Fibonacci dizileri ve Fibonacci matrislerinin determinantları, normları üzerine bir çalışma

(1)

ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

FIBONACCI DİZİLERİ VE FIBONACCI MATRİSLERİNİN DETERMİNANTLARI, NORMLARI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

HASAN HÜSEYİN GÜLEÇ

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Danışman

Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Jüri

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. Galip OTURANÇ Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Bu çalışmada, Fibonacci sayıları ile ilgili tanımlar verilmiş ve bu sayıların sağladığı özellikler incelenmiştir. Ayrıca, Fibonacci ve Lucas sayılarından elde edilen matrislerin determinantları üzerinde durulmuş ve Fibonacci sayılarından oluşan bazı matrislerin normları incelenmiştir. Daha sonra Fibonacci sayı dizisi ile ilgili yeni özellikler verilmiş ve başka bir sınır şartı tanımlanarak elde edilen matrislerin determinantları incelenmiştir.

(2)

ABSTRACT

MS THESIS

A STUDY ON THE DETERMINANTS, NORMS OF FIBONACCI SEQUENCE AND FIBONACCI MATRICES

HASAN HÜSEYİN GÜLEÇ

SELCUK UNIVERSITY

GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Supervisor

Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Jury

Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Doç. Dr. Galip OTURANÇ Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

In this study, we have given the definitions of related the Fibonacci numbers and we have investigated the properties of this numbers. Furthermore, we have studied on determinants of matrices which is involved Fibonacci and Lucas numbers and we have investigated norms of some matrices which is depend on Fibonacci numbers. After we have given new properties related with the Fibonacci sequence and we have investigated determinants of matrices which is obtained using different boundary conditions.

(3)

ÖNSÖZ

Birinci bölümde, Fibonacci sayılarının tarihçesinden bahsedilmiş ve bu sayılarla ilgili yapılmış olan çalışmaların oluşturduğu literatür özeti verilmiştir.

İkinci bölümde, Fibonacci sayıları ve Fibonacci dizisi tanımları verilip, bu sayılarla ilgili diğer gerekli olan bilgiler verilmiştir.

Üçüncü bölümde, Fibonacci ve Lucas sayılarından elde edilen matrislerin determinantları incelenmiş ve bunlarla ilgili örnekler verilmiştir. Daha sonra Fibonacci sayılarıyla oluşturulan bazı matrislerin normları üzerinde durulmuştur.

Dördüncü bölümde ise, Fibonacci sayı dizisinin sağladığı yeni özellikler bulunmuştur. Ayrıca, yeni sınır şartları tanımlanarak oluşturulan matrislerin determinantları incelenmiştir.

Bu çalışmada emeği geçen danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA’ya, çalışmam boyunca desteğini hiç esirgemeyen aileme ve katkılarından dolayı Sayın Halil MAZLUM’a teşekkür ederim.

Hasan Hüseyin GÜLEÇ

2007

(4)

İÇİNDEKİLER

I. GİRİŞ………... 1

II. FIBONACCI SAYILARI VE ÖZELLİKLERİ………... 3

2.1. Fibonacci Sayıları ………... 3 III. FIBONACCI VE LUCAS SAYILARIYLA ELDE EDİLEN

MATRİSLERİN DETERMİNANTLARI VE NORMLARI ...……….. 10 3.1. Fibonacci Sayılarıyla Oluşturulan Bazı Matrislerin Determinantları … 10

3.2. Lucas Sayılarıyla Oluşturulan Bazı Matrislerin Determinantları……… 25 3.3. k -Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas Sayılarının Determinant

Temsilleri……….... 31

3.4. Fibonacci Sayılarıyla Oluşturulan Bazı Matrislerin Normları ………... 37 IV. FIBONACCI DİZİSİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE FIBONACCI

MATRİSLERİNİN DETERMİNANTLARI………... 43 4.1. Fibonacci Sayılarıyla İlgili Bazı Özellikler ……….……... 43

4.2. Sınır Şartına Bağlı Olarak Elde Edilen Matrislerin Determinantları….. 48

KAYNAKLAR ………... 54

(5)

1 I. GİRİŞ

Leonardo Fibonacci 12.-13. yüzyıllarda yaşamış İtalyan matematikçidir. Pisa şehrinde doğan Leonardo çocukluğunu Cezayir`de geçirmiştir. İlk matematik bilgilerini Müslüman eğitimcilerden almış olup küçük yaşta Arap sayı sistemini öğrenmiştir. Ülkesindeki kullanılan roma sisteminin hantallığı yanında Arap sayı sisteminin mükemmelliğini gören Fibonacci 1201’de “Liber Abaci” isimli kitabını yazmıştır. Bu kitap Arap sayı sisteminin batı Avrupa’ya girmesinde büyük rol oynamıştır. Bu kitapta bulunan bir problem, ortaçağ matematiğine büyük katkılarda bulunan Fibonacci’yi 600 yıl sonra 19. yüzyılın başlarından günümüze meşhur hale gelmesine sebep olmuştur.

Bu problem “Tavşan Problemi’dir. Ergin bir tavşanın her ay yeni bir yavru çifti verdiği ve yeni doğan bir çiftin bir ay zarfında erginliğe eriştiği varsayımıyla yavru olan bir tavşan çiftinden başlayıp bir yılda çiftlerin sayısı ne olur? Buna göre belli bir aydaki çift sayısı önceki iki ayın toplamına eşittir (aylara göre üremeyi gösteren çizelge yorum yapmayı kolaylaştıracaktır). O halde tavşan çifti sayıları aylara göre bir yıl içinde 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 olacaktır. Fibonacci kendisi bu sayı dizisi üzerinde bir çalışma yapmamıştır. Hatta bu sayı dizisi üzerinde 19. yüzyılın başlarına kadar ciddi bir araştırma yapılmadığı da belirtilmektedir. Ancak bundan sonra bu dizi üzerinde yapılan araştırma sayısı Fibonacci’nin tavşanlarının sayısı gibi artmıştır. Hatta Fibonacci Derneği bile kurulmuştur. Bu derneğin 1963 yılından bu yana yayınladığı dergide (the Fibonacci Quarterly) bu sayı dizisi ile ilgili yapılan ilginç araştırmalar yayınlanmaktadır. Bazısı bilinen, bazısı öne sürülüp ispatlanamayan ve bilinmeyip keşfedilmesi beklenen birçok özelliğe sahip Fibonacci dizileri hala birçok matematikçi tarafından araştırılmaktadır.

