HİPERBOLİK FIBONACCI VE LUCAS
FONKSİYONLARI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Tuna BATU
Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK
Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI
Haziran 2009
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın fikir aşamasından başlayıp düzenlenip yazılmasına kadar her döneminde sabırla ilgilenen, teşvik ve yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen danışmanım Sayın Yrd. Doç. Dr. Serpil HALICI’ ya çok teşekkür ederim. Ayrıca, maddi ve manevi sağladıkları her türlü destekten dolayı aileme şükranlarımı sunmayı borç bilirim.
Bu tez Sakarya Üniversitesi Bilimsel Araştırmalar Komisyonu tarafından 2008.50.01.025 nolu proje ile desteklenmiştir.
Tuna BATU
iii
İÇİNDEKİLER
TEŞEKKÜR... ii
İÇİNDEKİLER... iii
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... vi
ŞEKİLLER LİSTESİ... viii
TABLOLAR LİSTESİ... ix
ÖZET... x
SUMMARY... xi
BÖLÜM 1. GİRİŞ ………. ……….. 1
1.1. Fibonacci Sayıları ve Tekrarlı Bağıntılar………. 1
1.2. Tekrarlı Bağıntıların Çözümü ……….. 2
1.3. Fibonacci Sayıları ve Binet formülü………. 10
BÖLÜM 2. MERTEBELİ FIBONACCI SAYILARI………... 13
2.1. m. mertebeden Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları ………. 13
2.2. m. mertebeden Fibonacci Sayıları ve Gazale Formülleri……... 13
2.3. -m. mertebeden Fibonacci Sayıları ve Gazale Formülleri………… 18
2.4. m mertebeden Fibonacci Sayıları ve Gazale Formülleri…... . 24
BÖLÜM 3. LUCAS SAYILARI………... 31
3.1. Lucas Sayıları ve Tekrarlı Bağıntısı………...….. 31
3.2. Lucas Sayıları ve Binet Formülü………...……... 32
iv
MERTEBELİ LUCAS SAYILARI………... 35
4.1. m. mertebeden Lucas Sayıları ve Gazale Formülleri…………... 35
4.2. –m. mertebeden Lucas Sayıları ve Gazale Formülleri……….. 38
4.3. m mertebeden Lucas Sayıları ve Gazale Formülleri.………… . 43
BÖLÜM 5. ALTIN MATRİSLER……… 49
5.1. Altın Matrisler………... 49
5.2. m. mertebeden Altın Matrisler………... 51
5.3. –m. mertebeden Altın Matrisler..………... 54
5.4. m mertebeden Altın Matrisler………... 57 .
BÖLÜM 6. HİPERBOLİK FONKSİYONLAR……… 61
6.1. Genel Konik Tanımı………. 61
6.2. Hiperboller……… 62
6.2.1. Hiperbollerin merkezil denklemleri………... 64
6.3. Hiperbolik Fonksiyonlar………... 67
6.4. Hiperbolik Fonksiyonlar İçin Genel Formüller……… 72
6.5. Hiperbolik Fonksiyonların Grafikleri………... 73
BÖLÜM 7. HİPERBOLİK FİBONACCI VE LUCAS FONKSİYONLARI………... 82
7.1. Hiperbolik Fibonacci ve Lucas Fonksiyonları………... 82
7.2. m. mertebeden Hiperbolik Fibonacci ve Lucas Fonksiyonları... 85
7.2.1. m. mertebeden hiperbolik fibonacci ve lucas fonksiyonlarının özellikleri………... 88 7.3. Simetrik Hiperbolik Fibonacci ve Lucas Fonksiyonları…………... 90 7.3.1. Simetrik hiperbolik fibonacci ve lucas fonksiyonlarının
özellikleri………
94
v
7.6. Simetrik Fibonacci Fonksiyonları ve -m. mertebeden Altın Matris. 103
BÖLÜM 8.
SONUÇLAR VE ÖNERİLER………... 106
KAYNAKLAR……….. 107
ÖZGEÇMİŞ……….……….. 109
vi
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ
) (x
cF : Kosinüs hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
cFs : Simetrik kosinüs hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
cL : Kosinüs hiperbolik Lucas fonksiyonu )
(x
cLs : Simetrik kosinüs hiperbolik Lucas fonksiyonu cosechx : Kosekant hiperbolik fonksiyonu
coshx : Kosinüs hiperbolik fonksiyonu cothx : Kotanjant hiperbolik fonksiyonu
) (x
ctF : Kotanjant hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
ctFm : m. mertebeden kotanjant hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
ctL : Kotanjant hiperbolik Lucas fonksiyonu )
(x
ctLm : m.mertebeden kotanjant hiperbolik Lucas fonksiyonu )
(n
Fm : m. mertebeden n. Fibonacci sayısı )
(n
Fm : -m. mertebeden n. Fibonacci sayısı )
(n
F m : m.mertebeden n. Fibonacci sayısı Fn : n. Fibonacci sayısı
Fn : Negatif yönde n. Fibonacci sayısı )
(n
F : n. Fibonacci sayısı )
( n
F : Negatif yönde n. Fibonacci sayısı
G : Altın matris
Gm : m. mertebeden altın matris
n
Gm : m. mertebeden altın oranın n.kuvveti : -m. mertebeden altın matris
G m : m. mertebeden altın matris G m
vii
: n. Lucas sayısı )
( n
L : Negatif yönde n. Lucas sayısı )
(n
Lm : m. mertebeden n. Lucas sayısı )
(n
L m : -m. mertebeden n. Lucas sayısı )
(n
L m : m.mertebeden n. Lucas sayısı Pn : n. Pell sayısı
) (n
P : n. Pell sayısı
sechx : Sekant hiperbolik fonksiyonu )
(x
sF : Sinüs hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
sFs : Simetrik sinüs hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
sFm : m. mertebeden sinüs hiperbolik Fibonacci fonksiyonu sinhx : Sinüs hiperbolik fonksiyonu
) (x
sL : Sinüs hiperbolik Lucas fonksiyonu )
(x
sLm : m. mertebeden sinüs hiperbolik Lucas fonksiyonu )
(x
