Fibonacci ve Lucas sayıları

FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

FĐBONACCĐ VE LUCAS SAYILARI

YÜKSEK LĐSANS TEZĐ

Zafer YOSMA

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATĐK

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Refik KESKĐN

Haziran 2008

ii

ÖNSÖZ

Bu çalışmanın her aşamasında ilgi, teşvik ve yardımlarını esirgemeyen danışmanım Sayın Doç. Dr. Refik KESKĐN’e teşekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim. Ayrıca Arş. Gör. Bahar DEMĐRTÜRK’e, fikir ve düşüncelerini paylaştığı için teşekkür ederim.

Zafer YOSMA

iii

ĐÇĐNDEKĐLER

ÖNSÖZ…... ii

ĐÇĐNDEKĐLER ... iii

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ... v

TABLOLAR LĐSTESĐ ……….. vi

ÖZET... vii

SUMMARY... viii

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ... 1

1.1. Temel Tanımlar ve Teoremler ………. 1

BÖLÜM 2. FĐBONACCĐ SAYILARI………... 3

2.1. Tavşan Problemi... 3

2.2. Rekürans Bağıntısı…... 4

2.3. Fibonacci Sayılarının Basit Özellikleri... 5

2.4. Fibonacci Sayılarının Bölünebilme Özellikleri... 8

2.5. Binet Formülü... 15

BÖLÜM 3. LUCAS SAYILARI………...… 21

3.1. F_−n ve L_−n Sayıları... 37

BÖLÜM 4. FĐBONACCĐ MATRĐSLERĐ………...………... 44

4.1. Karakteristik Denklem... 46

iv BÖLÜM 5.

FĐBONACCĐ SERĐLERĐ………... 51

BÖLÜM 6.

SONUÇLAR VE ÖNERĐLER ……….. 65

KAYNAKLAR……….. 66

ÖZGEÇMĐŞ……….……….. 67

v

SĐMGELER VE KISALTMALAR LĐSTESĐ

|

a b : a, b yi böler.

|

a b/ : a, b yi bölmez.

∏

: Çarpım sembolü

∑

: Toplam sembolü

( , )a b : a ile b nin ortak böleni (mod )

a≡b m : a nın m ile bölümünden kalan b dir.

vi

TABLOLAR LĐSTESĐ

Tablo 2.1.1. Aylara göre tavşan çiftlerinin sayıları ... 2

vii

ÖZET

Anahtar kelimeler: Fibonacci sayıları,Lucas sayıları,Binet formülü.

Bu çalışmada Fibonacci ve Lucas Sayıları’nın genel özellikleri incelendi. Birinci bölümde konuyla ilgili temel tanımlar ve teoremler verildi. Đkinci bölümde Fibonacci Sayıları’nın rekürans bağıntısı ile birlikte bölünebilme özellikleri ele alındı. Ayrıca Binet Formülü ve Lucas Sayıları ile ilgili bazı teoremler verildi. Üçüncü bölümde bazı Fibonacci Matrisleri’nden bahsedildi. Son bölümde ise Fibonacci ve Lucas Serileri ele alındı.

viii

FĐBONACCĐ AND LUCAS NUMBERS

SUMMARY

Key Words: Fibonacci numbers, Lucas numbers, Binet’s formula

In this thesis, the general proporties of Fibonacci and Lucas numbers are examined.

Fundamental definitions and theorems concerning with the subject are given in the first chapter. Second chapter is devoted to the divisibility proporties of the Fibonacci numbers. In the third chapter, Binet’s Formula and some theorems related to the Lucas numbers are given. In the fourth chapter, Fibonacci and Lucas matrices are mentioned. Lastly, Fibonacci and Lucas series are investigated in the fifth chapter.

BÖLÜM 1. GĐRĐŞ

1.1. Temel Tanımlar ve Teoremler

Bu bölümde, diğer bölümlerde kullanacağımız temel tanımlar ve toremler verilecektir.

Birinci tümevarım ilkesi: Her n doğal sayısı için ( )P n bir önerme olsun.

)

a (1)P doğru olsun.

)

b ( )P n doğru iken (P n+1) de doğru olsun.

Bu taktirde her n için ( )P n doğrudur.

Đkinci tümevarım ilkesi: Her n doğal sayısı için ( )P n bir önerme olsun.

)

a (1)P doğru olsun.

