Sonsuzluk ve sonsuzun ne olduğuna dair tartışmalar antik zamanlardan beri hep var olmasına rağmen, 19. yüzyılın sonlarına kadar matematikçiler arasında sonsuz kavramı üzerinde bir anlaşma olmamış ve sonsuzluk henüz matematiksel bir kavram olarak tanımlanmamıştı. Daha önce de değindiğimiz gibi sonsuzun matematiksel olarak tanımlanması Georg Cantor’un küme kuramını geliştirmesiyle birlikte olmuştur. Cantor, köşegen yöntemiyle gerçel sayılarla doğal sayıların birebir eşlenemez olduğunu ispatlayarak sonsuzlukların bir hiyerarşisi olduğunu göstermiş ve bu ispatla sonsuzluk katmanları ve bu katmanların aralarındaki nitelik farkı nedeniyle birbirine geçmesinin yani birinin diğeri yakalaması gibi bir durumun mümkün olmadığı düşünülmeye başlanmıştır.
Bunun öncesinde ise, özellikle Galileo sonrası doğal olarak sonsuz var düşüncesini kabul etme gibi bir eğilim mevcuttur ancak, dediğimiz gibi sonsuzluğun ne olduğuna dair üzerinde mutabakat olan bir tanımlama yoktu. Sonsuzluğa dair bu naif kabulün geçmişi ise Nicalous Cusanus’a kadar giden bir ontolojik açıklamayla ilişkilenmekteydi.
Cusanus, ilahiyatla ilgili geliştirdiği daralma teorisinde, kendisine kadar olan sonsuz tanımlamalarının aksine yani sonsuzu anlamak için sonlu varlıklardan yola çıkarak bir açıklama getirme çabasına zıt olarak, önce sonsuzu anlamalı ve sonra ona nispetle sonlu olanı anlamlandırma çabasına girişilmeli tezini ortaya koydu. Ve, bu önce sonsuzu düşünüp sonra sonluya geçme düşüncesinin sonucu olarak da Tanrı’yı karşıtların birliği olarak sonsuz, ve dolayısıyla da evrenin nedeni olarak açıkladı. Böyle bir sistemde doğal olarak her
şey Tanrıdan gelir, ve eğer bir şey sonsuz ise (Tanrı) onun daralmaları da sonsuz olmak zorundadır çünkü, sonlu olan şeylerin toplamı hiçbir zaman sonsuzu vermez savını ortaya koydu. Ve akabinde evrenin de sonlu olması mümkün olmadığını onun da Tanrı gibi sonsuz olmak zorunda olduğunu iddia etti. Peki, Tanrı’nın sonsuzluğu ile evrenin sonsuzluğu aynı derecede midir ya da aynı niteliğe mi sahiptir? Hayır, Tanrı sonsuz olmasının yanında aynı zamanda bütün karşıtların tesadüfi olarak bir araya gelmesi ve birliği iken evren sadece sonsuzdur. Yani arada içlem farkı vardır. Küme kuramı açısından ifade edecek olursak; evren, sonsuz olarak düşünülen Tanrı’nın sonsuz bir alt kümesi olmaktadır. Cusanus sonsuz terimini Tanrı’ya hasretmekte ve evren için sınırsız (Lat. İnterminatum) terimini kullanmayı tercih etmektedir.
Sonsuzun tarihsel bu bağlamından anladığımız kadarıyla konunun zemininde gayet metafiziksel ve ilahiyatla ilgili bir açıklama mevcuttur. Burada sonsuzluğun modern felsefeye Cusanus’un gayet metafiziksel bağlamda bir sudur kuramı olarak geliştirdiği düşünce sisteminden, ilahiyatla ilgili kısımlar çıkarılıp atılarak uyarlanması söz konusudur diyebiliriz.
Sonsuzlukla ilgili Cusanus’un bu görüşlerinden alınıp devamında çok farklı evreler geçiren tartışma Kant’a kadar gelmiş ve Kant, “Evrenin kaynağı, nedeni Tanrı’dır demek zorunda mıyız?” diye sorgulamaya başlamıştır. Akabinde geliştirdiği kritik projesinde ise; evreni ve ondaki nedenselliği Tanrı’yı neden olarak göstererek açıklamanın fiziksel bir açıklama olmayacağı ve bir Tanrı’ya dayandırmadan da evren ve ondaki nedenselliğin açıklanabileceği,17 savını
17 Kant, Pratik Aklın Eleştirisi, s. 150-151.
ortaya koymuştur. Kant’ın evreni herhangi bir metafiziksel duruma yani Cusanus’tan farklı olarak Tanrı’ya bağlamadan açıklama getirmesi çaba ve girişimi ondan sonraki düşünürlerin de artık tartışmayı bu zeminde ilerletmesine neden olmuştur. Yani Kant’ın bu girişimiyle düşünce tarihi artık başka bir seyirle yoluna devam edecektir denilebilir. Sonsuza dair getirilen bu yeni açıklama yani Tanrı’nın nedeni olmadığı fiziksel bir evrenin düşünülebilir olması savı meselenin bir tarafını oluştururken diğer tarafta küme kuramındaki gelişmeler yer almaktadır.
