-Ekstra Boyutlar-Baka Boyutlar (Pdf)

(1)

Başka Boyutlar Arayışı-1:

Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir

Tarihçesi ve

Ekstra Boyutlu Modellere Giriş

K. O. Ozansoy,

(2)

Ankara YEF Seminerleri-07 2

1. Kaluza-Klein teorilerinin kısa bir tarihçesi

– Nordström birleştirme teorisi

– Kaluza-Klein teorisi

2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş-Temel

Kavramlar

– Kompaktlaştırma süreci ve yüksek boyutlarda skaler alan

– Orbifold kompaktlaştırması

3. Ekstra Boyutlu Modeller için Bir Sınıflandırma

– Evrensel ekstra boyutlar, ADD modeli, RS modelleri

4. Ekstra Boyutların Gözlenebilirliği

– Yüksek enerji sınırları, Ters-kare kuvvet yasası, Kozmolojik

sınırlar

5. Tartışma

(3)

1. Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir Tarihçesi

1900’ lerin başlarında doğada bilinen iki temel etkileşme

kütleçekimi (gravitasyon) ve elektromagnetizma ve idi.

1900’ lerin başlarında doğada bilinen iki temel etkileşme

(4)

m

g

G

F

r

=

−

∇

r

φ

,

∇

2

φ

=

4 π

ρ

Newton’ un Gravitasyon Teorisi

)

q

E

4 πρ

.

1 ∇

r

=

)

0

2 r

r

=

∂

+

×

∇

t

B

E

)

J

c

t

E

c

B

r

2 2

4

1

3 =

π

∂

−

×

∇

)

.

0

4 ∇ B

r

=

Maxwell’ in Elektromagnetizma Denklemleri

(5)

1905’te Einstein, Maxwell’ in elektromagnetizma

teorisi ile uyumlu olan özel görelilik teorisini

kurduktan sonra gravitasyonun da özel

görelilikle uyumlu bir teorisinin kurulması için

çalışmalar başladı.

Einstein, Abraham, Nordström, Mie, Einstein ve Grossman, Einstein ve Fokker,…

(6)

İlk defa özel görelilik teorisi ile

uyumlu bir gravitasyon teorisi,

Finlandiyalı

fizikçi

Gunnar

Nordström tarafından 1913’ te

kurulan skaler gravitasyon(*)

teorisidir.

Einstein’ ın genel görelilik teorisi 1915 yılında kurulduktan sonra,

özellikle Merkür’ ün enberi presesyonu ve ışığın bir gravitasyon

alanından bükülmesine ilişkin başarılı öngörülerinden sonra Nordström’

ün gravitasyon teorisi uzun yıllar dikkate alınmamıştır.

Gunnar Nordström (1884-1923)

(*) G. Nordström, Physik. Zeitschr. 13 1126,1912; Ann. d Phys. 40, 872, 1913; 42,533,1913

(7)

Nordström, kendi skaler gravitasyon teorisini kurduktan sonra, tüm doğa olaylarını, yani elektromagnetik ve gravitasyon etkileşmelerini, bir arada açıklayabilecek bir birleşik teori kurmaya çalıştı(*).

Böyle bir teoriyi oluştururken şu gözlemlerden yararlandı:

Özel görelilik teorisi

Æ 3-boyutlu uzay + 1-boyutlu zaman = 4-boyutlu uzay-zaman

Maxwell’ in Elektromagnetizma Teorisi

Æ3 lü vektör potansiyeli + skaler potansiyel = 4 lü vektör potansiyeli A_x, A_y, A_z + φ = A_µ µ ν ν µ µν

A

F

=

∂

−

∂

)

0 2 4 1 = ∂ + ∂ + ∂ = ∂ γα β βγ α αβ γ α αβ β

π

F F F J F

(*) G. Nordström, “On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields”, Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914)

(8)

