Online calibration of modulated wideband converter

Kiplemeli Geni¸s Bant Çeviricinin Sahada

Kalibrasyonu

Online Calibration of Modulated Wideband

Converter

Ya¸sar Kemal Alp

, Ali Bu gra Korucu

, Ahmet Turan Karabacak

, Ali Cafer Gürbüz

, Orhan Arkan

2_{Elektrik ve Elektronik Mühendisligi Bölümü, TOBB ETÜ, Ankara, Türkiye} 3_{Elektrik ve Elektronik Mühendisligi Bölümü, Bilkent Üniversitesi, Ankara, Türkiye} {ykalp,abkorucu,ahmetk}@aselsan.com.tr, acgurbuz@etu.edu.tr, oarikan@ee.bilkent.edu.tr

Özetçe —Bu çal¸smada ksa zaman önce önerilen, geni¸s

bantl seyrek sinyallerin Nyquist limiti altnda örnekleyerek, sk¸strlm¸s alglama teknikleri ile kaypsz olarak saysalla¸strl-masn saglayan Kiplemeli Geni¸s Bant Çevirici (KGBÇ) sis-teminin sahada kalibrasyonu için yeni bir yöntem önermek-teyiz. Önerdigimiz yöntem, sistemin sahada kalibrasyonunu olanaksz klan network analizör ve vektör spektrum analizör gibi pahal ölçüm aletlerinin yerine, sistemin çal¸sma bandnda temiz sinosoidal sinyaller üretebilen ve çok daha ucuz olan tek bir sentezör kartna ihtiyaç duymaktadr. Ayrca yöntemin i¸slem karma¸sklgnn az olu¸su, FPGA’da kodlanarak sistem içine gömülmesini de olanakl klmaktadr. Böylece sistem her açldgnda ba¸ska herhangi bir ölçüm aletine ihtiyaç duymadan kendi kendini kalibre edebilecektir.

Anahtar Kelimeler—KGBÇ, seyrek, sk¸strlm¸s alglama, Nyquist limiti altnda örnekleme, sahada kalibrasyon

Abstract—In this work, we propose a new method for online

calibration of recently proposed Modulated Wideband Converter (MWC), which digitizes wideband sparse signals below the Nyquist limit without loss of information by using compressive sensing techniques. Our method requires a single frequency syn-thesizer card, which can generate clean tones along the operation band of the system, rather than much expensive measurement instruments such as network analyser or vector spectrum anal-yser, which are not appropriate for online calibration. Moreover, low computational complexity of the proposed method enables its implementation on FPGA so that it can be embedded into the system. Hence, on each power on, the system can utilize self calibration without requiring any additional measurement instruments.

Keywords—MVC, sparse, compressive sensing, sub-Nyquist sampling, online calibration

I. GIRI ¸S

Kiplemeli Geni¸s Bant Çevirici (KGBÇ), sk¸strlm¸s al-glama teorisi tabanl, spektrumu seyrek olan geni¸s bantl (bant geni¸sligi >1 GHz) sinyallerin, bilgi kaybna neden ol-madan, Nyquist limiti altnda örneklenmesini olanakl klan bir sistemdir [1]. Spektrumda seyreklik varsaymna en uy-gun örnek tipik bir elektronik harp senaryosudur. Böyle bir

senaryoda, ortamda birçok radar olmasna ragmen, çok ksa gözlem sürelerinde (örn. 1us), bu radarlarn belirli periyot-larla döndügü ve darbe tekrarlama aralklarnn darbe geni¸s-liklerine orannn da yüksek oldugu (tipik olarak 100 kat) dü¸sünüldügünde, alnan sinyalin spektrumunun oldukça seyrek oldugu görülmektedir.

