Fibonacci ve Lucas sayılarının bölünebilme özelikleri

1.BÖLÜM

LİTERATÜR ÖZETİ

Bu bölümde Fibonacci, Lucas, k-Fibonacci dizileri ile ilgili literatürde yer almış olan bazı çalışmalar ve Fibonacci dizilerinin bölünebilme özelikleri, m modülüne göre k-Fibonacci dizilerinin periyodu, periyod uzunluğu ile ilgili yapılan çalışmalar verilmiştir.

Bollinger R.C. , Burchard C.L. (1990), p bir asal ve her hangi n ve k tam sayıları, olduğunda, p k n_{i i} < ≤ , 0

∑

= i ip n n ve =

∑

i ip k k için, ) (mod p k n k n i i

∏

⎜⎜_⎝⎛ ⎟⎟_⎠⎞ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

olur. Eğer k_i >n_i ise _⎟⎟=0’dır. ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ i i k n

Bu makalede genişletilmiş Pascal üçgenlerini ile tanımlayarak, 2.bölümde ’in girdilerine benzeyen Lucas’ın genişletmesini düşüneceğiz. 3.bölümde m T m T C_m( kn, ) n m k ( 1)

0≤ ≤ − sıralamasında k için, )C_m(n,k)≡0(modp denkliği sağlanmadığında ’nın bazı bölünebilme özelikleri incelenmiştir. C_m( kn, )

’in genişletmesinde katsayıların dizisinde, sıradan Pascal üçgenlerine benzeyen genişletilmiş Pascal üçgenleri ortaya çıkar. dizisinde, n satır ve k sütunda sayısı, için;

n m x x x ... ) 1 ( _{+ +} 2 _{+ +} −1 m T ) , ( kn C_m m,n,k ≥0

∑

− = − ₌ + + + + m n k k m n m _{C n k x} x x x ( 1) 0 1 2 _{... ) ( , )} 1 (

Ehrlich A. (1989), Bu makalede, u₀ =0,u₁ =1,u_n+2 =u_n+1 +u_n Fibonacci dizileri ve m modülüne göre indirgenen Fibonacci dizilerinin periyod uzunluğu olan aritmetik fonksiyonu üzerinde yapılan çalışmalar verilmiştir.

) (m

k

Falcon S. , Plaza A. (2007), Klasik Fibonacci ve Pell dizilerinin bir genelleştirmesi olan bir k-Fibonacci dizisi veriliyor. Bu genel k. Fibonacci dizisi

{

iki geometrik dönüşümün meşhur dört üçgenin en uzun kenarında (4ÜEUK) tekrar tekrar uygulanması ile bulunmuştur. Bu sayıların pek çok özelikleri doğrudan temel matris cebirinden çıkarılmıştır.

}

∞ =0 ,n n k F

Falcon S. , Plaza A. (2007), Klasik Fibonacci ve Pell dizilerinin bir genelleştirmesi olan bir k-Fibonacci dizisi veriliyor. Bu genel k. Fibonacci dizisi

{

iki geometrik dönüşümün meşhur dört üçgenin en uzun kenarında (4ÜEUK) tekrar tekrar uygulanması ile bulunmuştur. Bu makalede bu sayıların pek çok özelikleri için, Pascal-2 üçgeni ile bağlantı kurulmuş ve sonuç çıkarılmıştır.

}

∞ =0 ,n _n k F

Falcon S. , Plaza A. (2008), Bu çalışmada, m modülünden yararlanarak k- Fibonacci dizilerinin periyod uzunluğu incelendi. Bu periyod, Pisano periyodu olarak bilinen devirli diziler gibidir. Periyot uzunluğunu )π_k(m ile tanımlandı ve burada, her k tek sayısı için;

) 4 ( 4 ) 4 ( 2 _{+ =} 2 ₊ k k k π olduğu ispatlandı.

Falcon S. , Plaza A. (2009), k-Fibonacci polinomları, k-Fibonacci sayılarının doğal bir genişlemesidir ve onların özeliklerinin birçoğunun ispatı açıktır. Özellikle burada, k-Fibonacci polinomlarının dönüm noktaları biçimindeki bu polinomların türevleri verilmiştir. Bu gerçek, yeni ve direkt bir yolla tam sayı dizilerinin bir ailesini kolay bir biçimde sunar. Fibonacci polinomlarının türevleri için birçok bağıntı ispatlandı.

Luca F. (2000), Herhangi k pozitif tam sayısı için, σ(k) ve φ(k) sırasıyla; k’nın bölenlerinin toplamı ve k ile aralarında asal ve k’ya eşit veya daha küçük pozitif tam bölenlerinin sayısı olsun. Bu makalede,

( )

m

n F =2

φ eşitliğinin çözümü sadece n=±1,±2,±3,±4,±5,±6,±9 için,

( )

m

n L =2

φ eşitliğinin çözümü sadece n=0,±1,±2,±3 için,

( )

m

n F =2

σ eşitliğinin çözümü sadece n=±1,±2,±4,±8 için,

( )

m

n L =2

σ eşitliğinin çözümü sadece n=±1,±2,±4 için, bulundu.

Luca F. (1999), Herhangi k ≥0 ve n≥1 tam sayıları için,σ_k(n) ve φ(n) sırasıyla; n’in bölenlerinin k. kuvvetlerinin toplamı ve n’in Euler fonksiyonu olsun. Bu makalede aşağıda verilen eşitsizlikler çalışılmıştır.

Her n≥1 için φ(Fn)≥ Fφ₍n₎’dir. Eşitlik sadece n=1,2,3 için bulundu.

Her n≥1 ve k≥1 için σk(Fn)≤Fσk₍n₎’dir. Eşitlik sadece n=1 veya (k,n)=(1,3) için bulundu.

Her n≥1 için _{0 ( )} 0 )

(Fn Fσ n

σ ≤ ’dir. Eşitlik sadece n=1,2,4 için bulundu.

McDaniel W.L. (1991), Bu makalede, P ve Q aralarında asal tam sayılar, ifadesinin sıfırları Q Px x2 − + _{α ve β (α >β) olsun. k =0,1,2,3,... için;} β α β α − − = = _k k k k U P Q U ( , ) ve k k k k V P Q V = ( , )=α +β

değerlerinin gcd’si ile ilgili çalışmalar verilmiştir.