Nordström’ ün Maxwell’ in elektromagnetizma teorisi ile kendi skaler

gravitasyon teorisini birleştirmek için temel düşüncesi şu şekilde

ifade edilebilir:

Nordström’ ün Maxwell’ in elektromagnetizma teorisi ile kendi skaler

gravitasyon teorisini birleştirmek için temel düşüncesi şu şekilde

ifade edilebilir:

Özel görelilik teorisine göre, 3-uzay boyutu ile 1-zaman

boyutunun birleşimi, Maxwell’ in elektromagnetizma

teorisindeki 1-boyutlu elektrostatik potansiyel ile

3-boyutlu vektör potansiyelinin birleşimine karşılık

geliyorsa;

1-boyutlu bir skaler alanla

ifade edilecek

gravitasyonun, elektromagnetizma ile birleşimi için

4-boyutlu uzay zamana bir boyut eklenmesi gerekir.

(9)

Ankara YEF Seminerleri-07 9 z y x

A

z

y

x

t

,

→

φ

,

Özel görelilikte 4-boyutlu Uzay-zaman koordinatları Elektromagnetik potansiyel 5 3 2 1 5 3 2 1 0

,

x

,

x

,

x

,

x

,

A

,

A

,

A

,

A

x

←

φ

5-boyutlu uzay-zaman 5-li vektör potansiyeli

Skaler gravitasyon alanı 4. Uzay koordinatı

(10)

(

,

A

,

A

5

)

A

=

φ

r

5-boyutlu potansiyel Elektrostatik potansiyel Magnetik vektör potansiyeli

Skaler gravitasyon potansiyeli

0 ,

;

=

∂

=

∂

+

∂

+

∂

=

∂

−

∂

=

MN w LN N NL M MN L M MN N M N N M MN

F

c

k

F

A

F

Genelleştirilmiş Stres-Enerji tensörü

5-boyutta Genelleştirilmiş “Maxwell Denklemleri” Æ 4-boyutta Maxwell denklemleri

+ 4-boyutta Skaler Gravitasyon denklemleri

(11)

1.2. Kaluza-Klein Birleştirme Teorisi

Einstein genel görelilik teorisini kurduktan sonra Nordström’ ün hem skaler gravitasyon teorisi hem de birleştirme teorisi önemini kaybetmişti.

Theodor Kaluza(1885-1954)

(12)

Polonyalı matematikçi ve fizikçi Th. Kaluza, 1919’ da Einstein’ a gönderdiği makalesinde,

Maxwell’ in elektromagnetizma teorisi ile Einstein’ ın

genel görelilik teorisini

, evrenin

5-boyutlu

bir manifold olarak ele alındığı teorisinde birleştirdi. Daha sonra bu çalışma Einstein tarafından 1921’ de sunuldu.

Th. Kaluza, “On the unity problem of physics”,

Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921)

Bu çalışma, Einstein’ ın genel görelilik teorisini Maxwell’ in elektromagnetizma

Teorisi ile 5. bir boyutun varlığını öngörerek birleştiren ilk çalışmadır.

Oskar Klein, 1926’ da Kaluza’ nın makalesini dikkate alarak özel göreliliğin 5-boyutlu teorisi ve kuantum teorisi üzerine makalesini yayınladı.

O. Klein,”Quantum theory and five dimensional theory of

relativity”, Z. F. Physik 37, 895(1926)

Klein, elektrik yükünün kuantizasyonuna dikkat çekti ve kuantum teorisinin altındaki teorinin Kaluza’ nın teorisi olabileceğini önerdi.

