T. C.
İSTANBUL 29 MAYIS ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
FELSEFE ANABİLİM DALI
ALAIN BADIOU’NUN VARLIK FELSEFESİNDE
MATEMATİK-‐HAKİKAT İLİŞKİSİNİN ELEŞTİREL BİR
DEĞERLENDİRMESİ
(YÜKSEK LİSANS TEZİ) İlknur ÇELİKEL İSTANBUL -‐ 2015
T.C.
İSTANBUL 29 MAYIS ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
FELSEFE ANABİLİM DALI
ALAIN BADIOU’NUN VARLIK FELSEFESİNDE
MATEMATİK-‐HAKİKAT İLİŞKİSİNİN ELEŞTİREL BİR
DEĞERLENDİRMESİ
(YÜKSEK LİSANS TEZİ) İlknur ÇELİKEL Danışman:
Doç. Dr. Ahmet Ayhan ÇİTİL İSTANBUL -‐ 2015
TEZ ONAY SAYFASI
T. C.
İSTANBUL 29 MAYIS ÜNİVERSİTESİ
SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE
... Anabilim Dalı,
... Bilim Dalı’nda ... numaralı ………... ...’nın hazırladığı
“...” konulu ... (Yüksek Lisans/Doktora Tezi) ile ilgili tez savunma sınavı, .../.../ 20.... günü ……… -‐ ………..saatleri arasında yapılmış, sorulan sorulara alınan cevaplar sonunda adayın tezinin ………..….. (başarılı/başarısız) olduğuna ……… (oybirliği/oy çokluğu) ile karar verilmiştir.
Üye (Tez Danışmanı ve Sınav Komisyonu Başkanı) Akademik Unvanı, Adı Soyadı
Üniversitesi
Üye
Akademik Unvanı, Adı Soyadı Üniversitesi Üye
Akademik Unvanı, Adı Soyadı Üniversitesi
Üye
Akademik Unvanı, Adı Soyadı Üniversitesi Üye
Akademik Unvanı, Adı Soyadı Üniversitesi
.../.../ 20...
ÖZET
Yazar Adı ve Soyadı : İlknur ÇELİKEL
Üniversite :
İstanbul 29 Mayıs Üniversitesi
Enstitü : Sosyal Bilimler EnstitüsüAnabilim Dalı : Felsefe Bilim Dalı : Felsefe
Tezin Niteliği : Yüksek Lisans Tezi Sayfa Sayısı : X + 176
Mezuniyet Tarihi : …. / …. / 20……..
Tez Danışmanı : Doç. Dr. Ahmet Ayhan ÇİTİL
ALAIN BADIOU’NUN VARLIK FELSEFESİNDE
MATEMATİK-‐HAKİKAT İLİŞKİSİNİN ELEŞTİREL BİR DEĞERLENDİRMESİ Anahtar Sözcükler:
Felsefe, Matematik, Ontoloji, Küme Kuramı, Badiou, Model Kavramı, Özne Teorisi.
ABSTRACT
Name and Surname : İlknur ÇELİKELUniversity :
İstanbul 29 Mayıs University
Institution : Social Science InstitutionField : Philosophy
Branch : Philosophy Degree Awarded : Master Page Number : X + 176
Degree Date : …. / …. / 20……..
Supervisor : Doç. Dr. Ahmet Ayhan ÇİTİL
A CRITICAL EVALUATION OF THE RELATION BETWEEN MATHEMATICS AND TRUTH IN ALAİN BADİOU’S PHILOSOPHY OF BEING
Keywords:
Philosophy, Mathematics, Ontology, Set Theory, Badiou, Model Theory, Subject Theory.
ÖNSÖZ
Düşünce tarihinin en asli sorusu olan; “ne var ne yok?” etrafında gelişen ontoloji yaklaşımlarına baktığımızda, Parmenides’ten bu yana birçok filozofun, varlıksal anlamda bir ile çok tartışmasına açıklama getirme çabasını görürüz. Varlık “bir” mi yoksa “çok” mu? Görünen çokluk ortamı bir yanılsama mı yoksa “bir”e dair tüm inanış ve tezler sadece birer aşkın söylemden mi ibaret? İlkini kabul edip varlık alanını bir çokluk ortamı gibi düşündüğümüzde ne gibi sonuçlar ortaya çıkar, ya da Parmenides’in savunduğu tarzda herhangi bir çokluk ortamının mümkün olmadığını varsaydığımızda ortaya ne gibi çıkmazlar çıkar? Bu ve benzeri soruların zeminde durduğu bu tartışmanın günümüze kadar geçirdiği süreçte belli kırılım noktalarına yer vererek, çağdaş felsefenin önemli isimlerinden Alain Badiou’nun konuya getirdiği küme kuramı temelli yaklaşımın detaylarını aktarmak bu tez boyunca ana amacımız olacaktır.
Bu bağlamda özellikle klasik dönem yaklaşımlarından çok farklı olarak, son dönemde gelişim ve yayılım gösteren pragmatist yaklaşımlarla felsefi tezler geliştirilmesi ve bunun matematik temelli bir ontolojinin geliştirilmesinde rol oynaması bu konuya yönelmemizde etkili olmuştur. Bu nedenle varlık alanında “bir”in aksine çokluk ortamının hakim olduğunu savunan Badiou’un, ortaya koyduğu ontolojik yaklaşım bu tezin ana konusunu oluşturmaktadır. Özellikle Being and Event adlı kitabı üzerinden ele alıp incelemeye çalıştığımız mesele, “matematik =ontoloji” ifadesinin nasıl temellendiği noktasında şekillenmektedir. Bu nedenle tezin ilk bölümlerinde daha ziyade küme kuramı ve model
tartışmalarına detaylıca eğinilmiştir. Akabinde ise özellikle Badiou’nun aşkın ve inşacı olmak üzere iki ana kategori altında topladığı düşünce oryantasyonlarına karşılık, jenerik düşünce sistemini matematik temelli bir ontoloji fikriyle nasıl mümkün kıldığı gösterilmeye çalışılmış ve Badiou’nun özneyi hakikatin yaratıcısı olarak etkin bir noktaya taşıma projesinin detaylarına hadise, sadakat, hakikat ve özne başlıkları altında tek tek yer verilmiştir.
Böyle bir yol ve yöntem izlememizde ana amaç ise, akademik anlamda Badiou ile ilgili olan birçok çalışmanın daha ziyade siyaset, sanat, etik vb konulardaki görüşleriyle ilgili olup meselenin zemininde yer alan ontolojik yaklaşımına dair yaşanan ciddi eksikliktir. Bu noktada hem ülkemiz hem de uluslararası çalışmalara baktığımızda Badiou’nun, matematik = ontoloji derken aslında neyi kasettiği ve böyle bir ontolojik sistemle ilişkili olarak nasıl bir özne teorisi geliştirdiği tam anlamıyla bilinemediğini görmekteyiz. Bu sebeple çalışmamız Badiou’nun Being and Event adlı kitabıyla sınırlı tutulmakla birlikte, küme kuramını ontoloji olarak görmesinin nedenleri, küme kuramının gelişimi ve model tartışmaları, geçmişten günümüze düşünce oryantasyonlarında küme kuramı ile ontoloji ilişkisi ve Badiou’nun tüm bu zemin üzerine geliştirdiği özne teorisine dair bölümle birlikte sonuçlanmaktadır.
Böyle bir çalışmaya yönelmemde beni teşvik eden ve akabinde her türlü destek ve özverisiyle tüm süreç boyunca her anlamda mihmandarlık ve rehberliğini esirgemeyen, Platon’un deyimiyle canı bereketli insan, danışmanım Doç. Dr. Ayhan Çitil’e, felsefe ve daha birçok alandaki bilgi birikimden beni ziyadesiyle faydalandıran Prof. Dr. Tahsin Görgün’e ve yine bu tezin yazımında özellikle zor zamanlarımda yanımda olan arkadaşlarım Zeynep Özbek, Büşra Kocaer ve aileme teşekkürü bir borç bilirim.