sLs : Simetrik sinüs hiperbolik Lucas fonksiyonu tanhx : Tanjant hiperbolik fonksiyonu
) (x
tF : Tanjant hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
tFm : m.mertebeden tanjant hiperbolik Fibonacci fonksiyonu )
(x
tL : Tanjant hiperbolik Lucas fonksiyonu )
(x
tLm : m.mertebeden tanjant hiperbolik Fibonacci fonksiyonu : Altın oran
m : m. mertebeden altın oran
m : -m. mertebeden altın oran
m : m. mertebeden altın oran
n
m : m. mertebeden altın oranın n. kuvveti )
(n L
viii
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil 6.1. Koniğin geometrik yeri... 51
Şekil 6.2. Hiperbol grafiği... 52
Şekil 6.3. Hiperbolün elemanları... 53
Şekil 6.4. Merkezil hiperbolün grafiği... 55
Şekil 6.5. x ekseni odaklı hiperbol grafiği... 56
Şekil 6.6. y ekseni odaklı hiperbol grafiği ……… 56
Şekil 6.7. Birim çember... 59
Şekil 6.8. Birim hiperbol …... 60
Şekil 6.9. 2 ex ve 2 e x fonksiyonlarının grafikleri ... 63
Şekil 6.10. coshx fonksiyonunun grafiği ... 64
Şekil 6.11. 2 ex ve 2 e x fonksiyonlarının grafikleri………...………. 65
Şekil 6.12. sinhx fonksiyonunun grafiği………... 66
Şekil 6.13. coshx ve sinhx ortak grafiği………... 67
Şekil 6.14 tanhx fonksiyonunun grafiği... 69
Şekil 7.1. coshx fonksiyonunun grafiği... 81
Şekil 7.2. cFS(x) fonksiyonunun grafiği……… 82
Şekil 7.3. sinhx fonksiyonunun grafiği………... 83
Şekil 7.4. sFS(x) fonksiyonunun grafiği……… 84
Şekil 7.5. coshx fonksiyonunun grafiği……….. 84
Şekil 7.6. cLS(x) fonksiyonunun grafiği……… 85
Şekil 7.7. sinhx fonksiyonunun grafiği………... 85
Şekil 7.8. sLS(x) fonksiyonunun grafiği……… 86
ix
TABLOLAR LİSTESİ
Tablo 1.1 Negatif ve pozitif indisli Fibonacci sayıları………... 1 Tablo 2.1 m. mertebeden farklı değerler ve oranlar... 13
Tablo 2.2 –m. mertebeden farklı değerler ve oranlar ... 18 Tablo 2.3 m. mertebeden farklı değerler ve oranlar ………….………. 24
Tablo 3.1 Lucas Sayıları... 25 Tablo 4.1 m. mertebeden Lucas sayıları için değerler……… 30 Tablo 4.2 -m. mertebeden Lucas sayıları için değerler………..……… 34 Tablo 4.3 m. mertebeden Lucas sayıları için farklı değerler…………... 38 Tablo 7.1. Negatif ve pozitif indisli Fibonacci ve Lucas sayıları……...…….. 70
x
ÖZET
Anahtar kelimeler: Hiperbolik Fibonacci ve Lucas fonksiyonları, m. mertebeden Fibonacci ve Lucas sayıları
Bu çalışmada hiperbolik Fibonacci ve Lucas fonksiyonlarının genel özellikleri incelendi. Birinci bölümde, Fibonacci sayıları, tekrarlı bağıntılar ve tekrarlı bağıntılarda genel çözüm bulma yöntemi verildi. İkinci bölümde m. mertebeden Fibonacci sayıları, mertebeli Fibonacci tekrarlı bağıntıları için Gazale formülleri elde edildi. Üçüncü bölümde Lucas sayıları ve tekrarlı bağıntıları incelendi. Dördüncü bölümde m. mertebeden Lucas sayıları, mertebeli Lucas tekrarlı bağıntıları için Gazale formülleri elde edildi. Beşinci bölümde, altın matrisler ve mertebeli altın matrisler incelendi. Altıncı bölümde hiperbolik Fibonacci ve Lucas fonksiyonlarının anlaşılmasında temel kavramlardan olan hiperbolik fonksiyonlar ve grafikleri incelendi. Son bölümde ise Hiperbolik Fibonacci ve Lucas Fonksiyonlarının genel tanımı, elde edilme yöntemleri, mertebeli ve simetrik fonksiyon çeşitleri üzerinde duruldu. Grafikleri hiperbolik fonksiyonlarla karşılaştırıldı. Altın matrislerle bağlantıları incelendi.
xi
SUMMARY
Key Words: Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, Fibonacci and Lucas numbers with order m
In this thesis, the general properties of hyperbolic Fibonacci and Lucas numbers are examined. Fibonacci numbers, recurrance relations and the method to derive general solution of a recurrance relations are given in the first chapter. The definition of Fibonacci numbers of order m is given and Fibonacci recurrance relations with order are investigated to derive Gazale formula in the second chapter. Lucas numbers and Lucas recurrance relations are examined in the third chapter. In the fourth chapter, the definition of Lucas numbers of order m is given and Lucas recurrance relations are investigated to derive Gazale Formula. Golden matrices and Golden matrices with order m are mentioned in the fifth chapter. In the sixth chapter including hyperbolic functions that consist of the fundamental concepts and definitions of hyperbolic Fibonacci and Lucas functions and graphics of these functions are examined. In the last chapter, the general definition, the methods of derivation of hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions are given and different types of functions as symetric and function with order are examined. Graphics of hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions are compared to hyperbolic functions. The ralation concerning with golden matrices is investigated.