Schrödinger denkleminin özel göreliliğe uygun genelleştirmesi birbirinden bağımsız Olarak Schrödinger, Klein, Gordon, Fock, de Donder, vd.. tarafından kuruldu

(13)

Elektromagnetik alan tensörü

ve Maxwell denklemleri

{

}

α αβ β βγ α µ ν ν µ µν

J

F

A

F

=

∂

=

∂

−

∂

=

)

2

0 )

1 (

µ νλ ν µλ λ µν

)

ρλ ρ µν = g ∂ g +∂ g −∂ g Γ 2 1

)

,

( A

A

_µ

=

φ

r

Einstein alan denklemleri

µν

g

Elektromagnetik vektör potansiyeli 4-serbestlik derecesi Uzay-zaman metriği 10 serbestlik derecesi

µν

π

T

c

R

g

R

2

8

2

1 =

−

MN

(14)

(15)

Ankara YEF Seminerleri-07 15 Kaluza birleştirme teorisi: 5-boyutlu dinamik, 4-boyutlu Einstein-Hilbert

eyleminin 5-boyutlu bir genellemesi ile ifade edilir:

x

d

R

g

G

I

_MN ₅ 5 5 5

det(

)

16

1 ∫

−

=

π

Silindir Koşulu (Nordström & Kaluza)

Tüm dinamik değişkenlerin y koordinatına göre türevleri sıfır olsun.

5-boyutta evrensel çekim sabiti 5-boyutta Ricci skaleri

Æ

Einstein alan denklemleri + Maxwell denklemleri

,...

0 )

,

(

;

0 )

,

(

=

∂

=

∂

y

x

F

y

x

A

_µ _µν Örnek: 5-boyutlu metrik Az sonra…

(16)

Klein,

5. boyutun gözlenebilir olmayışını

açıklamak için bu boyutun

1-küre(=çember) gibi kompakt bir uzay

olduğunu ve yarıçapının çok küçük

olduğunu önerdi:

R=0.000000000000000000000000000000001m ?!

1 4 5

M

S

M

=

×

)

,

(

)

,

(

t

x

y

z

=

x

₀

x

₁

x

₂

x

₃

x

₅

=

y

(17)

5-boyutlu tüm dinamik alanlar için Fourier seri açılımı,

∑

∞ −∞ =

=

n R iny n

e

x

F

y

x

F

(

,

)

( )

(

)

Kompakt uzayın yarıçapı

∑

∞ −∞ =

=

n R iny n

e

x

g

y

x

g

_µν

(

,

)

_µν ( )

(

)

∑

∞ −∞ =

=

n R iny n

e

x

A

y

x

A

_µ

(

,

)

_µ( )

(

)

∑

∞ −∞ =

=

n R iny n

e

x

y

x

,

)

(

)

(

φ

( )

φ

Örnekler

Sonsuz tane alan terimi !

(18)

Silindir Koşulu Æ n ≠ 0 için tüm alan bileşenleri sıfır:

0 ,

,

(

0 )

(

0 )

)

0 (

n

≠

n

≠

_n

_≠

₌

A

g

_µν

_µ

φ

)

(

)

,

(

),

(

)

,

(

),

(

)

,

(

)

0 (

)

0 (

)

0 (

x

y

x

A

y

x

A

x

g

y

x

g

φ

µ

µν

=

(19)

Æ

Einstein-Maxwell Eylemi

5-boyutlu eylem integrali y-üzerinden integral alınırsa:

∫

−

=

g

R

d

x

G

I

_MN ₅ 5 5 5

det(

)

16

1 π

I

=

−

_G

∫

dy

∫

g

MN

R

d

x

R 4 5 2 0 5 5

det(

)

16

1

π

x

d

F

g

G

e

R

G

g

I

(0) (0) (0) (0) (0) 4 2 2 ) 0 ( ) 0 ( 4

16

1 )

det(

)

det(

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

∫

_µν

φ

µρ νσ _µν _ρσ

π

κ

π

φ

Sabit Φ için Einstein-Maxwell eylemi elde edilir

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 5

_,

2 π

R

F

µν µ

A

ν ν

A

µ

G

=

∂

−

∂

(20)

Kaluza-Klein teorisi üzerine kurulu bazı önemli çalışmalar

1. 60-70 ler Kaluza-Klein teorilerinin diğer etkileşmeleri de içerecek

biçimde abelyen olmayan ayar simetrilerine genişletilmesi, de Witt

vd.