)

b 1≤ ≤k n olmak üzere ( )P k doğru iken (P n+1) de doğru olsun.

Bu taktirde her n için ( )P n doğrudur.

Tanım 1.1: p>2 bir asal sayı ve p a/| olsun. a p

 

 

  sembolüne Legendre Sembolü denir ve

2

2

1 (mod )

1 (mod )

x a p nin çözümü vardır a

p x a p nin çözümü yoktur

 ≡

  

=

 

− ≡

   olarak tanımlanır.

Teorem 1.1.1: (Quadratic Reciprocity Teoremi) p ve q birbirinden farklı tek asal sayılar iseler

1 1

2 2

( 1)

p q

p q q p

− −

  

  

  

   

   = −

    ^dir.

Teorem 1.1.2: p>2 bir asal sayı olsun. p a| ²+1 olacak biçimde bir a tamsayısı varsa p≡1(mod 4) dir.

Teorem 1.1.3: (Fermat Teoremi) p bir asal sayı ve p a/| ise a^p−1 ≡1(mod )p dir.

Teorem 1.1.4: p bir asal sayı olmak üzere p≡3(mod 4), p a| ²+b² ise p a| ve

| p b dir.

BÖLÜM 2. FĐBONACCĐ SAYILARI

Tanım 2.1: Her bir terimi, kendinden önceki iki terimin toplamı olan 1,1, 2, 3, 5,8,13, 21, 34, 55.. sayılarının dizisi Fibonacci Dizisi olarak bilinir. Bu sayıların her birine Fibonacci Sayıları denir ve n. Fibonacci Sayısı F ile gösterilir. _n Bu sayı dizisi aşağıdaki tavşan probleminden ortaya çıkmıştır.

2.1. Tavşan Problemi

Biri dişi, biri erkek olan yeni doğmuş iki tavşan olduğunu farzedelim;

1) Her çiftin olgun olması için bir ayın aldığı,

2) 2. aydan sonra, her çiftin, her ay bir çift doğurduğu, 3) Yıl boyunca hiçbir tavşanın ölmediği,

şartları altında bir yılda doğan tavşan çiftlerinin sayısını bulalım.

Đlk tavşan çiftinin 1 Ocak’ta doğduğunu farzedelim. Bu ilk tavşan çiftinin olgunlaşması bir ay alır. Bu yüzden1 Şubat’ta, hâlâ, yalnız bir çift vardır. 1 Mart’ta bu tavşan çifti iki aylıktır. Ve yeni bir çift doğururlar. Toplamda iki çift olur. Bu şekilde devam ederek, 1 Nisan’da 3 çift olacak, 1 Mayıs’ta 5 çift olacak ve böylece şu tablo oluşacaktır:

Tablo 2.1.1 Aylara göre tavşan çiftlerinin sayıları.

Çiftlerin Sayısı

Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran Temmuz Ağustos

Bebekler 1 0 1 1 2 3 5 8

Yetişkinler 0 1 1 2 3 5 8 13

Toplam 1 1 2 3 5 8 13 21

2.2. Rekürans Belirleme

1 2 1

F =F = (Başlangıç Koşulları)

3

n≥ ise F_n =F_n−1+F_n−2 (Rekürans Bağıntısı)

Tablo 2.1.1; yetişkin çiftler, bebek çiftler ve toplam çiftler arasında birkaç ilginç bağıntı olduğunu gösterir. Bu bağıntıları görmek için, n. aydaki yetişkin çiftlerin sayısını A , bebek çiftlerin sayısını ise _n B ile gösterelim. Burada _n n≥1 dir. Açık olarak;

1 0

A = ^ve A2 = =1 B1

dir.

3

n≥ olduğunu varsayalım:

n. aydaki her yetişkin çift, yeni (bebek) bir çift doğuracağı için, n. aydaki bebek çiftlerinsayısı, bundan önceki yetişkin çiftlerin sayısına eşittir.

. ( 1). ( 1).

n aydaki yetişkin n aydaki yetişkin n aydaki bebek çiftlerin sayısı çiftlerin sayısı çiftlerin sayısı

− −

     

= +

     

     

Yani;

1 1 3

n n n

A =A₋ +B₋ n≥

veya

A_n =A_n−1+A_n−2 n≥3 dir.