1.1. Fibonacci Sayıları ve Tekrarlı Bağıntılar
Her bir terimi kendisinden önceki iki terimin toplamına eşit olan sayıların dizisine, Fibonacci sayı dizisi denir. Fibonacci dizisinin her elemanı, birer Fibonacci sayısıdır,
{1,1,2,3,5,8,13,21,34…}
Fibonacci sayı dizisinin n. elemanı, Fn ile gösterilir. Başlangıç şartları ile birlikte, Fibonacci sayı dizisi n Ziçin,
2
1 n
n
n F F
F
1 , 0 1
0 F
F
biçiminde ifade edilir. Fibonacci dizisi, sadece pozitif tamsayılarla sınırlı bir dizi değildir. n bir tamsayı olduğu için, negatif Fibonacci sayıları da elde edilebilir ve negatif indisli Fibonacci sayıları Fn simgesiyle ifade edilir. İlk 11 n değeri için Fibonacci sayıları bulunduğunda şu tablo oluşacaktır:
Tablo 1.1 Negatif ve pozitif indisli Fibonacci sayıları
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Fn 0 1 -1 2 -3 5 -8 13 -21 34 55
Tablo 1.1 e dikkat edildiğinde, pozitif ve negatif Fibonacci sayıları arasındaki bağıntı görülebilir. Tek indisli, Fn ve F n Fibonacci sayıları eşittir. Bu eşitlik,
n n
n F
F ( 1) 1
biçiminde ifade edilir. Örneğin n=3 ve n=4 için,
2 2 . 1 )
1
( 4 3
3 F
F
3 ) 3 ).(
1 ( )
1
( 5 4
4 F
F
olur. Fibonacci sayılarında her bir terim, kendinden önceki iki terimin toplamına eşit olduğundan ve bir sonraki işlemin içinde tekrar kullanıldığından, başlangıç şartlarıyla birlikte, n Ziçin,
) 2 ( ) 1 ( )
(n F n F n
F
1 ) 1 ( , 0 ) 0
( F
F
biçiminde bir tekrarlı bağıntı yazılabilir. Bu tekrarlı bağıntı, Fibonacci tekrarlı bağıntısı olarak adlandırılır. Daha ayrıntılı bilgi için Vajda [2] ve Hoggat [3]
kaynaklarına bakınız.
1.2. Tekrarlı Bağıntıların Çözümü
k. mertebeden sabit katsayılı, lineer, homojen tekrarlı bağıntılar,
k n k n
n
n ca c a c a
a 1 1 2 2 ; ck R ve c 0 (1.1)
biçimindeki tekrarlı bağıntılardır. Lineer eşitlikler hiçbir şekilde, değişkenlerin köklerini veya çarpımlarını içermezler. Bütün değişkenler, en fazla birinci dereceden kuvvete sahip olabilirler ve değişkenlere bağlı trigonometrik, logaritmik veya üstel fonksiyonlar kullanılmaz. Bundan dolayı, (1.1) k.mertebeden sabit katsayılı, lineer,
homojen tekrarlı bağıntı ifadesi, en fazla birinci kuvvetten ai terimlerini içerebilir.
Ayrıca, diğer lineerlik şartlarını da sağlanmalıdır. Bir lineer eşitliğin, homojen olabilmesi için, kullanılan terimlerin dışında başka terim kullanılmaması gerekir.
Dolayısıyla, (1.1) eşitliği göz önüne alındığında, bağıntının sağ tarafında kullanılan ai terimlerinin dışında, başka bir terim kullanılmaması gerekir. Her n için, an 0 eşitliği sağlanmalıdır. Diğer taraftan, bir bağıntının çözümü için k tane aideğerine ihtiyaç varsa, bu durumda bağıntının mertebesi k olacaktır. Buna göre k. mertebeden sabit katsayılı lineer homojen denklemin çözülebilmesi için k tane,
0
0 c
a
1
1 c
a
k
k c
a
biçiminde başlangıç şartına ihtiyaç vardır. Sabit katsayılı ikinci mertebeden denklemlerin çözümünden önce,n 0 için,
1 n
n a
a c
a0
başlangıç şartıyla verilen tekrarlı bağıntının çözümü olan,
n
n c
a
eşitliğinin bilinmesi gerekir. Aynı işlem,
2
1 n
n
n aa ba
a (1.2)
ikinci mertebeden sabit katsayılı bağıntısına uygulandığında, c n ifadesinin 0 dan farklı çözümü varsa bu durumda,
1 - 1 -
n
n c
a (1.3)
2 - 2 -
n
n c
a
biçiminde olacaktır.(1.3) deki ifadeler, (1.2) eşitliğinde yerine yazıldığında,
2
1 n
n
n ac bc
c
olur. Eşitlikteki c sabit sayısı sadeleştirildiğinde,
2
1 n
n
n a b
bağıntısı elde edilir.n 2 için işleme devam edildiğinde,
2 0
b a
eşitliği bulunur. Bu eşitliğin kökü olan ,
2 0
b ax
x (1.4)
karakteristik denkleminin de kökü olmalıdır. (1.4) eşitliğinin kökleri, (1.2) tekrarlı bağıntısının karakteristik kökleri olarak isimlendirilir. Sıradaki teorem, k. mertebeden sabit katsayılı, lineer, homojen tekrarlı bağıntıların çözülmesinde, karakteristik köklerin nasıl yardımcı olacağını göstermektedir. Bu konuyla ilgili daha geniş açıklama için, Koshy [1] ve Mauldin [22] kaynaklarına bakılabilir.
