• Sonuç bulunamadı

3. Bölüm: ÇEMBER VE DAİRE ÇEMBER VE DAİRE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "3. Bölüm: ÇEMBER VE DAİRE ÇEMBER VE DAİRE"

Copied!
9
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

3. Bölüm: ÇEMBER VE DAİRE

ÇEMBER VE DAİRE

Bir bardağın üst kısmı ile tabanı birbirine çok benzeyen geometrik şekillerdir. Ancak bardağın ağız kısmını çembere, tabanını da daireye örnek verebiliriz.

Çember birçok çocuk oyununda da kullanılmaktadır.

Çember oyunları, geçmişten günümüze çocukların severek oynadıkları oyunlardır. Bu oyunlardan en bilineni “çember çevir- me” dir.

Çember çevirme oyunu, sopa yardımıyla çemberi düşürme- den çevirme mantığına dayanan bir sokak oyunudur. Bu oyunda bitiş noktasına en erken varan birinci olur.

Çember çevirme dışında, çember ile oyna- nan başka bir oyun da çemberden geçmedir. Bu oyun, iki kişinin çemberi yere dikey olarak sabit bir şekilde tutup diğer oyuncuların çemberin için- den atlayarak geçmesi şeklinde oynanır. Çemberi tutan çocukların arkadaşlarını şaşırtmamaları gerekir. Çember her atlayıştan sonra biraz daha yükseğe kaldırılır.

“Hulahop” da en çok bilinen çember oyun- larındandır. Bu oyun çemberin belde çevrilmesi ile oynanır. Çemberi düşüren oyunu kaybeder.

• Siz bu çember oyunlarından herhangi birini oy- nadınız mı?

• Siz de çevrenizde gördüğünüz çember ve daire şeklindeki nesnelerden örnekler veriniz.

“Çember”, düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki nok- taların oluşturduğu kapalı şekle denir. “Daire” ise çember ile çemberin iç bölgesinin birleşimidir.

r

çember daire

r

(2)

Çemberde Merkez Açılar ve Bu Açıların Gördüğü Yaylar

ETKİNLİK

Araç-Gereçler: geometri tahtası, paket lastiği, cetvel, kâğıt, kalem Uygulama Basamakları:

• Geometri tahtasında dizilimin çember şeklinde olduğu tarafta paket lastiği ile bir çember oluşturunuz.

• Oluşturduğunuz bu çemberin yarıçapını cetvelle ölçüp çevresini hesaplayı- nız.

• İkinci paket lastiğini çemberin merkezinden geçecek ve çemberi tam orta- dan ayıracak şekilde geçiriniz.

• Yarım çemberlerden her birini düşünerek aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Yay uzunluğu ...

Merkezde oluşan iki açının ölçüsü ...

• Üçüncü paket lastiğini merkezden geçecek ve diğer lastiği dik kesecek şekilde takınız. Böylece çemberiniz dört eş parçaya ayrılacaktır.

• Her bir çeyrek çember için aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Yay uzunluğu ...

Çeyrek çemberin merkezde oluşturduğu açının ölçüsü ...

• Dördüncü ve beşinci paket lastikleriyle her bir çeyrek çemberi tekrar ikiye bölünüz.

• Oluşan yeni çember dilimleri için aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Yay uzunluğu ...

Oluşan çember dilimlerinin merkezindeki açının ölçüsü ...

• Yaptığınız işlemleri devam ettirdiğinizde nasıl bir genellemeye varırsınız?

• Merkezde oluşan açılar ve bu açıların gördüğü yayların arasında nasıl bir ilişki vardır?

Birlikte Çözelim 1

Aşağıda verilen O merkezli çemberlerde açıların gördüğü yayların kaç derece olduğunu bulalım.

Çözüm:

Bütün bir çember yayının tamamının ölçüsü 360O dir.