Morton H.R. (1995),

{

Fibonacci dizisinin dikkat çeken bir özeliği

olduğunda dizinin k. terimi, en büyük ortak bölenidir. Başlangıç şartı, ve a ve b her hangi asal tam sayıları için;

}

n f k =(m,n) ) , (f_m f_n 0 0 = f 1 1 − + = n + n n af bf f

reqürans bağıntısı ile dizi oluşur. Hardy ve Wright

{ }

f dizisi ve yardımcı bir dizi _n arasındaki ilişkiyi kullanarak, t2 −at−b denkleminin köklerinin terimlerinde her iki

diziyi tanımlamışlardır. Bu makalenin amacı,

{ }

f dizisinin sadece basit uygun _n özeliklerini kullanarak, (fm, fn)=±f(m,n) eşitliğini ve , pozitif bir d tam sayısı ile

bölündüğünde N tam sayılarının dizisini S alarak, S’nin; d’ye bağlı değişken olan bazı k tam sayılarının bütün çarpanlarından meydana geldiğini ispat etmektir.

N f M.Farrokki D.G. (2007),

{ }

∞₁ =

{

1,1,2,3,...

}

= n n

F Fibonacci sayıları dizisi olsun. Bu çalışmada bir k doğal sayısı için, F_n =kF_m eşitliğinin, n ve m bilinmeyen sayıları ile çözümü için bazı koşullar veriliyor. Aynı zamanda için, eşitliğinin en fazla bir (n,m) çözümü olduğu gösteriliyor.

1 >

k F_n =kF_m

Renault M. (1996), Bu çalışmada, Fibonacci sayılarının tarihçesi, Fibonacci dizisinin bazı özelikleri, Fibonacci dizilerinin modüler temsili, periyod, periyod uzunluğu ve zincir gibi kavramlar ve uygulamaları verilmiştir.

2.BÖLÜM

TAM SAYILARDA BÖLÜNEBİLME VE ÖZELİKLERİ

2.1. Bölme Algoritması

Bir tam sayısı, pozitif bir b tam sayısı ile bölünsün. Bu taktirde a 0≤r<b olmak şartıyla bir tek q bölümü ve bir tek r kalanı vardır. Burada ’ya bölünen,

’ye ise bölen sayı denir.

a b 0≤r<b için, r q b a= . + yazılır. Buradan, 0≤ <1 b r için, b r q b a _{= +}

olup, sonuç olarak; =_⎢⎣⎢ _⎥⎦⎥

b a

q ve r =a−bq

olur.

Bölme algoritmasında varsayalım r=0 olsun. Buradan, olup, bu ifade; “ b böler ’yı”, “ b , ’nın bir çarpanıdır”, “ , ile bölünebilir” veya “ , ’nin bir katıdır” şeklinde okunur ve ile gösterilir. Eğer , ’nın bir çarpanı değilse, “ b , ’yı bölmez” denir.

bq bq a= +0= a a a b a b b |a b a a 2.2. Bölünebilme Özelikleri

1. ve b pozitif tam sayıları için, a a |b ve b |a ise a= olur. b 2. a,b,c,s,t her hangi tam sayıları için,

(ii) a |b ve a |c ise a|(sb+tc) (iii) a |b ise a |bc

olur.

3. ve b herhangi pozitif tam sayıları için, b ile bölünen ve ’dan küçük olan pozitif tam sayıların sayısı,

a a ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ b a ’dir.

2.3. En Büyük Ortak Bölen

ve b gibi iki pozitif tam sayının bir çarpanı, pozitif bir tam sayı olabilir. ve ’nin bu gibi çarpanlarına, “ortak bölenler” veya “ortak çarpanlar” denir. ve sayılarının her ikisini de bölen pozitif tam sayıların en büyüğüne “ en büyük ortak bölen” denir ve ile gösterilir.

a a b a b ) , (a b

2.4. En Büyük Ortak Bölen’in Özelikleri

1. (a,b)=d ise, (i) d |a ve d |b.

(ii) d |' a ve _{d |}' _b ise _{d |}' _d.

2. ve b aralarında asal ise, a (a,b)=1 . 3. (a,b)=d ise ( , )=1 d b d a ve (a,a− )b =d.

4. ve pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni, ve b ’nin bir lineer kombinasyonudur. ve t her hangi tam sayılar olmak üzere,

a b a s d b a, )= ( ise d =sa+tb dir.

5. a,b ve her hangi pozitif tam sayılar ise c (ac,bc)=c(a,b). 6. a |c , b |c ve (a,b)=1 ise ab |c.

8. için; pozitif tam sayıları verilsin. Bu n tam sayının en büyük ortak böleni; 2 ≥ n a₁,a₂,...,a_n ) ), ,..., , (( ) ,..., , (a₁ a₂ a_n = a₁ a₂ a_n−1 a_n dir. 9. 1≤i≤n−1 için, d |a₁a₂...a_n ve (d,a_i)=1 ise d |a_n. 10. p bir asal ve p |ab ise p |a veya p |b.

11. a₁,a₂,...,a_n pozitif tam sayılar ve 1≤i≤n için, bir asal ve ise bazı i’ler için; ’dir.

p p|a1a2...an

i a p |

12. p,q₁,q₂,...,q_n asal sayılar ve 1≤i≤n için, ise bazı ’ler için; . n q q q p| _{1 2}... i i q p= 2.5. En Küçük Ortak Kat

, b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katı, ve ’nin her ikisi ile de bölünen pozitif tam sayıların en küçüğüdür ve

a a b

[ ]

a, ile gösterilir. b 2.6. En Küçük Ortak Kat’ın Özelikleri

1.

[ ]

a,b =m ise a |m ve b |m.

2. _m' pozitif bir tam sayı, _{a| m}' ve _{b| m}' ise _m≤m'. 3. ve b pozitif tam sayıları için, a (a,b).[a,b]=ab

4. ve b pozitif tam sayılarının aralarında asal olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır.

a

[ ]

a,b =ab

]

5. için, pozitif tam sayıları verilsin. Bu tam sayının en küçük ortak katı; 2 ≥ n a₁,a₂ .,..,a_n n

[

a1,a2,...,an

] [[

= a1,a2,...,an−1 ,an

]

dir.

6. a₁,a₂,...,a_n pozitif tam sayıları ikişer ikişer aralarında asal ise,

7. , ve pozitif tam sayıları için, ise . k i≤ ≤ 1 m₁,m₂,...,m_k a m_i |a

[

m₁,m₂,...,m_k

]

|a 2.7. Euclidan Algoritması

ve b iki tam sayı, a b≠0 olsun. a ve b ’nin en büyük ortak böleni bulalım. , b ile bölünsün, böylece; a 1 1 r bq a= + , 0≤r₁ <b

olur. Bu şekilde devam edersek, b , ile bölünsün, böylece; r₁

2 2 1q r

r

b= + , 0≤r₂ <b olur. Bu şekilde devam edersek, . adımda; k

k k k k r q r r₋₂ = ₋₁ + , 0≤r_k <r_k−1 ve (k+1). adımda; 1 1 1 − + − = k k + k k r q r r ve r_k+1 =0.