Bundan böyle A , Fibonacci Rekürans Bağıntısına karşılık gelecek. Burada _n

2 1 3

A = =A dir. Sonuç olarak,

1 1

n n

F = A₊ n≥

dir.

. . .

n aydaki çiftlerin n aydaki yetişkin n aydaki bebek toplam sayısı çiftlerin sayısı çiftlerin sayısı

     

= +

     

     

olduğuna dikkat edilmelidir. Yani;

3

n≥ için, F_n =A_n+B_n dir. Bundan böyle;

3

n≥ için, F_n =F_n−1+F_n−2

dir. Burada n=2 olduğunda F₂ = +F₁ F₀ dır. Ve F₂ = =1 F₁ olduğundan 1 1 F= + ₀ ise F₀ =0 olur.

Şimdi bu bağıntı kullanılarak Fibonacci Sayılarıyla ilgili özellikler gösterilecektir.

2.3. Fibonacci Sayılarının Basit Özellikleri

Teorem 2.1.1: ₂

1

1

n

k n

k

F F₊

=

= −

∑

^dir.

Đspat: Tümevarımla ispatlayalım;

1

n= için F₁=F₃−1, F₁ =1 ^ve F3=2 olduğundan iddia doğrudur.

n için ₂

1

1

n

k n

k

F F₊

=

= −

∑

eşitliği doğru olsun.

1

1 2 1 3

1 1

1 1

n n

k k n n n n

k k

F F F F F F

+

+ + + +

= =

= + = + − = −

∑ ∑

^bulunur.

Dolayısıyla n+1için de iddia doğru olduğundan ispat tamamlanır.

Teorem 2.1.2: _{2 1 2}

1 n

k n

k

F ₋ F

=

∑

= ^dir.

Đspat: n=1 için F₁ =F₂ bulunur. Dolayısıyla iddia doğrudur.

n için _{2 1 2}

1 n

k n

k

F ₋ F

=

∑

= ^olsun.

1

2 1 2 1 2( 1) 1 2 2 1 2 2

1 1

n n

k k n n n n

k k

F F F F F F

+

− − + − + +

= =

= + = + =

∑ ∑

olduğundan ispat tamamlanır.

Teorem 2.1.3: _{2 2 1}

1

1

n

k n

k

F F ₊

=

= −

∑

^dir.

Đspat: n=1için F₂ =F₃−1 dir. F₂ =1 ^ve F3 =2 olduğundan iddia doğrudur.

n için _{2 2 1}

1

1

n

k n

k

F F ₊

=

= −

∑

^olsun.

1

2 2 2 2 2 1 2 2 2 3

1 1

1 1

n n

k k n n n n

k k

F F F F F F

+

+ + + +

= =

= + = + − = −

∑ ∑

olduğundan ispat tamamlanır.

Teorem 2.1.4: ² ₁

1 n

k n n

k

F F F₊

=

∑

= ^dir.

Đspat: n=1 için F₁² =F F_{1 2} =1 olduğundan iddia doğrudur.

n için ² ₁

1 n

k n n

k

F F F₊

=

∑

= ^olsun.

1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2

1 1

( )

n n

k k n n n n n n n n n

k k

F F F F F F F F F F F

+

+ + + + + + +

= =

= + = + = + =

∑ ∑

olduğundan ispat

tamamlanır.

Teorem 2.1.5: 1 1 A 1 0

= 

  ise ¹

1

n n

n

n n

F F

A F F

+

−

 

= 

  ^dir.

Đspat: Tümevarım uygulanırsa;

1

n= için ^{2 1}

1 0

1 1 1 0

F F

A F F

 

 

= = 

    ^dir.

n için ¹

1

n n

n

n n

F F

A F F

+

−

 

= 

  olsun. Bu durumda,

1 1 1 2 1

1

1 1 1

1 1 1 0

n n n n n n n n

n n

n n n n n n

F F F F F F F F

A AA

F F F F F F

+ + − + +

+

− + +

+ +

     

 

= =   =  = 

      

olduğundan her n doğal sayısı için ¹

1

n n

n

n n

F F

A F F

+

−

 

= 

  ^dir.