Teorem 1.2.1: ve , x2 ax b 0 denkleminin farklı kökleri, a,b R ve 0
b olsun. Bu durumda, k.mertebeden sabit katsayılı, lineer, homojen tekrarlı bağıntısının,
2
1 n
n
n aa ba
a
1 1 0
0 c ,a c
a
için her çözümü, A ve B sabitler olmak üzere,
n n
n A B
a
biçiminde ifade edilebilir.
İspat: İspat iki aşamalıdır:
1) an A n B n ifadesinin, her sabit A ve B değeri için, tekrarlı bağıntının bir çözümü olduğunun gösterilmesi,
2) Başlangıç değerlerini sağlayan A ve B değerlerinin bulunması.
İlk olarak ve , (1.4) karakteristik denklemini sağlayan değerler olduğundan,
b
2 a
b
2 a
biçiminde yazılabilir. İşlemler sırayla uygulandığında;
1) an A n B n ifadesinin, tekrarlı bağıntının bir çözümü olduğunu göstermek için, (1.2) denkleminde,
1 - 1 - 1
-
n n
n A B
a
2 - 2 - 2
-
n n
n A B
a
eşitlikleri yazılarak,
) (
)
( -1 -1 -2 -2
2 - 1 -
n n
n n
n
n ba a A B b A B
aa
ifadesi elde edilir ve işlem yapılarak, A ve B parantezlerine alındığında,
) ( )
( -2
2 - 2
1
- ba A a b B a b
aan n n n
olur. 2 a b ve 2 a b olduğundan,
n n n
n ba A B
aa -1 -2
elde edilir. Sonuç olarak, an A n B n, (1.2) tekrarlı bağıntısının bir çözümüdür.
2) an A n B n, (1.2) tekrarlı bağıntısının çözümü olduğundan dolayı, A ve B değerlerinin bulunabilmesi için başlangıç değerlerinin kullanılması yeterlidir.
Başlangıç değerlerinin, yani a0 c0,a1 c1 değerlerinin,an A n B n formunda yazılabilmesi için sırayla n 0 ve n 1değerleri yazıldığında,
c B A
c0 , c1 A B
olur. Denklem sistemi çözülerek, A ve B değerleri, ≠ için,
- c - 0 c1
A ,
- c - 1 c0
B
elde edilir. A ve B değerleri için an, başlangıç şartları ve tekrarlı bağıntıyı sağlar.
Başlangıç şartları ve tekrarlı bağıntı, {an} dizisini sağladığı için, gerçekten de
n n
n A B
a , tekrarlı bağıntının tek çözümüdür.
Örnek 1.2.1:an 7an 1 12an 2 tekrarlı bağıntısı, a0 4 ve a1 15 başlangıç şartları için incelenirse, iki aşamalı çözümden yararlanılarak,
1) Tekrarlı bağıntının genel çözümünün bulunabilmesi için, ilk olarak karakteristik eşitlik yazılır. Tekrarlı bağıntının karakteristik eşitliği,
0 12
2 7 x
x
dır. Karakteristik kökler ise, 3 ve 4 olur. Bunun için tekrarlı bağıntının genel çözümü,
n n
n A B
a 3 4
olur.
2) A ve B nin değerlerinin bulunabilmesi için başlangıç şartları kullanılarak,
0 A B 4
a
15 4
1 3A B
a
biçiminde yazıldığında, A 1 ve B 3 değerleri elde edilir. Bunun için genel çözüm ifadesi,
n n
an 3 3.4
olur. Aynı yöntem Örnek 1.2.2 de olduğu gibi, n. Fibonacci sayısının bulunması için kullanılabilir.
Örnek 1.2.2: Fibonacci tekrarlı bağıntısı ve başlangıç şartları,
2
1 n
n
n F F
F
1 , 0 1
0 F
F
kullanılarak karakteristik eşitlik olan,
0
2 1 x x
denklemi elde edilir ve bu karakteristik eşitliğin kökleri,
2 5
1 ,
2 5 - 1
olur. Fn A n B n, genel çözümdür. İkinci aşamada ise A ve B değerlerini bulmak için n 1 ve n 2, genel çözüm ifadesinde yerine yazılarak,
1 A B 1
F
2 1
2
2 A B
F
eşitlikleri elde edilir. Denklem sistemi çözülerek ve değerleri yerine yazıldığında,
5 1
2 5 5
2 5 1
1 2
A
bulunur ve aynı biçimde,
5 1
2 5 5
2 5 1
1 2
B
olur. Bulunan A ve B değerleri, genel çözümde yerine yazıldığında, 5eşitliği de kullanılarak,
n n n
Fn
5 - n
olur. Veya ve değerleri yerlerine yazıldığında,
] 2 )
5 (1 2 )
5 [(1 5
1 n n
Fn
çözümü elde edilir. Bu genel çözüm, aynı zamanda Binet Formülü olarak bilinir.