Son yıllarda Fibonacci sayıları ile ilgili çok araştırma yapılmıştır. Kalman [2], genelleştirilmiş Fibonacci dizileri ve matrisleri gösterimini tanımlamış ve bu sayılar yardımıyla tanımlanan matrisleri kullanarak, genelleştirilmiş Fibonacci dizisi için yeni bir formül vermiştir. Er [3], [2]’de tanımlanan genelleştirilmiş Fibonacci dizileri ve matrisleri gösterimini genişletmiş ve bu gösterimi kullanarak, doğrudan elde edilen Fibonacci sayılarının toplamını göstermiştir. Lee [4], Fibonacci sayıları ile Lucas sayıları arasındaki ilişkiyi araştırmıştır. Takahashi [5], büyük dereceli

) (k n g ) (k n l

(6)

2 Fibonacci sayılarını hesaplamak için Lucas’ın çözümlerine dayanan hızlı bir algoritma geliştirmiştir. Ayrıca Lucas sayıları algoritmasındaki adım sayısı bu çalışmayla daha aza indirgenmiştir. Karaduman [6] ve [7], genelleştirilmiş mertebesi k olan Fibonacci sayılarının (k) serisinden elde edilen matrislerin determinantlarını araştırmıştır. Taşçı ve Kılıç [8], matrislerde Lucas sayılarının yeni bir genellemesini vermiştir. Aynı zamanda k. mertebeden genelleştirilmiş Lucas dizileri ve Fibonacci dizileri arasındaki ilişkiyi sunmuştur. Öcal, Tuğlu ve Altınışık [9], k genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının kararlı ve sürekli bir temsilini vermiştir. Aynı zamanda bu diziler için Binet formülünü elde etmiştir.

(7)

3 II. FIBONACCI SAYILARI VE ÖZELLİKLERİ

2.1. Fibonacci Sayıları

Tanım 2.1.1. F₁ =1, F₂ =1 ve n≥3 için

F_n =F_n₋₁ +F_n₋₂ (1) şeklinde tanımlanan sayılara Fibonacci Sayıları denir. Bazı Fibonacci sayıları,

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

F 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

tabloda görüldüğü gibidir. Fibonacci sayılarının bazı özellikleri aşağıda verilmiştir.

1. _{∈ Z}+ için n

∑

= + − = n i n i F F 1 2 1 2. _{∈ Z}+ için n

∑

= + = n i n n i F F F 1 1 2 3. _{∈ Z}+ için n m, F_nF_m +F_n₊₁F_m₊₁ =F_m₊_n₊₁ 4. _{∈ Z}+ için r n m ,, F_m₊_n₋₂F_m₊_r₋₁ −F_m₊_n₋₁F_m₊_r₋₂ =(−1)m+r−2F_n₋_r 5. _{∈ Z}+ için n (1 5) 2 1 + = α ve (1 5) 2 1 − = β , denkleminin

kökleri olmak üzere,

0 1 2 _{− x}₋ ₌ x β α β α − − = n n n F dir. Böylece kapalı form

5 2 ) 5 1 ( ) 5 1 ( n n n n F = + − −

olarak verilir ve bu formül Binet Fibonacci formülü olarak bilinir. [.] nint fonksiyonu ve φ altın oran olmak üzere, başka bir kapalı form ise

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 5 2 5 1 5 1 n n n F φ

(8)

4 n F n 5 . 2 7.5 10 15 5 − −10 5 . 2 − −5 5 . 7 − ₅ 5 Şekil 2.1.1

Negatif Fibonacci sayıları,

n n

n F

F₋ =(−1) +1

eşitliği ile bulunur. Fibonacci sayılarını daha genel olarak,

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = cos( ) 5 1 2 2 5 1 5 1 ν ν _νπ ν F şeklinde yazabiliriz. n F n 2 10 15 5 − −10 −2 4 − −6 ₄ 8 − • • • • • • • •• 5 Şekil 2.1.2

(9)

5 Fibonacci fonksiyonu x=0 da ve bütün n negatif tamsayıları için n+0.5

olacak şekildeki sonsuz sayıdaki negatif değerler de sıfır çözümüne sahiptir. Buradaki çözümler, φ altın oran olmak üzere

) cos( 2 x x π φ =

olarak verilir. İlk birkaç kök;

... , ... 510851 . 3 , ... 470426 . 2 , ... 570776 . 1 , ... 183802 . 0 , 0 x=− − − − şeklindedir.

Fibonacci sayıları için, [.] tam değer fonksiyonu ve φ altın oran olmak üzere

[

1/2

]

2 1 ) 5 1 ( 1 = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = + n n n F F F φ

eşitliği geçerlidir. k >2 için

0 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 1 2 1 = + + − + + − + + + + + + + + + k n k k n k k n k n k n k n k n n n F F F F F F F F F K M O M M K K

dir. Özel olarak, k =1 için bu determinantın değeri Fn₊₁ dir. Ayrıca, i− j =1 için elemanları aii =1 ve aij = −1 olacak şekilde tanımlanan An matrisi için

1

) det(A_n = F_n₊ dir.

Tanım 2.1.2. Tanım 2.1.1 ile verilen sayıların oluşturduğu sayı dizisine Fibonacci dizisi denir. Fibonacci dizisinin temel özelliği dizideki sayılardan her biri kendinden önce gelen iki sayının toplamıdır.

Fibonacci sayılarının bir diğer önemli özelliği ise dizideki bir terimin kendisinden önceki terime oranının altın oran denilen ve irrasyonel bir sayı olan

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 5 1

=1,61803398... sayısına dizininin terimleri ilerledikçe yakınsamasıdır ve

(10)

6 terim, kendisinden önceki terime bölündüğünde bu oranı vermektedir. Fibonacci dizisinin ilginç bir özelliği de üçüncü, altıncı, dokuzuncu,K terimlerinin 2’nin katı oluşudur. Yani, dizinin her üç teriminden biri, periyodik olarak, 2’nin katıdır.

Tanım 2.1.3. α₁,α₂,...,α₂_n₋₁∈C ve H_n =(a_ij)_n_×_n kare matrisi olsun elemanı n H ( ji, ). 1 − + = i j ij

a α ise matrisine Hankel matrisi denir. Hankel matrisini açık yazacak olursak, n H ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − + + + + 1 2 2 1 2 5 4 3 1 4 3 2 3 2 1 n n n n n n n n H α α α α α α α α α α α α α α α α L M N N M M L L L olur.

