(1)FİZ0423 ÖZEL GÖRELİLİK TEORİSİ 9

(1)

FİZ0423 ÖZEL GÖRELİLİK TEORİSİ 9. Hafta

A.OZANSOY,FİZ0423, 9. HAFTA 1

1

BÖLÜM-V: RELATİVİSTİK PARÇACIK MEKANİĞİ

1. Dört-Momentum (veya enerji-momentum 4-vektörü):

Newton mekaniği Galileo invaryant, Lorentz invaryant değil. Burada kuracağımız yeni mekanik, Newton mekaniğinin gravitasyonel olmayan kısmını içermelidir. Parçacık sistemleri ve parçacık çarpışmaları bu bölümün ana konusudur. Dört-kuvvetten daha önce dört-momentumu tanımlayarak bu bölüme başlamak daha uygun olur.

 ^{( ) , ( )}   ^{( )} ^{, ( )} 

P mU

P m u c u u u mc u mu

 

    



  (1)

(Lütfen dikkat: Bazı kaynaklarda karşılaşabileceğinizin tersine, m0’ ı kütle olarak adlandırıp m= m0 relativistik kütle terimini kullanmayacağız! )

 Bir çarpışmaya giren tüm parçacıkların 4-momentumlarının toplamı, çarpışmadan sonra açığa çıkan tüm parçacıkların 4-momentumlarının toplamına eşit olmalıdır.

2. Enerji-Kütle-Momentum Özdeşliği

Dört-momentum ifadesinde sıfırıncı bileşen (zaman bileşeni) ne anlama geliyor? Bu bileşen sanki kütlenin korunumu gibi görünse de öyle olmadığı hemen anlaşılıyor. Klasik olarak kütle korunumludur ve radyasyona dönüşemez. Ancak elektron-pozitron çiftinin yok olarak iki fotona dönüşmesi gibi kütlenin radyasyona dönüştüğü örnekleri biliyoruz. Bu nedenle, bu sıfırıncı bileşen enerjinin korunumu ile ilgili olmalı.

 E0=mc²: Durgunluk enerjisi (ya da durgun kütle enerjisi)  Bir cismin durumunun nicel bir ölçüsü olan; hareketi ile ilgili olmayan bir enerjidir. Enerji-kütle özdeşliği başka bir aksiyomdan çıkarılamaz.

1. Dört-Momentum

2. Enerji-Kütle-Momentum Özdeşliği 3. Göreli Çarpışmalar ve Eşik Enerjileri 4. De Broglie Dalgaları

5. Dört-Kuvvet

(2)

2



( ) 2

( ) 3

E u mc toplam göreli enerji

p u mu toplam göreli momentum





 

 Bu tanımları kullanarak, 4-momentum vektörünü şu şekilde de yazabiliriz:

, , ,

E E

P p P p

c c



   

     (2)

 (1) denkleminden;

 ^{( )} ^{, ( )}   ^{( )} ^, ^{( )} 

P^   u mc  u mu P_   u mc  u mu

   ²   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) c

P P P u m c u m c u m c

c u

  

     

 (3)

 (2) denkleminden;

2 2

E E

P P P p p p

c c



       (4)

 (3) ve (4) denklemleri birleştirilerek göreli enerji-momentum-kütle özdeşliği elde edilir;

2

2 2 2

2

E p m c

c  

 Kütlesiz parçacık için 4-momentum:

m = 0 için u=c’ dir. Foton kütlesiz bir parçacıktır (elektromanyetik alanın kuantumudur).

Fotonun enerjisini ve momentumunu belirleyen tek şey frekansıdır.

Ehf ve enerji-momentum-kütle özdeşliğinden E p c  fotonun momentumun büyüklüğü p ^hf

 c olarak elde edilir. Momentumun yönünü belirleyen bir ˆn vektörü de ekleyerek, kütlesiz parçacık için 4-momentum vektörü şu şekilde yazılır:

ˆ

(1, ) :

P hf n f frekans c

 

 Göreli kinetik enerji:

Toplam göreli enerji için seri açılımı yapalım:

2 2

2

1 1

E mc mc

u c



 



Bir fonksiyonun x=a noktası etrafında Taylor seri açılımı

(3)

3

( )

0

( ) ( )( )

!

n

n n

f a

f x x a

n





  şeklindedir. a= 0 için seri Maclaurin serisi adını alır.

 

2

1/ 2 2

( ) 1 1

1

u x f x x

c x

    

 alarak

2 2

2 2 2

2

2 2

4

2 2

2

1 3

1 2 8

1 3

1 2 8

1 3

2 8

E mc x x

u u

mc c c

mc mu m u

c

 

     

   

 

       

 

    

 

 Buna göre göreli kinetik enerji şu şekildedir: ^K ^^ ^¹^mc²

 4-momentum vektörünün dönüşümü:

4-momentum vektörü de bir 4-vektör olduğu için Lorentz dönüşümleri altında şu şekilde dönüşür:

P'^ _^{ }P























1 0 0 0

0 1 0 0

0 0









  Standart şekillenim için Lorentz Dönüşüm matrisi

 

'0 0 1

'1 1 0

'2 2

'3 3

P P P

P P

 

 



' '

' ' ' ' '

, , , ,

x y z

E E

P p p p p

c c

E E

P p p p p

c c





   

   

   

   

    

olmak üzere;

 

'

' '

2

'

x x

x x x x

y y

z z

E E

p E E vp

c c

E v

p p p p E

c c

p p

  

 

      

   

        

   



Durgunluk

enerjisi Klasik kinetik enerji

u <<c için ihmal