Aynı genel çözüm, Pell sayıları için de bulunabilir. Pell bağıntısı ve başlangıç şartları,
2
2 n 1 n
n P P
P
1 , 0 1
0 P
P
yazılarak, ilk aşamada karakteristik eşitlik olan,
0 1
2 2 x x
elde edilir ve karakteristik eşitliğin kökleri,
2 1 , 2 1
olur. Pn A n B n, genel çözümdür. İkinci aşamada ise, A ve B değerlerini bulmak için, n 0 ve n 1, genel çözüm ifadesinde yerine yazılarak,
0 A B 0
P
1 A B 1
P
eşitlikleri elde edilir. Denklem sistemi çözülerek, ve değerleri yerlerine yazıldığında,
2 2 A 1 ,
2 2 B 1
olarak bulunur. A ve B değerleri genel çözüm ifadesinde yerine yazılarak ve işlemler düzenlenerek,
] ) 2 1 ( ) 2 1 [(
2 2
1 n n
Pn
genel çözümü elde edilir.
1.3. Fibonacci Sayıları ve Binet Formülü
Fibonacci tekrarlı bağıntısı,
) 2 ( ) 1 ( )
(n F n F n
F 1
) 1 ( , 0 ) 0
( F
F
başlangıç şartlarıyla yazıldığında, tekrarlı bağıntıda eşitliğin her iki tarafı F(n 1) ile bölünerek,
) 2 (
) 1 ( 1 1 ) 1 (
) (
n F
n n F
F n
F (1.5)
biçiminde yazılabilir. n şartı için, (1.5) ifadesi ikinci dereceden denkleme indirgenerek,
0
2 1 x
x (1.6)
elde edilir. (1.6) denkleminin iki tane kökü vardır,
2 5 1
x1 , (pozitif kök)
2 5 1 1
x2 , (negatif kök)
Pozitif köke eşit olan sayısı, aynı zamanda altın oran olarak adlandırılır ve (1.6) denkleminin köklerinden biri olduğundan bu denklemi sağlaması gerekir ve
2 1
(1.7)
olarak yazılabilir. (1.7) denklemi kullanılıp, eşitliğin her iki tarafı ile çarpılarak kuvvet artırma işlemi yapılır ve elde edilen denklemlerin katsayıları, Fibonacci sayıları kullanılarak yazılırsa,
) 1 ( )
2 (
2 1
F F
) 2 ( )
3 ( 1 2
2 1
3 F F
) 3 ( )
4 ( 2 3 1 1
2 2
3
4 F F
) 4 ( )
5 ( 3 5 1 2 2
3 3
4
5 F F
ve n. kuvvete kadar işlem devam ettirilirse, son aşamada,
) 1 ( )
2 (
1 n F n F n
n
n (1.8)
bağıntısı elde edilir. (1.6) denkleminin diğer kökü olan 1- değeri de (1.8) bağıntısını sağlamalıdır;
) 1 ( ) 1 )(
( )
1 ( ) 1 ( ) 1
( n n 1 n 2 F n F n (1.9)
Şimdi, (1.8) ve (1.9) bağıntıları taraf tarafa çıkartılırsa,
) 1 ( )
(n F n
n F
) 1 ( ) 1 )(
( )
1
( n F n F n
) 1 )(
( )
( ) 1
( n F n F n
n
buradan da,
) 1 2 )(
( ) 1
( n F n
n
olur. F(n) yalnız bırakılarak işlem devam ettirilirse,
) 1 2 (
) 1 ) (
(
n n
n
F
5 ) 1 2
( olduğundan,
n n
n F
5 ) 1 ) (
(
olur. Son olarak ve (1 ) değerleri bağıntıda yerine yazıldığında,
] 2 )
5 (1 2 )
5 [(1 5 ) 1
(n n n
F
Binet Formülü elde edilir. Daha geniş bilgi için Nalty [24] kaynağına bakınız.