Çünkü kalanlar, kesinlikle azalan olduğundan, a ve b’nin en büyük ortak böleni yukarıdaki bölme algoritmasında sıfırdan farklı son kalandır.

k r b a, )= ( elde edilir. 2.8. Fermat Teoremi

asal sayı, p (p,a)=1 ise

_ap−1 _≡1(mod_p) (2.1)

dir.

2.9. Binom Teoremi

pozitif bir tam sayı olsun. Bu taktirde, n

n n n n n n _{ab b} n n b a n b a n a b a _⎟⎟ + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + −1 −2 2 −1 1 ... 2 1 ) ( dir.

2.10. Binom Kat Sayılarının Çarpanları

pbir asal olsun.

)! ( ! ! n p n p n p − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

bir tam sayıdır. Buradan, , n!

)! ( ! n p p

− ’in bir çarpanıdır. Eğer, 1≤n≤ p−1 ise ile n!

p aralarında asaldır ve bu nedenle , n!

)! ( )! 1 ( n p p − −

’in bir çarpanı olmalıdır. Buradan,

)! ( ! )! 1 ( n p n p p − − pile bölünür. , ( ) (mod 0 p n p ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ) 1 1≤n≤ p− ) (2.2) ) )(mod 1 ( 1 1 p p − ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − , (2.2) ve ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − m n m n m n 1 1 (m≥1) özeliğinden, ) (mod ) 1 ( ) 1 ( 1 1 2 2 1 ₂ p p p p − = − − ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

olur. Tümevarım yöntemi ile,

, (mod ) 1 ( 1 p n p _n − ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ) 1 1 ( ≤n≤ p− (2.3) Diğer taraftan, ) (mod 0 1 p n p ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ve n 0(modp), p ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ) 1 2 ( ≤n≤ p−

olup, buradan ) , (mod 0 1 p n p ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ) 1 2 ( ≤n≤ p− (2.4) elde edilir.

2.11. Çin Kalan Teoremi

m1,m2,...,mr sayıları ikişer ikişer aralarında asal olan r tane pozitif tam sayı, Ζ ∈ r a a a₁, ₂,..., olsun. Bu durumda , ) (mod ₁ 1 m a x≡ ) (mod ₂ 2 m a x≡ . (2.5) . . ) (mod _r r m a x≡

Sisteminin ortak çözümleri vardır. Ayrıca modülüne göre (2.5) sisteminin bir tek çözümü vardır.

r m m m₁. ₂...

2.12. Taban ve Tavan Fonksiyonları

reel sayısının tabanı; x

_{⎣ ⎦}

x ile tanımlanır.

⎣ ⎦

x sayısı, ’ten küçük en büyük tam sayıdır. reel sayısının tavanı ise

x

x

_{⎡ ⎤}

x ile tanımlanır.

_{⎡ ⎤}

x sayısı; ’ten büyük en küçük tam sayıdır. Taban fonksiyonu

x

⎣ ⎦

x x

f( )= ve tavan fonksiyonu g(x)=

⎡ ⎤

x aynı zamanda sırasıyla, en küçük tam sayı fonksiyonu ve en büyük tamsayı fonksiyonu olarak bilinir. (Koshy T. ,2001)

x herhangi reel sayı ve n herhangi tam sayı olsun. 1.

⎣ ⎦

n =n=

⎡ ⎤

n

2.

⎣

x+n

⎦ ⎣ ⎦

= x +n 3. tek sayı ise, n 2 1 2 − = ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢n n dir. 4.

⎡ ⎤ ⎣ ⎦

x = x +1 (x∉Z) 5.

_⎡

x+n

_{⎤ ⎡ ⎤}

= x +n 6. tek sayı ise, n 2 1 2 + = ⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡n n dir. (Koshy T. ,2001) 3. BÖLÜM

FIBONACCI VE LUCAS SAYILARININ TEMEL ÖZELİKLERİ

Bu bölümde, tam sayı dizilerinin içinde büyük öneme sahip Fibonacci ve Lucas dizilerinin tarihçesinden bahsedeceğiz. Bu sayı dizilerinin tanımları, bazı temel kavramları ve özeliklerini üzerinde duracağız.

3.1. Fibonacci ve Lucas Dizilerinin Tarihçesi

Leonardo Fibonacci 12. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisidir. Pisa şehrinde doğan Leonardo çocukluğunu babasının çalışmakta olduğu Cezayir’de geçirmiştir. İlk matematik bilgilerini Müslüman eğiticilerden almış olup küçük yaşlarda onluk Arap sayı sistemini öğrenmiştir. Ülkesi İtalya’da kullanılmakta olan Roma rakam sisteminin hantallığı yanında Arap sisteminin mükemmelliğini gören Fibonacci 1201 yılında “Liber Abaci” isimli kitabını yazmıştır. Aritmetik ve Cebir içeren ticaret ile ilgili bu kitapta Arap sayı sisteminin tanıtımı ve müdafasını yapmıştır. İlk anda kitabın İtalya’da tüccarlar üzerinde etkisi az olmasına rağmen zamanla bu kitap Arap sayı sisteminin Batı Avrupa’ya girmesinde büyük rol oynamıştır.

Bu kitapta bulunan bir problem ortaçağ matematiğine katkıları olan Fibonacci’yi 600 yıl sonra, 19’uncu yüzyılın başlarından günümüze meşhur hale gelmesine sebep olmuştur. Bu problem “Tavşan Problemi”dir. Ergin bir tavşan çiftinin her ay yeni bir yavru çifti verdikleri ve yeni doğan bir çiftin 1 ay zarfında tam ergenliğe eriştikleri varsayımıyla yavru olan bir tavşan çiftinden başlayıp 1 yılda çiftlerin sayısı ne olur? Buna göre belli bir aydaki çift sayısı önceki iki ayın toplamına eşittir. O halde tavşan çifti sayıları aylara göre bir yıl içinde 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 olacaktır. Fibonacci bu problemi, kitabına biyoloji biliminde bir uygulama olsun diye ya da nüfus patlamasına bir çözüm getirsin diye koymamış; probleme, bir toplama alıştırması olarak bakmıştır.

Fibonacci’nin kendisi bu sayı dizisi üzerinde bir çalışma yapmamıştır. Hatta bu sayı dizisi üzerinde 19 uncu yüzyılın başlarına kadar ciddi bir araştırma yapılmadığı da belirtilmektedir.

Fibonacci sayılarının ailesi üç ayrı nedenle bir ilgi odağı olmuştur.

Birincisi; dizinin daha küçük elemanlarının doğada, beklenmedik yerlerde tekrar terar karşımıza çıkmasıdır; bitkilerde, böceklerde, çiçeklerde vb.