Tanım 2.1.4. A=(aij) bir kare matris olsun. Eğer A matrisinin ( ji, ). elemanı

1 1 − + = j i

a_ij şeklinde tanımlı ise, A matrisine Hilbert matrisi denir. Yani,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M M M M M L L L L 7 1 6 1 5 1 4 1 6 1 5 1 4 1 3 1 5 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + = 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 5 1 4 1 3 1 1 1 4 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 n n n n n n n A_n L M N N M M L L L dir.

Tanım 2.1.5. (a_k), k ≥1 için a_k ≠0 olacak şekilde bir tamsayı dizisi olsun. elemanı ). , ( ji 1 1 + + = j i ij a

a olan matrise dizisine bağlı Reciprocal Hankel

matrisi denir ve ile gösterilir. ) (a_k ) ( k n a R

(11)

7 Tanım 2.1.6. , Fibonacci sayısı olmak üzere dizisinden elde edilen

Reciprocal Hankel matrisine Filbert matrisi denir. k F k. (F_k) ) ( k n F R

Tanım 2.1.7. F_n, Fibonacci sayısı ve pozitif tamsayı olmak üzere n. k

∏

= + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ k i i i n F F k n 1 1

şeklinde tanımlı sayılara Fibonomial katsayılar denir.

Tanım 2.1.8. Fk, k. Fibonacci sayısı olmak üzere,

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ − ∈ = = j i j i F IR a j i a tij ) ( 1 ) ( ,

eşitliğinden elde edilen elemanlarla oluşturulan matrise FToeplitz matris denir [10].

Tanım 2.1.9. Fk, k. Fibonacci sayısı ve Hn n×n bir kare matris olmak üzere, elemanları ) /( 1 i j ij F F h = +

olacak şekilde tanımlanan Hn matrisine hemen hemen FHankel matris denir [10].

Tanım 2.1.10. j− i>1 için a_ij =0 ise, A_n =(a_ij) n×n matrisine alt Hessenberg

matris denir. Yani,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A , 3 , 2 , 1 , , 1 3 , 1 2 , 1 1 , 1 33 32 31 23 22 21 12 11 0 0 0 0 K K M O M M M K K K dir [9].

(12)

8 Örnek 2.1.1. R₃(F_k) Filbert matrisi

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 4 3 4 3 2 3 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( F F F F F F F F F F R k = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 5 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 dir. ), ( _ij n a

A = bir n×n hilbert matrisi olmak üzere

)! 1 2 ( ! 2 ! 1 ) )! 1 ( ! 2 ! 1 ( det 4 − − = n n An L L

dır. Buradan Hilbert matrisinin tersinin bulunduğu açıkça görülmektedir.

n B , ( ji, ). elemanı, 2 1 2 1 1 ) ( ) 1 ( _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + + − = + i j i i n j n j n i n j i j i ij α

şeklinde tanımlanan n×n bir kare matris olsun. Bu takdirde B=(α_ij), Hilbert matrisinin tersidir.

Örnek 2.1.2. Aşağıda Hilbert martinin tersine örnekler verilmiştir.

= 2 B _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 12 6 6 4 ,B₃= , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 180 180 30 180 192 36 30 36 9 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 2800 4200 1680 140 4200 6480 2700 240 1680 2700 1200 120 140 240 120 16 4 B

Örnek 2.1.3. Bazı fibonomial katsayı örnekleri aşağıdaki gibidir. 1 0 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ , 1 0 ⎟⎟_⎠= ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 3 = 2 2 1 2 3 2 1 1 3 ₌ ₌

∏

= + − F F F F F F i i i

(13)

9 15 2 . 1 . 1 2 . 3 . 5 3 5 3 2 1 3 4 5 3 1 1 5 ₌ ₌ ₌ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∏

= + − F F F F F F F F i i i ) (n W , elmanı, ( ji, ). 2 1 ) , , ( 1 2 1 1 ) 1 ( ) ( _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = ₊ ₋ i j i i n j n j n i n F n w_ij eni j _i _j

şeklinde tanımlı bir kare matris olsun. Bu takdirde matrisi Filbert matrisinin tersidir ve elemanları birer tamsayıdır. Burada

n n× W(n)=(w_ij(n)) ) ( _k n F R w_ij(n) 1 2 2 ) 1 ( ) , , ( _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + =n i j i j j i n e biçiminde tanımlıdır.

Örnek 2.1.4. W(2)=(w_ij(2)) matrisini bulalım.

2 1 ) , , 2 ( 1 2 2 1 2 2 1 2 ) 1 ( ) 2 ( _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = ₊ ₋ i j i i j j i F w_ij e ij _i _j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 ) 1 ( ) 2 ( (2,1,1) ₁ 11 F w e ( 1) 1 0 0 1 2 ₂ 2 1 7 2 − = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ F F 2 ) 1 ( 0 1 0 3 1 2 ) 1 ( ) 2 ( 10 ₂ ₃ 2 2 ) 2 , 1 , 2 ( 12 ⎟⎟ = − = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = F F F w e 2 ) 1 ( 1 2 0 3 0 3 ) 1 ( ) 2 ( 2 2 3 13 2 2 ) 2 , 2 , 2 ( 22 ⎟⎟ = − =− ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = F F F w e ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 2 2 1 ) 2 ( W olur. Gerçekten, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 dir.

(14)

10 III. FIBONACCI VE LUCAS SAYILARIYLA ELDE EDİLEN MATRİSLERİN DETERMİNANTLARI VE NORMLARI

3.1. Fibonacci Sayılarıyla Oluşturulan Bazı Matrislerin Determinantları

Bu bölümde Fibonacci sayılarından elde edilen bazı matrisler ve genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci sayılarının k dizisinden elde edilen matrislerin determinantlarını inceleyeceğiz.

Genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci sayılarının k dizisi, için , katsayı sabiti olmak üzere

k j≤ ≤ 1 j c = i n g ,1 0 , 0 1 , 1 ≤ ≤ − ⎩ ⎨ ⎧ = − n k halde aksi n i sınır şartıyla birlikte, g c g n i k (2) k j i j n j i n =

∑

> ≤ ≤ = − 1 , 0 , 1

şeklinde tanımlanır. i, i. dizinin n. terimidir. n

g k =2 ve cj =1 için genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci dizisi geleneksel Fibonacci dizisine indirgenir [3].