2.1. m. mertebeden Genelleştirilmiş Fibonacci Sayıları
Fibonacci tekrarlı bağıntısında bilindiği gibi, her sayı kendisinden önceki iki sayının toplamına eşittir. Eğer her sayı, kendisinden önceki sayının m katıyla bir önceki sayının toplamına eşit oluyorsa, bu sayılara da m. mertebeden Fibonacci sayıları denir. Fm simgesiyle ifade edilirler ve m R için,
) ( ) 1 ( )
2
(n mF n F n
Fm m m (2.1)
Gazale [4] de ifade edilen tekrarlı bağıntıyla yazılırlar. Başlangıç değerleri, Fibonacci sayılarında olduğu gibidir:
1 ) 1 ( , 0 ) 0
( m
m F
F
(2.1) eşitliğinde m 1 için Fibonacci sayıları ve m 2 için ise Pell sayıları için tekrarlı bağıntılar elde edilir;
) ( ) 1 ( ) 2
(n F n F n
F (Fibonacci tekrarlı bağıntısı)
) ( ) 1 ( 2 ) 2
(n P n P n
P (Pell tekrarlı bağıntısı)
2.2. m. mertebeden Fibonacci Sayıları ve Gazale Formülleri
m. mertebeden Fibonacci tekrarlı bağıntısını ifade eden (2.1) bağıntısı kullanılarak, Stakhov [18] de ifade edildiği gibi ikinci dereceden karakteristik denklem elde edilebilir. İlk olarak, (2.1) denkleminde, eşitliğin her iki tarafı Fm(n 1) ile bölünürse;
) (
) 1 (
1 )
1 (
) 2 (
n F
n m F
n F
n F
m m m
m (2.2)
ifadesi bulunur.n şartı için (2.2) eşitliği ikinci dereceden bir denkleme indirgenerek,
0
2 1 mx
x (2.3)
karakteristik denklemi elde edilir. (2.3) denkleminin,
2
2 4
1
m
x m , (pozitif kök)
2
2 4
2
m
x m , (negatif kök)
olmak üzere iki kökü vardır. (2.3) denkleminin kökleri arasında var olan birkaç özellik, ileride kullanılmak üzere yazılırsa,
m x
x1 2 , x1x2 1, x1 x2 m2 4
olur. (2.3) denkleminin pozitif kökü olan x , aynı zamanda m. mertebeden altın oran 1 olarak adlandırılır ve msimgesiyle gösterilir. Bu durumda,
x1 m,
m
x 1
2
olacaktır. m kullanılarak birkaç bağıntı elde edilebilir. (2.3) denkleminde x yerine
m yazılırsa,
m
m 1 m
2 (2.4)
biçiminde olur. (2.4) eşitliğinde, her iki tarafının kökü alınarak ve ortaya çıkan
mdeğerlerinin yerine köklü eşiti yazılarak işleme devam edildiğinde,
m
m 1 m
m
m 1 m 1 m
m
m 1 m 1 m 1 m
1 1
1
1 m m m
m
sonsuza giden bir köklü ifade bulunur. Aynı şekilde (2.4) eşitliğinden,
m
m m 1
(2.5)
eşitliği yazılabilir. (2.5) eşitliğinde, paydada ortaya çıkan mdeğerlerinin yerine, m türünden eşitleri yazılarak ve bu işleme devam edilerek,
1 1 1 1
m m m
m m
sürekli kesir ifadesi elde edilir. Görüldüğü gibi, m. mertebeden altın oran olan m, m cinsinden farklı bağıntılarla ifade edilebilir. m kullanılarak, Fm(n) tekrarlı bağıntısının x ve 1 x cinsinden genel çözümü bulunabilir. Bunun için sabit katsayılı 2 genel çözüm ifadesi, k1,k2 Rolmak üzere,
n n
m n k x k x
F ( ) 1 1 2 2 (2.6)
biçiminde yazılabilir. Burada kullanılan k ve 1 k sayılarının, başlangıç koşulları olan 2 1
) 1 ( , 0 ) 0
( m
m F
F için de geçerli olması gerekir. Bu değerler kullanılarak k1 vek 2 sayılarının bulunabilmesi için,
0 )
0
( k1x10 k2x20 k1 k2
Fm ,
1 1 )
1
( 1 11 2 12 1 2
m m
m k x k x k k
F
yazılır. Bu eşitlikler düzenlendiğinde,
2
1 k
k ve 1 )
1 (
1 1
1
m m m
m k k
k olur.
4 1 )
( x1 x2 m2
m m
olduğundan,
4 1
1 2
m
k ,
4 1
2 2
m k
biçiminde yazılır. Bulunan k ve1 k değerleri, (2.6) denkleminde yerine yazıldığında; 2
n n
m x
m x
m n
F 2
1 2
2 4
1 4
) 1
(
olur. x1 ve x2 değerleri yerlerine yazıldığında;
] 2 )
( 4 2 )
[( 4 4 ) 1
(
2 2
2
n n
m
m m m
m m
n
F (2.7)
veya m. mertebeden altın oran olan m kullanılarak,
] 1) ( ) [(
4 ) 1
(
2
n m n
m
m m
n F
4 ) ( ) 1 ( ) ) (
( 2
m n
F
n m n n
m m
biçiminde yazılabilir. m. mertebeden genel Fibonacci bağıntısı (2.7), Gazale formülü olarak adlandırılır. Gazale formülünde, m=1 için işlem yapıldığında, Binet Formülü;
] 1) ( ) [(
5 ) 1
(n n n
F
elde edilir. Tablo 2.1 de görüldüğü gibi, farklı mertebelere göre farklı değerler ve oranlar bulunabilir.
Tablo 2.1 m. mertebeden farklı değerler ve oranlar
Fibonacci sayılarına benzer şekilde m. mertebeden Fibonacci sayıları için,
) ( ) 1 ( )
(n 1F n
Fm n m
eşitliği geçerlidir. Örneğin m 2 ve n 2 için,
2 ) 2 ( ) 1 ( ) 2
( 3 2
2 F
F mn
m -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2 5
1 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5
2 1+ 2 29 -12 5 -2 1 0 1 2 5 12 29
3 2
7
3 19 -5 3 4 - 3 1 0 1 3 4 5 3 19
2 1
2 4 -
2 2 5
2 3 -
2
1 1 0 1
2 1
2 3
2 2
5 4
olur. Daha ayrıntılı bilgi için Olsen [23] ve Vera [5] kaynaklarına bakılabilir.