O O

T

A B K

P

3602 O

= = 3604 O = 1803 O

O 180O

A B O

T K

P

A O

K R

T 60O60O 60O A O

K R

T

AB yayının ölçüsü = ?

AB yayının ölçüsü

KTP yayının ölçüsü = ?

KTP yayının ölçüsü

KR yayının ölçüsü = ?

KR yayının ölçüsü

5 ?AB çap olmak üzere, 5 ?AT çap olmak üzere,

(3)

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya “merkez açı”, bu açının kolları arasında kalan çember parçasına da “merkez açının gördüğü yay” denir.

ACB yayının ölçüsü m ACB^'h şeklin- de gösterilir. Bir çemberde merkez açının gördüğü yayın ölçüsü merkez açının ölçüsüne eşittir.

m ACB m AOB^'h=

^

%

h

O

A B C D

Birlikte Çözelim 2

Çözüm:

Yandaki O merkezli çemberde m DOB^%h=75O olduğuna göre m DB^%h’nün kaç derece olduğunu bulalım.

DOB% merkez açısının ölçüsü gördüğü DB yayının ölçüsüne eşittir.

m DOB^%h=m DB^%h=75O

Birlikte Çözelim 3

Çözüm:

Yandaki O merkezli çemberde m KOM^% h=88O ve m KPM^)h=2x+15O ise x’in kaç olduğunu bulalım.

KOM açısının ölçüsü KPM yayının ölçüsüne eşittir.

88 2x 15

2 732

2x2 x 36,5 15

15 73 x

O O

O O

O

= +

=

=

= -

- + + ]

] g g

O B

75O

D

P O

M K

O B

75O

D 75O

(4)

Çözüm:

Birlikte Çözelim 4

Yandaki O merkezli çemberde m OAB^%h=35O olduğuna göre m AB^%hnün kaç derece olduğunu bulalım.

AO = OB olduğundan m OAB^%h=m OBA^%h=35Odir. Üçgenin iç açıları toplamı 180Oolduğu için m OBA^%h+m OAB^%h+m AOB^%h=180Odir.

m OBA^%h=m AB^%h

(Merkez açının ölçüsü = Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü) m AB^%h=110O

Çözüm Sende

2)

1) Yandaki O merkezli çemberde,

m XZ m XY

110 130

O O

=

=

^

^ h h

$

$

olduğuna göre m ZOY^% kaç derecedir? h

O merkezli çemberde,

m AOB a

m AB a

4 5 40O

=

= -

^

^ h

% h

%

olduğuna göre m AKB^(h kaç derecedir?

O

Y Z X

O

B 35O

A

O

B 35O

A 35O

O

A

B

5a-40O 4a

K

m AOB m AOB

35 35 180

110

O O O

O

+ + =

=

^

^ h h

%

%

3)

O merkezli çemberde,

m OBC^%h=40O olduğuna göre m AC^%h kaç derecedir?

O A

40O B

C

(5)

AO = OB olduğundan m OAB^%h=m OBA^%h=35Odir. Üçgenin iç açıları toplamı 180Oolduğu için m OBA^%h+m OAB^%h+m AOB^%h=180Odir.

m OBA^%h=m AB^%h

(Merkez açının ölçüsü = Merkez açının gördüğü yayın ölçüsü) m AB^%h=110O

4)

5)

O merkezli çemberde m COD

^

%

h

kaç derecedir?

Şekilde O merkezli çemberde m ACB^(h=110O ise m

^

OAB =%

h

?

O A

B 50O D

C

M

O

B A

C

Çemberin Uzunluğu

MÖ 3. yüzyılda Mısır’ın Cyrene (Sıriyn) şehrinde doğmuş Yunan matematikçi Eratosthenes (Eratosten); coğrafya, felsefe, tarih, edebiyat gibi çok yönlü ve araştırmacı özelliğinden dolayı genç yaşta İskenderiye Kütüphanesi’nin başına getirilmiş ve çalışmalarına burada devam etmiştir.