İÇİNDEKİLER
TEZ ONAY SAYFASI ... II
ÖZET ... III ABSTRACT ... IV ÖNSÖZ ... V İÇİNDEKİLER ... VII KISALTMALAR ... X GİRİŞ ... 1 BİRİNCİ BÖLÜM ... 9
KÜME KURAMI VE SÜREY VARSAYIMI ... 9
1. BADIOU’NUN KÜME KURAMıNı BIR ONTOLOJI OLARAK GÖRMESININ NEDENLERI ... 9
2. KÜME KURAMıNıN GELIŞIMI (CANTOR VE SONLUÖTESI KÜME KURAMı) ÜZERINE KıSA NOTLAR ... 15
2.1. CANTOR’UN KÖŞEGEN YÖNTEMI ... 18
3. KÜME KURAMıNıN TEMEL KAVRAMLARı ... 20
3.1. KÜME KURAMı’NıN AKSIYOMLARı ... 26
4. SONSUZLUK VE KÜME KURAMı ... 31
6. SÜREY VARSAYıMı’NıN KÜME KURAMıNıN AKSIYOMLARıNDAN
BAĞıMSıZLıĞıNıN GÖSTERILMESI ... 39
6.1. PAUL COHEN VE SÜREY VARSAYıMı ... 43
İKİNCİ BÖLÜM ... 45
ZORLAMA YÖNTEMİ ... 45
1. MODEL KAVRAMı ... 45
1.1. RUSSELL PARADOKS ... 54
1.2. COHEN’IN ISPATıNıN GENEL ÇIZGISI ... 66
1.3. JENERIK KÜMELER VE ADLANDıRMA: POTANSIYEL BIR ELEMANıN ADLANDıRıLMASıNıN MEVCUT MODELI DÖNÜŞTÜRMESI ... 73
1.4. ZORLAMA VE SÜREY VARSAYıMı’NıN DEĞILININ DOĞRULANDıĞı BIR MODELIN INŞASı. ... 81
1.4.1. NOTASYON VE TEMEL TERIMLER ... 81
1.4.2. GÖDEL VE İNŞA EDILEBILIR EVREN ... 85
1.4.3. COHEN’IN ISPATı ... 88
1.4.4. ADLANDıRMA VE ZORLAMA ... 93
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM ... 95
KÜME KURAMI VE ONTOLOJİ ... 95
1. KÜME KURAMıNDAN ONTOLOJIYE GEÇIŞ: BIR VE ÇOK ... 95
2. DURUM VE DURUMUN HALI ... 114
3. DÜŞÜNCENIN ÜÇ FARKLı YÖNELIMI ... 125
3.1. AŞKıN DÜŞÜNCE ... 129
3.3. JENERIK DÜŞÜNCE ... 133
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM ... 137
HADİSE VE ÖZNE ... 137
1. HADISE ... 138 2. SADAKAT ... 145 3. HAKIKAT ... 153 4. ÖZNE ... 162 SONUÇ ... 169 KAYNAKÇA ... 173
KISALTMALAR
Kısaltma Bibliyografik Bilgi
Bkz. Bakınız C. Cilt çev. Çeviren der. Derleyen ed. Editör haz. Hazırlayan karş. Karşılaştırınız md. Madde nu. Numara s. Sayfa vd. Ve diğerleri vb. Ve benzeri vs. Vesaire
GİRİŞ
Son yıllarda özellikle siyaset ve ahlak felsefesi alanlarında geliştirdiği söylemlerle ön plana çıkan Alain Badiou, 1937 yılında Fas’ta dünyaya gelmiş, Mao, Marx, Aziz Pavlus, Platon ve Kant gibi çok farklı kaynakları bir araya getirmiş bir filozoftur. Üniversite eğitimini felsefe üzerine tamamlamış olmanın yanı sıra, matematiğe olan ilgisi de hayatı boyunca devam etmiş ve sürekli olarak bu iki alanı birlikte düşünüp ele almıştır. Bu anlamda çağdaş felsefenin büyük ölçüde Platon’dan uzak ve onu yanlış tanıyarak kurulduğunu savunurken, Platon’un filozofları geometri bilmeye çağırmasına uygun olarak felsefeyi matematikselleştirmiş ve matematiği varlıkbilimi olarak ilan etmiştir.1
Badiou’nun 1967 yılında Louis Althusser tarafından oluşturulan ve Jacques Lacan’ın etkisinde hızla büyüyen bir çalışma grubuna katılması, felsefi görüşlerinin aldığı seyirde etkili olmuş ve böylece Marksist düşünceye dair başlayan ilgisi ömrü boyunca devam etmiştir. Aktif siyasette de bulunan Badiou, özellikle 1968’deki öğrenci ayaklanmaları sonrası siyasi düşüncelerinde daha da katılaşarak aşırı sol, komünist ve Maoist gruplara katılmıştır. Uzun bir süre
1 Badiou’nun özgeçmişiyle ilgili daha geniş bilgi için:
WIKIPEDIA, “Alain Badiou”
https://en.wikipedia.org/wiki/Alain_Badiou (Erişim 08.07.2015) THE EUROPEAN GRADUATE SCHOOL, “Alain Badiou-Biography” http://www.egs.edu/faculty/alain-badiou/biography/ (Erişim 08.07.2015)
Fransız Genç Komünistler Birliği'nin de üyesi olan Badiou’nun siyasete dair ilgisi hep canlı kalmış, bu alanda da etkinliğini sürekli olarak devam ettirmiştir.
1969’da 8. Paris Üniversitesi Fakültesi’ne girip Althusser’ci Marksist çizgisini devam ettiren Badiou, sonrasında birçok üniversite ve kuruluşta da dersler vermiştir.
Sanattan siyasete, edebiyattan ahlaka bir çok farklı alanda eserler ortaya koymuş olan Badiou, sistemli bir filozof olarak felsefi ve siyasi düşüncesini de temellendiren ontolojik yaklaşımını da kitaplaştırmaktan geri durmamıştır. Bu bağlamda özne teorisi üzerine özgün fikirler sunduğu ilk önemli eseri Théorie du sujet (Özne Kuramı) 1982, yine özne anlayışının ontolojik temellendirmesini ortaya koyduğu L'Être et l'Événement (Varlık ve Hadise)’i 1988’de ve yakın zaman önce L'Être et l'Événement’ın ikinci cildi olarak Logiques des Mondes (Dünyaların Mantığı) adlı eserini yayımlamıştır. Bu eserlerinde Badiou’nun daha ziyade özneyi özellikle etkin bir fail olarak var kılabilmeyi ve bunu nesnel bir ontolojiyle açıklamayı amaç edindiğini görürüz. Zira bu düstur Badiou’nun, gerek felsefi ve gerekse siyasi geçmişiyle gayet ilişkili ve tutarlı görünmektedir. Bir Yahudi olarak dünyaya gelen Badiou, ömrü boyunca Yahudi soykırımı üzerinde durmuş, gençlik yıllarında 68 öğrenci olaylarında aktif olarak yer almış, sonrasında radikal sol ve hatta Maoist akımlara eğilim göstermiş ve akabinde Althusser gibi bir düşünürden Marksist okumalar yapmıştır. Böyle bir geçmiş ve arka plan diyebiliriz ki, onu en başından itibaren özneye yer açabilme fikri üzerine yoğunlaştırmıştır. Çünkü genelde döneminin şartlarından, özelde ise geçmişinden soyutlanamayan birçok düşünür gibi Badiou’da, tamamlanmış bir bütün ve insanın herhangi bir etkisinin olamayacağı düşünülen her türlü sisteme karşı duran bir fikriyatla yetişmiştir. Onu, belki de hayatı boyunca özne olmaya
yer açan bir ontoloji fikri üzerine iten en önemli etmen bu idi. Ve özellikle hem matematik hem de felsefe alanındaki uzmanlığı ona bu iki perspektiften bakıp; meseleye kadim felsefi yaklaşımlarla, modern çağın bilim odaklı pragmatist akımlarını kıyaslayarak yorum getirebilme imkanını sağlamıştır.