KGBÇ sistemin ba¸sarl bir ¸sekilde çal¸sabilmesi için, sis-tem kalibrasyonu yüksek hassasiyet ile yaplmaldr. Scaklk, zaman, vb. gibi sebeplerle sistemdeki RF (radyo frekans) malzemelerin karakteristiklerinin degi¸sebileceginden dolay, kullanlacak olan kalibrasyon yönteminin sahada kalibrasyona uygun olmas gerekmektedir. Ayrca kalibrasyon yönteminin sistemin maliyetine etkisinin de oldukça az olmas beklen-mektedir. [2]’de, KGBÇ sisteminin kalibrasyonu için öner-ilen yöntem ayn referans sinyal ile birbirine senkronlanm¸s Agilent-AWG [6] ve NI-PXI [7] gerektirmektedir. Bu sistem-ler hem çok pahaldr hem de KGBǒnin sahada kalibrasy-onunu olanaksz klmaktadr. Bu çal¸smada önerilen yöntem, [2]’den farkl olarak, KGBǒnin çal¸sma band boyunca temiz sinosoidal sinyaller üretebilen, maliyeti oldukça ucuz olan tek bir sentezör kart gerektirmektedir. Ayrca yöntemin i¸slemsel karma¸sklgnn da az olmas, yöntemin FPGA üzerinde kod-lanarak sisteme gömülmesini olanakl klmaktadr. Bu sayede sistem her açldgnda, ba¸ska herhangi bir ölçüm aletine ihtiyaç duymadan kendi kendini kalibre edebilecektir.

2. Bölümde KGBÇ sistemi özetlenecek, sistemin temel çal¸sma presibi anlatlacaktr. 3. Bölümde önerilen sahada kalibrasyon yöntemi detaylandrlacaktr. 4. Bölümde benzetim sonuçlar verilecek, sonuçlar ve degerlendirmeler 5. Bölümde yaplacaktr. Makale boyunca kaln büyük karakterler ma-trisleri, kaln küçük karakterleri vektörleri belirtecektir. Aksi belirtilmedigi sürece, toplam sembollerindeki ko¸san indisin −∞ ’den −∞’a gittigi varsaylacaktr.

II. KGBÇ: KIPLEMELI GENI ¸S BANT ÇEVIRICI Blok ¸semas ¸Sekil-1’de verilen KGBÇ sisteminin çal¸sma bandn FN yq/2 olarak tanmlayalm. Ortamdaki yaynlarn çok ksa gözlem süreleri boyunca bant geni¸sliklerinin en çokB Hz olacag varsaym ile bu bandL adet alt banda bölelim ve bu alt bantlarn merkez frekanslarn lB, l=0, .., L−1 olarak

¸Sekil 1: Kiplemeli Geni¸s Bant Çevirici blok ¸sema.

tanmlayalm. OrtamdaP adet yaynn bulundugu bir durumda ve bu sisteme gelen sinyali ¸su ¸sekilde modelleyelim:

x(t)= P X p=1

sp(t) (1)

Burada p. yayn sp(t) = ap(t)ej(2πfpt) ile ifade edilebilir olup fp ≤ FN yq/2 yaynn merkez frekansn, ap(t) ise bu yaynn taban bant sinyalini belirtmektedir. Taban bant sinyali Sap(t) ≤ B ko¸sulunu saglamaktadr. Burada Sg(t), g(t) sinyalinin bant geni¸sligini veren operatördür. Her yayn yukarda tanmlanan alt bant frekanslar cinsinden ¸su ¸sekilde yazlabilir:

sp(t) = ap−(t)e

j2π⌊fp/B⌋Bt_{+ a}

p+(t)e

j2π⌈fp/B⌉Bt_{. (2)}

Burada ⌊⌋ ve ⌈.⌉ argümann srasyla kendinden küçük ve kendinden büyük en yakn tamsayya yuvarlayan operatör-lerdir. Her yayn için tanmlanan yeni taban bant sinyalleri ap−(t) ve ap+(t) de Sap−(t) ≤ B, Sap+(t) ≤ B ko¸sullarn

saglayacaktr. Sonuçtax(t) sinyali x(t)= P X p=1 ap−(t)e j2πkp−Bt_{+ a} p+(t)e j2πk_p+Bt (3)

olarak yazlabilir. Burada kp−=⌊fp/B⌋, kp+=⌈fp/B⌉ ile

tanml olupkp+−kp−=1’dir.