İkinci neden; Fibonacci dizisinin bir terimi öncekine bölündüğünde n→ ∞ için bölmün “altın oran” denen ve irrasyonel bir sayı olan(1+ 5) 2=1,61803398…sayısına yakınsadığı görülmektedir. Bu sayı oyun kartlarının biçiminden Mısır’daki piramitlere kadar birçok yapının matematiksel temelini oluşturmaktadır.

Üçüncü neden; daha çok sayıların kendilerinin, sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok kullanımı olan ilginç özellikleriyle ilgilidir.

Belirli bir süre sonra bu dizi üzerinde yapılan araştırmaların sayısı artmıştır. Hatta Fibonacci Derneği bile kurulmuştur. Bu derneğin 1963 yılından itibaren yayınladığı “The Fibonacci Quartery” dergisi bu sayı dizisiyle ilgili ilginç araştırmalar yayınlamaktadır. Bazısı bilinen, bazısı öne sürülüp ispatlanamayan ve bilinmeyip keşfedilmesi beklenen birçok özeliğe sahiptir.

Bu sayı dizisinin elemanlarının, F_n+1 = F_n +F_n−1 bağıntısı kullanılarak hesaplandığı düşünülürse, ilk iki sayı seçilmeden diziyi oluşturan elemanların bilinemeyeceği açıktır. Fibonacci dizisi, F₀ =0ve F₁ =1 ile başlar, diğer Fibonacci sayıları, verilen Fibonacci denklemine göre belirlenir. Ancak bu iki başlangıç sayısının özel bir yanı olmadığından, başlangıç için başka değerlerde seçilebilir ve aynı tanımlayıcı denklemi kullanarak tümüyle farklı bir sayı dizisi elde edilebilir. Fransız matematikçisi Edward Lucas, başlangıç sayıları için seçilebilecek ikinci en basit ve L₀ =2 L₁ =1 sayılarını seçerek ve de L_n+1 =L_n +L_n−1, n≥1 bağıntısını

kullanarak, Fibonacci dizisine benzer bir sayı dizisi elde etmiştir. Günümüze de süregelen araştırmalar, bu iki sayı dizisi arasında ilginç bağıntıların olduğunu kanıtlamıştır. Bu özellikleri birçok çalışmada bulabiliriz. Bu sayılar bazen doğada ve bilimsel alanlarda görülmektedir. Örneğin, 123 sağ sarmalı ve 76 sol sarmalı olan Lucas ayçiçekleri olduğu bilinmektedir.

3. 2. Lucas Dizileri Lucas dizileri , b a b a V b a V b a U b a U + = = = = ) , ( , 2 ) , ( 1 ) , ( , 0 ) , ( 1 0 1 0

başlangıç koşulları olmak üzere;

D b a Q D P ab P b a+ = = ( − )= , − = 4 1 , 2

bağıntılarını sağlayan, P ve Q tam sayılarına bağlı

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 Q P QV Q P PV Q P V Q P QU Q P PU Q P U m m m m m m − − − − − = − =

rekürans bağıntıları kullanılarak tanımlanan dizilere denir.

n n n n n n b a Q P V b a b a Q P U + = − − ≡ ) , ( ) , (

şeklinde Binet formülleri tanımlanmıştır (Sun Zhi-H, 2006).

(P,Q) U _n V _n

(1,-1) Fibonacci Dizisi Lucas Dizisi

Tablo 1

3.3. Fibonacci sayıları ve özellikleri

Tanım 3.1. (Fibonacci Dizisi). F₀ =0 ve F₁ =1 olmak üzere;

n n n F F F₊₂ = ₊₁ + , (3.1) 0 ≥ n

lineer rekürans bağıntısı ile verilen, şeklindeki tam sayı dizisine Fibonacci Dizisi denir. Fibonacci disisinde her n tam sayısına karşılık gelen değere n. Fibonacci sayısı denir.

∞ =1 } {Fn n

n = 1, 2, 3,... değerlerine karşılık gelen Fibonacci sayıları 0, 1, 1, 2, 3,…’tür. Tablo 1’den de görüldüğü gibi Fibonacci dizisi,

) 1 , 1 ( } { 1 = − ∞ = n n n U F

şeklinde özel bir Lucas dizisidir.

Lucas dizilerinin Binet formülünden Fibonacci sayıları için,

5 2 ) 5 1 ( ) 5 1 ( n n n n F = + − −

n n

n F

F _{( 1)} +1

− = − (3.2)

şeklinde tanımlı olduğu görülür. Binom katsayısı ve , n.Fibonacci sayısı olmak üzere; ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ i k n F i k n i n i k i kn FF F i k F ₋− =

∑

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ₁ 0 , n>1

kapalı formülü ile ifade edilebilir. Fibonacci sayılarının üreten fonksiyonu,

... 5 3 2 1 ) ( 2 3 4 5 2 1 + + + + + = − − = =

∑

∞ = x x x x x x x x x F x g n n n Simpson formülü n (3.3) n n n F F F 2 ( 1) 1 1 − − = − + ve toplam formülü,

∑

= + − = n k k n F F 1 2 1 şeklinde verilir.(Koshy T. , 2001).

3.4. Lucas sayıları ve özelikleri

Tanım 3.2. (Lucas Dizisi). L₀ =2 ve L₁ =1 olmak üzere,

n n

n L L

lineer rekürans bağıntısı ile verilen,

{ }

L_n ∞_n=1 şeklindeki tam sayılar dizisine Lucas dizisi denir. Lucas dizisinde her n tam sayısına karşılık gelen her bir değere n. Lucas sayısı denir.

n = 1, 2, 3,… değerlerine karşılık gelen Lucas sayıları 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18,… dir. Tablo 1’den de görüldüğü gibi Lucas dizisi,

{ }

L_n ∞_n=1 =V_n(1,−1)

şeklinde özel bir Lucas dizisidir. Lucas dizilerinin Binet formülünden Lucas sayıları için, n n n L _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 2 5 1 2 5 1

Binet benzeri formülü elde edilir. Lucas sayılarının üreten fonksiyonu,

∑

∞ = − − + = = 1 2 2 1 2 ) ( n n n x x x x x L x h Simpson formülü, 1 2 1 1 5( 1) − − + − = − n n n n L L L ve toplam formülü 3 2 1 − = ₊ =

∑

n n i i L L

3.5. Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları

G₁ =a, G₂ =b ve n≥3 için G_n =G_n−1 +G_n−2 tanımlanan diziye Genelleştirilmiş Fibonacci dizisi denir. Dizinin terimleri,

K , 5 3 , 3 2 , 2 , , ,b a b a b a b a b a + + + +

şeklindedir. Burada a ve b’nin katsayılarının Fibonacci sayıları olduğu görülür.