Bu bağlamda, hem antik hem de modern düşünceye hakim kişiliğiyle Badiou, özneye yer açan bir ontoloji geliştirme projesinde, kendisinden önce olan temel yaklaşımları Aşkın düşünce (İng. Transendent Thought) ve İnşacı düşünce (İng. Contructivist Thought) olarak iki temel perspektife ayırmıştır.2 Yani Badiou’ya göre antik dönemin klasik yaklaşımı Platoncu diyebileceğimiz aşkın düşünceyken, modern dönem yaklaşımı ise, daha ziyade Kant sonrası şekillenen inşacı yaklaşımları doğuran düşüncedir. Ancak Badiou, bu iki perspektifin de bir takım problemli yanlar barındırdığını iddia etmiştir. Ona göre inşacı düşünce dil ile inşa edilebilir olanı esas alıp, var olanı ve varlığı bununla sınırlamaya çalışırken, aşkın düşünce, tam tersine, sonsuz varlığı esas alıp, klasik matematik yöntemlerindeki ya da Cusanus’un daralma teorisinde3 olduğu gibi sonsuzdan sonluya, yukarıdan aşağı bir daralmanın kabulüyle oluşturulmuştur. Yani inşacı
2 Alain Badiou, Being and Event, Çev. Oliver Feltham - Justin Clemens - Alberto Toscana - Ray
Brassier (London: Continuum Books, 2012), s. 518 ve 281-284.
3 Nicolaus Cusanus, 1401-1464 yılları arasında yaşamış bir Alman filozofu olmasının yanısıra,
kardinallik de yapmış bir din adamıdır. Matematikle de ilgilenen Cusanus, kozmoloji, ontoloji ve teoloji hakkındaki görüşleriyle ön plana çıkmıştır. Ve kendisinden sonra birçok filozofun etkisinde kalacağı sudur (contraction) teorisini ortaya koymuştur.
Hakkında daha geniş bilgi için bkz.: Bond, H.L. (tr.), 1997, Nicholas of Cusa: Selected Spiritual
Writings, New York: Paulist.Hopkins, J. (tr.), 2001, Complete Philosophical and Theological
düşünce dediğimiz perspektif, varlığı tecrübe edilebilenden hareketle kuran, yalnızca inşa edilebilir olanı kabul edip, inşa edilemeyeni yok sayan bir yaklaşım geliştirirken aşkın düşünce, tam zıt yönde sonsuzdan, yukarıdan başlayıp, tecrübe ettiğimiz biçimiyle dünyayı, sonsuz ve bütün olanın bir daralması, bir parçası olarak görmüştür. Yani aşkın yaklaşım özneyi tamamen saf dışı bırakan, onun etkin olamayacağı tamamlanmış bir bütün üzerinden geliştirilirken, inşacı yaklaşım varlıksal statüde tecrübe edilebilir ve sonlu olandan başlayarak dilin sınırları çerçevesinde kurulabilen bir varlık alanı sunmaktadır. Badiou için bu iki temel perspektif de varlığı açıklayabilmek için eksik ve yetersizdir. Çünkü varlık, ne aşkın düşüncenin sınırlarını çizdiği kapalı bir bütün ne de inşaacı yaklaşımın dil alanına hapsedilebilecek bir şeydir. Bu yüzden bir matematikçi olarak Badiou, bu alanda sağlanan ilerlemelerin sağladığı imkanlarla, küme kuramını temel alarak Jenerik düşünce (İng. Generic Thought)4 adında yeni bir perspektif
geliştirmiştir. Bu perspektif ona göre hem antik hem de modern yaklaşımların neşet ettiği iki temel düşüncenin aksine, özne olmayı tam manasıyla açıklayıp, onun mahiyetine nüfuz etmeye imkan sağlamaktadır. Diğer iki yaklaşım da Badiou’ya göre özne olmayı açıklamakta yetersiz kalmaktadır. Bu sebeple her iki yaklaşımda da bunu fark etmeden geliştirilen her türlü ontolojik faaliyet öznenin gerçek mahiyetini anlama ve açıklama noktasında eksik kalmıştır. Badiou’ya göre bu eksikliği, modern matematiğin geldiği son nokta olarak kabul edilen küme kuramı ve sonsuzluk tartışmaları bağlamında Badiou’nun geliştirdiği jenerik düşünceyi dikkate almadan anlamak ve açıklayabilmek mümkün değildir. Badiou bu sebeple, tüm ontolojik sistemini küme kuramı üzerine kurmuş ve o alandaki
gelişmelerle jenerik düşünceyi ortaya koyarak, özneye etkin bir şekilde yer açmayı denemiştir. Ontolojik yaklaşımının temeli olmakla birlikte, tüm diğer alanlardaki görüşleri de bu düşünce üzerinde şekillenmektedir. Bu yüzden matematiğin dünyasında küme kuramı üzerinden geliştirdiği bu özneye yer açma projesi, Badiou düşüncesinin zeminini anlayabilmenin en etkin yoludur diyebiliriz.
Özneyi merkeze alan bu düşünce sisteminin, son yıllarda dünyada ve Türkiye’de Badiou’ya yönelik ilgiyi artırdığını söyleyebiliriz.5 Ancak yapılan
5 Alain Badiou, kıta felsefesinin son dönemde öne çıkan isimlerinden biri olmakla birlikte hakkında yapılan çalışmalara baktığımızda, kurmuş olduğu bütün felsefi sistemin zemininde duran ontolojik yaklaşımından ziyade etik, siyaset, sanat, din, özne teorisi ve aşk gibi konulara yoğunlaşıldığını görürüz. Özellikle Türkiye’de bu konuyla ilgili çalışan ender isimlerden biri olan Ankara üniversitesi öğretim üyesi Yücel Dursun’un, konuyla ilgili bir takım makale ve çalışmaları mevcuttur ancak bunun haricindeki çalışmalar ontolojik yaklaşımına tam olarak değinmekten uzak metinlerdir diyebiliriz.
Badiou’nun matematik üzerine kurulu ontoloji yaklaşımıyla ilgili bir çalışma olarak bkz. Yücel Dursun, Badiou’daki İki’yi dengeye oturtmak ya da Bir’in hesaba katılışı, FLSF (Felsefe ve Sosyal Bilimler Dergisi), 2013 Bahar, sayı: 15, s. 171-185 ISSN 1306-9535.
Bkz. Maciej Malicki, Matheme and mathematics. On the main concepts of the philosophy of Alain
Badiou, Department of Mathematics and Mathematical Economics, Warsaw School of Economics.
Badiou’nun özne kuramına ilişkin bir çalışma olarak bkz. Todd McGowan, Subject of the event, subject
of the act: The difference between Badiou’s and Zˇizˇek’s systems of philosophy, 2010 Macmillan
Publishers Ltd. 1755-6341 Subjectivity Vol. 3, 1, 7–30.
Badiou’nun teolojik yaklaşımına dair bir çalışma olarak bkz. Roland Boer, Theology and the event: the
çalışmalara baktığımızda, içeriklerin yüzeysel bir seviyede kalıp, özellikle siyaset ve etik alanında sıkıştığını görmekteyiz. Bunu, tüm görüşlerinin temeline yerleştirdiği ve felsefi bakış açısını açıkladığı Théorie du sujet (Özne Kuramı) ve L'Être et l'Événement (Varlık ve Hadise)’i sırasıyla 1982 ve 1988 yıllarında yayımlamış olmasına rağmen, İngilizce çevirisinin henüz bir kaç yıl önce ve Türkçe çevirisinin hâlâ yapılmamış olmasından da anlayabiliriz. Oysa Badiou’nun düşünce dünyasına, bu iki eser ve özellikle matematik-‐ontoloji bağıntısını kapsamlı şekilde ele alarak, özne teorisinin ontolojik temellendirmesini yaptığı L'Être et l'Événement (Varlık ve Hadise)’i derinlemesine incelenmeden nüfuz etmek mümkün gözükmemektedir. Çünkü ahlak, siyaset ya da sanat hangi alan olursa olsun Badiou, tüm görüşleriyle ilgili olarak bu temelden beslenmekte ve tüm yönelimlerini bu zemin üzerinde şekillendirmektedir diyebiliriz. Bu yüzden Baidou’nun özne projesinin hakkının verilebilmesi için, küme kuramından nasıl bir ontoloji çıkardığı ve bu bağlamda hem antik dönem perspektifinin beslendiğini düşündüğü aşkın düşünce, hem de modern dönem yaklaşımının sıkıntılarını göstererek, işaret ettiği inşacı düşünce ile ilgili ortaya koyduklarının anlaşılabilmesi gerekmektedir. Akabinde ise, Badiou’nun bu iki düşünce biçimine karşılık olarak geliştirdiği jenerik düşünce söyleminin, küme kuramıyla ilişkisi ve diğer iki yaklaşımla benzeyen ve ayrışan yönleri ele alınmalıdır.
