TÜREV 03  

TÜREV KAVRAMI

TANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a  A da sürekli olmak üzere

limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya sembolleri ile gösterilir.

h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.

= olur. a x a f x f a x    ) ( ) ( lim

)

(a

dx

df

0

)

(









a

x

a

x

0



 h

a x a f x f a x    ) ( ) ( lim

h

a

f

h

a

f

h

)

(

)

(

lim

0







10.03.21 3

ÖRNEK: f: R R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım. ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir



2 ) 2 ( ) ( lim ) 2 ( ₂     _ x f x f f _x 4 2 ) 2 )( 2 ( lim 2 4 lim ) 2 ( ₂ 2 2 _         _{ } x x x x x f _{x x}

SOLDAN SAĞDAN TÜREV TANIM:

1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa

bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir.

2. Limitinin bir reel sayı değeri

varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.

A

a

R

A

 ,



a x a f x f a x    ( ) ( ) lim _ a x a f x f a x     ( ) ( ) lim

10.03.21 5

f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-) = f’(a+) = f’(a) dır.

f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.

ÖRNEK: f: R R , f(x)= a)f’(2-)=? b)f’(2+)=?

ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.

a ) = = = 4 b) = =





















ise

x

x

ise

x

x

2

,

2

2

,

2

4

2

_<

2 ) 2 ( ) ( lim 2     x f x f x 2 4 lim 2 2     x x x

lim

_x2

(

x



2

)

2 ) 2 ( ) ( lim 2     x f x f x

₂

8

4

lim

2





 

x

x

x

lim

4



4

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ

Teorem: olmak üzere; fonksiyonu a noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.

1

. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.

2

.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli olsun

3

.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu

noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.

A

a

R

10.03.21 7 Örnek: hangi noktalarda türevsizdir? Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir.

x=-1 ve x=2 noktalarında

süreksiz dolayısıyla türevsizdir.

2

2

2

)

(

₂ 2









x

x

x

f

2

2

2

)

(

₂ 2









x

x

x

f

BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME TANIM: a,b olmak üzere

fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere

fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.



f

:

(

a

,

b

)



R

R



A

R

A

10.03.21 9

TÜREV ALMA KURALLARI 1) f(x)= c f’(x) = 0 2) f(x) = xn f’(x) = n . xn-1 3) (c . f (x) )’ = c . f’(x) 4) 5) 6)



f

(

x

)



g

(

x

)







f



(

x

)



g



(

x

)



f

(

x

).

g

(

x

)







f



(

x

).

g

(

x

)



g



(

x

).

f

(

x

)





2 ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( x g x f x g x g x f x g x f           

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU teğet kesen Y=f(x)  F(a+h) F(a) a a+h

10.03.21 11











a

h

a

a

f

h

a

f

)

(

)

(

)

(

h

a

f

h

a

f

(



)



(

)



AC

BC

m_AB=tan = 

AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından













a

h

a

a

f

h

a

f

)

(

)

(

)

(

0

lim

_h m_{AT =}

f

' a

(

)

O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası, B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ . f(a) y x a n t Y=f(x)

10.03.21 13

A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu noktadaki türevi eğimi vereceğinden

y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.

1

m

.

m

_{t n}





)

a

(

'

f

1

m

1

m

t n









Anoktasındaki

normal denklemi ise şöyle olur:

)

a

(

'

f

1

)

a

(

f

y







. (x-a)

 

Örnek: F(x) -x 2_{+2x –3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki}

teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.

Çözüm: x=3, y=-6 olur. F'(x)= -2x +2 olduğundan

teğetin eğimi: mı =f'(3)=(-2 . 3)+2 =-4

normalin eğimi: mn =-1/mı=-1/f'(3) =-1/-4 =1/4

teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6

10.03.21 15

i) Her x

₁

, x

₂

 A için, x

₁

<x

₂

iken, f(x

₁

)< f(x

₂

) ise,

fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

A.ARTAN ve AZALAN

FONKSİYONLAR

m=tan=

f ’(x

₁

)>0

ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında artandır.

10.03.21 17

ii) Her x

₁

, x

₂

 A için, x

₁

<x

₂

iken, f(x

₁

)> f(x

₂

) ise, f

m=tan=

f ’(x

₁

)<0

ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında azalandır.