3.6.Genelleştirilmiş Fibonacci Sayılarının Özelikleri

1. G_n, n. genelleştirilmiş Fibonacci sayısı ve n≥3 için;

1 2 − − + = _{n n} n aF bF G dir. 2.

∑

= + + + + − = n i k k n i k G G G 1 2 2 3. c=a+(a−b)β ve d =a+(a−b)α için, β α β α − − = n n n d c G dir. 4. _{µ =cd =a}2 _+ab−b2 için, n n n n G G G 2 ( 1) 1 1 − − = − + µ dir. 5. G_n+m =F_m−1G_n +F_mG_n+1

Özdeşlik 1. _{n∈ Z}+ için

∑

= + = n i n n i F F F 1 1 2

İspat: n üzerinde indüksiyon ile, n=1 için;

∑

= = = = 1 1 2 1 2 1 2 _{1.1 .} i i F F F F

olup doğrudur. Özdeşlik n=k için, doğru olsun.

∑

= + = k i k k i F F F 1 1 2 _.

Şimdi n= k+1 için doğru olduğunu gösterelim.

∑

+

∑

= = + + = 1 1 1 2 1 2 2 k k k i i k i F F F = 2 1 1 . k+ + k+ k F F F =F_k+1(F_k +F_k+1) =F_k+1.F_k+2 olup ispat tamamlanır.

Özdeşlik 2. n n n n F F F . 2 ( 1) 1 1 − − = − + İspat: 2 1 1 2 1 1. n n ( n n) n n n F F F F F F F_{+ −} − = ₋ + ₋ − = 2 ( ₁ ) 1 n n n n F F F F₋ + ₋ − = 2 ₂ 1 − − − n n n F F F =-( 2 ) 1 2 − − − n n nF F F =( 1) ( 2 ) 2 3 1 2 − − − − − F_n F_n F_n =( 1) ( 2 ) 3 4 2 3 − − − − − Fn Fn Fn

. . . =( 1) ( 2) 0 1 1F F F n ₋ − ₋ =₍₋₁₎n Özdeşlik 3.

∑

= + − = n i i n F F 1 2 1 İspat: F₁ =F₃ −F₂ F₂ =F₄ −F₃ . . . F_n−1 =F_n+1−F_n F_n =F_n+2 −F_n+1 olup, eşitlikleri taraf tarafa toplarsak;

1 2 1 2 − = − = ₊ = +

∑

n n i n n n F F F F elde edilir. Özdeşlik 4. F_m+n = F_m−1F_n +F_mF_n+1

İspat: n üzerinde indüksiyon ile , n=1 için; m m m m m F F F F F F F ₊₁ = _{−1 1}+ ₂ = ₋₁+ olup doğrudur. n=k ve n= k−1 için özdeşlik doğru olsun.

1 1 + − +k = m k + m k m F F F F F k m k m k m F F F F F _{+( −1)} = _{−1 +1}+ Eşitliklerini taraf tarafa toplarsak;

) ( ) ( 1 1 1 ) 1 ( − − − + + +k + m k = m k + k + m k + k m F F F F F F F F F_m+k+1 =F_mF_k+1+F_mF_k+2

olup n= k+1 için de özdeşliğin doğru olduğu görülür ve ispat tamamlanır.

Özdeşlik 5. L_n = F_n−1 +F_n+1

İspat: n üzerinde indüksiyon ile , n=1 ve n=2 için;

1 0 1 F F

L = + ve L₂ =F₁+F₃

olup doğrudur. n=k ve n= k+1 için özdeşlik doğru olsun.

1 1 + − + = _{k k} k F F L 2 1 + + = k + k k F F L

eşitliklerini taraf tarafa toplarsak;

3 1 2 + + + = k + k k F F L

elde edilir ve ispat tamamlanır.

Özdeşlik 6. F_2n =F_nL_n

n n n n n n n n n n n n F F F F F F F F F L F₂ = ₊ = ₋₁ + ₊₁ = ( ₋₁ + ₊₁)= elde edilir. Özdeşlik 7. 2 _{2 1} 1 2 + + = + _{n n} n F F F

İspat: Özdeşlik.4 ile,

2 1 2 1 1 ) 1 ( 1 2n+ =Fn+ +n =FnFn +Fn+Fn+ =Fn +Fn+ F elde edilir. Özdeşlik 8. 2 1 1 1 5( 1) − − + n − n = − n n L L L

İspat: n üzerinde indüksiyon ile, n=1 için;

0 2 2 1 0 2L − L =3.2−1 =5=5(−1) L

olup doğrudur. n=k için özdeşlik doğru olsun.

1 2 1 1 − 5( 1) − + k − k = − k k L L L

Şimdi n= k+1 için özdeşliğin doğru olduğunu gösterelim.

2 1 1 1 1 2 1 2 + ( + )( + − ) + + k − k = k + k k − k − k k L L L L L L L L = 2 1 1 1 1 1 2 1 + − + − + + − k k + k k − k k − k k L L L L L L L L = 2 1 1 1 5( 1) − − + − k k − k − − k k kL L L L L = k k k k k kL L L L L +1 − ( −1 + )+5(−1) = k = k k k kL L L L ₊₁ − ₊₁+5(−1) ₅₍₋₁₎k elde edilir ve ispat tamamlanır.

Özdeşlik 9.

∑

= + − = n i i n L L 1 2 3

2 3 1 L L L = − 3 4 2 L L L = − . . . n n n L L L ₋₁ = ₊₁ − 1 2 + + − = _{n n} n L L L

olup eşitlikleri taraf tarafa toplarsak;

∑

= + + − = − = n i n n i L L L L 1 2 2 2 3 elde edilir. Özdeşlik 10. F_nF_m +F_n+1F_m+1 =F_m+n+1 İspat: Özdeşlik.4 ile,

1 1 ) 1 ( 1 + + + + + +n = n m = n m + n m m F F F F F F elde edilir. Özdeşlik 11. 5F_n = L_n−1+L_n+1 İspat: Özdeşlik.5 ile,

n n n F F L ₋₁ = ₋₂ + 2 1 + + = n + n n F F L

n n n L F L ₋₁ + ₊₁ =5 elde edilir. Özdeşlik 12. F_n+2 −F_n−2 =L_n İspat: F_n+2 −F_n−2 =F_n +F_n+1 −F_n−2 =F_n−1 +F_n−2 +F_n+1 −F_n−2 =L_n Özdeşlik 13:F_n +L_n =2F_n+1 İspat: F_n +L_n =F_n +F_n−1+F_n+1 =2F_n+1 Özdeşlik 14. 2 2 _{2 1} 1 + − + − n = n n n F F F F İspat: 1 1 2 1 2 2 1 ( + )( + ) + − + − n = n + n n − n = n n n F F F F F F F F Özdeşlik 15. F_n+1L_n+1 −F_nL_n =F_2n+1 İspat: Özdeşlik.6’dan 1 2 2 2 2 1 1 + + + + n − n n = n − n = n n L F L F F F F elde edilir. Özdeşlik 16. n≥ m≥1 için; 1 1 − − + − + = _{n m m n m m} n F F F F F dir.