Catholic Purposes Registered. Published by Blackwell Publishing Ltd, 9600 Garsington Road, Oxford OX4 2DQ, UK and 350 Main Street, Malden, MA 02148, USA.
Badiou’nun özne teorisiyle ilgili bir çalışma olarak bkz. Margus Vihalem, What is ‘the subject’ the
name for? The conceptual structure of Alain Badiou’s theory of the subject, Estonian Institute of
Ardından ise Badiou’nun, hadise (İng. Event), hakikat (İng. Truth), sadakat (İng. Fidelity) gibi kendi terminolojisine ait terimlerle özneye yer açtığını söylerken, konunun matematikte nasıl temellendiğini görmek ve özellikle matematikle ontolojinin nasıl ilişkilendiğini açıklığa kavuşturmak gerekmektedir. Aksi takdirde Badiou ve onun düşünce sistemine dair yapılan her çalışma ve ona getirilen her yorum eksik ve temelsiz söylemler olarak kalma riskini taşımaktadır. İşte bu nedenlerle biz, herhangi bir düşünür veya meseleye derinlemesine nüfuz etmek söz konusu olduğunda, olayın mahiyetine erişmenin ancak meselenin temelinde duran tartışmaya nüfuz etmekle mümkün olduğunu düşündüğümüz için, çalışmamızı daha önce de söylediğimiz gibi Badiou’nun matematik-‐ontoloji bağıntısını en kapsamlı şekilde ortaya koyduğu L'Être et l'Événement (Varlık ve Hadise) adlı eseriyle sınırlı tutacağız.
Bu eseri, Badiou’nun “matematik = ontoloji” 6 sözüyle kastettiği, matematik üzerine kurulu bir ontoloji anlayışının küme kuramıyla nasıl ilişkilenip, şekillendiği ve devamında özne teorisinin bu sistemde nasıl hayat bulduğunu ortaya koymaktadır. Varlık ve Hadise, ontolojinin en kadim tartışması dinebilecek bir-‐çok ilişkisi ile başlamakta ve bu tartışmayı Parmenides’e kadar geri götürerek, konunun antik zamanlardan bu yana nasıl şekillendiği anlatmaktadır. Platon’un gözden kaçırdığı noktalara günümüz matematiğin geldiği son nokta üzerinden işaret etmeye çalışırken, bu sistemin etkin bir özneye alan açıp, onun üzerinden hakikati nasıl var kıldığını göstermektedir. Bu sebeple, hem ontolojik yaklaşımını anlamak, hem de bu yeni düşünce sisteminde
özneye yer açıp, onu nasıl etkinleştirdiğini görmek ancak bu esere nufüz etmekle mümkün olabilmektedir diyebiliriz.
Bu bağlamda bizde bu tezin ilk bölümde; küme kuramı ve Sürey Varsayımı tartışmalarına değindikten sonra öncelikle Badiou’nun neden küme kuramını ontoloji olarak gördüğünden bahsedip sonra küme kuramının gelişimi ve sonsuzluk tartışmalarına yer vereceğiz. İkinci bölümde; zorlama yöntemi başlığı adı altında model tartışmaları ve akabinde Cohen’in ilgili ispatıyla birlikte adlandırma meselelerine eğileceğiz. Üçüncü bölüm, daha ziyade küme kuramı ve ontoloji bağlamında, bir ile çok ilişkisi ve ardından farklı düşünce yönelimlerinin yer aldığı kısım olacak. Son olarak dördüncü bölüm de ise; tamamen Badiou’ya ait olan bir terminolojiyle özne teorisi söz konusu olduğunda, hadise, sadakat, hakikat ve özne terimlerinin nasıl anlam bulduğu ele alınacak ve akabinde sonuç kısmıyla bitirilecektir.
BİRİNCİ BÖLÜM
KÜME KURAMI VE SÜREY VARSAYIMI
1. Badiou’nun küme kuramını bir ontoloji olarak görmesinin nedenleri
Bütün bir düşünce tarihinin merkezinde yer alan “ne var ne yok” sorusu, genel geçer tüm disiplinlerin zemininde yer almakla birlikte, felsefenin öncelikli ve merkezi bir tartışma konusudur. Kapsayıcı bir felsefi sistem ortaya koyabilmek, ontolojinin bu asli sorusuna yanıt vermeden hiç bir zaman mümkün olmamıştır. Bu yüzden, düşünce tarihinde belli kırılımlar sağlayan tüm filozofların, temelde bu soruyla ilişkili belli ontolojik yaklaşımlar geliştirdiğini görmekteyiz. Bu bağlamda çağdaş bir düşünür ve matematikçi olarak Badiou’da konuya “ne var ne yok” sorusuyla başlamış ve bu noktadan bir ile çok ilişkisini ele almaya yönelmiştir diyebiliriz.
Parmenides’ten günümüze bir ile çok ilişkisinin ele alınma şekli ve geliştirilen yaklaşımlara detaylıca değinen Badiou, meseleyi küme kuramı üzerinden matematik temelinde ele alıp açıklarken, bu sistemde etkin bir öznenin nasıl söz konusu olabildiğini de ortaya koymaktadır. Etken yani eylem ve tercihleriyle bir şeyleri değiştirmeye ve var kılmaya gücü olan özne fikri, Badiou’ya göre modern matematiğin geldiği son nokta olan küme kuramıyla anlamlanmaktadır. Bu bağlamda Badiou, açık bir şekilde ontolojinin matematik olduğu ve matematiksel düşünme biçiminin de temeli olan küme kuramı
üzerinden ele alınması gerektiğini ifade etmektedir.7 Çünkü küme kuramı hem varlığın her türlü oluşunu açıklamakta hem de tüm düşünüş biçimlerinin asli şeklini oluşturmaktadır.
Bu şekilde matematik üzerine kurulu bir ontoloji fikri, Platoncu düşünce tarzına aykırı duruyor olsa da, Badiou’yu Kant sonrası çağdaş bir filozof ve matematikçi olarak düşündüğümüzde onun, zamanına denk bir şekilde her türlü teolojiden arındırılmış bir ontoloji ve aynı zamanda özneye yer açabilme fikri ile küme kuramına yönelişini anlayabiliriz. Çünkü “Badiou ve ontoloji” dediğimizde, daha ziyade üç belirgin noktanın açığa çıktığını görmekteyiz; ilk olarak klasik yaklaşımdakinin aksine aşkın metafiziksel öğeler barındırmayan bir ontolojik sistem, ikinci olarak mutlak bir Bir’in varlığı iddiası yerine her zaman çokluğu temel almak ve üçüncü olarak ilk ikisiyle birlikte etken bir özneye yer açabilmek veya imkan sağlayabilmek. Çünkü Baidou’ya göre, çağın bilim imkanlarında ortaya konan kuramlarla ontolojinin artık, üzerinde konuşulamaz olduğu düşünülen her türlü bilinemez alandan temizlenmiş ve bu sayede tamamlanmış nesnel bir alan olması gerekmektedir. Fakat felsefe tarihi boyunca ontolojiye böyle bir yaklaşım söz konusu olmamıştır. Ontoloji, her zaman bizi varlığın gizlenmiş yanını açığa çıkartmaya, mevcutların ötesine geçmeye sevk eden bir deneyim olarak görülmüştür. Badiou bu durumun en iyi örneğini özellikle Platon’da bulmaktadır. Platon’un iyi ideası (Yun. Agathon) en üst varlık olmasına karşın, muhakeme faaliyetinin sınırları içinde herhangi bir sunumu mümkün değildir. O işaret edilemeyecek, herhangi bir yolla bilinemeyecek olandır, yani her şeye aşkındır. Bu aşkın olanı içeren varlık yaklaşımı tamanlanmış ve kapalı
bir bütünü işaret eder. Kişinin bu aşkın olanı anlayıp, onu ihata etmeye çalışmaktan ziyade herhangi bir müdahale ya da etkinliği söz konusu değildir.