Eratosthenes, bir gün kütüphanede papirüs üzerine yazılmış bir yazıda Cyrene kentinde 21 Haziran’da tam öğle vakti yere dikilen bir çubuğun gölgesinin olmadığı bilgisine rastlamıştır. Bu bilgiden yola çıkarak 21 Haziran’da yaşadığı şehir İskenderiye’de bu doğaüstü olayı gözlemlemek için aynı deneyi yapmıştır.

Günümüz teknolojisi kullanılarak yapılan hesaplamalarda Dünya’nın çevresi 40 075 km olarak tespit edilmiştir.

Eratosthenes, günümüzden yaklaşık 2200 yıl önce sadece aklını kullanarak çubuk ve gölge ilişkisinden yola çıkıp Dünya’nın çevresini önemsiz denecek kadar az bir hatayla (%0,4) hesapla- mıştır.

• Dünya’nın çevresini başka hangi yöntemlerle bulabilirsiniz?

Deney sonunda Eratosthenes, öğle vakti güneş tam tepedeyken toprağa diktiği çubuğun gölgesi olduğunu görmüş ve gölge açısını yaklaşık 7O olarak hesaplamıştır.

Cyrene’de gölge boyu olmayan çubuğun İskenderiye’de 7O lik bir açı ile gölge oluşturması Dünya’nın yuvarlak olduğu düşüncesini desteklemiştir. Eratosthenes 7O lik bir açının 360O nin yaklaşık 501 ’sine eşit olduğu bilgisinden bu iki şehir arasındaki mesafenin 50 katının da Dünya’nın çevresinin uzunluğunu vereceğini düşünmüştür.

Eratosthenes, Cyrene şehri ile İskenderiye arasını 800 km olarak ölçtürdükten sonra Dünya’nın çevresini yaklaşık 800 50 40 000$ = km olarak hesaplamıştır.

7o İskenderiye

km800

Cyrene

(6)

ETKİNLİK

Araç-Gereçler: tencere veya kavanoz kapakları, silindir biçiminde çeşitli kutular, mezura, kalem Uygulama Basamakları:

• Dörder kişilik gruplara ayrılınız.

• Getirdiğiniz kutuların veya kapakların çevrelerini mezura ile ölçünüz.

• Mezurayı kutu ve kapak yüzeylerinin merkezinden geçecek şekilde tutarak yüzeylerin çaplarını ölçünüz.

• Ölçümlerinizi aşağıda verilen tabloya yazınız.

• Son sütunu, istenen hesaplamayı yaparak doldurunuz.

• Çemberlerin çevreleri ile çapları arasında nasıl bir ilişki vardır?

• Bu ilişkiden nasıl bir genelleme elde edersiniz?

Çemberin Çevresi ile Çapı Arasındaki İlişki

Öğrenci Çemberin

Çevresi (cm)

Çapın Uzunluğu

(cm) ÇÇ

ap evre

“r’’ yarıçaplı bir çemberin çevre uzunluğu, Çevre 2 r= r ile hesaplanır. r sayısı 3,14159265...şeklinde devam eden bir sayıdır. r sayısı işlemleri daha rahat çöze- bilmek için genellikle 3,14; 722 ; 3 olarak da alınabilir.

O r

Birlikte Çözelim 1 Çözüm:

Çapı 16 cm olan çemberin çevresini bulalım. (r= alalım.)3

Çapı 16 cm olan çemberin çevre uzunluğunu 48 cm’dir.

Çemberin çapı 16 cm ise yarıçapı 8 cm’dir.