10.03.21 19

f:[a,b]R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise

bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.

a b

f’(x) f(x)

+ + + + + artan

f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise

bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.

f’(x) f(x) a b - - - azalan

SONUÇ

Soru:

f(x)=x

2

-2x fonksiyonunun artan veya

azalan olduğu aralıkları bulunuz?

Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,

Çözüm::

türevinin işaretini incelemeliyiz.

f(x)=x2-2x  f’(x)= 2x-2 2x-2=0  x=1 olur. f’(x) f(x) - 1 + - ₊ azalan artan

10.03.21 23

Soru: 

R-{-2} için, f(x)=

nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır?

Çözüm : 2 x 1 mx  

Fonksiyonun daima artan olabilmesi için,

ol-malıdır. f’(x)>0 f’(x)= = =_{(x 2)}2 ) 1 mx .( 1 ) 2 x .( m     2 ) 2 x ( 1 mx m 2 mx     2 ) 2 x ( 1 m 2   Buradan; 0 ) 2 x ( 1 m 2 2   

_

0 1 m 2  



2 1 m  _bulunur.

Y=f(x)

y

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

10.03.21 25

Çözüm :

a) [-3,-1) aralığında,

Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır. b) (-1,3) aralığında,

Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.

c) (3,4) aralığında,

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

10.03.21 27

Çözüm :

a) [-3,-2) aralığında:

f’(x) > 0 _{olduğundan,f(x) bu aralıkta} artan’dır.

b) (-2,0) aralığında:

f’(x) < 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta azalan’dır.

c) (0,4] aralığında:

f’(x) > 0

x=3 noktası hariç, olduğundan,f(x) bu aralıkta

artan’dır. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Y=f’ (x) y x

B. MAKSİMUM ve MİNUMUM

DEĞERLERİN BULUNMASI

10.03.21 29

1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x₀_{(a,b) ve}  > 0 olsun. f fonksiyonu, (x₀- ,x_o+ ) aralığında en büyük

değerini x₀ noktasında alıyorsa, (x₀,f(x₀)) noktasında bir

yerel maksimumu vardır.

f(x₀) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri

denir. x₀-  x₀ x_o+  f(x₀) a b Y=f(x) f ’(x) f(x) a x₀ b + -f(x₀) Maksimum

2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:

Tanım:f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x₀_{(a,b) ve}  _{> 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında} en küçük değerini x₀ noktasında alıyorsa, (x₀,f(x₀)) noktasında bir

yerel minimumu vardır.

f(x₀) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri

denir. x₀-  x0 _{xo+ } a b Y=f(x) f ’(x) f(x) a x₀ b + -f(x₀)

10.03.21 31

Sonuç:

a f(a) b f(b) c f(c) d f(d) ++ +++ + - - --- _{- +}++ ++ ++ y=f(x) f ’(x)>0 f ’(x)<0 Yerel maksimum f ’(x)>0 Yerel minimum

10.03.21 33

Soru :

f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel

minimum noktalarını bulunuz?

Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:

f’(x)= 3x2-6x = 0  x₁= 0 ve x₂= 2 x₁= 0  f(0)= 1 x_{2= 2  f(2)= -3} f’(x) f(x) - 0 2 + 0 0 1 -3 + - +

Cözüm:

Soru :

-4 -2 –1 0 3 5

y=f ’(x)

y

x

Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini

görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve

yerel minimum noktalarını bulunuz?

Cözüm :

+ - + -f’(x) f(x) -4 5 - +

-10.03.21 35

C. İKİNCİ TÜREVİN

f:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:

a _b

y=f(x)

Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır. A

B

x₁ x₂

 _

10.03.21 37 a _b y=f(x) A B x₁ x₂  _ Bu teğetlerin eğimleri; m₁= tan=f’(x₁) ve m₂=tan=f’(x₂)  _{ tan< tan  f’(x1) < f’(x2) ‘dir.}

Yani;

x₁< x₂ için, f’(x₁) < f’(x₂) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır.

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim: a _b A B x_{1 x2}  

a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat! Bu teğetlerin eğimleri;

10.03.21 39 a _b A B x_{1 x2}  

 _{ tan> tan  f’(x1) > f’(x2) ‘dir.}

Yani;

x₁< x₂ için, f’(x₁) > f’(x₂) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır.