Badiou, bu şekilde aşkın olana dayalı bir ontoloji fikrine karşı çıkar. Ve bu çıkışıyla hem felsefe tarihi boyunca ontoloji üzerine sistem geliştirmiş tüm filozoflar, hem de çağdaşlarından farklı olarak, bu güçlü tezlerin temelinin küme kuramında olduğunu görüşünü ortaya koyar. Çünkü ona göre asıl önemli nokta, bütün ontoloji tartışmalarının odaklandığı bir ile çok meselesine farklı bakabilmeyi başarmaktadır. Bu ise günümüzde artık küme kuramı ve bu kuramla birlikte sonsuzluğa ilişkin olarak ispatlanan teoremlerle mümkündür. Öyle ki, küme kuramı bizim varlık anlayışımıza yön veren bir ile çok gerçeğini her şeyiyle ortaya koymaktadır. Hatta Badiou’ya göre, eğer Platon, küme kuramını bu şekilde görmüş ve düşünmüş olsaydı, bir ile çok ilişkisini mevcutta kurduğundan çok daha farklı ele alır ve böylece onun da bu ilişkiyi bu şekilde kurması kaçınılmaz olurdu.
Bu anlamda küme kuramı üzerine şekillenecek bir ontoloji sisteminde asıl belirleyici nokta, bir ile çok ilişkisinin tüm kadim düşünce sistemlerinden farklı olarak ortaya konmasıdır diyebiliriz. Çünkü bu sayede bir ile çok ilişkisi üzerinden düşünülebilecek olan var olmak ve o varlığın her türlü bağıntıları, Badiou’nun deyimiyle bugüne kadar insanlık tarafından uğraşılan düşünce eforlarının en yoğununu barındıran8 küme kuramıyla gerçek anlamını bulacaktır. Bu sistemde bir, boş kümenin sayalı olarak tanımlandığı için “sıfır”a yani “bir olmayan”a dayanır ve “bir olmayan”a bağlı olan bir varlığı vardır. Bu bağlamda ne Parmenides’in düşüncesindeki gibi çelişik olmayan bir “bir”, ne de Platon’daki
gibi her şeyden bağımsız ve var olan her şeyin ondan pay alarak varlık kazandığı tamamlanmış bir bütün söz konusu değildir. Çünkü gerçekte bizim “bir” dediğimiz şey de ancak “bir” olmayana dayalı olan bir kurulma sonucu söz konusu olabilmektedir. Bu sebeple ancak mevcut küme kuramı bize aslında tam da böyle; “bir” olmayana dayanan bir “bir”, “bir”in varlığına dayanan iki, ikinin varlığına dayanan üç, şeklinde devam eden bir sistem sunduğu için ontolojiyi en anlamlı şekilde açıklamaktadır.
Öte yandan Badiou’ya Parmenides ve Platon’dan farklı bir yön veren bu çıkış, onun için sadece ontolojinin zemini ve temeli olmakla kalmayıp, halihazırda sınıflandırmalar üzerinden var olan mevcut düşünüş şeklimizin en net ifadesi olarak da meşrulaşmaktadır. Bu ise bizim mevcut zaman ve mekanda sürekli karşı karşıya olduğumuz çokluğu anlamlandırmada, tam da küme kuramının açıkladığı bir ile çok ilişkisi ve yine onun aksiyomlarının ortaya koyduğu bağıntılar üzerinden düşündüğümüz anlamına gelmektedir. Yani küme kuramı mevcut düşünüş sistemimizi en açık şekliyle barındıran sistemdir. Daha basit şekilde ifade edecek olursak; ister bir odadaki eşyalar topluluğu, ister bir bilgisayar ekranındaki farklı görsel öğeler olsun, gözlerimizi her açtığımızda karşı karşıya kaldığımız çokluk ortamını, her şart ve koşulda belli sınıflandırmalara tabi tutarak anlamlandırmaktayız. Bu çoklukları bazen benzer özelliklerine göre birleştirmeler bazen de biricik olma durumlarına göre özel adlar vererek anlamlı hale getirmekteyizdir. Örneğin; bir odaya girdiğimizde kitapları bir grup, kalemleri başka bir grup, sandalyeleri diğer bir grup olarak sınıflandırarak kendimize sunduğumuz haliyle düşünelim. Bu sunuş şeklinde olan tüm bu algılama biçimleri aslında bahsettiğimiz düşünce sistemiyle ilişkili ve onun bir sonucudur. Dahası halihazırda canlı-‐cansız, bitki-‐hayvan vb. tarzda
sayılabilecek tüm bilimsel sınıflandırmalarımızı da bu sistemle ve belli ayrımlara göre yapmaktayızdır. Çünkü bu, insanlığın değişmeyen düşünüş ve algılama modelidir ve bu haliyle aslında tam da küme kuramıyla uyum halindedir. Yani küme kuramının ontoloji olmaya en yatkın kuram olması, bizim düşünüş şeklimizin bu zamana kadar en açık şekilde ortaya konduğu sistem olmasıyla ilişkilidir. Ve bu da Badiou’nun küme kuramını ontoloji olarak görmesinin en belirgin nedenlerinden biridir. Peki, Badiou’nun küme kuramıyla ortaya koyduğu bu ontoloji sisteminde asıl fark yarattığı nokta olan özneye yer açabilme imkanı nasıl yer bulmaktadır?
Söz konusu sınıflandırmalar küme kuramı üzerinden anlattığımız şekilde ortaya konurken tam da Kant’ın, “bilgimizi genişletmemiz sonucu değişen ve gelişen yeni sınıflandırmalar yapabiliriz”9 diye açıkladığı nokta Badiou’nun özneye yer açtığı alandır diyebiliriz. Bu bağlamda Kant, belli bir durumda belli bir ampirik sınıflandırmamız varken daha genel bir sınıflandırmaya geçebileceğimizi, yani belli bir şekilde sınıflandırdığımız bir şeyin, daha önce ilişki kurmadığımız şeylerle yeni ilişkilerini fark edip, sonrasında daha genel bir sınıflandırma yapabileceğimizi söyler. İnsanlık ve bilim tarihinde gelişme ve ilerleme olarak görülen şeyler, bu şekilde genişleyen sınıflandırmalarla mümkün olabilmektedir. Badiou ise, bu noktada meseleyi sadece daha genel bir sınıflandırmaya ulaşmak olarak değil, mevcut durumda (İng. Stiuation) olmayan bir hakikatin varlığa getirilmesi olarak yorumlamaktadır. Ortada sadece sınıflandırmalarla genişleyen epistemolojik alanda bir ilerleme değil, varlıksal
9 Immanuel Kant, Pratik Aklın Eleştirisi, Çev. İonna Kuçuradi - Ülker Gökberk - Füsun Akatlı
bir dönüşümünle birlikte tüm gerçeklik alanının etkilendiği, yadsınamaz ve de yabancı kalınamaz bir hakikat mevcut olmaktadır. Yani özne aracılığıyla daha önce olmayan yeni bir terimin ihdas edilip, varlığa getirilmesi ve o terim üzerinden mevcut durumun dönüştürülmesi söz konusudur. Öznenin görüp, işaret ettiği bu hakikatle birlikte herhangi bir şeyin artık eskisi gibi kalması mümkün değildir. Yani herhangi bir değişim ya da ilerlemenin garantörü Badiou’nun sisteminde öznelerdir diyebiliriz. Çünkü sınıflandırmalarımızda yapacağımız herhangi bir genişleme, özne olmadan gerçekleşmesi mümkün olmayan bir şeydir. Bu da demektir ki, Badiou’ya göre özne, gerçek manada tarihin akışına müdahale edip, onu değiştirebilecek bir varlıktır.
Bu anlamda her türlü değişim ve gelişimin merkez noktasında duran Badiou’nun öznelerinin, küme kuramında bulduğu yer ve anlam ise ileride daha geniş şekilde ele alacağımız Paul Cohen tarafından ortaya konan zorlama (İng. Forcing) yöntemidir. Badiou özellikle Cohen’in ispatında jenerik kümelerin varlığını göstermesiyle birlikte, öznenin gerçek anlamda mahiyetinin de ortaya çıktığını düşünmüş, ve ontolojisini de bu şekilde sistemli bir hale getirmiştir diyebiliriz.