Sonuç 2.1.1: (Cassini Formülü) n≥1 için F F_{n−1 n+1}−F_n² = −( 1)^{n dir.}

Đspat: Teorem 2.1.5’e göre 1 1 A 1 0

= 

  ise det( )A = −1 dir. Ayrıca

1 1

( 1)ⁿ (det )ⁿ det( ⁿ) ^{n n}

n n

F F

A A

F F

+

−

− = = = olduğundan F F_{n−1 n+1}−F_n² = −( 1)^{n bulunur.}

Teorem 2.1.6: n≥1, m≥1 için F_{n m+} =F F_{n−1 m}+F F_{n m+1} dir.

Đspat: Teorem 2.1.5’e göre 1 1 A 1 0

= 

  ise A^{n m+} =A A^{n m} olduğundan

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

n n m m

n m

n n m m

n m n m n m n m

n m n m n m n m

F F F F

A A F F F F

F F F F F F F F

F F F F F F F F

+ +

− −

+ + + −

+ − − −

  

=  

  

+ +

 

= 

+ +

 

bulunur. Ayrıca

1

1

n m n m

n m

n m n m

F F

A F F

+ + +

+

+ + −

 

= 

 

olup buradan F_{n m+} =F F_{n−1 m}+F F_{n m+1} elde edilir.

Sonuç 2.1.2: F_2n =F_n+1²−F_n−1^{2 dir.}

Đspat: Teorem 2.1.6’da m=n alınırsa

2 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

1 1

( )

( )( )

n n n n n n n n n n

n n n n

n n

F F F F F F F F F

F F F F

F F

+ − + − +

+ − − +

+ −

= = + = +

= − +

= −

olur.

Sonuç 2.1.3: F_2n+1 =F_n+1²+F_n²

Đspat: Teorem 2.1.6’da m= +n 1 alınırsa;

2 1 1 1 2 1 1 1

2 2

1 1 1

2 2

1

( ) ( )

n n n n n n n n n n n

n n n n n n

n n

F F F F F F F F F F F

F F F F F F

F F

+ − + + + + +

+ + +

+

= + = − + +

= − + +

= +

bulunur.

Sonuç 2.1.4: F_3n =F_n+1³+F_n³−F_n−1³ dir.

Đspat: Teorem 2.1.6’da m=2n alınırsa;

3n n 1 2n n 2n 1

F =F F₋ +F F ₊

olur. Sonuç 2.1.2 ve sonuç 2.1.3’den,

2 2 2 2

3 1 1 1 1

2 3 2 3

1 1 1 1

2 3 3

1 1 1

3 3 3

1 1

( ) ( )

( )

n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n

n n n

F F F F F F F

F F F F F F

F F F F F

F F F

− + − +

− + − +

+ − −

+ −

= − + +

= − + +

= + + −

= + −

elde edilir.

2.4. Fibonacci Sayılarının Bölünebilme Özellikleri

Teorem 2.1.7: m n| ise F_m|F dir. _n

Đspat: m n| ise n=mk olacak şekilde k tamsayısı vardır. Bunun için F_m|F _km olduğunu gösterelim. k üzerinden tümevarım yöntemi uygulanırsa k=1 ise F_m|F _m dir. k için F_m|F olduğunu kabul edelim. _km

( 1) 1 1

m k mk m mk m mk m

F ₊ =F ₊ =F ₋ F +F F ₊ dir. F_m|F olduğundan _m F_m|F_mk−1F_m dir.

Hipotezden F_m|F olduğundan _mk F_m|F F_{mk m+1} dir. Dolayısıyla F_m|F_mk−1F_m+F F_{mk m+1} ve böylece F_m|F_{m k( +1)} olur. Dolayısıyla ispat tamamlanır.

Teorem 2.1.8: Ardışık herhangi iki Fibonacci Sayısı aralarında asaldır.

Đspat: F ve _n F_n+1 ardışık herhangi iki Fibonacci Sayısı ve (F F_n, _n+1)=d olsun.

Buradan d F ve | _n d F| _n+1 olur. d F ise | _n d F| _n² dir. d F| _n+1 ise d F F| _{n+1 n−1} dir.

| _n2

d F ve d F F| _{n+1 n−1} ise d F F| _{n+1 n−1}−F_n² olur. Cassini Formülü’nden d| ( 1)− ⁿ bulunur ki d >0 olduğu için d =1 elde edilir.

Teorem 2.1.9: m ve n herhangi iki tamsayı olmak üzere (F F_m, _n)=F_{( , )m n} dir.

Đspat: ( , )m n =d ve (F F_m, _n)=g olsun.