SONUÇ:

Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)< 0

oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.

Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)> 0

oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.

10.03.21 41

Soru :

f:R R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav

olduğu aralıkları araştırınız?

Çözüm

:

Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.

f’(x)=3x2+2x-2 f’’(x)=6x+2 = 0 x= -1/3 f’’(x) f(x) -  -1/3 + - +

Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:

Tanım:

Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,

Dönüm (büküm) noktası

10.03.21 43 Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!

a 0 x_{0 b} f(x₀) f ’’(x)<0 f ’’(x)>0 Dönüm noktası a _b 0 _x0 f(x₀) f ’’(x₀)=0 f ’’(x)>0 f ’’(x)<0 f ’’(x₀)=yok Dönüm noktası

10.03.21 45

1. f: RR, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve

konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?

Çözüm

:

f’(x)= 4x3+3x2-2 f’’(x)= 12x2+6x

İkinci türevin kökleri:

12x2+6x=0 6x(2x+1) = 0

6x=0 x1= 0

x f’’(x)

f(x)

- -1/2 0 + 

+

+

konveks konkav konveks

Dönüm

noktası Dönüm noktası

-10.03.21 47 2. f: RR, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?

Çözüm

:

f’(x)=4(x-2)3 _ve f’’(x)= 12(x-2)2 12(x-2)2=0  x 1=x2=2 x f’’(x) f(x) -  2 + 

+

+

konveks konveks ?

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir

Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!

Yani; f’’(x₀)=0 olması, x₀ noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

1. 2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x    

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x      = 0 0 belirsizliği var 2 x 3 x 10 x 7 x lim 2₂ 2 x      = 2x 3 7 x 2 lim 2 x    = 2.2 3 7 2 . 2   = ₁3  3

10.03.21 51 3. x x π x sin cos 1 lim 

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

x x π x sin cos 1 lim   0 0 belirsizliği var = x x π x sin cos 1 lim   = _{x }lim_π - sinx cosx π π cos sin  = _0₁ = 0

4. x e x x x cos ) 1 ln( lim   

 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

x e x x x cos ) 1 ln( lim     =





belirsizliği var   xlim = x e x x x cos ) 1 ln( lim     1 1  x ex - sinx 0



10.03.21 53 5. ) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x

x  limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x x  =





belirsizliği var ) 2 ln(sin ) ln(sin lim 0 x x x  = xlim0 cosx/sinx 2cos2x/sin2x 0 lim  x cosx/sinx 2cos2x/sin2x = Cosx.sin2x 0 lim  x 2cos2x.sinx

6. _x

lim

_

_x

1



e

x limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

x x

x



e

1

lim

= 0 



x x

x



e

1

lim

₌ x x

x

e

 

lim

= _   x

lim

= x x

x

e

 

lim

ex 1 = e  1 =



1 = 

10.03.21 55 Cosx.sin2x 0 lim  x 2cos2x.sinx 2sinx.cosx 2.sinx.cos2x 0 lim  x 2cos2x.sinx = 2.cos(2.0) 0 cos . 2 2 = 2. 1 2. 1 = 1

7.

 

_x x

x

2

sin

.

lim



 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

 

_x x

x

2

sin

.

lim

  =





x

x

x

1

)

2

sin(

lim

  =

0

0

  x

lim

=

x

x

1

)

2

sin(

lim

  =

x

x

2

cos

2

2





1



x 

lim



2

.

cos(

2

/

x

)

=

2

10.03.21 57 8.       _   x x x ln 1 1 1 lim

1 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm

:

      _   x x x ln 1 1 1 lim 1 =



-



      _   x x x ln 1 1 1 lim 1 = _          ln ( 1) 1 ln lim 1 x x x x x =

0

0























ln

(

1

)

1

ln

lim

1

x

x

x

x

x = limx1 1 1 _ x

x

x

x

(

1

)

ln

1

_

_

_

= 1 lim  x x x  1

x

x

x

x

1

)

.

ln

(





= x x x x x ( 1) .ln 1 lim 1     = 0 0

10.03.21 59

SUNUMUZ BURADA SONA

ERMİŞTİR...