İşte tüm bu saydıklarımız neticesinde Badiou için ontolojinin merkezine yerleştirdiği küme kuramının; mutlak ve tamamlanmış bir bütün iddiasına karşı çıkıp, her zaman çokluk ortamını savunmak, hiçbir şekilde metafizik alana kaymadan bir ontoloji ortaya koyabilmek ve en önemlisi özneye yer açabilme projesini aynı anda sağladığını görmekteyiz.
2. Küme kuramının gelişimi (Cantor ve sonluötesi küme kuramı) üzerine kısa notlar
Günümüzde matematiksel düşünce biçiminin derli toplu ifade edildiği bir sistem olarak görebileceğimiz küme kuramı, modern matematiğin ulaştığı en büyük başarılardan biri olarak görülür. Çünkü bu kuram ve aksiyomlarıyla birlikte matematikte sistemli temel bir alan oluşturulmasının yanısıra o güne kadar mutabakat olmayan belli terimler anlam kazanmış ve yeni ispat ve teoremler için birçok kolaylık sağlanmıştır.
Kuramın gelişimine bakacak olursak;10 varlıkları belli özelliklerine göre kümeler cinsinden ele almak çok eski tarihlere kadar geri gitse de, sonsuzluk üzerine tartışan filozoflardan sonra, matematik alanında “sonsuz” ve “küme” kavramını ilk kez bir araya getiren isim Bernard Bolzano’dur (1847). Bolzano, sonsuz fikrini savunmuş ve sonlu kümelerden farklı olarak, sonsuz kümelerin, bazı alt kümeleriyle birebir eşleme yapılabildiğini göstermiştir. Ancak bunu yapmasına rağmen küme kuramını tam olarak doğru bir matematiksel temel üzerine oturtamamıştır. Bolzano’nun ardından bunu sistemli bir kuram şeklinde ortaya koyan isim ise George Cantor olmuştur. Cantor’un 1874 ile 1895 yılları arasında konuyla ilgili yayımladığı makaleleri, kuramın çok daha dikkat çekici ve etkili olmasını sağlamıştır. Günümüzde hâlâ Cantor’un geliştirdiği şekliyle kullanılmaya devam eden küme kuramı, 20. yüzyıl matematiğinin de temelini oluşturur. Çünkü aksiyomatik küme kuramı ile artık matematiğin tüm kavram yöntem ve sonuçları derli toplu bir şekilde ifade edilebilir olmuştur. Ayrıca küme
10 STANFORD UNIVERSITY, “The Early Development of Set Theory”,
kuramının yapısı matematikle felsefe ve mantık arasında da bağlantı kurulmasını sağlamıştır.11
Cantor’un 1867-‐1871 yıllarında yayımladığı ilk dönem çalışmaları diyebileceğimiz makaleleri daha ziyade sayı kuramı üzerinedir. Bu çalışmalarında da başarılı tezler ortaya koymuştur ancak bütün bir matematiksel düşünüşü değiştirecek savlar olmamıştır. Özellikle İsviçre’ye gidip Richard Dedekind ile tanışmasından sonra Cantor, trigonometrik seriler üzerine çalışmaya başlamıştır. Bu konudaki yazıları Cantor’un küme kuramı ve irrasyonel sayılar üzerine ilk düşüncelerini içermiştir. Ardından 1874 yılında Crelle’s Journal’da12 yayımlanan makalesi ise küme kuramının doğuşu olarak görülmüştür. Bu makalede Cantor, ilk kez bu şekilde ifade edilecek olan, en az iki farklı sonsuzluk olduğundan bahsetmiş ve bu matematiksel düşünce için bir kırılım noktası olmuştur. Çünkü daha önce sonsuzluğun boyutları gibi bir şey hiç söz konusu olmamış, her zaman tüm sonsuzlar aynı boyutta olarak varsayılmıştı. Cantor ise bu makalede reel sayılarla doğal sayıların birebir eşlenemeyeceğini ispatlayarak, farklı sonsuzluk düzeyleri olduğunu ortaya koymuştur.
Cantor'un doğal sayılar ile reel sayıların birebir eşlemesinin yapılamayacağını göstermek için geliştirdiği yöntemi incelemeden önce kümeler için büyüklüğün ne anlama geldiğine değinecek olursak; kümeler için büyüklük, verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olması B'den A'ya bir
11 Howard Eves, Foundations and Fundamental Conceps of Mathematics, (Newyork: Dover
publications Inc., 1990) s. 212.
12 1826-1855 yılları arasında August Leopold Crelle tarafından yayınlanmaya başlanan Crelle’s Journal
ya da Crelle adıyla anılan Leonhard Euler, Niels Henrik Abel, Georg Cantor ve Gotthold Eisenstein gibi ünlü matematikçilerin de yazdığı meşhur matematik dergisidir.
birebir fonksiyonun var olması şeklinde tanımlanır. Böylelikle B'nin bir kopyasının A'nın içerisinde bulunabiliyor olması sağlanır. Eğer aynı şekilde B'den de A'ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme eşit büyüklükte kabul edilir.
2.1. Cantor’un Köşegen Yöntemi
Reel sayıların sonlu veya sonsuz uzunlukta ondalık sayılar olarak yazılabileceği bilinmektedir. Eğer Cantor'un iddiası yanlış ve gerçel sayılarla doğal sayılar birebir eşlenebiliyorsa, o zaman sadece 0 ile 1 arasındaki reel sayılarla (bütün) doğal sayıları birebir eşlemek de mümkün olmalıdır. Böyle bir eşlemeyi alalım ve 0 ile 1 arasındaki reel sayıları verilen eşlemeye göre sıralayarak bir liste elde edelim. Şimdi 0 ile 1 arasında öyle bir reel sayı kurgulayacağız ki bu sayının bu listede yer alması mümkün olmayacak. Bu sayıya C adını verelim ve onu şu kurala göre oluşturalım: birinci sayının ilk ondalık basamağına bakalım ve buradaki rakamdan farklı herhangi bir rakamı seçip C sayısının ilk basamağı olarak yazalım, aynı şekilde C'nin ikinci, üçüncü,... basamaklarını da oluşturalım. Mesela eğer 0 la 1 arasındaki reel sayılar aşağıdaki gibi sıralanmışsa:
1) 0,13567... ^ 2) 0,25678... ^ 3) 0,00212... ^ 4) 0,14221... ^ . . .
C sayısının ilk basamağını 1'den farklı, 2. basamağını 5'ten farklı, 3. basamağını 2'den farklı, 4. basamağını gene 2'den farklı birer rakam olarak seçeriz.
Bu noktada fark etmemiz gereken şey, C'nin kendisi bir reel sayı olduğu halde bu listede yer alan her sayıdan en az bir ondalık basamakta (daha doğrusu o sayı listemizde kaçıncı sırada yer alıyorsa o basamakta) farklı olduğu ve dolayısıyla bu listede yer alamayacağıdır. Demek ki varsaydığımız birebir eşleme mümkün
değil ve aslında reel sayılar kümesindeki eleman sayısı doğal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazladır. Bu sayıyı kurgulayabilmemizi sağlayan da seçim aksiyomudur (İng. Axiom of choice). Seçim aksiyomunun sağladığı imkana göre verilen bir kümeler topluluğundan öyle bir küme oluşturabilir ki, bu yeni kümede verilmiş kümeler topluluğunun her kümesinden bir eleman bulunur.
Cantor’un ispatıyla ortaya koyduğu bu köşegen yöntemiyle sonsuzluğun dereceleri ve kendi içinde hiyerarşiye sahip birçok farklı sonsuzluk olabileceğine ilk kez işaret edilmiştir. Eğer Cantor, sonsuzlukların bir hiyerarşisi olduğu ve gerçel sayılarla doğal sayıların birebir eşlenemez olduğunu göstermeseydi bugün hala çalışmalar tek bir sonsuzluk var olduğu fikri üzerinden devam ediyor olacaktı. Ancak bu ispatla birlikte artık sonsuzluğun katmanları düşünülmeye başlandı ve bu katmanların birbirine geçmesinin mümkün olmadığının yanısıra aralarında nitelik farkı olduğu da ortaya konmuş oldu.