Cusanus ve sonrasında gelişen sonsuzluğa dair düşünce birikiminin sonucu olarak küme kuramında, sonsuz kümelerin az bir öz alt kümesiyle birebir eşlenebilir kümeler olarak tanımlanmaktadır. Bunun anlamı ise, elemanları öz alt kümelerinden en az bir eleman daha fazla yani, en az bir elemanı öz alt kümelerince içerilmeyen bir kümenin büyüklüğü ile öz altkümenin büyüklüğünün aynı olarak düşünülebilmesi demektir. Örneğin, doğal sayılar kümesiyle tek sayılar kümesi birebir eşlenebilir. Yani ilk tek sayıya 1, ikinci tek sayıya 2, üçüncü tek sayıya 3 ..., diye birebir eşlenebilir iki kümedir. Bu anlamda aslında kendisinin bir öz alt kümesiyle eşlenebilen bir kümenin var olduğunun ortaya konulabilmesi ile birlikte sonsuz kümelerin varlığından bahsetmek mümkün olmaktadır. Çünkü bu sayede küme kuramı içerisinde sonsuz kümeler ve sonsuz kümelerin büyüklükleri düşünülmeye başlanmıştır.
Ancak bu manada sonsuz kümeleri düşünmeye başlamak, sonsuz küme vardır demekle aynı şey değildir. Çünkü “sonsuzun ne demek olduğunu tanımlamak başkadır, sonsuzun var olduğunu ya da olmadığını kanıtlamak
başka. Yani, kavramın tanımıyla varlığı bambaşka sorunsallardır.”18 Bunu aksiyom olarak almak da varlık ispatından ziyade, ancak tanım vermek gibi bir şey olarak görülebilir. Halihazırda sonsuz, bir takım önermeler aracılığıyla ispat edilebilir bir şey olmadığı için bir aksiyom olarak alınmakta ve sonsuzluk aksiyomu (İng. Axiom of infinity) adıyla var kabul edilmektedir. Böylece bu aksiyom sonucu küme kuramı içerisinde sonsuzluk “ne zaman bir küme alınırsa o kümeden daha büyük ve onu içerisine alan, yani alt küme olarak içeren başka bir küme vardır” şeklinde tanımlanmaktadır. Bu, sonsuzluğa dair bu zamana kadar getirilen yorumların hepsinden farklılaşan bir çıkıştır, çünkü yüzyıllarca hakim olan Aristoteles’in sonsuzluğu kuvve olarak kabul edip, fiilen ispatının verilemeyeceğini savunmasının aksine, gerçekten fiili bir sonsuzluktan bahsetmenin yolu açılabilmektedir.
5. Sonsuz kümeler bağlamında Sürey Varsayımı’nın anlamı
Üst başlıklarda da değindiğiniz gibi sonsuzluk meselesi ilk başta ilahiyat alanında yani Batı felsefesindeki “ne var ne yok” sorusuyla ilgili olarak ortaya çıkmış ve bu bağlamda varlıkla ilgili tüm meseleler de aynı sorunun zemininde duran bir ile çok meselesine ilişkilenmiştir. Yani konu zamanla ilahiyat meselesinden uzaklaşıp teolojiden ziyade daha ontolojik bir zemine kaymıştır.
Ontolojik zeminde sonsuzluk meselesine küme kuramı çerçevesinde bakıldığında ise gerçekten ne var ne yok sorusunun nihai cevabı tek bir soruya düğümlenmektedir, o da Cantor tarafından ortaya atılan Sürey Varsayımı (İng. Continuum Hypothesis) problemidir. Bu problemi açıklamadan önce küme kuramının temelinde yer alan sistem ve bağıntıları hatırlayalım. Daha önce de ifade ettiğimiz gibi küme kuramının sınırları dahilinde herhangi bir kümenin diğer kümelerden bağımsız bir varlığa sahip olmasından söz edilemez. Çünkü kümeler varlıksal unsurlar olarak ele alındığında boş kümeden başlayarak 1, boş küme ve 1 kullanılarak 2, boş küme, 1 ve 2 kullanılarak 3 tanımlanır ve bu böyle sonsuza kadar gider ve bu biçimde matematikte “iyi sıralı” olarak anılan kümeler elde edilmiş olur. Yani herhangi bir kümenin varlığı tamamen diğer kümelerle olan ilişkisine bağlıdır ve bu ilişkiden bağımsız bir varlıktan bahsetmek söz konusu olamaz.
İkinci olarak Cantor’un ortaya koyduğu gibi bir kümenin sonsuz olmasından ancak bir öz altkümesiyle birebir eşlenebilmesi itibarıyla söz edilebilir. Bu noktada akla gelen ilk örneklerden birisi doğal sayılar kümesidir. Çünkü doğal sayıların bir alt kümesi olan çift sayılar da sonsuz büyüklüktedir. Bu iki küme, birbiri ile birebir eşlenebilir. Örneğin 1 ile 2; 2 ile 4; 3 ile 6; 4 ile 8,