A, k×k kare matrisi aşağıdaki gibi tanımlanır [2].

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 3 2 1 L L M M O M M M L L L ck ck c c c A

Buradan matris çarpımının bir özelliğinden,

[

i

]

T k n i n i n g g g ₊₁ _L ₋ ₊₂ = A

[

i

]

T k n i n i ng g g ₋₁_L ₋ ₊₁ (3)

olur. Bununla beraber genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci dizisinin k dizisiyle çalışmak için aşağıdaki G_n kare matrisini alalım [3].

(15)

11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n g g g g g g g g g G 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L (3) denkleminden, n n AG G ₊₁ = (4)

elde edilir. Daha sonra bazı n’ler için 1 = n için G₂ = AG₁ 2 = n için G₃ = AG₂ 3 = n için G₄ = AG₃ M olur ve buradan 1 2 1 2 3 AG A(AG ) A G G = = = 1 3 1 2 3 4 AG A(A G ) A G G = = = 1 4 1 3 4 5 AG A(A G ) A G G = = = M 1 ₁ 1 2 1 A(A G ) A G AG G_n = _n₋ = n− = n− 1 1 1 1 AG A(A G ) A G Gn = n = n = n − + Gn+₁ = AnG₁ (5) bulunur. Şimdi (2) denkleminden G₁ = A olduğu kolayca görülebilir. Gerçekten

için, 1 = n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − + − + − + − + − + − − − − − k k k k k k k k k k k k k g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g G 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 1 1 0 3 0 2 0 1 0 1 3 1 2 1 1 1 1 L L M O M M M L L L

(16)

12 dir. Buradan matrisinin elemanlarını (2) denklemini kullanarak bulalım. (2) denklemindeki verilen sınır şartından:

1 G

0 =

n için, g1₀ =1 dir. i=1 olduğundan, g₀2 =0,g₀3 =0,g₀4 =0,_L,g₀k =0 1

− =

n için, g₋2₁ =1 dir. i=2 olduğundan, g₋1₁ =0,g₋3₁ =0,g₋4₁ =0,_L,g₋k₁ =0 2

− =

n için, g₋3₂ =1 dir. i=3 olduğundan, g₋1₂ =0,g₋2₂ =0,g₋4₂ =0,_L,g₋k₂ =0 M

k

n= 3− için, g₋kk−₊2₃ =1 dir. i= k−2 olduğundan, 0, , 0, 3 0 1 3 1 3 = −−+ = − + = + − kk k k k g g g _L k

n= 2− için, g₋k_k−₊1₂ =1 dir. i= k−1 olduğundan, g₋1_k₊₂ =0,_L,g₋k_k−₊2₂ =0,g₋k_k₊₂ =0

k

n= 1− için, g₋k_k₊₁ =1 dir. i=k olduğundan, g1₋_k₊₁ =0,_L, g₋k_k−₊2₁ =0, g₋k_k−₊1₁ =0 dir. Şimdi bulunan bu elemanları (2) denkleminde yerine yazalım. Birinci satır için,

k i n g c g k j i j j i =

∑

= ≤ ≤ = − 1 , 1 , 1 1 1

olur. Buradan da birinci satır elemanları,

1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 0 1 1 1 c g c g c g c g c g g c g = + ₋ + ₋ +_L+ _k₋ ₋_k₊ + _k ₋_k₊ ⇒ = 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 1 2 2 0 1 2 1 c g c g c g c g c g g c g = + ₋ + ₋ +_L+ _k₋ ₋_k₊ + _k ₋_k₊ ⇒ = 3 3 1 3 1 3 2 1 3 2 3 3 1 2 3 0 1 3 1 c g c g c g c g c g g c g = + ₋ + ₋ +_L+ _k₋ ₋_k₊ + _k ₋_k₊ ⇒ = M 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 0 1 1 1− = − + −− + −− + + − −−+ + −−+ ⇒ − = k− k k k k k k k k k k k c g g c g c g c g c g c g _L k k k k k k k k k k k k c g g c g c g c g c g c g₁ = ₁ ₀ + ₂ ₋₁ + ₃ ₋₂ +_L+ ₋₁ ₋ ₊₂ + ₋ ₊₁ ⇒ ₁ =

olarak elde edilir. İkinci satırda , diğer elemanlar sıfırdır. Üçüncü satırda , diğer elemanlar sıfırdır. Dördüncü satırda , diğer elemanlar sıfırdır. Bu şekilde devam ederek,

1 1 0 = g 1 2 1 = − g g₋3₂ =1 ). 1

(k− satırda , diğer elemanlar sıfırdır ve k. satırda da , diğer elemanlar sıfırdır.

1 2 3 = − + − k k g 1 1 2 = − + −kk g

(17)

13 A c c c c c G k k = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 3 2 1 1 L L M M O M M M L L L

elde edilir. Bu nedenle (4) ve (5) denklemlerinden n olduğu görülür. Buradan n A G = n n n G G GG G ₊₁ = ₁ = ₁ veya (6) 1 1 + + = n n A G

olur. Başka bir deyişle G₁, matris çarpımı altında değişmelidir. Böylece,

(7) 1 1 1 1 1 , 1 1 n k k n i n n i i n g c g k i g g c g = − ≤ ≤ + = + + +

yazılabilir ve (6) denklemi daha genel olarak

c r c

r G G G ₊ =

şeklinde yazılabilir. Sonuç olarak, ’nin bir elemanı ’nin bir satırı ve ’nin bir sütununun çarpımıdır. Yani,

c r G ₊ Gr Gc i c r g ₊

=

∑

= − + k j i j c j rg g 1 1

dir. Özellikle, r=c=n ise G₂_n =G_n2 dir.

Genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci sayılarının toplamı, n≥0 için S_n =

∑

= n i i g 0 1

₍₈₎

(18)

14 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 0 0 0 1 M K A B

Ayrıca E_n, (k+1)×(k+1) kare matrisi de,

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − k n n n n n S G S S E M K 2 1 0 0 0 1

şeklinde olsun. Buradan

S_n₊₁ = g1_n₊₁+S_n (9) olur. (7) ve (9) denklemlerinden B E E_n₊₁ = _n (10) n n E B E ₊₁ = ₁ (11)

elde edilir. 1≤i≤k için S_−i =0 olduğundan E₁ =B ve genel olarak olur.