( , )m n =d ise d m| ve d n| dir. Teorem 2.1.7’den F_d |F ve _m F_d |F bulunur ki _n buradan F_d | (F F yani _m, _n) F_d |g olur. Ayrıca ( , )m n =d ise d =mx+ny olacak şekilde x ve y tamsayıları vardır. , ,d m n>0 olduğu için d =mx+ny denkleminde

0

x≤ veya y≤0 dir. Farzedelim ki x≤0 ve y >0 olsun. ( x≤0 ve y≤0 aynı anda olamaz çünkü aksi taktirde d ≤0 bulunurdu.) O zaman k ≥0 tamsayısı için

x= −k yazılabilir. O halde d =m(− +k) ny ise ny= +d mk dir. Buradan,

1 1

ny d km d km d km

F =F ₊ =F₋ F +F F ₊

bulunur. (F F_m, _n)=g olduğundan g F yani | _m g F ve dolayısıyla | _mk g F| _d−1F_mk dir.

| _n

g F ise g F ve böylece | _ny g F F| _{d km+1} dir. g F ve | _mk (F_mk,F_mk+1)=1 olduğundan ( ,g F_mk+1) 1= dir. Dolayısıyla g F dir. Böylece | _d F_d |g ve g F olduğundan | _d g=Fd, yani (F F_m, _n)=F_{( , )m n} elde edilir.

Teorem 2.1.10: m≥3 olmak üzere F_m|F_n ⇔m n| dir.

Đspat: Teorem 2.1.7’de m n iken | F_m|F olduğu gösterilmişti. Diğer taraftan _n F_m|F _n iken m n olduğunu gösterelim. Teorem 2.1.9’dan | (F F_m, _n)=F_{( , )m n} ve F_m|F ise _n

(F F_m, _n)=F_m olur. O zaman (F F_m, _n)=F_{( , )m n} =F_m olur. F_{( , )m n} =F_m ve m≥3 olduğundan ( , )m n =m olup m n bulunur. |

Sonuç 2.1.5: Eğer ( , ) 1m n = ise F F_{m n}|F dir. _mn

Đspat: Teorem 2.1.9’dan dolayı (F F_m, _n)=F_{( , )m n} = =F₁ 1 olduğu açıktır. Ayrıca

|

m mn olduğundan F_m|F olur. Benzer biçimde _mn F_n|F olur. _mn F_m|F ve _mn F_n |F _mn ise (F F_m, _n) 1= olduğundan F F_{m n}|F bulunur. _mn

Lemma 2.1.1: Eğer m≥1 ve n≥2 ise o zaman F_n²|F_mn−1−F_n−1^{m dir.}

Đspat: m üzerinden tümevarım uygulanırsa;

1 1 0

n n

F₋ −F₋ = olduğundan F_n²|F_n−1−F_n−1 dir. Dolayısıyla iddia m=1 için doğrudur.

m için F_n²|F_mn−1−F_n−1^m olduğunu kabul edelim. Yani F_mn−1 ≡F_n−1^m(modF_n²) ^olsun.

O halde F_(m+1)n−1 =F_{mn n+ −1}=F_mn−1F_n−1+F F_{mn n} dir. Hipotezden F_mn−1 ≡F_n−1^m(modF_n²) ise F_mn−1F_n−1 ≡F_n−1^m+1(modF_n²) bulunur. Ayrıca F_n|F dir. Buradan _mn F_n²|F F_{mn n} olur. Yani F F_{mn n} ≡0(modF_n²) ^dir. F_mn−1F_n−1 ≡F_n−1^m+1(modF_n²) ^ve

0(mod 2)

mn n n

F F ≡ F eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa;

1 2

1 1 1

1 2

( 1) 1 1

(mod )

(mod )

m

mn n mn n n n

m

m n n n

F F F F F F

F F F

+

− − −

+

+ − −

+ ≡

≡

elde edilir. Yani F_n²|F_(m+1)n−1−F_n−1^m+1 bulunur. Böylece iddia m+1 için de doğru olup ispat tamamlanır. Dolayısıyla her m tamsayısı için F_n²|F_mn−1−F_n−1^{m dir.}

Lemma 2.1.2: Eğer m≥1 ve n≥2 ise F_n³|F_mn−F_n+1^m+F_n−1^{m dir.}

Đspat: m üzerinden tümevarım uygulanırsa;