Gelen sinyalx(t), M adet kola bölünüp, her kol birbirinden farkl olan pm(t), m = 1, .., M sinyalleri ile çaplr. Bu sinyaller periyodik olup periyotlar 1/B saniyedir ve Fourier seri açlm kullanarak pm(t) = P_k=cm,kej2πkBt olarak ifade edilebilirler. Burada cm,k, pm(t)’nin k. Fourier seri katsaysn belirtmekte olup, herhangi bir t0 için cm,k = BRt0+1/B

t0 pm(t)e

−j2πkBt_{dt ile hesaplanr. Ayrca p} m(t) gerçek oldugu için cm,−k = c∗m,k dir. Bu sinyallerin temsili spektrumlar ¸Sekil-1’de Pm(f ) ile belirtilmi¸stir. Her kanalda alçak geçiren ltre öncesinde ¸su sinyaller olu¸sur:

ym(t) = x(t)pm(t)= X

k

cm,kx(t)ej2πkBt. (4)

(4)’te verilen e¸sitligin her iki tarafna Fourier dönü¸sümü

uygu-landgnda, Ym(f ) = X k P X p=1 cm,−k_p+−kAp+(f −kB) +cm,−kp−−kAp−(f −kB) (5)

elde edilir. Burada Ym(f ), Ap+(f ) ve Ap−(f ) srasyla

ym(t), ap+(t) ve ap−(t)’nin Fourier dönü¸sümleridir. Her

kanaldaki alçak geçiren ltrenin durdurma frekansBq/2 Hz seçildiginde, ltre çk¸snda olu¸san sinyal vm(t)’nin Fourier dönü¸sümü: Vm(f ) = ˆ q X q′_=−ˆq P X p=1 cm,−k_p+−q′A_p +(f −q ′_B) +cm,−kp−−q′Ap−(f −q ′_B) (6) olarak yazlabilir. Burada q her bir analog kanal çk¸snda saysal olarak olu¸sturulacak kanal saysn ifade etmektedir [1] ve q = (q − 1)/2 ile tanmldr. vˆ m(t) sinyali örnekleme frekans en azBq hz ile örneklenendiginde

vm(tn) = ˆ q X q′_=−ˆq P X p=1 cm,−k_p+−q′a_p +(tn)e j2πq′Btn .+cm,−k_p−−q′a_p −(tn)e j2πq′ Btn_{, (7)}

saysal sinyali elde edilir. Buradatn, n = 0, .., N −1 örnekleme anlarn ifade etmekte olup |tn − tn+1| ≤ 1/(Bq)’dir. Her q′ _{degeri için, v}

m(tn) saysal sinyali e−j2πq

′

Btn _{ile çarplp}

merkez banda çekilerek, durdurma frekans qB/2 olan bir saysal ltreden geçirildiginde

zm,q′(t_n) = P X p=1 cm,−k_p+−q′a_p +(tn)+cm,−kp−−q′ap−(tn), q′_{= −ˆq, .., ˆq . (8)} saysal sinyalleri olu¸sur. Sonuçta M adet analog kanal olan KGBǒsisteminde q × M kadar saysal kanal elde edilir. Her bir kanaldanN kadar örnek toplandgnda, toplanan örnekler

denklem sistemi ile ifade edilebilir. Burada, Z ve C matrisleri Z_{Mq×N =}           z1,−ˆq(t0) z1,−ˆq(t1) .. z1,−ˆq(tN −1) z1,−ˆq+1(t0) z1,−ˆq+1(t1) .. z1,−ˆq+1(tN −1) . .. . z1,ˆq(t0) z1,ˆq(t1) .. z1,ˆq(tN −1) z2,−ˆq(t0) z2,−ˆq(t1) .. z2,−ˆq(tN −1) . . .. . . . .. . zM,ˆq(t0) zM,ˆq(t1) .. zM,ˆq(tN −1)           , C_Mq×2L+1=           c1,−L−ˆq c1,−L+1−ˆq .. c1,L−ˆq c1,−L−ˆq+1 c1,−L+1−ˆq+1 .. c1,L−ˆq+1 . . .. . c1,−L+ˆq c1,−L+1+ˆq .. c1,L+ˆq c2,−L−ˆq c2,−L+1−ˆq .. c2,L−ˆq . . .. . . . .. . cM,−L+ˆq cM,−L+1+ˆq .. cM,L+ˆq           , (10) ile tanmldr. A(2L+1)×N matrisi, lp± = L + 1 + kp±, p =