Ç Ç

evre r

cm evre

evre 2 2 3 8 48 Ç

$ $

= r

=

=

Tablo: Çemberin Çevre Çap İlişkisi

(7)

Birlikte Çözelim 4 Birlikte Çözelim 2

Birlikte Çözelim 3 Çözüm:

Çözüm:

Çevresi 14r cm olan çemberin yarıçap uzunluğunu bulalım.

evre r

r r r 2

14 2

142 7

Ç r

r r

r r

=

=

=

=

Yarıçapı 21 metre olan bir tekerleğin 50 tur attığında kaç metre yol alacağını bulalım. (r= alalım.)3

r m 2 2 3 21 3

$ $

= r

=

=

Tekerlek 1 tur attığında 3 m yol alır.

Tekerlek 50 tur attığında 50 3 150$ = m yol alır.

Çözüm:

Yanda ABCD karesinin içine, karenin kenarlarına değecek şe- kilde; O merkezli, 6 cm yarıçaplı çember yerleştirilmiştir. Boyalı bölgenin çevresini bulalım.

(r= alalım.)3

Boyalı bölgenin çevresi, çemberin çevresi ile karenin çevresinin toplamıdır.

Çemberin çevresi: 2rr =2 3 6$ $ =36cm’dir.

Karenin bir kenarı çemberin çapına eşit olduğundan Karenin çevresi: 4 12$ =48cm’dir.

Boyalı bölgenin çevresi = Karenin çevresi + Çemberin çevresi = 48 + 36

= 84 cm’dir.

O

D C

A B

D C

A B

6 cm

Pi sayısı; Antik Çağ’dan bu yana merak uyandıran, daire- nin çevresinin çapına bölünme- siyle elde edilen, gizemlerle dolu, sabit bir sayıdır.

Pi sayısının sembolü olan

r

, eski Yunancada çevre kelime- sinin ilk harfinden gelmektedir.

İnsanlık tarihinin en eski dönemlerinden beri kul- lanılmakta olan

r

sayısı,

3,141592653589… şeklinde virgülden sonra sonsuz sayı- da tekrarsız rakam içermek- tedir. Bu özelliğinden dolayı T.C. kimlik numaraları, doğum tarihleri, vergi numaraları gibi sayı gruplarının tamamı

r

sayısının içerisinde herhangi bir yerde bulunmaktadır.

Bu sayı için tüm dünyada her yıl 14 Mart günü “Dünya

r

Günü” olarak çeşitli matematik etkinlikleriyle kutlanmaktadır.

Pİ SAYISI

Tekerleğin çevresi

O

(8)

A

40O

Çember Parçasının Uzunluğu

Birlikte Çözelim 1

Çözüm:

Aşağıda verilen O merkezli çemberlerdeki çember yaylarının uzunluklarını bulalım.

a)

a)

b)

Bütün çemberin çevresi b)

360O lik yayın uzunluğu 18r ise 40O lik yayın uzunluğu AB% D.O.

40O lik çember yayının uzunluğu 2r cm’dir.

Bütün çemberin çevresi

360O lik çember yayın uzunluğu 12r ise 240O lik çember yayın uzunluğu CD% D.O.

240O lik çember yayının uzunluğu 8r cm’dir.

r 2

2 9

18

$ $ r

r r

=

=

=

r 2

2 6

12

$ $ r

r r

=

=

=

AB AB AB 360360

18 40360 189 2

O$ r$

r r

=

=

=

%

%

% CD

CD CD 360360

12 240360 243 8

O$ r$

r r

=

=

=

%

%

% A

B

C

O

O

240O

D 6 cm 9 cm

* Çemberin çevresinin hesaplanmasını, oran ve orantı konularını hatırlayarak çember parçasının uzunluğunun nasıl hesaplanacağını düşününüz.

Paralimpik oyunları ilk olarak 1948’de İngiltere’de engelli askerler için gerçekleştirilmeye başlanmıştır. Bu oyunlar günümüzde binlerce engelli sporcunun katıldığı büyük olimpiyat oyunları hâline gelmiştir.

2016 yılında Rio de Janeiro’da düzenlenen 15. Paralimpik Olimpiyatları’nda Türkiye’den katılan engelli sporcularımız 9 madalya kazanmışlardır.