1 1 0

n n n

F −F₊ +F₋ = olduğundan F_n³|F_n −F_n+1+F_n−1 dir. Dolayısıyla iddia m=1 için doğrudur.

m için F_n³|F_mn−F_n+1^m+F_n−1^{m yani} F_mn ≡F_n+1^m−F_n−1^m(modF_n³) olduğunu kabul edelim. F_(m+1)n =F_{mn n+} =F_mn−1F_n+F F_{mn n+1} dir. Lemma 2.1.1 gereği F_n²|F_mn−1−F_n−1^m ise F_n³|F_mn−1F_n−F_n−1^mF_n dir. Yani F_mn−1F_n ≡F_n−1^mF_n(modF_n³) dir. Yine hipotez gereği

3

1^m 1^m(mod )

mn n n n

F ≡F₊ −F₋ F

olduğundan F F_{mn n+1}≡F_n+1^m+1−F F_{n+1 n−1}^m(modF_n³) ^dir. F_mn−1F_n ≡F_n−1^mF_n(modF_n³) ^ve

1 3

1 1^m 1 1^m(mod )

mn n n n n n

F F₊ ≡F₊ ⁺ −F F_{+ −} F eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa;

1 3

1 1 1 1 1 1

1 3

( 1) 1 1 1

1 3

( 1) 1 1 1

1 1 3

( 1) 1 1

(mod )

( ) (mod )

( ) (mod )

(mod )

m m m

mn n mn n n n n n n n

m m

m n n n n n n

m m

m n n n n n

m m

m n n n n

F F F F F F F F F F

F F F F F F

F F F F F

F F F F

+

− + − + + −

+ − + + +

+

+ − − +

+ +

+ + −

+ ≡ + −

⇒ ≡ − +

⇒ ≡ − +

⇒ ≡ −

bulunur. Buradan F_n³|F_mn−F_n+1^m+F_n−1^m elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 2.1.11: q , F nin p den farklı bir asal böleni ise _n | ^np

n

q F

/ F dir.

Đspat: Lemma 2.1.2’de m= p alınırsa F_n³|F_np−F_n+1^p+F_n−1^p olur. Ayrıca,

1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1

1 1 1 1

( )( ... )

( ... )

p p p p p

n n n n n n n n

p p p

n n n n n

F F F F F F F F

F F F F F

− − −

+ − + − + + − −

− − −

+ + − −

− = − + + +

= + + +

olduğundan F_n|F_n+1^p−F_n−1^p dir. Ayrıca F_n |F_np olduğu açıktır. O halde

3

1 1

| ^{p p}

n np n n

F F −F₊ +F₋ olduğundan

3

1 1

|

p p

np n n

n

n n

F F F

F

F F

+ −

− +

yazılabilir. Buradan

2 1 2 1

1 1 1 1

| ^np ( ^{p p} ... ^p )

n n n n n

n

F F F F F F

F

− − −

+ + − −

− + + +

bulunur. Yani;

1 2 1

1 1 1 1

( ^{p p} ... ^p )(mod )

np

n n n n n

n

F F F F F F

F

− − −

+ + − −

≡ + + +

olur. Ayrıca F_n |F_n+1^p−F_n−1^p olduğundan F_n+1^p ≡F_n−1^p(modF_n) dir. Dolayısıyla

1 2 1

1 1 1 1

( ^{p p} ... ^p )(mod )

np

n n n n n

n

F F F F F F

F

− − −

+ + − −

≡ + + +

dir. Ayrıca F_n+1≡F_n−1(modF_n) olduğundan,

1 2 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

( ... )(mod )

( ... )(mod )

(mod )

p p p

np

n n n n n

n

p p p

n n n n

p

n n

F F F F F F

F

F F F F

pF F

− − −

+ + + +

− − −

+ + +

+ −

≡ + + +

≡ + + +

≡

bulunur. Buradan ( ^np , _n) ( _{n 1}^{p 1}, _n)

n

F F pF F

F

−

= + dir. Ayrıca (F F_n, _n+1)=1 ise

1

(F F_n, _n+1^p− ) 1= dir. Dolayısıyla ( ^np , _n) ( _{n 1}^{p 1}, _n) ( , _n)

n

F F pF F p F

F

−

= + = bulunur. Şimdi

q≠ p bir asal sayı ve |q F_n olsun. Ayrıca ( ,p F_n) 1= veya p dir. q≠ p olduğundan

| ( , _n)

q/ p F dir. Aksi taktirde q|1 veya q p| olacaktı ki bu da q≠ p ile çelişecekti.

