(1)FİZ0423 ÖZEL GÖRELİLİK TEORİSİ 8

(1)

FİZ0423 ÖZEL GÖRELİLİK TEORİSİ 8. Hafta

A.OZANSOY,FİZ0423, 8. HAFTA 1

1

BÖLÜM-IV: UZAYZAMAN ve DÖRT-VEKTÖRLER

1. Giriş

 İnvaryant: Dönüşümler altında değeri değişmeyen nicelik

 Kovaryant: Dönüşümler altında formu değişmeyen nicelikler (denklemler).

 Minkowski uzayı: 4-boyutlu uzayzaman (3 uzay + 1 zaman boyutu)

 Karesi alınmış aralık: Uzayzamanda iki olay göz önüne alalım, (x, y, z, t) ve (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt). Uzaydaki iki nokta arasındaki uzaklık kavramını, uzay-zamandaki iki nokta arasındaki aralık kavramına genelleştirebiliriz; bunu ds ile adlandıralım. ds’

nin tüm (eylemsiz) gözlemciler için aynı olması için Lorentz dönüşümleri ve dönmeler altında değişmez kalması gerekir ve şu şekilde verilir,

).

( ² ² ²

2 2

2 c dt dx dy dz

ds    

 Bu tanımla birlikte, bir zamantürü (zamansal) aralıkla ayrılan olaylar ds  ; bir ² 0 uzaytürü (uzaysal) aralıkla ayrılanlar ds ² 0; ve bir sıfır ya da ışıktürü (ışıksal) aralıkla ayrılanlar ds²=0 şeklindedir.

2. Dört-vektörler (4-vektörler ya da dörtlü vektörler)

Dört-vektör notasyonu kullanışlı bir matematiksel araçtır çünkü herhangi iki 4-vektörün skaler çarpımı Lorentz invaryant bir niceliktir. Lorentz dönüşümleri ile birbiriyle bağlantılı olan (birbirinin içine karışan) iki fiziksel nicelik bir 4-vektör oluşturabilir.

Örneğin, uzay ve zaman, enerji ve momentum, yük yoğunluğu ve akım yoğunluğu vs.

 Dört vektörleri tanıtmak için Yunan alfabesinin harflerinden yararlandığımız (,, , ,

, ,  vb) bir indis kullanırız. Bu indis 0, 1, 2 ve 3 değerlerini alır ve Lorentz indisi olarak adlandırılır.

 İlk olarak dört-konum vektörünü tanıtarak başlayalım. x gibi, bir üst indisli, 4-vektöre ^ bir kontravaryant dört-vektör ve x_ gibi, bir alt indisli olana bir kovaryant dört-vektör denir. Burada x^kontravaryant dört-konum vektörü olmak üzere;

0 1 2 3

( , , , ) ( , , , ) ( , )

( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , )

x x x x x ct x y z ct r

x x x x x x x x x

ct x y z ct r



  

    

     

^:

0,1, 2, 3 Lorentz indisi



  1. Giriş

2. Dört-vektörler

3. Dört-hız ve Dört-ivme

(2)

2

 Bir kontravaryant ve bir kovaryant dört-vektörün iç çarpımı bir değişmezdir (skalerdir). Değişmez (invaryant) kalma kuralını bir üst ve bir alt indis üzerinden toplam alarak sağlarız:

3

2 2 2 2 2 2

0

ds dx dx^ _ c dt dx dy dz



     (Einstein toplama kuralı: Tekrarlanan indisler üzerinden toplam var. Burada tekrar eden indislerden biri altta diğeri üstte olmalıdır. Bu indise sağır (dummy) indis denir).

 Metrik tensör: 4-lü skaler çarpımı tanımlamak için metrik tensör gereklidir. x^ ve x_ arasındaki (ya da herhangi bir kontravaryant vektörle onun kovaryant karşılığı arasındaki) ilişki bir metrik tensör g_ tanıtılarak verilebilir

₀ ₁ ₂ ₃

0 1 2 3 , 0,1, 2, 3

x g x

g x g x g x g x

  

    



    

Bu ifadede toplama anlaşması kullanılmıştır.

0

0 , _i ⁱ 1, 2, 3 x x x  x i



















 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

g



















 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

g

burada satırlar ve sütunlar 0, 1, 2 ve 3 bileşenlerine karşılık gelmektedir. Özel görelilikte metrik pasif bir rol oynar. Uzayın geometrisi ile ilgili tüm bilgiyi içerir. Ancak genel görelilikte, uzayın geometrisi de sabit olmadığından metrik aktif bir rol oynar.

 Dörtlü Skaler çarpım:

0 0

A B_ ^  A B^ _ A B   A B

A B A B A B  A B A B

B A

B A B A B A B A

B A B A B A B A B A

z z y y x x























0 0 0

0

3 3 2 2 1 1 0 0

3 3 2 2 1 1 0

 0



İndis kontraksiyonu

(3)

3

 Diferansiyel işlemciler:

0 1 2 3

( , , , )

( , , , ) (1 , , , )

1 , x

x x x x c t x y z

c t

 

       



       

 

       

  

  

0 1 2 3

( , , , )

( , , , ) (1 , , , )

1 , x

x x x x c t x y z

g c t



 



       



       

    

       

  

     

: d’ Alembertyen işlemcisi (Lorentz invaryant bir nicelik)

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

1 1

c t x y z c t

 

 

    

           

3. Dört-hız ve Dört-ivme

Newtonyen fizikte zaman (t) mutlaktır ve zaman değişimlerin ona göre ölçüldüğü bir parametre olarak alınır. Ancak Lorentz dönüşümlerinde zaman bir parametre değildir ve t koordinatlardan bağımsız değildir. İnvaryant bir parametre olarak has zaman () alınabilir. Has zaman ile zaman arasındaki ilişki;

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

1

1 c

u c

u u u dt

d

c dz dy dx c

dt c c

dz dy dx dt c c d ds

z y

x  









  







 



  



 



 





1 d ( )

burada u

dt

  

  

 Dört-hız şu şekilde tanımlayabiliriz:



 

d U dx

(4)

4

   

( )

( ) , ( ) ,

dx dt dx

U d d dt

dt u

d

U u d ct r u c u

dt

 



 

 

 

 



 

 Dört-hızın dörtlü skaler çarpımı:

 ,  ( )

)

(u c u U U ² c² u u

U_    ^ _   U U^ _ c2

 Dört-ivmeyi de şu şekilde tanımlayabiliriz:



 

d A  dU

 

( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )

( ) ( ), ( ) ( ) dU dt dU

A d d dt

d d u du d u

A u u c u u u c u u

dt dt dt dt

u c u u a u u

 



 

 

    

   

 

 

    

 

 4 vektörler nasıl dönüşür?

X^ herhangi bir 4-vektör olmak üzere





 X

X^' 























1 0 0 0

0 1 0 0

0 0







 Standart şekillenim için Lorentz dönüşüm matrisi