1, .., P numaral satrlarnda [ap±(t0), ...ap±(tN −1)] yazan,

diger bütün elemanlar 0 olan, grup seyrek bilinmeyen ma-trisidir. Amacmz ölçüm matrisi Z ve sistem matrisi C ver-ildiginde A matrisinin 0 olmayan satrlarn tespit etmek ve bu satrlar kestirmektir. A’nn satr says, Z’nin satr saysndan fazla oldugu için (9)’da verilen sistemin sonsuz adet çözümü vardr. Ancak A matrisinin seyrek oldugu varsaym ile (9)’u saglayan en seyrek A matrisi kestirilebilir. Bu kestirim için literatürde yaynlanm¸s birçok yöntem vardr [3], [4]. Bu yön-temler ile A’nn 0 olmayan satr numaralar ˜lp±, p = 1, 2, .., P tespit edildiginde, ortamdaki sinyallerin taban banda indirilmi¸s halleri˜ap±(tn), p=1, .., P, n=0, .., N −1 ¸su ¸sekilde kestirilir:

˜ A_=[c˜

l₁₋c˜l₁₊ .. c˜lP−cˆlP+]

†_Z.

(11) Burada C matrisinin ˆlp numaral sütünu cˆ_lp ifade edilmi¸s olup

˜

A matrisinin2p−1 numaral satrnda ˜ap−(tn), n=0, .., N −1,

2p numaral satrnda ise ˜ap+(tn), n = 0, .., N − 1

yaz-maktadr. (.)† _{ise X}† _{= (X}H_X)−1_XH _{ile tanml sahte} ters operatörüdür. Ortamdaki yaynlarn taban banda indirilmi¸s hallerinin kestirimleri ise

˜

ap(tn)=˜ap−(tn)+˜ap+(tn)e

j2πBtn _{n = 0, .., N − 1 (12)}

ile olu¸sturulur.

III. ÖNERILEN SAHADA KALIBRASYON YÖNTEMI

(9)’da verilen C matrisininL + 1 + k numaral kolonunu kestirmek için KGBǒnin giri¸sinden, kB + ∆f frekansnda genligini (a) bildigimiz ama faz (φk) bilinmeyen sinosoidal siyal verelim. Notasyonu basitle¸stirmek için bu sinyali kar-ma¸sk olarak tanmlayalm:

x(t) = aej(2π(kB+∆f )t+φk) _{. (13)}

Burada ∆f <B/2 ko¸sunu saglasn. Bu sinyal M adet kola bölündükten sonra, her kanalda ilgili pm(t) ile çarplp en az Bq Hz ile örneklenerek N adet örnek toplandgnda (tipik olarak N = 1024) ¸su saysal sinyal elde edilir:

vm(tn) = a ˆ q X q′_=−ˆq cm,−(k+q′₎ej2π(−q ′ B+∆f )tn_× H(−q′B+∆f )ejφk_{, n = 0, .., N − 1, m = 1, .., M.} (14)

Burada H(f ), herbir kanalda özde¸s olan alçak geçiren l-treninf frekansndaki karma¸sk S21 parametre ölçümünü ifade etmektedir. (14)’te verilen sinyalin içindeki q adet sinüsün genlik ve faz degerleri [5]’teki yöntem ile yüksek hassasiyet ile kestirilebilir. Kestirilen bu degerler

bm,−(k+q′₎= ac_m,−(k+q′₎ejφkH(−q′B + ∆f ),

q′= −ˆq, .., ˆq, m = 1, .., M, (15) ¸seklinde karma¸sk saylar halinde ifade edildiginde, C ma-trisinin L + 1 + k numaral kolonundaki degerler:

˜

cm,−(k+q′₎= b_m,−(k+q′₎/(aH(−q′B + ∆f ))

(16) ile hesaplanm¸s olur. Bütün kolonlar için (k = −L, .., L) için bu i¸slem tekrarlandgnda, kestirilen C matrisi ¸su ¸sekilde ifade edilebilir:

˜

c_{= [c1e}jφ−L_{, c}

2ejφ−L+1, .., c2L+1ejφL] (17) Burada cp, C matrisinin p numaral kolonunu belirtmektedir. Bu matris (9)’dan sonra tanmlanan orjinal C matrisi ile kyaslandgnda, her bir kolonunun birbirinden farklejφk, k =

−L, .., L faz terimleri ile çarpldg görülmektedir. Bu faz hatalarna ragmen, her kolondaki tüm satrlar ayn faz hatas sahip oldugu için aktif olan alt bantlar ba¸sarl bir ¸sekilde tespit edilebilecektir. Ancak, aktif olan alt bantlarn taban bant sinyalleri