Buradan (10) ve (11) denklemlerinden

n n B E =

En+₁ =E₁En =EnE₁ (12) olduğu görülür ki, matris çarpımı altında değişmelidir. (12) denkleminin bir uygulaması olarak genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci sayılarının toplamı;

1 E S_n =

∑

= − + k i i n S 1 1

(13)

denklemini sağlar [3]. Buradan

1 =

(14) n g

∑

= − + k i i n S 2 1

olup, k =2 olduğunda (14) denklemi

2 1 ₁ − + = n n S g

(19)

15 olur. Eğer (2) denkleminde c₁ = c₂ =1 ise,

Fn = 1+

∑

− = 2 0 n i i F

(15) iyi bilinen sonucu elde edilir [1]. Burada, standart Fibonacci dizisinin n. terimidir. n F Teorem 3.1.1. = i n g ,1 0 , 0 1 , 1 ≤ ≤ − ⎩ ⎨ ⎧ = − n k halde aksi n i sınır şartıyla birlikte, k i n g c g k j i j n j i n =

∑

> ≤ ≤ = − 1 , 0 , 1

olmak üzere, eğer cj =1 ve

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n g g g g g g g g g G 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L ise ⎩ ⎨ ⎧ − = ise tek k ise çift k G n n , 1 , ) 1 ( det dir [6].

İspat: Her k için

= 1 G ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 L L M M O M M M L L L A

(20)

16 matrisi, adım elementer satır işlemlerinden sonra aşağıdaki üçgen matris formuna dönüşür: ) 1 (k− ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 L L M M O M M M L L L

Bu yüzden 1 dir. Diğer taraftan olduğundan

1 det 1.( 1) det = = − k− A G Gn = An (16) n k n n A G ) ) 1 (( ) (det det 1 − − = =

olur. Bundan dolayı eğer k çift ise (k−1) tek olacağından olur. Bu nedenle (16) denkleminden olur. Eğer k tek ise çift olacağından olur ve (16) denkleminden

1 ) 1 (₋ k−1 ₌₋ n n G ( 1) det = − (k−1) 1 ) 1 (₋ k−1 ₌ _det =₁ n G olur. □

Şimdi (2) denklemindeki şartını hesaba katmazsak, genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci sayılarının k dizisi,

0 > n k j≤ ≤

1 için , katsayı sabiti olmak üzere j c = i n g ,1 0 , 0 1 , 1 ≤ ≤ − ⎩ ⎨ ⎧ = − n k halde aksi n i sınır şartıyla birlikte, (17) k i g c g k j i j n j i n =

∑

≤ ≤ = − 1 , 1

şeklinde tanımlanır. Burada , i. dizinin n. terimidir. ve için genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci dizisi şartları ile geleneksel Fibonacci dizisine indirgenir.

i n g k =2 cj =1 1 , 1 1 1 1 0 = g = g

(21)

17 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n g g g g g g g g g G 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − 0 0 1 0 3 4 0 0 2 3 1 0 0 1 2 2 1 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L L M M O M M M L L L k k k k k k B ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 L L M M O M M M L L L C

Şimdi olduğu (17) denkleminden açıkça görülebilir. Sonra da tümevarımla, B G₁ = n n BC G ₊₁ = (18)

yazılabilir. Fakat B, matris çarpımı altında değişmeli değildir.

Teorem 3.1.2. Eğer, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n g g g g g g g g g G 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L ise ⎩ ⎨ ⎧ − = ise çift k ise tek k Gn _n , ) 1 ( , 1 det dir [6].

(22)

18 İspat: 1 1 olduğundan 1 − − ₌ = n n n GC BC G 1 (19) 1(det ) det det ₌ n− n G C G

Böylece basamağı elementer satır işlemlerinden sonra , aşağıdaki üçgen matris formuna dönüşür: ) 1 (k− G₁ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 2 1 0 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 0 3 4 2 3 1 2 2 1 0 L L M M O M M M L L L k k k k k k

Bu yüzden olur. Bununla birlikte C ’nin diğer dizileriyle birlikte ilk dizisinin yerini alan C aşağıdaki üçgen matris formuna indirgenir:

1 1 1 ( 1) det = ⋅ − k− G ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 L L M M O M M M L L L

Böylece olur. (19) denkleminden

olur. Diğer taraftan k çift ise , eğer k tek ise elde edilir. Bu yüzden, 1 ) 1 ( det = − k− C detG_n =(−1)k−1((−1)k−1)n−1 1 ) 1 (₋ k−1 ₌₋ 1 ) 1 (₋ k−1 ₌ ⎩ ⎨ ⎧ − = ise çift k ise tek k Gn _n , ) 1 ( , 1 det dir. □

Böylece (2) ve (17) denklemlerinden, şartının matrisinin determinantının değerini değiştirmediği görülür. Fakat bununla, matrisinin matris çarpımı altında değişmeli olup olmadığını bilemeyiz. Eğer şartını göz ardı etmezsek, matrisi matris çarpımı altında değişmeli olur. Aksi takdirde olmaz.

0 > n Gn 1 G 0 > n 1 G

(23)

19 Örnek 3.1.1. G_n, B ve C k×k kare matrisleri, 3×3 kare matris olsun. Bu taktirde

’in determinantı, k tek olduğu için 1 dir. Gerçekten, n

G

g[t] : n matris çarpımındaki adım sayısı, n BC

G ₊₁ =

det (G[t]) : G₁,G₂,_L,G₁₀ matrislerinin determinantları, G[t] : G₁,G₂,L,G₁₀ matrisleri, olmak üzere: with(linalg): B:=matrix(3,3,[1,2,4,1,1,2,0,1,1]); C:=matrix(3,3,[0,0,1,1,0,1,0,1,1]); G[1]:=B; print(g[1],det(G[1]),G[1]); for t from 2 to 10 do G[t]:=multiply(G[t-1],C); print(g[t],det(G[t]),G[t]); od:

Maple programı çalıştırılırsa;

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 2 1 1 4 2 1 : B ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 1 0 1 1 0 0 : C G₁:= B; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 0 2 1 1 4 2 1 , 1 , 1 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 1 4 2 1 7 4 2 , 1 , 2 g ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 4 2 1 7 4 2 13 7 4 , 1 , 3 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 7 4 2 13 7 4 24 13 7 , 1 , 4 g ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 13 7 4 24 13 7 44 24 13 , 1 , 5 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 24 13 7 44 24 13 81 44 24 , 1 , 6 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 44 24 13 81 44 24 149 81 44 , 1 , 7 g ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 81 44 24 149 81 44 274 149 81 , 1 , 8 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 149 81 44 274 149 81 504 274 149 , 1 , 9 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 274 149 81 504 274 149 927 504 274 , 1 , 10 g

(24)

20 elde edilir.