İspat: Özdeşlik.4 ile,

1 1 ) 1 ( ) 1 ( − + + − = − + + − − = n m m n m m n m m n F F F F F F elde edilir.

Özdeşlik 17. _n∈Ζ+ için, 2 5 1 , 2 5 1+ ₌ − = β α olmak üzere, β α β α − − = n n n F ve n n n L =α +β dir.

İspat: n üzerinden indüksiyon ile, 1

=

n için,F₁ =1 olup doğrudur. 1

− = k

n ve n= k−2 için eşitlik doğru olsun.

2 ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 − − − − − − − − − − + − + = − + − = + _k αk βk αk βk αk α α βk β β k F F = k − k =F_k 2 β α

olup ispat tamamlanır. Aynı şekilde, n üzerinden indüksiyon ile; 1

=

n için,L₁ =1 olup doğrudur. 1

− = k

n ve n= k−2 için eşitlik doğru olsun.

) ( ) ( 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 − − − − − − − − − − + k =αk +βk +αk +βk =αk α +α +βk β +β k L L = k k _k L = +β α

olup ispat tamamlanır.

Özdeşlik 18. n _{m n} m n n m L F F F ₊ = +₍−₁₎ +1 ₋

İspat: ) 5 ( ) 1 ( ) 5 )( ( ) 1 ( 1 n n m m n 1 m n m n n m n m nF F L − − + − + _{= +} − _{+ −} − − + α β α β α β = 5 ) 1 ( ) 1 ( n 1 m n n 1 m n m n n m m n m n+ _{−α β +α β −β} + _{+ −} + _α − _{− −} + _β − α = 5 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( n m n n m n m n n m n n m n n m+ _{− β} − _{+ − α} − _−β + _{− − α} − _{+ − β} − α = 5 n m n m+ _−β + α =F_m+n Özdeşlik 19. _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ₋ 5 ... 5 5 3 1 2 1 ₂ 1 n n n F_{n n} İspat: = − = _{n ⎢⎣}⎡

(

+

) (

n − −

)

n⎤_⎥⎦ n n n F 1 5 1 5 5 2 1 5 β α = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 5 ... 3 5 2 5 1 1 ... 5 3 5 2 5 1 1 5 2 1 n n 2 n 3 n n 2 n 3 n = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − _{5 1} 5 ₃ 5 ₅ 5 ... 2 1 3 5 1 n n n n = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − _{1 3} 5 ₅ 5 ... 2 1 2 1 n n n n elde edilir. Özdeşlik 20. _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ₋ 2 _K 1 1 ₂ 5 ₄ 5 2 1 n n L_{n n}

İspat: = n + n = _{n ⎢⎣}⎡

(

+

) (

n + −

)

n_⎥⎦⎤ n L 1 5 1 5 2 1 β α = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 5 ... 3 5 2 5 1 1 ... 5 3 5 2 5 1 1 2 1 n n 2 n 3 n n 2 n 3 n = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − 1 ₂ 5 ₄ 5 ... 2 1 2 1 n n n Özdeşlik 21. n∀ için, ⎥ ⎦ ⎥ ⎢ ⎣ ⎢ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 5 n n F α dir. İspat: 2 1 5 5 ⎥_⎦ < ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − n n n F α β Özdeşlik 22. ∀n≥2 için, ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢ ₊ = + 2 1 1 n n F F α dir. İspat: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − + + + + 5 5 1 1 1 1 n n n n n n F F α α β α αβ = 2 1 5 ) ( _{= <} ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡βn α −β _βn Özdeşlik 23. 2 2 2( 1) n n n L L + − = İspat: 2 2 2 2 2 2( 1) 2( ) ( ) n n n n n n n n L L + − =α +β + αβ = α +β =

Özdeşlik 24. _{m ,,n r∈Ζ}+ için, r n r m r m n m r m n m F F F F F _{+ − +−} − _{+ − + −} = − + −2 ₋ 2 1 1 2 ( 1) dir. İspat: m+n−1=a ve m+r−1=b alalım.

[

1 ( 1)

]

1 1 2 _{( 1) ( 1)} ) 1 ( − _{− − − −} − − − − + _{= − = − +} − b _{a b a b} b a b r n r m _{F F F F F F} =

[

1

]

1 1 1 _{( 1) ( 1)} ) 1 ( + ₋ − − _{− + −} − b b a b b a b _{F F F F} = 2 1 1 2 1 ( 1) − ( 1) − − b − b + a b − b a F F F F =F_a−1F_b −F_aF_b−1 = F_m+n−2F_m+r−1−F_m+n−1F_m+r−2 Özdeşlik 25. ⎩ ⎨ ⎧ = + ₋ + _{F L n çift} tek n L F F F n m m n n m n m _, , ve ⎩ ⎨ ⎧ = − ₋ + çift n L F tek n L F F F m n n m n m n m _, , dir. İspat: F_m+n = F_m−1F_n +F_mF_n+1 ve Fm+(−n) =Fm−1F−n +FmF−(n−1)

eşitliklerini taraf tarafa toplayarak ve çıkararak sonuca ulaşabiliriz. ) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( 1 _{1 1} 1 + + − − − +n + m n = m n + − n n + m n + − n n m F F F F F F F F n, tek ise; m n m m m n n m n m n m n m F F F F F F F F F F L F ₊ + ₋ =2 ₋₁ + = ( ₋₁ + ₋₁+ )= n, çift ise; n m n n m n m n m F F F F F L F ₊ + ₋ = ( ₊₁ + ₋₁)=

elde edilir. ) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( 1 _{1 1} 1 + + − − − +n − m n = m n − − n n + m n − − n n m F F F F F F F F n, tek ise; n m n n m n m n m F F F F F L F ₊ − ₋ = ( ₊₁ + ₋₁)= n, çift ise; m n m m m n n m n m n m n m F F F F F F F F F F L F ₊ − ₋ =2 ₋₁ + = ( ₋₁+ ₋₁+ )= elde edilir. Özdeşlik 26. m _{n m m n} m n L L L L ₊ +(−1) ₋ = İspat: n m n m

(

m m

)(

n n

)

n m m n L L L − =α + +β + − α +β α +β + =₋

(

_αm_βn _+αn_βm

)

=_−αm_βm

(

_αn−m _+βn−m

)

= n m m_L − − −( 1) elde edilir. Özdeşlik 27. ₅ 2 ₋ 2 ₌₄₍₋₁₎n+1 n n L F İspat: αn βn ₋

(

_αn _+βn

) (

_{= α}n _+βn _+αn _−βn

)(

_αn _−βn _−αn _−βn ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 5 5

)

=₋₄

( )

_αβ n =₄₍₋₁₎n+1 4. BÖLÜM

FIBONACCI VE LUCAS SAYILARININ BÖLÜNEBİLME ÖZELİKLERİ

Bu bölümde T.Koshy (2001) ve S.Vajda (1989) tarafından verilen Fibonacci ve Lucas sayılarının bölünebilme özelikleri ve bazı uygulamaları verilecektir.

