m29n2, 2(m23n2), 3(m2n2)



şeklindeki Heron üçgenlerini verir (Sastry 2001).

Aşağıda Sonuç 4.2.2 nin uygulaması biçiminde bir sonuç verilmiştir. Sonuç 4.2.1 den sonuç 4.2.4 e kadar verilen sonuçlar bize çözüm anahtarlarını verir. Bunlar genellikle birçok Heron probleminin kısmi çözümleri olabilirler. Sadece Heron üçgenlerinin özel λ – ailesini göz önüne alırız. İzleyen kesimlerde bu durumlar üzerinde ayrıntılı olarak durmaya devam edeceğiz. Bunu daha uygun bir şekilde açıklamak için Heron üçgenlerinin λ – ailesinin bir tablosunu veriyoruz. Tablo 4.1 de π, üçgenin çevresini göstermektedir.

Tablo 4.1. Heron Üçgenlerinin λ – Ailesi

4.2. Heron Problemleri ve Çözümleri.

Burada Heron üçgenlerinin; kenarları, alanları ve çevreleriyle olan ilişkilerini inceleyeceğiz.

4.2.1. Kenarlarla İlgili Olanlar

a) İki Kenarı Arasındaki Fark Keyfi Bir Tamsayı Olan Heron Üçgenleri.

Gerçekte böyle bir üçgenin bulunması ile bir sonsuzluğun bulunması eşdeğerdir. Çünkü bu sorunun cevabı; e bir tam sayı ve d de bir tamsayının karesi olmamak üzere; x2 – dy2 = e biçiminde ifade edilen ve Fermat – Pell Denklemi olarak isimlendirilen denklemin çözümlerinin bulunmasına bağlıdır. Fermat – Pell Denkleminin; (i) e = 1 olduğu zaman, (x, y) çözümlerinin sayısı sonsuz, (ii) e ≠ 1 olduğu zaman ise eğer varsa bir tane olduğu iyi bilinmektedir (Sastry 2001).

Üç kenarı ardışık alan Heron Üçgeni tam olarak Sonuç 4.2.4 deki formüller ile üretilir.

Örneğin, m = 3 ve n = 1, (3, 4, 5) Heron Üçgenini; m = 2, n = 1, (13, 14, 15) Heron üçgenini ve bu şekilde devam edilir. Burada iki kenarın farkı 1, diğer iki kenar arasındaki fark ise 2 dir. Bununla beraber iki kenarı arasındaki farkı 1 veya 2 olan diğer Heron Üçgenleri vardır. Diğer kısmi çözümler için, Tablo 4.1 den λ = 1 ailesini göz önüne alırız. Bir (a, b, c) Heron Üçgeninde a – c = 1 olması için gerek ve yeter şart _m2 _2n2 _{1 olmasıdır. Yani m}2_2n2 _{1 Pell denkleminin her çözümüne bir}

üçgen karşılık gelir (Sastry 2001).

Örneğin _m2_2n2 _{1 Pell denkleminin; m = 3, n = 2 çözümüne karşılık}

(26, 3, 25) üçgenini, m = 17, n = 12 çözümüne karşılık (866, 3, 865) üçgenini ve bu şekilde devam edilir. Buradan üç ortak kenarlı Heron üçgenlerinin sonsuz bir ailesinin bulunduğunu gözlemleriz. Gerçekten de 2 den büyük her tamsayıya karşılık, bu ortak tamsayı kenarlı Heron üçgenlerinin sonsuz bir ailesinin bulunduğu bilinmektedir (Carlson 1970, Dickson 1971).

İki kenarı arasındaki farkı 3 olan Heron Üçgenlerini belirlemek amacıyla, 2 1   ailesini ve b – a = 3 olarak alırız. Bu tip (a, b, c) Heron Üçgenleri, m2 – 6n2 = 3 Genel Pell denkleminin çözümlerinden elde edilir. Bu denklemin; (m, n) = (3, 1) çözümüne karşılık (a, b, c) = (37, 40, 13) üçgeni, (m, n) = (27, 11) ye karşılık ta (a, b, c) = (3037, 3040, 1213) üçgeni bulunarak devam edilir. Bu yöntem genişletilebilir.

b) Bir Ortak Kenarlı Heron Üçgeni Çiftleri

λ = 1, 2 1   ; 3 1   , 3 2 

 veya belli bir kenar için aynı ifadeleri veren iki

farklı λ – ailelerini göz önüne alalım. Örneğin, 3 1   , 3 2   ailelerinde m = 3, n = 1 için (164, 175, 39) ve (85, 92, 39) çiftine ulaşılır. Eğer istenilirse, böyle birçok çift elde etmek kolaydır. Bu, (4.2.1.a) ile önerilenden daha hızlı bir çözümdür (Sastry 2001).

c) Kenarları 1:2; 1:3; 2:3 vb. Oranına Karşılık Heron Üçgenleri Çiftleri

d) İki kenarının toplamında bir kare bulunan Heron Üçgenleri

Tablo 4.1 de 2 1 

 ailesinin alınmasıyla a +c = 5(m2 + n2) olacağından, m = 11, n = 2 alınmasıyla bu şartı sağlayan (488, 585, 137) üçgenine ulaşırız. Burada, onlardan herhangi birinin basit olarak üretilmesi verilmiştir.

4.2.2. Çevre İle İlgili Olanlar

Bir üçgenin çevresi m parametresinin bir fonksiyonudur. Bu durum çevre ile ilgili birçok problemi kolayca çözmemize imkan sunar. Böyle problemleri geleneksel yöntemlerle çözmek nerdeyse imkânsızdır. Burada konuyla ilgili örnekler sunuyoruz.

a) Çevresi Bir Tam Kare Olan Heron Üçgenleri

Tablo 4.1 e bakıldığında, 4 1 

 ailesi için, π = 36m2 olduğu açığa çıkar. Bu tip primitif Heron Üçgenlerinin sonsuz olduğu ortadadır.

b) Eşit Çevreli Heron Üçgeni Çiftleri

Tablo 4.1 deki 5 2   ve 4 7 

 aileleri, çözümün sonsuzluğunu ortaya koyar. Gerekli olan tek şey, m için değerleri yerine koymak ve primitif Heron Üçgenleri elde edecek şekilde uygun n değerlerini bulmaktır.

c) Tümü Eşit Çevreli Heron Üçgenlerinin Sonlu Sayısı

Çözümlerin bulunması inanılmaz basittir. Herhangi bir λ ailesi alır ve m için yeteri derecede büyük sabit değerler alırsak, sadece n değerleri değişir.

Bir Heron Üçgen çiftinin çevresi ikinin, üçün v.b. katı olabilir, yada üç veya daha fazla Heron Üçgeninin çevreleri bir aritmetik dizi oluşturabilir. Ayrıca ikisinin çevrelerinin toplamı veya çarpımı, diğer ikisinin çevrelerinin toplamı veya çarpımına eşit olacak şekilde dört Heron Üçgeninden oluşan bir küme bulunabilir. Heron Üçgenlerinin λ ailelerinin daha büyük tabloları yapıldığında çevre ile ilgili bir çok farklı gözlemler ve tespitler yapılabilir.

4.2.3. Heron Üçgen Ailelerinin Alanları İle İlgili Gözlemler

Tablo 4.1 de 2 1 

 ailesinin alanı; Δ = 10mn(m2 – n2) dır. Sonra mn(m2 – n2) ifadesi ise (m2 – n2, 2mn, m2 + n2) Pythagorean üçgeninin alanıdır. Buradan