Örnek 3.1.2. G_n, B ve C k×k kare matrisleri 4× kare matris olsun. Bu taktirde 4

’in determinantı, k çift olduğu için ) n

G (−1)n (n=0,1,2,3,_L dir. Gerçekten, g[t] : n matris çarpımındaki adım sayısı,

n BC G ₊₁ =

det (G[t]) : G₁,G₂,_L,G₁₀ matrislerinin determinantları, G[t] : G₁,G₂,_L,G₁₀ matrisleri, olmak üzere: with(linalg): B:=matrix(4,4,[1,2,4,8,1,1,2,4,0,1,1,2,0,0,1,1]); C:=matrix(4,4,[0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1]); G[1]:=B; print(g[1],det(G[1]),G[1]); for t from 2 to 10 do G[t]:=multiply(G[t-1],C); print(g[t],det(G[t]),G[t]); od:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 0 2 1 1 0 4 2 1 1 8 4 2 1 : B ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 : C G₁:=B; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 1 0 0 2 1 1 0 4 2 1 1 8 4 2 1 , 1 , 1 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 1 0 4 2 1 1 8 4 2 1 15 8 4 2 , 1 , 2 g ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 4 2 1 1 8 4 2 1 15 8 4 2 29 15 8 4 , 1 , 3 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 8 4 2 1 15 8 4 2 29 15 8 4 56 29 15 8 , 1 , 4 g

(25)

21 ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 15 8 4 2 29 15 8 4 56 29 15 8 108 56 29 15 , 1 , 5 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 29 15 8 4 56 29 15 8 108 56 29 15 208 108 56 29 , 1 , 6 g ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 56 29 15 8 108 56 29 15 208 108 56 29 401 208 108 56 , 1 , 7 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 108 56 29 15 208 108 56 29 401 208 108 56 773 401 208 108 , 1 , 8 g ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 208 108 56 29 401 208 108 56 773 401 208 108 1490 773 401 208 , 1 , 9 g ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 401 208 108 56 773 401 208 108 1490 773 401 208 2872 1490 773 401 , 1 , 10 g elde edilir.

Şimdi (2) denkleminde, cj ≠1 olduğunda Gn’nin determinantını araştıralım.

Teorem 3.1.3. = i n g ,1 0 , 0 1 , 1 ≤ ≤ − ⎩ ⎨ ⎧ = − n k halde aksi n i sınır şartıyla birlikte,

∑

= − = k j i j n j i n c g g 1 , n>0, 1≤i≤k

olmak üzere, eğer

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n g g g g g g g g g G 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L ise ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ise tek k c ise çift k c G n k n k n n , ) ( , ) ( ) 1 ( det dir [7].

(26)

22 İspat: Her k için

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 3 2 1 1 L L M M O M M M L L L ck ck c c c A G

elde edilir. Sırasıyla ’in kalan sütunlarını ’in k. sütunu ile yer değiştirirsek, matrisi, 1 G G₁ G₁ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 1 L L M M O M M M L L L k k k c c c c c

şeklinde üçgen matris formuna indirgenir. Buradan

1 1 det ( 1) det ₌ ₌ ₋ k− k c A G

bulunur ve diğer taraftan n olduğundan n A G = (20) n k k n n c A G ) ) 1 (( ) (det det 1 − − = =

elde edilir. Bu yüzden eğer k çift ise (k−1) tek olduğundan olur. Böylece (20) denkleminden bulunur. Eğer k tek ise çift olduğundan ve (16) denkleminden olarak bulunur. □

1 ) 1 (₋ k−1 ₌₋ n k n n c G ( 1) ( ) det = − (k−1) 1 ) 1 (₋ k−1 ₌ n k n c G ( ) det =

Şimdi (2) denklemindeki şartını hesaba katmazsak, genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci sayılarının k dizisi,

0 > n k j≤ ≤

1 için , katsayı sabiti olmak üzere j c i m g , 1 0 , 0 1 , 1 ≤ ≤ − ⎩ ⎨ ⎧ = − = k m halde aksi m i

(27)

23 sınır şartıyla birlikte,

∑

= − = k j i j m j i m c g g 1 , 1≤i≤k

şeklinde tanımlanır. i , i. dizinin m. terimidir. m

g k =2 ve cj =1 için genelleştirilmiş k. mertebeden Fibonacci dizisi, başlangıç verileriyle birlikte geleneksel Fibonacci dizisine indirgenir. Buradan tümevarımla

1 , 1 1 1 1 0 = g = g 1 1 G A G_n = n− (21) yazılabilir. Teorem 3.1.4. Eğer ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k m k m k m k m m m k m m m m g g g g g g g g g G 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L ise ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ise çift k c ise tek k c G m k m m k m , ) ( ) 1 ( , ) ( det dir [7].

İspat: Dikkat edilmelidir ki, (2) denklemindeki şartı göz ardı edildiğinde her k için olur. Böylece,

0 > n 1 G A≠ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 g g g g g g g g g g g g g g g g G k k k k k k L L M M O M M M L L L

(28)

24 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − − k k k k k k k k g g g g g g g g g g g g g g g g G 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 0 3 1 4 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ' 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 L L M M O M M M L L L

olur. Buradan bulunur. Elemanter satır işlemleriyle, matrisi, ) det( ) 1 ( det ' 1 1 1 G G = − k− G₁' ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − k k k k k k k c g g g g g g g g g g G 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ' 1 L L M M O M M M L L L

şeklinde üçgen matris formuna dönüşür. Böylece ve

olur. ve Teorem 3.1.3’den olduğu için

yazılabilir. Eğer k çift ise ve eğer k tek ise dir. O halde,

k c G₁' = det k k c G₁ ( 1) 1 det = − − 1 1 ) (A G G_m = m− detA=c_k(−1)k−1 1 1 1₎ ₍ ₁₎ ) 1 ( ( det ₌ ₋ − − ₋ k− k m k k m c c G (−1)k−1 =−1 1 ) 1 (₋ k−1 ₌ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ise çift k c ise tek k c G m k m m k m , ) ( ) 1 ( , ) ( det olur. □

Hatırlatma. Dikkat edilmelidir ki, eğer şartı hesaba katılırsa, matrisi matris çarpımı altında değişmelidir. Aksi takdirde değildir. Ayrıca Teorem 3.1.4’den

iken ve ’nin determinantları bütün k’lar için aynıdır. Böylece, ve ’nin determinantlarının ’ya bağlı olduğu görülür.