4. 1. Bölünebilme Özelikleri

Fibonacci sayılarındaki Özdeşlik 6’dan ’dir. Biz burada bunu genelleştirmeye çalışacağız. Diğer bir ifadeyle hangi şartlar altında olduğunu göstereceğiz. n n F F | ₂ j i F F |

Şimdi vereceğimiz teorem, i | j ise F |i Fj olduğunu gösterir.

Teorem 4. 1. F |_m F_mn .

İspat. Tümevarım yöntemi ile, n =1 için doğruluğu açıktır. Varsayalım ki bütün k tam sayıları için de doğru olsun. O halde k≥1 , 1≤i≤k, , için

olduğunu varsayalım. Buradan, olduğunu göstermeliyiz. i ∀ F |_m F_mi ) 1 ( | _mk+ m F F

Fibonacci sayılarındaki, Özdeşlik 4’den;

1 1 ) 1 (k+ = mk+m = mk− m + mk m+ m F F F F F F

yazarız. Tümevarım hipotezinden olduğundan, olduğu görülür. Böylece her tam sayıları için teorem doğrulanır. (Koshy T. ,2001).

mk m F F | Fm |Fm₍k+₁₎ 1 ≥ n

Örnek olarak; F₆ =8ve F₂₄ =46368 için 6|24ve 8|46368 ‘dir. Sonuç 4. 1. Her m. Fibonacci sayısı F_m ile bölünebilir. (Koshy T. ,2001).

Örnek olarak; her 5. Fibonacci sayısı F₅ =5 ile bölünebilir. Buradan sayıları 5 ile bölünebilir. Aynı şekilde, sayıları da ile bölünebilir. ,... , , , _{10 15 20} 5 F F F F F₆,F₁₂,F₁₈,F₂₄,... 8 6 = F Teorem 4. 2. F |_m F_n ise m |n .

İspat: Bölme algoritması ile n = qm+r , 0≤r<m’dir. Varsayalım ki olsun. Bu taktirde tam sayılardaki bölünebilme özeliklerinden ve 1964’te L. Carlitz tarafından verilen Özdeşlik 16’dan;

n m F F | 1 | _{n−m m−} m F F F

dir. Fakat olduğundan ’ dir. Benzer şekilde ‘dir. Bu şekilde devam edersek ve dir. Bu ise r =0 ve n =qm olmadıkça olanaksızdır. Böylece ’dir. (Koshy T. ,2001).

1 ) , (F_m F_m−1 = F_m |F_n−m F_m |F_n−2m qm n m F F | ₋ F |_m F_r n m |

Sonuç 4. 2. F |_m F_n gerek ve yeter koşul m |n olmasıdır.

Bu sonuç Teorem 4. 1 ve Teorem 4. 2’nin bir sonucudur. (Koshy T. ,2001).

Sonuç 4. 3. (m,n) = 1 ise bu taktirde,

mn n mF F

F |

dir.

İspat: Teorem 4. 1’den e ‘dir. Bu nedenle dir. Fakat mn m F F | v F |_n F_mn

[

F_m,F_n

]

|F_mn ‘ 1 ) , (F_m F_n = F_(m,n) = F₁ = olduğundan

[

F_m,F_n

]

=F_mF_n dır. Böylece dir. (Koshy T. ,2001). mn n mF F F |

Örnek olarak,

( )

4,7 =1,F₄ = F3, ₇ =13 ve F₂₈ =317811 dir. Buradan

olup dir. 317811 | 13 . 3 28 7 4F | F F

Sonuç 4. 4. Her hangi iki ardışık Fibonacci sayısı aralarında asaldır.

İspat: Euclidan algoritması kullanılarak, F_n bölünen sayı, F_n−1 bölen sayı olsun.

2 1 . 1 ₋ + ₋ = _{n n} n F F F

3 2 1 1. − − − = n + n n F F F 4 3 2 1. − − − = n + n n F F F . . . 2 3 4 1.F F F = + 0 2 ₂ 3 = F + F

Euclidan algoritması ile ∀n≥3 için(F_n,F_n−1)=1 eşitliği elde edilir.

Şimdi vereceğimiz lemmada Sonuç 4.4’ü genelleştireceğiz.

Lemma 4. 1. (Fqn−1,Fn)=1 dir.

İspat: olsun. Bu taktirde ve dir. Teorem 4. 1’ den olup dir. Böylece ve ’dir. Sonuç 4. 4 ‘ten

’dir. Bu nedenle olduğundan, ) , (Fqn 1 Fn d = ₋ d|Fqn−1 d |Fn qn n F F | d |F_qn d|F_qn−1 d |F_qn 1 ) , (Fqn−1 Fqn = d |1 d =1 ve böylece (Fqn−1,Fn)=1 elde edilir. (Koshy T. ,2001).

Lemma 4. 2. m=qn+r olsun. Bu taktirde,

) , ( ) , (F_m F_n = F_n F_r dir.

İspat: Özdeşlik. 4 ve Lemma 4.1 kullanılarak, ) , ( ) , (F_m F_n = F_qn+r F_n =(Fqn−1Fr +FqnFr+1,Fn) =(F_qn−1F_r,F_n) =(F_r,F_n) =(F_n,F_r) elde edilir.

Yeni teoremde iki Fibonacci sayısının en büyük ortak böleninin daima bir Fibonacci sayısı olduğunu göstereceğiz. (Koshy T. ,2001).

Teorem 4. 3. (F_m,F_n)=F_(m,n) .

İspat: m≥n için Euclidan algoritması ile m bölünen sayı, n bölen sayı olsun.