2. 80ler

Green, Schwarz, Witten, vd… sicim teorilerisicim teorileri

- Bozonik sicim teorisi 26-boyut - Süpersicim teorileri 10-boyut - Süpergravite teorisi 11-boyut

3.

90lar

M-teorisi: sicim teorilerinin 11-boyutta birleştirilmesi

4.

99dan sonra

büyük ekstra boyutlar: - ADD modeli

(21)

2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş- Temel Kavramlar

(22)

3-boyuttaki bir dönen küpün gölgesi

(23)

2-ekstra boyut= Küre yüzeyi

(24)

(25)

(26)

R R yarıçaplı çember üzerinde hareket eden bir parçacığın Momentumu P_n = n/R

Peryodik sınır koşulları: xÆx+2πR

4-boyutta m kütleli bir parçacığın enerjisi E2 _{= (p}

xc)2 + (pyc)2 + (pzc)2 +(mc2)2

5-boyutta m kütleli parçacığın enerjisi E2 _{= (p}

xc)2 + (pyc)2 + (pzc)2 + (pn c)2 + (mc2)2 4- boyutta “kütle”

R

n

m

M

=

+

(27)

(28)

Kompleks Klein-Gordon Alanı-Çembersel Ekstra Boyut

(29)

(30)

Bazı sonuçlar

• Her bir alan için sonsuz bir Kaluza-Klein kulesi var:

Elektronun Kaluza- Klein kulesi Fotonun Kaluza- Klein Kulesi

Kuarkların Kaluza- Klein kulesi,…

• Bilinen parçacıklar bu kulelerin taban durumlarına karşılık geliyorlar!

• Kuledeki her bir durum taban durumu ile aynı kuantum sayılarına

sahip

(31)

2.2 Orbifold Kompaktlaştırması

1-küre: çember

2-küre: küre yüzeyi 2- torus ManifoldÆ köşe noktası-uç noktası yok,

1-küre x sonlu aralık Sonlu doğrusal aralık _{2-tane sonlu doğrusal aralık}

(32)

Matematiksel olarak bir orbifoldun kuruluşu:

- Bir M manifoldu al,

- M’ nin üzerinde bir Γ kesikli simetrisi tanımla,

- M/ Γ bölüm uzayı bir orbifoldtur.

(33)

(34)

- Orbifoldun sabit noktaları olmadan geri kalan uzay bir manifolddur,

(35)

(36)

(37)

Güncel terminolojide bazı kavramlar:

Bulk:

İçinde yaşadığımız 4-boyutlu uzayzaman ile birlikte bunlara dik

Olarak öngörülen d-ekstra boyutun birlikte oluşturdukları (4+d)-boyutlu büyük evren

Zar(brane):

Bulk içindeki alt uzaylar;

Örnek: Bulk 5-boyutlu uzay-zaman ise içinde yaşadığımız 3-boyutlu uzay bir 3-zar olarak ele alınır

(38)

3. Ekstra Boyutların bir Sınıflandırması

1. Şimdiye kadar ele alınan ekstra boyutlarda tüm kuvvetler ve parçacıklar ifade edilebiliyorlardı: bu türden ekstra boyutlar Kaluza ve Klein’ ın orijinal olarak öngördükleri

evrensel ekstra boyutlardır

Evrensel ekstra boyutlarda tüm parçacıkların uyarılmış Kaluza-Klein durumları vardır. 2. Bilinen parçacıkların ve ayar kuvvetlerinin ekstra boyutlara kaçmalarına izin

verilmeyen sadece gravitasyonun ekstra boyutlara geçmesine izin verilen

“sadece-gravitasyon” türü

ekstra boyutlar

ADD türü ekstra boyutlar RS türü kıvrılmış ekstra boyutlar

S₅ = d4_{x dy {L}

bulk + Lzar δ(y)}

5-boyutlu uzay-zaman için

Bilinen dünya y=0 3-zarında

(39)

Bizim evre

(40)

4. Ekstra Boyutların Sınırları

•Şu an için ekstra boyutlar hakkındaki en önemli deneysel gerçeklik:

Herhangi bir türden herhangi bir ekstra boyuta dair bir kanıt henüz yok!