0 > n G₁ A G₁ ≠ G_n G_m G_n m G c_k

(29)

25 3.2. Lucas Sayılarıyla Oluşturulan Bazı Matrislerin Determinantları

Bu bölümde Lucas sayıları ile ilgili genel bir bilgi verilip, bölüm 3.1 de incelenen Fibonacci sayılarıyla oluşturulan matrislerin determinantları ile ilgili yapılan çalışmalara paralel olarak Lucas sayılarıyla da benzer incelemeler yapılmıştır. Daha sonra Fibonacci ve Lucas sayıları arasındaki ilişki araştırılmıştır.

Genelleştirilmiş k. mertebeden Lucas sayılarının k dizisi,

i = (22) n l 1 0 , 0 1 , 1 2 , 2 ≤ ≤ − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − = n k halde aksi n i n i sınır şartıyla birlikte, l l n i k (23) k j i j n i n =

∑

> ≤ ≤ = − 1 , 0 , 1

şeklinde tanımlanır. i, i. dizinin n. terimidir. n

l i=1 ve olduğunda

genelleştirilmiş k. mertebeden Lucas dizisi, bilinen negatif Fibonacci dizisine indirgenir. Yani, her için dir.

2 = k + Ζ ∈ n l1_n =−F_n₊₁

ve seçildiğinde genelleştirilmiş k. mertebeden Lucas dizisi 3 = i k =4 K K, 1, 2, 0, 1, 2, 5, 8, 16, 3 31, 6 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1 3 0 3 1 3 2 =− − = = = = = = = = − l l l l l l l l l

şeklinde yazılabilir. (23) denkleminden, genelleştirilmiş k. mertebeden Lucas dizisi için ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 L L M M O M M M L L L A (24) olmak üzere

(30)

26 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − − + i k n i k n i n i n i n l l l l l 2 1 1 1 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − − − − i k n i k n i n i n i n l l l l l 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 M L L M M O M M M L L L (25)

eşitliği yazılabilir. Bununla beraber genelleştirilmiş k. mertebeden Lucas dizisinin k dizisiyle çalışmak için

(26) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n l l l l l l l l l H 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L k

k× kare matrisini alalım. (25) denkleminden,

n n AH H ₊₁ = (27) elde edilir [8]. Lemma 3.2.1. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 L L M M O M M M L L L H

olmak üzere, A ve sırasıyla (24) ve (26) denklemlerindeki gibi olsun. Bu taktirde n H 1 1 A H H_n₊ = n dir [8].

İspat: (27) denkleminden Hn+1 = AHn dir. Buradan tümevarım metodunu ve matris çarpımının bir özelliğini kullanarak,

(31)

27 1 1 1 1 1 1 3 3 4 1 2 2 3 1 2 H A H A H H A H A H H A H A H H A H A H H A H n n n n n n ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = + − − M

elde edilir. Aynı zamanda,

(28) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 L M O M M M L L L K

olmak üzere, H₁ = A⋅K dır. Bu yüzden

K A H_n₊₁ = n+1 dir. □ Teorem 3.2.1. Eğer ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n l l l l l l l l l H 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L ise ⎩ ⎨ ⎧ − − = + + ise tek k ise çift k H n n , 1 , ) 1 ( det 1 1 dir [8].

İspat: Lemma 3.2.1’den Hn An K dir. Buradan

1 1 + + = K A H_n (det )n .det det 1 1 + + =

olur. _det ₌₍₋₁₎k+1 ve olduğundan, A detK =(−1)k

(32)

28 k n k n H (( 1) ) .( 1) det 1 1 1 = − − + + + olur. Buradan da ⎩ ⎨ ⎧ − − = + + ise tek k ise çift k H n n , 1 , ) 1 ( det 1 1 elde edilir. □

Şimdi k. mertebeden genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri arasındaki ilişkiyi gösteren Teoremi verelim.

Teorem 3.2.2. Eğer ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n g g g g g g g g g G 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L , ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + − + − + − − − − k k n k n k n k n n n k n n n n l l l l l l l l l H 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L M O M M L L ve ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 L M O M M M L L L K ise K G Hn = n dir [8].

İspat: [3]’de Er, olduğunu göstermişti. Ayrıca olduğunu da Lemma 3.2.1’den biliyoruz. Böylece,

n n A G = H_n = AnK K G H_n = _n olur. □

(33)

29 Teorem 3.2.2’de k =2 için,

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 0 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 n n n n n n n n g g g g l l l l

elde edilir. Buradan 2 ₂ 1 2 olur. Her n

n

n g g

l = − n∈Ζ için olduğundan

elde edilir. Burada ve sırasıyla alışılmış Lucas ve Fibonacci sayılarıdır. 2 1 1 + = n n g g 2 2 1 2 ₂ n n n g g l = ₊ − ln2 2 n g

Böylece, Fibonacci ve Lucas sayıları arasındaki bağıntı genelleştirilmiş oldu. Yani, L_n =2F_n₊₁−F_n elde edildi ( bk. sy. 176, [11] ).