˜

ap±(tn) = ap±(tn)e

jφ_kp±

(18) ileφkp± radyanlk faz kaymas ile geri çatlacaktr. Ortamdaki

yaynlarn taban bant sinyalleri ise (11) kullanldgnda ˜ ap(tn) = ap−(tn)e jφ_kp− + ap+(tn)e jφ_kp+ ej2πBtn ₍₁₉₎

olarak kestirilecek ve kom¸su alt bantlardaki taban bant sinyal kestiriminde olu¸san faz kaymalar ejφkp− _{ve e}jφkp+

bir-birinden farkl oldgu için ba¸sarl geri çatlm gerçekle¸smeye-cektir. Olu¸san faz kaymalarn düzeltmek için ¸su sinyalleri tanmlayalm: rp−(tn) = ap−(tn)e jφ_kp− rp+(tn) = ap+(t)e jφ_kp+ ej2πBtn _{. (20)}

Bu sinyaller ayn yayndan geldigi için, her iki sinyalinB/2 Hz’de hesaplanan ayrk zamanl Fourier transformlarnn bir-birine e¸sit olmas gerekmektedir. Dolays ile,rp+(tn)

sinya-line uygulanmas gereken faz düzeltme katsays β = α/|α| olup α= N −1 X n=0 rp−(tn)e −j2πB/2tn ! / N −1 X n=0 ˆ rp+(tn)e −j2πB/2tn ! (21) ile hesaplanr ve (12)’de verilen ifade

˜

ap(tn) = ˜ap−(tn) + β˜ap+(tn)e

j2πBtn ₍₂₂₎

olarak revize edilir. Bu sayede geriçatlmda olu¸san kalibrasyon kaynakl faz kaymalar düzeltilmi¸s olur.

IV. SIMULASYONLAR

Önerilen yöntemin performansn analiz etmek için, tasarm parametreleri Tablo-I’de verilen KGBÇ sistemini bilgisayar or-tamnda simule ettik. Anlk olarak görmek istedigimiz bandn geni¸sligini FN yq/2 = 1500 MHz olarak belirledik. Alt bant geni¸sligini B = 30 MHz olarak seçerek anlk olarak gözlem-lemek istedigimiz bandL = 50 alt banda böldük. Sistemdeki analog kanal saysnM = 4 ve kanallardaki örnekleme hzn Fs= 250 MHz olarak seçerek toplamda 1 GHz’lik örnekleme hz kullanm¸s olduk (Nyquist limitinin 1/3’ü). Her bir analog

Deger Açklama FN yq 3000MHz Sistemin Nyquist frekans

M 4 analog kanal says

q 7 Her bir analog kanaldan olu¸sturulan saysal kanal says B 30 MHz Her bir analog kanaldan olu¸sturulan saysal kanal says Fs 250 MHz Her bir analog kanal kanaldaki ADC’nin örnekleme hz

L 50 30MHz’lik alt bant says

Tablo I: KGBÇ Sistemi Simülasyon Parametreleri

kanaldan saysal ltreleme i¸slemleri ile q = 7 adet saysal kanal olu¸sturduk. Önerilen yöntem ile sistem kalibrasyonu yaparak (10)’da verilen C matrisinin içini doldurduk.

Iki radarn oldugu bir ortam simule etmek için KGBÇ sistemi giri¸sine gelen sinyali ¸su ¸sekilde modelledik:

x(t) = a1(t)ej(2πf1t)+ a2(t)ej(2πf2t)+ n(t). (23) Burada a1(t) ve a2(t), geni¸slikleri 0.1 us ve 0.2 us olan radar darbelerinin zararn belirtmektedir. Bant geni¸slikleri srasyla ortalama 10 MHz ve 5 MHz olan bu darbelerin merkez frekanslarn f1 = 915 × 106 Hz f2 = 1215 × 106 olarak seçtik (Ilk darbe 30. ve 31. alt banda, ikinci darbe 40.ve 41. alt banda daglacak). Darbe genliklerini ise srasyla1 mV ve0.5 mV olarak belirledik. Dü¸sük genlikli darbede 10dB’lik SNR’a eri¸smek için, n(t) ile belirtilen, 0 ortalamal Gauss daglml karma¸sk sistem gürültüsünün standart sapmasn ise 0.05/p(2) mV olarak seçtik. Senaryo ¸sartlarn zorla¸strma adna radar darbelerin çak¸stgn varsayarak ilk radara ait olan darbenin geli¸s zamannn 4.95us, ikinci darbenin geli¸s zamannn ise 4.9us olarak belirledik.