•Güncel hızlandırıcılarda 10-18_{m~1TeV mertebesine kadar duyarlı ölçümler yapılıyor.}

•ADD ve RS türü büyük ekstra boyutlar varsa 1TeV in üzerindeki enerjilerde gözlenebilir

•Bilinen parçacıklar ve ayar kuvvetleri bir 3-zara hapsedilmişse ve bulkun

tümünde hareket edilmesine izin verilen tek alan graviton ise o zaman gravitasyon deneyleri ekstra boyutların araştırılmasında daha önemli olabilir. Böyle deneylerde, Newton’ un ters kare kuvvet yasası doğrudan(Cavendish türü deneylerle)

(41)

Cavendish türü deneyler

Ters-kare kuvvet yasasından 4-boyutlu gravitasyon alanı(graviton) sorumlu kütleli

gravitonların katkısı

(42)

Ankara YEF Seminerleri-07 42 g₁ Bu bölge %95 Güvenilirlik Seviyesinde deneysel olarak dışarlanmış!

(43)

Hızlandırıcı Deneyleri

Hızlandırıcılarda iki türlü ekstra boyut etkisi gözlenebilir:

İlki, soldaki şekildeki gibi bir graviton 3-boyutlu dünya üzerinden

ekstra boyutlara(megaevrene)

kaçar ve ortada 3-boyutlu dünyada bir kayıp enerji gözlenir.

Sağdaki etkileşmede graviton kısa süreliğine dünyayı

terkeder ve hemen sonra iki fotona

(44)

Ankara YEF Seminerleri-07 44 Tartışma-1: Ekstra Boyutların olası sonuçları:

• Kuvvetleri birleştirebilir

• Newton yasası: kısa ve uzun mesafede değişebilir, gravitasyonun •Neden zayıf olduğunu açıklayabilir.∗

• EWSB: Higgs ile§, veya “Higgs olmadan”, parçacıkların kütle kazanma mekanizması hakkında fikir verebilir.¶

• Fermion kütleleri: Yukawa bağlaşımları • ν kütleleri/karışımlar: bulk neutrinoları∗∗ • GUT: ††

• SUSY GUT: ∗

• yeni kozmoloji-karanlık madde adayları‡ kozmolojikl sabit.† ∗Dvali et al.

§Cheng et al.; Luty et al.; Hall et al.; Ignatius et al.; Z. Chacko and A. Nelson ¶C. Csaki et al.

kMirabelli and Schmaltz; Arkani-Hamed et al. ∗∗Mohapatra, Nandi, Perez-Lorenzana;

Dienes et al.; Dimopoulos et al.

††Dienes, Dudas, Gherghetta; Dumitru and Nandi. ∗Hall and Nomura; Hebecker and March-Russell et al.

‡Binetruy et al.; Kaloper et al.; Csaki et al.; Flanagan et al.; Cline et al.; Kanti et al.; Mohapatra et al.

(45)

(46)

Bazı Kaynaklar

1. G. Nordström, “On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields”, Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914)

2. Th. Kaluza, “On the unity problem of physics”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921) 3. O. Klein,”Quantum theory and five dimensional theory of relativity”, Z. F. Physik 37, 895(1926)

4. L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999) hep-ph/9905221; Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) hep-th/9906064

5. T. Appelquist, et al. Modern Kaluza-Klein Theories, 1987 5. K. Dienes, 2002 TASI Lectures,

6. T. Rizzo, hep-ph/0409309

7. J. Hewett, 2006 Summer School on Particle Physics at ICTP Lecture Notes 8. Tao Han, Univ. of Arizona, Oct. 29, 2004, lecture notes