Örnek 3.2.1. Hn₊₁, A ve K k×k kare matrisleri 3×3 kare matris olsun. Bu taktirde Hn₊₁’in determinantı, k tek olduğu için − dir. Gerçekten, 1

h[t] : H_n₊₁ = An+1K matris çarpımındaki adım sayısı, det (H[t]) : H₁,H₂,_L,H₁₀ matrislerinin determinantları, H[t] : H₁,H₂,_L,H₁₀ matrisleri, olmak üzere: with(linalg): A:=matrix(3,3,[1,1,1,1,0,0,0,1,0]); K:=matrix(3,3,[-1,2,0,0,-1,2,0,0,-1]); H[1]:=multiply(A,K): print(h[1],det(H[1]),H[1]); for t from 2 to 10 do H[t]:=multiply(H[t-1],A); print(h[t],det(H[t]),H[t]); od:

; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 1 1 1 1 : A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 0 2 1 0 0 2 1 : K ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 2 1 0 0 2 1 1 1 1 , 1 , 1 h

(34)

30 ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 0 2 1 1 1 1 1 0 0 , 1 , 2 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 1 1 1 0 0 0 1 0 , 1 , 3 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 1 , 4 h ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 0 1 0 0 0 1 1 1 1 , 1 , 5 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 0 0 1 1 1 1 1 2 2 , 1 , 6 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 1 1 1 1 2 2 2 3 4 , 1 , 7 h ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 1 2 2 2 3 4 4 6 7 , 1 , 8 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 2 3 4 4 6 7 7 11 13 , 1 , 9 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 4 6 7 7 11 13 13 20 24 , 1 , 10 h olur.

Örnek 3.2.2. Hn₊₁, A ve K k×k kare matrisleri 4× kare matris olsun. Bu 4 taktirde ’in determinantı, k çift olduğu için dir. Gerçekten,

1 +

n

H (−1)n+1 (n=0,1,2,3,_L)

h[t] : H_n₊₁ = An+1K matris çarpımındaki adım sayısı, det (H[t]) : H₁,H₂,_L,H₁₀ matrislerinin determinantları, H[t] : H₁,H₂,_L,H₁₀ matrisleri, olmak üzere: with(linalg): A:=matrix(4,4,[1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0]); K:=matrix(4,4,[-1,2,0,0,0,-1,2,0,0,0,-1,2,0,0,0,-1]); H[1]:=multiply(A,K): print(h[1],det(H[1]),H[1]); for t from 2 to 10 do H[t]:=multiply(H[t-1],A); print(h[t],det(H[t]),H[t]); od:

(35)

31 ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 : A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 : K ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 , 1 , 1 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 0 2 1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 , 1 , 2 h ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 0 0 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 , 1 , 3 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 , 1 , 4 h ; ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , 1 , 5 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 , 1 , 6 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − − 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 , 1 , 7 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 , 1 , 8 h ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 4 6 7 8 , 1 , 9 h ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− − − − 1 2 2 2 2 3 4 4 4 6 7 8 8 12 14 15 , 1 , 10 h olur.

3.3. k-Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas Sayılarının Determinant Temsilleri 2

≥

k olmak üzere, k-Fibonacci dizisi {g_n(k)}

0, ( ) ( ) 1 (29) 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 = = = − = − = kk = k k k k k k g g g g g _L ve n> k ≥2 için, ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( k k n k n k n k n g g g g = ₋ + ₋ +_L+ ₋

şeklinde tanımlanır. Burada , n. k-genelleştirilmiş Fibonacci sayısıdır. Örneğin, 4- genelleştirilmiş Fibonacci dizisi,

) (k n g 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, . . . dır.

(36)

32 için k-genelleştirilmiş Lucas dizisi

1 ≥ n {ln(k)} ) ( 1 ) ( 1 ) ( k k n k n k n g g l = ₋ + ₊ ₋

şeklinde tanımlanır. Burada , n. k-genelleştirilmiş Lucas sayısıdır. Örneğin, 4-genelleştirilmiş Lucas dizisi,

) (k n l 1, 2, 4, 9, 16, 31, 60, . . . dir.

Teorem 3.3.1. matrisi, her için alt Hessenberg matrisi ve olsun. Bu taktirde, için

n A n×n n≥1 1 ) det(A₀ = n≥2 11 1) det(A =a ve

∑

−

∏

(30) = − = + − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = _, det( ₁) 1 ( 1) _, 1 _, ₁det( ₁) ) det( n r j n r j r j j r n r n n n n n a A a a A A dir [13].

Teorem 3.3.2. k ≥2 bir tamsayı ve

(31) ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ − < = − halde aksi k t s i h t s st , 0 1 , | |

için , Hn_,k =(hst) n×n Hessenberg matrisi olsun. Yani,

(32) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − − − 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2 1 4 3 2 1 2 , K O O O O K K M O O M K K K k k k k k k k k k n i i i i i i i i i i i i i i H ise, i= −1 için

(37)

33 ( ) (33) 1 , ) det( k k n k n g H = ₊ ₋ dir [9].

İspat: n üzerinden tümevarım metodunu kullanalım. 0

=

n ve n=1 için hipotezden sonuç açıktır. Kabul edelim ki, bütün pozitif n≤ m sayıları için (33) denklemi doğru olsun. Yani,

) ( 1 , ) det( k k m k m g H = ₊ ₋

olsun. Teorem 3.3.1 kullanılarak,

∑

∏

= + = + − − + + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = m r k r m r j j j r m r m k m m m k m h H h h H H 1 1, , 1 1, 1 , 1 , 1 , 1 ) det( ) ( 1) det( ) det(

∑

− +

∏

= + = + − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 , 1 1 , , 1 1 , ) ( 1) det( ) det( m k r k r m r j j j r m r m k m h h H H

∑

∏

+ − = + = + − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + m k m r k r m r j j j r m r m H h h 2 , 1 1 , , 1 1 _det( ₎ ) 1 (

∑

∏

+ − = = − − − − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = m k m r k r m r j j i r m r m k m i i H H 2 , 1 | 1 | | 1 | 1 , ) ( 1) det( ) det(

∑

∏

+ − = = − − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = m k m r k r m r j r m r m k m i i H H 2 , 1 1 1 , ) ( 1) det( ) det(

∑

(

)

+ − = − − + − + − + − + = m k m r k r r m r m r m k m i i H H 2 , 1 1 1 1 , ) ( 1) det( ) det(

∑

+ − = − + = m k m r k r k m H H 2 , 1 , ) det( ) det(

=det(H_m_,_k)+det(H_m₋₁_,_k)+_L+det(H_m₋₍_k₋₁_),_k)

yazabiliriz. Hipotezimizden ve k-genelleştirilmiş Fibonacci sayıları tanımından, = + ) det(Hm _{1 k}_, ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 k k m k m k k m k k m g g g g ₊ ₋ + ₊ ₋ +_L+ ₋ = ₊ eşitliği elde edilir. Böylece her n≥0 için iddia doğrudur. □