3. Küme kuramının temel kavramları
Küme kuramı günümüzde kullanılan şeklini, yaptığı birçok geliştirme ve bu konudaki ısrarlı çalışmaları sonucu daha önce de ifade ettiğimiz gibi George Cantor sayesinde almıştır. Modern matematik açısından bir devrim sayılabilecek bu kuram bir çok farklı isim tarafından ele alınmış, Cantor da dahil olmak üzere kuramla ilgili bir çok paradoks geliştirilmiştir. Ancak küme kuramının matematik dünyasına sağladığı imkan ve açılımlar çok fazla olduğu için, bu paradokslar küme kuramını ortadan kaldırmak yerine onu daha çok gündemde ve canlı tutmuştur. Örneğin; Russell Paradoksu13’nun ortaya çıkmasıyla birlikte artık her topluluğu küme olarak adlandırmayıp, neyin küme kabul edebileceğine aksiyomlarca karar verilmesi gerektiği ifade edilmiştir. Bu bağlamda küme kuramına tam anlamıyla nüfuz edebilmek adına, kuramın temel kavramlarına değinmek yerinde olacaktır. Hatta öncelikle küme nedir sorusuyla başlayacak
13 Russell’ın kümeler kuramıyla ilgili paradoksu herhangi bir kümenin kendi kendisini içerip
içermemesi durumuyla ilgili bir çelişkidir. Örneğin: evrensel küme, var olan tüm kümeleri içeren bir kümedir. Var olan tüm kümeleri içerdiğine ve kendisi de bir küme olduğuna göre, evrensel küme, evrensel kümenin bir elemanıdır, yani kendi kendini içerir. Ya da "üçten fazla elemanı olan kümeler kümesi", kendisi de üçten fazla elemana sahip olduğu için kendini içerir. Ama örneğin doğal sayılar kümesi n, bir doğal sayı olmadığı için kendini içermez. İşte bizim a kümesinin içereceği kümeler böyle kümeler, yani kendi kendinin elemanı olmayanlar. Bu noktasa soru şuna dönüşüyor: a kümesi kendisini içerir mi? Eğer "içerir" dersek, a kümesinin a kümesinde işi ne? Çünkü a kümesi sadece kendini içermeyen kümelerin kümesi. Eğer "içermez" dersek, a kümesi kendini içermeyen bir küme olur, o zaman a kümesini de a kümesine dahil etmeliyiz, ama o zaman da a, kendini içeren bir küme olur ve bu bir çelişkiye yol açar.
olursak; matematikte her teorinin bir şekilde tanımsız terimler barındırması gibi küme kuramı söz konusu olduğunda da “küme” ve “elemanı olma” terimleri tanımsız olarak kabul edilmektedir. İkinci kilit öneme sahip nokta ise, elemanlar da dahil var olan her şey bir küme olarak kabul edilir. Ancak bu kabuller küme kuramıyla ilgili Russell paradoksu ve benzeri sıkıntıların çıkmasına engel olamamıştır. En son matematikçiler çıkan bu paradoks ve çelişkilere son verebilmek adına küme kuramı üzerinde aksiyomlar geliştirme kararı almıştır. Bunun sonucunda ise Zermelo ve Fraenkel adında iki ünlü matematikçi ve mantıkçı birbirinden habersiz ve bağımsız olarak belli aksiyomlar öne sürmüşler ve sonra bunların birbirlerine eşdeğer olduğu farkedilmiştir. Kısaca ZFC olarak kabul edilen Zermelo Fraenkel Sistemi’nin sonunda “C” seçim aksiyomu’nun (İng. Axiom of choice) kısaltmasıdır. Yani Zermelo ve Fraenkel geliştirmiş olduğu aksiyomlar ve bunlara seçim aksiyomunun eklenmesiyle birlikte oluşturulmuş bir sistemdir. Ayrıca ZFC’den farklı olarak Bernays, Gödel, Neumann (BGN) adıyla bir aksiyom sistemi daha oluşturulmuştur. Ancak her iki sistemde de aynı ispatlamaların yapılabildiği gösterildiği için ikisi de kullanılabilir olarak kabul edilmiştir.
Zermelo Frenkel (ZF) küme kuramı aslında 9 aksiyomdan oluşmakta ve seçim aksiyomuyla (İng. Axiom of choice) birlikte toplamda 10 aksiyom içermekte ve ZFC kısaltmasıyla anılmaktadır. Seçim aksiyomunun diğer 9 aksiyomdan ayrıca anılmasının sebebi ise seçim aksiyomunun matematikçiler arasında hep tartışılagelen bir aksiyom olmasıyla ilgilidir. Seçim aksiyomunun bu tartışmalı noktaları ve ZF’nin bu 9 aksiyomunu tek tek ele almadan önce küme kuramının; kümenin yerleşeni (İng. Inhabitant of a set), ait olma (İng. Belonging), tekil küme (İng. Singleton set), içerme (İng. Inclusion), ikili (İng.
Pair), sıralı ikili (İng. Ordered pair), fonksiyon (İng. Function), birebir fonksiyon (İng. One to one function), geçişlilik, geçişli kümeler (İng. Transitivity, Transitive set) gibi bağıntılarına da kısaca değinmek faydalı olacaktır.14
Kümenin Yerleşeni: Kümenin yerleşeni demek en basit anlamıyla kümenin bir elemanı olmak demektir. Bu anlamda bir sakin için var olmak dediğimiz şey küme kuramı söz konusu olduğunda bir kümeye ait olmak anlamına gelmektedir. Çünkü bu kuram içerisinde her şey bir bütüne aidiyetle mümkündür ve dolayısıyla var olmak bir bütüne ait olmak demektir. (Bu bütünlükleri de biz oluşturduğumuz için bir kendinde şeyden bahsedilmesi mümkün değildir.) Bu manada bütün belirlenimlerden kurtulup özgür olmak diye bir şey söz konusu olamaz çünkü var olan her şey bir şeyin parçası olarak varlık kazanmaktadır.
Ait Olma: Küme kuramında ait olma diye ifade edilen şey kümeler açısından elemanı olma bağıntısı demektir. Herhangi bir şey varlık kazanmak için bir kümeye ait olmalı, onun dışında bir varlığı olamayacağını söyledik ancak ait olunan o kümenin de varlığının mutlak olduğunu söylenememektedir. Çünkü ait olunan tüm o kümelerin varlıkları da bir sayma işlemleri (İng. Count-‐as-‐one) sayesinde ortaya çıkmaktadır. Yani kümeden bağımsız herhangi bir şey var diyebilmek mümkün değildir. Bir şeyi var kılmak ya da var kabul etmek onun ancak bir kümeye dahil olmasıyla mümkün olabilmekte, sonrasında ise başka kümelerle ilişkili hale getirilmektedir.
Tekil: Tek elemanlı küme yani tekil küme demektir. Bir şeyi küme olarak tanımlamak onu yine belli bir özellikten tutmak demektir. Küme kuramı tamamen dolaysızca bilmeyi iptal etmek üzere kurulu olduğu için dolayısıyla tüm tekiller (İng. Singleton) de küme olarak alınmaktadır. Çünkü tekil bile olsa ona varlık veren yine kümeye aitliğidir. Yani bu sistemde tüm tekiller de bir küme içerisinde tutulmaktadır.
Örneğin; insan, ağaç ya da başka herhangi bir şeyin varlığa gelişi ancak bir küme içerisine dâhil edildiğinde mümkündür, ancak bunlardan farklı olarak bir de zaten tek elemanlı olan kümeler vardır; dünyanın en yüksek dağı gibi. Bu manada, bir şeyi bu şekilde tutmak, onu bir özelliğinden tutmak demektir ve tek elemanlı küme de tek olan şeyleri kapsar diyebiliriz.
İçerme: İçerme bağıntısı, herhangi iki kümenin elemanlarının tamamının biri tarafından içerilmesi durumunu ifade eder diyebiliriz. Mantıksal ifadeyle, “bir y kümesi bir x kümesine dahildir eğer; y’nin tüm elemanları aynı zamanda x’in elemanları ise” şeklinde belirtebiliriz.