¸Sekil-1’de, yukarda KGBÇ sistemine gelen sinyalin gen-ligi (|x(t)|) verilmi¸stir. Görüldügü üzere iki radara ait olan darbeler zamanda çak¸smaktadr. Önerilen kalibrasyon yöntemi ile C matrisi ba¸sarl bir ¸sekilde dolduruldugu için 50 adet alt banttan, 30,31,40,41 numaral alt bantlarn aktif oldugu tespit edilmi¸stir. 30 ve 31 numara alt bantlar 1.radar darbesine, 40 ve 41 numaral alt bantlar ise ikinci radar darbesine aittir. Ayn ¸sekil üzerinde ortada, 1. radarn darbe zarf a1(t) (mavi), 30 ve 31. alt bantlardan gelen sinyalin (12) ile birle¸stirilerek faz düzeltmesi yapmakszn geriçatlm sonucu (ye¸sil) ve önerilen faz düzeltme faktörünü içeren (22) ile yaplan geriçatlm sonucu (krmz) verilmi¸stir. A¸sagda ise ayn sonuçlar 2. radar radar darbesi için tekrarlanm¸str. Görüldügü üzere, her iki radar darbesinin enerjisi kom¸su bantlara yayldg için, faz düzeltmesi yaplmayan geriçatlm sonuçlarnda darbe ¸sekli bozulurken, önerilen yöntem ile kom¸su bantlarda olu¸san faz kaymas düzeltilerek ba¸sarl geri çatlm gerçekle¸stirilmi¸stir.

V. SONUÇLAR

Bu çal¸smada Nyuqist limiti altnda örnekleme yapmay mümkün klan KGBÇ sisteminin sahada kalibrasyonu için yeni bir yöntem önerilmi¸stir. Önerilen yöntem, KGBǒnin çal¸sma band boyunca temiz sinosoidler üretebilen, piyasada kolaylkla bulunabilen ve maliyeti oldukça dü¸sük olan tek bir sentezör kart gerektirmektedir. Yaplan benzetimlerde, gelen sinyalin enerjisinin kom¸su bantlara dagldg durumlarda bile, önerilen yöntem ile ba¸sarl geriçatlmlar yaplabildigi gözlemlenmi¸stir.

KAYNAKÇA

[1] M. Mishali, Y. Eldar, “From Theory to Practice: Sub-Nyquist Sampling of Sparse Wideband Analog Signals", IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2010. 4.5 5 5.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Zaman [us] G e n lik [mV] |x(t)| 4.5 5 5.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Zaman [us] G e n lik [mV] a 1(t)

(12) ile geri çatýlým (22) ile geriçatýlým 4.5 5 5.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Zaman [us] G e n lik [mV] a₂(t)

(12) ile geri çatýlým (22) ile geri çatýlým

¸Sekil 2: Benzetim sonuçlar. Yukarda, KGBÇ sistemine gelen sinyalin büyüklügü |x(t)|; Ortada, 1. radarn darbesi a1(t) (mavi) ve bu darbenin (12) ile yaplan kestirimi (ye¸sil) ve (22) ile yaplan kestirimi (krmz); A¸sagda 2. radarn darbesia2(t) (mavi) ve bu darbenin (12) ile yaplan kestirimi (ye¸sil) ve (22) ile yaplan kestirimi (krmz)

[2] E. Israeli, S. Tsiper, D. Cohen, E. Shoshan, R. Hilgendorf, A. Reysenson, Y. Eldar, “Hardware Calibration of the Modulated Wideband Converter", Globecom, 2014

[3] S. Cotter, B. Rao, D. Cohen, K. Engan, K. Delgado, “Sparse Solutions to Linear Inverse Problems With Multiple Measurement Vectors", IEEE Transactions on Signal Processing, 2005

[4] M. Mishali, Y. Eldar, “Reduce and Boost: Recovering Arbitrary Sets of Jointly Sparse Vectors", IEEE Transactions on Signal Processing, 2008. [5] T. Grandke, “Interpolation Algorithms for Discrete Fourier Transforms of Weighted Signals", IEEE Transactions on Instrumentation and Mea-surement, 1983.

[6] Agilent Arbitrary WaveForm Generator, www.keysight.com. [7] National Intruments-PXI, www.ni.com.