1 0n r q m= + , 0≤r₁ <n 2 1 1r r q n= + , 0≤r₂ <r₁ 3 2 2 1 q r r r = + , 0≤r₃ <r₂ . . . n n n n q r r r₋₂ = _{−1 −1}+ , 0≤r_n <r_n−1 0 1 = + − n n n q r r Lemma 4. 2’den, ) , ( ... ) , ( ) , ( ) , (Fm Fn = Fn Fr₁ = Fr₁ Fr₂ = = Fr_n−₁ Fr_n olur. r_n |r_n−1 olduğundan Teorem 4.1’den dir. Bu nedenle

1 | ₋ n n r r F F n n n r r r F F F ₋ , )= ( 1 olup, böylece (F_m,F_n)=F_rn olur. Euclidan algoritmasından, olup, r_n =(m,n)

) , ( ) , (Fm Fn =Fmn elde edilir.

Örnek verecek olursak, (F₁₂,F₁₈)=F_(12,18) =F₆ =8’dir ve elde edilir. 8 ) 2584 , 144 ( =

) , (m n

d = ve olsun. Teorem 4. 1’den e ’dir. Böylece

' olur. olduğundan, ) , ( ' n m F F d = F |_d F_m v F |_d F_n | d

F_d d =(m,n) d =am+bn olacak şekilde ve tam sayıları vardır. olduğundan,

a b

0 , ,m n>

d a≤0 ya da b≤0 olsun. Varsayalım ki olsun. olmak üzere

0 ≤

a k≥0 a=−k alalım. Bu taktirde yazarız.

Özdeşlik 4’den, km d + bn= ' v ' v ' v 1 (4.1) 1 1 + − + = + = _{d km d km d km} bn F F F F F F elde edilir.

Teorem 4. 1’den , ’dir. e böylece olur.

Buradan e , bu nedenle (4. 1) eşitliğinden, olur. Fakat

e olduğundan m F d |' km F d |' d |F_n F |_n F_bn d |'F_bn km F d | d |'F_bn d |'F_dF_km+1 km F d | (F_km,F_km+1)= (d ,'F_km+1)=1 olur, bu nedenle böylece ve olduğundan d F d |' , ' | d

F_d d |'F_d d'=F_d’dir. Diğer bir deyişle, ’dir.(Michael,G.,1964) ) , ( ) , (Fm Fn =Fmn

Bu teorem, en küçük ortak kat için sağlanmaz. Yani,

] , [ ] , [F_m F_n ≠ F_mn

dir. Örnek verecek olursak;

165 ] 55 , 3 [ ] , [F₄ F₁₀ = = ve F[4,10] = F20 =6765 olup [F4,F10]≠ F[4,10] olduğu görülür.

Sonuç 4. 5. Eğer m ve n aralarında asal ise bu taktirde ve ’de aralarında asaldır.

m

F F_n

Örnek olarak, (12,25)=1 ve (F₁₂,F₂₅)=(144,75025)=1’dir.

.

Teorem 4. 4. olmak üzere, olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır.(Carlitz,L.,1964)

2 ≥

Örnek olarak, 10|20 için L₅ | F₂₀, yani 11|6765 olur.

Teorem 4. 5. ve olmak üzere, olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. .(Carlitz,L.,1964) 2 ≥ m k ≥1 L |_m L_n m k n=(2 −1)

Örnek olarak, m=4, k =2 ve n=3.4=12 .O halde olup, yani olur. 322 , 7 ₁₂ 4 = L = L 12 4 | L L 7|322

1965’te George C.Cross ve Helen G.Renzi, a:b=2:3 ise

[ ]

a,b − ,

( )

a b =a+b olduğunu ispatladılar. Örnek olarak, a=12 ve b=18 için

[ ]

a,b −

( )

a,b =36−6=30=12+18 olur. Cross ve Renzi ayrıcaa:b=3:5 iken

[ ]

a,b +(a,b)=2(a+b) olduğunu ispatladılar. Örnek olarak, a=45 ve b=75 için

[ ]

a,b +(a,b)=225+15=240=2(45+75) olur.

Daha genel olarak, varsayalım a:b=F_n :F_n+1 veya olsun. Bu

durumda ve

1

: :b=L_n L_n+ a

[ ]

a,b,(a,b) a+ arasındaki ilişkiyi araştıralım. Bu durum; b G.F.Freeman tarafından, aşağıdaki teoremde verilmiştir.

Teorem 4. 6.

1. a:b=F_n :F_n+1 ise bu takdirde n≥2 olmak üzere,

[ ]

, ( 1) ( , ) ) (a b F ₁ a b n a b n = + − + ₋ dir. 2. (c,d)=1 , a:b=c:dise n≥3 için (a b)F ₁

[ ]

a,b ( 1)n(a,b) n = + − + ₋ ’dir.

oranının çözümlerinin sayısı , ’nin pozitif çarpanlarının sayısının yarısına eşittir. Bu pozitif çarpanlardan biri de ’dir.

d c : 2 − n nF F 1 . _n+ n F F İspat:

1. a:b=F_n :F_n+1 olsun. Bu takdirde bazı pozitif k tam sayıları için, (F_n,F_n+1)=1, , k F a = _n b= F_{n 1+} k, (a,b)=k,

[ ]

a,b =F_nF_n+1k dir. k F F k F F F F b a ) _{n 1 n 1}( _{n n 1}) _{n 1 n 2} ( + ₋ = ₋ + ₊ = _{− +} =(F_n+1−F_n)F_n+2k = F_n+1(F_n +F_n+1)k−F_nF_n+2k

=F_nF_n k (F_n2 F_nF_{n 2})k 1 1 + + + + − =

[ ]

a,b ₊(₋1)n(a,b) elde edilir.

2. (c,d)=1 olmak üzere, a:b=c:d olsun. Bu taktirde bazı k pozitif tam sayıları için, a=ck, b=dk, (a,b)=k ve

[ ]

a,b =cdk’dır.

[ ]

, ( 1) ( , ) ) (a b F ₁ a b n a b n = + − + ₋ eşitliğinden, n n cd F d c ) ( 1) ( + ₋₁ = + − dir. 1 1 ( 1) − − − − − = n n n F d dF c = 1 2 1 1 ) 1 ( − − − ₋ − − + n n n n F d F F = 1 2 1 − − − + ₋ n n n n _{d F} F F F (4.2)

Eğer 0<d < F_n−1 ise bu taktirde c<0’dır. Böylece, ’dir. bir tam sayı . Böylece, (4.2) eşitliğinden ’nin her pozitif çarpanı için c’nin bir değeri bulunur. Fakat

1 − >F_n d c 2 1| − − −F_n F_nF_n d F_nF_n−2 b d a

c= , = ; oranının bir çözümü ise ’dir. Böylece ’nin pozitif çarpanlarının sayısı, oranının farklı değerlerinin sayısına eşittir.

d c : a d b c= , = F_nF_n−2 c :d

Özel olarak, d = F_n+1 alalım. Bu taktirde,

1 1 2 1 − + − − + ₋ = n n n n n F F F F F c = _n n n n n F F F F F + − = −1 2