2.3. -m. mertebeden Fibonacci Sayıları ve Gazale Formülleri
(-m). mertebeden Fibonacci sayılarını bulmak için yeni bir tekrarlı bağıntı oluşturulur ve bu sayılar pozitif mertebelilerden farklı olarak Fm simgesiyle ifade edilirse, m R için,
) ( ) 1 ( ) ( ) 2
(n m F n F n
Fm m m (2.8)
biçiminde yazılabilir. Başlangıç değerleri, Fibonacci sayılarında olduğu gibidir,
1 ) 1 ( , 0 ) 0
( m
m F
F
(2.8) tekrarlı bağıntısının her iki tarafı F m(n 1) ile bölündüğünde,
) (
) 1 ( ) 1 ) (
1 (
) 2 (
n F
n m F
n F
n F
m m m
m
olarak yazılabilir. n için x
n F
n F
m m
) 1 (
) 2
( alınırsa, yukarıdaki (2.8) eşitliği,
m x
x 1
) (
olur. Eşitliğin her iki tarafı x ile çarpılıp düzenlendiğinde,
0
2 1 mx
x (2.9)
ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin,
2 ) ( 4 2
4 2
2
1
m m m
x m , (pozitif kök)
2 ) ( 4 2
4 2
2
2
m m m
x m , (negatif kök)
olmak üzere iki kökü vardır. (2.9) denkleminin kökleri arasında,
m x
x1 2 , x1x2 1
eşitlikleri vardır. (2.9) ikinci dereceden denkleminin kökleri olan x ve 1 x , altın oran 2 yani m cinsinden yazılırsa,
m
m
x m 1
2 ) ( 4
2
1 ,
m
m
x m )
2 ( 4
2
2
olur. Şimdi x ve 1 x kökleri için genelleştirilmiş çözüm ifadesine bakılırsa, 2 R
k
k1, 2 için,
n n
m n k x k x
F ( ) 1 1 2 2 (2.10)
olarak yazılabilir. (2.10) bağıntısında kullanılan k ve 1 k sabit sayılarının, başlangıç 2 koşulları olan, Fm(0) 0,F m(1) 1 için de geçerli olması gerekir. Bu değerler kullanılarak k ve 1 k sayıları bulunabilir, 2
0 )
0
( k1x10 k2x20 k1 k2
Fm ,
1 ) 1 (
) 1
( 1 11 2 12 1 2 m
m
m k x k x k k
F
Bu eşitlikler düzenlediğinde,
2
1 k
k ,
1 1 ) 1 (
1 1
1
m m m
m
k k
k
olur. 1 )
(
m
m ifadesi kullanılarak k ve 1 k sayıları m cinsinden bulunduğunda, 2
2 4
) 4 (
2 ) 4
( 1 2
2 2
2
1 m m m m m
x x
m
m
olur ve buradan da,
4 , 1
4 2 2
1 2
m k
m k
elde edilir. Son aşamada, bulunan k ve 1 k değerleri, (2.10) da yazıldığında, 2
n n
m x
m x
m n
F 2
1 2
2 4
1 4
) 1
( ,
) (
4 ) 1
( 1 2
2
n n
m x x
m n
F (2.11)
olur.x ve1 x değerleri (2.11) ifadesinde yazıldığında, 2
] 2 )
( 4 2 )
[( 4 4 ) 1
(
2 2
2
n n
m
m m m
m m
n
F (2.12)
biçiminde (-m). mertebeden Fibonacci sayıları için Gazale formülü bulunur. Eğer (2.11) bağıntısında, x ve1 x değerlerinin yerine, 2 m cinsinden değerleri yazılırsa,
] ) ( 1 ) [(
4 ) 1
(
2
n m n
m
m m
n F
olup, gerekli düzenlemeler yapıldığında,
] 1 ) ( ) [(
4 ) 1
(
2
n m n m
m m
n F
4 )
1 ) (
( 2
m n
F
n m n m n
m
elde edilir. (-m). mertebeden Fibonacci sayıları ve (-m). mertebeden Gazale formülü karşılaştırılırsa, (2.8) tekrarlı bağıntısında m 1 için eşitlik,
) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2
( 1 1
1 n F n F n
F
1 ) 1 ( , 0 ) 0
( 1
1 F
F
olur. n 0 değeri kullanıldığında,
1 ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2
( 1 1
1 F F
F
bulunur. Bu defa m 1 ve n 0 değerleri, bulunan (-m). mertebeden Gazale formülünde yerine yazıldığında,
] ) 5 1 ( 2 2 )
1 [( 5 4 ) 1 ) (
2
( 2 2
2 1 2
1 m
F
4 )]
5 2 (6 4 )
5 2 [(6 5
) 1 ) ( 2
1( F
1 4 )]
5 [(4 5
) 1 ) ( 2
1( F
bulunur. Görüldüğü gibi her iki bağıntıyla da aynı sonuçlar bulunmuş olur.
Teorem 2.3.1 : m
m m
n F n
n F
) 1 (
) 2
lim ( dir.
İspat:
4 )
1 ) (
2
( 2
2 2
2
m n
F
n m n
m n
m ,
4 )
1 ) (
1
( 2
1 1
1
m n
F
n m n
m n
m olduğundan,
1 1
1
2 2
2
) 1 (
) 1 lim (
) 1 (
) 2 lim (
n m n
m n
n m n
m n n
m m
n F n
n F
biçiminde yazılabilir. İşlem yapıldığında,
1 1
1
2 2
2
) 1 1 (
) 1 1 ( ) lim
1 (
) 2 lim (
n m n
m n
n m n
m n
n m
m
n F n
n F
m m
m n
m m
n F n
n F
1
) 2
1 lim (
) 1 (
) 2 lim (
eşitliği elde edilir.
Tanım 2.3.1: -m. mertebeden altın oran, m olarak ifade edildiğinde,
m m
m
n F n
n F
) 1 (
) 2
lim ( olduğundan dolayı,
m m
eşitliği vardır. -m. mertebeden genel çözümle ilgili birkaç değer ve eşitlik, Tablo 2.2 de gösterilmiştir.
Tablo 2.2 –m. mertebeden farklı değerler ve oranlar
Teorem 2.3.2 : F m(n) ( 1)n 1Fm( n) dir.