İkili: α ve β küme çifti yegane elemanları α ve β sahip olan kümedir. Şöyle yazılır: {α, β}
Sıralı İkili: Sıralı ikililer bir küme tarafından temsil edilir ve buna sıralı ikili kümesi denir.
α ve β şeklinde iki kümenin sıralı çifti α’nın tek kalanının çiftidir ve { α, β} çiftidir. Yani burada kümenin içinde olmayan sırayı küme kullanılarak nasıl temsil edileceği meselesine çözüm getiriliyor denilebilir. Örneğin; a ve b elemanlarının
küme içerisinde herhangi bir sırası yoktur ve bu yüzden sırayı belirtmek için sıralı ikili kullanılır. Yani küme içerisinde sıralı ikiliyi temsil etmenin nasıl olduğunu göstermek için sıralı ikili formülü kullanılır.
Fonksiyon: Küme kuramı söz konusu olduğunda fonksiyon (İng. Function); “tanım kümesindeki her elemanın bir değer alması ve bir elemanın birden fazla değer alamaması” şeklindeki klasik fonksiyon tanımı anlamında düşünülebilir.
Birebir, Fonksiyon, Benzerlik: Bir fonksiyon eğer iki farklı çokluya fonksiyon yoluyla karşılık gelirse birebirdir. Şu şekilde yazılır: ˜ (α = β) → ˜ [f(α) = f (β)] Herhangi iki küme arasında birebir bir fonksiyon var eğer iki küme birebir eşlenebilirdir. Bu da kümenin tüm elemanının ikinci kümenin elemanlarında bir karşılığa sahip olması demektir. Yani ilk küme ikinci kümenin tüm elemanlarını açıkta hiç eleman kalmayacak şekilde kapsamaktadır.
Geçişlilik, Geçişli Kümeler: Bir x kümesi eğer ki x’in elemanı olan her bir β elemanı aynı zamanda x’in bir alt kümesi ise geçişlidir. Yani (β ϵ x) → (β ⊂x). Bu olgu ait olma (elemanı olma) ile dâhil olma (alt kümesi oma) arasındaki maksimum mümkün dengeyi temsil eder.
Örneğin “1” diye bir elemanımız var söz konusu bu “1” kendisi de aynı zamanda bir küme olarak dahil olduğu kümenin alt kümesi olarak alınır. Boş kümeyi içeren bir küme olarak “1” dahil olduğu X kümesinin aynı zamanda bir alt kümesi (İng. Subset) olur. Bu da demektir ki, küme kuramında her elemanı aynı zamanda küme olarak kabul eden bir sistemde çalışılmaktadır.
Bu şekilde küme kuramının bu bir kaç temel bağıntısına yer verdikten sonra Badiou’nun da deyimiyle insanlık tarafından bugüne kadar oluşturulmuş bir ile çok arasındaki düşünce eforlarının en yoğununu barındıran ve çoklu hakkında konuşmanın artık herkes tarafından kabul edilen en açık ifadeleri15 olarak küme kuramının aksiyomlarına geçebiliriz.
3.1. Küme Kuramı’nın Aksiyomları16
Küme kuramının 1880 ve 1930 yılları arasında geliştirilen 9 temel aksiyomu vardır. Bunlar; genişletme aksiyomu (İng. Axiom of extensionality), boşluk aksiyomu (İng. Axiom of void), birleşim aksiyomu (İng. Axiom of union), temel aksiyom (İng. Axiom of foundation), yerine koyma aksiyomu (İng. Axiom of replacement), ayrıma aksiyomu (İng. Axiom of separation), alt küme veya parçalar aksiyomu (İng. Axiom subset or of parts), sonsuzluk aksiyomu (İng. Axiom of infinity) ve seçim aksiyomu (İng. Axiom of choice)’dur. Küme kuramı açısından her birinin ne anlama geldiğini en genel haliyle ele almaya çalışalım.
Boşluk Aksiyomu
Matematikte boş küme aksiyomu olarak da geçen bu aksiyoma göre; hiç elemanı olmayan bir küme vardır.
Biçimsel olarak anlamı: Öyle bir x vardır ki; y ne olursa olsun, y x’in bir elemanı değildir.
Temel Aksiyom
Eğer x boş olmayan bir kümeyse, o zaman x’te x ∩ y = Q eşitliğinini sağlayan bir y elemanı vardır.
16 Bu konuda daha fazla bilgi edinmek için; Ali Nesin’in Sezgisel Kümeler Kuramı veya Alexander
Alt Küme Aksiyomu
Alt küme aksiyomu tüm kümelerin kümesi şeklinde düşünülen ve bu sebeple güç kümesi aksiyomu şeklinde adlandırılan aksiyoma alt küme aksiyomu denir. Örneğin; Bir durumda küme halinde bulunan sandalyeler ve masalar kümesini bir araya getirip bir ev eşyaları kümesi oluşturabilmek mümkündür. Bu ve benzer şekilde oluşturulabilecek tüm kümelerin kümesi diye bir küme vardır ve ona güç kümesi (İng. Power set) denir.
Eğer x bir kümeyse, elemanları x’in alt kümelerinden oluşan bir küme vardır ve bu küme p(x) olarak yazılır.
Sonsuzluk Aksiyomu
Bu aksiyom göre küme kuramı içerisinde her ne zaman bir küme alınırsa o alınan kümeden daha büyük ve onu içerisine alan bir küme olduğu kabul edilir. Bu da en az bir öz alt kümesiyle -‐kümenin öz alt kümesi demek kendisinden daha küçük olan kümeler demektir-‐ birebir eşlenebilen kümelerin var olduğu anlamına gelmektedir. Daha açıkça; bir kümenin öz alt kümesi demek kendisinden daha küçük olan kümeler demektir, bu da en azından bir elemanı içermemesi anlamına gelir. Örneğin; doğal sayılar kümesiyle tek sayılar kümesi birebir eşlenebilir denildiğinde; ilk tek sayıya bir, ikinci tek sayıya iki, üçüncü tek sayıya üç, diye devam ederek birebir eşlenebilir olduğu ifade edilmektedir. Bu anlamda aslında kendisinin bir öz alt kümesiyle eşlenebilen bir kümenin varlığı bize sonsuz kümelerden bahsedebilme imkanı vermektedir. Ancak bu sav “sonsuz küme vardır” demek değildir. Sonsuz kümenin varlığını başka bir takım önermelerden ispat etmek mümkün olmadığı için onu bir aksiyom olarak alıp,
sonsuzluk aksiyomu (İng. Axiom of infinity) adı altında var kabul etmektir diyebiliriz.
Birleşim Aksiyomu
Bu aksiyoma göre; eğer x bir kümeyse, sadece ve sadece x’in elemanlarının elemanlarından oluşan bir küme vardır.
Bu kümeye x’in (elemanlarının) bileşimi adı verilir ve x’in elemanlarının bileşimi ∪ x olarak yazılır.
Ayırma Aksiyomu
Ayırma aksiyomu belli bir özellik verildiğinde kümenin o özelliği sağlayan elemanlarının ayırt edilmesini sağlayan aksiyomdur.
Biçimsel şekliyle; eğer bir x kümesi varsa x’in elemanlarının kümesi – ki bu küme apaçık bir özelliğe sahiptir. Bu özellik λ düzgün tamdeyimi ile gösterilsin. Bu küme x’in bir parçasıdır ve x’in bu parçadan λ düzgün tamdeyimi ile ayrıldığı söylenir.
Yerine Koyma Aksiyomu
Bu aksiyoma göre; eğer bir x kümesi var ise, x’in tüm elemanlarını var olan diğer çoklularla yer değiştirerek elde edilen bir küme de vardır.
Bu aksiyomun varlığı çoklunun biçiminin çoklunun unsurlarınca belirlenmediği yani çoklunun unsurları aşan bir yana sahip olduğu anlamına gelmektedir. Yani elemanları değiştirilse de farklı şekillerde seçilse de, küme ve o küme itibariyle o çoklu varlığını sürdürmeye devam etmektedir. Bu da demektir ki; elemanın ne olduğundan bağımsız olarak varlığı devam eden bir çokludan bahsetmekteyiz.