Berke, paralimpik oyunlarına Tekerlekli Sandalye Sporları dalında katılacaktır. Yanda Berke’nin antrenman yapması için özel olarak tasarlanmış pist verilmiştir.

• Yarıçapı 40 m olan bu pistte Berke’nin A noktasından başlayıp pistin çevresini bir kez dolaştığında alacağı yolun uzunluğu hak- kında ne söyleyebilirsiniz?

r yarıçaplı bir çemberde a derecelik bir yayın uzunluğu, orantıdan faydalanılarak bulunur.

360 derecelik merkez açıyı gören yayın uzunluğu 2 rr ise a derecelik merkez açıyı gören yayın uzunluğu x olur.

D.O.

x= a360$2 r 2 rrO = r $ 360a O olur.

(9)

m AOB^%h=a olsun. Bu durumda

AOB merkez açısının ölçüsü 75O olur.

Bütün çemberin çevresi r

cm 2

2 8

48

$ $ r

r

=

=

=

360O lik çember yayının uzunluğu 48 cm ise 135O lik çember yayının uzunluğu AB% D.O.

AB AB

AB cm

360 48 135

360 360

48 135360 18

O O

O O

O O

$ $

$ $

=

=

=

%%

% Çember yayının uzunluğu 18 cm’dir.

Birlikte Çözelim 2

Çözüm:

Yanda verilen O merkezli çember parçasının çevre uzunluğunu hesaplayalım.

(r= alalım.)3

Çözüm:

Yarıçapı 16 cm olan çemberde AB yayının uzunluğu 20 cm ise AOB açısının ölçüsünün kaç derece olduğunu bulalım. (r= alalım.)3 Şeklin çevre uzunluğu, çember yayı ve iki yarıçap uzunluğunun toplamına eşittir.

Şeklin çevresi ise 18 8 8 34+ + = cm’dir.

O 135O A

B

8 cm

O 135O

A

B

8 cm

O

A B

r = 16 cm 18 cm

20 cm 8 cm

AB r

AB r

2360

2 360

20 2 3 16 360 20 96 360 75

O

O

O

O O

$

$

$ $ $

$ r a

r a

a a a

=

=

=

=

=

%

%

8 cm

Birlikte Çözelim 3

Archimedes (Arşimet);

MÖ 287-212 yılları arasın- da yaşamış Yunan mate- matikçi, fizikçi, astronom, filozof ve mühendistir.

Matematiğe çağ atlattı- ran buluşlara sahip Arşi- met; biri dairenin hemen dışına, diğeri hemen içine olacak şekilde 2 tane düzgün çokgen çizip her iki düzgün çokgenin çev- relerini bularak dairenin çevresini hesaplamıştır.

Bu çevre hesabı ile dai- renin çevresinin çapına oranının yani " r " nin de- ğerinin 3 + 1/7=22/7 ile 3+10/17 arasında olduğu- nu bulmuştur .

ARŞİMET

Referanslar

Benzer Belgeler

BİLGİ: Bir üçgende diklik merkezi H ve çevrel çemberin merkezi O ise bu üçgene ait dokuz nokta çemberinin merkezi   OH ’nın orta noktasıdır... (Orta taban) Bu

Toplantı salonları, otel yönetimi tarafından hazırlanan protokole göre temizleniyor, ilgili yönetici tarafından denetleniyor ve kayıt altına2.

ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL

[r]

[r]

kat pencere- sinden dışarıya bakan biri göz hizasından 50 metre ilerideki bir direkteki bir noktaya

Hastanın çemberine geri döndüğümüzde; endişelerle gelen hasta konsültasyon sonucunda tatmin olma düzeyine, endişe düzeyine vb.. hepsine göre plana uyabilir ya

O merkezli r1 ve r2 yarıçaplı çemberler arasında kdairenin alanının çıkarılması