İspat:
4 )
1 ) (
( 2
m n
F
n m n m n
m olduğundan,
4 ) 1 ( )
1 ) (
( )
1
( 2
1 1
1
m n
F
n m n n
m m
n
) ( 4
) 1 ) (
( )
1
( 2
1 F n
m n
F m
n m n m n m
n
eşitliği elde edilir.
Örnek 2.3.2 : m 2 ve n 3 için Fm(n) ( 1)n 1F m( n) eşitliği incelendiğinde,
5 ) 3 ( ) 1 ( ) 3
( 4 2
2 F
F olur.
Teorem 2.3.3: Fm( n) Fm(n) dir.
İspat:
4 )
1 ) (
( 2
m n
F
n m n m n
m olduğundan,
4 )
1 ) (
( 2
m n
F
n m n m n m
mn m -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2 5
1 5 3 2 1 1 0 1 -1 2 - 3 5
2 - 2 -1 29 12 5 2 1 0 1 -2 5 -12 29
3
2 7
3 19 5 3 4 3 1 0 1 - 3 4 -5 3 19
2
1 - 2 4
2 2 5
2
1 1 0 1 -
2 1
- 2 2
5 4
4 ) 1 ) (
( 2
m n
F
n m n n
m m
eşitlikte pay ( 1)2n ile çarpılırsa,
4 ) 1 ) (
( 2
m n
F
n m n n
m m
elde edilir. Buradan da,
4 ) 1 ) (
( 2
m n
F
n m n n
m
m =Fm(n)
eşitliği bulunur.
Örnek 2.3.3: m 2 ve n 3 için, Fm( n) Fm(n) eşitliği incelendiğinde,
5 ) 3 ( ) 3
( 2
2 F
F olur.
2.4. m mertebeden Fibonacci Sayıları ve Gazale Formülleri .
m
- . mertebeden tekrarlı bağıntıyı oluşturabilmek için m. mertebeden tekrarlı bağıntılarda kullanılan gösterim uygulanabilir. Bu sayılar F m simgesiyle ifade edilirse, m Z için,
) ( )
1 ( )
2
(n mF n F n
F m m m
(2.13)F m(0) 0,F m(1) 1
biçiminde oluşturulabilir. Eşitliğin her iki tarafı F m(n 1) ile bölündüğünde ve düzenleme yapıldığında,
) 1 (
) 2 (
n F
n F
m
m = m +
) (
) 1 ( 1
n F
n F
m m
(2.14)
elde edilir. m>4 ven için, x n
F n F
m m
) 1 (
) 2
( alındığında, (2.14) eşitliği
yardımıyla,
0
2 1
x m
x (2.15)
ikinci dereceden karakteristik denklemi elde edilir. Bu denklemin:
2
) 4 (
2 4 2
4
1
m m i i m i m m
x m ,
2
) 4 (
2 4 2
4
2
m m i i m i m m
x m
olmak üzere iki tane karmaşık kökü vardır. (2.15) denkleminin kökleri arasında,
m x
x x
x1 2 1, 1 2
eşitlikleri geçerlidir. Ayrıca, elde edilen x ve1 x kökleri için,2 m . mertebeye göre altın oran, Teorem 2.4.1 den dolayı m biçiminde tanımlanarak,
x1 m,
m
x 1
2
yazılabilir. m ifadesi aynı zamanda (2.15) denkleminin köklerinden biri olduğundan ve
2 1
m
m m (2.16) yazılarak eşitliğin her iki tarafının karekökü alınıp, m yerine yazıldığında,
m
m 1 m
m
m 1 m 1 m
m m
m 1 m 1 1
biçiminde, sonsuza giden bir köklü ifade elde edilebilir. Bu defa yine (2.16) eşitliği kullanılarak,
m
m m 1
bağıntısı yardımıyla, aynı şekilde paydada elde edilen her m yerine yazıldığında,
m m
m
m 1
1
1 1 1
m m
m m
gibi sonsuza giden bir sürekli kesir elde edilir. x1 ve x2 kökleri için genel çözüm bulunmak istenirse, k1,k2 Colmak üzere,
n n
m n k x k x
F ( ) 1 1 2 2 (2.17)
olarak yazılabilir. (2.17) de kullanılan k1, k2 sayılarının başlangıç koşulları olan 1
) 1 ( , 0 ) 0
( m
m F
F için de geçerli olması gerekir. Bu değerler kullanılarak
2 1, k
k sayıları bulunabilir:
0 )
0
( k1x10 k2x02 k1 k2
F m
1 )
1
( k1x11 k2x12 k1x1 k2x2 F m
Bu eşitlikler kullanılarak,
1 ) ( 1 2
1 x x
k
1 ) 4 (
2 ) 4 (
2 ) 4
( ( 1
1 i m m i m m k m i
k
olup m 4 için tanımlı,
i k m
4 1
1 ,
i k m
4 1
2
elde edilir. Son olarak bulunan k1 ve k değerleri, (2.17) de yerine yazıldığında, 2
) 4 (
) 1
( 1n 2n
m x x
i n m
F
] 2 )
4 ( (
2 ) 4 [( (
4 ) 1
( n n
m
m m i m
m i i m n
F (2.18)
m
- . mertebeden karmaşık sayı mertebeli Gazale formülü bulunur. mcinsinden eşitlik yazıldığında;
] 1 ) ( ) [(
4 ) 1
( n
m n
m
m n m i
F
i n
F
n m n n
m
m m-4
) 1 ) (
(