O halde q| ( ,/ p F_n) dir. ( , _n) ( ^np , _n)

n

p F F F

= F olduğundan | ( ^np , _n)

n

q F F

/ F dir. q F | _n olduğundan | ^np

n

q F

/ F bulunur. Aksi taktirde q F ve | _n | ^np

n

q F

F olsaydı | ( ^np , _n)

n

q F F F olurdu. O halde | ^np

n

q F

/ F dir.

Teorem 2.1.12: Eğer p , F nin bir böleni ise _n | ^np

n

p F

F dir, fakat ² | ^np

n

p F

/ F dir.

Đspat: p F olsun. Teorem 2.1.11’e göre; | _n

2 1 2 1

1 1 1 1

| ^np ( ^{p p} ... ^p )

n n n n n

n

F F F F F F

F

− − −

+ + − −

− + + +

ve p F olduğundan | _n p²|F_n² ve böylece

1 2 1

2

1 1 1 1

| ^np ( _n ^p _n ^p _n ... _n ^p )

n

p F F F F F

F

− − −

+ + − −

− + + +

bulunur. Şimdi F_n+1 ve F_n−1 tamsayılarını p ye bölersek: ²

2

1 1 '(mod )

Fn₊ ≡r p+r p

2

1 2 ''(mod )

Fn₋ ≡r p+r p

1 2

0≤r r r r, , ', ''< p olacak şekilde r r r r₁, , ', ''₂ tamsayıları mevcut olur. F_n+1−F_n−1 =F_n olduğunu kullanarak bu iki denkliği taraf tarafa çıkartırsak;

2

1 1 1 2

2

1 2

1 2

( ) ' ''(mod )

( ) ' ''(mod )

( ) ' ''(mod )

' ''(mod )

n n

n

n n

F F p r r r r p

F p r r r r p

F p r r r r p

F r r p

+ − − ≡ − + −

⇒ ≡ − + −

⇒ ≡ − + −

⇒ ≡ −

bulunur. p F olduğundan | _n F_n ≡0(mod )p olur. Dolayısıyla r'=r'' elde edilir.

Fakat 'r =r''≠0 dır. Aksi taktirde

2

1 1

1 1

1

'(mod ) (mod ) 0(mod )

n n n

F r p r p

F r p p

F p

+ + +

≡ +

≡

≡

elde edilir. Yani p F| _n+1 olur. Ayrıca p F olduğundan | _n p| (F F_n, _n+1) ya da p|1 olur. Bu ise p nin asal sayı olmasıyla çelişir. O halde 'r =r''= ≠r 0 dır.

1 2 1 2

1 1 1 1

( ^{p p} ... ^p )(mod )

np

n n n n

n

F F F F F p

F

− − −

+ + − −

≡ + + + olduğundan

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

1 2

1

1 1 1 2

1 2

1

(( ) ( ) ( ) ... ( ) )(mod )

( ) ( ) (mod )

1 1 1

0 0 1 0 1

np p p p

n p

np p k k

n k p

np p k k p k k p k k

n k

F r p r r p r r p r r p r p

F

F r p r r p r p

F

F p k k p k k k

r r r pr r r r pr

F

− − −

− −

=

− − − − − − −

=

≡ + + + + + + +

≡ + +

 −   −   −   −   −  

≡     +    +   

         

 

∑

( )

2

1 2 2 2

1 2

1

(mod )

( ) ( 1) (mod ),

p

np p p p

n k

p

F r p k pr r k pr r p

F

− − −

=

≡ + − + −

∑

∑

1, 2,...,

k= p için

1 2 2 2

1 2

( 1) ( 1)

(mod )

2 2

np p p p

n

F p p p p

pr pr r pr r p

F

− − − − −

≡ + + elde edilir. Eğer p≠2 ise

1 2 p−

bir tamsayıdır. Bundan dolayı ^{np p 1}(mod ²)

n

F pr p

F

≡ − veya ^{np p 1}(mod )

n

F pr p

F

≡ −

bulunur. Buradan ^np 0(mod )

n

F p

F ≡ yani | ^np

n

p F

F elde edilir. Ayrıca giriş bölümündeki